Bài báo này trình bày một phương pháp xác định vết nứt trong kết cấu dầm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phổ Wavelet (Wavelet Spectral Finite Element MethodWSFEM). WSFEM được phát triển để nghiên cứu hiện tượng truyền sóng đàn hồi cho kết cấu dầm 1D, làm cơ sở cho bài toán xác định vết nứt. Vết nứt trong dầm console được mô hình hóa bằng lò xo có độ mềm tương đương. Những vấn đề chính liên quan đến việc phát hiện vị trí và độ sâu vết nứt trong dầm được trình bày trong các trường hợp cụ thể của dầm Bernoulli mở rộng với kết quả đạt được chính xác và đáng tin cậy
PHÂN TÍCH HIỆN TƯỢNG TRUYỀN SÓNG TRONG DẦM CÓ VẾT NỨT NGANG BẰNG PHƯƠNG PHÁP WSFEM ANALYSIS OF WAVE PROPAGATION PHENOMENA IN BEAM WITH TRANSVERSE CRACK BY WSFEM TUDY ON USING LABORATORY MODEL TO RESEARCH FOR BEARING CAPACITY OF SOFT GROUND IMPROVED BY DEEP CEMENT MIXING COLUMNS DUE TO EMBANKMENT LOAD WITH DIFFERENT MONTMORILLONITE CONTENTS Nguyễn Thị Hiền Lương1, Bùi Quốc Tính , Nguyễn Thanh Tú , Nguyễn Thành Vinh TÓM TẮT Bài báo trình bày phương pháp xác định vết nứt kết cấu dầm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phổ Wavelet (Wavelet Spectral Finite Element Method-WSFEM) WSFEM phát triển để nghiên cứu tượng truyền sóng đàn hồi cho kết cấu dầm 1D, làm sở cho toán xác định vết nứt Vết nứt dầm console mô hình hóa lò xo có độ mềm tương đương Những vấn đề liên quan đến việc phát vị trí độ sâu vết nứt dầm trình bày trường hợp cụ thể dầm Bernoulli mở rộng với kết đạt xác đáng tin cậy Từ khóa: Truyền sóng, vết nứt ngang, xác định vết nứt, phương pháp phần tử hữu hạn phổ Wavelet ABSTRACT This paper presents a method for crack identification in beam structure using WSFEM (Wavelet Spectral Finite Element Method) WSFEM is developed for studying the phenomenon of elastic wave propagation in 1-D beam structure It is a basis for solving the inverse problem identifying cracks in beams The cracks in the cantilever beam is modeled as equivalent springs The main issues regarding crack location and depth detection in beams are discussed in the particular case of Extended Euler-Bernoulli beam with accurate and reliable results.search show that with the same tntent increased Keywords: Wave propagation, transverse crack, crack identification, Wavelet spectral finite element method PGS.TS Nguyễn Thị Hiền Lương Giảng viên, Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng , Trường Đại Học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia Tp.HCM Email: nthluong@hcmut.edu.vn Điện thoại: 0933111792 TS Bùi Quốc Tính Dept of Mechanical and Environmental Informatics, Tokyo Institute of Technology, 2-12-1-W8-22, Ookayama, Meguroku, Tokyo, 152-8552, Japan Email: tinh.buiquoc@gmail.com ThS Nguyễn Thanh Tú Giảng viên, Khoa Kỹ thuật xây dựng, Trường Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ, 256 Nguyễn Văn Cừ, Q.Ninh Kiều, TP Cần Thơ Email: nttu@ctuet.edu.vn Điện thoại: 01689952871 NCS Nguyễn Thành Vinh Giảng viên, Khoa Khoa Xây dựng, Trường Đại học Tiền Giang, 119 Ấp Bắc, Phường 5, Mỹ Tho, Tiền Giang Email: nguyenthanhvinh@tgu.edu.vn Điện thoại: 01668382118 Giới thiệu Biến đổi Wavelet sử dụng lĩnh xây dựng, sử dụng phổ biến ngành kỹ thuật điện ngành truyền thông để mô tả đặc tính tổng hợp tín hiệu thời gian Các công cụ biến đổi Wavelet thể kỹ thuật kết cấu cách giải phương trình vi phân thường vi phân riêng toán động lực [1-8] Những toán động lực kết cấu công trình có hai loại: Loại thứ sử dụng tần số thấp, gọi toán động lực học; loại thứ hai sử dụng tần số cao gọi toán truyền sóng Hầu hết toán kết cấu công trình thuộc loại thứ nhất, ứng xử toàn kết cấu sử dụng vài mode dao động Truyền sóng tượng đa phương thức sử dụng mode dao động với tần số cao Các công cụ phân tích thông thường phương pháp phần tử hữu hạn xử lý toán hạn chế cách mô hình tính toán phức tạp Lựa chọn cho vấn đề dựa phương pháp biến đổi Phân tích Fourier kỹ thuật biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số Với nhiều tín hiệu, phân tích Fourier hữu ích nội dung tần số tín hiệu quan trọng Phép biến đổi Fourier có hiệu phân tích tín hiệu tuần hoàn, thuận lợi cho phép chập tín hiệu Tuy nhiên, phép biến đổi Fourier có hạn chế Khi biến đổi sang miền tần số, thông tin thời gian bị Nếu thuộc tính tín hiệu không thay đổi nhiều theo thời gian nhược điểm ảnh hưởng nhiều.Nhiều tín hiệu có chứa thông số động trôi, nghiêng, biến đổi đột ngột, thông tin lúc khởi đầu kết thúc kiện Những thông số thường phần quan trọng tín hiệu, phân tích Fourier không thích hợp để phát chúng Phương pháp SFEM dựa biến đổi Fourier phương pháp phổ biến dùng để giải toán động lực học công trình liên quan đến kích thích với tần số cao Tuy nhiên, có hạn chế việc xử lý kết cấu hữu hạn điều kiện biên hay điều kiện ban đầu khác không, áp dụng phương pháp SFEM dựa biến đổi Fourier để giải toán liên quan đến kích thích với tần số cao bị hạn chế.Để đáp ứng yêu cầu độ phân giải ổn định với tín hiệu có nhiều thành phần thời gian tần số, ta cần dùng phương pháp biến đổi cho độ phân giải thời gian tần số thay đổi cách thích nghi với đặc tính tín hiệu mặt phẳng thời gian tần số Phân tích Wavelet cho phép sử dụng khoảng thời gian dài ta cần thông tin tần số thấp xác hơn, miền ngắn thông tin tần số cao Wavelet sử dụng hiệu việc xử lý tín hiệu giải phương trình vi phân [1-4] Biến đổi Wavelet ứng dụng để giải phân tích toán học [5-7].Việc sử dụng wavelet học ứng dụng phân tích ứng xử học để khai thác thông số mô hình, khử nhiễu, giải pháp thiệt hại vv… Do có Trang thể giải toán kết cấu động lực toán truyền sóng phương pháp SFEM dựa biến đổi Wavelet Trong báo này, WSFEM phát triển để nghiên cứu tượng truyền sóng đàn hồi cho kết cấu dầm EulerBernounlli mở rộng trường hợp không nứt có nứt; kết đáng tin cậy so sánh với phương pháp FEM, phương pháp LSFEM [9] mô hình rãnh nứt có bề rộng áp dụng WSFEM [10] Cơ sở lý thuyết: + Tại vị trí vết nứt (x = L cho uˆ1 (x) , wˆ (x) x = cho uˆ2 (x) , wˆ (x) ) Chênh lệch chuyển vị dọc trục: uˆ2 (x) - uˆ1 ( x) = ϕ ∂uˆ1 ( x) ∂x (6) Lực dọc bên trái lực dọc bên phải vết nứt: ∂uˆ1 ( x) ∂uˆ2 ( x) = ∂x ∂x 2.1 Mô hình dầm có vết nứt Có nhiều loại mô hình vết nứt áp dụng cho phương pháp PTHH sử dụng cho dầm, mô hình vết nứt thay đổi tiết diện, mô hình vết nứt mô tả lò xo, mô hình vết nứt dạng cưa chữ V, Do khó khăn việc chuyển công thức thiết lập cho mô hình vết nứt từ phương pháp PTHH sang phương pháp WSFEM, mô hình lò xo tương đương sử dụng để khảo sát tượng truyền sóng dầm có vết nứt tính đơn giản ( hình1) (7) Chuyển vị đứng bên trái vết nứt chuyển vị đứng bên phải vết nứt: wˆ (x)= wˆ (x) (8) Mô men bên trái vết nứt mô men bên phải vết nứt: ∂ wˆ1 ( x) ∂ wˆ ( x) = ∂x ∂x (9) ∂ wˆ1 ( x) ∂ wˆ ( x) = ∂x3 ∂x3 (10) Lực cắt bên trái vết nứt lực cắt bên phải vết nứt: Chênh lệch góc xoay xác định sau: ∂wˆ1 ( x) ∂wˆ ( x) ∂ wˆ ( x) − = ϕ ∂x ∂x ∂x (11) Tại vị trí bên phải vết nứt (x = L – L ): uˆ2 ( x) = qˆ4 , wˆ ( x) = qˆ5 , Hình Mô hình dầm có vết nứt Phương trình dao động dầm có vết nứt giữ nguyên, vết nứt thay lò xo với điều kiện tương thích Dầm chia thành nhiều đoạn liên kết với vết nứt lò xo yêu cầu thỏa mãn hai điều kiện biên, cần phải thỏa mãn điều kiện tương thích vết nứt [11], [12], [13] 2.2 Ma trận độ cứng phần tử có vết nứt mô hình lò xo tương đương Phương trình chuyển vị bên trái bên phải dầm (hình 2) = uˆ2 ( x) C3 e −ik1 ( L1 + x ) + C4 e −ik1 ( L − ( L1 + x )) (1) (2) wˆ ( x) = C5 e−ik2 x + C6 e−ik2 ( L1 − x ) + C7 e−ik3 x + C8 e−ik3 ( L1 − x ) (3) wˆ (x)= C9 e-ik2 (L1 +x) +C10 e-ik2 (L-(L1 +x)) + C11e-ik3 (L1 +x) +C12 e-ik3 (L-(L1 +x)) (4) ˆ chuyển vị đứng Trong uˆ chuyển vị dọc trục, w + Tại vị trí bên trái phần tử (x = 0): uˆ1 (x)= qˆ1 , wˆ (x)= qˆ2 , ˆ1 ( x) ∂w = qˆ3 ∂x Từ (6) đến (12) viết lại: uˆ1 C1 wˆ C 1 2 θˆ C3 1 C 0 0 C5 C6 -1 C = W 7 0 C8 0 C9 uˆ C 2 10 wˆ C 11 ˆ C 12 θ (12) (13) Với W ma trận 12x12 Hình Mô hình phần tử có vết nứt = uˆ1 ( x) C1e−ik1 x + C2 e−ik1 ( L1 − x ) ∂wˆ ( x) = qˆ6 ∂x (5) Lực phổ tác dụng nút xác định phương trình chuyển vị ∂uˆ ( ) Fˆ1 = D ∂x (14) ∂ wˆ1 ( ) Fˆ2 = -Vˆ2 = EI ∂x3 (15) ∂ wˆ1 ( ) ˆ = Fˆ3 M = EI ∂x (16) ∂uˆ ( L − L1 ) Fˆ4 = − D ∂x (17) ∂ wˆ ( L − L1 ) Fˆ5 = -Vˆ5 = − EI ∂x3 (18) Trang Công thức lực phổ viết dạng ma trận sau: C1 C 2 C3 F C4 C F 5 C6 F (20) = Q C 7 F4 C8 F C9 F 6 C 10 C11 C12 Với Q ma trận x 12.Quan hệ lực chuyển vị nút: Fˆ1 uˆ1 wˆ ˆ F2 1 ˆ ˆ F 3 = K ˆ θ1 d Fˆ uˆ2 4 wˆ Fˆ 2 θˆ ˆ 2 F6 (21) d = QW -1 K (22) A (23) K 2I dA 6M g bh ϕ1 = Ebhc (5.29) dα b Hình 3.Mặt cắt tiết diện vị trí nứt Khi chịu lực cắt moment, mô hình đàn hồi phần tử hữu hạn phổ tiết diện nứt đươc viết lại sau: 144π EBH 1/2 2 α α α f d ∫0 H ∫0 dz a (30) H α πα f h EJc L (31) Ví dụ số: 3.1 Khảo sát dầm không nứt Khi phân tích truyền sóng dầm cantilever EulerBernoulli mở rộng với thông số toán: E=70GPA, υ=0.3, ρ=2700 Kg/m3, chiều dài dầm L = 0.5m, chiều rộng dầm b = 0.05m, chiều cao dầm h = 0.005m Dầm Euler-Bernoulli mở rộng truyền sóng với hai trường hợp sóng ngang sóng dọc, tải trọng xung tác dụng đầu tự dầm hình Thông số tải trọng tác dụng hình Hàm wavelet sử dụng hàm Daubechies bậc N=22 a Mô hình truyền sóng dọc dầm (25) b Mô hình truyền sóng ngang dầm M g biểu thị moment uốn bị trí vết nứt tan (πα / 2h ) α f = * πα / 2h h 0.752 + 2.02 (α / h ) + 0.37 1 − sin (πα / 2h ) ϕ2 = (24) Với ν hệ số Poisson A diện tích vết nứt K I hệ số cường độ ứng suất hình thành vết nứt dạng mode KI = Khi chịu lực dọc trục, hệ số độ mềm tính: Hệ số độ mềm tính sau: S i lực nút tác dụng nên phần tử Năng lượng biến dạng dẻo U có vết nứt viết: ∫ (28) h H ∂2U (với i=j=1) ∂Si ∂S j −ν E h Với a = a , α = α 2.3 Xác định hệ số độ mềm φ lò xo tương đương Độ mềm vị trí vết nứt cho phần tử hữu hạn phổ tính dựa vào định lý Castigliano [11] U= (27) Với a = a , α = α c= d có kích thước x 12 nên ta bỏ Từ (20) (13), K cột – ma trận Kd để trở thành ma trận độ cứng vuông x mà không ảnh hưởng tới kết toán cij = 2π a α α f dα ∫ Eb h h (với D = Ebh) c= α (19) a ∂ wˆ ( L − L1 ) ˆ ˆ F6 = M = − EI ∂x Hình Mô hình lực tác dụng dầm (26) cos (πα / 2h ) Sau biến đổi đơn giản, mô hình đàn hồi phần tử hữu hạn phổ tiết diện nứt hình viết lại Trang Hình Ứng xử vận tốc sóng dọc phương pháp LSFEM FEM [9] đầu tự dầm Hình Tải trọng xung Song ngang mien thoi gian -3 x 10 Van toc song ngang (m/s) Các hình 6-9 cho thấy tượng truyền sóng ngang sóng dọc dầm WSFEM so sánh kết với FEM, LSFEM Sử dụng 2D-FEM dầm chia thành 100 phần tử kết hợp áp dụng phương pháp Newmark miền thời gian để giải toán truyền sóng Trong sử dụng WSFEM chia thành phần tử với bậc Daubechies N=22 thu kết tốt với 2D-FEM Vì vậy, WSFEM tính cho dầm console với thời gian khối lượng tính toán giảm đáng kể so với FEM toán truyền sóng WSFEM 2D-FEM 2.5 1.5 0.5 Kết toán thuận cho dầm console sử dụng WSFEM so sánh với báo [9] sử dụng phương pháp LSFEM 2DFEM cho thấy có phù hợp xác (hình 7, hình 9) -0.5 Thoi gian(s) -4 x 10 3.2 Khảo sát dầm có vết nứt thay đổi theo độ sâu Hình 6.Ứng xử vận tốc sóng ngang phương pháp WSFEM đầu tự Hình 10 Dầm console có vết nứt Hình 7.Ứng xử vận tốc sóng ngang phương pháp LSFEM FEM [9] đầu tự dầm -4 x 10 WSFEM 2D-FEM x 10 Khong nut hd/h=10% hd/h=20% hd/h=30% Van toc song doc (m/s) -1 -2 -3 -4 Song doc mien thoi gian -4 Song doc mien thoi gian Van toc song doc (m/s) Dầm cantilever Euler-Bernoulli mở rộng có vết nứt hình 10; với thông số toán: E=70GPA, υ=0.3, ρ=2700 Kg/m3, chiều dài dầm L = 1m, chiều rộng b = 0.05m, chiều cao h = 0.01m, tải trọng tác dụng hình hình Hàm wavelet sử dụng hàm Daubechies bậc N=22 Vết nứt thay đổi theo độ sâu vị trí L d = 0.25m với trường hợp: h d /h = 10%, h d /h = 20%, h d /h = 30% -1 -5 -2 Thoi gian(s) -4 x 10 Hình Ứng xử vận tốc sóng dọc phương pháp WSFEM đầu tự dầm -3 0.2 0.4 0.6 Thoi gian(s) 0.8 1.2 -3 x 10 Hình 11 Vận tốc sóng dọc theo thời gian đầu tự dầm Trang Song ngang mien thoi gian -4 12 x 10 Khong nut hd/h=10% hd/h=20% hd/h=30% -2 0.2 0.4 0.6 0.8 Thoi gian(s) x 10 Khong nut Ld=0.1m Ld=0.25m Ld=0.4m Van toc song doc (m/s) Van toc song ngang (m/s) 10 Song doc mien thoi gian -4 -1 -2 1.2 -3 x 10 Hình 12 Vận tốc sóng ngang theo thời gian đầu tự dầm Qua hình 11, hình 12 ta thấy so với biểu đồ dầm không nứt, biểu đồ vận tốc sóng thu đầu tự dầm có vết nứt với trường hợp dầm nứt vị trí với độ sâu vết nứt khác cho tín hiệu bị nhiễu thời gian biểu đồ với biên độ khác Khi chiều sâu vết nứt tăng dần biên độ tín hiệu bị nhiễu vết nứt gây tăng dần -3 2.5 1.5 0.5 Thoi gian(s) -3 x 10 Hình 14 Vận tốc sóng dọc đầu tự dầm với vết nứt h d /h=20% thay đổi theo vị trí So với biểu đồ không nứt biểu đồ vận tốc sóng thu đầu tự bị nứt với trường hợp dầm nứt vị trí khác cho tín hiệu bị nhiễu khoảng thời gian khác Đặc biệt với biểu đồ sóng dọc, vị trí nứt khác cho biên độ tín hiệu nhiễu gần Song ngang mien thoi gian -4 x 10 12 khong nut Ld=0.1m Van toc song ngang (m/s) 10 Ld=0.25m Ld=0.4m Hình 13 Vận tốc sóng ngang đầu tự dầm theo [10] So sánh biểu đồ hình 12 hình 13 ta thấy vị trí thời gian vận tốc sóng ngang bắt đầu bị nhiễu vết nứt gây giống Tại độ sâu vết nứt h d /h=10% kết báo [10] cho biểu đồ nhiễu rõ ràng Khi chiều sâu vết nứt tăng lên mô hình vết nứt lo xo cho biểu đồ nhiễu rõ biểu đồ nhiễu giống dạng báo [10] Thoi gian(s) -4 x 10 Hình 15 Vận tốc sóng ngang đầu tự dầm theo thời gian với vị trí vết nứt thay đổi 3.3 Khảo sát dầm có vết nứt thay đổi theo vị trí Dầm cantilever Euler-Bernoulli mở rộng có vết nứt H.10; với thông số toán: E=70GPA, υ=0.3, ρ=2700 Kg/m3, chiều dài dầm L = 1m, chiều rộng b = 0.05m, chiều cao h = 0.01m, tải trọng tác dụng hình hình Hàm wavelet sử dụng hàm Daubechies bậc N=22 Vết nứt thay đổi theo vị trí với chiều sâu vết nứt h d /h = 20% cho sóng dọc h d /h = 10% cho sóng ngang, khảo sát trường hợp L d = 0.1m, L d = 0.25m, L d = 0.4m Hình 16.Vận tốc sóng ngang đầu tự dầm theo thời gian với vị trí vết nứt thay đổi [10] So sánh biểu đồ hình 15 hình 16 ta thấy thời gian vận tốc sóng ngang bị nhiễu vị trí nứt gây biểu đồ tương đối giống Với độ sâu vết nứt h d /h = 10% biểu đồ [10] cho kết rõ ràng báo [10] có xét đến bề rộng vết nứt = 0.01m Trang 3.4 Khảo sát chuyển động vận tốc sóng dầm Các giá trị đặc trưng hình học, vật liệu toán lấy từ toán với thông số: E = 70GPA, υ =0.3, ρ = 2700 Kg/m3, L = 1m, b = 0.05m, h = 0.01m Khảo sát chuyển động vận tốc sóng dầm trường hợp dầm vết nứt dầm có vết nứt h d /h = 50% vị trí L d = 60% L Bieu van toc song ngang truyen dam 1300 1200 1100 900 thoi gian (µs) 800 700 600 500 Hình 20 Ảnh hưởng vết nứt lên vận tốc sóng dọc truyền dầm (h d /h=50%) 400 300 200 100 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 chieu dai dam (m) Hình 17 Vận tốc sóng ngang truyền dầm không nứt Bieu van toc song ngang truyen dam 1300 1200 1000 900 thoi gian (µs) 800 Trong trường hợp dầm vết nứt hình 19, sóng dọc lan truyền không bị tán sắc, tín hiệu lực xung truyền vào giữ hình dáng theo thời gian.Dựa vào hình 19 dễ dàng xác định vận tốc sóng dọc lan truyền dầm Trong trường hợp dầm có vết nứt ảnh hưởng vết nứt lên vận tốc lan truyền sóng (hình 20) vị trí 60% chiều dài dầm cho ta thấy tín hiệu lực xung truyền vào có tín hiệu nhiễu nhỏ chạy dầm hình thành tín hiệu vận tốc sóng dọc chạy qua vết nứt tín hiệu bị nhiễu ảnh hưởng vết nứt lớn dần theo thời gian 700 Kết luận: 600 500 Việc sử dụng Wavelet đưa vào SFEM để rút gọn phương trình vi phân riêng thành phương trình vi phân thường giúp giải toán cách đơn giản, nhanh chóng 400 300 200 WSFEM tỏ phương pháp hiệu quả, thay cho phương pháp FEM để phân tích toán truyền song với khối lượng tính toán giảm đáng kể so với FEM 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 chieu dai dam (m) Hình 18 Ảnh hưởng vết nứt (h d /h=50%) lên biểu đổ vận tốc sóng ngang truyền dầm theo thời gian Trong trường hợp dầm vết nứt hình 17, vận tốc sóng lan truyền dầm đến đầu ngàm có sóng phản xạ lại nên ta thấy khoảng thời gian 600-700µs đầu phải dầm bắt đầu nhận tín hiệu bị nhiễu rõ ràng vận tốc sóng ngang lan truyền Trong trường hợp dầm có vết nứt hình 18, vị trí L d /L= 60% chiều dài dầm khoảng thời gian 400-500 µs tín hiệu vận tốc sóng bị nhiễu vết nứt gây truyền đầu dầm Do cần đo vận tốc sóng ngang đầu tự dầm console sau truyền sóng ta biết vị trí độ sâu vết nứt mà không cần phải khảo sát toàn dầm Bieu van toc song doc truyen dam 1200 1100 1000 Sử dụng biểu đồ vận tốc sóng dọc để chẩn đoán hư hại kết cấu cho kết xác rõ ràng so với biểu đồ vận tốc sóng ngang Bài toán dầm gán vết nứt mô hình lò xo cho thấy hình dáng, tính chất biểu đồ vận tốc sóng lan truyền qua dầm bị nứt Trong toán truyền sóng, việc thu tín hiệu nút đầu tự dầm giúp ta xác định vị trí độ sâu vết nứt Bài toán ngược tiếp tục trình bày báo sau Tài liệu tham khảo 900 800 thoi gian (µs) Ảnh hưởng vết nứt ngang dầm đến đặc trưng truyền sóng khảo sát dựa vào biểu đồ vận tốc sóng ngang biểu đồ vận tốc sóng dọc Các kết thu phù hợp xác 700 600 500 400 300 200 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 K Amaratunga and J R Williams (1995), Time integration using wavelets,pages 894–902 Proceedings of SPIE, Wavelet Application for Dual Use.2491, Orlando, FL G Beylkin (1992), On the representation of operators in bases of compactly supported wavelets, SIAM Journal of Numerical Analysis, 6(6):1716–1740 chieu dai dam (m) Hình 19.Vận tốc sóng dọc truyền dầm Trang 6 10 11 12 13 K Amaratunga and J R Williams (1997), WaveletGalerkin solution of boundary value problems, Archives of Computational Methods in Engineering, 4(3):243–285 Georg Regensburger, Symbolic Computation for Moments and Filter Coefficients of Scaling Functions, Institute of Mathematics,Department of Computer Science,University Innsbruck,Techniker Str 25,A-6020 Innsbruck,Austria Dulip Samaratunga et al., Wavelet spectral finite element modeling of transverse crack for structural health monitoring of composite plates, Mechanical and Aeronautical Engineering Clarkson University, Potsdam, NY 13699 M.Mitra and S Gopalakrishnan (2006), Extraction of wave charateristics from wavelet based spectral finite element formulation, Mechanical Systems and Signal Processing, 20:2046–2079 J R Williams and K Amaratunga (1997), A discrete wavelet transform without edge effects using wavelet extrapolation, Journal of Fourier Analysis and Applications, 3(4):435–449 P Kudela et al (2007), Wave propagation modelling in 1D structures using spectral finite elements, Journal of Sound and Vibration 300 88–100 M Murthy, S Gopalakrishnan (2011), Signal wrap-around free spectral element formulation for multiply connnected finite 1-D wave guides, Journal of Aerospace Sciences and Technologies, Volume 63, Pages 72–88 Mira Mitra and S Gopalakrishnan (2008), Perturbation technique for wave propagation analysis in a notched beam using wavelet spectral element modeling, Journal of mechanics of materials and structures, Volume 3, Pages 659–673 W Ostachwicz and P.Kudela (2010), Elastic Waves for Damage Detection in Structures, New Trends in Vibration Based Structural Health Monitoring, CISM Courses and Lectures Volume 520,pp 247-302 M Krawczuk (2002), Application of spectral beam finite element with a crack and iterative search technique for damage detection, Finite Elements in Analysis and Design Volume 38, Issue 6, Pages 537–548 Nguyễn Thị Hiền Lương, Lý Vĩnh Phan (8-9/4/2009), "Phân tích độ nhạy dầm có vết nứt phương pháp biến đổi Wavelet”, Tuyển tập công trình khoa học Hội nghị Cơ học Toàn quốc Kỹ niệm 30 năm Viện học, Hà Nội, 115-122 Trang