Bài báo phân tích dầm tựa đơn chịu vật thể chuyển động mô hình một khối lượng xét đến biến dạng đàn hồi của gối tựa. Phương trình dao động của hệ thống bao gồm dầm và vật thể chuyển động được thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn và được giải bằng phương pháp tích phân trực tiếp dựa trên thuật toán của Newmark. Ma trận khối lượng, ma trận độ cứng của toàn hệ thống và vectơ lực nút tương đương được tính toán ở mỗi bước thời gian. Ảnh hưởng của vận tốc chuyển động, độ võng của dầm, độ cứng của gối tựa… được khảo sát chi tiết.
PHÂN TÍCH DẦM TỰA ĐƠN CHỊU VẬT THỂ CHUYỂN ĐỘNG XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA GỐI TỰA DYNAMIC ANALYSIS OF A SIMPLE BEAM SUBJECTED TO A MOVING LOAD CONSIDERING THE ELASTIC SUPPORT Đỗ Kiến Quốc, Phạm Đàm Sơn Tùng TÓM TẮT Bài báo phân tích dầm tựa đơn chịu vật thể chuyển động mô hình khối lượng xét đến biến dạng đàn hồi gối tựa Phương trình dao động hệ thống bao gồm dầm vật thể chuyển động thiết lập theo phương pháp phần tử hữu hạn giải phương pháp tích phân trực tiếp dựa thuật toán Newmark Ma trận khối lượng, ma trận độ cứng toàn hệ thống vectơ lực nút tương đương tính toán bước thời gian Ảnh hưởng vận tốc chuyển động, độ võng dầm, độ cứng gối tựa… khảo sát chi tiết Từ khóa: Phân tích động, Tải trọng di động, Gối tựa đàn hồi ABSTRACT This article analyses a simple beam subjected to an oscillator moving along the beam considering of elastic support Equations of motion of system composed of the beam structure itself and the moving oscillator are formulated by using FEM and solved by means of the direct step-by-stepintegration method based on Newmark algorithm The overall mass, stiffness and equivalent nodal force vector are calculated at each time interval The influences of the moving velocity, stiffness of spring in ocsillator, deflection of beam, elastic support… are investigated giá ảnh hưởng thông số kết cấu vật thể di động đến phản ứng toàn hệ vấn đề có ý nghĩa thực tiễn khoa học đặc biệt ngành giao thông vận tải Cơ sở lý thuyết 2.1 Mô hình kết cấu Xét mô hình vật thể di chuyển dọc theo chiều dài dầm L(m) với vận tốc V(m/s) không đổi thể Hình Vật thể mô hình hệ hai bậc tự gồm khối lượng thân m nối với bánh xe khối lượng m v , qua hệ giảm chấn lò xo với độ cứng K Trong thực tế, khối lượng bánh xe m v không đáng kể làm khối lượng tính toán nhiều nên báo bỏ qua m v Ký hiệu y chuyển vị tuyệt đối khối lượng m theo phương thẳng đứng, w chuyển vị theo phương thẳng đứng khối lượng m v Giả thiết bề mặt dầm phẳng tiếp xúc với bánh xe m v trình di chuyển Do đó, chuyển vị thẳng đứng bánh xe (w ) độ võng dầm (w) điểm tiếp xúc Vị trí tổng thể vật thể di chuyển dầm x m (t) Dầm mô hình dầm EulerBernouli tiết diện đồng không đổi Để xét đến biến dạng gối tựa, dầm tựa hai lò xo hai đầu dầm Bỏ qua tính chất cản kết cấu Keywords: Dynamic Analysis, Moving Load, Elastic Support PGS.TS Đỗ Kiến Quốc Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng, Trường Đại Học Bách Khoa – Đại Học Quốc Gia Tp.HCM Email: dkquoc2004@yahoo.com Điện thoại: 0903683422 ThS Phạm Đàm Sơn Tùng Khu QLGTĐT số – Sở GTVT TP.HCM Email: tung3035@gmail.com Điện thoại: 0938211535 Hình 1: Mô hình kết cấu 2.2 Mô hình phần tử hữu hạn Dầm chia thành n phần tử dầm có chiều dài l e nối với nút hình Vị trí vật thể so với đầu bên trái phần tử dầm thứ “s” x(t) Giới thiệu Việc nghiên cứu dao động kết cấu chịu tải trọng di động xuất phát từ yêu cầu thực tiễn, thường gặp lĩnh vực như: xây dựng, giao thông vận tải, khí… Thực tế rằng, ảnh hưởng động tính chất di chuyển tải trọng đến phản ứng kết cấu đáng kể, phát sinh tượng không mong muốn làm tăng giá trị chuyển vị - nội lực, nguy hiểm xuất hiện tượng cộng hưởng Bên cạnh đó, hệ kết cấu đặt hệ nền, móng cọc làm việc đồng thời với kết cấu chịu tải trọng di động Hệ thống gối tựa đề cập nghiên cứu phản ứng động dầm với điều kiện biên khác (giản đơn, ngàm) [1] [2] [3] Tuy nhiên, nghiên cứu ảnh hưởng đàn hồi gối tựa đến phản ứng động dầm Vì vậy, việc nghiên cứu phản ứng động dầm tác động vật thể di động có xét đến biến dạng gối tựa để đánh Hình 2: Mô hình phần tử hữu hạn Phương trình dao động dầm có dạng sau + Ku = N T P Mu (1) với M, K ma trận độ cứng ma trận khối lượng dầm thiết lập cách “chồng chất” ma trận phần tử [4], P ngoại lực tác dụng vào dầm, u u vectơ chuyển vị, gia tốc kết cấu dầm Phương trình dao động vật thể chuyển động + K (y - w) = my (2) Trang Lực tương tác vật thể dầm thể Khi vật thể chuyển động phần tử thứ “s”, P = mg - my tải trọng P quy đổi tải trọng nút Khi đó, vectơ ngoại lực F(t) = {0 0 f1s (t) f 2s (t) f 3s (t) f4s (t) 0 0} T đó, f1s (t) , f 2s (t) , f 3s (t) , f 4s (t) thành phần lực tác dụng lên hai nút phần tử “s” Vectơ hàm dạng N phần tử thứ “s” N = {0 0 N1s N s2 N s3 N s4 0 0} với N = 1- 3ξ + 2ξ , N = le (ξ - 2ξ + ξ ) , s 2 N s3 = 3ξ - 2ξ , N s4 = le (-ξ + ξ ) x ξ = Khi đó, le phương trình (1) (2) viết gọn lại * + K *u* = F* (t) M *u lò xo với 03 loại độ cứng dùng để khảo sát K n = 300 EI EI K n = 500 Cùng với sơ đồ dầm tựa L L Hình Hình thể ảnh hưởng vận tốc hệ số động chuyển vị nhịp (DAFcv) sơ đồ gối cứng sơ đồ gối đàn hồi (K n =K n1 ) vật thể chuyển động dầm Các kết cho thấy DAFcv sơ đồ gối đàn hồi lớn 1.2 đến 1.3 lần so với DAFcv sơ đồ gối cứng Kết trình bày Bảng 1.8 V=20 m/s V=40 m/s V=60 m/s V=80 m/s 1.6 M mN T K mgN T , 0T , * * , M = K = F (t) = m 0 -K N K u u = , u* = u y y * Có thể thấy ma trận M*, K* (3) ma trận theo thời gian chúng bao gồm thành phần không thay đổi thân kết cấu thành phần phụ thuộc theo thời gian vật thể chuyển động dầm tạo Sự thay đổi đặc tính hệ chịu tải trọng di động thể tính chất phi tuyến kết cấu [5] Phương trình (3) phương trình chủ đạo mô tả dao động hệ thống gồm kết cấu dầm vật thể chuyển động giải phương pháp tích phân trực tiếp dựa thuật toán Newmark Thuật toán giải sau: He so dong chuyen vi tai giua nhip 1.4 * EI , L3 3.1 Khảo sát hệ số động chuyển vị nhịp (3) đó: K n1 = 100 gối cứng, bốn sơ đồ dầm sử dụng để khảo sát 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 -0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 4: Hệ số động chuyển vị nhịp – sơ đồ gối cứng 2.5 V=20 m/s V=40 m/s V=60 m/s V=80 m/s He so dong chuyen vi tai giua nhip s khối lượng đơn vị chiều dài ρ = 1.5×104 kg/m Dầm chịu vật thể chuyển động có khối lượng m v = 30 độ cứng lò xo K = 3×106 N/m Hai đầu dầm tựa hai 1.5 0.5 -0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 5: Hệ số động chuyển vị nhịp – sơ đồ gối đàn hồi với K n =K n1 Hình 3: Thuật toán lập trình Một chương trình máy tính lập trình ngôn ngữ Matlab viết theo lưu đồ dùng để khảo sát ví dụ số Kết số Gối cứng (a) Gối đàn hồi (K n =K n1 ) (b) (b/a) Bảng 1: DAFcv lớn V=20 V=40 V=60 m/s m/s m/s 1.2060 1.3995 1.6206 1.6064 1.8834 2.0430 1.332 1.346 1.261 V=80 m/s 1.6668 1.9798 1.188 Hình Bảng trình bày ảnh hưởng hệ số K n DAFcv vật thể chuyển động dầm với V=60(m/s) Khi K n lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến sơ đồ gối cứng, DAFcv giảm dần Bài báo khảo sát mô hình dầm giản đơn có chiều dài L = 20m, mặt cắt mặt ngang dầm I = 0.048 m4 Vật liệu dầm có đặc trưng sau: môđun đàn hồi E = 2×1011 N/m2, Trang 2.5 Kn=100 EI/L3 Kn=300 EI/L He so dong chuyen vi tai giua nhip Gối cứng (a) Gối đàn hồi (K n =K n1 ) (b) (b)/(a) Kn=500 EI/L3 goi cung 1.5 0.5 -0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L 0.6 0.7 0.8 0.9 Bảng 3:DAFmomen lớn V=20 V=40 V=60 m/s m/s m/s 1.1382 1.3227 1.3522 V=80 m/s 1.3260 1.4183 1.6407 1.6114 1.4817 1.246 1.24 1.192 1.117 Hình Bảng trình bày ảnh hưởng hệ số K n DAFmomen vật thể chuyển động dầm với V=60(m/s) Khi K n lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến sơ đồ gối cứng, DAFmomen giảm dần Đồ thị DAFmomen sơ đồ gối cứng trơn nhiều so với sơ đồ gối đàn hồi Hình 6: Hệ số động chuyển vị nhịp với v=60(m/s) Kn=100 EI/L3 Kn=300 EI/L3 Bảng 2: DAFcv lớn với V=60(m/s) K n1 K n2 K n3 Gối cứng DAFcv 2.0424 1.8532 1.7101 1.6229 He so dong momen tai giua nhip 1.5 3.2 Khảo sát hệ số động momen nhịp 0.5 -0.5 0.1 V=20 m/s V=40 m/s V=60 m/s V=80 m/s 1.2 0.4 0.2 0.2 K n1 1.6114 0.3 0.4 0.5 x/L 0.6 0.7 0.8 0.9 0.6 0.7 0.8 0.9 K n2 1.6115 Gối cứng 1.3522 K n3 1.5184 200 V=20 m/s V=40 m/s V=60 m/s V=80 m/s 150 Luc cat tai giua nhip (KN) 100 He so dong momen tai giua nhip 0.5 x/L Bảng 4: DAFmomen lớn V=60(m/s) Hình 7:Hệ số động momen nhịp – sơ đồ gối cứng V=20 m/s V=40 m/s V=60 m/s V=80 m/s 1.5 0.4 Hình 10 Hình 11 thể ảnh hưởng vận tốc lực cắt nhịp sơ đồ gối cứng sơ đồ gối đàn hồi (K n =K n1 ) vật thể chuyển động dầm Kết cho thấy lực cắt nhịp sơ đồ gối đàn hồi lớn khoảng 2.5 lần so với lực cắt sơ đồ gối cứng tồn vận tốc tới hạn làm cho lực cắt nhỏ Kết trình bày Bảng 0.6 0.1 0.3 3.3 Khảo sát lực cắt nhịp 0.8 0.2 Hình 9: Hệ số động momen nhịp với V=60(m/s) DAFmomen 1.4 He so dong momen tai giua nhip Hình Hình thể ảnh hưởng vận tốc hệ số động momen nhịp (DAFmomen) sơ đồ gối cứng sơ đồ gối đàn hồi (K n =K n1 ) vật thể chuyển động dầm Kết cho thấy DAFmomen sơ đồ gối đàn hồi lớn khoảng 1.2 lần so với DAFcv sơ đồ gối cứng Kết trình bày Bảng -0.2 Kn=500 EI/L3 goi cung 50 -50 -100 -150 -200 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 10:Lực cắt nhịp – sơ đồ gối cứng -0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 8:Hệ số động momen nhịp – sơ đồ gối đàn hồi K n =K n1 Trang vận tốc chuyển động vật thể 30(m/s) Khi K n lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến sơ đồ gối cứng, W max giảm dần 500 V=20 m/s V=40 m/s V=60 m/s V=80 m/s 400 3.5 Khảo sát chuyển vị lớn dầm theo K n K 200 -3 11 10.5 -100 10 Kn=100 EI/L3 -200 -300 -400 -500 0.3 0.2 0.1 0.4 0.5 x/L 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 11:Lực cắt nhịp – sơ đồ gối đàn hồi K n =K n1 Gối cứng (a) Gối đàn hồi (K n =K n1 ) (b) (b)/(a) Bảng 5: Lực cắt lớn V=20 m/s V=40 m/s V=60 m/s 154.1410 169.8641 178.3091 V=80 m/s 164.2035 456.2151 414.6817 331.8422 419.4825 2.96 2.441 1.861 2.555 500 Kn=100 EI/L3 400 Kn=500 EI/L3 goi cung Luc cat tai giua nhip (KN) 200 100 -100 -200 -300 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x/L 0.6 0.7 0.8 0.9 Hình 12: Lực cắt nhịp với V=60(m/s) Bảng 6: Lực cắt lớn V=60(m/s) K n1 K n2 K n3 Gối cứng Lực cắt 331.8422 406.4857 403.0738 178.3091 3.4 Khảo sát chuyển vị lớn dầm theo Kn V -3 11 8.5 0.2 0.4 0.6 0.8 Ko (N/m) 1.2 1.4 1.6 1.8 x 10 Hình 14: Chuyển vị lớn dầm theo K K n Hình 14 cho thấy chuyển vị lớn dầm (W max ) theo hệ số (K n ) độ cứng nhíp xe (K ) Khi K n lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến sơ đồ gối cứng, (W max ) giảm dần Với K n chọn trước, tồn giá trị tới hạn K 0cr làm cho W max đạt giá trị nhỏ Kết luận Bài báo trình bày kết nghiên cứu phản ứng động dầm tựa đơn chịu vật thể chuyển động – mô hình khối lượng xét đến biến dạng đàn hồi gối tựa Phương trình dao động toàn hệ thống thiết lập giải phương pháp tích phân trực tiếp dựa thuật toán Newmark để tiến hành khảo sát số ví dụ Tài liệu tham khảo -400 -500 Kn=500 EI/L3 goi cung Việc xét đến ảnh hưởng biến đàn hồi gối tựa làm tăng phản ứng dầm, momen lực cắt dầm Không tăng độ lớn mà tăng biến thiên giá trị chịu vật thể chuyển động Độ cứng nhíp xe (K ) đóng vai trò thiết bị giảm xóc hấp thu lượng từ phản ứng dầm.Tồn giá trị tới hạn hệ số (K ncr ) làm giá trị lực cắt nhịp lớn Kn=300 EI/L3 300 Kn=300 EI/L3 9.5 7.5 Hình 12 Bảng trình bày ảnh hưởng hệ số K n lực cắt nhịp vật thể chuyển động dầm với V=60(m/s) Khi K n lớn, sơ đồ gối đàn hồi tiến sơ đồ gối cứng, lực cắt giảm dần Lực cắt nhịp sơ đồ gối đàn hồi biến thiên nhiều so với sơ đồ gối cứng Tồn giá trị K ncr làm cho lực cắt lớn x 10 goi cung Kn=100 EI/L3 10 Kn=300 EI/L3 Kn=500 EI/L3 Chuyen vi max(m) x 10 100 Chuyen vi max(m) Luc cat tai giua nhip (KN) 300 [1] M.Abu Hilal and H.S Zibdeh, "Vibration Analysis of Beams with General Boundary Conditions Traversed by a Moving Force," Sound and Vibration, vol 229, no 2, pp 377-388, 2000 [2] M.Abu-Hilal and M.Mohsen, "Vibrations of Beams with General Boundary Conditions Due to a Moving Harmonic Load," Sound and Vibration, vol 232, no 4, pp 703-717, 2000 [3] Zibdeh H.S., and Rackwitz R., "Moving Loads on Beams With General Boundary Conditions," Sound Vibration, vol 195, no 1, pp 85-102, 1996 [4] Đỗ Kiến Quốc, Lương Văn Hải, Động lực học kết cấu HCM: NXB Đại học Quốc gia TPHCM, 2010 [5] Đỗ Kiến Quốc, Nguyễn Trọng Phước, Các phương pháp số động lực học kết cấu HCM: NXB Đại học Quốc gia TPHCM, 2010 10 20 30 40 50 van toc (m/s) 60 70 80 90 100 Hình 13: Chuyển vị lớn dầm theo K n V Hình 13 cho thấy chuyển vị lớn dầm (W max ) theo hệ số (K n ) vận tốc chuyển động vật thể W max nhạy Trang Trang