Bài viết giới thiệu cách xây dựng và giải bài toán dao động tự do của tấm mỏng có xét đến biến dạng trượt ngang theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss.
KHOA HC & CôNG NGHê Gii bi toắn dao ẵợng tú tÞm mÏng cÍ xÃt biän dÂng trõơt ngang PGS.TS Nguyỗn Phừùng Thnh ThS }o Ngẹc Tiọn Túm tt Bài báo giới thiệu cách xây dựng giải tốn dao động tự mỏng có xét đến biến dạng trượt ngang theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Abstract This paper introduces how to construct and solve problem of free oscillation of thin plates taking into account of transverse shear strain according to the extremum principle Gauss Đặt vấn đề Trước tác giả giải toán dao động tự mỏng theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss Bây tác giả đề cập toán có xét thêm ảnh hưởng biến dạng trượt ngang đến đặc trưng động Cũng với mục đích này, nghiên cứu trước – trường hợp chịu tải trọng tĩnh tải trọng động - gặp khó khăn xuất hiện tượng shear locking (khóa lực cắt): biến dạng trượt ngang tiến đến không, kết không dẫn lý thuyết cổ điển Bài báo giới thiệu cách xác định đặc trưng động nói có kể đến biến dạng trượt ngang tránh tượng shear locking Xây dựng giải toán dao động tự mỏng có xét biến dạng trượt ngang Trường hợp mỏng có xét biến dạng trượt ngang biểu thức lượng cưỡng có dạng: ( M x − M x0 ) χ x + 2( M xy − M xy0 ) χ xy + ( M y − M y0 ) χ y + dΩ ∫ +(Q − Q0 )γ + (Q − Q0 )γ Ω x x x y y y Z PGS.TS Nguyễn Phương Thành ThS Đào Ngọc Tiến Bộ môn Sức bền vật liệu - Cơ kết cấu Khoa xây dựng ĐT: 0913 011 094 Trong đó: M x , M y , M xy , Qx , Qy cho; χ x , χ y , χ xy γ x ,γ y Phản biện: TS Phạm Văn Trung T¿i lièu tham khÀo Nguyễn Thùy Anh (2011), Phương pháp tính chữ nhật chịu uốn, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Học viện kỹ thuật quân Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học Kỹ thuật, IV/2005 Tr 112-118 Nguyễn Phương Thành (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà nội 60 (1) biểu thức mô men lực cắt biểu thức độ cong (uốn xoắn) cho; biểu thức góc trượt mặt trung bình, cho; M x0 , M y0 , M xy0 ,Q0x ,Q0y sánh; biểu thức mô men lực cắt hệ so Tích phân (1) thực tồn diện tích (a x b) bề mặt Tác giả để xuất viết biểu thức mặt võng, lực cắt dao động tự là: W ( x, y, t ) = w( x, y ).cos(ωt ) Qx ( x, y, t ) = Qx ( x, y ).cos(ωt ) (2) Qy ( x, y, t ) = Qy ( x, y ).cos(ωt ) Tùy theo điều kiện biên cụ thể mà ba hàm ẩn gồm: độ võng W lực cắt Qx , Qy biểu diễn qua chuỗi Navier, Levy chuỗi đa thức Biến dạng trượt ngang (góc trượt) mặt trung bình lực cắt gây xác định theo cơng thức sau: T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG γ x γ y γx α Qx = cos(ωt ); γ y Gh α Qy Eh = cos(ωt ); Gh Gh 2(1 + µ ) (3) Hệ số α xét đến phân bố không đồng ứng suất tiếp tiết diện xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang, với đặc α = 1, Góc xoay trượt h =m =n ∂w α Qy ∞ ∞ nπ α nπ y mπ x cos t cmn sin co s cos (ωt ) ϕy = ( ω ) − = − ∑∑ amn b Gh a b ∂y Gh Thay góc xoay =m =n ϕ x , ϕ y vào (5) ta biến dạng uốn: ∞ ∞ α mπ ∂ϕ x mπ bmn χx = − = − ∑∑ amn − ∂x a a Gh =m =n mπ x nπ y sin cos (ωt ) sin a b ∞ ∞ ∂ϕ y nπ mπ x nπ y α nπ cmn − = − ∑∑ amn χy = sin cos (ωt ) sin − ∂y b a b b Gh =m =n ∂ϕ ∂ϕ χ xy = − x + y = ∂y ∂x mπ nπ nπ mπ mπ x nπ y ∞ ∞ α α bmn cmn co s cos (ωt ) = − ∑∑ amn − − co s a b 2Gh b 2Gh a a b =m =n Thay biến dạng uốn 62 χ x , χ y , χ xy vào (6) ta mô men: T„P CH KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG ∞ mπ α mπ b − −∑∑ amn mn a mπ x =m =n a Gh nπ y M x = D( χ x + µχ y ) = D cos (ωt ) sin sin ∞ ∞ a b π α π n n − µ ∑∑ amn b − Gh cmn b =m =n mπ nπ −amn a b + M xy = D(1 − µ ) χ xy = D(1 − µ )∑∑ nπ mπ α α = m 1= n 1 bmn cmn + + b 2Gh a 2Gh ∞ ∞ mπ x nπ y co s cos (ωt ) co s a b ∞ ∞ nπ α nπ − c −∑∑ amn mn b mπ x =m =n b Gh nπ y M y = D( χ y + µχ x ) = D sin sin cos (ωt ) ∞ ∞ a b α mπ mπ − µ ∑∑ amn a − Gh bmn a =m =n do: Gọi m khối lượng đơn vị chiều dài, lực quán tính trình (và dầm) dao động tự fm = m ∞ ∞ ∂W ( x, y, t ) mπ x nπ y 2 = − m ω a sin sin ∑∑ mn cos(ωt ) ∂t a b =m =n Các biểu thức nội lực dầm: ∞ ∞ mπ x nπ y a M = mω ∑∑ amn sin sin cos(ωt ) a b mπ =m =n 0 M= M= Q= y xy y x (Ở ta không xét biến dạng trượt dầm nên bỏ qua Qx0 ) Lượng cưỡng theo (1) viết lại sau: Z= ∫ (M Ω x − M x0 ) χ x + M xy χ xy + M y χ y + Qxγ x + Qyγ y d Ω (13) b) Tần số dao động tự Điều kiện cực trị Z là: δ Z= a b ∫ ∫ (M 0 x − M )δχ x + M xyδχ xy + M yδχ y + Qxδγ x + Qyδγ y dxdy= Vì dạng hàm w, viết lại sau: Qx , Qy cho, nên toán biến phân trở thành tốn tối (14) ưu thơng số, điều kiện (14) Sơ 19 - 2015 63 KHOA HC & CôNG NGHê a b ∂Z ∂χ ∂χ y ∂γ y ∂χ ∂γ x = ∫ ∫ ( M x − M ) x + M xy xy + M y + Qx + Qy dxdy = a a a a a a ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ mn mn mn mn mn mn 0 a b ∂χ ∂χ y ∂γ y ∂χ ∂γ ∂Z = ∫ ∫ ( M x − M ) x + M xy xy + M y + Qx x + Qy dxdy = b b b b b b ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ mn mn mn mn mn mn 0 a b ∂χ ∂χ y ∂γ y ∂γ ∂Z = ( M x − M ) ∂χ x + M xy xy + M y + Qx x + Qy dxdy = ∫ ∫ ∂cmn 0 ∂cmn ∂cmn ∂cmn ∂cmn ∂cmn (15) Thực phép tính (15) ta hệ (15) gồm ba phương trình sau: mπ nπ 2 α mπ ∂Z ⇒ amn = + − bmn a b Gh a ∂amn mπ nπ 2 + + a b 2 α nπ mπ nπ m amn ω + = Gh b a b D 2 2 mπ mπ nπ α nπ α mπ ∂Z = ⇒ −amn + + + + bmn (1 − µ ) + a a b 2Gh b Gh a D ∂bmn α mπ nπ +cmn (1 + µ ) = 2Gh a b −cmn 2 mπ nπ α mπ α nπ + + cmn (1 − µ ) + + + a b Gh a Gh b D α mπ nπ +bmn (1 + µ ) = 2Gh a b nπ ∂Z = ⇒ − amn b ∂cmn Trong hệ có chứa tần số dao dộng riêng ω = ω tấm, giải ta được: mπ nπ 2 + a b 2 m mα mπ nπ + + D Gh a b (16) Nhận xét: - Nếu bỏ qua biến dạng trượt ( G ) ta có: ω = →∞ 2 D mπ nπ + ,chính tần số dao động m a b không xét biến dạng trượt Từ (16) ta thấy xét biến dạng trượt ngang tần số dao động riêng nhỏ hơn, có nghĩa mềm 64 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG G → ∞ (lúc ω phụ thuộc vào biến x) ta có: ω = - Với n=0 D mπ m a ,chính tần số dao động riêng dầm không xét biến dạng trượt ngang (dầm có độ cứng chống uốn D nhịp l=a tấm) G ≠ ∞ ta có: ω = - Với n=0 mπ a m mα mπ 2 + D Gh a , tần số dao động riêng dầm có xét đến biến dạng trượt ngang (dầm có độ cứng chống uốn D nhịp l=a tấm) c) Phương trình dao động tự Viết lại phương trình dao động tự tấm: ∞ ∞ W ( x, y, t ) = ∑∑ amn sin = m 1= n đó: mπ x nπ y sin cos(ωt ) a b (17) amn xác định từ điều kiện ban đầu Thời điểm t=0 ta có thức (17) ta có: ∞ W0 ( x, y ) = W ( x, y,0) và= V0 ( x, y ) W( = x, y,0) Từ điều kiện ban đầu biểu ∞ W0 ( x, y ) = ∑∑ amn sin = m 1= n mπ x nπ y sin a b (18) Từ điều kiện trực giao dao động riêng ta có: a b ∫ ∫ m W ( x, y )sin 0 ⇒ amn mπ x nπ y ab dxdy = m amn sin a b a b mπ x nπ y =∫ ∫ W0 ( x, y )sin sin dxdy ab 0 a b (19) Thay (19) (16) vào (17) ta phương trình dao động tự tấm: a b mπ x nπ y mπ x nπ y sin dxdy sin sin ∫ ∫ W0 ( x, y )sin ab a b a b 0 2 ∞ ∞ mπ nπ W ( x, y, t ) = ∑∑ + (20) a b = m 1= n 1 cos t 2 m mα mπ nπ + + D Gh a b Cho n m giá trị 1,2,… vào (16) (20) ta tần số dạng dao động riêng tương ứng Sau tác giả giới thiệu bốn tần số dao động riêng dạng dao động riêng tương ứng (hình a,b,c,d) S¬ 19 - 2015 65 KHOA HC & CôNG NGHê Hỡnh Dng dao ng riờng ω11 = π π + a b m mα π π + + D Gh a b ω22 = 2 ; w1−1; w1−2 ; w 2−2 ; w1−3 ω12 = π π + a b m mα 2π 2π + + D Gh a b ; ( ứng với a=b=1) π π + a b m mα π 2π + + D Gh a b ω13 = π 3π + a b m mα π 3π + + D Gh a b Kết luận 1) Đã xây dựng giải toán dao động tự mỏng có xét biến dạng trượt ngang theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss (không phải giải phương trình đặc trưng) 2) Đã xét ảnh hưởng biến dạng trượt ngang đến tần số dạng dao động riêng mà không xảy tượng shear locking, nhờ áp dụng lý thuyết mỏng chịu tải trọng tĩnh TS Nguyễn Thùy Anh đề xuất [1] 3) Ví dụ tính tốn cho thấy cách làm tác giả trường hợp riêng (không xét biến dạng trượt ngang) dẫn kết toán dao động tự theo lý thuyết cổ điển./ 66 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG ... xây dựng giải toán dao động tự mỏng có xét biến dạng trượt ngang theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss (khơng phải giải phương trình đặc trưng) 2) Đã xét ảnh hưởng biến dạng trượt ngang đến... qua biến dạng trượt ( G ) ta có: ω = →∞ 2 D mπ nπ + ,chính tần số dao động m a b không xét biến dạng trượt Từ (16) ta thấy xét biến dạng trượt ngang tần số dao. .. số dao động riêng dầm có xét đến biến dạng trượt ngang (dầm có độ cứng chống uốn D nhịp l=a tấm) c) Phương trình dao động tự Viết lại phương trình dao động tự tấm: ∞ ∞ W ( x, y, t ) = ∑∑ amn sin