Phương pháp phần tử hữu hạn tính khung có xét biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tập trung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - LƯƠNG ĐỖ TỒN PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TÍNH KHUNG CĨ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG TẬP TRUNG Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN HỮU NGHỊ Hải Phòng, 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Lương Đỗ Toàn ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, chuyên gia trường Đại học Dân lập Hải phòng tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho luận văn hoàn thiện Đặc biệt, tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TS Trần Hữu Nghị tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phòng, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả luận văn Lương Đỗ Toàn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1.CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN THƯỜNG DÙNGTRONG CƠ HỌC CƠNG TRÌNH 1.1 Các liên kết học [14] 1.2 Phương pháp lượng 1.3 Các phương pháp biến phân lượng thường dùng 1.3.1 Nguyên lý biến dạng cực tiểu - nguyên lý Castiliano (1847-7 1884) 1.3.2 Nguyên lý công bù cực đại 13 1.3.3 Nguyên lý công ảo 16 CHƯƠNG 2.LÝ THUYẾT DẦM CÓ XÉT ĐẾNBIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG 19 2.1 Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli 19 2.1.1 Dầm chịu uốn túy phẳng 19 2.1.2 Dầm chịu uốn ngang phẳng 23 2.2 Lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt ngang 30 CHƯƠNG 3PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠNĐỐI VỚI KHUNG PHẲNGCHỊU UỐN CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG 36 3.1 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 36 3.3 Giải tốn khung có xét đến biến dạng trượt ngang phương pháp phần tử hữu hạn 46 iv 3.3.1 Bài toán khung 46 3.4 Các ví dụ tính tốn khung 47 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 80 KẾT LUẬN 80 KIẾN NGHỊ 80 Danh mục tài liệu tham khảo 80 v MỞ ĐẦU Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp xây dựng dựa ý tưởng rời rạc hóa cơng trình thành phần tử nhỏ (số phần tử hữu hạn) Các phần tử nhỏ nối lại với thơng qua phương trình cân phương trình liên tục Để giải tốn học kết cấu, tiếp cận phương pháp theoba mơ hình gồm: Mơ hình chuyển vị, xem chuyển vị đại lượng cần tìm hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị phần tử; Mơ hình cân bằng, hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố ứng suất hay nội lực phần tử mơ hình hỗn hợp, coi đại lượng chuyển vị ứng suất hai yếu tố độc lập riêng biệt Các hàm nội suy biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị lẫn ứng suất phần tử Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạntheo mơ hình chuyển vị để xây dựng giải toán khung phẳng chịu tác dụng tải trọng tĩnhtập trung Mục đích nghiên cứu đề tài “Xác định nội lực chuyển vị khung phẳng có xét biến dạng trượt ngang chịu tải trọng tĩnh tập trungbằng phương pháp phần tử hữu hạn” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli lý thuyết dầm có xét đến biến dạng trượt ngang Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng để giải toán khung phẳng, chịu tác dụng tải trọng tĩnhtập trung Lập chương trình máy tính điện tử cho toán nêu CHƯƠNG CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN THƯỜNG DÙNG TRONG CƠ HỌC CƠNG TRÌNH 1.1 Các liên kết học [14]: Các ràng buộc, hạn chế chuyển động hệ chất điểm xét tồn chất điểm khác không gian gọi liên kết học Các liên kết học thường dùng biểu thị dạng hàm, bất phương trình phương trình vi phân Sơ đồ phân loại liên kết trình bày hình 1.1 đây: Hình 1.1 Phân loại liên kết Trên sơ đồ hình 1.1, liên kết không giữ liên kết biểu thị bất phương trình bất phương trình vi phân Các liên kết giữ biểu thị phương trình phương trình vi phân Các tài liệu giáo trình học giải tích nghiên cứu hệ có liên kết giữ (liên kết hai chiều) 1.2 Phương pháp lượng: Trong học thường dùng nguyên lý biến phân lượng Năng lượng đại lượng vô hướng (scalar), đại lượng véctơ sử dụng lượng để xây dựng phương trình cân thuận tiện đơn giản nhiều so vói việc dùng lực chuyển vị đại lượng véctơ Đối với hệ không tiêu hao (no damping) lượng hệ bao gồm động T  Động xác định theo khối lượng vận tốc chuyển động, n bao gồm biến dạng công trường lực, phụ thuộc vào chuyển vị Trường lực lực lực lượng trường Các lực tác dụng lên hệ lực khơng Theo ngun lý bảo tồn lượng thì: T +  = const ( 1.1) Từ biểu thức (1.1) suy tốc độ thay đổi lượng phải không: d (T  )  dt Đối với tốn tĩnh, T = 0,  = const Thế  biểu thị qua ứng suất nội lực biểu thị qua chuyển vị biến dạng Dựa nguyên lý bảo tồn lượng, ta có phương trình Lagrange phương trình Lagrange phương trình vi phân chuyển động biểu thị qua toạ độ tổng quát (các chuyển vị tổng quát) Gọi T động n hệ, qi chuyển vị tổng quát Qilà lực tác động (lực khơng - lực ngồi tác dụng lên hệ, lực trọng trường lực thế) phương trình Lagrange có dạng: d  T  dt  qi đó: qi   T      Qi (i  1,2,3 ., n)  qi qi (1.4) qi vận tốc chuyển động t Đối với chuyên vị qi có phương trình Lagrange Động Ttrong tọa độ tổng quát hàm vận tốc hàm chuyển vị tổngquát Thế toàn phần hệ bao gồm biến dạng, lực cơng ngoại lực Phương trình Lagrange áp dụng cho hệ chất điểm (hệ rời rạc) hệ môi trường liên tục Để thấy rõ điều này, sau trình bày ví dụ sử dụng phương trình Lagrange để xây dựng phương trình chuyển động dầm Euler-Bemoulli: Ví d ụ Dựa vào phương pháp lượng để xây dựng phương trình vi phân chuyển động dầm Euler-Bemoulli Lý thuyết dầm Euler-Bemoulli đưa toán hai chiều toán chiều với chuyển động dầm độ võng trục dầm w(x) Nội lực dầm mômen uốn M xác định theo liên hệ sau: d 2 M  EJ  dx (1.5) Trong đó: q ngoại lực phân bố tác dụng dầm EJ gọi độ cứng uốn tiết diện dầm Phương trình (1.5) phương trình liên hệ nội lực mômen uốn M vàbiến dạng uốn (độ cong đường đàn hồi)   d 2 dx dầm Theo phương trình Lagrange, ta xác định động biến dạng dầm sau: Gọi Wi chuyển vị (tổng quát) điểm i dầm qi lực tác dụng điểm i dầm mi khối lượng Động dầm: n T  i 1 mwi2 dx đó: wi  wi t (1.6) Thế biến dạng dầm chịu uốn:  2w     EJ  i 1  x  i n (1.7) Dấu tổng lấy tất điểm i dầm Phương trình Lagrange dầm có dạng (viết cho điểm i dầm):   T  T       qi t  wi  w wi Ta tính hai thành phần đầu phương trình (1.8) sau:   T   2w   - miwi = mi i = miwi t t  wi  t T wi (1.9) =0 Để tính biến dạng dùng phương pháp sai phân hữu hạn (hình 1.2) Bởi độ võng wi dầm có mặt biểu thức biến dạng ba điểm liên tiếp i-1, i i+1 cần tính biến dạng dầm (1.7) cho ba điểm này, x khoảng cách điểm  F1        so  hang  n   Fn   đó: F   ;  0    so  hang  k        1     1         n  1  2      k  ẩn số tốn Trong ví dụ 3.2 chia thành phần tử, ta có: - Ma trận độ cứng phần tử [Ke], sau:  768.0000 - 768.0000  - 768.0000 768.0000   96.0000 - 96.0000 K e    - 96.0000  96.0000  0  0  96.0000 - 96.0000 16.0000 8.0000 - 0.0000 0.0000 96.0000 0 - 96.0000 0  8.0000 - 0.0000 0.0000   16.0000 0.0000 - 0.0000  0.0000 0.0000 0.0000   - 0.0000 0.0000 0.0000  - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu [K(73x73)], khơng trình bày kích thước ma trận lớn - Véc tơ lực nút{F}: Trong ví dụ véc tơ cột 73 dòng, sau: 70                                      F                                          0 0  0  0 0  0 0  0 0  0 0  0  0 1  0 0  0 0  0  0 0  0 0  0  0 0  0 0  0  0 0  0 0  0 0  0 0  0  0 0  0 0  0 0  0  0 0  0 0  71 Giải phương trình (e) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:  K  \ F  Kết chuyển vị, góc xoay nút: W12   W    13   W14      W15   W22      W   W23    W    24   W32      W33   W34      W35   - 0.0010  - 0.0026  - 0.0029   0.0000  0.0065   0.0104  x Pl 0.0065   0.0010  0.0026  0.0029   0.0000  ;  11       12   13      14   15       21       22       23        24    25       35    34       33       32    31    Mômen uốn khung: M11  - 0.0417  M     12  - 0.0104  M13   0.0208      M14   0.0521  M15   0.0833      M 21   0.0833  M  - 0.0417   22    M   M 23   - 0.167  x Pl M  - 0.0417   24    M 25   0.0833      M 35  - 0.0833  M 34  - 0.0521      M 33  - 0.0208  M  0.0104   32    M 31  0.0417  72 0.0000 - 0.0065 - 0.0052 0.0039 0.0208 0.0208 0.0260 0.0000 - 0.0000 - 0.0260 - 0.0208 - 0.0208 - 0.0039 0.0052 0.0065 0.0000              x Pl             73 Lực cắt khung: Q11  - 0.1250  Q     12  - 0.1250  Q13  - 0.1250      Q14  - 0.1250  Q15  - 0.1250      Q 21   0.5000  Q   0.5000   22    Q  Q 23   - 0.5000  x Pl Q  - 0.5000   24    Q 25  - 0.5000      Q 35   0.1250  Q 34   0.1250      Q 33   0.1250  Q   0.1250   32    Q 31   0.1250  Dưới lần đường độ võng biểu đồ moomen uốn cột dầm x 10 -3 X: Y: 0.00293 2.5 X: Y: 0.002604 -0.002 -0.004 1.5 X: Y: 0.0009766 X: Y: -0.00651 -0.006 X: Y: -0.00651 -0.008 0.5 X: Y: -0.5 X: Y: -0.01042 -0.01 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.15a Đường độ võng cột trái 74 -0.012 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.15b Đường độ võng dầm 0.15 0.1 X: 0.08 X: Y: 0.05208 0.06 0.04 X: Y: 0.08333 0.1 Y: 0.08333 X: Y: 0.08333 0.05 X: Y: 0.02083 X: Y: -0.04167 0.02 X: Y: -0.04167 -0.05 X: Y: -0.01042 -0.1 -0.02 X: Y: -0.04167 -0.04 -0.06 -0.2 0.5 1.5 2.5 3.5 x 10 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.15d Biểu đồ mơmen dầm Hình 3.15c Biểu đồ mơmen cột trái X: Y: -0.1667 -0.15 -3 0.06 0.04 X: Y: 0.04167 -0.5 X: Y: -0.0009766 X: Y: 0.01042 0.02 -1 X: Y: -0.02083 -0.02 -1.5 X: Y: -0.05208 -0.04 -2 -0.06 X: Y: -0.002604 -2.5 -3 -0.1 0.5 1.5 2.5 3.5 X: Y: -0.08333 -0.08 X: Y: -0.00293 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.15c Đường độ võng cột phải Hình 3.15d Biểu đồ mơmen cột phải Nhận xét kết trên: Khi chia cột dầm thành phần h=l/1000 ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau: 75 BẢNG SO SÁNH MÔMEN UỐN TẠI CÁC TIẾT DIỆN CỘT VÀ DẦM Các tiết diện cột 1,3 dầm Lời giải số theo phương pháp PTHH Lời giải xác Sai số % Chân cột 0,417 0,417 0,000 Giữa cột 0,0208 0,0208 0,000 Đầu cột -0,0833 -0,0833 0,000 Đầu trái dầm -0,0833 -0,0833 0,000 Giữa dầm 0,0167 0,0167 0,000 Trong ví dụ ta cần rời rạc hóa kết cấu dầm cột thành phần tử ta nhận kết trùng khớp với lời giải xác Khi chia cột dầm thành phần h=l/3 ta nhận kết sau: 3.5 x 10 -3 X: Y: 0.003045 X: Y: 0.002911 2.5 X: Y: 0.001321 1.5 0.5 0 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.20a Đường độ võng cột trái 76 0.08 X: Y: 0.07843 X: Y: 0.05086 0.06 0.04 X: Y: 0.02328 0.02 X: Y: -0.004289 -0.02 X: Y: -0.03186 -0.04 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.20b Biểu đồ mơmen cột trái -0.002 -0.004 -0.006 -0.008 X: Y: -0.009748 X: Y: -0.009748 -0.01 -0.012 -0.014 X: Y: -0.01658 -0.016 -0.018 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.20c Đường độ võng dầm ngang 77 0.15 X: X: Y: 0.07843 0.1 Y: 0.07843 0.05 X: Y: -0.04657 X: Y: -0.04657 -0.05 -0.1 X: Y: -0.1716 -0.15 -0.2 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.20d Biểu đồ mơmen dầm ngang 0.5 x 10 -3 -0.5 X: Y: -0.001321 -1 -1.5 -2 -2.5 X: Y: -0.002911 X: Y: -0.003045 -3 -3.5 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.20e Đường độ võng cột phải 78 0.04 X: 0.02 Y: 0.03186 X: Y: 0.004289 X: Y: -0.02328 -0.02 -0.04 X: Y: -0.05086 -0.06 X: Y: -0.07843 -0.08 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.20f Biểu đồ mơmen cột phải BẢNG SO SÁNH MÔMEN UỐN TẠI CÁC TIẾT DIỆN CỘT VÀ DẦM Các tiết diện cột dầm h=l/1000 (Khơng xét biến dạng trượt) h=l/3 (Có xét biến dạng trượt) Chênh lệch % khơng có xét biến dạng trượt ngang Chân cột 0,0417 0,0318 -23,741 Giữa cột 0,0208 0,0232 11,538 Đầu cột -0,0833 -0,0784 5,882 Đầu trái dầm -0,0833 -0,0784 5,882 Giữa dầm 0,0167 0,0171 2,395 Đầu phải dầm -0,0833 -0,0784 5,882 Khi xét đến biến dạng trượt ngang, tất tiết diện khung thay đổi nội lực tăng giảm, chân cột momen giảm lớn 23,741% 79 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chương, chương đến chương toán khung phẳng có xét đến biến dạng trượt ngangchịu tác dụng tải trọng tĩnh tập trung Tác giả rút kết luận sau: Trình bày phương pháp giải tốn học kết cấu Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn tốn học kết cấu Đã trình bày toán dầm chịu uốn theo lý thuyết dầm Euler Bernoulli Lý thuyết dầm có xét đến biến dạng trượt ngang Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, tác giả xác định nội lực chuyển vị khungsiêu tĩnh chịu tải trọng tập trung có điều kiện biên khác Kết nội lực chuyển vị trùng khớp với kết nhận giải phương pháp có tăng số lượng phần tử lên lớn phần tử.Khi xét đến biến dạng trượt ngang nội lực khung thay đổi tương đối lớn, 23,741% chân ngàm cột khung siêu tĩnh tầng nhịp Khi rời rạc hóa kết cấu với số phần tử nhiều kết tiệm cận tới kết xác nhận từ phương pháp giải tích Đối với tốn khungchịu tải trọng tập trung để đạt nội lực xác cần chia dầm thành phần tử KIẾN NGHỊ Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán khác như: Dầm, khung, dàn, tấm, vỏ Danh mục tài liệu tham khảo 80 I TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp Tính tốn hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [4] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [5] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [6] Đoàn Văn Duẩn (2007), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán ổn định cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [7] Đồn Văn Duẩn (2010), Phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Công nghệ xây dựng, số 05, Qúy IV(Tr30Tr36) [8] Đoàn Văn Duẩn (2011),Nghiên cứu ổn định đàn hồi hệ thanh, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [9] Đồn Văn Duẩn (2012),Phương pháp tính tốn dây mềm, Tạp chí kết cấu cơng nghệ Xây dựng số 09, Qúy II (Tr56-Tr61) [10] Đoàn Văn Duẩn (2014),Phương pháp chuyển vị cưỡng giải toán trị riêng véc tơ riêng,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [11] Đồn Văn Duẩn (2015),Bài tốn học kết cấu dạng tổng quát,Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) [12] Đoàn Văn Duẩn (2015),Phương pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm,Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) 81 [13] Đoàn Văn Duẩn (2015),Tính tốn kết cấu khung chịu uốn phương pháp so sánh,Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) [14] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [15] Vũ Thanh Thủy (2009), Xây dựng toán dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực momen lực cắt Tạp Xõy dựngsố [16] Vũ Thanh Thủy (2009), Dao động tự dầm xét ảnh hưởng lực cắt Tạp Xây dựng, số II TIẾNG PHÁP [17] Robert L’Hermite (1974), Flambage et Stabilité – Le flambage élastique des pièces droites, édition Eyrolles, Paris IIi TIẾNG ANH [18] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr [19] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái lần thứ 5) Stanley Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang [20]Irons, B M and O C Zienkiewicz, “The Isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis”, Royal Aeronautical Society, London, 1968 [20] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [21] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [22] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [23] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) 82 [24] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGrawHill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất NaukaMoscow, 1979), 560 trang [25] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt [26] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements, J ‘Computers @ Structures’,84, trg 476-484 [27] C.A.Brebbia, Techniques Theory J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [28] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [29] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January [30] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on “Numerical and Computer Method in Structural Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [31] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press [32] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London 83 [33] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London [34] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall 84 ... dạng trượt ngang 30 CHƯƠNG 3PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠNĐỐI VỚI KHUNG PHẲNGCHỊU UỐN CÓ XÉT ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG 36 3.1 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 36 3.3 Giải tốn khung có xét. .. thuyết dầm có xét đến biến dạng trượt ngang Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng để giải toán khung phẳng, chịu tác dụng tải trọng tĩnhtập trung Lập chương trình máy tính điện tử cho toán... chuyển vị khung phẳng có xét biến dạng trượt ngang chịu tải trọng tĩnh tập trungbằng phương pháp phần tử hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp giải toán học kết