Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng của tải trọng tập trung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - PHẠM ÁNH DƯƠNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TỐN DẦM ĐƠN CĨ XÉT BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG CHỊU TẢI TRỌNG TẬP TRUNG Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỒN VĂN DUẨN Hải Phòng, 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Phạm Ánh Dương LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Đồn Văn Duẩn tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, chuyên gia ngồi trường Đại học Dân lập Hải phòng tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho luận văn hoàn thiện Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phòng, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả luận văn Phạm Ánh Dương MỞ ĐẦU Bài toán học kết cấu có tầm quan trọng đặc biệt lĩnh vực học cơng trình, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ mặt lý thuyết thực nghiệm Vấn đề nội lực chuyển vị kết cấu nhiều nhà khoa học nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác Tựu chung lại, phương pháp xây dựng toán gồm: Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân phân tố; Phương pháp lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange Các phương pháp giải gồm: Phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, liên hợp; Các phương pháp số gồm: Phương pháp sai phân, Phương pháp biến phân, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân phương pháp phần tử hữu hạn Hiện nay, kết cấu thường sử dụng cơng trình dân dụng cơng nghiệp thường khung cứng túy khung kết hợp với lõi vách cứng Với số lượng phần tử lớn dẫn đến số ẩn toán lớn, vấn đề đặt với tốn dùng phương pháp để tìm lời giải chúng cách nhanh chóng, thuận tiện có hiệu Với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử, đồng thời phần mềm lập trình kết cấu ngày đại, tác giả nhận thấy phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đáp ứng yêu cầu nêu Thực chất phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc hóa thân kết cấu Các phần tử liền kề liên hệ với phương trình cân phương trình liên tục Để giải tốn học kết cấu, tiếp cận phương pháp đường lối trực tiếp, suy diễn vật lý đường lối toán học, suy diễn biến phân Tuy nhiên cách kết thu ma trận (độ cứng độ mềm) Ma trận xây dựng dựa sở cực trị hóa phiếm hàm biểu diễn lượng Trong phạm vi phần tử riêng biệt, hàm chuyển vị xấp xỉ gần theo dạng đó, thơng thường đa thức Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạn nói để xây dựng giải tốn dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng tải trọng phân bố Mục đích nghiên cứu đề tài “Xác định nội lực chuyển vị dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tải trọng tập trung phương pháp phần tử hữu hạn” Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Tìm hiểu giới thiệu phương pháp xây dựng phương pháp giải toán học kết cấu Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli, lý thuyết dầm có xét biến dạng trượt ngang Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải tốn dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tác dụng tải trọng tập trung Lập chương trình máy tính điện tử cho tốn nêu CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU Trong chương trình bày phương pháp truyền thống để xây dựng tốn học nói chung; giới thiệu toán học kết cấu (bài toán tĩnh) phương pháp giải thường dùng Phương pháp xây dựng toán học Bốn phương pháp chung để xây dựng toán học kết cấu trình bày Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa 1.1 Phương pháp xây dựng phương trình vi phân cân phân tố Phương trình vi phân cân xây dựng trực tiếp từ việc xét điều kiện cân lực phân tố tách khỏi kết cấu Trong sức bền vật liệu nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng giả thiết sau: - Trục dầm không bị biến dạng nên khơng có ứng suất - Mặt cắt thẳng góc với trục dầm sau biến dạng phẳng thẳng góc với trục dầm (giả thiết Euler–Bernoulli) - Không xét lực nén thớ theo chiều cao dầm Với giả thiết thứ ba có ứng suất pháp σx ứng suất tiếp σxz, σzx tác dụng lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp σz không Hai giả thiết thứ ba thứ dẫn đến trục dầm có chuyển vị thẳng đứng y(x) gọi đường độ võng hay đường đàn hồi dầm Giả thiết thứ xem chiều dài trục dầm không thay đổi bị võng đòi hỏi độ võng dầm nhỏ so với chiều cao dầm, ymax / h ≤ 1/5 Với giả thiết thứ hai biến dạng trượt ứng suất tiếp gây không xét tính độ võng dầm trình bày Gỉả thiết tỉ lệ h/l ≤ 1/5 Chuyển vị ngang u điểm nằm độ cao z so với trục dầm Biến dạng ứng suất xác định sau TTH Z u h/2 dy dx -h/2 𝑢 = −𝑧 Hình 1.2 Phân tố dầm d2y d2y  x   z ;  xx   Ez dx dx Momen tác dụng lên trục dầm: d2y Ebh3 d y M    Ebz dz   dx 12 dx h / h/2 hay M  EJ đó: Ebh3 d2y EJ  ,   dx 12 (1.7) EJ gọi độ cứng uốn dầm;  độ cong đường đàn hồi gọi biến dạng uốn; b chiều rộng dầm Để đơn giản trình bày, dùng trường hợp dầm có tiết diên chữ nhật Cách tính nội lực momen khơng xét đến biến dạng trượt ứng suất tiếp gây Tổng ứng suất tiếp σzx mặt cắt cho ta lực cắt Q tác dụng lên Q trục dầm: h/2  zx dz h / Biểu thức ứng suất tiếp σzx tích phân trình bày sau Nhờ giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất dầm, ta cần nghiên cứu phương trình cân nội lực M Q tác dụng lên trục dầm Xét phân tố dx trục dầm chịu tác dụng lực M,Q ngoại lực phân bố q, hình 1.3 Chiều dương M, Q q hình vẽ tương ứng với chiều dương độ võng hướng xuống Q q(x) M M + dM o2 Q + dQ dx Hình 1.3 Xét cân phân tố Lấy tổng momen điểm O2, bỏ qua vơ bé bậc cao ta có dM Q  dx (1.8) Lấy tổng hình chiếu lực lên trục thẳng đứng: dQ q 0 dx (1.9) Phương trình (1.8) phương trình liên hệ momen uốn lực cắt, phương trình (1.9) phương trình cân lực cắt Q ngoại lực phân bố q Đó hai phương trình xuất phát (hai phương trình đầu tiên) phương pháp cân phân tố Lấy đạo hàm phương trình (1.8) theo x cộng với phương trình (1.9), ta có phương trình dẫn xuất sau d 2M q0 dx (1.10) Thay M xác định theo (1.7) vào (1.10) nhận phương trình vi phân xác định đường đàn hồi EJ d4y q dx (1.11) Phương trình (1.11) giải với điều kiện biên y đạo hàm đến bậc ba y (4 điều kiện), hai điều kiện biên đầu cuối Các điều kiện biên thường dùng sau a) Liên kết khớp x=0: d2y Chuyển vị không, y x 0  , momen uốn M  , suy dx 0 x 0 b) Liên kết ngàm x=0: Chuyển vị không, y x 0  , góc xoay khơng, dy 0 dx x 0 c) khơng có gối tựa x=0: Momen uốn M  , suy d2y dx  ; lực cắt Q=0, suy x 0 d3y dx 0 x 0 Các điều kiện x=l lấy tương tự Bây tìm hiểu phân bố ứng suất tiếp σzx chiều dày h dầm Trước tiên viết phương trình cân ứng suất trục x sau   xz  xx   hay x z  xz  xx d3y    Ez z x dx Tích phân phương trình theo z: Ez d y   C x  dx  xz Hàm C x  xác định từ điều kiện ứng suất tiếp không mặt mặt C x   h dầm, z   Ta có: Eh d y dx Ứng suất tiếp phân bố mặt cắt dầm có dạng  xz   E d3y 4 z  h  dx Đó hàm parabol bậc hai.Ứng suất tiếp lớn trục dầm (z=0) có giá trị  xz z 0 Eh d y  dx3 Tích phân hàm ứng suất chiều cao dầm nhân với chiều rộng b ta có lực cắt Q tác dụng lên phần trái dầm Ebh3 d y Q 12 dx Ứng suất tiếp trung bình chiều cao dầm bằng:  tb xz Eh d y  12 dx Tỉ lệ ứng suất tiếp max trục dầm ứng suất trung bình α=1.5 1.2 Phương pháp lượng Năng lượng hệ bao gồm động T П Động xác định theo khối lượng vận tốc chuyển động, П bao gồm biến dạng công trường lực, phụ thuộc vào chuyển vị Trường lực lực lực trọng trường Các lực tác dụng lên hệ lực khơng Đối với hệ bảo tồn, lượng khơng đổi T+ П = const (1.12) Do tốc độ thay đổi lượng phải không 𝑑 (T + П ) = 𝑑𝑡 (1.13) Ta xét tốn tĩnh, T=0, П = const (1.14) Thế П biểu thị qua ứng suất nội lực biểu thị qua chuyển vị biến dạng Vì ta có hai ngun lý biến phân lượng sau: Nguyên lý biến dạng cực tiểu Khi phương trình cân biểu thị qua ứng suất nội lực biến dạng biểu thị qua ứng suất nội lực ta có nguyên lý biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884) Nguyên lý phát biểu sau: Trong tất trạng thái cân lực trạng thái cân thực xảy biến dạng cực tiểu Trạng thái cân lực trạng thái mà lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn phương trình cân Ta viết nguyên lý dạng sau: F   Với ràng buộc phương trình cân viết dạng lực Đối với dầm ta có: 𝑙 𝑀2 П= ∫ 𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝐸𝐽 (1.15) 𝑑2𝑀 (1.16) = −𝑞 𝑑𝑥 Nội lực cần tìm mơmen uốn hàm phân bố theo chiều dài dầm M(x) phải thỏa mãn điều kiện liên kết hai đầu (được xác định hai đầu thanh) Đây tốn cực trị có ràng buộc Bằng cách dùng thừa số Lagrange 𝜆(𝑥) đưa tốn khơng ràng buộc sau: 𝑙 𝑙 𝑀2 𝑑2𝑀 П= ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝜆(𝑥) [ + 𝑞] 𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝐸𝐽 𝑑𝑥 (1.17) 𝜆(𝑥) thừa số Lagrange ẩn toán Theo phép tính biến phân từ phiếm hàm (1.17) ta nhận hai phương trình sau (phương trình Euler– Lagrange) 10 BẢNG SO SÁNH CHUYỂN VỊ TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Các tiết diện cột dầm h=l/1000 Không xét biến dạng trượt h=l/3 Có xét biến dạng trượt Chênh lệch % khơng có xét biến dạng trượt ngang 1/4 dầm 0,0026 0,0053 103,84 Giữa dầm 0,0052 0,0107 105,76 Đối với siêu tĩnh có liên kết hai đầu đối xứng nội lực hai trường hợp có xét khơng xét biến dạng trượt ngang nhau, hay nói cách khác việc xét biến dạng trượt không làm thay đổi nội lực dầm siêu tĩnh có tải trọng liên kết đối xứng Nhưng chuyển vị thay đổi lớn, cụ thể tiết diện 1/4 đầu dầm tăng 103% tiết diện dầm tăng 105% Ví dụ 3.2.4 Dầm đầu ngàm - đầu tự do, hình 3.18 Xác định nội lực chuyển vị P dầm chịu lực hình 3.18, độ cứng uốn EJ=const Rời rạc hóa kết cấu dầm thành npt phần tử Các nút phần tử phải SO DO DAM NGANG nút nw1 SO DO NUT DAM 2 3 1 13 14 15 16 17 18 19 trùng với vị trí đặt lực tập trung, hay vị trí thay đổi tiết diện, chiều dài phần SO DO AN CHUYEN VI 10 11 12 nwx1 SO DO AN GOC XOAY tử khác 20 nq1 SO DO AN LUC CAT CHIEU DAI PHAN TU Hình 3.18 Dầm hai đầu ngàm Mỗi phần tử có ẩn 𝑤1 , 𝑤2 , 1 , 2, 𝑞1 , 𝑞2 (lần lượt là, hai ẩn chuyển vị, hai ẩn góc xoay hai ẩn lực cắt hai đầu phần tử) npt phần tử rời rạc tổng cộng có 6xnpt ẩn 75 Nhưng cần đảm bảo liên tục chuyển vị chuyển vị nút cuối phần tử thứ e chuyển vị nút đầu phần tử thứ  e  1 nên số ẩn nhỏ 6xnpt Khi giải ta cần đảm bảo điều kiện liên tục chuyển vị điều kiện liên tục góc xoay xét cách đưa vào điều kiện ràng buộc Ví dụ dầm (ví dụ 3.2.4, hình 3.18a) ta chia thành phần tử (hình 3.18b) Khi chia dầm thành phần tử số nút dầm 5, thứ tự từ trái sang phải [1, 2, 3, 4, 5] (hình 3.18b), số ẩn chuyển vị nw1=3, thứ tự từ trái sang phải [1, 2, 4] (hình 3.18c), ẩn chuyển vị đầu trái dầm khơng, ẩn góc xoay nwx1=8, thứ tự từ trái sang phải [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12] (hình 3.18d), ẩn lực cắt nq1=8, thứ tự từ trái sang phải [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20] (hình 3.18e) Như vậy, tổng cộng số ẩn 20 ẩn < 4x6=24 ẩn Gọi ma trận nw1 ma trận chuyển vị có kích thước nw1(npt, 2) ma trận có npt hàng cột chứa ẩn số chuyển vị hai đầu nút phần tử (hình 3.18c) Các phần dầm: nw1(1, :)  0 nw1( 2, :)  1 nw1(3, :)  2 nw1( 4, :)  3 1; 2 ; 3; 4 0 1 nw1   2  3 1 2  3  4 Gọi ma trận nwx1 ma trận chuyển vị góc xoay có kích thước nwx1(npt, 2) ma trận có n pt hàng cột chứa ẩn số góc xoay nút phần tử (hình 3.18d) nwx1(1, :)  5 6; nwx1( 2, :)  7 8 ; nwx1(3, :)  9 10; nwx1( 4, :)  11 12 5  7   nwx1   10 9   11 12  Gọi ma trận nq1 ma trận lực cắt có kích thước nq1(npt, 2) ma trận có n pt hàng cột chứa ẩn số lực cắt hai đầu nút phần tử (hình 3.18e) 76 nq1(1, :)  13 nq1( 2, :)  15 nq1(3, :)  17 nq1( 4, :)  19 14; 16 ; 18; 20 13 14  15 16   nq1   17 18    19 20 Sau biết ẩn số (chính) thực dầm ta xây dựng độ cứng tổng thể dầm (có nhiều cách ghép nối phần tử khác nhau, tùy vào trình độ lập trình người nên tác giả khơng trình bày chi tiết cách ghép nối phần tử lại để ma trận độ cứng tồn dầm xem code mơ đun chương trình tác giả) Nếu tốn có nw1 ẩn số chuyển vị thẳng dầm nwx1 ẩn số góc xoay dầm, nq1, ẩn số lực cắt dầm ma trận độ cứng tổng thể dầm K có kích thước (nxn), K  n,n  với n=(nw1+nwx1+nq1) Như ví dụ 3.2.4, n=20 Bây xét điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện liên tục góc xoay phần tử viết sau: Qi 1   dyi Qi   dy      i 1   0 GF  nut1  dx GF  nut  dx (a) Đối với dầm, ta có:   dy11 Q11  Q    dy     12  12     GF  nut  dx GF  nut1   dx    dy12 Q12    dy13 Q13   2       0   GF  nut  dx GF  nut1   dx    dy13 Q13   dy14 Q14   3       0    GF  nut  dx GF  nut1   dx 1  (b) Gọi k góc xoay nút phần tử trước, k góc xoay nút phần tử sau ta có hệ số ma trận độ cứng K: 2 (i   k) ; k  n  i,k    x x 2 (i   k) k  k1 ,n  i   ; k  k ,n  i    x x k  n  i,k1   (d) (e) 77 Nếu có hai phần tử có điều kiện góc xoay, có n pt phần tử có  2n pt  1 điều kiện liên tục góc xoay phần tử Điều kiện biên viết sau: - Tại đầu trái dầm ngàm nên có góc xoay không:  dy11 Q11        dx GF  nut1   4   (f) - Tại đầu phải dầm đầu tự nên có mơmen lực cắt khơng:   d y14  dQ14   5     0 dx GF dx   nut   (g)   d y14  d 2Q14    6    0 GF dx  nut    dx (h) Trong k(k=16) ẩn số tốn (có k ẩn số ), tổng số ẩn số tốn lúc (n+k), ma trận độ cứng phần tử lúc phải thêm k dòng k cột kích thước ma trận độ cứng K  n  k,n  k  Chẳng hạn ví dụ này, ta có n=20, k=6 tổng số ẩn toán n+k=20+6=26 ẩn Trong trường hợp ta xác định kích thước ma trận độ cứng tổng thể là: K[26x26] Như cuối ta thiết lập hệ phương trình: K   F  (h) Hệ phương trình (h) hệ phương trình phương pháp phần tử hữu hạn, hệ phương trình (h) gồm 26 phương trình, 26 ẩn 78  F1      so  hang  n     Fn   đó: F   ;      so  hang  k        1     1         n  1  2      k  ẩn số tốn Trong ví dụ 3.2.1 chia thành phần tử, ta có: - Ma trận độ cứng phần tử [Ke(6x6)], sau: h=l/1000 K e  768.0000  - 768.0000   96.0000   96.0000    - 768.0000 768.0000 - 96.0000 - 96.0000 0 96.0000 - 96.0000 16.0000 8.0000 96.0000 - 96.0000 8.0000 16.0000 - 0.0000 0.0000 0.0000 - 0.0000       0.0000   0.0000  0 0 - 0.0000 0.0000 0.0000 - 0.0000 0.0000 0.0000 - Ma trận độ cứng toàn dầm [K]: Ghép nối ma trận độ cứng phần tử [Ke] vào hệ tọa độ chung, ta ma trận độ cứng tổng thể toàn kết cấu [K(26x26)], khơng trình bày kích thước ma trận q lớn - Véc tơ lực nút{F}: Trong ví dụ véc tơ cột 26 dòng, sau: 79                    F                       0 0  0  1 0  0 0  0 0  0 0  0   0 0  0 0  0 0  0 0  0 0  0  0  Giải phương trình (h) ta nhận được:   K 1F  Theo ngơn ngữ lập trình Matlab ta viết:   K  \ F  80 Kết chuyển vị, góc xoay nút: W12   W   W    13    W14   W15   Q11   Q    12   Q  Q13    Q    14   Q15   11      0.0133   12       13    0.0449  xq l    0.0850  14   15   0.1276 ; 0.0000 0.2188   0.3750  x ql 0.4688   0.5000  1.0000 1.0000  1.0000 x ql 1.5000   Mômen uốn dầm:  M 11  - 1.0000   M  - 0.7500 12      M   M13   - 0.5000 x Pl  M  - 0.2500  14        0.0000 M   15   Dưới lần đường độ võng biểu đồ moomen uốn dầm X: 0.9 Y: X: Y: -0.02865 -0.05 -0.1 X: Y: 0.75 0.8 X: Y: -0.1042 0.7 0.6 -0.15 -0.2 X: Y: 0.5 0.5 X: Y: -0.2109 0.4 X: Y: 0.25 0.3 -0.25 0.2 -0.3 -0.35 X: Y: -0.3333 0.5 1.5 2.5 Hình 3.19a Đường độ võng 3.5 0.1 0 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.19b Biểu đồ mơmen 81 Nhận xét kết trên: Khi h=l/1000 (không kể đến ảnh hưởng biến dạng trượt) chia dầm thành phần tử ta nhận kết mơmen hồn tồn trùng khớp lực cắt gần trùng với kết theo lời giải giải tích Khi h=l/3 (kể đến ảnh hưởng biến dạng trượt ngang) chia dầm thành phần tử ta nhận kết sau, so sánh với kết theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng đây: Dưới lần đường độ võng biểu đồ mômen uốn cột dầm h=l/3 -0.05 X: Y: -0.0342 X: Y: -0.1153 -0.1 -0.15 X: Y: -0.2276 -0.2 -0.25 -0.3 X: Y: -0.3542 -0.35 -0.4 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.20a Đường độ võng 82 1.2 X: Y: 0.75 0.8 X: Y: 0.5 0.6 0.4 X: Y: 0.25 0.2 0 0.5 1.5 2.5 3.5 Hình 3.20b Biểu đồ mơmen BẢNG SO SÁNH ĐỘ VÕNG TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Các tiết diện cột dầm h=l/1000 Không xét biến dạng trượt h=l/3 Có xét biến dạng trượt Chênh lệch % khơng có xét biến dạng trượt ngang 1/4 dầm 0,0286 0,0342 19,580 Giữa dầm 0,1042 0,1153 10,652 3/4 dầm 0,2109 0,2276 7,918 Đầu tự 0,3333 0,3542 6,270 Đối với toán tĩnh định nội lực hai trường hợp có xét khơng xét biến dạng trượt nhau, hay nói cách khác việc xét biến dạng trượt không làm thay đổi nội lực dầm tĩnh định Nhưng độ võng dầm thay đổi tương đối lớn, thay đổi tới 19,580% tiết diện 1/4 nhịp đầu dầm 83 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chương, chương đến chương toán dầm chịu uốn có xét đến biến dạng trượt ngang Tác giả rút kết luận sau: Trình bày đường lối xây dựng tốn học nói chung có tốn học kết cấu Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn tốn học kết cấu Đã trình bày toán dầm chịu uốn theo lý thuyết dầm Euler - Bernoulli Xây dựng phương trình vi phân cân dầm chịu tải trọng phân bố Trình bày lý thuyết dầm có xét đến biến dạng trượt ngang Bằng phương pháp phần tử hữu hạn, tác giả xác định nội lực chuyển vị dầm đơn chịu tải trọng tập trung có điều kiện biên khác Kết nội lực chuyển vị trùng khớp với kết nhận giải phương pháp có ta rời rạc hóa kết cấu thành nhiều phần tử Khi rời rạc hóa kết cấu với số phần tử nhiều kết tiệm cận tới kết xác nhận từ phương pháp giải tích Đối với tốn dầm chịu tải trọng tập trung để đạt chuyển vị xác cần chia dầm thành từ đến phần tử, để tìm nội lực xác cần chia dầm thành từ đến 16 phần tử Khi xét đến biến dạng trượt ngang nội lực tốn tĩnh định khơng thay đổi, độ võng thay đổi lớn, ví dụ 3.2.4 độ võng thay đổi tới 36%, nội lực toán siêu tĩnh có hai đầu liên kết đối xứng, tải trọng đối xứng không thay đổi, nội lực tốn siêu tĩnh có liên kết hai đầu khơng đối xứng thay đổi lớn, chẳng hạn ví dụ 3.2.2 (h=l/3) mômen 1/4 nhịp đầu dầm tăng lên gần lần (91%) so với trường hợp không xét biến dạng trượt ngang (h=l/1000) Đối với tốn siêu tĩnh hai đầu liên kết khơng đối xứng nội lực hai trường hợp có xét không xét biến dạng trượt ngang thay đổi lớn, chẳng hạn xét biến dạng trượt ngang (h=l/3) nội lực 1/4 nhịp dầm tăng 1,5 lần (ở 56%) so với không xét biến dạng trượt ngang (h=l/1000) 84 Đối với siêu tĩnh có liên kết hai đầu đối xứng nội lực hai trường hợp có xét khơng xét biến dạng trượt ngang nhau, hay nói cách khác việc xét biến dạng trượt không làm thay đổi nội lực dầm siêu tĩnh có tải trọng liên kết đối xứng Nhưng chuyển vị thay đổi lớn, cụ thể với dầm hai đầu ngàm, tiết diện 1/4 đầu dầm tăng 103% tiết diện dầm tăng 105% KIẾN NGHỊ Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán khác như: Dầm, khung, dàn, tấm, vỏ 85 Danh mục tài liệu tham khảo I TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp Tính tốn hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [4] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [5] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [6] Đoàn Văn Duẩn (2007), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss tốn ổn định cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [7] Đoàn Văn Duẩn (2010), Phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định uốn dọc thanh, Tạp chí kết cấu Cơng nghệ xây dựng, số 05, Qúy IV(Tr30-Tr36) [8] Đồn Văn Duẩn (2011), Nghiên cứu ổn định đàn hồi hệ thanh, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [9] Đồn Văn Duẩn (2012), Phương pháp tính tốn dây mềm, Tạp chí kết cấu cơng nghệ Xây dựng số 09, Qúy II (Tr56-Tr61) [10] Đoàn Văn Duẩn (2014), Phương pháp chuyển vị cưỡng giải toán trị riêng véc tơ riêng, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr82-Tr84) [11] Đồn Văn Duẩn (2015), Bài tốn học kết cấu dạng tổng quát, Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61) [12] Đoàn Văn Duẩn (2015), Phương pháp so sánh nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ dầm, Tạp chí Xây dựng số 11 (Tr56-Tr58) [13] Đồn Văn Duẩn (2015), Tính tốn kết cấu khung chịu uốn phương pháp so sánh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr62-Tr64) 86 [14] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [15] Nguyễn Thị Liên (2006), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss tốn động lực học cơng trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [16] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Người dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II TIẾNG PHÁP [17] Robert L’Hermite (1974), Flambage et Stabilité – Le flambage élastique des pièces droites, édition Eyrolles, Paris III TIẾNG ANH [18] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr [19] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái lần thứ 5) Stanley Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang [20] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [21] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [22] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [23] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [24] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) 87 [25] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1979), 560 trang [26] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt [27] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements, J ‘Computers @ Structures’,84, trg 476-484 [28] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [29] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [30] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January [31] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on “Numerical and Computer Method in Structural Mechanics” University of Illinois, Urbana September Academic Press [32] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in “The Mathematical Foundations of the Finite Element Method” P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press [33] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf “Recent Advances in Stress Analysis” Royal Aeronautical Society London [34] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London 88 [35] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall 89 ... có xét biến dạng trượt ngang Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải tốn dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang, chịu tác dụng tải trọng tập trung Lập chương trình máy tính điện tử cho toán. .. tốn dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tác dụng tải trọng phân bố Mục đích nghiên cứu đề tài “Xác định nội lực chuyển vị dầm đơn có xét đến biến dạng trượt ngang chịu tải trọng tập trung. .. ngày đại, tác giả nhận thấy phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đáp ứng yêu cầu nêu Thực chất phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc hóa thân kết cấu Các phần tử liền kề liên hệ với phương trình