Phân tích dẻo tấm mỏng Kirchhoff bằng phương pháp trực tiếp có xét đến tính ngẫu nhiên của giới hạn chảy của vật liệu

Bài viết đề xuất việc tính toán giới hạn và thích nghi của tấm Kirchhoff dưới các điều kiện ngẫu nhiên của giới hạn chảy. Thiết kế theo độ tin cậy của kết cấu bằng kỹ thuật Chance constrained programming là rất hiệu quả nếu nó được xây dựng như một bài toán tối ưu tất định tương đương.

KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG PHÂN TÍCH DẺO TẤM MỎNG KIRCHHOFF BẰNG PHƢƠNG PHÁP TRỰC TIẾP CÓ XÉT ĐẾN TÍNH NGẪU NHIÊN CỦA GIỚI HẠN CHẢY CỦA VẬT LIỆU PLASTIC ANALYSIS OF KIRCHHOFF PLATE UNDER RANDOM CONDITION OF STRENGTH BY DIRECT METHOD ThS NGÔ QUANG HƢNG Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Tóm tắt: Bài báo đề xuất việc tính tốn giới hạn tối ưu hóa với biến ngẫu nhiên (Stochastic thích nghi Kirchhoff điều kiện ngẫu programming) Có nhiều mơ hình để giải lớp nhiên giới hạn chảy Thiết kế theo độ tin cậy toán này, độc giả tìm thấy cơng kết trình [15-23] mà Chance constrained programming cấu kỹ thuật Chance constrained programming hiệu xây dựng toán tối ưu tất định tương đương (CCOPT) mơ hình hiệu số CCOPT Sikorski Borkowski [29] Abstract: A new formulation to calculate the đề xuất dùng để giải tốn tính lực giới hạn kết shakedown limit load of Kirchhoff plates under cấu kể đến tính ngẫu nhiên tải trọng giới stochastic conditions of strength is developed Direct hạn chảy vật liệu Tuy nghiên cứu structural reliability design by chance constrained giới hạn số toán kết cấu đơn giản programming is based on the required failure dầm, khung, dàn sử dụng toán tối ưu tuyến probabilities, which is an effective approach of tính để giải Trần Staat [28] xây dựng giải stochastic programming if it can be formulated as an tốn phân tích giới hạn thích nghi kết cấu equivalent deterministic optimization problem điều kiện ngẫu nhiên độ cứng tải trọng cho Mở đầu toán lớn 2D,3D sử dụng mơ hình CCOPT Tấm phận kết cấu quan trọng, sử dụng rộng rãi thực tế sàn xây dựng phận khí Tính chất chịu uốn phụ thuộc vào chiều dài Lý thuyết cổ điển chia thành nhóm: Tấm mỏng với biến dạng nhỏ, mỏng với biến dạng lớn dày Tấm mỏng với lý thuyết biến dạng nhỏ gọi Kirchhoff, áp dụng với có chiều dài nhịp lớn 10 lần chiều dày Phân tích trạng thái giới hạn chịu uốn nghiên cứu lời giải giải tích lời giải số nhiều cơng trình chẳng hạn [1-13] Do giới hạn phương pháp giải tích, hướng tiếp cận số phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp không lưới (Meshfree method), phương pháp phần tử đẳng hình học (IGA) đề xuất [16,14] Bài báo xuất phát từ nghiên cứu Sikorski [29] Tran [1,28], phát triển để giải tốn phân tích trạng thái giới hạn Kirchhoff điều kiện ngẫu nhiên giới hạn chảy (có kể đến yếu tố ngẫu nhiên mô men dẻo tấm) Phạm vi khảo sát Kirchhoff chịu uốn với tải trọng tác dụng vng góc với mặt tấm, sử dụng vật liệu thép coi đồng nhất, đẳng hướng, làm việc theo mơ hình đàn hồi dẻo Bài báo sử dụng phương pháp trực tiếp phân tích giới hạn thích ứng (Limit and shakedown analysis) Đây nhánh học tính tốn, đóng vai trò quan trọng thiết kế xây dựng khí Nội dung phương pháp trực tiếp hướng đến việc xác định khả chịu lực kết cấu làm việc giới hạn đàn hồi Lý thuyết phân tích trạng thái giới hạn cho phép xác định cường độ lực lớn mà kết cấu chịu kết cấu chịu trình Lý thuyết phân tích trạng thái giới hạn phát biểu chất tải coi chất tải đơn giản (Limit analysis) tốn dạng tốn tối ưu hóa toán chất tải phức tạp (Shakedown analysis) học Nếu giới hạn chảy biến ngẫu nhiên, Phương pháp trực tiếp hiệu phải xem toán toán khảo sát trạng thái cực hạn, trạng thái phá hủy mà Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2021 35 KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG khơng quan tâm đến trình chi tiết xảy kết cấu Phƣơng pháp cận toán phân tích giới hạn thích ứng chịu uốn trọng shakedown [1,25,28] cách giải toán tối ưu hóa tốn học: m      Dint (χ ) d  p m p in  χ   χ   w k 1  s.t.:  w  on  m   m E ( x, Pˆk )χ T d   k 1  Các phương pháp phân tích trạng thái giới hạn dựa định lý phá hủy dẻo kết cấu làm từ vật liệu đàn hồi dẻo vật liệu cứng dẻo Chúng ta có hai cách tiếp cận tốn phân tích trạng thái giới hạn, phương pháp tĩnh (phương pháp cận dưới) phương pháp động (phương pháp cận trên) Phương pháp cận dẫn đến việc giải tốn tối ưu hóa nhằm cực đại hàm mục tiêu phương pháp cận dẫn đến việc giải toán  hữu hạn u  w w / x w / y m   χ ik Bi u i  1, NG  k 1 s.t.:  m NG  wi χ ikT mikE   k 1 i 1 phân tích thích ứng kết cấu 2D, 3D [25-26] Trong nghiên cứu này, chúng tơi sử dụng định lý Cơng trình sử dụng tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises Năng lượng tiêu tán đơn vị diện tích thiết lập hàm vận tốc biến dạng:  0 1 Q  P    0  Ở đây: 1 Năng lượng tiêu tán dẻo miền (1) (2)  biểu diễn sau: Dint (χ )   h /2    h /2 đó: (3) m0 - mơ men giới hạn chảy đơn vị chiều dài mặt cắt Chúng giới thiệu trường độ cong dẻo khả dĩ, phải thỏa mãn biểu thức sau:    m NG  T Prob   wi m0 ( ) χ ik Qχ ik       k 1 i 1   m  s.t.:  χ ik Bi u i  1, NG  k 1  m NG T E  wi χ ik mik   k 1 i 1 χ p   χ p   w (7) m0 () đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân bố chuẩn với  giá trị  độ lệch chuẩn kỹ thuật CCOPT tốn (7) chuyển thành toán tương đương sau số phép biến đổi: m NG     wi ( i   i ) χ ikT Qχ ik k 1 i 1  i  1, NG  χ ik Bi u  k 1 s.t.:  m NG  wi χ ikT m ikE   k 1 i 1 m m (4) k 1 Dựa định lý Koiter lý thuyết toán tối ưu, tìm cận hệ số tải 36 Nếu giới hạn chảy vật liệu ngẫu nhiên, mơ men dẻo đại lượng không chắn hàm mục tiêu tốn (6) biến ngẫu nhiên Ta xây dựng tốn sau: trung bình  (6) Phƣơng pháp cận toán phân tích giới hạn thích ứng chịu uốn giới hạn chảy vật liệu đƣợc coi đại lƣợng ngẫu nhiên Khi mô men dẻo Dp dzd  m0  χT Qχ d NG k 1 i 1 phương pháp cận thuật toán điểm để Koiter để xây dựng toán theo phương pháp cận , toán (5) m kết cấu, chẳng hạn Simon Weichert sử dụng chuẩn chảy dẻo Liyushin T     wi m0 χ ikT Qχ ik tốn phân tích giới hạn thích nghi tích giới hạn thích nghi kết cấu vỏ với tiêu  rời rạc hóa phần tử hữu hạn sau: cơng trình nghiên cứu sử dụng hai hướng tiếp cận Trần et al [27] dùng phương pháp cận phân (5) Chúng ta ký hiệu vector biến nút phần tử tối ưu hóa nhằm cực tiểu hàm mục tiêu Nhiều Dp   εT Qε A k 1 (8) Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2021 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Chúng ta đưa vào vài ký hiệu để tiện Thuật toán cận cho tốn phân tích shakedown Kirchhoff k ik  wi Q1/2 χ ik , 1/2 Ở đây: Q Q 1/2 tính tốn: t ik   Q1/2  mikE , T Bˆ i  wi Q1/2Bi , (9)  I, Q   Q1/2  Q1/2 T (10) Thay (9) vào (8) thu toán gọn gàng cho cận lực limit shakedown: m NG     ( i   i ) k Tik k ik k 1 i 1  ˆ  k ik  Bi u   k 1  NG m  k Tik t ik    i 1 k 1 m s.t.: i  1, NG (a) (11) (b) Sử dụng phương pháp Penalty để khử ràng buộc (11) dẫn đến hàm Penalty sau: T   c m   m  m  i  i  T ˆ ˆ u  Fp    e k ik k ik    k ik  Bi u    k ik  B i  , i 1  k  k  k        đó: c - thơng số phạt ( penalty parameter, lớn) NG (12) Sử dụng phương pháp thừa số Lagrange để đưa toán (11) thành tốn khơng ràng buộc:  NG m  L  Fp     k Tik t ik  1  i 1 k 1  (13) Điều kiện tối ưu Karush–Kuhn–Tucker optimality conditions (KKT optimality conditions) đưa điều kiện cho lời giải cực tiểu địa phương toán (13)  L   k ik  m     cDM eik  c   k ik  Bi u    t ik    Yi  k ik   k 1  k Tik k ik     m L  T    c B  i   k ik  B i u    k 1   u Ne m  L   eTik t ik      i 1 k 1  (a) (b) (14) (c ) Sử dụng phương pháp Newton để giải hệ t  0,01 m Vật liệu thép, coi đồng phương trình phi tuyến (14) ta thu nhất, đẳng hướng Giới hạn chảy vật liệu làm vectors du, dk ik đại lượng ngẫu nhiên với giá trị trung bình d thực hướng phù hợp dẫn đến việc giảm hàm mục tiêu E( )  250MPa độ lệch chuẩn   0,1E( 0) Giả sử độ tin cậy chọn   0,9999 , tính hệ (13) số tải trọng giới hạn Newton mà theo hướng với bước Xét toán với điều kiện liên kết biên Các ví dụ số Chúng ta khảo sát hình vng chịu tải Tấm có cạnh liên kết khớp L  1,0m , chiều dày Tấm có cạnh liên kết ngàm phân bố q, chiều dài Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2021 37 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG y y L/2 L/2 x x q q L/2 L/2 q L/2 L/2 L/2 q x t L/2 x t z z Hình Tấm cạnh có liên kết khớp chịu tải trọng phân bố q Do tính đối xứng, ta rời rạc hóa phần tư 256 phần tử DKQ (Discrete Kirchhoff Quadrilateral) Bảng 1-2 trình bày kết số lời giải so sánh với cơng trình tác giả khác Các kết chuẩn hóa với m0 / L Lời giải xác với trường hợp cách cạnh bị ngàm Fox đưa tài liệu [9] 42,851 m0 So sánh qL2 với lời giải giải tích lời giải số tác giả khác, kết thu báo khơng Hình Tấm cạnh có liên kết ngàm chịu tải trọng phân bố q chênh lệch nhiều trường hợp mô men dẻo đại lượng tất định Điều thể đắn thuật toán Từ bảng thấy coi mô men dẻo đại lượng ngẫu nhiên phân bố chuẩn hệ số tải trọng giới hạn giảm đáng kể Với độ tin cậy 99,99% tỷ số độ lệch chuẩn với giá trị trung bình 10% hệ số tải trọng giảm từ 25,74 xuống 15,82 (cho liên kết tựa đơn) Với chịu liên kết ngàm, kết tính tốn cho trường hợp mô men dẻo cố định ngẫu nhiên tương ứng 45,76 28,66 Bảng Hệ số tải trọng giới hạn trường hợp cạnh có liên kết tựa đơn giản Tên tác giả Hodge et al.[6] Phương pháp cận Phương pháp cận 24,86 26,54 Capsoni et al [8] 25,02 Le et al [5] 25,01 Tran et al [14] 25,04 Mô men dẻo tất định 25,04 25,74 Kết báo 15,82 Phân bố chuẩn Bảng Hệ số tải trọng giới hạn trường hợp cạnh có liên kết ngàm Tên tác giả Fox [9] Phương pháp cận Phương pháp cận 42,851 42,851 Morley [7] Hodge et al [6] 42,88 42,86 49,25 À Capsoni et al [8] 45,29 Le et al [5] 45,29 Tran et al [14] 45,06 Mô men dẻo tất định 45,06 45,76 Kết báo 38 28,66 Phân bố chuẩn Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2021 KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình Sự hội tụ hệ số tải trọng giới hạn Kết luận: Bài báo đề xuất việc sử dụng phương smoothed finite element method K Spiliopoulos, D pháp cận kết hợp với mơ hình CCOPT để xây Weichert eds Limit states of materials and structures: dựng giải thành công tốn tính giá trị tải trọng Direct methods Springer, Dordrecht, 101-117 giới hạn mỏng Kirchhoff chịu uốn kể điều kiện T.N Trần, R Kreißig, M Staat (2009), Probabilistic ngẫu nhiên giới hạn chảy (yếu tố ngẫu nhiên limit and shakedown analysis of thin plates and shells mô men dẻo tấm), coi mô men dẻo đại lượng Structural Safety, 31(1), 1-18 ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân bố chuẩn C.V Le, H Nguyen-Xuan, H Nguyen-Dang (2010), Thuật tốn cơng trình dùng để tính Upper and lower bound limit analysis of plates using hệ số tải trọng cho phân tích giới hạn thích ứng FEM and second-order cone programming Comput trường hợp: Mô men dẻo tất định mô Struct., 88(1-2), 65-73 C.V Le, M Gilbert, H Askes (2009), Limit analysis of men dẻo hàm phân bố chuẩn CCOPT mơ hình hiệu đưa toán tối ưu biến ngẫu nhiên thành toán tương đương với biến cố định sau giải với thuật toán thường dùng toán tối ưu hóa tốn học plates using the EFG method and second-order cone programming Int J Numer Meth Engng, 78, 1532-1552 T Belytschko, P.G Hodge (1968), Numerical methods for the limit analysis of plates Trans ASME, J Appl Mech., 35, 796-801 C.T Morley (1965), The ultimate bending strength of reinforced concrete slabs PhD thesis, Cambridge TÀI LIỆU THAM KHẢO University N.T Trần, T.N Trần, H.G Matthies, G.E Stavroulakis, M Staat (2016), Shakedown analysis of plate bending analysis under stochastic uncertainty by chance constrained programming M Papadrakakis, V Papadopoulos, G Stefanou, V Plevris eds ECCOMAS Congress 2016, VII European Congress L Capsoni, A Corradi (1999), Limit analysis of platesa finite element formulation Struct Eng Mech., 8(4), 325-341 E.N Fox (1974), Limit analysis for plates: the exact solution for a clamped square plate of isotropic homogeneous material obeying the square yield on Computational Methods in Applied Sciences and criteron and loaded by uniform pressure Math Phys Engineering Crete Island, Greece, 5–10 June 2016, Eng Sci., 277(1265), 121-155 Vol 2, pp 3007-3019 10 R.H Wood (1969), A partial failure of limit analysis for T.N Trần, M Staat (2014), Shakedown analysis of Reissner-Mindlin plates using the Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2021 edge-based slabs, and the consequences for future research Mag.Concr Res., 21, 79-90 39 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 11 W.C McCarthy, L.A Traina (1987), A plate bending finite element model with a limit analysis capacity Math Model., 8(Supplement C),486-492 43, no 1, pp 220–225 22 A Prepoka (1995), Stochastic Programming Springer 12 K Krabbenhoft, L Damkilde (2002), Lower bound limit analysis of slabs with nonlinear yield criteria Comput Struct., 80(27-30), 2043–2057 13 S Timoshenko, S Woinowsky-Krieger (1959), Theory of plates and shells 2nd Edition McGraw Hill Netherlands 23 A Charnes, W Cooper, G.H Symonds (1958), “Cost horzons and certainty equivalence: An approach in stochastic programming of heating oil,” Manage Sci., vol 4, pp 235–263 14 T.N Tran (2011), A dual algorithm for shakedown analysis of plate bending Numer Methods Eng., 86(7), 862-875 15 J Björnberg and M Diehl (2006), “Approximate robust dynamic programming and robustly stable MPC,” 24 A Charnes and W.W Cooper (1959), “ChanceConstrained Programming,” Manage Sci., vol 6, no 1, pp 73–79 25 J.W Simon and D Weichert (2012), “Shakedown analysis Automatica, vol 42, no 5, pp 777–782 16 L Zéphyr, P Lang, B F Lamond, and P Côté (2017), “Approximate stochastic dynamic programming for with multidimensional loading spaces,” Comput Mech., vol 49, no 4, pp 477–485 26 J.W Simon and D Weichert (2012), “Shakedown hydroelectric production planning,” Eur J Oper Res., analysis vol 262, no 2, pp 586–601 kinematical hardening,” Int J Solids Struct., vol 49, 17 K Fukushima and Y Waki (2013), “A polyhedral approximation approach to concave of engineering structures with limited pp 2177–2186 numerical 27 T.N Tran, R Kreißig, D.K Vu, and M Staat (2008), dynamic programming,” J Econ Dyn Control, vol 37, “Upper bound limit and shakedown analysis of shells no 11, pp 2322–2335 using the exact Ilyushin yield surface,” Comput 18 B Srinivasan, S Palanki, and D Bonvin (2003), “Dynamic optimization of batch processes: I Characterization of the nominal solution,” Comput Chem Eng., vol 27, no 1, pp 1–26 19 S Rasoulian and L A Ricardez-Sandoval, “Worstcase and Distributional Robustness Analysis of a Thin Film Deposition Process,” IFAC-PapersOnLine, vol 48, no 8, pp 20 M Riis and K.A Andersen (2005), “Applying the minimax criterion in stochastic recourse programs,” Eur J Oper Res., vol 165, no 3, pp 569–584 21 H Borsenberger, G Sandou, and P Dessante (2010), “Unit Commitment with Production Cost Uncertainty, a 40 Recourse Programming Method,” IFAC Proc Vol., vol Struct., vol 86, no 17–18, pp 1683–1695 28 Tran Ngoc Trinh, Staat, M.(2021): Direct plastic structural design under random strength and random load by chance constrained programming Eur J Mech A Solids; 85(1): art no 104106 29 K.A Sikorski and A Borkowski (1990), “Ultimate load analysis by stochastic programming,” in Mathematical Programming Methods in Strutural Plasticity, D.L Smith, Ed., Springer, Wien, New York, pp.403–424 Ngày nhận bài: 06/5/2021 Ngày nhận sửa: 03/6/2021 Ngày chấp nhận đăng: 03/6/2021 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 2/2021 ... Các phương pháp phân tích trạng thái giới hạn dựa định lý phá hủy dẻo kết cấu làm từ vật liệu đàn hồi dẻo vật liệu cứng dẻo Chúng ta có hai cách tiếp cận tốn phân tích trạng thái giới hạn, phương. .. 36 Nếu giới hạn chảy vật liệu ngẫu nhiên, mơ men dẻo đại lượng khơng chắn hàm mục tiêu tốn (6) biến ngẫu nhiên Ta xây dựng tốn sau: trung bình  (6) Phƣơng pháp cận tốn phân tích giới hạn thích... hạn, phương pháp tĩnh (phương pháp cận dưới) phương pháp động (phương pháp cận trên) Phương pháp cận dẫn đến việc giải toán tối ưu hóa nhằm cực đại hàm mục tiêu phương pháp cận dẫn đến việc giải