Phân tích giới hạn và thích nghi các tấm mỏng chịu uốn bằng thuật toán đối ngẫu

Bài viết Phân tích giới hạn và thích nghi các tấm mỏng chịu uốn bằng thuật toán đối ngẫu trình bày thuật toán đối ngẫu của việc phân tích giới hạn và thích nghi các tấm mỏng chịu uốn. Dựa trên tiêu chuẩn chảy dẻo Von Mises và phép tối ưu hóa phi tuyến, bài báo sẽ phát triển một thuật toán đối ngẫu để tính toán đồng thời cận trên và cận dưới của giới hạn phá hoại dẻo và giới hạn thích nghi.

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC nNgày nhận bài: 27/5/2022 nNgày sửa bài: 10/6/2022 nNgày chấp nhận đăng: 12/7/2022 Phân tích giới hạn thích nghi mỏng chịu uốn thuật toán đối ngẫu Shakedown analysis of bending plate by a dual algorithm > GIÁP VĂN TẤN, TRẦN THANH NGỌC, NGUYỄN THỊ THÙY LIÊN Khoa Xây dựng - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội TĨM TẮT: Bài báo trình bày thuật tốn đối ngẫu việc phân tích giới hạn thích nghi mỏng chịu uốn Dựa tiêu chuẩn chảy dẻo Von Mises phép tối ưu hóa phi tuyến, báo phát triển thuật tốn đối ngẫu để tính tốn đồng thời cận cận giới hạn phá hoại dẻo giới hạn thích nghi Các phần tử mỏng chịu uốn bốn nút (phần tử DKQ) sử dụng để rời rạc hóa kết cấu Cuối báo khảo sát số thí dụ cụ thể để thấy rõ ưu điểm bật phương pháp hội tụ thuật toán độ xác kết Từ khóa: Phương pháp số; chịu uốn; phân tích giới hạn; phân tích thích nghi; đối ngẫu; lập trình phi tuyến ABSTRACT: In this paper, the duality between the lower and the upper bound shakedown analyses of bending plate is presented Based on the duality theory, the shakedown load multiplier formulated by static theorem is proved actually to be the dual form of the shakedown load multiplier formulated by kinematic theorem A dual algorithm based upon the von Mises yield criterion and a non-linear optimization procedure is then developed to compute simultaneously both the upper and lower bounds of the plastic collapse limit and the shakedown limit The DKQ bending plate element is used to discrete the problem field Numerical examples are presented to show the excellent convergence and accuracy of solutions obtained by the present method Key Words: Numerical method; bending plate; limit analysis; shakedown analysis; duality; non-linear programming GIỚI THIỆU Việc xác định giới hạn phá hoại dẻo giới hạn thích nghi cho kết cấu cơng trình chịu tải trọng biến thiên theo thời gian vấn đề quan tâm lớn cho nhiều nhà thiết kế Trong phân tích dẻo, có phương pháp bước phương pháp trực tiếp để xác định khả chịu lực kết cấu 84 8.2022 ISSN 2734-9888 Đối với phương pháp bước cần thiết phải biết mơ hình vật liệu trình chất tải Dựa vào mơ hình đàn dẻo hay cứng dẻo lý tưởng vật liệu, lý thuyết phân tích giới hạn giúp đánh giá khả chịu tải kết cấu tác dụng tải trọng Ở giới hạn này, kết cấu sụp đổ chảy dẻo số phận hay tồn kết cấu Những đóng góp quan trọng cho phát triển lý thuyết phân tích giới hạn hồn chỉnh cơng thức hai định lý cận - cận Prager [1] công thức thay sử dụng vật liệu cứng-dẻo Hill [2] Các ứng dụng lý thuyết phân tích giới hạn học tính tốn sau biết đến rộng rãi, số nghiên cứu Hodge [3-5], Massonnet Save [6], Chakrabarty [7], Chen Han [8], Lubliner [9] Tuy nhiên, phức tạp kết cấu nên có cơng cụ để giải tốn phân tích giới hạn phương pháp bước giới hạn việc giải toán đơn giản Phương pháp số, từ ví dụ đơn giản hai chiều đến ứng dụng phức tạp ba chiều, thể khả tuyệt vời Dựa tối ưu hóa tốn học phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp trực tiếp coi nhanh phương pháp bước việc xác định lời giải thích nghi Phương pháp ngày tỏ cơng cụ mạnh mẽ nhờ có phát triển nhanh chóng cơng nghệ máy tính thập kỷ qua Trong số nhà nghiên cứu góp phần vào phát triển phương pháp trực tiếp phải kể đến Biron Hodge [10], Hodge Belytschko [11], Maier [12], Nguyen Dang Hung [13], Casciaro Cascini [14], Morelle [15] Nghiên cứu phân tích thích nghi kết cấu tập trung vào phát triển cơng cụ tính tốn hiệu dựa vào phương pháp cận cận Phương pháp cận dựa định lý cận Koiter để xác định cực tiểu tải trọng phá hoại Việc tính tốn vùng nguy hiểm để tính tốn miền tải trọng thích nghi cách giả sử cấu phá hủy động Ngược lại, phương pháp cận dựa định lý cận Melan để xác định cực đại tải trọng an tồn, việc tính tốn vùng an toàn kết cấu cách giả sử trường ứng suất tĩnh để xác định hệ số tải trọng lớn để kết cấu xảy thích nghi Tính đối ngẫu hai cận chứng minh kết hợp hai phương pháp, gồm hai điểm chính: (1) véc tơ tốc độ biến dạng tỷ lệ thuận với gradient hàm chảy dẻo (2) hệ số dẻo không âm điểm mà hàm chảy dẻo khơng Quy hoạch tuyến tính phi tuyến áp dụng để giải toán phân tích giới hạn thích nghi kết cấu Quy hoạch tuyến tính sử dụng rộng rãi phân tích giới hạn phương pháp gần cho phép giải toán phức tạp Việc sử dụng quy hoạch tuyến tính kéo theo giá trị gần hàm chảy dẻo phi tuyến tuyến tính đoạn hay hàm chảy dẻo thân phải tuyến tính (ví dụ tiêu chuẩn chảy dẻo Tresca) Overton [16] cho thấy phương pháp Newton - Raphson giải hiệu tốn phân tích giới hạn Theo hướng này, thuật toán xây dựng nhằm sử dụng trực tiếp hàm chảy dẻo Von Mises hay hàm chảy dẻo phi tuyến khác Căn vào định lý cận đinh lý cận trên, phương pháp số khác xây dựng để phân tích kết cấu phức tạp mà với kết cấu công cụ giải tích khơng thể giải Thực tế việc sử dụng phương pháp bước để giải tốn phân tích thích nghi cồng kềnh tốn thời gian Do phương pháp trực tiếp cần thiết Với hỗ trợ phương pháp phần tử hữu hạn, tốn tìm lời giải thích nghi mơ tả chuyển đổi thành toán quy hoạch toán học Dựa tuyến tính đoạn phương pháp miền chảy dẻo, quy hoạch tuyến tính đề xuất Maier [12] Cách tiếp cận sau hồn thiện Corradi Zavelani [17] Belystchko [18] áp dụng quy hoạch phi tuyến để rời rạc hóa định lý cận tiến hành nghiên cứu ví dụ cụ thể cho hình vng với lỗ trịn trung tâm chịu tải trọng hai trục trạng thái ứng suất phẳng PHÂN TÍCH THÍCH NGHI CỦA TẤM MỎNG CHỊU UỐN 2.1 Các phương trình lý thuyết mỏng (Lý thuyết Kirchoff) Xét có diện tích bề mặt kín A với điều kiện biên tĩnh A điều kiện biên động Au Đối với mỏng, biến dạng trượt bỏ qua, quan hệ động học viết sau:  xx  yy 2 xy ]T  w   [ κ véc tơ thành phần độ cong ngang Toán tử 2 định nghĩa bằng: (1) w vận tốc    max  , (5a) Ràng buộc: (2 )T ρ(x)  A  (5b)   f ( mE (x, Pˆk )  ρ(x))   k  1, m A (5c) Bằng việc đưa tồn tốn vào phương pháp phần tử hữu hạn áp dụng phương pháp tích phân Gauss-Legendre, phương trình (5) viết lại sau:    max  , (6a) Ràng buộc:  NG  w BiT ρi  i   i 1  E i 1, NG  k 1, m  f (mik  ρi )  0  (6b) (6c) Bi ma trận biến dạng, wi trọng số điểm Gauss thứ i NG tổng số điểm Gauss toàn kết cấu 2.3 Thiết lập biểu thức cận Ở đây, giới thiệu chu kỳ làm việc trường độ cong dẻo κ p Tại đỉnh tải trọng, tốc độ cong dẻo κ kp khơng thiết phải tương thích thời điểm suốt chu kỳ (thời gian) chất tải, độ cong dẻo tích lũy tồn chu kỳ phải thỏa mãn điều kiện tương thích động học, nghĩa là: m   κ p  κ kp  2w (7) k 1 T  2 2 2  2   22  xy   x y Hệ thức cân viết là: (2 )T m  p  (2) T m=[mxx myy mxy] véc tơ mô men uốn mô men xoắn, p tải trọng ngang Gọi t bề dày  y giới hạn chảy phương trình mặt dẻo theo tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises viết sau: (3)  f (m) mTPm  mp  m p   yt / mô men giới hạn dẻo đơn vị chiều dài tiết diện   0    1 0 P      0      trường mô men dư không phụ thuộc vào thời gian ρ tĩnh để trường mômen thực tế m=mE+ ρ không vi phạm điều kiện chảy dẻo điểm kết cấu Dựa định lý này, tìm thấy trường mơ men dư tĩnh để có miền tải trọng lớn L đảm bảo (3) Hệ số tải trọng thích nghi tìm   nói chung thấp cận tốn thích nghi xem tốn tìm cực đại quy hoạch phi tuyến (4) 2.2 Thiết lập biểu thức cận Xét miền tải trọng đa diện lồi L tải trọng đường đặc biệt gồm có tất tải trọng điểm Pˆk (k = 1, , m) L Một điểm A miền xác định toán xác định véc tơ biến số x véc tơ mơ men đàn hồi giả mE Định lý thích nghi cận phát biểu thích nghi xảy tồn Định lý cận phát biểu kết cấu thích nghi tồn trường vận tốc động mà cường độ tải trọng bên nhỏ so với cường độ nội lực điều bỏ qua phạm vi toán Dựa định lý này, lời giải cận   xem tìm giá trị cực tiểu toán quy hoạch phi tuyến (chỉ số p bỏ qua đơn giản)    m  k 1 A (8a) D p (κ k )dA, m   κ  κk 2w A  k 1 Ràng buộc:   w = Au m   mE ( x, Pk )T κk dA    k 1 A  (8b) (8c)  (8d) cường độ tiêu tán dẻo đơn vị diện tích là: D p (κ k )  m p κ kTQκ k 4 3  với Q =Ρ -1   3  0  (9)   (10) 0  1  ISSN 2734-9888 8.2022 85 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Ta biểu thị tham số nút phần tử hữu hạn T q  [w w/x w/y ] Bằng cách sử dụng phương pháp tích phân Gauss-Legendre, dạng rời rạc hóa (8) viết sau:    m NG  w m i κikT Qκik , p (11a) k i   (11b)  (11c) Lưu ý điều kiện ràng buộc thứ hai (8c) bỏ qua tự động thỏa mãn hàm dạng Khi m =1, công thức (6) (11) trở thành tốn phân tích giới hạn TÍNH ĐỐI NGẪU CỦA CẬN TRÊN VÀ CẬN DƯỚI Trong phần này, ta giới thiệu cận (11) toán gốc cận (6) toán đối ngẫu Để đơn giản, ta đưa vào số ký hiệu sau: 1/2  1/2 T E ) mik , Βˆ i wiQ1/2Βi w iQ κik , t ik  (Q (12) (13) Q1/ 2Q 1/ Ι  , (Q1/ )TQ1/ Q Thay (12) vào (11), lời giải cận viết lại sau: m NG  m    k ikT k ik p , (14a) k i  Ràng buộc:  m ˆ q =0 i  k ik  Β i  k 1  NG m  k ikT tik  0  i k  = 1, NG, (14b)  (14c) Người ta chứng minh trường hợp phân tích giới hạn, tồn hình thức đối ngẫu (14), xem ví dụ Heitzer Staat [19], Andersen cộng [20] Vu cộng [21] mở rộng lý thuyết cho trường hợp phân tích thích nghi Trong phần này, có mở rộng lý thuyết họ để phân tích thích nghi trình bày thơng qua hai mệnh đề (Tham khảo chi tiết [27]) THUẬT TOÁN ĐỐI NGẪU PHÂN TÍCH THÍCH NGHI CỦA TẤM Một vấn đề khó khăn tốn tối ưu hóa hàm mục tiêu phương trình (14a) khơng phải khả vi điểm Để khắc phục, ta thêm vào D p (κ k ) số dương nhỏ, cụ thể  02 Một kỹ thuật hiệu cho tốn tối ưu hóa quy mơ lớn, áp dụng thành cơng [21, 22, 23], sử dụng phương pháp hàm phạt để khử ràng buộc đầu (14b) kết hợp với phương pháp nhân tử Lagrange để khử ràng buộc (14c) Phương trình hàm phạt viết sau: P  m   (m p k 1  NG  i  m T   m  c ˆ q   k  Β ˆ q  , (15) k ikT k ik   02 )   k ik  Β i ik i     k 1   k 1     c tham số phạt c>>1 Hàm Lagrange viết sau:  NG m k   L P    i 86 k 1 8.2022 T ik t ik   1   ISSN 2734-9888   k 1 (17)   Sử dụng phương pháp Newton-Raphson để giải điều kiện tối ưu Karush Kuhn Tucker (KKT) (16) sau số biến đổi, ta có: (18) Kdq  Kq  f1  f2 (  d),  m  κik  Biq i = 1,NG ,  Ràng buộc:  k 1  m NG  wi κ ikT m ikE    k i k ik m   Chúng ta biểu thị β  c   k ik  Βˆ iq  i (16) K NG Βˆ E 1 ˆ i Βi , T i i 1 NG m T 1 i i i  k Βˆ E M f1   f2  NG m Βˆ E M T i 1 i i 1 1 ik (βi  tik ) ik 1 ik (19) k ikT k ik , k T k   ik k ikT k ik   02 tik k  Mik mpI+(βi   tik ) k ikT , k T k   I Ei =  c M 1 ik (20) ik ik m k ikT k ik   02 k Phương trình (18) xem phương trình phương pháp phần tử hữu hạn phân tích đàn hồi, K q = f , với ma trận độ cứng toàn hệ K Ma trận Ei1 đóng vai trị ma trận đàn hồi Giải hệ phương pháp tương tự với việc tính tốn hệ đàn hồi đảm bảo ràng buộc (8c) thỏa mãn tự động Ta có  , tốc độ cong k ik βi sau: véctơ số gia tham số nút q d q dq  dq (  d), dk ik = (dk ik )1 +(dk ik )2 (  d),  dβi (dβi )1  (dβi )2 (  d), (21) dq q  K -1f1, dq  K -1f , (dk ik )1  Mik1 k ikT k ik   02 (dβi )1  Mik1  mpk ik  k ikT k ik   02 βi  ,   (dk ik )2  Mik1 k ikT k ik   02 (dβi )2  Mik1 k ikT k ik   02 tik , (dβi )1=  Ei1 m M 1  ik m pk ik k = (dβi )2  Ei1Βˆ idq  Ei1 Và (  d)  1    Ei1  Βˆ idq   m M k NG   1 ik  m k   k 1 (22) ik  Βˆ iq    βi ,   k ikT k ik   02 tik ,   t [k (dk   t (dk ) m i  k NG m T ik i  k ik T ik ik )1] (23) ik Các véctơ dq , dk ik ,dβi d số gia Newton đảm bảo giá trị hàm mục tiêu giảm biên (14) tăng biên (6) Dựa vào (21) điều chỉnh véctơ dq , dk ik ,dβi d Lặp lại bước đưa chúng đến tập hợp ổn định dq , dk ,dβ d thỏa mãn tất ik i điều kiện (14) (6) Thơng tin chi tiết thuật tốn đối ngẫu xem [23] MỘT SỐ VÍ DỤ Trong phần này, nhóm tác giả trình bày số ví dụ số để kiểm tra hiệu thuật tốn phân tích thích nghi thuật Phương pháp Hodge cộng [11] Lubliner [9] Capsoni cộng [24] Le cộng sư [25] 50 48 Load factors (Hê sô tai trong) toán đối ngẫu nghiên cứu Một số chịu tải trọng phân bố tải trọng tập trung xem xét Sử dụng phần tử bốn cạnh bốn nút DKQ để rời rạc hóa kết cấu Trong tất ví dụ cụ thể, kết cấu làm vật liệu đàn hồi-dẻo lý tưởng Kết so sánh với kết cơng bố 5.1 Phân tích giới hạn hình vng chịu tải trọng phân bố đều: Xét hình vng chịu tải trọng phân bố p bề mặt Do tính đối xứng nên cần mơ hình hóa phần tư 256 phần tử DKQ, xem hình 1, ta xét cho trường hợp L=10m chiều dày t=0.5m Đối với hai trường hợp vuông bốn cạnh liên kết đơn giản vuông bốn cạnh liên kết ngàm, cận gần với sau sáu lần lặp hình 2, tức trị số nghiệm dẻo đạt thời gian tính tốn có sáu bước đàn hồi tuyến tính Bảng I cho thấy kết số cho hai trường hợp, vuông bốn cạnh liên kết đơn giản vuông bốn cạnh liên kết ngàm Kết so sánh với kết tìm theo phép giải tích Hodge Lubliner theo phương pháp số Capsoni [24] cách sử dụng phần tử C1 Le [25] cách sử dụng phương pháp EFG Các kết chuẩn hóa với mp/L2 L chiều dài Nó xem kết phù hợp với kết thu tác giả khác Đối với hai trường hợp, cận xác định Lợi theo phương pháp cận tính tốn đồng thời khơng địi hỏi tính tốn đặc biệt chúng trùng khớp đảm bảo tính xác phương pháp Bảng I Tải trọng giới hạn hình vng: giới hạn trên/dưới (plL2/mp) 46 44 42 Upper bound (Cân trên) Lower bound (Cân duoi) 40 38 36 34 32 30 28 Iteration (Buoc lap) 27.71/23.81 25.02/- 25.01/- 25.04/25.04 Ngàm 49.25/42.86 52.01/- 45.29/- 45.07/- 45.16/45.16 (a) Tấm tròn tựa đơn giản 2Re (b)Tấm tròn ngàm p 2Ri L 2Ri p L 11 p p p 2Re L 10 Hình Tấm hình vng ngàm: Sự hội tụ lời giải 5.2 Phân tích giới hạn hình trịn hình vành khăn chịu tải trọng phân bố Xét hình trịn hình vành khăn với mép ngồi tựa đơn giản ngàm chịu tải trọng phân bố p bề mặt (hình 3a, b, c, d) 2Re 26.54/24.86 (a) Tấm vuông tựa đơn giản Hiện Tựa đơn giản p L (c) Tấm vành khăn tựa đơn giản 2Re (d) Tấm vành khăn ngàm (b) Tấm vng ngàm (c) Mơ hình hóa phần tử DKQ 1/4 vng Hình Lưới FE kích thước hình học hình vng (e) Mơ hình hóa phần tử DKQ 1/4 trịn vành khăn Hình Lưới FE kích thước hình học tròn vành khăn Gọi Re Ri bán kính lỗ trung tâm, với trịn Ri=0 Do tính đối xứng, phần tư mơ hình hóa 400 phần tử, xem hình 3e, xét cho trường hợp Re=10m Kết số tóm tắt bảng II tỉ số Ri/Re, dựa vào dạng không thứ nguyên  ( Re2  Ri2 ) pl / m p Bảng II cho thấy ISSN 2734-9888 8.2022 87 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC L/2 p p Cinquini cộng [26] 20.47 20.47 Cinquini cộng [26] 39.43 0.1 19.50 19.50 38.42 39.09 0.2 18.05 18.05 37.72 38.34 0.3 16.80 16.80 38.19 38.81 0.4 15.79 15.79 40.01 40.68 0.5 14.97 14.97 43.58 44.34 0.6 14.31 14.31 49.82 50.74 0.7 13.76 13.76 61.09 62.30 0.8 13.29 13.29 84.54 85.40 Hiện Hiện 39.63 0.9 12.90 12.90 156.59 158.08 Hình hình cho thấy hội tụ cận cận hình trịn tựa đơn giản tròn ngàm Hai giới hạn gần dừng sau bốn lần lặp tối ưu hóa (đối với tròn tựa đơn giản) sáu lần lặp tối ưu hóa (đối với trịn ngàm) Điều cho thấy phương pháp hiệu thời gian tính tốn so với phương pháp phân tích bước 22 L/2 L/2 Ngàm L/2 Tựa đơn giản Ri Re 5.3 Tấm hình chữ L chịu tải trọng phân bố L/2 lời giải số hoàn toàn phù hợp với lời giải giải tích Cinquini Zanon [26] với trường hợp tựa đơn giản Với trường hợp ngàm, kết nghiên cứu phù hợp với kết [26] (sai lệch tối đa 1.98%) Bảng II Tải trọng giới hạn hình trịn hình vành khăn ( (Re2  Ri2 ) pl / mp ) L/2 L/2 (a) Tấm chữ L tựa đơn giản L/2 (b) Tấm chữ L ngàm (c) Mơ hình hóa phần tử DKQ 1/4 chữ L Hình Lưới FE kích thước hình học chữ L Load factors (Hê sô tai trong) 21 Xét hình chữ L chịu tải trọng phân bố p (hình 6.a, b) Tải trọng p khơng đổi phân tích giới hạn, thay đổi phạm vi p [0, pmax ] phân tích thích nghi Bài tốn 20 Upper bound (Cân trên) Lower bound (Cân duoi) 19 18 17 16 15 14 Iteration (Buoc lap) 10 nghiên cứu [27] theo phương pháp cận phương pháp EFG Ở đây, mơ hình hóa 768 phần tử DKQ hình 6.c Hình cho thấy hội tụ cận cận trường hợp chữ L tựa đơn giản Hai cận gần dừng sau 6-7 lần lặp tối ưu hóa Lời giải cho phân tích thích nghi phân tích giới hạn trình bày bảng III chuẩn hóa với mp/L2 Những khác nhỏ cận cận tồn hình chữ L xuất ứng suất tập trung góc lõm 8.5 Hình Tấm trịn tựa đơn giản: Sự hội tụ lời giải Load factors (Hê sô tai trong) 44 Load factors (Hê sô tai trong) 42 40 38 Upper bound (Cân trên) Lower bound (Cân duoi) 36 34 32 30 28 Iteration (Buoc lap) Hình Tấm tròn ngàm: Sự hội tụ lời giải 88 7.5 6.5 5.5 4.5 3.5 26 24 Upper bound - Limit Lower bound - Limit Upper bound - Shakedown Lower bound – Shakedown 8.2022 ISSN 2734-9888 10 11 12 13 3 10 Iteration (Buoc lap) Hình Tấm hình chữ L tựa đơn giản: Sự hội tụ lời giải cận cận Bảng III Tải trọng Giới hạn hình chữ L: cận trên/dưới (plL2/mp) Tựa đơn giản Phương pháp Giới hạn Thich nghi Le cộng [25] Hiện Ngàm Giới hạn Thich nghi 6.298/- -/- -/- -/- 6.191/6.044 4.284/4.284 15.85/15.63 15.85/15.63 KẾT LUẬN Bài báo trình bày thuật tốn phân tích thích nghi giới hạn mỏng chịu uốn, phương pháp đối ngẫu Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mơ hình chuyển vị tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises, nghiên cứu cho thấy lời giải cận thực đối ngẫu lời giải cận Trong thuật toán này, phương pháp hàm phạt phương pháp Lagrange sử dụng đồng thời để khử ràng buộc Phương pháp Newton-Raphson sử dụng để giải hệ điều kiện KKT Các ví dụ cụ thể nghiên cứu chứng tỏ hội tụ xác tính đắn nghiệm thu từ thuật toán Sự hội tụ thuật toán đối ngẫu chứng minh lý thuyết ví dụ minh họa Các ví dụ cụ thể thể khả tính tốn cao: cận cận hội tụ nhanh chóng đến nghiệm xác với sai số nhỏ Mặc dù khơng có chứng đưa để đảm bảo cận tăng lên sau lần lặp, đặc điểm thú vị mà thấy tất ví dụ khảo sát Đặc điểm cho phép chấm dứt q trình tính tốn trước giảm chi phí tính tốn Sai số nhỏ cận cận cho thấy thuật toán thực đáng tin cậy TÀI LIỆU THAM KHẢO Prager W., Hodge P G Jr (1951) Theory of perfectly plastic solids Wiley, New York Hill R (1952) On discontinuous plastic states, with special reference to localized necking in thin sheets J Mech Phys Solids, Vol 1, pp 19-30 Hodge P G Jr (1959) Plastic analysis of structures, McGRAW-HILL book company, INC Hodge P G Jr (1961) The Mises yield condition for rotationally symmetric shells Quarterly of Applied Mathematics, Vol XVIII, No 4, 305-311 Hodge P G Jr (1963) Limit analysis of Rotationally symmetric plates and shells Prentice Hall, Englewood, New Jersey Massonnet C., Save M (1976) Calcul plastique des constructions, Vol 1, 3ème édition, Nelissen Chakrabarty J (1988) Theory of plasticity McGraw-Hill international editions Chen, W F., Han D J (1988) Plasticity of structural engineers SpringerVerlag, New York Inc Lubliner J (1990) Plasticity theory Macmillan publishing company 10 Biron A., Hodge P G (1967) Limit analysis of rotationally symmetric shells under central boss loadings by a numerical method Journal of Applied Mechanics, Volume 34, pp 644-650 11 Hodge PG, Belytschko T Numerical methods for the limit analysis of plates Transactions of ASME, Journal of Applied Mechanics 1968; 35:796-801 12 Maier G (1970) A matrix structural theory of picewise-linear plasticity with interacting yield planes Meccanica 7, pp 51-66 13 Nguyen Dang Hung (1976) Direct limit analysis via rigid-plastic element computer methods Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 8, pp 81-116 14 Casciaro R., Cascini L (1982) A mixed formulation and mixed finite elements for limit analysis Int J Num Meth in Eng., Vol 18, pp 211-243 15 Morelle P (1989) Analyse duale de l'adaptation plastique des structures par la méthode des éléments finis et la programmation mathématique Thèse de Doctorat, Université de Liège, Belgique 16 Overton M L (1984) Numerical solution of a model problem from collapse load analysis In: J.L Lions and R Glowinski, eds., Computing Methods in Applied Sciences and Engineering VI (edited by Glowinski R and Lions J L.), North-Holland, pp 421-437 17 Corradi L., Zavelani A (1974) A linear programming approach to shakedown analysis of structures Comp Meth Appl Mech Eng., Vol 3, pp 37-53 18 Belystchko (1972) Plane stress shakedown analysis by finite elements Int J Mech Sci., Vol 14, pp 619-625 19 Heitzer M, Staat M FEM-computation of load carrying capacity of highly loaded passive components by direct methods Nuclear Engineering and Design 1999; 193(3):349-358 20 Andersen KD, Christiansen E, Conn AR, Overton ML An efficient primal-dual interior-point method for minimizing a sum of Euclidean norms SIAM Journal on Scientific Computing 2000; 22:243-262 21 Vu DK, Yan AM, Nguyen DH A dual form for discretized kinematic formulation in shakedown analysis International Journal of Solids and Structures 2004; 41:267-277 22 Vu DK, Yan AM, Nguyen DH A primal-dual algorithm for shakedown analysis of structure Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 2004; 193:4663-4674 23 Tran TN, Liu GR, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T An edge-based smoothed finite element method for primal-dual shakedown analysis of structures International Journal for Numerical Methods in Engineering 2010; 82:917-938 24 Capsoni A, Corradi L Limit analysis of plates-a finite element formulation Structural Engineering and Mechanics 1999; 8:325-341 25 Le VC, Gilbert M, Askes H Limit analysis of plates using the EFG method and second-order cone programming International Journal for Numerical Methods in Engineering 2009; 78:1532-1552 26 Cinquini C, Zanon P Limit analysis of circular and annular plates IngenieurArchiv 1985; 55:157-175 27 Tran TN, A dual algorithm for shakedown analysis of plate bending International Journal for Numerical Methods in Engineering 2011 ISSN 2734-9888 8.2022 89 ... Giới hạn Thich nghi 6.298/- -/- -/- -/- 6.191/6.044 4.284/4.284 15.85/15.63 15.85/15.63 KẾT LUẬN Bài báo trình bày thuật tốn phân tích thích nghi giới hạn mỏng chịu uốn, phương pháp đối ngẫu. .. (6) (11) trở thành tốn phân tích giới hạn TÍNH ĐỐI NGẪU CỦA CẬN TRÊN VÀ CẬN DƯỚI Trong phần này, ta giới thiệu cận (11) toán gốc cận (6) tốn đối ngẫu Để đơn giản, ta đưa vào số ký hiệu sau: 1/2... phần này, có mở rộng lý thuyết họ để phân tích thích nghi trình bày thơng qua hai mệnh đề (Tham khảo chi tiết [27]) THUẬT TỐN ĐỐI NGẪU PHÂN TÍCH THÍCH NGHI CỦA TẤM Một vấn đề khó khăn tốn tối ưu