Phân tích giới hạn tấm mindlin bằng phần tử CS DSG3 và chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai (SOCP)

TRƢƠNG ANH TUẤN PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ CHƢƠNG TRÌNH TỐI ƢU HĨA HÌNH NĨN BẬC HAI (SOCP) : 60 58 20 TP HỒ 03 năm 2013 CƠNG TRÌNH ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cán hƣớng dẫn khoa học: Cán hƣớng dẫn 1: TS NGUYỄN THỜI TRUNG Cán hƣớng dẫn 2: TS LƢƠNG VĂN HẢI Cán chấm nhận xét 1: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH Cán chấm nhận xét 2: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƢƠNG Luận văn thạc sĩ đƣợc bảo vệ Trƣờng Đại học Bách Khoa, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh ngày 01 tháng 02 năm 2013 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƢƠNG TS NGUYỄN THỜI TRUNG TS NGUYỄN TRUNG KIÊN TS HỒ ĐỨC DUY Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn Trƣởng khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn đƣợc sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG -i- ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc - NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: TRƢƠNG ANH TUẤN MSHV: 10210256 Ngày, tháng, năm sinh: 08/10/1984 Nơi sinh: Bình Định Chuyên ngành: Mã số: 60 58 20 I TÊN ĐỀ TÀI PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ CHƢƠNG TRÌNH TỐI ƢU HĨA HÌNH NĨN BẬC HAI (SOCP) II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG Hiểu rõ sở lý thuyết phần tử CS-DSG3, chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai (SOCP) lý thuyết phân tích giới hạn Mindlin Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để lập trình tính tốn tốn phân tích giới hạn Mindlin phần tử CS-DSG3 SOCP Xử lý bình luận kết Đánh giá chung hội tụ kết vừa tìm đƣợc so với kết tham khảo III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 02/07/2012 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 30/11/2012 V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƢỚNG DẪN CBHD1: TS NGUYỄN THỜI TRUNG CBHD2: TS LƢƠNG VĂN HẢI Tp Hồ Chí Minh, ngày… tháng… năm… CÁN BỘ HƢỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) CBHD1 TRƢỞNG BAN QLCN (Họ tên chữ ký) CBHD2 TRƢỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG (Họ tên chữ ký) -ii- LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới hai ngƣời Thầy đáng kính, TS Nguyễn Thời Trung TS Lƣơng Văn Hải Nhờ bảo, hƣớng dẫn tận tình từ hai Thầy, tơi đƣợc tiếp thêm nhiều động lực, niềm tin sức mạnh để thực đề tài Bên cạnh đó, điều hai Thầy truyền dạy cịn giúp tơi thêm tự tin, vững vàng đƣờng nghiên cứu ứng dụng khoa học kỹ thuật sau Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trƣờng Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh truyền dạy kiến thức q giá cho tơi, kiến thức thiếu đƣờng nghiên cứu khoa học nghiệp sau Ngồi ra, tơi chân thành cảm ơn hỗ trợ anh chị Thạc sĩ trƣớc, đặc biệt từ ThS Phùng Văn Phúc Bên cạnh đó, cảm ơn anh chị, bạn bè học viên cao học giúp đỡ, chia sẻ kiến thức, giúp tơi hồn thành đề tài Luận văn thạc sĩ hoàn thành thời gian quy định với nỗ lực thân, nhiên khơng có thiếu sót Kính mong q Thầy Cơ dẫn thêm để bổ sung kiến thức hồn thiện thân Xin chân thành cảm ơn! Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2012 Trƣơng Anh Tuấn -iii- TÓM TẮT LUẬN VĂN Luận văn trình bày phƣơng pháp số kết hợp nhằm phân tích giới hạn động học Mindlin dựa tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises Phƣơng pháp khe cắt rời rạc trơn dựa phần tử (cell-based smoothed discrete shear gap method – CSDSG3) đƣợc kết hợp với chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai (second-order cone optimization programming – SOCP) để xác định tải giới hạn cận Mindlin Bài tốn phân tích giới hạn Mindlin đƣợc chuyển thành tốn tìm cực tiểu hàm lƣợng hao tán dẻo chịu ràng buộc điều kiện biên công ngoại đơn vị Bài tốn cực tiểu sau đƣợc biến đổi thành dạng phù hợp để dễ dàng áp dụng chƣơng trình SOCP tìm nghiệm tối ƣu Các kết số phƣơng pháp đƣợc đề xuất cung cấp hệ số tải giới hạn cận đáng tin cậy cho mỏng dày -iv- ABSTRACT The thesis presents a numerical procedure for kinematic limit analysis of Mindlin plate governed by von Mises criterion The cell-based smoothed discrete shear gap method (CS-DSG3) is combined with a second-order cone optimization programming (SOCP) for determining the upper bound limit load of the Mindlin plates The limit analysis problem of Mindlin plates is formulated by minimizing the dissipation power subjected to a set of constraints of boundary conditions and unitary external work This minimization problem is then transformed into an explicit form suitable for the solution using the SOCP The numerical results of some benchmark problems show that the proposal procedure can provide the reliable upper bound collapse multipliers for the Mindlin plates -v- LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực dƣới hƣớng dẫn TS Nguyễn Thời Trung TS Lƣơng Văn Hải Các kết trích dẫn luận văn thật Tôi xin chịu trách nhiệm công việc thực Tp.Hồ Chí Minh, ngày…tháng…năm 2012 Trƣơng Anh Tuấn -vi- MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i LỜI CẢM ƠN .ii TÓM TẮT LUẬN VĂN iii ABSTRACT iv LỜI CAM ĐOAN v MỤC LỤC vi BẢNG LIỆT KÊ HÌNH VẼ MINH HỌA viii BẢNG LIỆT KÊ BẢNG BIỂU xi MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xii CHƢƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu .1 1.2 Tình hình nghiên cứu .3 1.2.1 Các cơng trình nghiên cứu nƣớc 1.2.2 Các cơng trình nghiên cứu nƣớc 1.3 Phạm vi, phƣơng pháp nghiên cứu mục tiêu luận văn .6 1.3.1 Mục tiêu luận văn 1.3.2 Phạm vi phƣơng pháp nghiên cứu .6 1.4 Nội dung luận văn CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 2.1 Phân loại Kirchhoff Reissener-Mindlin [23] .8 2.1.1 Một số giả thuyết công thức lý thuyết Kirchhoff (CPT) [23, 26] 2.1.2 Một số giả thuyết công thức lý thuyết Reissner-Mindlin (FSDT) [23, 26] 2.2 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn cho Mindlin 11 -vii- 2.2.1 Dạng yếu phƣơng trình chủ đạo Mindlin [16] 11 2.2.2 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn toán Mindlin [16] 12 2.3 Các bƣớc phân tích giới hạn phƣơng pháp phần tử hữu hạn 14 2.4 Dạng chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai (SOCP) [59, 60, 66] 16 CHƢƠNG PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM MINDLIN BẰNG PHẦN TỬ CS-DSG3 VÀ CHƢƠNG TRÌNH HÌNH NĨN BẬC HAI (SOCP) 17 3.1 Phân tích giới hạn Mindlin – Cơng thức động học [37] .17 3.2 Công thức động học phần tử DSG3 cho Mindlin [16, 17] .20 3.3 Công thức động học phần tử CS-DSG3 cho Mindlin 23 3.4 Dạng tƣờng minh công thức động học phần tử CS-DSG3 28 CHƢƠNG CÁC VÍ DỤ SỐ 33 4.1 Tấm hình vng 33 4.2 Tấm hình chữ nhật .39 4.3 Tấm hình thoi .42 4.4 Tấm hình trịn .46 4.5 Tấm hình tam giác 49 CHƢƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52 5.1 Kết luận 52 5.2 Kiến nghị 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 PHỤ LỤC 61 Phụ lục A Thuyết minh chi tiết công thức (3.57) 61 Phụ lục B Một số đoạn mã lập trình Matlab 63 MỘT SỐ KẾT QUẢ CÔNG BỐ ĐẠT ĐƢỢC TỪ LUẬN VĂN 67 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 69 -viii- BẢNG LIỆT KÊ HÌNH VẼ MINH HỌA Hình 2.1 Chuyển vị góc xoay lý thuyết [23] Hình 2.2 Tấm Mindlin chiều dƣơng quy ƣớc chuyển vị w hai góc xoay  x ,  y 11 Hình 2.3 Lƣu đồ thuật giải tốn nhằm phân tích giới hạn Mindlin phần tử CS-DSG3 chƣơng trình tối ƣu hóa hình nón bậc hai (SOCP) 15 Hình 3.1 Tấm Mindlin chiều dƣơng quy ƣớc chuyển vị w hai góc xoay  x ,  y 17 Hình 3.2 Phần tử tam giác nút 21 Hình 3.3 Phần tử tam giác nút hệ tọa địa phƣơng phần tử DSG3 22 Hình 3.4 Ba tam giác nhỏ ( 1 ,  3 ) đƣợc tạo từ tam giác 1-2-3 phần tử CS-DSG3 cách nối trọng tâm O với ba nút 1, 23 Hình 4.1 Các mơ hình vng bốn lƣới phần tử tam giác; (a) Tấm ngàm; (b) Tấm tựa đơn; (c) Minh họa bốn lƣới phần tử tam giác ba nút 33 Hình 4.2 Hội tụ hệ số tải giới hạn cho vuông ngàm tất cạnh chịu tải phân bố ứng với số điểm Gauss thay đổi từ điểm đến điểm Gauss phần tử DSG3 CS-DSG3 34 Hình 4.3 Hội tụ hệ số tải giới hạn cho vuông tựa đơn tất cạnh chịu tải phân bố ứng với số điểm Gauss thay đổi từ điểm đến điểm Gauss phần tử DSG3 CS-DSG3 35 -55- 10 Nguyen-Xuan H, Liu GR, Thai-Hoang C, Nguyen-Thoi T (2009) An edgebased smoothed finite element method with stabilized discrete shear gap technique for analysis of Reissner-Mindlin plates Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 199:471-489 11 Nguyen-Xuan H, Liu GR, Nguyen-Thoi T, Nguyen-Tran C (2009) An edge – based smoothed finite element method (ES-FEM) for analysis of two– dimensional piezoelectric structures Smart Materials and Structures 18 (065015):1-11 12 Liu GR, Chen L, Nguyen-Thoi T, Zeng K, Zhang GY (2010) A novel singular node-based smoothed finite element method (NS-FEM) for upper bound solutions of cracks International Journal for Numerical Methods in Engineering 83 (11):1466–1497 13 Nguyen-Thoi T, Liu GR, Vu-Do HC, Nguyen-Xuan H (2009) An edge-based smoothed finite element method (ES-FEM) for visco-elastoplastic analyses of 2D solids using triangular mesh Computational Mechanics 45:23- 44 14 Nguyen-Thoi T, Liu GR, Vu-Do HC, Nguyen-Xuan H (2009) A face-based smoothed finite element method (FS-FEM) for visco-elastoplastic analyses of 3D solids using tetrahedral mesh Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 198:3479-3498 15 Tran TN, Liu GR, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Thoi T (2010) An edge-based smoothed finite element method for primal-dual shakedown analysis of structures International Journal for Numerical Methods in Engineering 82:917– 938 16 Nguyen-Thoi T, Phung-Van P, Nguyen-Xuan H, Thai-Hoang C (2012) A cellbased smoothed discrete shear gap method using triangular elements for static and free vibration analyses of Reissner–Mindlin plates International Journal for Numerical Methods in Engineering 91(7):705-741 17 Bletzinger KU, Bischoff M, Ramm E (2000) A unified approach for shear- -56- locking free triangular and rectangular shell finite elements Computers and Structures 75:321–334 18 Bischoff M, Bletzinger KU Stabilized DSG plate and shell elements, Trends in computational structural mechanics, CIMNE, Barcelona, Spain 2001 19 Lyly M, Stenberg R, Vihinen T A stable bilinear element for the Reissner– Mindlin plate model Computer Methods Applied Mechanics Engineering 1993; 110:343–357 20 Hodge PhGJr, Belytschko T (1968) Numerical methods for the limit analysis of plates ASME J Appl Mech 35:796-802 21 Save MA, Massonet CE (1972) Plastic Analysis and Design of Plates, Shells and Disks North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics, North-Holland: Amsterdam 22 Fox EN (1974) Limit analysis for plates: exact solution for a clamped square plate of isotropic homoheneous material obeying square yield criterion and loaded by uniform pressure Philos T R Soc A 277:121-155 23 C.M Wang, J.N Reddy and K.K Lee, Shear deformable beams and plates relationships with classical solutions, NewYork: Elsevier, 2000 24 Liu GR, Quek SS The finite element method: a practical course Butterworth Heinemann: Oxford, 2002 25 Liu GR Meshfree methods: Moving Beyond the Finite Element Method CRC Press: BocaRaton, Florida, 2009 26 Chu Quốc Thắng, Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh, Việt Nam, 1997 27 Hodge PG (1963) Limit analysis of rotationally symmetric plates and shells Prentice-Hall, New Jersey 28 Save MA, Massonnet CE (1972) Plastic analysis and design of plates, shells and disks North-Holland, Amsterdam -57- 29 ZyczkowskiM (1981) Combined loadings in the theory of plasticity.Polish Scientific, PWN and Nijhoff 30 Xu BY, Liu XS (1985) Plastic limit analysis of structures China architecture & building Press, Beijing 31 Jacob Lubliner (1990) Plasticity theory Macmillan, New York 32 Yu MH, Ma GW, Li JC (2009) Structural plasticity limit, shakedown and dynamic plastic analyses of structures Springer, New York 33 P.G Hodge, T Belytschko (1968) Numerical Methods for the Limit Analysis of Plates Applied Mechanics 35:796–801 34 Christiansen E, Larsen S (1983) Computations in limit analysis for plastic plates International Journal for Numerical Methods in Engineering 19:169-184 35 Emilio Turco, Paola Caracciolo (2000) Elasto-plastic analysis of Kirchhoff plates by high simplicity finite elements Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 10:691-706 36 Shutao Zhou, Yinghua Liu, Shenshen Chen (2012) Upper bound limit analysis of plates utilizing the C1 natural element method Computational Mechanics DOI: 10.1007/s00466-012-0688-8 37 Capsoni A, Corradi L (1999) Limit analysis of plates - a finite element formulation Structural Engineering and Mechanics 8:325–341 38 Capsoni A, Vicente da Silva M (2011) A finite element formulation of Mindlin plates for limit analysis International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering 27:143–156 39 Nguyen HD (1976) Direct limit analysis via rigid-plastic finite elements Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 8:81–116 40 V F Gaudrat A Newton type algorithm for plastic limit analysis Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 88:207–224, 1991 41 Christiansen E, Kortanek KO (1991) Computation of the collapse state in limit -58- analysis using the LP affine scaling algorithm Journal of Computational and Applied Mathematics 34:47–63 42 Zouain N, Herskovits J, Borges LA, Feijo RA (1993) An iterative algorithm for limit analysis with nonlinear yield functions International Journal of Solids and Structures 30:1397–1417 43 Liu YH, Zen ZZ, Xu BY (1995) A numerical method for plastic limit analysis of 3-D structures International Journal of Solids Structures 32:1645–1658 44 Capsoni A, Corradi L (1997) A finite element formulation of the rigid-plastic limit analysis problem International Journal for Numerical Methods in Engineering 40:2063–2086 45 Christiansen E, Andersen KD (1999) Computation of collapse states with von Mises type yield condition International Journal for Numerical Methods in Engineering 46:1185–1202 46 Corradi L, Panzeri N (2004) A triangular finite element for sequential limit analysis of shells Advanced in Engineering Software 35:633–643 47 Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Bordas S, Rabczuk T, Nguyen-Vinh H (2010) A cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis International Journal for Numerical Methods in Engineering 83:1651– 1674 48 Sloan SW (1988) A steepest edge active set algorithm for solving sparse linear programming problems International Journal for Numerical Methods in Engineering 26:2671-2685 49 Andersen KD, Christiansen E (1995) Limit analysis with the dual affine scaling algorithm Journal of Computational and Applied Mathematics 59:233–243 50 Pastor J, Thai TH, Francescato P (2003) Interior point optimization and limit analysis: an application Communications in Numerical Methods in Engineering 19:779 –785 -59- 51 Zouain N, Herskovits J, Borges LA, Feijoo RA (1993) An iterative algorithm for limit analysis with nonlinear yield functions International Journal of Solids and Structures 30:1397-1417 52 Lyamin AV, Sloan SW (2002) Upper bound analysis using linear finite elements and non-linear programming International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 26:181–216 53 Andersen KD, Christiansen E, Overton ML (1998) Computing limit loads by minimizing a sum of norms SIAM Journal on Scientific Computing 19:10461062 54 Krabbenhoft K, Damkilde L (2003) A general non-linear optimization algorithm for lower bound limit analysis International Journal for Numerical Methods in Engineering 56:165–184 55 Tin-Loi F, Ngo NS (2003) Performance of the p-version finite element method for limit analysis International Journal of Mechanical Sciences 45:1149 –1166 56 Andersen KD, Christiansen E, Overton ML (2001) An efficient primal-dual interior-point method for minimizing a sum of euclidean norms SIAM Journal on Scientific Computing 22:243-262 57 K D Andersen, E Christiansen, and M L Overton Computing limit loads by minimizing a sum of norms Society for Industrial and Applied Mathematics, 19:1046–1062, 1998 58 Andersen ED, Roos C, Terlaky T (2003) On implementing a primal-dual interior-point method for conic quadratic programming Mathematical Programming 95:249-277 59 Mosek (2008) The MOSEK optimization toolbox for MATLAB manual http://www.mosek.com, Mosek ApS 60 M.S Lobo, L Vandenberghe, S Boyd, and H Lebret Applications of secondorder cone programming -60- 61 Krabbenhoft K, Lyamin AV, Sloan SW (2006) Formulation and solution of some plasticity problems as conic programs International Journal of Solids and Structures 44:1533–1549 62 Makrodimopoulos A, Martin CM (2007) Upper bound limit analysis using simplex strain elements and second-order cone programming International Jounal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 31:825-865 63 Corradi L, Vena P (2003) Limit analysis of orthotropic plates Int J Plasticity 19(10):1543–1566 64 Corradi L, Panzeri N (2003) Post-collapse analysis of plates and shells based on a rigid-plastic version of the TRIC element Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 192(33–34):3747–3775 65 Tran TN, Kreissig R, StaatM (2009) Probabilistic limit and shakedown analysis of thin plates and shells Struct Saf 31(1):1–18 66 Le CV, Gilbert M, Askes H (2009) Limit analysis of plates using the EFG method and second-order cone programming International Journal for Numerical Methods in Engineering 78:1532 – 1552 67 Le CV, Harm Askes, Matthew Gilbert (2010) Adaptive element-free Galerkin method applied to the limit analysis of plates Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 199:2487–2496 68 Le CV, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Dang H (2010) Upper and lower bound limit analysis of plates using FEM and second-order cone programming Computers and Structures 88:65-73 -61- PHỤ LỤC Phụ lục A Thuyết minh chi tiết công thức (3.57) Aeqd  beq (A.1) Công ngoại đơn vị gây hao tán dẻo Wex (u ) điều kiện biên vận tốc chuyển vị đƣợc viết dƣới dạng     ,  biên u u w ( a)    w  ,   bT u dΩ   t T   dΓ  (c) Wext w   t      (A.2) Dƣới dạng xấp xỉ, vận tốc độ võng góc xoay đƣợc biểu diễn dƣới dạng n  b b   w x      N I , x  x  d eI I 1  n  b β x   N I , y  x  d eI I 1  n  b β y   N I , x , y  x  d eI I 1  (A.3) Thay (A.2) vào (A.3), công ngoại Wext u  điều kiện biên vận tốc chuyển vị đƣợc viết lại dƣới dạng n n  T    Wext w,   Aei b N I  xi  d eI  i 1 I 1  n    xb    N I , x  xb  d eI  w  I 1  n β  N  xb  d  I,y eI  x  I 1  n b  β  N  y I , x , y  x  d eI   I 1    (A.4) hay dƣới dạng ma trận Aeqd  beq với (A.5) -62-  n   Aei N1  xi   i 1  N1, x  x1b      b  N1, x  x d   b A eq   N1, y  x1      N xb 1, y  rx    N xb  1, x , y       N1, x , y  xbry  n  Aei N  xi   i 1 N 2, x  x b     A N  x  n i 1 ei n i N n, x  x b     N 2, x  xbd   N n , x  x bd  N 2, y  x1b   N n, y  x1b     N 2, y  xbrx   N n , y  x brx  N 2, x , y  x1b   N n , x , y  x1b     N 2, x , y  xbry   N n , x , y  xbry                   (A.6) ry d rx            beq  0  0  0       T (A.7) đó, d nút biên chịu chuyển vị theo phƣơng đứng w rx, ry nút biên chịu góc xoay  theo phƣơng trục y trục x -63- Phụ lục B Một số đoạn mã lập trình Matlab  Đoạn mã lập trình Matlab cho tốn tìm hệ số tải giới hạn cho Tấm hình chữ nhật tựa đơn chịu tải trọng phân bố clear all format short global gcoord nodes nnode nel % -Dữ liệu đầu vào -xichma=250; L=2; H=1; t=0.01; p=(1/4*xichma*t^2)/(L*H); ngauss = 6; nx=16; ny=9; disx=L/nx; disy=H/ny; nnel=3; ndof=3; edof=nnel*ndof; nel=2*nx*ny; nnode=(nx+1)*(ny+1); sdof=nnode*ndof; % element nodes=[]; for i=1:nx for j=1:ny nodes=[nodes; (ny+1)*(i-1)+j+1 (ny+1)*i+j+1 (ny+1)*i+j; (ny+1)*(i-1)+j+1 (ny+1)*i+j (ny+1)*(i-1)+j;]; end end % - gcoord node -nn=0; for i=1:nx+1 -64- for j=1:ny+1 nn=nn+1; gcoord(nn,1)=disx*(i-1); gcoord(nn,2)=H-disy*(j-1); end end % Plot grid -tam=[]; for i=1:nel xgcoord=gcoord(nodes(i,:),1); ygcoord=gcoord(nodes(i,:),2); xcen=sum(xgcoord)/3; ycen=sum(ygcoord)/3; tam=[tam;xcen ycen]; end % Điều kiện biên tol=1e-5; bc_lef=find(gcoord(:,1)