Phân tích giới hạn tấm dày 5 bậc tự do sử dụng phương pháp không lưới element free galerkin (EFG)

Trong bài viết này phần tử EFG cho nút 5 bậc tự do cho một nút được sử dụng Kết quả đạt được có cải thiện so với các phương pháp khác sử dụng cho nút 3 bậc tự do.

PHÂN TÍCH GIỚI HẠN TẤM DÀY BẬC TỰ DO SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI ELEMENT FREE GALERKIN (EFG) NGUYỄN NGỌC PHÚC*, NGUYỄN HOÀNG PHƢƠNG **, HỒ THỊ ĐOAN TRANG * The critical state of thick-plate using stabilized mesh-free method as a five-node plate bending element based on mindlin/reissener plate theoryelement free galerkin (efg) Abstract: This papers concern about critical state of thick-plate using Stabilized Mesh-Free Method as a five-node plate bending element based on Mindlin/Reissener plate theory Two case studies rectangular plates with lean and rigid boundary condition were considered The result shows main failure forms by critical state which we want to know when using as mat, diaphragm wall, retaining wall,… Keywords: Thick-plate; Stabilized Mesh-Free Method; Mindlin/Reissener plate theory; phần tử bậc tự do; định lý cận GIỚI THIỆU * Trong thập niên gần việc xác định tải trọng giới hạn cơng trình ngày đƣợc quan tâm L thuyết phân tích giới hạn ngày phát triển phù hợp với l thuyết khác Trong phân tích giới hạn trƣờng chuyển vị trƣờng ứng suất đƣợc rời rạc sau định l cận định l cận dƣới đƣợc áp dụng để xác định tải trọng giới hạn Bên cạnh phƣơng pháp số không ngừng đƣợc phát triển công cụ đắc lực để nâng cao hiệu tính tốn Một lớp phƣơng pháp số đƣợc phát triển thời gian gần phƣơng pháp không lƣới (meshfree hay meshless) Gần nhiều phƣơng pháp không lƣới đƣợc phát triển nhƣ phƣơng pháp không lƣới Element Free Galerkin (EFG) không lƣới Local Petrov Galerkin (MLPG) không lƣới Radial Point Interpolation Method (RPIM) không lƣới Local Radial Point Interpolation Method (LRPIM) không lƣới * ** Khoa Xây dựng, Cao đẳng Xây dựng Khoa Kiến trúc-Xây Dựng - Mỹ Thuật Ứng dụng, Đại Học Nguyễn Tất Thành ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017 Moving Kriging (MGK)… Khác phƣơng pháp kỹ thuật nội suy có nhiều kỹ thuật nội suy đƣợc áp dụng nhƣ Kernel Partical Method, Moving Least Square Approximate, Partition of Unity, Kringing Interpolation… Phƣơng pháp EFG phƣơng pháp không lƣới đƣợc phát triển Belytchko et al., 1994 Trong phƣơng pháp EFG xấp xỉ bình phƣơng cực tiểu MLS (Moving Least Square) đƣợc sử dụng để xây dựng hàm dạng phƣơng trình hệ thống đƣợc xây dựng thơng qua dạng yếu Galerkin ô đƣợc yêu cầu cho việc tính tích phân phần Khi sử dụng phƣơng pháp EFG để rời rạc trƣờng chuyển vị cho toán cận số lƣợng biến tốn nhiều so với rời rạc FEM phƣơng pháp EFG yêu cầu bậc tự nút thay bậc tự điểm Guass FEM Để đảm bảo tính xác cho lời giải sử dụng phƣơng pháp EFG tích phân nút ổn định (Stablised Confroming Nodal Intergration (SCNI)) đƣợc áp dụng để làm trơn biến dạng Khi tích phân đƣợc tính trực tiếp nút mà khơng sử dụng điểm Gauss giúp giảm nhẹ chi phí tính tốn Trong báo phần tử EFG cho nút bậc tự cho nút đƣợc sử dụng Kết đạt đƣợc có cải thiện so với phƣơng pháp khác sử dụng cho nút bậc tự CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Lý thuyết Mindlin bậc tự L thuyết cắt bậc (L thuyết dày Mindlin-Reissner): Cùng xem xét miền thể tích R với mặt phẳng (mặt trung bình) Trƣờng chuyển vị theo l thuyết FSDT [5] gồm bậc tự nhƣ sau: u  x , y, z   u0  x , y   z  x  x , y  v  x , y, z   v0  x , y   z  y  x , y  w  x , y, z   w0  x , y  ( 1) Biến dạng mặt phẳng đƣợc biểu theo công thức T  xx  yy  xy   ε0  zκ đƣợc trình bày Chen et al (2000) đƣợc hiệu chỉnh cách sử dụng phép tích phân nút Chen et al (2001): εijh  x J    εijh  x  φ  x, x  x J dΩ ( J 6) ε ijh giá trị đƣợc làm trơn ε ijh nút J υ hàm phân phối (hàm trơn) phải thỏa mãn điểm sau (Chen et al 2000; You et al., 2004): φ  vaø Để đơn giản hàm υ đƣợc giả sử hàm nhỏ không đổi: 1  , x  J φ  x, x  x J    a J (8) 0, x  J  aJ diện tích miền đại diện nút J Thay phƣơng trình (8) vào (6) áp dụng định l phân kì ta đƣợc: 1 h εijh  x J   ui , j  u hj ,i dΩ  Ω aJ J  = Với biến dạng màng biến dạng cong (3) (4) Biến dạng cắt ε s  w  β (5) (7) J (2) ε  su0 κ  β  β T   φdΩ  1 2a J   u n ΓJ h i j  u hj ni  d (9) ΓJ biên miền Ω Với xấp xỉ bình phƣơng cực tiểu trƣờng chuyển vị dạng trơn biến dạng đƣa nhƣ sau: 2.2 Phƣơng pháp EFG Phƣơng pháp làm trơn biến dạng lần ε hxx  x J     ε h  x J   ε hyy  x J    B m  zBb d; h  x J   B sd  h  ε xy  x J    đó:  (10) dT  u1 , , un , v1, , , w1, , wn ,  x1, ,  xn ,  y1, ,  yn  ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017  1, x  2, x  Bm   0 1, y  2, y  0  Bb   0 0   n, x 0 1, y  2, y  n, y 0  n, y 1, x  2, x  n, x 0 0 1, x  2, x 0  n, x 0 1, y  2, y  n, y  n, y 1, x  2, x  n, x 0 1, y  2, y     0 0 1, x  n, x 1  n Bs   0 1, y  2, y 1  n  dạng trơn  ns số đoạn tạo nên miền nút ΩJ Bài tốn phân tích giới hạn cho dày bậc tự Tiêu chuẩn phá hoại von Mises đƣợc sử dụng nhƣ sau:         (11) φ  σ, τ   σ T Pbσ  τ T Ps τ   P  Với  P ứng suất chảy dẻo vật liệu thông số vật liệu tiêu chuẩn von Mises toán ứng suất phẳng đƣợc thể nhƣ sau  1  1 3 0 Pb   1  , Ps   2 0 3  0  Hàm lƣợng tiêu tán dẻo đơn vị diện tích theo tiêu chuẩn von Mises DP  ,     P εTQbε  γ TQs γ 1 Với Qb  Pb D  ,     (13) 4 0 1  1    Qs  Ps1   0   0  t /2   ε P (12) P  zκ  Qb  ε  zκ   γ TQ s γ d z d  T (14)  t / Thực phép đổi biến z   Pt  D  ,      P  1 t ta đƣợc biểu thức sau T t  T   ε  κ  Qb  ε  κ   γ Q s γ d  d      t  T =   P  1 T t t t  t   t  t  κ  Qb  ε  κ    γ  Qs  γ  d  d   ε0    2  2  2 2 (15) Sử dụng tích phân Guass để tính tích phân theo chiều dày tấm: D P T nno ng  ,    Ak P g k g t t  gt   gt   t  T  t  κ k  Qb  ε k  κ k    γ k  Qs  γ k   ε 0k   2  2  4 2  2    (16) Thực phép đổi biến để đƣa tốn SOCP có dạng sau: nno ng D P  ,     Ak P g k T Cbg εk T  C sg γk (17) g ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017 Sử dụng chéo hóa ma trận Qb ta có Qb = VDV T Cbg T  t I  gt I  t   Bm  Bb  V D , CTsg  B sI Q s 2    Để thuận tiện biến thêm vào để đƣợc định nghĩa nhƣ sau:      gk gk gk   T   Cbg  k ;     4gk  T  gk   Csg  k  5  k g (21) A eqd  b eq ρ i  ti , i=1,2, ,nno×ng (19) Với nno ng k nno ng     Ak P gti s.t Năng lƣợng tiêu tán đƣợc viết lại: D P  ,     Ak P g ρ gk (18) (20) g Bài toán tối ƣu đƣợc phát biểu dƣới dạng hình nón bậc hai:   u0  A eq  A eq       0 W A eq 0 0 0 A v0 eq A w0 eq 0 x A eq 0 0    ;      A eqy  d y dx du dv dw   T  beq  0 0 0 0 0      VÍ DỤ SỐ Ví dụ số đƣợc thực ngơn ngữ lập trình Matlab Các thông số vật liệu đƣợc xem đồng với ứng suất dẻo 250( Mpa) Ta xét sàn hình vng với điều kiện biên: biên tựa đơn biên ngàm Kích thƣớc hình học tấm: a = 10m (hình 1) Để xét hội tụ lời giải hệ nút đƣợc bố trí theo hai phƣơng tăng dần nhƣ sau: 21×21(441 nút), 27×27(729 nút) Kết khảo sát ảnh hƣởng việc thay đổi chiều dày đƣợc thể thông qua bảng Kết thể nhƣ mong đợi hội tụ dần với chênh lệch trƣờng hợp độ mảnh giảm dần Điều thể đƣợc hội tụ phƣơng pháp biên tựa đơn biên ngàm Hình Bài tốn hình vng chịu tải phân bố Bảng Hệ số tải trọng giới hạn vuông biên ngàm Hệ số độ mảnh 21x21 Nghiên cứu 9,03 17,94 30,77 39,24 Tham khảo [18] 8,93 17,77 30,75 40,76 27x27 Nghiên cứu Tham khảo [18] 8,87 8,86 17,67 17,68 30,18 30,6 39,05 40,45 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017 10 20 40 100 40,18 42,61 40,07 42,25 40,81 45,46 40,52 44,97 40,91 46,19 40,55 45,67 41,05 46,39 40,56 45,87 Bảng So sánh hệ số tải trọng giới hạn toán vuông biên ngàm Số BTD Phƣơng pháp L  100 t L 1 t Nghiên cứu EFG 40,56 8,87 C.V Le et al (2016) [18] MeshFree 45,87 8,86 C.V Le (2013) [20] ES-DSG 46,84 9,02 C.V Le et al (2010) [19] HTC&EM 45,12 - Capsoni and Corradi (1999)[5] - FEM 46,18 - Tác giả Kết xem xét dày có độ chênh lệch thấp (0 14% so với C V Le (2016)) Điều thể tƣơng đồng tính tốn l thuyết dày Kết chênh lệch xem xét mỏng dần (11,57 % so với C V Le et al (2016)[18]; 13,40 % C.V Le (2013) [20]; 10,10 % C.V Le et al (2010) [19]; 12,17 % Capsoni and Corradi (1999)[5]) Ta thấy giá trị phƣơng pháp chênh lệch so với nghiên cứu trƣớc tƣơng đƣơng cho thấy phƣơng pháp cho kết đáng tin cậy biên ngàm trạng thái giới hạn Cơ cấu phù hợp với phá hoại thực tế sàn hình vuông biên ngàm chịu tải phân bố Cơ cấu phá hoại đƣợc thể thơng qua vị trí tập trung mật độ lớn lƣợng tiêu tán dẻo (ở vị trí có lƣợng tiêu tán dẻo tập trung lớn phá hoại xuất đó) Từ cấu phá hoại ta thấy trạng thái giới hạn sàn biên ngàm có xu hƣớng tập trung dọc theo biên, rẽ quạt xuất phát từ tâm mở rộng dần phía ngồi hƣớng góc, điểm đáng lƣu góc khơng bị chảy dẻo, đƣờng chảy dẻo tạo thành đƣờng cong bo tròn góc Kết khảo sát tốn hình vng với biên tựa chịu tải phân bố đƣợc trình bày bảng Sự hội tụ phƣơng pháp đƣợc thể việc sai số giảm dần trƣờng hợp độ mảnh tăng dần Bảng Hệ số tải trọng giới hạn vng biên tựa mỏng dần Hình Cơ cấu phá hoại hình vng ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017 Hệ số 21x21 27x27 độ mảnh Nghiên cứu Nghiên cứu 10 20,84 20,92 8,98 8,86 20 21,04 21,14 16,38 16,31 40 21,10 21,26 20,05 20,12 100 21,18 21,34 20,72 20,78 Bảng So sánh hệ số tải trọng giới hạn tốn vng biên tựa Tác giả Số BTD Phƣơng pháp L  100 t L 1 t Nghiên cứu EFG 21,34 8,86 C.V Le et al (2016)[18] MeshFree 25,22 8,86 C.V Le (2013)[20] ES-DSG 25,05 9,03 C.V Le et al (2010)[19] HTC-EM 25,02 - C.V Le et al (2009)[15] EFG 25,01 - Kết xem xét dày có độ chênh lệch thấp (0 % so với C V Le (2016)) Điều thể tƣơng đồng tính toán l thuyết dày Kết xét chênh lệch xem xét mỏng dần (15 38 % so với C V Le (2016)[18]; 14 81 % so với C.V Le (2013)[20]; 14 70 % so với C.V Le et al (2010)[19]; 14 67 % so với C.V Le et al (2009)[15]) Ta thấy giá trị phƣơng pháp chênh lệch so với nghiên cứu trƣớc tƣơng đƣơng cho thấy phƣơng pháp cho kết đáng tin cậy Do lƣợng dẻo tiêu tán hấp thụ chuyển vị mặt phẳng đƣợc xét đến hệ số tải trọng giảm so với mơ hình Mindlin bậc tự Đối với hình vng biên tựa chịu tải phân bố ta thấy đƣờng chảy dẻo có xu hƣớng hình thành góc 45 độ từ góc hình thể hình Tuy nhiên điểm khác biệt trƣờng hợp đủ dày cấu phá hoại dọc theo biên Điều giải thích dày có xu hƣớng phá hoại cục dọc biên nên khác đƣờng chảy dẻo mỏng ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017 (a) Tấm dày (L/t=1) (b) Tấm Mỏng (L/t=100) Hình Cơ cấu phá hoại hình vng biên tựa trạng thái giới hạn order cone programming," The International KẾT LUẬN Nghiên cứu trình bày phƣơng pháp phân Conference on Advances in Computational tích giới hạn dày bậc tự sử dụng phần Mechanics (ACOME), Ho Chi Minh City, tử EFG kỹ thuật tích phân nút ổn định SNCI Vietnam, August 2012 với hình dạng khác (tấm hình N T Nguyen, C V Le, T Q Chu, N T vng hình chữ nhật hình tròn Tran and H N Pham,, "A locking-free stabilized hình chữ L) điều kiện biên khác meshfree method for computation of limit load of (điều kiện biên ngàm chu vi điều kiện biên Mindlin-Reissner plates," International tựa chu vi) Khi xem xét tƣợng mỏng Conference on Green Technology and Sustainable dần phƣơng pháp dần hội tụ giá trị Development, HCMC, September 2012 mỏng Sai số kết tham khảo Nguyen, Danh An; Bui, Thanh Cong; tƣơng đối nhỏ Nguyen, Hung Dang, "A recursive approach for limit Qua kết đạt đƣợc so sánh với analysis of frame," Proceedings of the Sixth National nghiên cứu tác giả khác phƣơng pháp Conference on Solid Mechanics, Hanoi, 11 1999 đạt đƣợc độ tin cậy cao Bên cạnh tập Nguyen, Hung Dang; Yan Ai-Min; Bui, trung lƣợng tiêu tán dẻo phần giúp Thanh Cong, "On the Limit and Shakedown dự đoán đƣợc cấu phá hoại dày Qua Analysis of Plastified and Cracked Structures," có biện pháp gia cƣờng Proceedings of The First Vietnam-Japan hợp lí phân tích kết cấu chịu lực Symposium in Advances in Applied Electromagnetics and Mechanics HoChiMinh City, Vietnam, 19-21 January 1998 TÀI LIỆU THAM KHẢO Capsoni A Corradi L “Limit analysis of T T M Doan, C V Le and T Q Chu, plates - a finite element formulation” Structural "Limit load computation of Mindlin-Reissner Engineering and Mechanics 1999; 8:325–341 plates using the ES-DSG method and second6 Zienkiewicz OC, Taylor RL, Too JM ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017 “Reduced integration technique in general analysis of plates and shells: simple and efficient element for smoothed finite element method for kinematic limit analysis” International Journal for plate bending ” International Journal for Numerical Numerical Methods in Engineering 1971; 3:275–290 2010;83:1651–74 Hughes TJR, Taylor RL, Kanoknukulchai W “Simple and efficient element for plate 15 Le, C.V and Gilbert, M and Askes, H., "Limit analysis of plates using the EFG method and bending” International Journal for Numerical Methods in Engineering 1977; 11:1529–1543 second-order cone programming," International journal for numerical methods in engineering, vol Zienkiewicz OC, Lefebvre D “A robust Methods in Engineering 78, no 13, pp 1532 1552, 2009 triangular plate bending element of the Reissner– Mindlin type” International Journal for Numerical 16 Belytschko, T and Lu, Y.Y and Gu, L., "Element-free Galerkin methods," International Methods in Engineering 1988; 26:1169–1184 Lee SW Wong C “Mixed formulation journal for numerical methods in engineering, vol 37, no 2, pp 229 256, 2005 finite elements for mindlin theory plate bending” 17 Hodge, Philip Gibson and Belytschko, Ted, International Journal for Numerical Methods in "Numerical methods for the limit analysis of plates," Engineering 1982; 18:1297–1311 Journal of Applied Mechanics, vol 35, p 796, 1968 10 Simo JC Rifai MS “A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes” International Journal for Numerical Methods in 18 Le C V & Chu T Q Plastic “Collapse Analysis of Mindlin-Reissner Plates Using a Stabilized Mesh-Free Method” International Journal Engineering 1990; 29:1595–1638 11 Bathe KJ Dvorkin EN “A four-node plate bending element based on Mindlin/Reissener plate theory and a mixed interpolation” International of Computational Methods, vol 13, 1650004, 2016 19 Le, C.V and Nguyen-Xuan, H and Nguyen-Dang, H., "Upper and lower bound limit analysis of plates using FEM and second-order Journal for Numerical Methods in Engineering 1985; 21:367–383 12 Bletzinger KU BischoffM Ramm E “A cone programming," Computers \& structures, vol 88, no 1, pp 65 73, 2010 20 Le C V “A stabilized discrete shear gap unified approach for shear-locking free triangular finite element for adaptive limit analysis of and rectangular shell finite elements” Computers Mindlin–Reissner plates” International Journal and Structures 2000; 75:321–334 13 Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Rabczuk T, Nguyen-Thoi T “Computation of limit load using edge-based smoothed finite for numerical methods in engineering Int J Numer Meth Engng 2013; 96:231–246 21 Hopkins, Harry Geoffrey and Wang, Alexander Jen “Load-carrying capacities for element cone circular plates of perfectly-plastic material with of arbitrary yield condition” Journal of the Mechanics and Physics of Solids, vol 3, no 2, pp method and second-order programming” International Journal Computational Methods 2013; 10(1):1340004 14 Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Bordas S, Rabczuk T, Nguyen-Vinh H “A cellbased 10 117 129,1955 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017 Người phản biện: TS NGUYỄN VIỆT TUẤN ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017 11 ... mà không sử dụng điểm Gauss giúp giảm nhẹ chi phí tính tốn Trong báo phần tử EFG cho nút bậc tự cho nút đƣợc sử dụng Kết đạt đƣợc có cải thiện so với phƣơng pháp khác sử dụng cho nút bậc tự CƠ... 30,6 39, 05 40, 45 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2017 10 20 40 100 40,18 42,61 40,07 42, 25 40,81 45, 46 40 ,52 44,97 40,91 46,19 40 ,55 45, 67 41, 05 46,39 40 ,56 45, 87 Bảng So sánh hệ số tải trọng giới hạn tốn vng... Nghiên cứu trình bày phƣơng pháp phân Conference on Advances in Computational tích giới hạn dày bậc tự sử dụng phần Mechanics (ACOME), Ho Chi Minh City, tử EFG kỹ thuật tích phân nút ổn định SNCI Vietnam,