Công thức phần tử, thuật toán và chương trình số trong phân tích dầm đàn-dẻo bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Với kết cấu, ứng xử đàn-dẻo trong đó cả phần biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo đều đóng vai trò quan trọng trong phân tích, là mô hình phổ biến nhất trong phân tích kết cấu có tính tới

Họ và tên tác giả luận văn Nguyễn văn luật

Tên đề tài luận văn

Công thức phần tử, thuật toán và ch-ơng trình số trong phân tích kết cấu dầm đàn-dẻo bằng

ph-ơng pháp phần tử hữu hạn

Luận văn thạc sĩ

Hà nội- 2008

Nguyễn văn luật

Công thức phần tử, thuật toán và ch-ơng trình số trong phân tích dầm đàn-dẻo

Mục lục

Trang

Mục lục………

Danh mục các ký hiệu ………

Danh mục các hình vẽ, đồ thị ………

Danh mục các bảng ………

Mở đầu ………

Ch-ơng I : ứng xử đàn-dẻo của vật liệu kết cấu 1.1 Mở đầu ………

1.2 Các kết quả từ thực nghiệm ………

1.3 ứng xử đàn hồi ………

1.4 ứng xử đàn-dẻo ………

1.5 Mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính ………

1.6 Luật chảy dẻo ………

1.7 Luật tái bền ………

1.8 Kết luận ch-ơng 1………

Ch-ơng II : Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn cho dầm đàn-dẻo 2.1 Mở đầu ………

2.2 Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn ………

2.3 Phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến………

2.4 Thuật toán số trong phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến………

2.5 Phần tử dầm đàn-dẻo ………

2.5.1 Vec-tơ lực nút ………

2.5.2 Ma trận độ cứng tiếp tuyến ………

2.6 Tích phân số ………

2.7 Kết luận chương 2………

Ch-ơng III : Quy trình tính toán và ví dụ số 3.1 Quy trình tính toán ………

1

3

4

5

6

8

8

12

13

14

15

18

19

20

20

25

27

31

32

33

36

38

40

3.2 Cập nhật ứng suất ………

3.3 Ví dụ số ………

3.3.1 Dầm tựa giản đơn d-ới tác dụng của lực tập trung ………

3.3.2 Dầm công-xôn d-ới tác dụng của lực tập trung………

3.3.3 Dầm công-xôn d-ới tác dụng của mô-men…………

3.4 Kết luận ch-ơng 3………

Kết luận ………

h-ớng phát triển tiếp theo của luận văn………

Tài liệu tham khảo ………

Phụ lục ………

42

49

49

51

53

54

55

56

57

58

Danh mục các ký hiệu

}

{d ,{D}- lần l-ợt là vec-tơ chuyển vị nút của phần tử, kết cấu

{fex , {Fex}- vec-tơ ngoại lực tại các nút của phần tử, kết cấu

υ- công ảo của nội lực và ngoại lực tác động lên phần tử

Hình 1.2 : Biểu đồ ứng suất-biến dạng cho thép kết cấu điển hình nhận đ-ợc

từ thử nghiệm kéo

Hình 1.3 : Mô hình l-ỡng tuyến tính cho vật liệu đàn-dẻo

Hình 1.4 : Mặt dẻo von Mises trong không gian ứng suất chính

Hình 1.5 : Luật tái bền: (a) tái bền đẳng h-ớng, (b) tái bền động học

Hình 2.1 : Kết cấu phẳng với mô hình PTHH tạo từ các phần tử khác nhau

Hình 2.2 : Phần tử dầm phẳng hai nút và các bậc tự do

Hình 2.3 : Trình tự các b-ớc lặp để tính điểm cân bằng

Hình 2.4 : Lực cắt và mô-men tại các nút phần tử dầm Bernoulli

Hình 3.1 : Sơ đồ khối quy trình phân tích đàn-dẻo

Hình 3.2 : Gia số ứng suất trong mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính

Hinh 3.3 : Dầm tựa giản đơn d-ới tác dụng của lực tập trung

Hình 3.4 : L-ới phần tử và các bậc tự do của mô hình dầm tựa giản đơn

Hình 3.5 : Mối quan hệ giữa lực ngoài P và độ võng d tại điểm giữa của dầm với các giá trị khác nhau của mô-đun tiếp tuyến Et

Hình 3.6 : Dầm công-xôn d-ới tác động của lực tập trung ở đầu tự do

Hình 3.7 : Quan hệ giữa lực ngoài P và độ uốn w tại đầu tự do của dầm công-xôn với các giá trị khác nhau của mô-đun tiếp tuyến Et

Hình 3.8 : Dầm công-xôn d-ới tác động của mô-men ở đầu tự do

Hình 3.9 : Quan hệ giữa lực mô-men M và độ võng w tại đầu tự do của dầm công-xôn với các giá trị khác nhau của mô-đun tiếp tuyến Et

c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña lùc ngoµi P ( E  0 1 Et)

B¶ng 3.2: C¸c gi¸ trÞ øng suÊt biÕn d¹ng t¹i ®iÓm Gauss ®Çu tiªn cña

phÇn tö thø nhÊt cña dÇm øng víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña lùc

ngoµi ( Et  0 3 E )

B¶ng 3.3: Gi¸ trÞ cña øng suÊt biÕn d¹ng t¹i ®iÓm Gauss ®Çu tiªn cña

phÇn tö thø nhÊt cña dÇm c«ng-x«n øng víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau

cña m«-men M ( Et  0 3 E )

52

54

Mở đầu

Các nghiên cứu về lý thuyết dẻo đ-ợc phát triển rất sớm, từ cuối thế kỷ

19 những công trình đầu tiên của lý thuyết dẻo đã xuất hiện Cho đến nay qua nhiều giai đoạn phát triển lý thuyết dẻo đã có một nền tảng lý thuyết toán học tổng quát và chắc chắn, đ-ợc nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Trong lĩnh vực thiết kế máy móc và kết cấu, phân tích đàn-dẻo đóng vai trò quan trọng không thể thiếu Tuy nhiên phân tích đàn-dẻo bằng công cụ toán học tr-ớc đây với các mô hình thực tế hiện nay tỏ ra rất phức tạp và nhiều bài toán phi tuyến tìm ra ch-a có lời giải chính xác Vì vậy để khắc phục đặc điểm này

và để phát triển ứng dụng của phân tích đàn-dẻo trong các bài toán khoa học

kỹ thuật ngày nay các ph-ơng pháp số, đặc biệt là ph-ơng pháp phần tử hữu hạn, đ-ợc sử dụng rộng rãi

1 Lý do chọn đề tài

- Ph-ơng pháp số đã đ-ợc áp dụng trong hầu hết các bài toán thực tế của cơ học kết cấu trong phạm vi lý thuyết đàn hồi, phân tích đàn-dẻo sử dụng ph-ơng pháp số là một h-ớng nghiên cứu mới Ph-ơng pháp số nói riêng và ph-ơng pháp phần tử hữu hạn nói chung là lựa chọn hợp lý nhất trong phân tích các bài toán đàn-dẻo vì tính phức tạp và đòi hỏi khối l-ợng tính toán lớn

- Trạng thái đàn-dẻo có thể xảy ra trong bất kỳ kết cấu hay máy móc nào khi nó làm việc d-ới tác động của tải trọng, nên việc phân tích kết cấu

đàn-dẻo là vấn đề hết sức cần thiết và có tính thực tế cao

- Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn là một ph-ơng pháp số đặc biệt có hiệu quả trong việc phân tích các bài toán phi tuyến quá phức tạp mà các ph-ơng pháp giải tích thông th-ờng không thể phân tích đ-ợc Vì vậy ngày nay ph-ơng pháp phần tử hữu hạn đ-ợc sử dụng rộng rãi và không thể thiếu trong các bài toán khoa học kỹ thuật

2 Mục đích, đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu

- Mục đích của đề tài đặt ra là xây dựng đ-ợc công thức phần tử, thuật toán và ch-ơng trình tính cho phân tích dầm đàn-dẻo Trên cơ sở ch-a từng xây dựng tiến hành phân tích một số kết cấu đàn-dẻo cụ thể

- Đối t-ợng nghiên cứu của đề tài này là các kết cấu dầm chịu lực

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là phần tử dầm Bernulli hai nút

3 ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Lý thuyết dẻo là một trong những h-ớng nghiên cứu cơ bản của cơ học vật rắn biến dạng Trong đó h-ớng nghiên cứu dựa trên các ph-ơng pháp số trong phân tích đàn-dẻo đang là xu h-ớng rất phát triển trên thế giới nhằm

đánh giá đầy đủ các vùng làm việc trong kết cấu và máy móc Các kết cấu dầm chịu lực là các kết cấu đ-ợc thiết kế phổ biến trong thực tế hiện nay, vì vậy việc nghiên cứu đầy đủ các trạng thái làm việc của loại kết cấu này là vấn

đề hết sức quan trọng đ-ợc đặt ra Với ý nghĩa đó thì đề tài đ-ợc xây dựng nhằm đ-a ra một công cụ hiệu quả để phân tích các bài toán thực tế ở trạng thái đàn-dẻo

hệ ứng suất-biến dạng trong quá trình kết cấu chịu lực là đặc tr-ng ứng xử của vật liệu kết cấu Khi lực ngoài đủ nhỏ, mối quan hệ ứng suất-biến dạng là tuyến tính và ứng xử của vật liệu là đàn hồi Trong miền đàn hồi, cấu hình ban

đầu của kết cấu đ-ợc khôi phục hoàn toàn khi tải trọng ngoài đ-ợc dỡ bỏ Khi

tải ngoài v-ợt quá giá trị nhất định (giới hạn chảy), phụ thuộc vào vật liệu cụ

thể, kết cấu bắt đầu chảy dẻo và cấu hình ban đầu không thể phục hồi khi tải

ngoài đ-ợc dỡ bỏ Với kết cấu, ứng xử đàn-dẻo trong đó cả phần biến dạng

đàn hồi và biến dạng dẻo đều đóng vai trò quan trọng trong phân tích, là mô hình phổ biến nhất trong phân tích kết cấu có tính tới ảnh h-ởng của biến dạng dẻo Ch-ơng này trình bày các vấn đề cơ bản liên quan tới ứng xử của vật liệu kết cấu mà trọng tâm là loại thép mềm Mô hình vật liệu đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính với luật tái bền, th-ờng dùng trong phân tích số các kết cấu

đàn-dẻo, đ-ợc trình bày và thảo luận chi tiết ứng xử của dầm d-ới tác động của tải ngoài v-ợt quá giới hạn đàn hồi, gây ra biến dạng dẻo cũng đ-ợc đề

cập

1.2 Các kết quả từ thực nghiệm

Để xác định các tính chất cơ học cơ bản của vật liệu dùng trong kết cấu ng-ời ta th-ờng tiến hành các thực nghiệm trên mẫu tiêu chuẩn Một trong các thực nghiệm phổ biến nhất là kéo giản đơn, trong đó mẫu chuẩn đ-ợc kẹp chặt

giữa hai bộ gá của máy thử và chất tải kéo Độ giãn dài của mẫu trong quá trình thử đ-ợc đo nhờ lá điện trở (gage) hoặc extensometer Thông th-ờng máy thử đ-ợc gắn với máy tính, nhờ nó các số liệu thử nghiệm đ-ợc kiểm soát

và xử lý tự động nhờ phần mềm chuyên dụng Hình 1.1 minh họa sơ đồ của thử nghiệm kéo

Hình 1.1: Sơ đồ điển hình của thử nghiệm kéo mẫu kim loại

Kích th-ớc và hình dạng mẫu thử đóng vai trò quan trọng và ảnh h-ởng tới kết quả thử nghiệm Kích th-ớc mẫu có thể khác nhau, tuỳ theo tiêu chuẩn thử lựa chọn Thông th-ờng hai đầu mẫu có kích th-ớc lớn hơn phần giữa để chúng có thể dễ dàng gắn vào bộ kẹp và phá hủy của mẫu không xảy ra gần phần gá, nơi có ứng suất tập trung làm ảnh h-ởng tới kết quả thử Tiêu chuẩn của Hội thử nghiệm và Vật liệu Mỹ (American Society for Testing and Materials-ASTM) là một trong các tiêu chuẩn phổ biến và đ-ợc sử dụng nhiều nhất, trong đó mẫu thử kéo cho vật liệu kim loại là mẫu tròn có đ-ờng kính là 12,8 mm và chiều dài hữu hiệu của lá điện trở là 50,8mm [3]

Mẫu thử

Thiết bị đo

độ giãn Cảm biến lực

Xà di động



O

Miền tuyến tính

ứng suất cực đại

'D

Hình 1.2: Biểu đồ ứng suất-biến dạng cho thép kết cấu điển hình

nhận đ-ợc từ thử nghiệm kéo

Một trong các thông tin quan trọng nhận đ-ợc từ thử nghiệm là biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng Hình 1.2 minh họa biểu đồ này cho vật liệu thép kết cấu thông th-ờng, tức là thép có hàm l-ợng carbon thấp, th-ờng dùng trong xây dựng, cầu cống và máy móc L-u ý rằng tỷ lệ trên Hình 1.2 không chính xác với tỷ lệ thực

Nh- ta thấy từ Hình 1.2, khởi nguồn của quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính Phần đ-ờng thẳng xuất phát từ gốc 0 và kéo dài tới điểm

A Sau điểm A mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng không còn

tồn tại vì thế điểm A đ-ợc gọi là giới hạn tỷ lệ hay giới hạn đàn hồi Thép thông dụng dùng trong xây dựng, cầu cống, máy móc… thuộc loại thép mềm

th-ờng có hàm l-ợng carbon thấp, giới hạn tỷ lệ của loại thép này nằm trong khoảng 200 tới 280 MPa Thép có độ bền cao có hàm l-ợng carbon cao hơn thép thông th-ờng, giới hạn tỷ lệ có thể lên tới 550 MPa hoặc cao hơn Trong phần giới hạn tỷ lệ này mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo định

luật Hooke và độ nghiêng của đoạn thẳng xuất phát từ 0 tới A là mô-đun đàn hồi hay mô-đun Young (Thomas Young, 1807) của vật liệu

Khi tải trọng tăng quá giới hạn tỷ lệ, biến dạng bắt đầu tăng nhanh Biểu đồ ứng suất-biến dạng có độ dốc nhỏ hơn và tới điểm B độ dốc của biểu

đồ bằng 0, khi đó biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng trở thành đ-ờng nằm ngang Lúc này mặc dù lực ngoài không tăng nh-ng độ giãn dài của mẫu vẫn tăng đáng kể Mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong giai đoạn này đ-ợc biểu thị bằng phần đ-ờng cong từ điểm B tới điểm C trên Hình 1.2 và hiện t-ợng

này đ-ợc biết tới nh- là sự chảy dẻo của vật liệu Điểm B đ-ợc gọi là điểm chảy và ứng suất t-ơng ứng của nó đ-ợc gọi là ứng suất chảy ban đầu (initial yield stress) ứng xử của vật liệu trong vùng từ điểm B tới điểm C là chảy dẻo

lý t-ởng, tức là vật liệu vẫn tiếp tục biến dạng mặc dù lực ngoài không tăng

Độ giãn dài của thép mềm trong vùng chảy dẻo lý t-ởng th-ờng lớn hơn từ 10 tới 15 lần độ giãn dài trong khoảng giới hạn tỷ lệ

Sau khi trải qua giai đoạn biến dạng lớn do chảy dẻo với miền BC vật

liệu bắt đầu chuyển sang giai đoạn tái bền (strain hardening) Trong giai đoạn

này vật liệu có sự thay đổi về cấu trúc hạt nhân và tinh thể và có khả năng kháng cự lại biến dạng, tức là để phát triển thêm độ giãn dài cần phải tăng thêm lực kéo Biểu đồ ứng suất-biến dạng trong giai đoạn này có độ dốc d-ơng và đ-ợc biểu thị bằng phần CD trên Hình 1.2 ở cuối giai đoạn tái bền, tại điểm D, ứng suất đạt giá trị lớn nhất và ứng suất  D đ-ợc gọi là ứng suất cực đại (ultimate stress) Sau điểm D mẫu tiếp tục bị kéo giãn và cuối cùng

phá huỷ xảy ra tại điểm E

Trên thực tế, sau điểm C tức là sau giai đoạn chảy dẻo lý t-ởng thiết diện ngang của mẫu tại lân cận vùng phá hủy bắt đầu giảm và hiện t-ợng này

đ-ợc biết tới trong thực nghiệm với tên co thắt (necking) Nếu thiết diện ngang thực của mẫu đ-ợc sử dụng để tính toán, đ-ờng cong ứng suất-biến dạng thực (actual stress-strain curve) sẽ tuân theo đường CE’ chứ không phải

đ-ờng CE trên Hình 1.2 Cần l-u ý rằng, sau điểm D ứng suất thực trong mẫu vẫn tăng nh-ng khả năng chịu tải ngoài không tăng và lực cực đại mẫu có thể chịu đ-ợc là lực kéo t-ơng ứng với điểm D Từ quan điểm thực tế, biểu đồ ứng suất-biến dạng thông th-ờng, tức là đ-ờng cong 0ABCDE dựa trên thiết diện ban đầu của mẫu th-ờng đ-ợc sử dụng vì nó dễ tính toán và đủ đáp ứng cho các vấn đề của thiết kế

Ph-ơng trình (1.1) đ-ợc biết tới d-ới tên định luật Hooke (Robert

Hooke, 1676) trong đó E (đơn vị là MPa hoặc N/mm2) là mô-đun đàn hồi của vật liệu Với vật liệu kim loại, giá trị của E nằm trong khoảng 4,5x104 MPa (Magiê) tới 40,7x104 Mpa (Vonfam) Thép xây dựng thông th-ờng có mô-đun

đàn hồi khoảng 21x104 MPa Vật liệu có mô-đun đàn hồi càng cao thì càng cứng, tức là khả năng chống lại biến dạng đàn hồi cao hơn Dạng tổng quát của định luật Hooke trong tr-ờng hợp ba chiều cho bởi công thức

ij= Eijkl kl (1.2)

Trong đó ij(i,j = 1,2,3) là ten-xơ ứng suất; kl là ten-xơ biến dạng và Eijkl là ten-xơ các hằng số đàn hồi Với vật liệu đàn hồi đẳng h-ớng, ph-ơng trình (1.2) đ-a về dạng

ij = ij + 2ij (1.3)

Trong đó   11 22 33 là biến dạng thể tích;  và  là các hằng số Lamé (G Lamé, 1852) Trong một số tài liệu, chẳng hạn trong [8], mô-đun tr-ợt G đ-ợc dùng thay cho  trong ph-ơng trình (1.3) Mối liên hệ giữa các hằng số Lamé và các hằng số đàn hồi đ-ợc trình bày trong các sách về lý thuyết đàn hồi [1, 8]

1.4 ứng xử đàn-dẻo

Trong tr-ờng hợp phần tử kết cấu có biến dạng dẻo nh-ng độ lớn của biến dạng này cùng bậc với biến dạng đàn hồi và cả biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo đều phải tính tới trong phân tích kết cấu thì ứng xử của kết cấu là ứng xử đàn-dẻo [6] Khác với tr-ờng hợp biến dạng dẻo lớn nh- trong bài toán cán kim loại, biến dạng đàn hồi rất nhỏ, có thể bỏ qua trong phân tích và chỉ

có biến dạng dẻo đ-ợc xét đến Bài toán đàn-dẻo là bài toán quan trọng nhất

và có ý nghĩa thực tiễn trong lĩnh vực phân tích kết cấu vì trên thực tế một hoặc một vài vị trí của kết cấu có thể chuyển sang chảy dẻo nh-ng kết cấu vẫn

còn khả năng làm việc

Thép xây dựng thông th-ờng có biến dạng tới giới hạn đàn hồi khoảng 5% [3] Miền dẻo lý t-ởng tiếp theo có biến dạng với độ lớn bằng chừng khoảng 10 lần biến dạng đàn hồi Sau giới hạn đàn hồi vật liệu bắt đầu chảy dẻo Tại một điểm C’ nào đó giữa giới hạn đàn hồi B và điểm cực đại D (Hình 1.2) nếu ta thực hiện việc bỏ tải ngoài thì quá trình cất tải sẽ tuân theo luật đàn hồi, tức là theo đường C’D’ song song với đ-ờng 0A Sau quá trình cất tải, một phần của biến dạng đ-ợc phục hồi, một phần khác tồn tại vĩnh viễn trong mẫu Biến dạng tổng thể trong mẫu tr-ớc khi cất tải có thể xem nh- là tổng của hai phần, biến dạng đàn hồi  e và biến dạng dẻo  P

=  e+ P (1.4)

Nếu tại điểm C’ ta thực hiện lại quá trình chất tải, đ-ờng quan hệ ứng suất-biến dạng sẽ quay lại đúng theo đường C’D’ Trong tr-ờng hợp D’ nằm trong miền tái bền CD, vật liệu chỉ chuyển sang giai đoạn chảy dẻo khi ứng suất trong mẫu đạt giá trị C', lớn hơn ứng suất chảy ban đầu B

ứng xử đàn hồi và đàn dẻo trên đây đ-ợc mô tả dựa trên thí nghiệm kéo giản đơn Với vật liệu kim loại, biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng của kim loại mềm khi nén vẫn có dạng nh- trên Hình 2.2 và giá trị của ứng suất chảy ban đầu trong kéo và nén là nh- nhau Tuy nhiên do hiệu ứng Bauchinger [6],

độ lớn của ứng suất chảy của mẫu trong nén sau khi đã chịu kéo quá giới hạn

đàn hồi khác với giá trị ứng suất tại thời điểm cất tải Vấn đề này đ-ợc sẽ đ-ợc trình bày chi tiết hơn trong mô hình luật tái bền d-ới đây

1.5 Mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính

Mối quan hệ ứng suất-biến dạng minh họa trên Hình 1.2 mô tả chi tiết ứng xử của vật liệu kim loại, bao gồm đàn hồi tuyến tính, đàn hồi phi tuyến, dẻo lý t-ởng và tái bền Việc sử dụng mô hình ứng xử chi tiết nh- vậy vào phân tích số gặp nhiều khó khăn Thêm vào đó, có những miền ứng xử, chẳng hạn đàn hồi phi tuyến, xảy ra rất ngắn và ít có ý nghĩa thực tế Để thuận lợi cho tính toán, một số mô hình dẻo đã đ-ợc đề nghị, trong đó mô hình l-ỡng tuyến tính đ-ợc nhiều tài liệu sử dụng trong phân tích kết cấu đàn-dẻo

Trong mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính, Hình 1.3, mối quan hệ ứng suất và biến dạng đ-ợc lý t-ởng hóa bằng hai đ-ờng thẳng với độ dốc E và

t

E , t-ơng ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun tiếp tuyến (tangent modulus) của

vật liệu Sau giai đoạn đàn hồi, xác định bởi ứng suất chảy , vật liệu bắt đầu chảy dẻo với mối quan hệ ứng suất-biến dạng theo đ-ờng tuyến tính mới với

độ dốc E t, Et  E Khi vật liệu chảy dẻo, sự tăng của gia số biến dạng toàn phần d  từ vị trí điểm A sang điểm B, Hình 1.3, bao gồm hai phần: phần do

biến dạng đàn hồi d  e và phần do chảy dẻo p

d  : d   d  e  d  p Sự tăng t-ơng ứng của gia số ứng suất, nh- thấy trên Hình 1.3(a), đ-ợc tính bởi

d   E ( d   d p) hoặc d   Etd  hoặc p

Hd

d    (1.5) Trong đó H là tham số tái bền Mối quan hệ giữa tham số tái bền H với

mô-đun đàn hồi E và mô-đun tiếp tuyến Et dễ dàng nhận đ-ợc từ ph-ơng

trình (1.5), chẳng hạn thay ph-ơng trình thứ nhất và thứ ba của (1.5) vào

ph-ơng trình thứ hai ta nhận đ-ợc

E/E1

EH

E 1 E

Et (1.6) Trong tr-ờng hợp E hữu hạn và Et  0 thì H  0, vật liệu là đàn-dẻo lý

t-ởng Mô hình đàn-dẻo lý t-ởng đ-ợc minh họa trên Hình 1.3(b)

Hình 1.3: Mô hình l-ỡng tuyến tính cho vật liệu đàn-dẻo:

(a) tái bền Et  0, (b) dẻo lý t-ởng Et  0

Lý thuyết dẻo gồm ba phần: 1) Tiêu chuẩn chảy dẻo (yield criterion), 2)

Luật chảy (flow rule), 3) Luật tái bền (hardening rule) Cả ba phần này cần

thiết cho phân tích kết cấu đàn-dẻo và sẽ đ-ợc trình bày chi tiết d-ới đây

1.6 Luật chảy dẻo

Luật chảy dẻo hay còn gọi là tiêu chuẩn chảy dẻo xác định khi nào vật

liệu bắt đầu chảy Trong tr-ờng hợp một chiều chảy dẻo xảy ra khi độ lớn ứng suất || đạt giá trị ứng suất chảy , trong đó  th-ờng đ-ợc xác định từ kiểm tra kéo mẫu vật liệu Nh- nói tới ở trên, biến dạng dẻo có thể làm thay

đổi giá trị của ứng suất chảy, và trong tr-ờng hợp vật liệu tái bền, Et  0, ứng

suất chảy mới có giá trị lớn hơn ứng suất chảy ban đầu

Trong tr-ờng hợp tổng quát, luật chảy dẻo đ-ợc định nghĩa qua hàm chảy f(yield function), là hàm của vec-tơ ứng suất  và các tham biến trong

dùng để mô tả luật tái bền Với vật liệu kim loại, tiêu chuẩn von Mises th-ờng

đ-ợc sử dụng trong phân tích, trong đó hàm f trong tr-ờng hợp hai chiều cho bởi

         2 1 / 2    e  

xy y x 2 y 2

ở trạng thái đàn hồi hoặc trong giai đoạn cất tải

Hình 1.4: Mặt dẻo von Mises trong không gian ứng suất chính

Tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises f  0, định nghĩa bởi ph-ơng trình (1.7) trong không gian ứng suất chính (1,2) là mặt elip, Hình 1.4 ở trạng thái đàn

hồi, e  , ứng suất hữu hiệu nằm trong hình elip Khi tải trọng ngoài tăng, ứng suất hữu hiệu tăng và chảy dẻo xẩy ra khi e đạt giá trị ứng suất chảy

Luật chảy xác định mối quan hệ giữa gia số ứng suất   và gia số biến dạng   khi chảy dẻo (chính xác hơn là giữa d  và d ) Trong tr-ờng hợp một chiều mối liên hệ này giản đơn là d   Etd , tức là mô tả sự tăng của ứng suất gây ra bởi sự tăng của biến dạng Với vật liệu von Mises, luật chảy Plandtl-Reuss th-ờng đ-ợc sử dụng và trong tr-ờng hợp hai chiều có dạng

p y

p x

xy y x

xy y x

d d d

d d d

d d

y x

e

6 2 2 2

1 f

Hai luật tái bền th-ờng đ-ợc sử dụng trong phân tích kết cấu đàn-dẻo là

tái bền đẳng h-ớng (isotropic hardening) và tái bền động học (kinematic

hardening) Trong tái bền đẳng h-ớng ng-ời ta giả định rằng chảy dẻo trong vật liệu đã qua chảy dẻo do kéo sẽ xảy ra trong chất tải theo h-ớng ng-ợc lại, tức là trong nén, khi ứng suất nén có độ lớn bằng với ứng suất chảy khi cất tải Với mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính điều này có nghĩa là tại điểm B nào đó trên biểu đồ ứng suất-biến dạng (Hình 1.5(a)) ta cất tải trở về điểm C và tại C chất tải theo h-ớng ng-ợc lại thì chảy dẻo chỉ xảy ra khi ứng suất  trong vật liệu thỏa mãn   B Nếu chu trình chất và cất tải liên tục xảy ra thì với luật tái bền động học, giá trị ứng suất chảy mới liên tục tăng lên Nói cách khác mặt dẻo nở rộng ra

Cất tải Chất tải

Chất tải ng-ợc chiều

B A

Tuy nhiên, bằng thực nghiệm Bauchinger đã chỉ ra rằng, một mẫu thử bằng vật liệu kim loại nào đó đầu tiên có biến dạng chảy sinh ra bởi lực kéo

rồi cất tải hoàn toàn và sau đó đặt lực trở lại nh-ng theo chiều ng-ợc lại thì giá trị ứng suất của điểm chảy trong tr-ờng hợp nén sẽ nhỏ hơn giá trị ứng suất của điểm chảy trong tr-ờng hợp kéo ban đầu Cách giải thích tốt nhất cho hiện

t-ợng này dựa vào tính không đẳng h-ớng của vật liệu khi đặt lực Hiệu ứng

quan trọng trong nghiên cứu chảy dẻo này mang tên ông, hiệu ứng Bauchinger Từ việc xem xét hiệu ứng Bauchinger, luật tái bền động học đ-ợc

đề nghị Trong đó ứng suất chảy khi nén của mẫu vật liệu đã qua chảy dẻo do kéo xảy ra khi tổng độ lớn ứng suất kéo và nén bằng hai lần ứng suất chảy ban

đầu Với vật liệu tái bền, điều này có nghĩa rằng vật liệu sau khi đã chảy dẻo

do kéo sẽ chảy dẻo lại khi chất tải nén ở ứng suất thấp hơn so với ứng suất chảy ban đầu  Kích th-ớc của mặt dẻo trong tr-ờng hợp này không thay

đổi nh-ng tâm của mặt dẻo luôn di động sau mỗi chu trình chất và cất tải Luật tái bền động học trong tr-ờng hợp một chiều đ-ợc minh hoạ trên Hình 1.5(b)

1.8 Kết luận ch-ơng 1

Ch-ơng 1 tóm l-ợc các vấn đề cơ bản liên quan tới ứng xử của vật liệu kim loại d-ới tác động của tải trọng ngoài trên cơ sở khảo sát mẫu vật liệu chịu kéo giản đơn Mối quan hệ ứng suất-biến dạng của vật liệu đàn hồi tuân theo định luật Hooke đ-ợc nhắc lại Khi tải ngoài v-ợt quá giới hạn đàn hồi, vật liệu bắt đầu chảy dẻo Các vấn đề của lý thuyết dẻo cần cho phân tích số nh- tiêu chuẩn chảy, luật chảy và luật tái bền đ-ợc trình bày cụ thể Mô hình

đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính cho vật liệu kim loại và hai luật tái bền phổ biến là tái bền đẳng h-ớng và tái bền động học đ-ợc thảo luận chi tiết

Ch-ơng II

ph-ơng pháp phần tử hữu hạn

cho dầm đàn-dẻo 2.1 Mở đầu

Ph-ơng pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) đ-ợc phát triển lần đầu tiên trong lĩnh vực phân tích ứng suất, biến dạng của các kết cấu hàng không vào những năm 50 của thế kỷ 20, hiện là một trong các công cụ không thể thiếu trong nghiên cứu khoa học và kỹ thuật [9] Thông th-ờng, bài toán phân tích bằng ph-ơng pháp PTHH có kích th-ớc quá lớn hoặc quá phức tạp, các ph-ơng pháp giải tích truyền thống không sử dụng để phân tích đ-ợc Phân tích kết cấu phi tuyến nói chung và kết cấu đàn-dẻo nói riêng th-ờng phức tạp, các ph-ơng pháp giải tích thông th-ờng chỉ có hiệu lực cho các kết cấu có dạng hình học và tải trọng giản đơn Ch-ơng này tóm l-ợc các ý t-ởng cơ bản của ph-ơng pháp PTHH dùng trong lĩnh vực cơ học kết cấu và cơ học vật rắn biến dạng Ph-ơng pháp PTHH và thuật toán số dùng trong phân tích kết cấu phi tuyến đ-ợc trình bày chi tiết Phần tử dầm đàn-dẻo hai nút dùng trong phân tích các kết cấu phẳng đàn-dẻo đ-ợc xây dựng dựa trên lý thuyết dầm Bernoulli

2.2 Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn

ý t-ởng trung tâm của ph-ơng pháp PTHH là rời rạc hóa một kết cấu liên tục thành các phần tử có dạng hình học giản đơn, với các đặc tr-ng cơ học

đã biết hoặc dễ dàng xác định đ-ợc Các phần tử đ-ợc gắn kết với nhau tại các

điểm nút để tạo thành Mô hình nhận đ-ợc từ quá trình rời rạc hóa đ-ợc gọi là mô hình PTHH Hình 2.1 minh họa một kết cấu giả định với mô hình PTHH tạo từ các loại phần tử khác nhau

Hình 2.1: Kết cấu phẳng với mô hình PTHH tạo từ

các phần tử khác nhau Nh- vậy, với quá trình rời rạc hóa, thay cho việc tìm nghiệm liên tục, chẳng hạn của tr-ờng chuyển vị bằng việc xác định giá trị của tr-ờng này tại các điểm nút nhờ việc giải hệ các ph-ơng trình đại số tuyến tính mô tả sự cân bằng của kết cấu rời rạc Kết quả của quá trình rời rạc hoá là bài toán ban đầu với vô số bậc tự do đ-ợc thay thế bằng bài toán t-ơng đ-ơng có một số hữu hạn bậc tự do Chuyển vị bên trong mỗi phần tử đ-ợc xác định qua các chuyển

vị nút nhờ phép nội suy thích hợp Thông th-ờng trong ph-ơng pháp PTHH các đa thức giản đơn đ-ợc sử dụng làm các hàm nội suy

Với bài toán đàn hồi tuyến tính, công thức phần tử hữu hạn có thể đ-ợc thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng bằng cách xây dựng phiếm hàm thế năng toàn phần Π cho kết cấu rời rạc hóa

Π=U +Ω= { } [ ]{ } dV

2

1 V



V T

S

T

dS } { }

{u -{D}T{P} (2.1) Trong đó U là năng l-ợng biến dạng đàn hồi; Ω là thế năng của lực

zx yz xy z y

{ }

zx yz xy z y

{ } {         là các vec-tơ ứng suất và biến dạng;  T

w v u



u là vec-tơ chuyển vị;

z y

(6  6), gồm 12 hệ số bằng 0 và 9 hệ số còn lại khác 0 là

C ) 1 ( E

E

E11 22 33    ; E12 E13 E23   C;

) 1 ( 2

E G

E E

1

(

E C

1 i i

i d N }

{u (2.2)

trong đó [N] là ma trận các hàm dạng, T

n 2

1 d d } d

] [d  là vec-tơ chuyển vị nút, n là số nút của phần tử Với (2.2), biến dạng đ-ợc xác định từ mối quan

z y 0

0 x y

z 0

0

0 y 0

0 0 x

zx

y z

x y z y x

u

(2.3)

Từ (2.2) và (2.3) ta có thể viết vec-tơ biến dạng d-ới dạng

    {u}=   [N][d] = [B][d] (2.4) Trong đó   là toán tử vi phân, đ-ợc định nghĩa trong (2.3); [B] là ma trận

biến dạng-chuyển vị cho bởi

T

n k d d





- 

 NE

1 n

n T

n { } } {d r e -{D}T{P} (2.6) Trong đó [k] là ma trận độ cứng phần tử

dS } { ] [ dV } { ] [N F N (2.8)

Sử dụng cách ghép nối phần tử, ta có thể viết (2.6) d-ới dạng

Π= { } [ ]{ } { } { }

2

R D D K

Với

[K]= 

 NE

1 n

n ]

[k và {R} = { } { }

NE

1 n n

Trong phân tích kết cấu khung dầm tuyến tính phẳng, phần tử dầm hai nút minh họa trên Hình 2.2 đ-ợc sử dụng rộng rãi Tại mỗi nút của phần tử có hai bậc tự do là chuyển vị ngang và góc quay quanh trục vuông góc với mặt phẳng (x,z) Nh- vậy vec-tơ chuyển vị nút {d} của phần tử gồm bốn thành phần sau

{d}  { w 1 1 w2 2 T

} (2.12) trong đó chỉ số trên T đ-ợc ký hiệu là chuyển vị của một vec-tơ hoặc một ma trận Với giả thiết đàn hồi tuyến tính, công thức phần tử có thể đ-ợc thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng Trong tr-ờng hợp dầm

Bernoulli, biểu thức thế năng toàn phần Π cho phần tử dầm có độ dài L có dạng:

ΠUΩ

2

1

dx EIw L

0

2 xx

L

0

 (2.13) Trong đó EI là độ cứng chống uốn của dầm; w là chuyển vị ngang của dầm, lực q là lực phân bố trên phần tử Lực tập trung có thể xem nh- là lực phân bố có biên độ lớn tác động lên một phần diện tích nhỏ

z, w1w1

Hình 2.2: Phần tử dầm phẳng hai nút và các bậc tự do Thông th-ờng các hàm dạng Hermite đ-ợc sử dụng trong phép nội suy cho chuyển vị ngang của dầm :

N 1= 3

3 2

2

L

x 2 L

x 3

3 2

L

x L

x 2

x   (2.14.2)

N3= 3

3 2

2

L

x 2 L

x

3  (2.14.3)

3 2

L

x L

x 

 (2.14.4) Với (2.14.1)-(2.14.4) ta có :

w  N 1 w 1  N 2  1  N 3 w 2  N 4  2 (2.15)

Từ (2.14) và (2.15) ta tính đ-ợc 2

2 xx

dx

w d

w  Đặt wxxvào công thức của Utrong (2.13) ta xác định đ-ợc biểu thức của năng l-ợng biến dạng đàn hồi U theo

các chuyển vị và góc quay tại nút w1, w2, 1, 2

2 1

2 2

3 2

2 1 1

L 4 L 6 L 2 L 6

L 6 12 L 6 12

L 2 L 6 L 4 L 6

L 6 12 L

6 12

L

EI ]) , w , , w [ , ( hessian ]

Từ biểu thức của thế năng lực ngoài Ω ta dễ dàng xác định đ-ợc công thức của vec-tơ lực nút cho các tr-ờng hợp khác nhau của tải trọng ngoài

2.3 Phân tích PTHH phi tuyến

Trong phân tích kết cấu tuyến tính chúng ta giới hạn ứng xử của kết cấu

và vật liệu trong khuôn khổ tuyến tính, tức là:

(1) Mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị có dạng tuyến tính (chuyển

vị nhỏ)

(2) Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong vật liệu kết cấu là tuyến tính, tuân theo định luật Hooke trong suốt quá trình kết cấu chịu tải Trong nhiều bài toán thực tế các giới hạn ứng xử tuyến tính nêu trên bị phá vỡ và kết cấu có ứng xử phi tuyến Trong lĩnh vực cơ học kết cấu và vật

rắn biến dạng, phi tuyến có hai dạng chính là phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu (còn gọi là phi tuyến vật lý) D-ới tác động của lực ngoài nếu mối

quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị không còn là tuyến tính bài toán trở thành phi tuyến hình học Tr-ờng hợp khi ứng suất và biến dạng không còn liên hệ tuyến tính, bài toán gọi là phi tuyến vật liệu Mất ổn định của kết cấu

và chảy dẻo trong vật rắn là các bài toán phi tuyến hình học và vật liệu th-ờng gặp trong lĩnh vực cơ học kết cấu

Trong lĩnh vực ph-ơng pháp phần tử hữu hạn, một bài toán phi tuyến dẫn tới ma trận độ cứng hoặc vec-tơ lực nút hoặc cả hai phụ thuộc vào chuyển

vị Nh- vậy, trong phân tích tuyến tính ph-ơng trình phần tử hữu hạn ]

[K {D}= R , cả [K] và  R độc lập với vectơ chuyển vị nút {D}, nh-ng trong phân tích phi tuyến thì [K] hoặc  R hoặc cả hai là hàm của {D}, trong khi }

{D là vectơ chuyển vị nút ứng với giá trị của tải ngoài cần tìm Vì thế, ph-ơng trình phần tử hữu hạn [K]{D}= R trong khuôn khổ phân tích PTHH phi tuyến là các ph-ơng trình đại số phi tuyến và để giải nó cần sử dụng một ph-ơng pháp lặp nào đó Đây chính là lý do giải thích vì sao phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến phức tạp và tốn thời gian tính toán hơn nhiều so với phân tích phần tử hữu hạn tuyến tính

Với bài toán phi tuyến hình học và tải trọng ngoài không phụ thuộc vào cấu hình hiện tại của kết cấu (hệ bảo toàn), ta có thể thiết lập biểu thức thế năng toàn phần t-ơng tự nh- (2.1) và xây dựng công thức phần tử bằng cách lấy đạo hàm hai lần theo các chuyển vị nút Tuy nhiên, trong tr-ờng hợp có biến dạng dẻo, kết cấu là hệ cơ học hao tán và vì thế không thể xây dựng đ-ợc phiếm hàm năng l-ợng biến dạng Trong tr-ờng hợp này nguyên lý thế năng toàn phần dùng sử dụng cho hệ cơ học bảo toàn không áp dụng đ-ợc Thay vào đó ta có thể sử dụng nguyên lý công ảo để xây dựng công thức phần tử hữu hạn

Nguyên lý công ảo cho một phần tử với thể tích V có thể viết d-ới dạng [4]

ph-ơng trình công ảo (2.18) d-ới dạng:

υ     

V

T ex T

} ){

} { dV ] }[

{ } { ( N f d ν  {{fin}  {fex}}T{ d ν}  {g}T{ d ν} (2.19)

Trong đó {  }là toán tử vi phân, định nghĩa trong (2.1); [N] là ma trận

n 2

1 , d , , d } d

} {d  là vec-tơ chuyển vị nút phần tử (n là số bậc

tự do của phần tử); {g}  {fin}  {fex} là vec-tơ chênh lệch lực hoặc vec-tơ lực d-

ở mức độ phần tử, [2] Ma trận độ cứng tiếp tuyến nhận đ-ợc bằng cách vi phân (2.19) theo các chuyển vị nút

 υ { } { } [ ]{ }

} {

} { }

} { ]

t

d

f k





 (2.21) Tức là ma trận độ cứng chính là đạo hàm của vec-tơ nội lực nút của phần tử theo các chuyển vị nút phần tử và nh- vây để xây dựng công thức ma trận độ cứng tiếp tuyến trong tr-ờng hợp hệ không bảo toàn ta cần xác định biểu thức cho vec-tơ lực nút phần tử {fin}

2.4 Thuật toán số trong phân tích PTHH phi tuyến

Một trong những nhiệm vụ chính của phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến là dự đoán ứng xử của kết cấu tức là xây dựng mối quan hệ giữa lực tác

động và chuyển vị của kết cấu Đ-ờng cân bằng biểu thị mối quan hệ nói trên

là phi tuyến và trong nhiều tr-ờng hợp ứng xử phi tuyến của kết cấu rất phức tạp Nh- trình bày trên, để giải hệ ph-ơng trình phi tuyến ta cần sử dụng ph-ơng pháp lặp trong đó hệ các ph-ơng trình phi tuyến đặc tr-ng cho sự cân bằng của kết cấu đ-ợc thỏa mãn sau một số b-ớc lặp Trong quá trình lặp sai

số của ph-ơng trình cân bằng đặc tr-ng cho sự chênh lệch giữa các vec-tơ nội lực và ngoại lực, định nghĩa bởi

{G}  {Fin}  {Fex} (2.22)

Trong đó {Fin} và {Fex} t-ơng ứng là các vec-tơ nội lực và ngoại lực tại các điểm nút của kết cấu {G} đ-ợc gọi là vec-tơ chênh lệch lực hoặc vec-tơ lực d- của kết cấu, nhận đ-ợc bằng cách nối ghép các vec-tơ lực d- phần tử }

{g nói trên Trong ngôn ngữ của phân tích phần tử hữu hạn (2.22) là hệ Nph-ơng trình (N là tổng số bậc tự do của kết cấu) đặc tr-ng cho sự chênh lệch giữa lực/mô-men tại các điểm nút của kết cấu Khi {G}  {0}, hệ ph-ơng trình

đ-ợc thỏa mãn và kết cấu ở trạng thái cân bằng

Trong quá trình lặp để giải hệ các ph-ơng trình phi tuyến (2.22), vec-tơ lực d- {G}đ-ợc h-ớng giảm dần về {0} nhờ sử dụng ma trận độ cứng tiếp tuyến [Kt], định nghĩa bởi

} {

} { ] [ t

D

G K

1 , D , , D } D





 NE1 i i t

t ] [ ]



 NE1 i in

in } { } {F f (2.24) Trong đó NE là số phần tử của kết cấu và  đ-ợc hiểu theo nghĩa nối ghép trong lý thuyết phần tử hữu hạn, [9]

Trong phần lớn các tr-ờng hợp của thực tế, lực ngoài có thể đ-ợc phân chia sao cho tỷ lệ với đại l-ợng vô h-ớng  [2] và ta có thể viết ph-ơng trình cân bằng d-ới dạng

{G(D,  )}  {Fin(D)}  {Fex(  )}  {Fin(D)}   {fef}  {0} (2.25)

Trong đó {fef} là vec-tơ lực ngoài cố định Hệ (2.25) gồm N ph-ơng trình với

N ẩn là các chuyển vị nút D1, D2, , DN Nghiệm của (2.25) t-ơng ứng với một giá trị nào đó của  cho ta điểm cân bằng trong không gian lực-chuyển vị Tập hợp các điểm cân bằng tạo thành đ-ờng cân bằng

Ph-ơng pháp phổ biến nhất để giải ph-ơng trình cân bằng (2.25) là ph-ơng pháp lặp tăng dần trên cơ sở ph-ơng pháp lặp Newton-Raphson Trong ph-ơng pháp này vec-tơ lực ngoài {Fex}đ-ợc chia thành các phần, th-ờng là bằng nhau fef.ứng với mỗi giá trị của b-ớc tải {fef} ph-ơng pháp lặp Newton-Raphson đ-ợc sử dụng để xác định điểm cân bằng Ph-ơng pháp lặp Newton-Raphson có thể xây dựng từ khai triển Taylor vec-tơ lực d- quanh điểm cân bằng hiện tại

{ } o ({ } ) { }

} {

} { } { }

) { } [ ] { }

} {

} { ( }

o

G K

G D

chuyển vị b-ớc dự đoán (predictor phase) [2] B-ớc hiệu chỉnh (corector phase) đ-ợc bắt đầu từ việc tính vec-tơ nội lực t-ơng ứng với chuyển dịch

}

{Dn trong (2.28) trên cơ sở vec-tơ chênh lệch lực ph-ơng trình (2.22) và gia

số chuyển vị lặp trong b-ớc hiệu chỉnh sẽ đ-ợc tính t-ơng tự nh- (2.27)

) { } [ ] { }

} {

} { ( }

n

G K

G D

tụ có thể viết d-ới dạng

norm({ D }) <  norm({Dr}) (2.30) Trong đó norm có thể là chuẩn Euclid, chuẩn cực đại hoặc chuẩn giá trị tuyệt

đối; {Dr} là các chuyển vị nút khác không của {D};  là hệ số điều chỉnh nhỏ

đ-ợc chọn bởi nhà phân tích Tuy nhiên, trong nhiều tr-ờng hợp thực tế khi

tiêu chuẩn hội tụ dựa trên gia số chuyển vị lặp (2.2) cần kèm theo tiêu chuẩn dựa trên vec-tơ lực d-, [2]

Luận văn này sử dụng tiêu chuẩn hội tụ dựa trên việc đánh giá chuẩn Euclid của vec-tơ lực d-

{G}  Fex (2.31) với , nh- trên, là hệ số dung sai Nếu chọn  quá nhỏ dẫn tới sự lãng phí không cần thiết trong tính toán Ng-ợc lại nếu  quá lớn dẫn tới sai số đáng

kể sau quá trình lặp Luận văn này chọn   0 , 0001 trong tất cả các ví dụ số để tính toán

2.5 Phần tử dầm đàn-dẻo

Trong mục này chúng ta xây dựng công thức PTHH cho phần tử dầm Bernoulli trên Hình 2.2 với giả thiết ứng xử của vật liệu là đàn-dẻo T-ơng ứng với các chuyển vị nút w 1 , w 2 ,  1 ,  2 trên Hình 2.2 là các lực cắt Q 1 , Q 2 và mô-men M1, M2 tại các nút nh- minh hoạ trên Hình 2.3

Hình 2.4: Lực cắt và mô-men tại các nút phần tử dầm Bernoulli

Trong tr-ờng hợp bài toán dầm đang xét chỉ có ứng suất và biến dạng dọc trục  x và  x là khác không, vì thế công ảo của nội lực, số hạng đầu trong

vế phải của ph-ơng trình (2.18) có dạng

υin= σ ε dV

V x x

   ={fint}T{ d} (2.32) Trong đó T

đ-ợc tính theo công thức của biến dạng kỹ thuật, [4]:

 (2.33) Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng đ-ợc giả thiết là l-ỡng tuyến tính nh- minh họa trên Hình 1.3, trong đó mô hình vật liệu đ-ợc đặc tr-ng bởi mô-đun

đàn dẻo Eep, định nghĩa bởi

0 x

x

x ep

σ σ khi E

σ σ khi E ε

εx=  2  3 1   2 1   2  3 2   2)2 

L

x 6 L

2 ( w ) L

x 12 L

6 ( ) L

x L

4 ( w ) L

x 12 L

6 (

2 ( w ) L

x 12 L

6 ( ) L

x L

4 ( w ) L

x 12 L

6 (

3 2 x

x L

4 w

L

x 12 L

6

dxdA L

x L

2 w

L

x 12 L

6

2 2 2

3 2

3 2 x A

L

x 12 L

6 z

A

L

x 6 L

4 z

L

x 12 L

6 z

0

2 x

A

L

x 6 L

2 z

6 z b

L

0

2 / h

2 / h

0

2 x

2 / h

2 / h

L

x L

4 bz

0

3 2 x

2 / h

2 / h

L

x 12 L

6 bz

L

x 6 L

2 z b

L

0

2 / h

2 / h

L

x L

4 w L

x 12 L

6 L

x 12 L

6 E z Q

dAdx

L

x 6 L

2 w L

x 12 L

6

2 2 2

3 2

1 11

L

x 12 L

6 E z w

4 L

x 12 L

6 E z

1 12

3 2 ep 2 A 2

1 13

L

x 12 L

6 E z w

2 L

x 12 L

6 E z

1 14

2 A 1

1 22

L

x 6 L

4 E z

ep 2 A 2

1 23

L

x 12 L

6 L

x 6 L

4 E z w

ep 2 A 2

1 24

L

x 6 L

2 L

x L

4 E z

2 ep 2 A 2

2 34

L

x 6 L

2 L

x 12 L

6 E

2 A 2

2 44

L

x L

2 E z

phân trong các ph-ơng trình (2.42) và (2.43) đ-a về các hệ số của ma trận độ

0

L

0

3 2

3 2 2

3 2 ep 2 A 11 t

L

EI 12 dx L

x 12 L

6 EI dxdA L

x 12 L

6 E z

T-ơng tự cho các hệ số khác và ma trận [kt] trở về đúng ma trận [k]

cho bởi ph-ơng trình (2.17)

Trong tr-ờng hợp dầm có thiết diện ngang hình chữ nhật với chiều rộng

b, chiều cao h các hệ số của ma trận độ cứng tiếp tuyến của phần tử đ-a về

0

2 3 2 ep 2 2 / h

2 / h 11

L

x 12 L

6 E bz

0

2 3

2 ep 2 2 / h

2 / h 12

L

x 6 L

4 L

x 12 L

6 E bz

0

2 3

2 ep 2 2 / h

2 / h 14

L

x 6 L

2 L

x 12 L

6 E bz

0

2 2 ep

2 2 / h

2 / h 22

L

x L

4 E bz

0

2 2

ep 2 2 / h

2 / h 24

L

x 6 L

2 L

x L

4 E bz

0

2 2 ep

2 2 / h

2 / h 44

L

x L

2 E bz

L dx

) 1 ( 2

L x

] 1 , 1 [ ]

L , 0 [

h dz 2

h z

2

h , 2

h [

x 12 L

x L

x 12 L

x L

4

bh 3

1

1

2 1

1

x

2 1