Dao động cộng hưởng của dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số

Bài viết này nghiên cứu dao động của dầm tính đến yếu tố phi tuyến hình học và cản cấp phân số. Sử dụng phương pháp trung bình hóa tính toán dao động cộng hưởng của dầm và ảnh hưởng của số hạng cản cấp phân số đến đường cong biên độ - tần số.

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 318-323, DOI 10.15625/vap.2019000296 Dao động cộng hưởng dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung Bộ mơn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội E-mail: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn, chung.phamthanh@hust.edu.vn Tóm tắt Đạo hàm cấp phân số sử dụng để mô tả quan hệ ứng suất biến dạng, lực dịch chuyển, lực vận tốc,… hệ học điện tử Bài báo nghiên cứu dao động dầm tính đến yếu tố phi tuyến hình học cản cấp phân số Sử dụng phương pháp trung bình hóa tính tốn dao động cộng hưởng dầm ảnh hưởng số hạng cản cấp phân số đến đường cong biên độ - tần số phương trình dao động uốn dầm ý đến tính phi tuyến hình học có dạng [8, 9] 4w 2 w 2w w EI  N   A    k f w  p ( x, t ) (1) t x x t p ( x, t ) P0 (t ) x Từ khóa: dầm phi tuyến hình học, đạo hàm cấp phân số, dao động cộng hưởng, phương pháp trung bình hóa z Hình Mơ hình dầm Mở đầu Đạo hàm tích phân cấp phân số đề cập đến từ cuối kỷ XVII Tuy nhiên phải đến cuối kỷ XIX lý thuyết đạo hàm tích phân cấp phân số nghiên cứu nhà toán học Liouville, Grünwald, Letnikov, Riemann, v.v… Lúc đầu lý thuyết đạo hàm cấp phân số phát triển chủ yếu lĩnh vực lý thuyết tuý toán học hữu ích cho nhà tốn học Tuy nhiên, vài chục năm gần đây, nhiều tác giả đạo hàm tích phân cấp không nguyên phù hợp cho mô tả tính chất nhiều loại vật liệu mới, chẳng hạn vật liệu polymer Họ mơ hình cấp phân số thích hợp mơ hình cấp ngun sử dụng trước Sự xem xét mặt vật lý cho thấy việc sử dụng mơ hình dựa đạo hàm cấp phân số hợp lý phù hợp [1-7] Trong báo này, áp dụng phương trình dao động phi tuyến dầm dầm [8] thiết lập phương trình vi tích phân phi tuyến mơ tả dao động dầm ý đến tính chất phi tuyến hình học cản cấp phân số Sử dụng phương pháp Ritz-Galerkin biến đổi phương trình vi tích phân mơ tả dao động uốn dầm hệ phương trình vi phân thường Sau áp dụng phương pháp trung bình hóa tính tốn dao động cộng hưởng dầm Biến đổi phương trình dao động dầm phi tuyến hệ phương trình vi phân thường Trong báo xét dao động uốn dầm tính chất đàn hồi vật liệu tuân theo quy luật đàn hồi tuyến tính, xét ảnh hưởng tính phi tuyến hình học bỏ qua tác dụng lực đầu trục, P0 (t )  Khi Xét trường hợp dầm cịn có thêm thành phần cản  w cấp phân số   Khi phương trình (1) trở thành t  w 2w 2w EI  N   A x x t w  w      k f w  p ( x, t ) (2) t t Trong (2), thành phần lực dọc N có dạng EA L  w  N (3)   dx L 0  x  Áp dụng phương pháp Ritz-Galerkin ta tìm nghiệm phương trình vi - tích phân (2) dạng  w( x, t )    n ( x)qn (t ) (4) n 1 Trong  n ( x) hàm dạng dầm Theo [10] hàm dạng  n ( x) thỏa mãn phương trình sau d  n ( x)  A n  n ( x )  (5) EI dx Trong n 4 EI n2  (6)  AL4 Từ (4) ta suy w  d  i ( x)  qi (t ) x i 1 dx Do w w   d  i ( x) d  j ( x)  w    qi (t )q j (t ) (7)    x x i 1 j 1 dx dx  x  Thế (7) vào biểu thức (3) ta Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung N EA    L d  i ( x) d  j ( x)  dx  qi (t )q j (t )   L i 1 j 1  0 dx dx  x , ta có L L d  ( x) d  j ( x) L d  i ( ) d  j ( ) i d dx   0 dx L d dx d Ta đưa vào ký hiệu L d  ( ) d  j ( ) i (9) kij   d d d L d i  x  d  j  x  dx  kij (10) 0 dx dx L Thế (10) vào (8) ta EA   (11) N   K ij qi (t )q j (t ) L i 1 j 1 Thế (4), (5) (11) vào phương trình (2) ta Nếu ký hiệu       Aq (t )   q (t )  k n n 1 n f qn (t )     Aq (t )   q (t )  k n f (12)  qn (t )    n ( ) t   ( )d   Nếu sử dụng ký hiệu   d    1 d n d n d m  d    knm (18) d  0 d d   m 0 Chú ý đến điều kiện biên dầm, ta có  m (0)  0,  m (1)  với dầm hai đầu lề d  n (0) d  n (1)  0,  với dầm đầu tự d d Từ suy kf     qm (t )   ( ) qm (t )   m2  q t  A A m  A t   E  L4     K n 1 i 1 j 1 ij K mn qi q j qn  (19) 1  m ( ) p ( , t )d  (20)  AL 0 Phương trình (19) viết dạng tổng hữu hạn kf     qm (t )   ( ) qm (t )  qm (t )   m2  q t  A A m  A t   hm (t )   E  L4 M M M  k k n 1 i 1 j 1 q q j qn  ij mn i (14)  hm (t ), (m  1, 2, , M ) (21) Trong vài tài liệu người ta thường chuẩn hóa hàm riêng biểu thức  m ( )  sin(m  ) , (22) đưa vào ký hiệu  m m  n d n d m knm  kmn   d   (23) d m  n 0 d (15) Khi phương trình (21) có dạng   qm (t )     qm (t )  qm (t )  m2    qm (t )   A  A t   m   qn (t )    m ( )d  t   0 1  m ( ) p ( , t )d  L 0  ( ) p( , t )d   hm (t )  AL 0 m Trong Ta chọn hàm  m ( ) chuẩn hóa theo điều kiện 0 d  n ( ) d  d n d   0  m d  d d 1  m   m ( )  d  n ( ) EA     k q ( t ) q ( t ) q ( t ) ( ) d   ij i j n  m L4 n 1 i 1 j 1 d 1  (13) Nhân phương trình (13) với hàm dạng  m ( ) lấy tích phân tồn chiều dài dầm từ đến L, sử dụng tính chất trực giao hàm dạng, ta   Aqm (t )   qn (t )  k f qm (t )    Am2 qm (t )   (17) Chú ý qm (t )   p( , t )  1  m ( ) p( , t )d   AL 0   d  n ( ) EA     K ( t ) ( t ) q ( t ) q q  ij i j n L4 n 1 i 1 j 1 d  kf   qm (t )  qm (t )  m2 qm (t )  qm (t )   A A  A t  E     kij Rmn qi (t )q j (t )qn (t )  L4  n 1 i 1 j 1 qn (t )   An2 qn (t )   (16) hai đầu ngàm, Chú ý d  n ( x) d  n ( )  dx L d Do phương trình (12) có dạng    qn (t )    n ( x) t    p ( x, t )  qm (t )   d  n ( x) EA      K ij qi (t )q j (t )qn (t )  L n 1 i 1 j 1 dx n 1 Rmn    m ( )    An2 qn (t )   n d  n ( ) d d phương trình (14) có dạng (8)  m2 2R m M n q q n 1 2 n m  hm (t ) (24) Dao động cộng hưởng dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số Trong phương trình (32) có dạng q(t )   q(t )   f  q, D p q, q   EI , m2  02 m , 02   AL4 k kf  A02 I , A , R (25) với 0 tần số Khi ta lấy M  , từ (24) ta có q1 (t )   (26) Phương trình vi phân (26) phương trình Duffing có thêm số hạng cản dạng đạo hàm cấp phân số Để áp dụng phương pháp trung bình hóa, giả thiết phương trình (26) viết dạng sau q1 (t )  02 q1 (t )   [  k02 q1 (t )  02 2R q13 (t )   p  p q1 (t )   h1 (t )]  A t p  q (t ) A (27) Hàm h1 (t ) vế phải tính từ biểu thức (19) (21) h1 (t )  1 ( ) p( , t )d   AL 0 1 sin(  ) p ( , t )d  , (28)  AL 0  tham số bé Xét trường hợp dầm chịu tác dụng tải trọng phân bố với quy luật p( x, t )  P0 cos t  p( , t )  P0 cos t (29) Khi hàm h1 (t ) có dạng  h1 (t )  sin(  ) P0 cos td   AL 0 2P  cos t  AL (30) 3.1 Thiết lập phương trình đường cong biên độ tần số Để nghiên cứu dao động cộng hưởng hệ (26),   0 , ta đặt   02   (31) Trong đó,  tham số bé,  thể sai lệch  với 0 Từ đó, phương trình (27) có dạng q1 (t )   q1 (t )    k         q1 (t )      2R2 q13 (t )  2 , 2R2   q (t ) A  p  p q1 (t ) 2P  cos t  A t p  AL (32) Bỏ qua ảnh hưởng vô bé bậc cao  ,  p q (t )  E cos t , (34) t p  , A p 2P , E A  AL Biến đổi phương trình vi phân (33) dạng chuẩn Lagrange-Bogoliubov phép biến đổi q  a cos  (35) q   a  sin  (36)   t   (37) Trong a,  hàm biến đổi chậm theo thời gian Đạo hàm phương trình (35) theo thời gian so sánh với (36) ta có hệ thức a cos   a sin   (38) Đạo hàm biểu thức (36) theo thời gian ta có q Sau thay (35), (36) q vào phương trình (33) ta p  a  sin   a  cos    f (q, D p q, q ) (39) Giải hệ hai phương trình đại số tuyến tính, phương trình (38) (39), ta nhận a  a   f (a,  ,  ) sin   (40)    f (a,  ,  ) cos  a Trong f (a,  ,  )    k     a cos    a cos3   p q t   E cos     (41) t p Thực tính thành phần đạo hàm cấp phân số dựa công thức sau [3] p   D p cos  x   p cos   x  ,   (42) p   p p D sin  x   sin   x       a  si n    p Khảo sát dao động vùng cộng hưởng  Trong q1 (t ) thay q(t) hàm vế phải có dạng f (q, D p q, q )    k     q (t )   q (t )   q (t )   p 2  q1 (t )  02 1  k  q1 (t )  q13 (t ) A 2R  p  p q1 (t )   h1 (t )  A t p (33) q  a cos   a cos  t     a cos  cos   t   a sin  sin   t  (43)  q t  p p   (44)  a p cos      t p  Khi biểu thức (41) trở thành f (a,  ,  )    k     a cos    a cos3    a  sin  p     p  p a cos (32)     E cos     (45) Phương trình trung bình hóa hệ (40) có dạng Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung a         a (46) f  a,  ,   cos      a,   Chú ý đến biểu thức (45) ta  p a p  p sin  f  a,  ,   sin      a E sin  ,   2   p a p  p a0 p  p   a0 k 3a0   cos  (48)  2   a  E cos    0 2 Bình phương hai vế hai biểu thức cộng lại ta phương trình đường cong biên độ tần số   p a0 p  p   a0  sin     2     2   p a0 p  p   a0 k 3a0 a0      cos    2     E2 0  da0  dt  1  a0 ,    d    a ,   0  dt Nên ta có d  a             a       dt a  0   0 d            a        dt a  0  0 Ta biểu diễn nghiệm dạng  a  M 1et ,   M et (51) (52) (53) Với M i  i  1,  số Thay biểu thức vào (50) ta có phương trình đại số số M i  i  1,    1         M1     M       0   a 0  (54)           M         M   a 0 0    Để cho số M i  i  1,  không đồng thời triệt tiêu, định thức hệ số chúng     phải (49) 3.2 Khảo sát ổn định nghiệm dừng Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng a0 ,  xác định phương trình (46) phương trình vi phân (38) ta xét nghiệm tùy ý a,  với giá trị đầu đủ gần a0 ,  Nghiệm a,  biển diễn dạng a  a0   a,      Trong  a,  biến Rõ ràng  a,  dần tiến tới t tăng lên vơ nghiệm a,  hệ (40) dần đến nghiệm dừng a0 ,  t tiến đến vô cùng, nghiệm dừng a0 ,  hệ (46) ổn định Như ổn định nghiệm dừng a0 ,  tính tốn theo biến thiên hàm  a,  Khai triển Taylor vế phải phương trình ta có: da da0 d  a    dt dt dt           1  a0 ,       a       ,   a   0  0   d d d     dt dt dt (50) Do  p   ak 3a   cos    2   E cos  a   (47) 2 Từ điều kiện a0  0, 0  ta suy biểu thức xác định nghiệm dừng  p a0 p  p   a0 E sin    0, sin   2   f  a,  ,   cos                 a0 ,      a         a 0   0   f  a,  ,   sin    1  a,    1     a 0        a 0  1     0           0 0 (55) Hoặc  1      0  a 2       1   2    0 (56)   a 0  a Nếu nghiệm  phương trình (56) có phần thực âm nghiệm a0 ,  hệ (40) ổn định tiệm cận, nghĩa     0 H  a0 ,      0  a    1    0 K  a0 ,       a 0  a Trong Dao động cộng hưởng dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số  p  H  a0 ,    p 1 p sin        k 2   p   K  a0 ,    p  2 p   a02   cos   3      p  p 1 2p  32sin      p  16   p    16  k   48 a02 k  16  32 k    27 a04  48 a 2  16 3.3 Vẽ đồ thị đường cong biên độ tần số Xét phương trình (27) q(t )  o2 q (t )  ko2 q(t )   q (t )  p q (t )  E cos t t p Để vẽ đường cong biên độ tần số theo phương trình (49) ta sử dụng số liệu sau :  p  0.1, p  0.5, E  1,   1,   q (t )   p   0.2, k  0.1, 0  1,   0 Một số kết tính thể hình 2, Trong hình đồ thị đường cong biên độ - tần số Hình ảnh hưởng tham số cản cấp phân số  p  0.1;0.2;0.5 Hình ảnh hưởng bậc đạo hàm cấp phân số p  0.25; 0.5; 0.75 Hình Đường cong biên độ - tần số (xét tới ảnh hưởng tham số p ) Kết luận Trong báo này, việc tính tốn dao động phi tuyến hình học dầm chịu tác dụng lực cản cấp phân số khảo sát Một vài kết báo tóm tắt sau: 1) Thiết lập phương trình dao động dầm có tính đến yếu tố phi tuyến hình học lực cản cấp phân số Sau sử dụng phương pháp Ritz-Galerkin biến đổi phương trình vi tích phân mơ tả dao động uốn dầm hệ phương trình vi phân thường Trong trường hợp đơn giản xét số hạng khai triển Ritz-Galerkin ta nhận phương trình Duffing có số hạng cản cấp phân số 2) Áp dụng phương pháp trung bình hóa tính tốn dao động cộng hưởng dầm Nghiên cứu vài ảnh hưởng số hạng cấp phân số đến đường cong biên độ tần số Lời cảm ơn Bài báo hoàn thành với tài trợ Quỹ Phát triển Khoa học Cơng nghệ Quốc gia (NAFOSTED) Hình Đường cong biên độ - tần số (đường nét đứt thể điều kiện ổn định) Tài liệu tham khảo [1] K.B Oldham, J Spanier, The Fractional Calculus, Dover Publications, New York 1974 [2] Miller, K.S and Ross, B., An introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons Inc., New York 1993 [3] Podlubny, I., Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego 1999 [4] Baleanu, D., et al.(eds), Fractional Dynamics and Control, Springer, New York 2012 [5] Hình Đường cong biên độ - tần số (xét tới ảnh hưởng tham số  p ) Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số, Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, 2017 Nguyễn Văn Khang, Trương Quốc Chiến, Phạm Thành Chung [6] Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien, Subharmonic resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol 11, pp 051018, 2016 [7] Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien, Resonance oscillation of third order forced van der Pol system with fractional order derivative, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11, Issue 4, pp 0410301-0410305, 2016 [8] H Kauderer, Nichtlineare Mechanik, Springer-Verlag, Berlin 1958 [9] Nguyễn Văn Quyền, Dao động hỗn độn dầm phi tuyến, Luận văn Thạc sỹ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, 2011 [10] Nguyễn Văn Khang, Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4), NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2005  ... Một số kết tính thể hình 2, Trong hình đồ thị đường cong biên độ - tần số Hình ảnh hưởng tham số cản cấp phân số  p  0.1;0.2;0.5 Hình ảnh hưởng bậc đạo hàm cấp phân số p  0.25; 0.5; 0.75 Hình. ..    1    0 K  a0 ,       a 0  a Trong Dao động cộng hưởng dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số  p  H  a0 ,    p 1 p sin        k 2   p... trình (14) có dạng (8)  m2 2R m M n q q n 1 2 n m  hm (t ) (24) Dao động cộng hưởng dầm phi tuyến hình học với ma sát cấp phân số Trong phương trình (32) có dạng q(t )   q(t )   f  q,