Luận văn khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng

Nhằm tìm hiểu sâu về ứng dụng của lý thuyết chuỗi và tổng vô hạn trong lĩnh vực biểu diễn nghiệm kỳ dị của một số lớp phương trình vi phân, và được sự hướng dẫn của T S.. M ục đích nghiê

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể các thầy cô giáo trường THPT Vĩnh Yên, TP Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 01 năm 20ỉ 5

Tác giả

Q u ách T h ị T h u H u y ề n

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, luận văn:

K h a i t r i ể n m ộ t h à m t h à n h t ể n q vô h ạ n hoặc tíc h vô h ạ n và• <7 « « «

m ộ t số ứ n g d ụ n g là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 01 năm 20ỉ 5

Tác giả

Q u ách T h ị T h u H u y ề n

Khai triển Lagrange

Khai triển hàm phân hình theo hàm phân thức

33

C ác đ iểm kì dị củ a p hư ơ ng trìn h v i p h ân th ư ò n g cấp 2

N g h iệm tro n g m ộ t lân cận củ a đ iểm th ư ờ n g

N g h iệm tro n g lâ n cận củ a m ộ t đ iểm kì dị

N g h iệm ch ín h quy Đ iểm kì dị ch ín h q u y

2.4 Khai triển tiệm cận

2 4 1

2.4 2

M ở đ ầu về k h ai triển tiệm cận

K h a i triển tiệm cận củ a tích p h ân L ap lace, B ổ đề W a tso n

Nhằm tìm hiểu sâu về ứng dụng của lý thuyết chuỗi và tổng vô hạn trong lĩnh vực biểu diễn nghiệm kỳ dị của một số lớp phương trình vi phân,

và được sự hướng dẫn của T S B ù i k iên C ường, tôi đã chọn đề tài

nghiên cứu: K h a i t r i ể n m ộ t h à m t h à n h tổ n g vô h ạ n hoặc tích

vô h ạ n v à m ộ t số ứ n g d ụ n g để thực hiện luận văn tốt nghiệp thạc

sĩ

2 M ục đích nghiên cứu

Biểu diễn một số hàm qua tích vô hạn và ứng dụng trong tìm nghiệm

kỳ dị của một số phương trình vi phân thường

3 N h iệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu về lý thuyết tích vô hạn và việc khai triển một hàm thành tổng hoặc tích vô hạn;

• Nghiên cứu ứng dụng của việc khai triển hàm thành tổng vô hạn trong việc tìm nghiệm kỳ kị của một số phương trình vi phân

4 Đ ối tư ợng và phạm vi n ghiên cứu

• Một số đa thức: Bernoulli, Euler, tích vô hạn, khai triển tiệm cận trong giải tích cổ điển;

• Nghiệm của một số phương trình vi phân thường cấp 2 có sử dụng các hàm đặc biệt.

5 P hư ơng pháp n ghiên cứu

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết

6 N h ữ ng đ óng góp của đề tà i

Luận văn là tài liệu tổng quan về biểu diễn hàm qua tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng của nó trong việc giải một số kiểu phương trình vi phân thường cấp 2.

C hương 1 Tổng vô hạn và tích vô hạn

Ta có một số kết quả về tính hội tụ của tổng vô hạn sau đây.

Đ ịn h lý 1.1.2 Cho hai dãy số phức {ữn}£°=0 và {bn}íf=o- Nếu |ũn|

Điều ngược lại của định lí này là không đúng, chẳng hạn xét chuỗi

Đ ịn h lý 1.1.4 Giả sử rằng amn € [0, oo) với mỗi (ra, rì) £ N X N Ш

Ф : N —>■ N X N là một song ánh Với ngầm hiểu rằng một chuỗi số thực

không âm hội tụ đến 00 nếu như nó không hội tụ đến một số thực, ta có

У ! ( ữ™.n) = ữm’n) = аф(к)'

Đ ịn h lý 1.1.5 Giả sửcm n e с với mỗi (ra, n ) e N x N u à ự > : N —» N x N

tò mội song ánh Nếu một trong ba tổng sau

Trong mục này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các bài toán hội

tụ của tích vô hạn, đặc biệt trình bày các điều kiện về hội tụ tuyệt đối

tiến tới một giới hạn Um không bằng 0 khi n —> oo Khi đó,

oo

u — ị ị un — ^1^12 * * * umun

n = l

(1.1.9)được gọi là giá trị của tích vô hạn

Đ ịn h lý 1.1.6 Nếu tích vô hạn (Ịl.1.71) hội tụ thì lim un = 1.

hội tụ, ở đây logarit được lấy theo các giá trị chính, tức là \arg{\ + an)\ <

7r Kí hiệu tổng trong (Ịl.l.llỊ) là L , khi đó

00

+ ữn) = (a + ữ i ) ( l + 0,2 ) • • • (ữ + am)eL (1.1.12)

n = 1

C h ứ n g m in h

Giả sử chuỗi (1.1.1 1) hội tụ, khi đó dãy

Pfi (1 “ỉ” ^m +l)(l “I” ^ra+2) ■ ■ ■ (1 ”1” exp < l n ( l + ar) Ị

sẽ hội tụ và lim pn = eL Ngược lại, nếu tích hội tụ thì tồn tại ra sao

Do đó, chuỗi fll.l.lip là hội tụ Tuy nhiên, các giá trị của nó phụ thuộc

vào argument của các thừa số trong p Các argument đó không thể xác định một cách bất kì, vì lim ln(l + an) = 0 là điều kiện cần để chuỗi

tồn tại r sao cho

Qa = (1 + |ar+i | ) ( l + |ữr+i|) • • • ( ! + |ữs |) q 7^ 0 khi s —>■ 0 (1.1.13)

1(1 + ar+i)(l + ar+ 1) •••(! + as) — 1| — |ps — 1Ị < —,

điều này chứng tỏ rằng, khi S > r a , l + a s ^ 0 v à nếu P s tiế n tới m ộ t giớihạn thì giới hạn đó phải khác không Hơn nữa, từ (Ị1.1.14Ị) ta có

Rõ ràng, p n Ỷ 0- Đặt sn = \am+1\ + |am+2| -h |ữn|- Vì 1 + \av\ <

do đó Sn < Pn < eSn và điều này suy ra sự hội tụ của Sn và Pn là tương

hội tụ tuyệt đối.

T hật vậy, ta biết rằng khai triển

w 2 k + 1

sin(№) = £ ( - l ) ‘

hội tụ tuyệt đối.

V í d ụ 1.1.2 Cấc hàm sinx và cosx có thể được khai triển dưới dạng

và thay các hàm mũ eix,e ix bởi các giới hạn tương ứng của các hàm

với X, khi đó vế phải của (Ị1.1.17Ị) trở thành

-sử dụng công thức hạ bậc ta có,

( M /2 sinx = X lim I I

n—>00 -*■

k= 1 ( n - l ) / 2

n—>00 1

1

-COS X =

Áp dụng các công thức biến đổi lượng giác hạ bậc ta có

^TT^ í 1 X2 cos2(2Ả : - l ) 7r /2n lim I I I 1 —

*1 —^ rv-> -1- -4.

ị x 2{2k — 1)27T2

n ->00 \4 n2(2fc — 1)27T2 tan2(2fc — l ) 7r /2n

( M /2 lim I I

1 X -v\ A Aíl—>00

fc=0

00 /

s ( - :

1 4z2

1.2 Đ a th ứ c và các số B ern oulli, Euler

Mục này được trình bày dựa theo các tài liệu pũ, E]

Hàm ở vế trái của (Ị1.2.1Ị) gọi là hàm sinh (generating function) của

ự>n{x) Chuỗi trong (Ị1.2.1Ị) hội t ụ với |í| < 27T, vì tính kì dị của hàm sinh

gần nhất với 0 là ±27ri ở đây ta kí hiệu B n{x) thay cho (pn(x).

thu được biễu diễn dạng ẩn cho ự>n{x) :

n ,,{x) = Ỵ ^ C ,

Đây là công thức truy hồi cho (fik- Đặt n = 2, 3, ta có thể tính được

ífin Lưu ý rằng, nhờ (1.2.4) tấ t cả các tpn với n lẻ là bằng không, ngoại

trừ (fị.

Từ (1.2.5) và (1.2.6) có thể được biểu diễn ở dạng:

ipn{x) = (<p + x)' n = 0 , 1 , 2 , (1.2.7)

(v + 1)” - v „ = 0, n = 2 , 3 , (1.2.8)

ở đây ta ngầm hiểu, trong khai triển nhị thức, lũy thừa ífik chính là (fik-

Mười số Bernoulli đầu tiên và với bảy đa thức Bernoulli đầu tiên được cho như sau:

174611330

thay n bằng 7 1 + 1 trong (1.2.11) và lấy tích phân ta có

So sánh các hệ số của tn trong chuỗi trên ta thu được (1.2.15)

5 Công thức cộng Thay X trong (Ị1.2.1Ị) bởi X + y ta có

do đó ta có công thức cộng:

n (fn{x + y) = ^ 2 C*<Pk(y)xn~k •

¥>n+l(s)]-Hơn nữa, chúng ta còn có công thức tổng cho một số hàm:

Từ (Ị1.2.3D ta cũng thu được công thức khai triển đối với hàm cot :

Các đa thức Euler E n(x), n = 0,1, 2, được cho dưới dạng khai triển

2‘ "

n = 0

e* + l 2 ^ (2 n)! 2'

n = 0 v '

trong đó E n = (—l)n22nE 2n(ị) được gọi là các số Euỉer Đôi khi ta kí

hiệu các số Euler là E n = 2nEn{\)\ khi đó E 2n+ 1 = 0 và E 2n ở đây bằng

( ~ l ) nK

Tiếp theo ta trình bày các tính chất cơ bản của đa thức Euler và các

số Euler Chứng minh các tính chất đó tương tự với các tính chất ở mục 1.1.1 của đa thức và các số Bernoulli

1 Biểu diễn tường minh của đa thức Euler và công thức truy hồi cho các số Euler

Vế trái của (1.2.2 1) có thể được khai triển thành

trong đó [n/2] kí hiệu là số nguyên lớn nhất không lớn hơn n / 2 So sánh

với (1.2.21) ta có biểu diễn dạng tường minh của các đa thức Euler:

So sánh hai vế của công thức trên ta thu được (1.2.26)

Mười số Euler đầu tiên và bảy đa thức Euler đầu tiên được cho dưới đây:

1.3 K hai triển Lagrange

Trong mục này, trước tiên ta phát biểu và chứng minh một định lí quan trọng của lí thuyết hàm biến phức đó là định lí về các không điểm và cực điểm của một hàm Phần này được trình bày dựa theo tài liệu [6j.

Đ ịn h lý 1.3.1 Cho 'ộ{z) là một hàm giải tích trong một chu tuyến đơn

c trừ tại một số các cực điểm bj, j = 1 , 2 , .; <2fc, k = 1 , 2 , là các

không điểm của ĩft(z) trong C\ trên C,iỊ)(z) Ỷ 0- Cho <p(z) là một hàm giải tích trong và trên c Khi đó

trong đó n k và P j tương ứng là cấp của các không điểm a ỵ và các cực điểm bj, tích phân lấy dọc theo hướng dương của c (theo ngược chiều kim đồng hồ).

C h ứ n g m in h Áp dụng định lý Cauchy ta có:

1

trong đó (ữfc) và (bj) tương ứng kí hiệu là các chu tuyến đơn bao quanh

<2fc và bj theo hướng dương, mỗi chu tuyến bao quanh chỉ một không

điểm hoặc một cực điểm

Trong một lân cận của

Nếu 'ộ(z) không có cực điểm trong c, thì p = 0, và

J - _ Ậ Ý M

Bây giờ ta phát biểu định lí Lagrange:

Đ ịn h lý 1.3.2 (Lagrange) Cho f ( z ) và ip(z) giải tích trong và trên

chu tuyến đơn c, và a là một điểm trong c Nếu vối các điểm q trên c,

Tiếp theo, với z là một nghiệm trong phương trình (1.3.8) trong c

Áp dụng công thức (11.3.11), ta có

= Ện = 0 (z2 - 1)’ (1.3.10)

a/1 - 2xt + t 2 ^ 2nn! dxrđây là một công thức khai triển quan trọng trong lí thuyết đa thức Legendre

1.4 K hai triển hàm phân hình th e o hàm phân thứ c

Hàm phân hình là hàm đơn trị và trong mỗi miền hữu hạn có kì dị chỉ

có thể là các cực điểm Phần này được trình bày dựa theo tài liệu [6].

p (2)

V í d ụ 1.4.1 Bất kì hầm hữu tỉ ' , trong đó Pn{z) và Qm(z) là các

У т (-2 J

đa thức bậc n và m tương ứng, là hàm phân hình Nếu Pn(z) và Qm(z)

không có thừa số chung, chỉ các đi ềm kì dị trong m ộ t m i ề n hữu hạn là

các không điểm của Qm{z).

V í d ụ 1.4.2 Cấc hàm CSC 2, c o t 2, c á c điểm kì dị của chúng là

z = ±П7Г, n = 0,1, 2 , , và tất cả các cực điểm đơn.

Trong một miền hữu hạn, số các cực điểm của một hàm phân hình phải là hữu hạn Còn lại, chỉ có thể là các điểm đó là điểm tụ (điểm giới hạn) mà không thể là một cực điểm, vì một cực điểm là một điểm kì dị

cô lập

Nếu một hàm phân hình có một số vô hạn các cực điểm an,n =

1, 2, , như trong Ví dụ 1.4.2 ở trên đây, thì ta phải có lim an = 00.

Vì nếu giới hạn là hữu hạn, thì sẽ có vô hạn các cực điểm trong một lân cận của điểm giới hạn đó, và như vậy có vô hạn các cực điểm trong một miền hữu hạn, mâu thuẫn với định nghĩa hàm phân hình

Bây giờ ta sẽ khai triển theo các phân thức của lớp hàm phân hình Trong khai triển đó, tấ t cả các cực điểm của hàm cùng với tính kì dị tại mỗi điểm của chúng được trình bày đầy đủ

Đ ịn h lý 1.4.1 (Định lí Mittag-Leffler) Giả sử f ( z ) ỉà một hàm phân

hình mà toàn bộ cực điểm là ữi, a2ì <23, , và 0 < |ữi| < |ữ2| < |ữ3| <

Nếu tồn tại một dẫy các chu tuyến { Cm} sao cho:

(i) khi m —» oo khoảng cách gần nhất từ Cm tới gốc (z = 0), R m tiến tới 00, nhưng lm/Rm vẫn hữu hạn, trong đó lm là chu vi của Cn' m 5

(ii) trên Cm

\z-pf(z )\ < M, trong đó p là số nguyên không âm nhỏ nhất

số không phụ thuộc vào ra.

tro n g đó ( õ ị ) kí hiệu là chu tu y ế n nhỏ bao q u a n h ar th eo hướng dương

mà trong đó f ( z ) không có các cực điểm khác ar; tương tự với (z+) Pr{s—

a) là phần chính quy của f ( z ) trong lân cận của ar\rm là số các cực điểm

trong Cm Vì Pr (? — ar)/(? — z) là giải tích trong lân cận của ar, tích

phân trên chu tuyến đó là bằng 0 Hơn nữa, theo định lí Cauchy với miền đa liên, ta có

Mặt khác, vế trái của tích phân trong (Ị1.4.7D có thể được biểu diễn dưới

Thay công thức này vào phương trình trước và áp dụng (Ị1.4.7D ta thu được

Khi 2 = 0 cũng là một cực điểm của f ( z) , ta không thể áp dụng trực

tiếp định lí trên cho f ( z) Tuy nhiên, ta có thể áp dụng hàm F ( z ) =

f ( z ) — G q (1/ z ), G q (1/ z ) là phần chính của f ( z ) tại 2 = 0, nếu F( z) thỏa mãn các điều kiện của định lí

Khi tấ t cả các ar là các cực điểm đơn 0) của các hàm phân hình

f ( z ), và \f (z) I < M trên Cm (tức là, trường hợp p = 0), M không phụ

thuộc vào ra, ta có công thức khai triển đơn giản đặc biệt

/(*) = /(0) + f > { ^ + 1 } ^ \ z - a n an )

n = 1

(1.4.8)

trong đó bn là thặng dư của f ( z ) tại at

Chuỗi ở vế phải của và (Ị1.4.8Ị) biểu diễn hàm ở vế trái trong

V í dụ 1.4.3 Khai triển phân thức hữu tỉ hầm cot z.

Hàm cot £ là hàm phân hình, tấ t cả cá cực điểm của hàm này là 0 và

1

1 Vì z = 0 cũng là một cực điểm, ta phải xét hàm F(z) = c o tz —

z

toàn bộ cực điểm là nTT, n = ±1, ± 2 , , với các thặng dư bằng 1 Đặt

Cm là chu tuyến vuông (xem hình dưới đây) Ta có |.F(2)| < M trên Cm

e 2 y _j_ e - 2 y _ 2 c o s 2 í c

Trên hai cạnh B C và B'C' của Cm, x = ± (m 4- | )7T, ta có cos2:r = — 1

và I cot z\2 < 1 Trên B B ' và C C ' , y = ± (ra 4- | )7T và