Luận văn khai triển một hàm thành tổng vô hạn hoặc tích vô hạn và một số ứng dụng

B G I O D C V O TO TRNG I HC s PHM H NI QUCH TH TH U HUYN KHAI TRIN MT HM THNH T N G Vễ HN HOC TCH Vễ HN V MT s NG DNG L U N V N T H C S T O N H C C h u y ờn n g nh: T oỏn gii tớch M ó s : 60 46 01 02 Ngi hng dn khoa hc T S B ựi K iờn C ng H N I, 2015 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti TS Bựi Kiờn Cng, thy ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn, ging gii tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó trang b kin thc, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc Qua õy tụi xin gi li cm n sõu sc ti Ban giỏm hiu cựng ton th cỏc thy cụ giỏo trng THPT Vnh Yờn, TP Vnh Yờn, Vnh Phỳc ó giỳp , to mi iu kin thun li giỳp tụi cú th hon thnh lun ny Nhõn dp ny tụi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, c v, giỳp tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng 01 nm 20 Tỏc gi Q uỏch T h T h u H u y n Li cam oan Tụi xin cam oan di s hng dn ca TS Bựi Kiờn Cng, lun vn: K h a i t r i n m t h m th n h t n q tn 71= ti Ne e N* cho m > n > N e tac Ian + an+1 + + am\ < e 00 Hn na, t nh lớ trờn ta suy rng nu chui ^2 tin hi t thỡ 71 = lim an = Tuy nhiờn iu ngc li l khụng ỳng Chng hn, chui n >00 00 iu hũa ^2 l phõn kỡ ú lim an = lim -7 = n=l n n -> 00 n -> 00 n oo an = A an Do ú, n N N oo Ta thy rng, nu chui an = A thỡ n N + n oo nu \A - Y; an\ < e thỡ I = anI < n=7V + l S dng chui Taylor ta cú cỏc cụng thc khai trin thnh tng vụ hn ca mt s hm s cp c bn nh di õy: 00 = n = 00 ] - - = 1"> ( 1 2) w n=0 ( \ n 00 siaz = E 2n+l (2 + )! n=0 v (2\\ ' log(l + z) = zn= 1' * ) = ' 1-1-4) 1^1 < , (1.1.5) n n 00 - i o g ( i - (LL3) 2n 00 /_-1 c s ^ = E n=0 V zeC ' Ê - , z ' n N < ! (1 ) n= Ta cú mtskt qu v tớnh hi t ca tng vụ hn sau õy n h lý 1.1.2 Cho hai dóy s phc {n}Ê=0 v {bn}ớf=o- Nu |n| n=0 00 hi t v {bn} b chn thỡ chui ^2 ỹnbn hi t n=0 00 00 Ta núi rng chui ^2 an hi t tuyt i nu nh chui X] ln| hi n=0 00 ra=0 00 n h lý 1.1.3 Nu ^2 mt chui cỏc s phc v chui ^2 |n| n= 00 hi t thỡ chui ^2 hi t n= n= iu ngc li ca nh lớ ny l khụng ỳng, chng hn xột chui oo ( - l ) n J chui ny l chui an d u v hi t theo d u hiu Leibnitz, n = l ^ 00 (l) n nhiờn chui 00 - = X] n n = phõn kỡ n=1 n n h lý 1.1.4 Gi s rng amn [0, oo) vi mi (ra, rỡ) Ê N X N : N >N X N l mt song ỏnh Vi ngm hiu rng mt chui s thc khụng õm hi t n 00 nu nh nú khụng hi t n mt s thc, ta cú 00 00 ! ( n= 00 00 ra= n = l .n) = m = 00 mn) = ()' fc= l n h lý 1.1.5 Gi scm n e vi mi (ra, n ) e N x N u > : N ằ N xN tũ mi song ỏnh Nu mt ba tng sau 00 00 XI ( S n= 00 ^) s m = l m = l 00 00 \()\ n = l fc= l /li cỏc tng sau hi t tuyt i v cú tng bng 00 00 00 00 m = l n = l 00 ()n= m = fc= l 1.1.2 T ớch vụ h n Trong mc ny,chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim v cỏc bi toỏn hi t ca tớch vụ hn, c bit trỡnh by cỏc iu kin v hi t tuyt i Tớch vụ hn 00 [ u n = (1.1.7) 71= gi l hi t nu v ch nu tn ti cho > m , u n 7^ 0, v tớch riờng P n ^ m + l ^ m + l l (1 ) t Tht yy, v ỡ Co = c (p P2 ) v C i , e , , c m c xỏc nh bi (2.2.47) u cha cỏc tha s dng (p p2), v ta cú (2.2.56) Nhng (cm)p=p2 cú th l hng s bt kỡ, vỡ cỏc h s cm (2.2.47) n = m xỏc nh cm l /o(p + ra) = (p + m pi)(p + m p2) = (p - p2)(p + - p2) hay nú cng cha (p - p2) Dóy n > m cú th c biu din qua cỏc s hng ca dóy (cm)p=p2\ mi liờn h thu c l hon ton ging nh gia (cn)p=pi v Co (w)p=pi Do ú, (w)p=p2 v (w)p=pi khụng c lp tuyn tớnh Nghim th hai c lp tuyn tớnh ca (w)p=pi l dw Wz) = \ f P) ^ 00 = lnz z', 00 22 M p - p 2" + n=m ( n=0 / r\ \ ) ^ (2.2.57) " ' p-p2 Ta cú) th thy rng s hng th nht (2.2.57) kh khỏc vi W\{z)\iz mt nhõn t hng s, vỡ cỏc h s cụng thc truy hi ca c hai chui l trựng nh ó c ch trờn Ta chỳ ý rng c'(p P2 ) Co = cng l hm ca p v cú cỏc o hm khỏc khụng tr c' Do ú, chui th hai v phi ca (2.2.57) bt u t n = trỏi vi (2.2.52) 2.3 K hai trin hm qua tớch vụ hn Mt hm gii tớch ton b mt phng c gi l mt hm nguyờn, chng hn cỏc a thc sin z, cos z, ez, Nu mt hm nguyờn cng l mt hm gii tớch ti 00 thỡ ỏp dng nh lớ Liouville hm ú phi l hng s Trng hp tng quỏt, im 54 ti oo cú th l mt cc im ca hm nguyờn, chng hn, nh trng hp ca mt a thc hoc trng hp kỡ d thit yu nh hm ez, sin , Trong i s, ta thng biu din mt a thc qua tớch ca cỏc tha s nguyờn t ca nú Tng t, vi mt hm nguyờn, ta cú th biu din nú nh mt tớch nh th, nhiờn, tớch ny l vụ hn nu cỏc khụng i m ca hm l v ụ h n , c h n g h n , s in z, COS z , n h lý 2.3.1 Gi s rng f ( z ) l mt hm nguyờn vi cỏc khụng im l i, a2ỡ khụng bng 0, v lim an = 00 Gi s rng tn ti mt dy n--oo cỏc chu tuyn {Cm} cho trờn cỏc chu tuyn ú \ f ' (z)/ f (z)\ < M , M l s dng khụng ph thuc vo m Kh ú, f ( z ) cú th c khai trin di dng tớch vụ hn: f ( z ) = / ( 0)/,(0)//(0) { ( l - ) /" I (2.3.1) ú mi tha s (1 z / a n)ez^an bng ti im z = an v c gi l tha s nguyờn t ca hm nguyờn f(z) C h n g m in h t F(z) = f ' ( z ) / f ( z ) , ti im z = an, f ( z) = ( z - an) f ( a n) + { z ~2n)2f"(an) + , f'(z ) = f ( an) + ( z - an)f"{an) + , f ( a n) T ú, tc l, an, n = , 2, l cỏc cc im n ca F(z) vi cỏc thng d bng ti cỏc im ú F(z) l gii tớch Do ú, F(z) l mt hm phõn 55 hỡnh Vỡ F ( z ) tha iu kin (1.4.8), nờn ta cú th khai trin theo cỏc phõn thc hu t: n= tc l m /(* ) /'( " ) /( ) f I ỡ aằ i Chui v phi l hi t u, nờn ta cú th nhõn phng trỡnh vi dz v ly tớch phõn t ti z, v thu c (2.3.1) V d 2.3.1 Khai trin thnh tớch vụ hn ca hm sinz Khi z = l mt khụng im ca sin z, ta khụng th ỏp dng trc tip nh lớ 2.3.1 Xột hm f ( z ) = sin z j z cú t t c cỏc khụng im l z = n 7T, n = , 2, , v t t c u l khụng im n Bõy gi, f ' ( z ) / f ( z ) = c o t ,2 1/ z v ta ó ch Vớ d 1.4.3 hm ny tha cỏc iu kin ó c phỏt biu khai trin (2.3.1) l ỳng Do ú, ta cú th khai trin sin z z theo mt tớch vụ hn: S112 00 = n { ( l - ^ ) ^ } { ( l + ^ ) ^ " n=1 (2-3.2) hoc S 1I12 (2.3.3) 00 Vỡ E hi t tuyt i, tớch vụ hn ny cng hi t tuyt i = 11 n 27T2 n= Ta nhn thy rng, vic khai trin mt hm thnh tớch vụ hn khụng hn ch trng hp m cỏc khụng im ca mt hm s u l cỏc khụng im n Gi s rng an l mt khụng im ca f ( z ) cú cp m n Khi ú 56 an l mt cc im n ca hm F(z) = f l (z ) , nhng thng d tng / \z ) ng bõy gi l m n Do ú, nu cỏc iu kin khỏc c tha món, ta cú th khai trin thnh tớch vụ hn ca f ( z ) bng cỏch ỏp dng (1.4.8), c th l ; 00 f / \ -4 mn /(z ) = / ( 0)e n { ( - - J e"/"} - (2-3-4) ú tha s nguyờn t cha an xut hin m n ln Biu din mt hm qua tớch vụ hn khụng hn ch i vi hm nguyờn Mt hm phõn hỡnh f ( z ) luụn cú th c khai trin thnh mt tớch vụ hn vỡ hm phõn hỡnh cú th c hiu nh l thng ca hai hm nguyờn biu din mt hm phõn hỡnh nh thng ca hai hm nguyờn, ta thc hin theo quỏ trỡnh sau: t G{z) l mt hm nguyờn m ton b cỏc khụng im l cỏc cc im ca f (z) Khi ú hm tớch f ( z) G( z) khụng cú im kỡ d mt hu hn, nờn hm tớch ny l mt hm nguyờn t G(z) = f ( z ) G( z ), ú f ( z ) = Gi(z)/G(z) Ta cú nh lớ Weierstrass v phõn tớch thnh tha s nguyờn t di õy n h lý 2.3.2 (Weierstrass) Gi s rng f ( z ) khụng cú cỏc im kỡ d ct yu m t m in hu hn K ý hiu cỏc khụng im hoc cỏc cc im l i , a2, ,0 < |i| < |2| < Khi ú f ( z) cú th c khai trin thnh tớch vụ hn cú dng: f ( z ) = /(0 )e w { ( l - - ) es"w j ", (2.3.5) ú G{z) l mt hm nguyờn vi G{ 0) = 0\gn{z) a thc c chn phự hp cho a thc gn(z) lm cho tớch vụ hn hi t tuyt i 57 v u bt kỡ hu hn no, ngoi tr ti cỏc cc im ca f (z), m n l bc ca khụng im hoc cc im an\ m n l m nu an l cc im C h n g m in h Trc tiờn ta chng t rng, a thc gn(z) cú th tỡm c cho tớch vụ hn (2.3.5) l hi t vi bt kỡ z khụng l mt cc im Theo nh lý l.l.lO, iu ny tng ng vi vic chng t chui X > { ( l - * / a ằ ) e fl"W}ra" 71= l hi t ti mi z khụng l cc im, s hng tng quỏt ca chui l Un=In{ớ1) eớ'w} = m{Inớ1" Ê ) +fc(z)} { - Đ k ) - Nu ta ly 1-1 / \ (2.3.6) - ( ) ú kn l mt s nguyờn > c xỏc nh, ta cú 00 / y V \un\ = * - ) a=l KKớ nJ n 00 t K l s nguyờn dng bt kỡ Y s=0 s + kn a \z\ < K Vỡ an >00, nờn tn ti N cho |n| < 2K, Vn > N v Iza~1\ < Kdn-1 < unI < 2\mn\\ \kn Qn 58 JL i Do ú, n > N, Bõy gi, ta chn kn l s nguyờn dng nh nht cho |un| < bn oo v K l chui hi t bt kỡ vi cỏc s hng khụng õm, chng hn n= bn = 2~n Khi ú chui 52 an khụng nhng hi t m cũn hi t tuyt i v u vi \z\ < K tr ti cỏc cc im Vỡ vy, vi gn(z) c chn, tớch vụ hn (2.3.5) l hi t tuyt i v u Nu ta t ' K - s K - M ' thỡ f ( z ) / F( z ) = G\{z) l mt hm nguyờn m khụng cú khụng im, ú G'1(z)/Gi(z) cng l mt hm nguyờn Kớ hiu G'2(z) = G[(z)/G\{z) ta cú G\{z) = CeG^ z\ c l mt hng s bt kỡ Do ú, / ( z ) = C e G> ô n { ( l - - ) e s- W | m" Khi z = 0, tớch vụ hn v phi bng Do ú /(0 ) = CeG2() v f ( z ) = / ( o)eG2(")- 2(0) f [ ^1 - ^ e5^ j iu ny chng minh (2.3.5) vi G(z) = G2{z) G2{0) 2.4 K hai trin tim cn 2.4.1 M u v khai trin tim cn Ta bit rng, vic khai trin tim cn ca mt hm theo ngha thụng thng l vic biu din xp x hm ú vi cỏc giỏ tr ln ca i s (argument) ca hm ú hoc tham s ú Trong trng hp tng quỏt, khai trin tim cn khụng hn ch trng hp i s hoc tham s ln Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by B Watson cho khai trin 59 tim cn ca mt hm c biu din nh tớch phõn m ta gi l tớch phõn Laplace Gi s f ( z ) l hm gii tớch ti vụ cc, ú hm f ( z ) cú th khai trin di dng chui Talor vi s m ca z gim dn: f(z) ú cn = = Co + cxz + C 2Z H , f ^ ( o o ) / n \ Mc xp x cú th c ci tin vụ thi hn nu cỏc s hng ca v phi c ly ln Trong trng hp tng quỏt, nu ta cú th tỡm c mt chui khụng nht thit hi t Ao + A 1z + ^z + (2.4.1) chui úcú tớnh cht l vi mi n c nh, a r g z chn ch mt ó bit, Ai < a r g z < A2, lim z n{ f ( z ) - s n(z)} = 0, (2.4.2) | z |>00 tc l, f ( z ) = s n(z) + o(z~n), (2.4.3) ú Sn= Aq + + 00 Trong mt khai trin tim cn bt kỡ, iu quan trng l ỏnh giỏ sai s ca xp x T (2.4.2) v (2.4.3), bc sai s l o(z~n) Do ú, vi n c nh v cho trc khong ca argz, nu \z\ ln thỡ sai s s nh, tc l cú xp x hn Hn na, mc xp x cng ph thuc vo s cỏc s hng tng riờng Nhng nu chui phõn kỡ thỡ vi z cho trc, xp x khụng th c ci thin vụ hn bng cỏch ly cng nhiu hn cỏc s hng ca tng riờng, tc l, bng cỏch tng n iu ny khỏc bit vi biu din mt hm xp x bi tng riờng ca mt chui hi t V d 2.4.1 Tỡm khai trin tim cn ca hm 00 m =I ~x t -d t v i X >00, X > (2.4.6) X t t X = , ú 00 00 Jầ4 X 00 - + X A' dX = - I e~xdX X X n k\ ( 1) E ( - ) X k+1 + X ' fc=o = ,-A Lfc=0 00 e n\\ nr X -\- X X X + (2.4.7) dX Nu ta ly tng n s hng u tiờn ca v phi, nh mt xp x ca f (x), sai s c ỏnh giỏ nh sau n ( - 1) X 00 00 Sik \ n / e~kx \ - ^ X + < X n+ 61 / n\ e~kx nd \ = X n+ (2.4.8) Do ú, ,/ X /(* ) T (2.4.8),vi 2! n , + (-!) (n - )! + c nh, bc sai s l x ~ n~l X > , (2-4.9) oo; tc l, X cng lnthỡ xp x cng tt hn Nhng trỏi li, nu X cnh thỡ n vt quỏ giỏ tr (ô x) , sai s s ln n ln hn na Do ú, ta thy rng, vi khai trin tng quỏt, mc xp x khụng th ci thin vụ hn ln c bng cỏch tng s phn t ca tng riờng Ta lu ý rng, trng hp hm bin phc, khai trin tim cn ca hm ph thuc vo ca argument (pha) ca bin: khỏc ca argument, cỏc khai trin tim cn l tng i khỏc Tớnh cht tuyn tớnh Nu 00 00 f ( z ) ~ Z A nz ~ni s( z ) ~ Z B nz ~ni n=0 n=0 thỡ (2.4.10) 00 af ( z ) + Pg(z) ~ ^ { a A n + (2.4.11) n=0 ú a v /3 l cỏc hng s bt kỡ iu ny cú th c chng minh trc tip theo nh ngha khai trin tim cn Tớnh cht nhõn Gi s cú (2.4.10) ú 00 (2.4.12) m= ú m Cm = Y ^ A t B m_k fc=o 62 (2.4.13) Tht yy, theo nh ngha khai trin tim cn ta cú: / ( 2) = q + ú Ê ỡ i f k g(z) = v T + + A nz n + 6Z n B + B xz - X + + B nz~ n + TZ~n ỡ 1^1>00 Do ú, \z\ >00, (2 )9 (2 ) ~ y i Cmz m = AqP + Bqc + ( z 1) > m=0 y Tớch phn tng s hng Gi s z l hm thc hoc bin phc vi argument c nh Nu 00 / ( ) ~ A 2z + A$z + = (2.4.14) A z k, k=2 thỡ / 00 00 f ( z) dz ~ k- (2.4.15) fc=2 Tht vy, gi s Sn(z)\ Il chui bờn v phi ca (2.4.14) _ ca ' V tng ,2, _riờng Vỡ z n{ f ( z ) 5^( 2:)} >0 l^l >00, vi e > bt kỡ, tn ti R cho \z\ > R, \f(z) - s n(z) < c\z-\ Vỡ vy, 00 00 00 00 J f ( z ) d z - J s n(z)dz < \f(z) z z s n(z)\\dz\ < e z \z\~nd\z\ \z\ n \z |n_1 V ' 00 z"-1 f(z)dz - ẩ , UI >00 -2 63 o hm tng s hng Trong trng hp tng quỏt, vic ly o hm tng s hng khụng thc hin c i vi khai trin tip cn Chng hn, ex sin(e3:) ~ + + -^4 , ú ao hm ca nú, tc l, e~x sinớe^ỡ + cosớeđ), X X2 giao ng X > 00, khụng cú khai trin tim cn ti mi im Tuy nhiờn, nu hm s khụng cú o hm v c cỏc khai trin tim cn ca chỳng di dng chui ly tha, ú, ỏp dng kt qu ca phộp ly tớch phõn tng s hng (tớnh cht 3) khai trin tim cn cho f'(z), ta thy rng khai trin tim cn ca f ( z ) cú th ly o hm tng s hng Tớnh nht Vi mt khong cho trc ca argz, mt hm ca z cú th cú nhiu nht mt khai trin tim cn, tc l, khai trin tim cn nu tn ti l nht Nhng, cú th xy trng hp cựng mt khai trin tim cn cú th biu din cỏc hm khỏc Ta s lm rừ nhn xột ny nh sau: Gi s 00 00 f ( z ) ~ ^ kz~k n=0 n=0 Khi ú, vi n c nh, ta cú lim { z n{ A + \Z + + A nz n q B\Z B nz n} } = 0, |*H oo t ú ta cú A q = B , A i = S i , , A n = B n Nhng n l bt kỡ, hai khai trin tim cn phi trựng Tuy nhiờn, cựng mt chui phõn kỡ cú th l khai trin tim cn ca 64 hai hm khỏc Chng hn, oo f ( z ) ~ ^ A kZ~\ \ar9z\ < n= 00 f(z) + e - n= 2.4.2 Khai trin tim cn ca tớch phõn Laplace, B W atson Ta gi 00 f ( z ) = e~ztớp{t)dtỡ z e c (2.4.16) l tớch phn Laplace v f ( z ) gi l bin i Laplace ca ip(t) B 2.4.1 (B Watson) Gi s (f(t) l hm gii tớch n tr argt < , t >00, = (e6ớ), ũ l thc v > 0, t 0, 71= tc l 00 r>0 (2.4.17) n= Khi ú ta cú cụng thc khai trin tim cn quan trng 00 p f(z) = 00 e~zt(f(t)dt ~ Z a nr |>sI >00, Ên/r, n=1 a r^ l < , > 0, (2.4.18) ớrong r(s ) tũ /lm Gamma cho bi r(s ) = / e~Ha~1dt,Re(s) > 65 C h n g m in h T (2.4.17) v dỏng iu ca p(t) t ằ oo, ta bit rng vi N s nguyờn dng c nh N, tn ti K > cho JV-1 0, iu ny c tha \z\ > bCSC iu ny chng minh (2.4.18) B Watson cú th c m rng ti dng tớch phõn chu tuyn (0 +) f(z) = e~zt(f(t)dt 00 7r \argzi\ < - , i < argt < 2t, Ly tớch phõn ng trờn c > (hỡnh di õy) Khi t >00, l thc v t >0, ta cú M * ) ~ ^ a nt K \ = o(|ớ|JV), n= 66 (2.4.19) = (e 6ớ), b ú < i < < Di cỏc iu kin ú, ta cú cụng thc khai tri n tim cn: f(z) = (0f ) ^ / e~zt (2.4.20) V d 2.4.2 Tỡm khai trin tim cn ca (0+) f ( x) = \arg(-t)\ < l (2.4.21) 00 7T vi X -Ơ oo;\argx\ < ^ , > O f ( x ) nghim ca phlng trỡnh Hermite dng tớch phõn T cụng th c (2.4.20) t a cú eo /(* ) = e*** / Ê n i s 00 = (-PY nỡ 00 X ~ sin JbTT n=0 ( - PY r ( n - f i + l ) x ~ 2n n! 67 (2.4.22) K t lun Lun trỡnh by c cỏc sau õy: Trỡnh by tng vụ hn, tớch vụ hn v vic biu din hm qua tng vụ hn v tớch vụ hn Trỡnh by h thng kin thc v a thc, s Bernoulli, s Euler, khai trin Lagrande, khai trin hm chnh hỡnh v hm phõn thc; khai trin hm zeta qua cỏc s Bernoulli mt trng hp c bit Trỡnh by mt s ng dng ca biu din hm qua tng vụ hn vic gii phng trỡnh vi phõn thng Trỡnh by v ng dng ca tng vụ hn khai trin tim cn, v trng hp khai trin tim cn ca tớch phõn Do nng lc nghiờn cu v trỡnh ca bn thõn cũn hn ch, lun khú trỏnh nhng thiu sút, tỏc gi rt mong c s gúp ý ca thy cụ v bn c lun c hon thin hn 68 [...]... , , và tất cả các cực điểm đơn Trong một miền hữu hạn, số các cực điểm của một hàm phân hình phải là hữu hạn Còn lại, chỉ có thể là các điểm đó là điểm tụ (điểm giới hạn) mà không thể là một cực điểm, vì một cực điểm là một điểm kì dị cô lập Nếu một hàm phân hình có một số vô hạn các cực điểm an,n = 1, 2, , như trong Ví dụ 1.4.2 ở trên đây, thì ta phải có lim an = 00 n —»00 Vì nếu giới hạn là... thì ta phải có lim an = 00 n —»00 Vì nếu giới hạn là hữu hạn, thì sẽ có vô hạn các cực điểm trong một lân cận của điểm giới hạn đó, và như vậy có vô hạn các cực điểm trong một miền hữu hạn, mâu thuẫn với định nghĩa hàm phân hình Bây giờ ta sẽ khai triển theo các phân thức của lớp hàm phân hình Trong khai triển đó, tấ t cả các cực điểm của hàm cùng với tính kì dị tại mỗi điểm của chúng được trình bày... biểu và chứng minh một định lí quan trọng của lí thuyết hàm biến phức đó là định lí về các không điểm và cực điểm của một hàm Phần này được trình bày dựa theo tài liệu [6j Đ ịn h lý 1.3.1 Cho 'ộ{z) là một hàm giải tích trong một chu tuyến đơn c trừ tại một số các cực điểm bj, j = 1 , 2 , ;