Thống kê của hệ các dao động tử biến dạng hai tham số

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI ===íoEQca=== NGÔ VĂN NGHĨA THỐNG KÊ CỦA HỆ CÁC DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ Chuyên ngành: Vệt lí lí thuyết & Vật lí toán Mã sề: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC sĩ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2015 Luận văn thực trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội hướng dẫn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, người đặt móng tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng kính họng, biết ơn chân thành sâu sắc tới cô Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lí, Phòng Sau Đại Học, Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, người động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến, kinh nghiệm quý báu giúp hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, chắn luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Ngô Văn Nghĩa Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không trùng lặp với đề tài nghiên cứu khác, thông tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Ngô Văn Nghĩa MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất hệ nhiều hạt, mô tả phưong pháp thống kê Để hiểu biết đầy đủ hon hạt bản, việc mở rộng biến dạng hai tham số p,q hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà vật lí Bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử ta thấy thuận lợi đồng thời có khả xây dựng phân bố thống kê lượng tử mở rộng cho trường họp dao động phi điều hòa hay dao động tử điều hòa biến dạng Lý thuyết trường lượng tử mở đường để nhận biết trình vật lí xảy giới hạt vi mô, đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực vật lí, đặc biệt việc nghiên cứu hệ nhiều hạt xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử Các phương pháp bổ sung cho để làm rõ chất vật lí trình vật lí hệ nhiều hạt Nhóm lượng tử đại số biến dạng khảo sát thuận lợi hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng Trong năm gần việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số biến dạng kích thích thêm quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với thống kê Bose - Einstein thống kê Fermi - Dirac thống kê Para - Bose, Para - Fermi, thống kê vô hạn, thống kê biến dạng , với tư cách thống kê mở rộng hai tham số Cho đến cách mở rộng đáng ý khuôn khổ đại số biến dạng Việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số lượng tử phát triển mạnh mẽ, thu hút quan tâm nhiều nhà vật lí lý thuyết cấu trúc toán học phù hợp với nhiều vấn đề vật lí lý thuyết Việc mở rộng hình thức lượng tử điều hòa hai tham số quan tâm nghiên cứu với quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với thống kê quen thuộc Vì hướng dẫn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em xin chọn đề tài: “ Thống kê hệ dao động tử biến dạng hai tham số” Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài xây dựng thống kê hệ dao động tử biến dạng hai tham số phương pháp lý thuyết trường lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Khảo sát hệ nhiều hạt đồng - Xây dựng thống kê Bose - Einstein biến dạng hai tham số - Xây dựng phân bố thông kê Fermi - Dữac biến dạng hai tham số Đối tượng nghiên cứu Hệ dao động tử biến dạng hai tham số Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết: - Phương pháp vật lí thống kê phương pháp giải tích khác Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử II NÔI DUNG CHƯƠNG HỆ NHIỀU HẠT ĐÒNG NHẤT 1.1 Dao động tử lượng tử Dao động tử điều hòa chiều chất điểm có khối lượng m, chuyển động tác dụng lực đàn hồi f = - kx dọc theo đường thẳng Toán tử Hamiltonian dao động tử điều hòa chiều có dạng [1] : 2m (1.1) Trong đó: X = q = X toán tử tọa độ px= p = -ữi toán tử xung lượng Hệ thức giao hoán P q h r A A "Ị AA AA [p,qj = pq-pq = -ih X h h UA {pÃ]v/ = -ift Wv'V ft ft UA UA (1.2) =>[p.q] = -^ Do ta biểu diễn Hamiltonian theo p theo q sau: H= Ta đặt: mũ)2 ^2 +— — X (1.3) A Khi ta biểu diễn toán tử H theo â+ sau: _1h ^0~+~\ 2m ỉ 2m 2ma>y J = —.■ _ _ +2a ả) 22v’ _n = -+-A — -ả ả ' v Ta biểu diễn toán tử â â+ ngược lại qua p\ầ q: -5+ í - /2mứJ i => fl+ + fl = -=? -~1- h 2ma)v ’ ựìí (1.4) h V 2mứJ -5 • '=w ■ mh v ' A\ /\ in => a - fl tì /\ V : mh Từ ta thu được: Â = mf„ 2ứj/ỉ p'' _m (1.5) r , ;p- (1.5) 2cởh (1.7) Ta chứng minh hệ thức giao hoán |^â,â+ J = Thật vậy: r-5 > + ) bI o) = (nếu n chẵn) - Vậy tông quát: (^+) ¿j|0) = |n-l) (nếunlẻ) b I n) = —-—— I n -1) (3.16) =(ỳf|0) (3.17) = \n +1) Từ (3.7) (3.8) ta suy : N\n) = b + b\n) ~ l-(-l) = b+—^Mfl-1) ' =H=T|„ (3.18) Phân bố thống kê dao động tử Fermion phân bố thống kê b+b Ib + b) = 4-Tr Q ß a N b + b \ /zVJ = ịt(n^ỹb\n) ¿ n=0 -{n n} eßBm I Z ( 1-e' ■fit V f 2eTpq p>q (3.22) (3.23) Từ đại số (3.21) chứng minh hệ thức sau b{b+Ỵ = (-l)npn(b+Ỵb + {n}pq(b+rlq-N (3.24) Và từ xác định hệ số chuẩn hóa vectơ trạng thái I n)p q , đại số (3.21) thực không gian Fock với sở vectơ trạng thái riêng chuẩn hóa toán tử số dao động tử N sau Chú ý ta sử dụng đến ký hiệu I n) p,q p> q [...]... n +1) và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu lượng tử năng lượng là một hạt thì N sẽ là toán tử số hạt, à sẽ là toán tử hủy hạt và ẫ+ sẽ là toán tử sinh hạt Khi đó trạng thái I n) với năng lượng En=nh sẽ là trạng thái chứa n hạt Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Cuối cùng, ta hãy tính các hệ số tỷ lệ ocn,ßn, và ỵn trong các hệ thức ã\n) — an\n — l) à+\n) = pn\n... thái của toán tử N ứng với trị riêng (n + 2) , (n + 3), Kết luân 2; Nếu I rì) là một vectơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì ,với P=ỉ,2,3, ,âp ìn) cũng là một vectơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n - p); và (â+Y I n) cũng là một vectơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n+p), và n-p^o Từ hai kết luận trên ta thấy n là một trị riêng của toán tử N thì chuỗi các số không... là vectơ riêng của tì ứng với trị riêng £,=(n+i)* Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng h Trạng thái 10) có năng lượng thấp nhất là Eữ Trạng thái tiếp theo 11) với năng lượng Eữ+h có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng... trị riêng của toán tử N khi đó là: (1.12) Nịrìỳ = nịììỳ = > ^ 7 | | N ị r ì ỳ = = n ị n I r c ) Nên n>o Các kết quả tính toán cho chúng ta các kết luận sau: Kết luân 1: Các trị riêng của toán tử N là các số không âm Xét véc tơ trạng thái thu được ã\n) bằng cách tác dụng toán tử â lên véc tơ trạng thái |n) Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N và sử dụng công thức (1.10) ta có: (1.14) Hệ thức trên... trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng Toán tử N có trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán số lượng tử năng lượng Toán tử â khi tác dụng lên I n) cho một trạng thái tỷ lệ với I n — 1) và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử â+khi tác dụng lên I«) cho một trạng... quả của việc thêm một lượng tử năng lượng h vào trạng thái |l), cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng h vào trạng thái Ịo) Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là Eo, thì có thể coi trạng thái |0) là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy |o) được gọi là trạng thái chân không, | l) là trạng thái chứa một lượng tử, |2) là trạng thái chứa hai lượng tử |n) là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N... tơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n -1) Tương tự như vậy â2\n);â3 | rc), cũng là véc tơ trạng thái của toán tử N ứng với trị riêng (n - 2) , (n - 3), Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái â+ị n), tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N, sử dụng công thức (1.11) ta có: (1.15) Nghĩa là véc tơ (1.13) trạng thái a I n) cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với trị riêng... cũng là trị riêng của toán tử N Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nm-m Khi đó: (1.16) ãIn.>=0 min' Vì nếu â| Từ (1.16) ta có: à+â\nmia) = N\nmia)=0(1.17) Mặt khác theo định nghĩa NI «min) = «min I «min) nmin)^0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng min -1 < n„ún w trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất Kết luân 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là nmin =... với trị riêng nhỏ nhất của N được kí hiệu là Ịo) Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện: ã Ịo) =0 Khi đó : a 10) tỷ lệ với vectơ riêng 11) của N ứng với trị riêng n=l, (â+ )21 0) tỷ lệ với ve ctơ riê ng 12 ) củ a N ứn g với trị riê ng n= 2, (â+ )" 10 ) tỷ lệ với ve ctơ riê ng I n) củ a N ứn g với trị riê ng n, h nên 10) là vectơ riêng của ũ ứng với trị riêng 11) là vectơ riêng của ũ ứng với trị riêng