Phân loại và giải một số bài toán về phương trình truyền nhiệt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ PHẠM VĂN LUYỆN PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2012 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ PHẠM VĂN LUYỆN PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết Vật lí Toán KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TH.S LÊ KHẮC QUYNH HÀ NỘI, 2012 Lời cảm ơn Lời khóa luận tốt nghiệp em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Vật Lí tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian qua Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo-ThS Lê Khắc Quynh, người hướng dẫn, tạo điều kiện tốt đóng góp ý kiến để em hoàn thành để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin bày tỏ lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Tuy nhiên thời gian trình độ thân hạn chế nên trình thực đề tài em chắn không tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến thầy, cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2012 Sinh viên thực Phạm Văn Luyện Lời cam đoan Em xin cam đoan vấn đề em trình bày khóa luận kết nghiên riêng thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo- Th.S Lê Khắc Quynh, không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2012 Sinh viên thực Phạm Văn Luyện MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ……………………………………………… ……… 1 Lí chọn đề tài……………………………………………………… .1 Mục đích nghiên cứu………………………………………………… … Giả thuyết khoa học……………………………………… …………… Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………………… ……….2 Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………… …………2 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… ……… Cấu trúc khóa luận……………………………………………… ………….2 NỘI DUNG………………………………………………………… ……… Chương 1: Tổng quan phương trình truyền nhiệt……………… ………….3 1.1 Thành lập phương trình…………………………………………… …… 1.2 Điều kiện biên điều kiện ban đầu…………………………………… Chương 2: Phân loại giải số toán pt truyền nhiệt………………7 2.1 Bài toán truyền nhiệt tự nguồn…………………………… 2.2 Bài toán truyền nhiệt có nguồn………………… …………… 15 2.2.1 Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn phụ thuộc vào tọa độ x (bài toán dừng)…………………………… ………………………… 15 2.2.2 Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn phụ thuộc vào tọa độ x thời gian t ………… 24 2.3 Bài toán truyền nhiệt với biên tổng quát…………………… ….34 KẾT LUẬN………………………………………… …………… 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………… ……41 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong vật lí học đại, phương pháp toán học sử dụng đa dạng phong phú Chúng bao gồm khối lượng lớn kiến thức thuộc ngành như: Hàm thực, Hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi toán học, đại số tuyến tính… Phương pháp toán lí môn sử dụng công thức Toán hàm toán để giải toán vật lí diễn tả tượng thiên nhiên như: Phương trình dao động sợi dây, phương trình dao động màng, phương trình khuếch tán, phương trình truyền nhiệt… Đây môn học giảng dạy sinh viên năm thứ khoa Vật lí môn thi (môn sở) đầu vào ngành sau đại học Vật lí Trong trình học tập môn phương pháp toán lí hứng thú với phương trình truyền nhiệt nhận thấy diễn tả tượng tổng quát thiên nhiên: “Trong vật rắn truyền nhiệt, điểm khác nhiệt truyền từ điểm nóng tới điếm nguội hơn” Vì vậy, phương trình truyền nhiệt có ứng dụng lớn đời sống kĩ thuật Để tìm hiểu sâu sắc lí thuyết vật lí việc giải toán mà lí thuyết đặt tất yếu Khi tìm hiểu phương trình truyền nhiệt thấy toán đa dạng phong phú, làm cho sinh viên lúng túng việc giải toán Do vậy, việc phân loại đưa phương pháp giải cho loại toán truyền nhiệt cần thiết Chính lí nêu nên chọn đề tài: “Phân loại giải số toán phương trình truyền nhiệt” để làm đề tài cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Phân loại tìm hiểu cách giải toán phương trình truyền nhiệt Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Các phương trình truyền nhiệt chiều học chương trình đại học Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu cần thực nhiệm vụ sau: - Xây dựng lí thuyết phương trình truyền nhiệt - Phân loại toán phương trình truyền nhiệt - Vận dụng hàm, chuỗi toán học; cách giải phương trình vi phân để giả toán truyền nhiệt Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần: - Phần mở đầu - Phần nội dung - Phần kết luận NỘI DUNG Chƣơng TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 1.1 Thành lập phƣơng trình Như ta biết, nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách : trình dẫn nhiệt, trình xạ trình đối lưu Quá trình dẫn nhiệt bên vật chuyển động phân tử bên vật Trong vật rắn, dòng nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao (là nơi có số lớn phân tử chuyển động có vận tốc lớn hay động lớn) sang nơi có nhiệt độ thấp (là nơi có vận tốc động phân tử nhỏ hơn) Quá trình xạ nhiệt hai vật xảy nhiệt truyền qua không gian từ vật nóng sang vật lạnh (không tính đến nhiệt độ không gian hai vật), chuyển động nhiệt dạng sóng Một ví dụ truyền nhiệt độ Mặt Trời cho Trái Đất Nhiệt truyền đối lưu xảy số loại chuyển động nhiệt di chuyển từ nơi sang nơi khác Tất trình truyền nhiệt nghiên cứu môn học đại cương chuyên đề nhiệt Trong khóa luận này, chủ yếu tìm hiểu trình truyền nhiệt vật dẫn Xét môi trường truyền nhiệt đẳng hướng, u (x,y,z,t) nhiệt độ điểm P(x,y,z) thời điểm t Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Furie: Nhiệt lượng ΔQ qua mảnh  mặt kín ΔS theo phương pháp tuyến n thời gian Δt, tỉ lệ với ΔS, Δt đạo hàm pháp tuyến Q   k ( x, y, z )t S u : n u n (1) Trong k hệ số truyền nhiệt trong, không phụ thuộc vào hướng  n pháp tuyến môi trường đẳng hướng ta thường coi số, vecto pháp tuyến ΔS hướng theo chiều giảm nhiệt độ Bây ta xét vật thể tùy ý V giới hạn mặt kín trơn, xét biến thiên nhiệt lượng thể tích từ thời gian t1 đến thời gian t2 Từ (1) ta suy nhiệt lượng truyền vào mặt S từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 là: t2 Q1    dt   k ( x, y , z ) Trong  n t1 S u dS n vecto pháp tuyến hướng vào bên mặt S Áp dụng định lí Ôtxtrôgratxki để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân ba lớp coi k số, ta có : t2 Q1   k  dt  divgrad u dV t1 Vì ta có : V  2u  2u  2u divgrad u  u    x y z t2 Nên : Q1   dt   u dV t1 V Giả sử vùng V có nguồn nhiệt có mật độ g(x,y,z,t) (nghĩa nhiệt lượng sinh đơn vị thể tích sau đơn vị thời gian), từ thời điểm t1 đến thời điểm t2, thể tích V xuất nhiệt lượng : t2 Q2   dt  g dV t1 V n   i2t u |  Ae  x 0  i  i 1 D m  u |   B e   j t  x xl j 1 j Và điều kiện biên: Trong a ,Ai.Bj số khác ; g(x) f(x,t) hàm giải tích D (Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt đồng có chiều dài l, nhiệt độ đầu mút x=0 tuân theo qui luật: n u |x0   Ai e i t i 1 đầu mút x=l có truyền nhiệt tuân theo qui luật : m u   2t |xl   B j e j x j 1 Trong có nguồn nhiệt f(x,t), thời điểm ban đầu phân bố nhiệt hàm tùy ý f(x) ) Giải Ta tìm nghiệm u(x,t) phương trình dạng sau : n m i 1 j 1 u ( x, t )  v( x, t )   w i ( x, t )   z j ( x, t ) (2.1) u  u a  f ( x, t ) ta : Thay (2.1) vào phương trình t x 2 n m  z 2 z j   w i v j  v  wi  a   a a   f ( x, t )    t x i1  t x  j 1  t x  (2.2) Từ (2.2) thuận lợi việc tìm nghiệm u(x,t) ta tìm hàm v(x,t); wi(x,t); zj(x,t) dạng thỏa mãn số điều kiện đơn giản sau : Hàm v(x,t) nghiệm phương trình : 27 u  u a  f ( x, t ) t x (2.3) với điều kiện ban đầu : n m i 1 j 1 v |t 0  g ( x)   w i ( x, t ) |t 0   z j ( x, t ) |t 0  v | x 0  o  D   v  x |xl  Các hàm wi(x,t) nghiệm phương trình dạng : (2.4) điều kiện biên : w i  wi a  t x (2.5) (2.6) Với điều kiện biên : i t  w i |x0  Ae i  D   w i |xl    x (2.7) Các hàm zj(x,t) nghiệm phương trình dạng : z j t a 2 z j x  (2.8) với điều kiện biên :  z j | x 0   D   z j |xl  B j e i t   x (2.9) Các hàm wi(x,t) tìm dạng :  i t w t  x, t   Ae X i ( x) i 28 (2.10) Thay (3.10) vào (3.6) ta :  Ai i2ei t X i  Ai a 2e i t X i"   X i"   i2 a2 Xi   X i  x   a1 sin i x a  a2cos i x a (2.11) (trong a1; a2 hệ số tích phân) Thay (2.11) vào (2.10) ta : i x i x   i2t  w i  x, t   Ae a sin  a cos i   a a   (2.12) Sử dụng điều kiện biên (2.7) ta có:  i t  i t  i2t   w i |x0  Ae Ae a2  Ae i i i   D   w    2t   i x  x i i i  a2 sin i   |xl    Ae i  a1cos a a a   x  2  a2     il a1  tg a (2.13) Thay (2.13) vào(2.12) hàm wi(x,t) tường minh dạng: i t w i  x, t   Ae (tg i i x a sin i x a  cos i x a Các hàm zj(x,t) tìm dạng : 29 ) (2.14) z j  x, t   B j e Yj  x     2j t (2.15) Thay (2.15) vào (2.8) ta :  B j B 2j e   2j t Y j ( x )  B j a 2e  Y  x  " j Y j"  x     2j t B 2j  jx a a Y j  x    Y j  x   b1 sin  b2cos  jx a (2.16) Thay (2.16) vào (2.15) ta : z j  x, t   B j e   2j t  jx  jx   b sin  b cos   a a   (2.17) Sử dụng điều kiện biên (2.9) ta :  z j | x 0   D   z j |xl  B j e i t   x  B j e  i t b2    l l   2t  j (b1cos j  b2 sin j )  B j e  i t B je i a a a  b2    a  b1   l   j cos j  a (2.18) Thay (3.18) vào (3.17) hàm zj(x,t) tường minh dạng : 30 z j ( x, t )  B j e   2j t a sin  jx  j cos a  jl a (2.19) Nghiệm v(x,t) phương trình (2.3) tìm dạng:  v  x, t    Tk (t )sin k 1 (2k  1) x 2l (2.20) Thử lại (2.20) vào điều kiện biên (2.5) ta có:   v |  Tk  t  sin   t 0   k 1    v |  T (t ) (2k  1) cos (2k  1)  k  x xl  2l k 1 Như (2.20) thỏa mãn điều kiện biên (2.5); thay (2.20) vào (2.3) ta :  T 'k (t )sin k 0 (2k  1) x  a (2k  1)  (2k  1) x  Tk  t  sin  f  x, t  2l 4l 2l k 0    a (2k  1)  (2k  1) x   Tk' (t )  T ( t ) sin  f ( x, t ) k  l l k 0   (2.21) Do xét x∈(0,1) nên ta coi f(x,t) tuần hoàn theo chu kì l Như vậy, ta khai triển hàm f(x,t) thành chuỗi dạng :  f  x, t     k  t  sin k 0 (2k  1) x 2l (2.22) (2k  1) x  k  t    f  x, t  sin dx l 2l (2.23) 31 Thay (2.22) vào (2.21) ta :  '  (2k  1) x  a (2k  1)2  (2k  1) x Tk (t )  sin    k  t  sin  Tk (t )  4l l l k 0  k    Đồng thức vế ta : a (2k  1)2  T (t )  Tk (t )   k  t  4l ' k (2.24) Phương trình (3.24) cho nghiệm dạng : Tk  t   Ce  a (2 k 1)2  t 4l  Tr (t ) (2.25) Trong C hệ số tích phân; Tr(t) nghiệm không phương trình (2.24) Thay (2.25) vào (2.20) v(x,t) có dạng :  a v  x, t    Ce k 0    (2 k 1)2  t 4l  (2k  1) x  Tr (t )  sin 2l  (2.26) Thay (3.14) (3.19) vào (3.4) điều kiện ban đầu hàm v(x,t) có dạng : n v |t 0  g ( x)   Ai (tg i 1  il a sin i x a  cos i x a m )   Bj 32 j 0 a sin  jx  j cos a  jl a (2.27) Từ (2.26)và (2.27) ta có: n m (2k  1) x  il i x i x C  T (0) sin  g ( x )  A (tg sin  cos )  Bj      r i 2l a a a k 0 i 1 j 0  a sin  jx a  j cos  jl a n (2k  1) x l  x x (2k  1) x  C  Tr (0)   g ( x)sin dx    Ai (tg i sin i  cos i )sin dx l 2l a a a 2l i 1 1  j 0 aB j m  j cos  jl  sin  jx sin (2k  1) x dx 2l )sin (2k  1) x dx 2l a a Đặt : n I    Ai (tg  il i 1  j 0 aB j m  j cos a  jl sin  sin i x a  jx a  cos sin i x a (2k  1) x dx 2l a Thì : (2k  1) x C   g ( x)sin dx  I  Tr (0) l 2l (2.29) Thay (3.29) vào (3.26) v(x,t) tường minh dạng :   a (2k  1) x  v( x, t )     g ( x)sin dx  I  Tr (0)  e l l     sin (2k  1) x 2l (2 k 1)2  4l    Tr  t     (2.30) 33 Thay (2.14); (2.19) (2.30) u(x,t) hoàn toàn tường minh dạng :  il  i x  x  i2t  u ( x, t )   Ae sin  cos i    i  tg a a  j 1  a i 1 n m  a   Ce k 0    (2 k 1)  4l Bj x l  jl B j cos a aB j e   2j t sin  (2k  1) x  Tr (t )  sin 2l  Trong C xác định từ (2.29) 2.3 Bài toán truyền nhiệt với biên tƣơng đối tổng quát Bài toán truyền nhiệt với biên tương đối tổng quát toán truyền nhiệt có điều kiện biên có dạng :  u |x0  g1  t   D   u  x |xl  g  t   Ta xét ví dụ cụ thể sau: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình:  0 xl u  u D  a  miền  t x 0  t   Với điều kiện ban đầu u |t 0  g  x  34  u |x0  g1  t   Và điều kiện biên D   u  x |xl  g  t   Trong a số khác 0, g(x), g1(x); g2(t) f(x,t) hàm giải tích D ( Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt thời điểm t>0 đồng chất có chiều dài l, đầu mút x=0 có nhiệt độ thay đổi tuân theo hàm g1(t) tùy ý, đầu mút x=l xảy truyền nhiệt tuân theo hàm tùy ý g2(t) Trong nguồn nhiệt Phân bố nhiệt thời điểm ban đầu tuân theo hàm g(x) ) Giải Ta tìm nghiệm toán dạng : u(x,t)=v(x,t)+w1(x,t)+w2(x,t) (1.1) u  u a  t x Thay (1.1) vào phương trình vi phân : 2 v w1 w 2  v  w1  w2 a  a  a 0 t x t x t x 2 v  2v w  w1 w 2  w2   a2    a2   a t x t x t x ta : (1.2) Đặt : 2 w1 w 2  w1  w2 F  x, t    a  a t x t x (1.3) Rồi thay vào (1.2) phương trình (1.2) có dạng: v  2v a  F  x, t  t x (1.4) 35 Như vậy, từ điều kiện nghiệm u(x,t) toán kết hợp phương trình (1.4), ta tìm hàm v(x,t); w1(x,t); w2(x,t) chúng thỏa mãn số điều kiện sau: Hàm v(x,t) nghiệm phương trình : v  v a  F  x, t  t x (1.4) với điều kiện biên :  v | x 0   v |xl  (1.5) điều kiện ban đầu : v |t 0  g ( x)  w1 |t 0  w |t 0 (1.6) Đặt: G  x   g ( x)  w1 |t 0  w |t 0 (1.7) thay (1.6) điều kiện ban đầu v(x,t) có dạng: v |t 0  G  x  (1.8) Hàm w1(x,t) thỏa mãn điều kiện :  w1 |x0  g1  t    w |xl  (1.9) Hàm w2(x,t) thỏa mãn điều kiện:  w | x 0    w |xl  g (t ) (1.10) 36 Các hàm w1(x,t) w2(x,t) thỏa mãn điều kiện (1.9) (1.10) lớp rộng rãi hàm Tuy nhiên để thuận lợi cho việc tính toán hàm w1(x,t) w2(x,t) phải thỏa mãn số điều kiện cụ thể sau: Các hàm w1(x,t) w2(x,t) phải thỏa mãn điều kiện (1.9) (1.10) Việc lựa chọn w1(x,t) w2(x,t) cho hàm F(x,t) đơn giản (có thể) Việc lựa chọn w1(x,t) w2(x,t) cho hàm G(x,t) đơn giản (có thể) Sau số dạng hàm w1(x,t) w2(x,t) sử dụng : Một số dạng hàm w1(x,t) thỏa mãn điều kiện (1.9): a, w1  x, t   1 x g1 (t ) l  1 x  + b, w1  x, t     g1 (t ) (trong n∈N ) l   n c, w1  x, t   cos d, w1  x, t   cos (2k  1) x g1 (t ) (trong k∈Z) 2l 2m(2k  1) x g1 (t ) ( m∈N+) 2l Một số dạng hàm w2(x,t) thỏa mãn điều kiện (1.10) a, w  x, t   x g (t ) l  x b, w  x, t     g (t ) (trong n∈N+) l c, w  x, t   sin 1 2 x 2l g (t )  x g (t ) (trong k∈Z)  2l d, w  x, t     2k  37 Như vậy, ta coi tìm xong hàm w1(x,t) w2(x,t) Thay chúng vào (1.3) (1.7) hàm F(x,t) G(x) hoàn toàn tường minh Nghiệm v(x,t) (1.4) tìm dạng:  v( x, t )   Tk (t )sin k 0 k x l (1.11) Việc lựa chọn v(x,t) theo (1.11) hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên (1.5) Thay (1.11) vào (1.4) ta : k x  a 2k 2 k x T k (t )sin  Tk (t )sin  F ( x, t )  l l l k 0 k 0  '  ' a k 2  k x   T k  T sin  F ( x, t ) k  l2 l k 0    (1.12) Do xét x∈ (0,1) nên ta coi hàm F(x,t) giả tuần hoàn theo chu kì vậy, với t>0 ta khai triển hàm F(x,t) thành chuỗi dạng:  F ( x, t )    k (t )sin k 0 k x l (1.13) k x  k (t )   F  x, t  sin dx l l (1.14) Thay (1.13) vào (1.12) ta :  ' a k 2  k x  k x  T k  l Tk  sin l    k (t )sin l k 0  k 0   Đồng thức vế phương trình ta : a 2k 2 Tk Tk   k (t ) l2 ' (1.15) Phương trình (1.15) cho nghiệm Tk(t) dạng: 38 Tk  t   M k e  a k 2 l2  Trk (t ) (1.16) Trong Mk số tích phân, Trk nghiệm riêng không phương trình (1.16), dạng Trk phụ thuộc lớn vào dạng γk(t) Thay (1.16) vào (1.11) v(x,t) có dạng: a k    k x  t v  x, t     M k e l  Trk (t )  sin l k 0     2  (1.17) Sử dụng điều kiện ban đầu (1.8) :  v |t 0  G ( x)    M k  Tr (0)  sin k 0 k x  G  x l k x  M k   G  x  sin dx-Tr (0) l l (1.18) Thay (1.18) vào (1.17) u(x,t) hoàn toàn tường minh:   k x   a kl 2 t k x v  x, t       G  x  sin dx-Tr (0)  e  Tr (t )  sin l l l k 0      2  (1.19) Thay hàm w1(x,t); w2(x,t) v(x,t) tìm vào (1.1) ta hoàn toàn tìm nghiệm u(x,t) hoàn toàn tường minh 39 KẾT LUẬN Qua thời gian tiến hành thực đề tài,với cố gắng thân giúp đỡ thầy, cô giáo khoa Vật lí đặc biệt thầy giáo hướng dẫn – ThS Lê Khắc Quynh, đến em hoàn thành đề tài đạt số kết sau :  Đề tài đề cập số nội dung sau : - Xây dựng phương trình truyền nhiệt môi trường đẳng hướng - Phân loại toán truyền nhiệt : + Bài toán truyền nhiệt nguồn + Bài toán truyền nhiệt có nguồn + Bài toán truyền nhiệt với biên tổng quát - Đưa cách giải cho loại toán với số toán cụ thể  Bước đầu em hiểu, làm quen với công tác nghiên cứu khoa học làm quen với công việc thực tế 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Chính Cương (2009), Bài tập Phương pháp Toán Lí, NXB ĐHSP, Hà Nội [2] Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp Toán Lí, NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] Phan Huy Thiện (2006), Phương trình Toán Lí, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] Lê Đức Thông, Đặng Đức Dũng (2009), Phương pháp toán dùng cho Vật lí, NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, TPHCM 41 [...]... đẳng hướng đặt ra như sau: Tìm nghiệm của phương trình (2) thoả mãn điều kiện ban đầu: U |t 0    x, y, z  Và một trong các điều kiện biên (3); (4) hoặc (5) Chƣơng 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 2.1 Bài toán truyền nhiệt tự do không nguồn Bài toán truyền nhiệt tự do không nguồn là bài toán đi tìm nghiệm u(x,t) của phương trình : 2 u  0  x 1 2  u D  a  0... 0  0  2 2 2  2.2.2 Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn phụ thuộc vào cả tọa độ x và t Bài toán đặt ra là : tìm nghiệm u(x,t) của phương trình 2  0  x 1 u 2  u D  a  f ( x , t )  trên miền t x 2 0  t   Với điều kiện ban đầu u |t 0  g  x  Và một số điều kiện biên cụ thể khác nhau Ta cũng xét một số bài toán cụ thể sau: Bài toán 1 Tìm nghiệm của phương trình  0 xl u  2u... nên ở một thời điểm bất kì của môi trường, ta phải có đẳng thức : c u  k u  g  0 t Hay ut'  a 2  u"xx  u"yy  u"zz   Trong đó a2 = k/cρ 5 1 g  x, y , z , t  c (2) Phương trình (2) gọi là phương trình truyền nhiệt, nghiệm u = u(x,y,z,t) của phương trình này mô tả sự phân bố nhiệt độ trong môi trường truyền nhiệt Nếu g =0, ta có phương trình truyền nhiệt thuần nhất Ngược lại, phương trình. .. Thay (2.22) vào (2.21) vì v(x,t) là tường minh dưới dạng:  x  Bx u ( x, t )  A    1    l  l a k  2 1 k x 2B 2A   l 2 t k x     f  x  sin dx  cos k  sin e l k k  l k 1  l 0 2 2 2  2.2 Bài toán truyền nhiệt có nguồn 2.2.1 Bài toán truyền nhiệt có nguồn, nguồn chỉ phụ thuộc vào tọa độ x (bài toán dừng) Bài toán được cho dưới dạng : tìm nghiệm u(x,t) của phương trình:  0... |t 0  f  x  Và các điều kiện biên khác nhau Ta đi xét một số bài toán cụ thể sau: Bài toán 1 Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình 7 2  0 xl u 2  u D  a  0 trên miền  t x 2 0  t   Với điều kiện ban đầu u |t 0  f  x   u | x 0  0 Và điều kiện ban đầu D   u |xl  0 Trong đó a là hằng số, f(x) là hàm giải tích trên D Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ trong thanh... x 0  0 D   Và điều kiện biên u |xl  0 Trong đó a là hằng số khác 0, g(x) và f(x,t) là hàm giải tích trên D (Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t>0 trong thanh đồng chất có hai đầu mút luôn được giữ ở nhiệt độ bằng 0 Ở thời 24 điểm ban đầu phân bố nhiệt trong thanh là một hàm tùy ý g(x) Trong thanh có nguồn nhiệt phụ thuộc vào cả x và t là hàm f(x,t)) Giải Ta sẽ tìm... Và điều kiện biên (Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t >0 trong thanh đồng chất có đầu mút x=0 luôn giữ ở nhiệt độ A, đầu mút x=l luôn giữ ở nhiệt độ B Ở thời điểm ban đầu t=0 phân bố nhiệt trong thanh là một hàm tùy ý f(x) ) Giải Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán dưới dạng : u(x,t)=v(x,t)+w1(x,t)+w2(x,t) (2.1) 2 u 2  u  a  0 ta được: Thay (1.1) vào phương trình t x 2 11... ( x) và các điều kiện biên cụ thể khác nhau Ta cũng đi xét một số bài toán cụ thể : 15 Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình  0  x 1 u  2u  a 2 2  f ( x) trên miền D =  t x 0  t   với điều kiện ban đầu u t 0  g ( x)  u x 0  A  m i2 t và điều kiện biên u   xl  Bi e i 1  trong đó A; B và αi là các hằng số tích phân khác 0, các hàm f(x) và g(x) giải tích trên D (Bài toán. ..  x xl j 1 j Và điều kiện biên: Trong đó a ,Ai.Bj là hằng số khác 0 ; g(x) và f(x,t) là hàm giải tích trên D (Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt trong thanh đồng nhất có chiều dài l, nhiệt độ ở đầu mút x=0 tuân theo qui luật: n u |x0   Ai e i t 2 i 1 đầu mút x=l có sự truyền nhiệt tuân theo qui luật : m u   2t |xl   B j e j x j 1 Trong thanh có nguồn nhiệt f(x,t), ở thời... dòng nhiệt: q  k u y | S   2   , t  và n n Trong đó  2   , t    (4) q  ,t  là một hàm cho trước k 3 Trên biên của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh mà nhiệt độ của nó là U0 Theo định luật Niuton dòng nhiệt trao đổi với môi trường xung quanh và tỉ lệ với hiệu của nhiệt độ của biên S và của môi trường xung quanh Vậy : q    u  u0  |S trong đó  là một hệ số trao ... y, z  Và điều kiện biên (3); (4) (5) Chƣơng PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 2.1 Bài toán truyền nhiệt tự không nguồn Bài toán truyền nhiệt tự không nguồn toán tìm... thuyết phương trình truyền nhiệt - Phân loại toán phương trình truyền nhiệt - Vận dụng hàm, chuỗi toán học; cách giải phương trình vi phân để giả toán truyền nhiệt Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương. .. lúng túng việc giải toán Do vậy, việc phân loại đưa phương pháp giải cho loại toán truyền nhiệt cần thiết Chính lí nêu nên chọn đề tài: Phân loại giải số toán phương trình truyền nhiệt để làm