Hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán xác suất lớp 11 ở trường THPT hà văn mao

1 MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Trong q trình phát triển, xã hội ln đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy Tốn khơng ngừng bổ sung, đổi để đáp ứng với đòi hỏi xã hội Vì vậy, người giáo viên nói chung phải ln ln tìm tòi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong đề thi Trung học phổ thông ( THPT) Quốc Gia năm toán tổ hợp, xác suất thiếu học sinh THPT toán tổ hợp, xác suất tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính dễ gây nhầm lẫn Trong thực tế, lý thuyết xác suất ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học cơng nghệ, kinh tế Chính lẽ lí thuyết xác suất đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT kiến thức ngành toán học quan trọng để áp dụng vào tốn thực tế Việc giảng dạy xác suất có thuận lợi dễ gây hứng thú cho học sinh tốn xác suất nói chung gần gũi, thiết thực với đời sống Tuy nhiên qua trình giảng dạy nhận thấy học sinh ngại phải làm tập phần này, đặc biệt học sinh lớp thuộc ban làm xong đó, em hay có đáp số khác Chính vậy, đứng trước tốn xác suất, học sinh thường lúng túng, cách giải nào, chí có nhiều em làm xong khơng giám chắn làm Để học tốt tốn xác suất yêu cầu học sinh phải nắm vững khái niệm xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn tình cụ thể Tuy nhiên, đa số em chưa hiểu thấu đáo khái niệm như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… em biết giải toán xác suất số kiểu tập quen thuộc Vì vậy, việc dạy học xác suất cần có tư mới, cần có thời gian để tổng kết, để hệ thống lý thuyết tập Với mong muốn giúp em học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức phương pháp xác suất, đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác nhau, chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh phân loại giải số toán xác suất lớp 11 trường Trung học phổ thông Hà Văn Mao” Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh khắc phục nhược điểm nêu trên, nắm vững khái niệm quy tắc xác suất đồng thời phải biết vận dụng kiến thức để giải tốn tình cụ thể Từ đạt kết cao q trình học tập mơn Tốn Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri trức, mở rộng, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp dạy phần hiệu Nghiên cứu đề tài để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học nội dung việc phụ đạo học sinh yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi Từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Qua nội dung đề tài tơi mong muốn tìm phương pháp tối ưu để giải vấn đề cung cấp cho học sinh số kĩ việc giải toán xác suất Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh lớp 11A4, 11A5 Trường THPT Hà Văn Mao - Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm quy tắc xác suất, toán xác suất - Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức xác suất chương trình sách giáo khoa mơn Tốn lớp 11 Phương pháp nghiên cứu - Kết hợp linh hoạt phương pháp dạy học - Bổ sung, hệ thống kiến thức xác suất Lựa chọn ví dụ cụ thể, phân tích tỉ mỉ, phân dạng tập phương pháp giải, từ đưa tập tương tự - Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ giải tốn học sinh, tổng kết kinh nghiệm, tìm khó khăn, thuận lợi giải toán lớp trước Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức xác suất, phân loại cách giải cho dạng tập cụ thể - Giúp học sinh hạn chế sai lầm, nhầm lẫn thường gặp giải toán xác suất - Rèn luyện kĩ giải toán xác suất nhanh, xác giúp em đạt kết cao nội dung này, đặc biệt với tập trắc nghiệm khách quan NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nghị số 29/NQ- TW ngày 4/ 11/ 2013 Hội nghị Trung ương khóa XI đưa quan điểm đạo coi “ Giáo dục đào tạo quốc sách hàng đầu, nghiệp Đảng, Nhà nước toàn dân”; “ Phát triển giáo dục đào tạo nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Để thực mục tiêu cán bộ, giáo viên phải khơng ngừng nổ lực tìm giải pháp phù hợp với đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giáo dục đơn vị cơng tác Bên cạnh việc đầu tư nâng cao chất lượng mũi nhọn việc đầu tư củng cố, phụ đạo nâng cao chất lượng học sinh đại trà lớp ban vấn đề cần thiết Chương trình tốn Trung học phổ thơng cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ kiến thức xác suất Tuy nhiên, phần kiến thức mẻ học sinh, mặt khác theo chủ chương giảm tải, SGK SBT cung cấp số lượng ví dụ, tập xác suất, chưa phân dạng cụ thể, thời gian luyện tập theo phân phối chương trình khơng nhiều dạng tập xác suất đề thi lại phong phú, đa dạng Do đó, học sinh thường lo lắng, lúng túng gặp toán xác suất Khi giải tốn xác suất đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức phương pháp xác suất, đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải tình cụ thể “ Hướng dẫn học sinh phân loại giải số toán xác suất lớp 11 trường THPT Hà Văn Mao” cung cấp cho học sinh số kĩ việc giải toán xác suất Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh 2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình THPT tốn xác suất dạng tốn hay khó thường gặp nhiều kì thi Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề chưa hệ thống, phân loại dạng cách giải toán tình cụ thể Do đó, gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, công tác phụ đạo, bồi dưỡng giáo viên Học sinh trường THPT Hà Văn Mao học sinh khu vực miền núi đa số nhận thức chậm, chưa hệ thống kiến thức, chất lượng đầu vào học sinh thấp, điều kiện học học sinh vất vả, nhà xa trường, nhiều học sinh phải trọ học thiếu quan tâm, giám sát gia đình, nhiều học sinh phải nghỉ học mùa mưa lũ đường bị ngập lụt khơng thể đến trường dẫn đến kết học tập chưa tốt Vì vậy, gặp tốn xác suất chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng việc lựa chọn phương pháp biến đổi tính tốn Đa số, học sinh lớp học theo chương trình chuẩn học lực học sinh đạt mức trung bình đứng trước tốn tính xác suất biến cố em thường gặp khó khăn: - Khơng mô tả không xác định phần tử không gian mẫu - Không xác định số kết thuận lợi cho biến cố - Khơng thể áp dụng quy tắc tính xác suất chưa phân biệt rõ biến cố có mối quan hệ với Vì vậy, hướng dẫn học sinh phân loại giải toán xác suất biến cố thiết thực, nhằm tìm phương pháp truyền đạt thích hợp xếp nội dung ơn tập củng cố theo trình tự hợp lí giúp giáo viên học sinh giảng dạy học tập phần đạt hiệu hơn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Hệ thống lại kiến thức phần xác suất kiến thức phần tổ hợp có liên quan - Phân dạng tập phương pháp giải tương ứng cho dạng - Hướng dẫn học sinh cách trình bày lời giải cho dạng - Ra tập tương tự cho dạng - Hướng dẫn học sinh vận dụng giải số tập trắc nghiệm - Thực tiết dạy tự chọn phụ đạo chủ đề xác suất biến cố tính chất xác suất 3.1 Kiến thức 3.1.1 Các quy tắc đếm a Quy tắc cộng: Giả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có n cách chọn khác khơng có cách chọn đối tượng X trùng với cách chọn đối tượng Y Khi có m  n cách chọn hai đối tượng Chú ý: - Giả sử A B tập hữu hạn, khơng giao Khi n  A �B   n  A   n  B  - Nếu A B hai tập hữu hạn n  A �B   n  A   n  B   n  A �B  - Nếu A1 , A2 , , Am tập hữu hạn tùy ý, đơi khơng giao n  A1 �A2 � �Am   n  A1   n  A2    n  Am  b Quy tắc nhân: Giả sử có hai hành động thực liên tiếp Hành động thứ có m kết quả, ứng với kết hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kết Khi có m.n kết hai hành động liên tiếp Chú ý: Quy tắc mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp 3.1.2 Các cơng thức tính số hoán vị , số chỉnh hợp, số tổ hợp n! Ank  (1 �k �n) Pn  n!  1.2 (n 1).n ;  nk! n! Cnk  (0 �k �n) ; Đặc biệt : Pn  Ann k ! n  k  ! 3.1.3 Các kiến thức xác suất a Phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu - Phép thử thí nghiệm , phép đo hay quan sát tượng - Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử - Khơng gian mẫu tập hợp kết xảy phép thử kí hiệu b Biến cố: Là tập không gian mẫu - Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A tùy thuộc vào kết T - Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy gọi kết thuận lợi cho A - Trong phép thử ln có hai biến cố đặc biệt: + Tập � gọi biến cố ( gọi tắt biến cố không), biến cố khơng xảy phép thử T thực + Tập  gọi biến cố chắn, biến cố xảy thực phép thử T c Phép toán biến cố Trước hết ta giả thiết biến cố xét liên quan đến phép thử kết phép thử đồng khả - Biến cố đối: Tập xảy gọi biến cố đối biến cố , kí hiệu khơng xảy - Biến cố hợp: Cho hai biến cố A B Biến cố “ A B xảy ra” kí hiệu gọi hợp biến cố Tổng quát: Cho k biến cố A1 , A2 , , Ak Biến cố “ Có biến cố A1 , A2 , , Ak xảy ra”, kí hiệu A1 �A2 � �Ak gọi hợp k biến cố - Biến cố giao: Cho hai biến cố A B Biến cố “cả A B xảy ra” kí hiệu A �B hay A.B gọi giao hai biến cố A B Tổng quát: Cho k biến cố A1 , A2 , , Ak Biến cố “ Tất k biến cố A1 , A2 , , Ak xảy ra” , kí hiệu A1 �A2 � �Ak hay A1 A2 Ak gọi giao k biến cố - Biến cố độc lập: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố Tổng quát: Cho k biến cố A1 , A2 , , Ak Khi k biến cố gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố lại - Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A B Hai biến cố A B gọi xung khắc biến cố xảy biến cố khơng xảy d Định nghĩa cổ điển xác suất: Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử với khơng gian mẫu  có số hữu hạn kết xảy đồng khả xuất Ta gọi tỉ số n  A n  A xác suất biến cố A, kí hiệu P  A  Vậy: P  A   n   n   Trong đó: n(A) số phần tử A ( số kết thuận lợi cho biến cố A); n(  ) số kết xảy phép thử e Tính chất xác suất * Tính chất bản: P  �  0; P     �P  A  �1 , với biến cố A   P A   P  A  , với A biến cố đối biến cố A * Quy tắc cộng xác suất: Nếu A B hai biến cố xung khắc liên quan đến phép thử xác suất để A B xảy là: P  A �B   P  A   P  B  Chú ý: Cho k biến cố A1 , A2 , , Ak đơi xung khắc Khi P  A1 �A2 � �Ak   P  A1   P  A2    P  Ak  - Nếu A �B  � P  A �B   P  A   P  B  - Với hai biến cố A, B liên quan đến phép thử, ta có: P  A �B   P  A   P  B   P  A.B  * Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A B độc lập với P  A.B   P  A  P  B  Chú ý: Nếu k biến cố A1 , A2 , , Ak đôi độc lập với P  A1 A2 Ak   P  A1  P  A2  .P  Ak  3.2 Phân dạng tập phương pháp giải 3.2.1 Dạng 1: Tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển Theo định nghĩa cổ điển xác suất phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xuất xác suất biến cố A liên quan đến phép thử tỉ số số kết thuận lợi cho A số kết phép thử Như vậy, việc giải tốn tính xác suất biến cố A theo định nghĩa cổ điển quy toán tổ hợp: Đếm số kết phép thử đếm số kết thuận lợi cho A Cụ thể để tính xác suất biến cố A theo định nghĩa có bước sau: - Bước 1: Xác định không gian mẫu  tính số phần tử n() - Bước 2: Xác định biến cố A tính số phần tử biến cố A n(A) n  A - Bước 3: Tính xác suất biến cố A: P  A  n   Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối, đồng chất hai lần quan sát mặt xuất đồng tiền Gọi A biến cố : " Kết hai lần gieo nhau" B biến cố: " Mặt ngửa xuất lần" a Mô tả không gian mẫu b Viết biến cố A, B dạng tập khơng gian mẫu c Tính xác suất biến cố A, B Phân tích: Đây ví dụ dễ, mục đích để học sinh mơ tả khơng gian mẫu, kết thuận lợi biến cố cách liệt kê phần tử tính xác suất theo bước nêu Giải: a Không gian mẫu    SS , SN , NS , NN  � n     b Ta có: A={SS, NN} ; B={SN, NS, NN} n  A   c n(A)=2 � P  A   n   n B  n(B)=3 � P  B   n   Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên số nguyên dương không lớn 20 a Mô tả không gian mẫu b Gọi A biến cố “ Số chọn số nguyên tố” Hãy liệt kê kết thuận lợi cho A Tính xác suất biến cố A c Tính xác suất để số chọn nhỏ Phân tích: Đây ví dụ đơn giản chủ yếu để học sinh mô tả không gian mẫu kết thuận lợi cho biến cố cách liệt kê phần tử áp dụng công thức theo bước Giải: a Không gian mẫu gồm tất số nguyên dương nhỏ 20 Bằng cách liệt kê, ta có khơng gian mẫu tập hợp:    1,2,3, ,18,19,20 � Số phần tử không gian mẫu: n     20 ( phần tử) b Ta có số nguyên tố từ đến 20 là: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 n  A  Suy ra: n(A) = Xác suất A là: P  A   n() 20 c Gọi B biến cố: “ Số chọn nhỏ 4” n B  Các kết thuận lợi cho B gồm: 1, 2, Suy ra: n(B) = � P  B   n() 20 Ví dụ 3: Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối, đồng chất hai lần quan sát mặt có số chấm xuất Tính xác suất biến cố sau: A: “ Số chấm hai lần gieo nhau” B: “ Tổng số chấm 6” Phân tích: Thực tế ví dụ đơn giản Tuy nhiên, ví dụ đưa nhằm mục đích để học sinh xác định rõ phép thử trình bày khơng gian mẫu hình thức tính chất đặc trưng tập hợp Giải: Xét phép thử T: ‘‘Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối đồng chất hai lần’’ Ta có: (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6) � � � � (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6) � � � (3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6) � � � � �     i, j  |1 �i, j �6 � n     36 (4;1),(4;2),(4;3),(4;4),(4;5),(4;5) � � � (5;1),(5;2),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6) � � � (6;1),(6;2),(6;3),(6;4) ,(6;5),(6;6) � � � Nhìn vào bảng mơ tả ta thấy tập kết thuận lợi cho biến cố A là: A    1,1 ,  2,2  ,  3,3 ,  4,4  ,  5,5  ,  6,6   � n  A   � P  A    36 B    5,1 ,  4,2  ,  3,3 ,  2,4  ,  1,5   � n  B   � P( B)  36 Ví dụ 4: Xếp ngẫu nhiên bạn nam bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang Tìm xác suất cho: a Nam nữ ngồi xen kẻ b Ba bạn nam ngồi cạnh Phân tích: Đây tốn xác suất thực chất lại liên quan đến tốn đếm quen thuộc tổ hợp sau: (1) Có cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang ( Đáp số: 6!= 720 cách) (2) Có cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang biết nam nữ ngồi cạnh ( Đáp số: 3!.3!+3!.3!=72 cách) (3) Có cách xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang biết bạn nam ngồi cạnh (Đáp số: 4.3!.3!= 144 cách) Do đó, toán giải sau: Giải: Gọi A : “ Xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà nam nữ ngồi xen kẻ nhau” Gọi B : “ Xếp bạn nam bạn nữ vào ghế kê theo hàng ngang mà bạn nam ngồi cạnh nhau” Khi đó: n()  720; n( A)  72; n( B)  144 72 144  ; P B   Suy ra: P  A   720 10 720 Ví dụ 5: Một hộp đựng cầu đỏ, cầu xanh Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để cầu có màu đỏ màu xanh Phân tích: Ví dụ đưa nhằm mục đích để học sinh xác định số phần tử không gian mẫu số kết thuận lợi cho biến cố xét tính xác suất Nhưng trường hợp này, kết lớn nên việc trình bày khơng giống ví dụ mà để đưa kết ta cần sử dụng tốn đếm tổ hợp Giải: Xét phép thử T: “ Chọn cầu hộp có 10 cầu” Ta có: n()  C104  210 Gọi biến cố A: “ Bốn cầu chọn có màu đỏ màu xanh” Khi đó, ta có trường hợp sau: TH1: Chọn màu đỏ màu xanh có C41.C63  80 ( cách) TH2: Chọn màu đỏ màu xanh có C42 C62  90 ( cách) TH3: Chọn màu đỏ màu xanh có C43 C61  24 ( cách) 194 97  Từ suy : n  A   80  90  24  194 ( cách) Vậy P  A   210 105 Chú ý: Ta trình bày lời giải ví dụ cách gọn sau: Số cách chọn toàn màu đỏ cách Số cách chọn toàn màu xanh C64  15 cách Suy ra, số cách chọn cầu có màu đỏ màu xanh là: 97 210-(1+15)=194 Vậy P  A   105 Ví dụ 6: Gieo đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp lần xuất mặt ngửa sáu lần xuất mặt sấp dừng lại a Mơ tả khơng gian mẫu b Tính xác suất biến cố: A: “ Số lần gieo không vượt ba”; B: “ Số lần gieo sáu” Phân tích: Đối với tốn nhiều học sinh lúng túng cách xác định không gian mẫu học sinh vốn quen với toán cho trước số lần gieo Bài toán trước hết phải xác định số lần gieo Giáo viên gợi ý cho học sinh câu hỏi sau: (1) Nếu khơng có giả thiết : “ Cả lần xuất mặt sấp dừng lại” ta phải gieo đồng tiền lần? ( 2) Nếu kết hợp với giả thiết “ Cả lần xuất mặt sấp dừng lại” ta phải reo đồng tiền tối đa lần? Tất nhiên với câu hỏi học sinh đưa số cụ thể reo 100 lần 100 lần xuất mặt sấp chưa thể dừng lại học sinh hình dung dạng phần tử Với câu hỏi thứ hai học sinh trả lời số lần gieo tối đa Từ học sinh xác định không gian mẫu Giải: a Không gian mẫu    N , SN , SSN , SSSN , SSSSN , SSSSSN , SSSSSS  b A   N , SN , SSN  , n  A   n     Suy ra: P  A   B   SSSSSN , SSSSSS  � n  B   � P  B   * Nhận xét: Như vậy, phần lớn toán dạng toán sử dụng cơng thức kĩ tốn tổ hợp Đối với tốn học sinh cần phải nắm vững công thức tổ hợp định nghĩa xác suất Bên cạnh đó, có toán cần dùng phương pháp liệt kê Bài tập tương tự: Bài 1: Gieo đồng thời hai xúc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để số chấm xuất hai súc sắc Bài 2: Có 10 người gồm nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tìm xác suất để có nam nữ chọn Bài 3: Một bình đựng viên bi khác màu, xanh, vàng đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để được: a) viên bi xanh b viên bi khác màu 3.2.2 Dạng 2: Tính xác suất cách sử dụng quy tắc cộng xác suất quy tắc nhân xác suất Phương pháp: Sử dụng số kiến thức Nếu A, B hai biến cố xung khắc P  A �B   P  A   P  B  Nếu A1 , A2 , , Ak biến có đơi xung khắc P  A1 �A2 � �Ak   P  A1   P  A2    P  Ak  Nếu A, B hai biến cố độc lập P  A.B   P  A  P  B  Nếu A1 , A2 , , Ak biến cố đơi độc lập với P  A1 A2 Ak   P  A1  P  A2  .P  Ak  Ví dụ 1: Một hộp đựng cầu xanh, cầu đỏ cầu vàng Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để chọn cầu màu Phân tích: Đối với ví dụ em hồn tồn tính trực tiếp xác suất biến cố cách chia thành trường hợp xảy sử dụng quy tắc cộng tổ hợp, cụ thể sau: Giải: Xét phép thử T: “ Chọn cầu hộp đựng cầu” Ta có: n     C9  36 Gọi A: “ Hai cầu chọn màu” A1 : “ Hai cầu chọn màu xanh” có C32 cách A2 : “ Hai cầu chọn màu đỏ” có C42 cách A3 : “ Hai cầu chọn màu vàng” có C22 cách Ta thấy A  A1 �A2 �A3 biến cố A1 , A2 , A3 đôi xung khắc nên: C32 C42 C22 P  A   P  A1   P  A2   P  A3         C7 C7 C7 36 36 36 18 Ví dụ 2: Có hai hộp đựng viên bi có kích thước Hộp thứ đựng viên màu đen viên màu trắng Hộp thứ hai đựng viên màu đen viên màu trắng Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi Tính xác suất để viên bi lấy màu trắng Phân tích: Đối với ví dụ học sinh tính trực tiếp xác suất biến cố cách chia thành hoạt động liên tiếp Tức chọn viên màu trắng từ hộp thứ sau tiếp tục chọn viên màu trắng từ hộp thứ hai sử dụng quy tắc nhân tổ hợp Tuy nhiên, tốn giải gọn gàng cách áp dụng quy tắc nhân xác suất Để áp dụng quy tắc nhân xác suất lời giải cụ thể sau: Giải: Xét phép thử T: “ Chọn ngẫu nhiên hộp viên bi từ hộp thứ có 1 viên bi hộp thứ hai có viên bi” Ta có: n     C5 C7  35 Gọi biến cố A: “ viên bi lấy màu trắng” A1 : “ Lấy viên màu trắng hộp thứ nhất” có C31 cách A2 : “ Lấy viên màu trắng hộp thứ hai” có C41 cách Nhận xét: A  A1 �A2 biến cố A1 , A2 độc lập nên C1 C 12 P  A   P  A1  P  A2   31 41   C5 C7 35 Ví dụ 3: Trong hộp có 10 chi tiết máy, có chi tiết bị hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có khơng q chi tiết bị hỏng Phân tích: Trong chi tiết có khơng q chi tiết hỏng nghĩa khơng có chi tiết hỏng có chi tiết hỏng Để giải toán ta cần áp dụng quy tắc cộng xác suất Giải: Gọi A1 biến cố “ Trong chi tiết lấy khơng có chi tiết hỏng” A2 biến cố “ Trong chi tiết lấy có chi tiết hỏng” A biến cố “ Trong chi tiết lấy có khơng q chi tiết hỏng” Khi A  A1 �A2 Do A1 A2 xung khắc nên P  A  P  A1   P  A2  Số cách lấy chi tiết từ 10 chi tiết C106 , suy n     C10  210 Có chi tiết khơng bị hỏng nên n  A1   C8  28 Số cách lấy chi tiết từ chi tiết không bị hỏng C85 số cách lấy chi tiết từ chi tiết hỏng C21 Theo quy tắc nhân ta có n  A2   C8 C2  112 n  A1  28 n  A2  112     Do ta có: P  A1   P  A2   n    210 15 n    210 15 Suy ra: P  A  P  A1   P  A2     15 15 Ví dụ 4: Một phòng lắp hai hệ thống chng báo động phòng cháy hệ thống báo thấy khói hệ thơng báo thấy lửa xuất Qua thực nghiệm thấy xác suất chng báo khói 0,95; chng báo lửa 0,91 hai chuông báo 0,88 Tính xác suất để có hỏa hoạn chng báo Phân tích: Biến cố cần tính xác suất chng báo khói báo hỏa hoạn chng báo lửa báo hỏa hoạn Do toán chắn dùng quy tắc cộng Tuy nhiên, hai biến cố sở lại không xung khắc Trong trường hợp ta phải sử dụng quy tắc cộng xác suất với A, B hai biến cố Giải: Gọi A biến cố “ Chng báo thấy khói” B biến cố “ Chuông báo thấy lửa” C biến cố “ Ít hai chuông báo hỏa hoạn” Theo giả thiết tốn ta có P( A)= 0,95; P( B)= 0,91; P( A.B)=0,88 Do ta có P  C   P  A �B   P  A   P  B   P  A.B   0,95  0,91 0,88  0,98 Bài tập tương tự: Bài 1: Gieo ngẫu nhiên xúc sắc cân đối, đồng chất lần Tính xác suất để: a Có lần xuất mặt chấm 10 b Tổng số chấm mặt số lẻ Bài 2: Trong hộp có 10 thẻ ghi số 0, 1, 2, …, Lấy ngẫu nhiên liên tiếp thẻ xếp cạnh theo thứ tự từ trái sang phải Tìm xác suất để thẻ xếp thành số tự nhiên cho có chữ số Bài 3: Từ hộp có cầu xanh, cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất biến cố: a A: “ Trong lấy có hai màu” b B: “ Trong lấy có hai màu đỏ” Nhận xét: Các tốn tính xác suất biến cố mà sử dụng quy tắc cộng quy tắc nhân xác suất tốn thường gặp chương trình phổ thơng Để áp dụng quy tắc cộng xác suất học sinh nhận dạng sau: Trong toán mà kết thuận lợi biến cố A chia thành nhiều nhóm ta coi biến cố A biến cố hợp biến cố A1 , A2 , , Ak đôi xung khắc Khái niệm biến cố xung khắc rõ ràng, dễ hiểu nên học sinh nhận dạng Để áp dụng quy tắc nhân xác suất học sinh nhận dạng sau: Trong tốn mà kết thuận lợi biến cố A phải thõa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác ta coi biến cố A biến cố giao biến cố A1 , A2 , , Ak đơi độc lập Trong q trình giảng dạy, tơi đưa cho học sinh vài nhận dạng biến cố độc lập thường gặp sau: - Gieo hai đồng tiền lần biến cố xảy lần độc lập với Tương tự xúc sắc - Hai thùng ( hộp) đựng cầu ( bi), lấy từ thùng ( hộp) cầu ( bi)…, việc biến cố lấy cầu ( bi) từ thùng độc lập với biến cố lấy cầu ( bi) từ thùng - Hai xạ thủ bắn súng xạ thủ bắn phát súng bắn trúng trượt người ( lần này) không làm ảnh hưởng đến người ( lần kia) 3.2.3 Dạng 3: Tính xác suất cách chuyển qua biến cố đối Phương pháp: Nếu A biến cố đối A P  A    P A     Như việc tính P  A  tương đương việc tính P A Trong thực tế nhiều   tốn tính xác suất, tính P A lại đơn giản tính trực tiếp P  A  * Nhận xét: Nếu hai biến cố A B độc lập với A B , A B, A B độc lập với Ví dụ 1: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để bóng lấy có bóng tốt Phân tích: Đối với ví dụ này, học sinh hồn tồn tính xác suất biến cố cách sử dụng quy tắc tính xác suất Tuy nhiên, việc chuyển qua biến cố đối ví dụ thuận lợi Ở đây, tơi trình bày cách để qua học sinh thấy ưu điểm việc tính xác suất biến cố cách chuyển qua biến cố đối Giải: Cách 1: Xét phép thử T: “ Lấy bóng đèn hộp có 12 bóng” � n     C123  220 11 Gọi A: “ bóng lấy có bóng tốt” A1 : “ Lấy bóng tốt bóng xấu” A2 : “ Lấy bóng tốt bóng xấu” A3 : “ Lấy bống tốt” Ta thấy A  A1 �A2 �A3 biến cố A1 , A2 , A3 đôi xung khắc nên: C1.C C C1 C 70 105 35 21 P  A   P  A1   P  A2   P  A3     73     C12 C12 C12 220 220 220 22 Cách 2: Xét phép thử T: “ Lấy bóng đèn hộp có 12 bóng” � n     C123  220 Gọi A biến cố “ bóng lấy có bóng tốt” Xét biến cố A : “ bóng lấy bóng xấu” 10 � n A  C52  10 � P A   120 22 21 Vì A biến cố đối biến cố A nên P  A    P A    22 22 Để tính xác suất biến cố cách chuyển qua biến cố đối lưu ý cho học sinh vài nhận dạng sau: Các tốn có cụm từ “ có nhất”; “ có tất cả” liên quan đến số chẵn, lẻ, có nghiệm, vơ nghiệm, …thì ta làm xuất phần bù nghĩ đến biến cố đối Vậy yêu cầu học sinh em cần biết cách xác định tốt mệnh đề phủ định phép toán lấy phần bù tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối Có tốn lại cho trực tiếp xác suất Với toán vậy, chắn ta phải sử dụng quy tắc tính xác suất để tính Ví dụ 2: Xác suất bắn trúng tâm người bắn cung 0,2 Tính xác suất để lần bắn độc lập: a Người bắn trúng tâm lần; b Người bắn trúng tâm lần Giải: Gọi A: “ Trong ba lần bắn, người bắn cung bắn trúng tâm lần” A1 : “ Người bắn cung bắn trúng tâm lần thứ nhất” A2 : “ Người bắn cung bắn trúng tâm lần thứ hai” A3 : “ Người bắn cung bắn trúng tâm lần thứ ba” Ta thấy A  A1 A2 A3 �A1 A2 A3 �A1 A2 A3 ; biến cố A1 A2 A3 , A1 A2 A3 , A1 A2 A3 đôi xung khắc Các biến cố A1 , A2 , A3 , A1 , A2 , A3 , A1 , A2 , A3 đôi độc lập Vậy nên: P( A)  P A1 A2 A3  P A1 A2 A3  P A1 A2 A3                0,2.0,8.0,8  0,8.0,2.0,8  0,8.0,8.0,2  0,384 b Đối với ý này, giáo viên hướng dẫn học sinh: Xét mệnh đề “ Trong ba lần bắn người bắn trúng tâm lần Vậy có khả xảy ra: lần trúng, lần trượt lần trúng, lần trượt lần trúng Mệnh đề phủ định mệnh đề là: “ Cả ba lần bắn không trúng” Từ khẳng định ý tính theo biến cố đối Giải: Gọi B: “ Trong lần bắn, người bắn trúng tâm lần” Khi đó, biến cố B : “ Trong lần bắn, người khơng bắn trúng tâm lần nào” Ta thấy: B  A1.A2 A3 � P  B   P A1.A2 A3   0,8   0,512 12 Vậy: P  B    P  B    0,512  0,488 Ví dụ 3: Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa trắng, đen Hộp thứ hai chứa trắng, đen Từ hộp lấy ngẫu nhiên Kí hiệu: A biến cố: “ Quả lấy từ hộp thứ trắng” B biến cố: “ Quả lấy từ hộp thứ hai trắng” a Xét xem A B có độc lập khơng b Tính xác suất cho hai cầu lấy màu c Tính xác suất cho hai cầu lấy khác màu Giải: Đánh số cầu hộp từ đến 10 cho cầu trắng hộp thứ đánh số từ đến cầu trắng hộp thứ hai đánh số từ đến a Ta có: A    i, j  |1 �i �6;1 �j �10 ; B    i, j  |1 �i �10;1 �j �4 6.10 10.4  ; P B   Vậy: P  A   10.10 10 10.10 10 6.4  P  A  P  B  Và A.B    i, j  |1 �i �6;1 �j �4 � P  A.B   10.10 Chứng tỏ A B hai biến cố độc lập b Kí hiệu C: “ Lấy hai màu” Ta có C  A.B �A.B Do hai biến cố A.B, A.B xung khắc A, B hai biến cố độc lập nên: 24 24 12 P  C   P  A.B   P A.B  P  A  P  B   P A P  B     100 100 25 c Do biến cố: “ Lấy hai khác màu” C nên xác suất cần tìm 12 13 P C   P  C   1  25 25 Bài tập tương tự: Bài 1: Một đơn vị vận tải có 10 xe tơ có xe tốt Điều động cách ngẫu nhiên xe cơng tác Tính xác suất để xe có xe tơt Bài 2: Ba xạ thủ độc lập bắn vào bia, người bắn viên đạn Xác suất trúng đích xạ thủ là: 0,6; 0,7; 0,8 Tính xác suất để có xạ thủ bắn trúng bia Bài 3: Túi bên phải có bi đỏ, bi xanh Túi bên trái có bi đỏ, bi xanh Lấy bi từ túi cách ngẫu nhiên Tính xác suất cho: a Hai bi lấy màu; b Hai bi lấy khác màu       3.3 Vận dụng giải số tập trắc nghiệm: Trên sở học sinh tiếp cận, nắm kiến thức phương pháp giải giáo viên hướng dẫn học sinh làm số tập trắc nghiệm để đáp ứng theo yêu cầu kiểm tra đánh giá Đối với số dạng toán trắc nghiệm khác để có đáp án học sinh có nhiều cách mà đơi khơng cần nắm vững phương pháp giải chẳng hạn cần kĩ sử dụng máy tính cầm tay tốt làm mò để tìm đáp án cách thử ngược lại đáp án vào đề bài,… Còn tốn trắc nghiệm xác suất để có đáp án đòi hỏi học sinh phải nắm kiến thức, phân tích xác kiện đề linh hoạt nhạy bén tính tốn khơng vững kiến 13 thức học sinh khơng thể tìm đáp án đặc biệt khơng thể dùng cách tính mò, thử ngược đáp án hay nhờ máy tính tính tốn hộ Sau yêu cầu hướng dẫn học sinh vận dụng giải số tập trắc nghiệm Câu 1: Cho A biến cố liên quan phép thử T Mệnh đề sau mệnh đề ? A P( A) số lớn B P( A)   P  A  C P( A)  � A   D P( A) số nhỏ Hướng dẫn : Chọn B ( Loại trừ :A ;B ;C sai) Câu 2: Gieo đồng tiền cân đối đồng chất hai lần Xác suất để sau hai lần gieo mặt sấp xuất lần A B C D Hướng dẫn : Chọn C Số phần tử không gian mẫu: n     Gọi A biến cố xuất mặt sấp n  A  lần: A   SN ; NS ;SS Suy P  A   n   Câu 3: Gieo đồng tiền cân đối đồng chất lần Xác suất để lần xuất mặt sấp là: 31 21 11 A B C D 32 32 32 32 Hướng dẫn : Chọn A Phép thử : Gieo đồng tiền lần cân đối đồng chất Ta có n      32 Biến cố A : Được lần xuất mặt sấp A : Tất mặt ngửa � n  A   n  A  31  n    32 Câu 4: Gieo ngẫu nhiên ba súc sắc Xác suất để nhiều hai mặt chấm xuất là:   � n  A   n     n A  31 � p  A   1 215 A 72 B C D 72 216 216 Hướng dẫn : Chọn D Ta có: n     6.6.6  216 Biến cố có ba mặt là: A    5;5;5   nên n  A     Suy P  A   P A      215 n A n    216 Câu 5: Một hộp chứa cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn Tính xác suất cho có màu trắng? 1 209 A B C D 21 210 210 105 Hướng dẫn : Chọn C Gọi A biến cố: “trong bốn chọn có trắng.” Không gian mẫu: C10  210 14 A biến cố: “trong bốn chọn khơng có trắng nào.”     n A  C44  � P A    n A n   � P  A    P  A     209 210 210 210 Câu 6: Một hộp chứa viên bi màu trắng, 15 viên bi màu xanh 35 viên bi màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Xác suất để số viên bi lấy có viên bi màu đỏ là: A C557  C207 B C557 C 35 C C357 C557 D C351 C206 Hướng dẫn: Chọn B Gọi A biến cố: “trong số viên bi lấy có viên bi màu đỏ.” - Không gian mẫu: C55 - A biến cố: “trong số viên bi lấy khơng có viên bi màu đỏ nào.”     n A  C207 � n  A   n     n A  C557  C207 � P  A   7 C55  C20 C557 Câu 7: Một hộp đựng 40 viên bi có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, viên bi vàng, viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên bi, tính xác suất biến cố : A: “2 viên bi màu” 64 A P  A   B P  A   C P  A   D P  A   195 195 15 195 Hướng dẫn : Chọn D 2 Ta có: n     C40 Gọi biến cố: D: “lấy bi viên đỏ” : n  D   C20  190 X: “lấy bi viên xanh” ta có: n  X   C10  45 ; V: “lấy bi viên vàng” ta có: n  V   C6  15 ; T: “ lấy bi màu trắng” ta có: n  T   C4  Ta có D, X, V, T biến cố đơi xung khắc A  D �X �V �T P  A  P  D   P  X   P  V   P  T   256 64  C402 195 Câu 8: Hai cầu thủ sút phạt đền.Mỗi người đá lần với xác suất ghi bàn tương ứng 0,8 0,7.Tính xác suất để có cầu thủ ghi bàn: A P  X   0, 42 B P  X   0,94 C P  X   0, 234 D P  X   0,9 Hướng dẫn : Chọn B Gọi A biến cố cầu thủ thứ ghi bàn; B biến cố cầu thủ thứ hai ghi bàn X biến cố hai cầu thủ ghi bàn   X  ( A �B) � A �B � A �B  � P  X   P( A).P( B)  P(B ).P( A)  P( A).P(B)  0,94 Câu 9: Xác suất sinh trai lần sinh 0,51.Tìm xác suất cho lần sinh có trai: A P  A �0,88 B P  A  �0,23 C P  A  �0,78 D P  A  �0,32 Hướng dẫn: Chọn A Gọi A biến cố ba lần sinh có trai, suy A xác suất lần sinh 15 toàn gái Gọi Bi biến cố lần thứ i sinh gái ( i  1,2,3 ) Suy P( B1 )  P( B2 )  P( B3 )  0, 49 Ta có: A  B1 �B2 �B3   � P  A   P A   P  B1  P  B2  P  B3     0,49  �0,88 1 Câu 10: Cho hai biến cố A B có P  A   , P  B   , P  A �B   Khi ta kết luận hai biến cố A B là: A Độc lập B Không xung khắc C Xung khắc D Khơng rõ Hướng dẫn: Chọn B Ta có: P  A �B   P  A   P  B   P  A �B   �0 12 Suy biến cố A B hai biến cố không xung khắc Câu 11: Một hộp có chứa bi trắng, bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Xác suất để viên bi chọn có đủ màu số bi đỏ nhiều hai bi bằng: C41.C52 C61 C41.C53 C62 C41.C52 C61 C41.C52 C61 A P  B P  C P  D P  C154 C152 C152 C152 Hướng dẫn: Chọn A Số phần tử không gian mẫu n     C15 Gọi A biến cố cần tìm Khi n  A   C4 C5 C6 ( số bi đỏ nhiều 2) C41.C52 C61 Xác suất biến cố A P  C154 Câu 12: Cho 100 thẻ đánh số từ đến 100, chọn ngẫu nhiên thẻ Xác suất để chọn thẻ có tổng số ghi thẻ số chia hết cho là: 5 A P  B P  C P  D P  Hướng dẫn: Chọn B Số phần tử không gian mẫu n     C100  161700 Gọi A: “ Tổng số ghi thẻ số chia hết cho 2” Khi đó: n  A  C503  C501 C502  80850 � P  A   ( Các kết thuận lợi A bốc thẻ đánh số chẵn từ 50 thẻ đánh số chẵn thẻ đánh số chẵn từ 50 thẻ đánh số chẵn thẻ đánh số lẻ từ 50 thẻ đánh số lẻ) Câu 13: Sắp sách Tốn sách Vật Lí lên kệ dài Xác suất để sách môn nằm cạnh là: A B C D 10 20 Hướng dẫn: Chọn B Phép thử: “ Sắp Toán, Lí lên kệ dài” Ta có n     6!  720 Biến cố A: “ Có sách mơn nằm cạnh nhau” A : “ Các sách môn không nằm cạnh nhau” 16     10 Câu 14: Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, câu có đáp án có đáp án Bạn An làm 12 câu, câu bạn An đánh hú họa vào đáp án mà An cho Mỗi câu 0,5 điểm Hỏi Anh có khả điểm? 1 1 A  B  C  D  4 4 Câu 15: Một hộp đựng bi xanh,3 viên bi đỏ viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để chọn viên bi khác màu Có n A  2.3!.3!  72; n  A   n     n A  648 � P  A   13 A P( X )  18 B P( X )  18 C P( X )  18 11 D P( X )  18 Câu 16: Rút từ 52 Xác suất để át (A) hay già (K) hay đầm ( Q) là: 1 A B C D 2197 64 13 13 Câu 17: Một túi chứa bi trắng, bi đen Lấy ngẫu nhiên bi Xác suất để bi trắng là: 1 A B C D 10 10 Câu 18: Chọn ngẫu nhiên số có hai chữ số từ 00 đến 99 Xác suất để có số tận là: A 0,1 B 0,2 C 0,3 D 0,4 Câu 19: Trong giải bóng đá nữ trường THPT có 12 đội tham gia, có hai đội hai lớp 12A2 11A6 Ban tổ chức tiến hành bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng đấu A, B bảng đội Xác suất để hai đội hai lớp 12A2 11A6 bảng là: 5 A B C D 11 22 11 22 Câu 20: Trong giải bóng chuyền VTV Cup có 12 đội tham gia dó có đội nước ngồi đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành bảng đấu A, B, C bảng đội Xác suất để đội Việt Nam nằm bảng đấu là: 2C93 C63 6C93.C63 3C93 C63 C93 C63 P  P  P  P  A B C D C124 C84 C124 C84 C124 C84 C124 C84 Qua năm giảng dạy đúc kết kinh nghiệm nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt phần xác suất tiết dạy tự chọn, phụ đạo phần giáo viên cần giúp học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết, tập cần phân dạng rõ ràng sau dạng phải có tập tương tự để học sinh thực hành nhiều Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Trên toàn nội dung đề tài chủ đề tính xác suất biến cố mà tơi thực giảng dạy tiết tự chọn phụ đạo lớp 11A4, 11A5 trường THPT Hà Văn Mao năm học 2018- 2019 Sau hướng dẫn học sinh ôn tập theo tinh thần đề tài, qua quan sát tiết dạy kiểm tra lớp thực nghiệm tơi thấy: - Nhìn chung học sinh tham gia hào hứng, chủ động, tích cực việc tiếp nhận tri thức thông qua thiết kế xây dựng giáo viên trình bày ý kiến em khơng lo sợ, thiếu tự tin trước 17 - Các em cận thận việc phân tích, tìm tòi, lựa chọn phương pháp trình bày lời giải tốn tính xác suất Tơi cho học sinh làm kiểm tra trước sau thực đề tài thu kết sau: Kết kiểm tra trước ứng dụng đề tài Lớp Sĩ Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu Điểm số SL % SL % SL % SL % SL % 11A4 44 9,1 12 27,3 16 36,4 10 22,7 4,5 11A5 46 6,5 17,4 22 47,8 10 21,8 6,5 Kết kiểm tra sau ứng dụng đề tài Lớp Sĩ Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu Điểm số SL % SL % SL % SL % SL % 11A4 44 20, 20 45,4 11 25 9,1 0 11A5 46 17,4 16 34,8 17 37 10,8 0 Nhận thấy kết số học sinh khá, giỏi tăng lên nhiều số học sinh đạt điểm yếu, giảm rõ rệt KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Học sinh ngại làm tập phần xác suất, thực trạng cần quan tâm cần có hướng giải Để thực tốt công việc giảng dạy nhằm nâng cao kết học tập học sinh người Thầy phải thường xuyên học tập, nghiên cứu, trau chuyên môn nghiệp vụ Trong trình giảng dạy, phụ đạo bồi dưỡng cho học sinh, đọc tài liệu tham khảo…tôi đưa số dạng cách giải cho toán xác suất biến cố làm kinh nghiệm thân giúp học sinh tiếp thu vấn đề tốt hơn, phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn luyện kĩ giải toán xác suất Tuy nhiên, để có nhiều thành cơng khơng dừng lại mà giáo viên phải sức thu thập, đúc kết nhiều kinh nghiệm Do điều kiện vừa học tập vừa công tác kinh nghiệm hạn chế nên sáng kiến khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý hội đồng khoa học nhà trường, đồng nghiệp để sửa chữa, bổ sung cho đề tài hoàn thiện Kiến nghị: - Cần tăng cường hoạt động học tập giúp HS tích cực, chủ động tìm tòi khám phá tri thức hiệu - Tăng cường điều kiện sở vật chất phục vụ công tác dạy học - Chú trọng bồi dưỡng công tác chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Ký ghi rõ họ tên 18 Lê Thị Thúy 19 ... phân loại giải số toán xác suất lớp 11 trường THPT Hà Văn Mao cung cấp cho học sinh số kĩ việc giải toán xác suất Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học tốn cho học sinh. .. kĩ việc giải toán xác suất Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh lớp 11A4, 11A5 Trường THPT Hà Văn Mao - Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm quy tắc xác suất, toán xác suất - Phạm... toán xác suất Khi giải toán xác suất đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức phương pháp xác suất, đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải tình cụ thể “ Hướng dẫn học sinh phân