Phân loại và giải một số bài toán về phương trình truyền nhiệt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ PHẠM VĂN LUYỆN PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ PHẠM VĂN LUYỆN PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Chun ngành: Vật lí lý thuyết Vật lí Tốn KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TH.S LÊ KHẮC QUYNH Lời cảm ơn Lời khóa luận tốt nghiệp em xin chân thành cảm ơn thầy, giáo khoa Vật Lí tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian qua Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo-ThS Lê Khắc Quynh, người hướng dẫn, tạo điều kiện tốt đóng góp ý kiến để em hồn thành để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin bày tỏ lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành khóa luận Tuy nhiên thời gian trình độ thân hạn chế nên q trình thực đề tài em chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến thầy, bạn để đề tài hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2012 Sinh viên thực Phạm Văn Luyện Lời cam đoan Em xin cam đoan vấn đề em trình bày khóa luận kết nghiên riêng thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo- Th.S Lê Khắc Quynh, không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2012 Sinh viên thực Phạm Văn Luyện MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ……………………………………………… ……… 1 Lí chọn đề tài……………………………………………………… Mục đích nghiên cứu………………………………………………… … Giả thuyết khoa học……………………………………… …………… Đối tượng phạm vi nghiên cứu………………………………… ……….2 Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………… …………2 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………… Cấu trúc khóa luận………………………………………………………….2 NỘI DUNG………………………………………………………………… Chương 1: Tổng quan phương trình truyền nhiệt……………… ………….3 1.1 Thành lập phương trình…………………………………………… …… 1.2 Điều kiện biên điều kiện ban đầu…………………………………… Chương 2: Phân loại giải số toán pt truyền nhiệt………………7 2.1 Bài tốn truyền nhiệt tự khơng có nguồn…………………………… 2.2 Bài tốn truyền nhiệt có nguồn………………… …………… 15 2.2.1 Bài tốn truyền nhiệt có nguồn, nguồn phụ thuộc vào tọa độ x (bài toán dừng)…………………………… ………………………… 15 2.2.2 Bài tốn truyền nhiệt có nguồn, nguồn phụ thuộc vào tọa độ x thời gian t ………… 24 2.3 Bài toán truyền nhiệt với biên tổng quát…………………… ….34 KẾT LUẬN………………………………………… …………… 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………… …… 41 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong vật lí học đại, phương pháp tốn học sử dụng đa dạng phong phú Chúng bao gồm khối lượng lớn kiến thức thuộc ngành như: Hàm thực, Hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi toán học, đại số tuyến tính… Phương pháp tốn lí mơn sử dụng cơng thức Tốn hàm tốn để giải tốn vật lí diễn tả tượng thiên nhiên như: Phương trình dao động sợi dây, phương trình dao động màng, phương trình khuếch tán, phương trình truyền nhiệt… Đây môn học giảng dạy sinh viên năm thứ khoa Vật lí mơn thi (môn sở) đầu vào ngành sau đại học Vật lí Trong q trình học tập mơn phương pháp tốn lí tơi hứng thú với phương trình truyền nhiệt nhận thấy diễn tả tượng tổng quát thiên nhiên: “Trong vật rắn truyền nhiệt, điểm khác nhiệt truyền từ điểm nóng tới điếm nguội hơn” Vì vậy, phương trình truyền nhiệt có ứng dụng lớn đời sống kĩ thuật Để tìm hiểu sâu sắc lí thuyết vật lí việc giải tốn mà lí thuyết đặt tất yếu Khi tìm hiểu phương trình truyền nhiệt tơi thấy tốn đa dạng phong phú, đơi làm cho sinh viên lúng túng việc giải tốn Do vậy, việc phân loại đưa phương pháp giải cho loại tốn truyền nhiệt cần thiết Chính lí nêu nên tơi chọn đề tài: “Phân loại giải số toán phương trình truyền nhiệt” để làm đề tài cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Phân loại tìm hiểu cách giải tốn phương trình truyền nhiệt Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Các phương trình truyền nhiệt chiều học chương trình đại học Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu cần thực nhiệm vụ sau: - Xây dựng lí thuyết phương trình truyền nhiệt - Phân loại tốn phương trình truyền nhiệt - Vận dụng hàm, chuỗi toán học; cách giải phương trình vi phân để giả tốn truyền nhiệt Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần: - Phần mở đầu - Phần nội dung - Phần kết luận NỘI DUNG Chƣơng TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 1.1 Thành lập phƣơng trình Như ta biết, nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách : trình dẫn nhiệt, trình xạ trình đối lưu Quá trình dẫn nhiệt bên vật chuyển động phân tử bên vật Trong vật rắn, dòng nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao (là nơi có số lớn phân tử chuyển động có vận tốc lớn hay động lớn) sang nơi có nhiệt độ thấp (là nơi có vận tốc động phân tử nhỏ hơn) Quá trình xạ nhiệt hai vật xảy nhiệt truyền qua khơng gian từ vật nóng sang vật lạnh (khơng tính đến nhiệt độ khơng gian hai vật), chuyển động nhiệt dạng sóng Một ví dụ truyền nhiệt độ Mặt Trời cho Trái Đất Nhiệt truyền đối lưu xảy số loại chuyển động nhiệt di chuyển từ nơi sang nơi khác Tất trình truyền nhiệt nghiên cứu môn học đại cương chuyên đề nhiệt Trong khóa luận này, tơi chủ yếu tìm hiểu q trình truyền nhiệt vật dẫn Xét mơi trường truyền nhiệt đẳng hướng, u (x,y,z,t) nhiệt độ điểm P(x,y,z) thời điểm t Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Furie: Nhiệt lượng ΔQ qua mảnh  mặt kín ΔS theo phương pháp tuyến n thời gian Δt, tỉ lệ với ΔS, u Δt đạo hàm pháp tuyến  n Q k(x, y, u z)t S n : (1) Từ (2.26)và (2.27) ta có: a sin  cos sin n m (2k    ) g(x)  a 1) A (tg il x x  i i B x j l 2l a a  cos j i1 a C  T (0)sin  k  r i j j (2k 1)x C g(x)si Tr (0)  n l n dx    Ai (tg sin a i1 0 l  x i aB m  j 0 I i i1 a aB m  j a  cos i i a a sin  si  j x (2k 1) x dx 2l x (2k 1)x n j j sin a l x Ai  (tg  n l cos j n  si  j x sin )sin (2k 1) x dx 2l dx a x (2k  cos i a 2l Đặt : j x 1)x i )sin a dx 2l j 0 l cos j j a 2l a Thì : (2k 1)x C l  g(x)sin 2l dx I Tr (0) (2.29) Thay (3.29) vào (3.26) v(x,t) tường minh dạng : x  dxI T a (2k4l 1)  (2k  T g(x)sin 1)   (0) e  2 v(x,t)   l  2l  sin (2k 1)x 2l 2 r  r  t    (2.30) Thay (2.14); (2.19) (2.30) u(x,t) hồn tồn tường minh dạng : n u(x,t)  Ae tg   x lx i t     i i1 k 0 sin a   Ce  cos i i a 2 a (2k 1)  4l 2 aB e sin i m j t Bj x  j a B cos l  (2k j j  j  Tr (t)sin 1)x   l a 2l Trong C xác định từ (2.29) 2.3 Bài toán truyền nhiệt với biên tƣơng đối tổng quát Bài toán truyền nhiệt với biên tương đối tổng qt tốn truyền nhiệt có điều kiện biên có dạng : u |x0 g1 t D   u   x | g2  t   xl Ta xét ví dụ cụ thể sau: Tìm nghiệm u(x,t) phương trình: miền u 22u a  D  x l t x2 0 t   Với điều kiện ban đầu u |t0 g x Và điều kiện biên D u |x0 g1  t     t  xl u | g2  x  Trong a số khác 0, g(x), g1(x); g2(t) f(x,t) hàm giải tích D ( Bài tốn tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt thời điểm t>0 đồng chất có chiều dài l, đầu mút x=0 có nhiệt độ thay đổi tuân theo hàm g1(t) tùy ý, đầu mút x=l xảy truyền nhiệt tuân theo hàm tùy ý g2(t) Trong khơng có nguồn nhiệt Phân bố nhiệt thời điểm ban đầu tuân theo hàm g(x) ) Giải Ta tìm nghiệm tốn dạng : u(x,t)=v(x,t)+w1(x,t)+w2(x,t) u 2 u a  Thay (1.1) vào phương trình vi phân : t w2 w 0   a  x x t 2 v    v  a  w1 2 t  xa t w1 2 v  w1 w2  a    v w1 2   a a  2  x x t t t Đặt : F x,t w1   a x (1.1) ta : w w  2 a w2 w2  x (1.2) t x t x (1.3) Rồi thay vào (1.2) phương trình (1.2) có dạng: v v  2 a t x F x,t  (1.4) Như vậy, từ điều kiện nghiệm u(x,t) tốn kết hợp phương trình (1.4), ta tìm hàm v(x,t); w1(x,t); w2(x,t) chúng thỏa mãn số điều kiện sau: Hàm v(x,t) nghiệm phương trình : v a v t x F x,t  (1.4) với điều kiện biên : v |x0 0   v |xl điều kiện ban đầu : (1.5) v |t0 g(x) w1 |t0 w |t0 (1.6) Đặt: G x g(x) w1 |t0 w |t0 (1.7) thay (1.6) điều kiện ban đầu v(x,t) có dạng: v |t0 G x  (1.8) Hàm w1(x,t) thỏa mãn điều kiện : w1 |x0 g1 t    w |xl 0 Hàm w2(x,t) thỏa mãn điều kiện: (1.9)  w |x0 0  w |xl  g2 (t) (1.10) Các hàm w1(x,t) w2(x,t) thỏa mãn điều kiện (1.9) (1.10) lớp rộng rãi hàm Tuy nhiên để thuận lợi cho việc tính tốn hàm w1(x,t) w2(x,t) phải thỏa mãn số điều kiện cụ thể sau: Các hàm w1(x,t) w2(x,t) phải thỏa mãn điều kiện (1.9) (1.10) Việc lựa chọn w1(x,t) w2(x,t) cho hàm F(x,t) đơn giản (có thể) Việc lựa chọn w1(x,t) w2(x,t) cho hàm G(x,t) đơn giản (có thể) Sau số dạng hàm w1(x,t) w2(x,t) sử dụng : Một số dạng hàm w1(x,t) thỏa mãn điều kiện (1.9): a, w x,t 1 (t) x  g 1 l 1 b, w1 x,t x n    g1(t) + (trong n∈N )  l  c, w1 x,t  cos  1)x (2k g (t) 2l (trong k∈Z) + 2m(2k 1)x d, w1 x,t cos g1(t) 2l ( m∈N ) Một số dạng hàm w2(x,t) thỏa mãn điều kiện (1.10) a, w x,t  xx,t b, w     x g2 (t) l g2 (t) +   (trong n∈N )  l   x g2 (t) c, w x,t sin 2l d, w  x,t 1  2k (t) (trong k∈Z)  x  g  2 2l Như vậy, ta coi tìm xong hàm w1(x,t) w2(x,t) Thay chúng vào (1.3) (1.7) hàm F(x,t) G(x) hoàn toàn tường minh Nghiệm v(x,t) (1.4) tìm dạng:  v(x,t)  T k (t) (1.11) k x l sin k 0 Việc lựa chọn v(x,t) theo (1.11) hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên (1.5) Thay (1.11) vào (1.4) ta :  kx T k (t)sin  ' k 0 l  2 ak 2 k 0 l 2   kx F k  a k Tk  sin     (x,t) l ' l T k 0  Tk (t)sin kx F (x,t) l  (1.12) Do xét x∈ (0,1) nên ta coi hàm F(x,t) giả tuần hồn theo chu kì vậy, với t>0 ta khai triển hàm F(x,t) thành chuỗi dạng:  k x  k (t) sin l k 0 F (x,t)  kx k (t)  l dx F x,t sin l (1.13) (1.14) Thay (1.13) vào (1.12) ta :    Tk  sin kx  2  a k T k 0 k '    l l2   (t)sin  kk kx l 0 Đồng thức vế phương trình ta : 2 a T  k ' k l T  (t)  (1.15) k k Phương trình (1.15) cho nghiệm Tk(t) dạng: T t M e k (t) a kl   2 T2  (1.16) k rk Trong Mk số tích phân, Trk nghiệm riêng khơng phương trình (1.16), dạng Trk phụ thuộc lớn vào dạng γk(t) Thay (1.16) vào (1.11) v(x,t) có dạng:  kx   ak 2t   (1.17) k rk M e v x,t  k 0 l T (t)  sin  Sử dụng điều kiện ban đầu (1.8) :  l   v |t0 G(x)   M (0) k k 0 k x l kx  dxM  G x sin T (0) l k r 0 l G x  (1.18) Thay (1.18) vào (1.17) u(x,t) hoàn toàn tường minh:   v x,t   G  x  sin    l k 0 k x  l l a2k 22 t  dx-T (0)e  kx Tr (t)  sin r   (1.19) l Thay hàm w1(x,t); w2(x,t) v(x,t) tìm vào (1.1) ta hồn tồn tìm nghiệm u(x,t) hoàn toàn tường minh KẾT LUẬN Qua thời gian tiến hành thực đề tài,với cố gắng thân giúp đỡ thầy, giáo khoa Vật lí đặc biệt thầy giáo hướng dẫn – ThS Lê Khắc Quynh, đến em hoàn thành đề tài đạt số kết sau :  Đề tài đề cập số nội dung sau : - Xây dựng phương trình truyền nhiệt mơi trường đẳng hướng - Phân loại toán truyền nhiệt : + Bài tốn truyền nhiệt khơng có nguồn + Bài tốn truyền nhiệt có nguồn + Bài tốn truyền nhiệt với biên tổng quát - Đưa cách giải cho loại toán với số toán cụ thể  Bước đầu em hiểu, làm quen với công tác nghiên cứu khoa học làm quen với công việc thực tế TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Chính Cương (2009), Bài tập Phương pháp Tốn Lí, NXB ĐHSP, Hà Nội [2] Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp Tốn Lí, NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] Phan Huy Thiện (2006), Phương trình Tốn Lí, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] Lê Đức Thơng, Đặng Đức Dũng (2009), Phương pháp toán dùng cho Vật lí, NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, TPHCM ... |t0  x, y, z  Và điều kiện biên (3); (4) (5) Chƣơng PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 2.1 Bài tốn truyền nhiệt tự khơng nguồn Bài tốn truyền nhiệt tự khơng nguồn... Phương trình (2) gọi phương trình truyền nhiệt, nghiệm u = u(x,y,z,t) phương trình mơ tả phân bố nhiệt độ môi trường truyền nhiệt Nếu g =0, ta có phương trình truyền nhiệt Ngược lại, phương trình. .. thuyết phương trình truyền nhiệt - Phân loại tốn phương trình truyền nhiệt - Vận dụng hàm, chuỗi tốn học; cách giải phương trình vi phân để giả toán truyền nhiệt Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương