Ứng dụng tính chất của tập lồi giải một số bài toán hình học tổ hợp

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ==***== NGUYN TH HOA NG DNG TNH CHT CA TP LI GII MT S BI TON HèNH HC T HP KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc H NI - 2012 TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ==***== NGUYN TH HOA NG DNG TNH CHT CA TP LI GII MT S BI TON HèNH HC T HP TểM TT KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc Ngi hng dn khoa hc ThS.GVC Phan Hng Trng H NI - 2012 LờI CảM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Hình học, thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Phan Hồng Trường tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hoa LờI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành với bảo tận tình thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình thầy giáo Phan Hồng Trường Trong khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Em xin khẳng định kết đề tài trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hoa MC LC Mở đầu Chng 1: Hình lồi 1.1 Các định nghĩa: 1.2 Bao lồi bao lồi đóng 1.3 Nón lồi Chương 2: Một số vấn đề hình học tổ hợp 2.1 Định lí Kelli không gian chiều R1 2.2 Định lí Kelli không gian hai chiều R2 2.3 Ví dụ: 10 Chng 3: Một số toán hình học tổ hợp 13 3.1 Một số phương pháp giải thông thường 13 3.1.1 Phương pháp sử dụng định lí Kelli 13 3.1.2 Phương pháp lấy bao lồi 16 3.2 Một số toán thường gặp 28 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Mở đầu Lí chọn đề tài Hình học môn học quan trọng, tương đối khó chương trình Toán phổ thông có nhiều ứng dụng đời sống người, để hiểu người học cần tưởng tượng tư cao Đặc biệt, hình học tổ hợp nhánh hình học mà thường gặp kì thi chọn học sinh giỏi toán nước quốc tế Trong hình học tổ hợp có nhiều kết nghiên cứu nhà toán học ngành khác quan tâm Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tổ hợp tìm hiểu nhiều phương pháp giải toán hình học tổ hợp hay hơn, cụ thể hơn, trực quan hơn, nhằm chuẩn bị cho kiến thức tốt cho công việc giảng dạy sau này, em chọn đề tài ứng dụng tính chất tập lồi giải số toán hình học tổ hợp để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu sâu kiến thức tập lồi - Làm rõ tính ưu việt việc ứng dụng tính chất tập lồi giải số toán hình học tổ hợp Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức tập lồi - Phạm vi nghiên cứu: Một số toán hình học tổ hợp giải phương pháp sử dụng tính chất tập lồi Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lí thuyết tập lồi - Đề xuất số phương pháp giải toán hình học tổ hợp giải phương pháp sử dụng tính chất tập lồi Các phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng lí luận, công cụ toán học - Nghiên cứu sách tham khảo, tài liệu liên quan CHƯƠNG 1: hình lồi Giả sử X không gian tuyến tính, R tập số thực 1.1 Các định nghĩa: Định nghĩa 1.1.1: Cho a, b X , đoạn thẳng nối a với b tập tất điểm x X thỏa mãn: x ta (1 t )b với t 0;1 Nhận xét 1.1.1: Nếu En có hệ tọa độ trực chuẩn O, x1, x2, , xn a(a1,a2,,an), b(b1, b2, , bn); O(0, 0, , 0) đoạn nối ab tập hợp điểm y(y1, y2, , yn) thỏa mãn: yi tai (1 t )bi , i 1, n với t 0;1 Ví dụ 1.1.1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy có a(5;2), b(3;1) Khi x a; b x(x1; x2) có tọa độ thỏa mãn: x1 t.5 (1 t ).3 với t 0;1 x2 t.2 (1 t ).1 Định nghĩa 1.1.2: Tập hợp P X , P gọi tập lồi a, b P, x X thỏa mãn: x ta (1 t )b x P Quy ước: Tập tập lồi Ví dụ 1.1.2: Đoạn thẳng a; b tập lồi Định lí 1.1.1: Giao tập lồi tập lồi, tức: Nếu Pi X (i I ) tập lồi, với I tập số P Pi tập lồi iI Chứng minh: Lấy x1 , x2 Pi (i I ) Với i I Pi lồi nên tx1+(1 - t)x2 Pi t 0;1 tx1 (1 t ) x2 P (điều phải chứng minh) Nhận xét 1.1.2: Nếu P1, P2 tập lồi P1 P2 chưa tập lồi Thật vậy: H1 A, H a với a đường thẳng không qua A Lấy B H Khi AB H1 H Định nghĩa 1.1.3: Cho x1 , x2 , , xn X Ta gọi vectơ x X tổ hợp lồi n n x1 , x2 , , xn ti : i 1, n; ti cho x ti xi i i Định lí 1.1.2: Cho P tập lồi, A P Giả sử x1 , x2 , , xn A Khi với x tổ hợp lồi x1 , x2 , , xn x A Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp +) Với m=2 Với t1 , t2 : t1 t2 1; x1 , x2 A Theo định nghĩa 1.1.2 ta có: t1 x1 t x2 A Vậy khẳng định với m = +) Giả sử khẳng định với m k Ta chứng minh khẳng định với k k k+1, tức là: x1 , x2 , , xk A; ti 0, i 1, k 1; ti 1: x ti xi A i i Nếu tk t1 t2 tk ta có x A Khẳng định Nếu tk , đó: tk t1 t2 tk k Bởi i ti (i 1, k ) tk ti theo giả thiết quy nạp ta có: tk y t1 tk x1 xk A t k 1 t k Với điểm y A ; xk A , ta có tk 0; (1 tk ) tk , đó: x (1 tk ) y t k xk A (điều phải chứng minh) 1.2 Bao lồi bao lồi đóng Định nghĩa 1.2.1: Giả sử tập lồi tùy ý thuộc X, Pi iI họ tất tập lồi chứa , với I tập số Khi P i gọi bao lồi tập iI Kí hiệu co Ví dụ 1.2.1: Trong E2 cho BO, r x : d O; x r Khi co BO,1 BO,1 Nhận xét 1.2.1: a) co tập lồi nhỏ chứa b) lồi = co Định lí 1.2.1: co trùng với tất tổ hợp lồi Chứng minh: Theo định nghĩa 1.2.1 co mà theo nhận xét 1.2.1 co lồi nên co chứa tất tổ hợp lồi (định lí 1.1.1) Mặt khác, tập tất tổ hợp lồi lồi, chứa Do chứa co Hệ 1.2.1: Tập lồi chứa tất tổ hợp lồi Bây giả sử X không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.2.2: Giả sử X Bao lồi đóng tập định nghĩa giao tất tập lồi đóng chứa , kí hiệu co Ví dụ 1.2.2: Trong ví dụ 2.1.1 ta có coBO,1 BO,1 Nhận xét 1.2.2: co tập lồi đóng Đó tập lồi đóng nhỏ chứa Mệnh đề 1.2.1: Giả sử A X lồi Khi đó: a) Phần intA bao đóng A A tập lồi b) Nếu x1 intA, x A x1 , x2 tx1 (1 t ) x2 : t int A Nói riêng, int A A int A, int A int A Định lí 1.2.2: Với X ta có co co Chứng minh: Ta có tập lồi suy co tập đóng, chứa Do co co (1) Mặt khác co co co giao tất tập lồi (không cần đóng) chứa Vì co co (2) Từ (1) (2) suy co co B C A D E Khi tam giác EAB, BCD tam giác không nhọn Xét tứ giác ACDE Vì bốn góc CAE, AED, EDC, DCA không nhọn, nên bốn tam giác CAE, AED, EDC, DCA tam giác nhọn Như trường hợp ta có ba tam giác không nhọn Bây trở lại toán: Từ 100 điểm, ta có C100 cách chọn năm điểm Theo bổ đề chọn 3C100 tam giác không nhọn (chúng trùng nhau) Tuy nhiên tam giác tạo năm điểm khác nhau, nghĩa nằm C972 năm điểm Như chọn 3C100 C972 tam giác không nhọn Mặt khác, số tất tam giác chọn từ 100 điểm cho C100 Vậy số lượng tam giác nhọn nhiều là: C100 3C100 C972 Gọi k tỉ số số tam giác nhọn toàn thể tam giác Từ lập luận suy ra: 27 k VP(1) = - C100 3C100 C100 (1) 3C100 3.100.99.98.97.96.1.2.3.1.2 = C97 C100 1.2.3.4.5.97.96.100.99.98 10 10 Từ (1) ta có k = 70% 10 Nói cách khác số tam giác chọn nhiều chiếm 70% tổng số tất tam giác Đó điều phải chứng minh 3.2 số toán thường gặp Bài 1: Trên mặt phẳng cho n hình tròn (n 4) Giả sử với ba hình tròn có hình tròn bán kính r cắt ba hình tròn Chứng minh tồn hình tròn bán kính r cắt n hình tròn Giải: O* ri r Ai i Gọi Si hình tròn tâm Ai, bán kính ri (i = 1, n ), Si = (Ai ; ri) Gọi i hình tròn tâm Ai, bán kính ri+r (i = 1, n ), i = (Ai ; ri + r) Như tâm tất hình tròn có bán kính r mà cắt Si nằm i Xét n tập lồi 1, 2, , n 28 Với i, j, k tuỳ ý mà i, j, k {1, 2, 3, , n} Theo giả thiết tồn hình tròn (Oi,j,k ; r) cắt Si, Sj, Sk, tức Oi,j,kijk Điều chứng tỏ i j k n với i, j, k {1, 2, 3,,n} Theo định lí Kelli suy i Vậy tồn i1 n O* i i1 Xét hình tròn O*, bán kính r, (O* ; r) Hình tròn rõ ràng cắt Si với i=1, n Đó điều phải chứng minh Bài 2: Cho họ n đa giác lồi (n 3) đôi cắt Chứng minh tồn đường thẳng cắt tất đa giác Giải: y Pi Pj O aj bj bi x Xét tất đa giác Pi, i = 1, n , cho hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Với đa giác Pi, ta chiếu lên trục hoành ta đoạn [ai;bi] Như ta có tương ứng - Pi [ai ; bi], i= 1, n 29 Theo giả thiết với i j ((i, j) {1, 2, , n}) Điều có nghĩa [ai ; bi] [aj ; bj] Theo định lí Kelli n n i i ; bi Như tồn ; bi Do đường thẳng x = cắt tất n đa giác Pi, i= 1, n Đó điều phải chứng minh Bài 3: Trong mặt phẳng có điểm phân biệt Với hai điểm nối thành đoạn thẳng Chứng minh tỉ số đoạn thẳng dài với đoạn thẳng ngắn lớn Giải: Giả sử X = {A1, A2, A3, A4, A5, A6} tập hợp điểm cho Đặt d max Ai Aj , imin Ai Aj Ta phải chứng minh j i j i , j 1,6 i , j 1,6 d Xét trường hợp sau: Nếu tồn ba điểm thẳng hàng Không giảm tính tổng quát cho ba điểm A1, A2, A3 A1A2 A2A3 A1 A2 A3 Rõ ràng ta có A1A3 2A1A2 Theo định nghĩa d d A1A3 nên d 2A1A2 Lại theo định nghĩa , A1A2 nên d Điều khẳng định toán trường hợp Tồn ba điểm tạo tam giác có góc lớn lớn 900 A2 A3 A1 30 Giả sử ba điểm A1, A2, A3 1200 A1 A2 A3 < 1800 Theo định lí hàm số cosin thì: A1 A32 = A1 A22 + A2 A32 - 2A1A2.A2A3.cos A1 A32 A1 A22 + A2 A32 + A1A2.A2A3 Vì d A1A3, A1A2, A2A3 nên suy d2 + + = 32 d Điều khẳng định toán trường hợp Xét trường hợp tổng quát ba điểm thẳng hàng Gọi bao lồi điểm cho Khi có khả sau: a) Bao lồi tam giác Giả sử tam giác A1A2A3 Vì điểm số điểm cho thẳng hàng, nên điểm lại A4, A5, A6 nằm hẳn tam giác A1 A1A2A3 A4 A2 A3 Xét chẳng hạn điểm A4 Khi đó, A1 A4 A2 + A2 A4 A3 + A3 A4 A1 = 3600 nên phải tồn chẳng hạn A1 A4 A2 1200 Khi áp dụng trường hợp suy điều phải chứng minh b) Bao lồi tứ giác, giả sử tứ giác A1A2A3A4 A3 A2 A1 A5 A4 31 Vì điểm số điểm cho thẳng hàng, nên suy hai điểm lại A5, A6 phải nằm hẳn tam giác A1A2A4 tam giác A4A2A3 Giả sử A5 thuộc phần tam giác A1A2A4 Lập luận ba góc A1 A5 A2 , A1 A5 A4 , A4 A5 A2 phải có góc lớn 1200 Giả sử A1 A5 A4 1200 Khi áp dụng trường hợp suy điều phải chứng minh c) Bao lồi ngũ giác, giả sử ngũ giác A1A2A3A4A5 A4 A5 A3 A6 A1 A2 Từ giả thiết suy A6 không thuộc cạnh ngũ giác, không thuộc hai đường chéo A2A5, A2A4 Vì A6 phải thuộc vào phần trong ba tam giác: A1A2A5, A5A2A4, A4A2A3 Có thể cho A6 thuộc vào phần tam giác A2A5A4 Lại lập luận cho A2 A6 A5 1200, ta lại quay lại trường hợp 32 d) Bao lồi lục giác, giả sử lục giác A1A2A3A4A5A6 A2 A3 A4 A1 A5 A6 Vì A1 A2 A3 A4 A5 A6 = 7200 nên max A1, A2 , A3 , A4 , A5 , A6 1200 Từ giả sử A1 1200 Khi xét tam giác A6A1A2 ta quay trường hợp Bài toán giải hoàn toàn Bài 4: Trên mặt phẳng cho 2005 điểm, ba điểm thẳng hàng bốn điểm nằm đường tròn Chứng minh từ điểm chọn ba điểm cho có 1001 điểm số lại nằm đường tròn qua ba điểm chọn, 1001 điểm nằm Giải: Lấy bao lồi 2005 điểm Bao lồi đa giác Do ba điểm thẳng hàng, nên cạnh đa giác bao lồi chứa hai điểm hai đỉnh cạnh Lấy cạnh đa giác bao lồi giả sử cạnh AB B A C100 33 Rõ ràng đường thẳng qua A, B đặt 2003 điểm lại phía đường thẳng Đánh số tất 2003 điểm lại C1, C2, , C2003 cho: AC1 B AC2 B AC2003 B (vì bốn điểm nằm đường tròn) Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác AC1002B Dễ thấy điểm C1, C2, , C1001 nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC1002; điểm C1003, C1004, , C2003 nằm đường tròn Đó điều phải chứng minh Bài 5: Chứng minh số đường kính n - giác tuỳ ý không vượt n Giải: Ta chứng minh quy nạp toán cách tổng quát cho hệ n điểm tuỳ ý Với n = 3, kết luận toán hiển nhiên tam giác có cạnh nên có không đường kính Giả sử kết luận cho n: n hệ điểm tuỳ ý có không n đường kính Xét hệ H gồm n + điểm tuỳ ý có đường kính d Nếu đỉnh có không hai đường kính số đường kính H không vượt n n đường kính (do đường kính tính hai lần) Nếu có đỉnh A không đường kính AA1, AA2, AA3 giả sử không tính tổng quát A3 nằm khoảng A1 A2 Ta chứng tỏ A3 34 có đường kính AA3 Nếu B điểm tuỳ ý hệ AB d nên B nằm hình tròn (A ; d) Giả sử A3B = d B nằm hình quạt giới hạn A A1 A2 Khi A3B cắt AA1 A3B cắt AA2 A1 B A3 A O A2 Không tính tổng quát giả sử A3B cắt AA1 Khi ta có tứ giác ABA3A2 gọi O = BA2 AA3 BA2 + AA3= BO + OA2 + AO + OA3 = (BO + OA3) + (AO + OA2) BA3 + AA2 Suy A2B > BA3 = d, vô lí Xét n điểm thu từ H bỏ A3, theo giả thiết quy nạp hệ n điểm có không n đường kính,do H có không (n + 1) đường kính Vậy toán chứng minh Bài 6: Cho m điểm không nằm đường thẳng Chứng minh tồn đa giác lồi có đỉnh m điểm cho cho điểm lại không nằm đa giác Giải: Vì số điểm cho hữu hạn, nên hoàn toàn xác định đường thẳng d cho tất điểm cho nằm phía d (giả sử bên d) Gọi A1 điểm gần d (nếu có nhiều điểm ta giả sử A1 35 điểm cuối bên phải) Qua A1 kẻ đường thẳng d//d Quay d1 quanh d theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, gặp điểm cho Ta xác định vị trí d đường thẳng d1, điểm vừa gặp gọi A2 (nếu có nhiều điểm ta chọn A2 điểm xa A1 nhất) Quay d1 quanh d2 cách làm trên, ta đường thẳng d2, gặp điểm A3 Tiếp tục trình đường thẳng qua A1, gọi dm.Ta nhận đa giác lồi A1A2Am thỏa mãn đề d2 A3 Am d1 A2 A1 dm Bài 7: Người ta cắt đa giac lồi 10 cạnh thành hình tam giác Hỏi thu tam giác? Nếu đa giác không lồi số tam giác thu bao nhiêu? Giải: Khi chia đa giác lồi thành n tam giác (bằng đường chéo đường chéo) góc đa giác lồi nhỏ , nên đỉnh đa giác nằm cạnh tam giác, mà đỉnh đa giác phải đỉnh tam giác Vì tổng góc tất m tam giác nhỏ tổng góc đa giác đa cho Trong 36 trường hợp đa giác lồi 10 cạnh tổng góc , mà tổng góc m tam giác m suy m Ta có tam giác tất đường cắt đường chéo đa giác Xét trường hợp cắt đa giác 10 cạnh không lồi Nếu đỉnh có góc nhỏ , đỉnh phải đỉnh tam giác Nếu góc đỉnh lớn đỉnh vừa đỉnh tam giác vừa thuộc cạnh tam giác Do tổng số đỉnh tam giác nhỏ 10, ta có 3n 10 n Vậy cắt tam giác Bài : Trên mặt phẳng cho số hữu hạn điểm không thuộc đường thẳng Chứng minh tồn ba điểm cho đường tròn ngoại tiếp tam giác không chứa điểm bên Giải: A2 A1 Ai-1 M Ap Ai Ai Ai+1 Ai+1 Vì số điểm cho hữu hạn chúng không nằm đường thẳng, lấy bao lồi hệ điểm ta đa giác Giả sử đa giác lồi A1A2Ap, điểm lại phải nằm đa giác bao lồi Gọi Ai, Ai+1 hai đỉnh liên tiếp đa giác bao lồi (tức xét cạnh tùy ý AiA1+1) Do tập điểm cho không nằm đường thẳng nên tập điểm không thuộc AiA1+1 khác rỗng Khi tồn điểm M cho 37 Ai MAi1 max Ai A j Ai , giá trị lớn lấy theo j 1.m mà j i, j i 1; Aj Ai Ai (giả sử A1, A2, , Am hệ hữu hạn điểm cho trước) Khi đường tròn ngoại tiếp Ai MAi đường tròn cần tìm 38 Kết luận Hình học tổ hợp nhánh hình học mà thường gặp kì thi chọn học sinh giỏi toán nước quốc tế Bản khoá luận trình bày số kết nghiên cứu tập lồi, số tính chất tập lồi ứng dụng tính chất tập lồi để giải toán hình học tổ hợp Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hi vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác có liên quan hình học thuận lợi Tuy nhiên lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, có nhiều cố gắng xong không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn sinh viên trường để khoá luận hoàn thiện 39 Tài liệu tham khảo Phan Huy Khải (2007) , Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông toán hình học tổ hợp, NXB giáo dục Nguyễn Hữu Điền (2005) , Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB giáo dục 40 41 [...]... cách khác: (O*; R) k 1 12 k CHƯƠNG 3: một số bài toán của hình học tổ hợp Hình học tổ hợp rất đa dạng về nội dung, mặt khác cũng rất phong phú về phương pháp giải Sau đây là một số phương pháp sử dụng tính chất của tập lồi để giải các bài toán hình học tổ hợp: 3.1 một số phương pháp giải thông thường 3.1.1 Phương pháp sử dụng định lí Kelli Ví dụ 3.1.1: Cho một số hữu hạn n 4 các đường thẳng Biết rằng... Giải bài toán hình học tổ hợp bằng phương pháp lấy bao lồi tức là ta sẽ bao một số hữu hạn điểm bởi một đa giác, gọi là đa giác bao, đó cũng chính là bao lồi của họ hữu hạn điểm đó Trước khi xét một số ví dụ cụ thể ta sẽ chứng minh bổ đề sau: 16 Bổ đề (về đa giác bao): Trong mặt phẳng, bao lồi của n điểm tuỳ ý là một đa giác lồi (hoặc là đoạn thẳng) với đỉnh là một số điểm trong các điểm đã cho Chứng... 1.3.3: Ta gọi là nón lồi sinh bởi A là một tập hợp là giao của tất cả các nón lồi (có đỉnh tại O) chứa A và điểm O Kí hiệu là KA Mệnh đề 1.3.2: a) KA = KcoA b) Nếu A là tập lồi thì K A A a X : a b, 0, b A 0 6 Chương 2: một số vấn đề của hình học tổ hợp Một câu hỏi được đặt ra là nếu cho trước một họ các hình lồi thì khi nào họ hình lồi này khác rỗng ? Trong không gian một chiều, câu hỏi này... chỉ chiếm 70% tổng số tất cả các tam giác Đó là điều phải chứng minh 3.2 một số bài toán thường gặp Bài 1: Trên mặt phẳng cho n hình tròn (n 4) Giả sử cứ với mỗi ba hình tròn đều có một hình tròn bán kính r cắt ba hình tròn này Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính r cắt cả n hình tròn Giải: O* ri r Ai i Gọi Si là hình tròn tâm Ai, bán kính ri (i = 1, n ), Si = (Ai ; ri) Gọi i là hình tròn tâm... với việc các hình vuông nhựa không có điểm chung Vậy giả thiết phản chứng là sai, tức là các hình vuông nhựa và cát tông hoàn toàn trùng khít nhau 22 Đó là điều phải chứng minh Ví dụ 3.2.4: Trên mặt phẳng cho một số n - giác đều Chứng minh rằng bao lồi của nó là một đa giác có không ít hơn n đỉnh Giải: Rõ ràng bao lồi của nó là một đa giác lồi mà các đỉnh của nó nằm trong tập hợp các đỉnh của n - giác... Khi đó từ giả thiết phản chứng suy ra còn lại các hình vuông bằng nhựa và cát tông, trong đó không có hình vuông bằng nhựa và cát tông nào lại trùng khít nhau A B Xét tập hợp các đỉnh hình vuông bằng nhựa còn lại Từ giả thiết suy ra đó cũng chính là tập hợp các đỉnh hình vuông bằng cát tông Xét bao lồi của tập hợp các đỉnh này Xét một đỉnh A tuỳ ý của bao lồi vừa xét Vì mọi hình vuông cát tông và nhựa... không quá một điểm của hệ Thật vậy, mọi điểm cách A một đoạn bằng d là các điểm của tập hợp , do đó nó thuộc bao lồi của , tức là thuộc AB Như vậy có tối đa một điểm gần A nhất 17 2 Nếu bao lồi của là một đa giác lồi Chọn A là một đỉnh của bao lồi của B1 A d B2 A d Bi B3 Bj B4 Giả sử gần A nhất có quá 3 điểm có khoảng cách bằng d tới A Theo định nghĩa của d, thì với mọi i j, BiBj d (ở đây B1, B2, B3,... nhiên bao lồi của chúng là một đoạn thẳng Nếu hệ điểm không thẳng hàng, khi nối các điểm của hệ với nhau bằng các đoạn thẳng ta sẽ thu được một đa giác lồi chứa các điểm còn lại bên trong Dễ dàng thấy rằng đó chính là bao lồi của hệ điểm Sử dụng bổ đề về đa giác bao ở trên, bây giờ ta sẽ xét một số ví dụ sau: Ví dụ 3.2.1: Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm Chứng minh rằng luôn luôn tìm được một điểm... nhận thấy rằng tập hợp các đỉnh hình vuông bằng nhựa hoàn toàn trùng với tập hợp đỉnh hình vuông bằng cát tông Chứng minh rằng các hình vuông bằng cát tông và các hình vuông bằng nhựa được xếp hoàn toàn trùng nhau 21 Giải: Giả thiết phản chứng kết luận của bài toán không đúng, tức là các hình vuông bằng cát tông và nhựa được xếp không hoàn toàn trùng nhau Loại bỏ đi các hình vuông hoàn toàn đặt khít... Fi Fj Fn Fn+1 Vì giao của 3 hình lồi trong các hình lồi Fi, Fj, Fn, Fn+1 là khác rỗng (giả thiết) nên theo trường hợp n = 4, ta có Fi Fj Fn Fn+1 Vậy với hình lồi F1, F2,, Fn thỏa mãn điều kiện giao của 3 hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng nên theo giả thiết quy nạp suy ra F1F2Fn Nghĩa là: F1 F2 Fn Fn+1 Vậy định lí Kelli đúng trong trường hợp có n + 1 hình lồi Theo nguyên lí quy nạp ... số toán hình học tổ hợp giải phương pháp sử dụng tính chất tập lồi Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày sở lí thuyết tập lồi - Đề xuất số phương pháp giải toán hình học tổ hợp giải phương pháp sử dụng. .. luận Hình học tổ hợp nhánh hình học mà thường gặp kì thi chọn học sinh giỏi toán nước quốc tế Bản khoá luận trình bày số kết nghiên cứu tập lồi, số tính chất tập lồi ứng dụng tính chất tập lồi. .. thức tập lồi - Làm rõ tính ưu việt việc ứng dụng tính chất tập lồi giải số toán hình học tổ hợp Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức tập lồi - Phạm vi nghiên cứu: Một số