Chuỗi fourier và ứng dụng giải bài toán truyền nhiệt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TÔ THỊ THỦY CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TÔ THỊ THỦY CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn thầy TS Lê Hải Trung Các số liệu, kết nêu luận văn xác, trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Tô Thị Thủy LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy TS Lê Hải Trung, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, người thầy nhiệt tình hướng dẫn, bảo cung cấp đầy đủ tài liệu để tác giả hoàn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý thầy hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp dành thời gian quý báu để đọc cho lời nhận xét luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý thầy khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Quý thầy công tác Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, người trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Quý thầy cô công tác trường THPT Thu Xà, tỉnh Quảng Ngãi tạo điều kiện tốt để tác giả học hồn thành tốt khóa học Cuối tác giả xin gởi lời cảm ơn thành viên lớp Phương pháp toán sơ cấp khóa 32 (2016-2018) xây dựng tập thể lớp đồn kết, gắn bó giúp đỡ lẫn suốt thời gian học tập thực đề tài Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Tô Thị Thủy MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG DẪN NHẬP VỀ CHUỖI FOURIER 1.1 CHUỖI LƯỢNG GIÁC 1.2 CHUỖI FOURIER 1.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI FOURIER 1.4 KHAI TRIỂN HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER 10 15 1.4.1 Chuỗi Fourier hàm số tuần hoàn chu kỳ 2π 15 1.4.2 Chuỗi Fourier cosine sine hàm tuần hồn chu kì 2π 18 1.4.3 Chuỗi Fourier hàm tuần hồn chu kì tuỳ ý 22 1.4.4 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 26 1.5 DẠNG PHỨC CỦA CHUỖI FOURIER 30 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CHUỖI FOURIER CHO BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT .35 2.1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 2.2 ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU VÀ ĐIỀU KIỆN BIÊN 35 38 2.3 TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 38 2.4 NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH HỮU HẠN, KHƠNG CĨ NGUỒN NHIỆT 41 2.4.1 Nhiệt độ hai đầu mút không 41 2.4.2 Hai đầu mút cách nhiệt 47 2.4.3 Nhiệt độ đầu mút không, đầu mút cách nhiệt 50 2.5 NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG THANH HỮU HẠN CÓ NGUỒN NHIỆT 53 2.6 MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN TRUYỀN NHIỆT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN KHƠNG THUẦN NHẤT 58 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Jean Blaptista Joseph Fourier (1768-1830) nhà toán học nhà vật lý người Pháp Ông biết đến với việc thiết lập chuỗi Fourier ứng dụng nhiệt học Trong toán học, Joseph Fourier người biểu diễn thành công hàm thành chuỗi hàm lượng giác ơng nghiên cứu q trình truyền nhiệt vật chất Joseph Fourier áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt Năm 1822, ơng cho cơng bố cơng trình “Lý thuyết giải tích nhiệt” mở thời kỳ ứng dụng toán học khoa học khác Ngày nay, chuyên gia xử lý tín hiệu số (trên hai lĩnh vực âm hình ảnh) người hiểu hết vai trò quan trọng chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier Có thể nói hầu hết thiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh âm mà dùng hơm chứa “chíp” làm nhiệm vụ chuyển đổi hệ số Fourier thành hàm số (tín hiệu số), kiêm chức “khử nhiễu” hay “hiệu chỉnh tín hiệu” Trong giáo trình giải tích hàm số biến chương trình đào tạo bậc đại học làm quen với chuỗi Fourier Trong tài liệu “Ứng dụng phần mềm Mathematica cho toán truyền nhiệt ” tác giả TS Lê Hải Trung xét toán truyền nhiệt dài vơ hạn, khơng có nguồn nhiệt, khơng cịn điều kiện biên mà có điều kiện đầu nghiệm tốn mơ tả cơng thức Poisson Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu chuỗi Fourier, hiểu rõ phần ứng dụng chuỗi Fourier, hướng dẫn thầy TS Lê Hải Trung nên chọn đề tài “ Chuỗi Fourier ứng dụng giải toán truyền nhiệt” Đề tài nhằm nghiên cứu việc khai triển hàm số thành chuỗi Fourier dành phần lớn cho việc nghiên cứu toán truyền nhiệt với trường hợp khác điều kiện biên Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết chuỗi Fourier khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Từ đó, ứng dụng chuỗi Fourier vào giải toán truyền nhiệt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Chuỗi Fourier cách khai triển số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier Xét toán truyền nhiệt chiều hữu hạn Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn có sử dụng kiến thức thuộc chuyên ngành sau đây: Giải tích hàm biến; Lý thuyết chuỗi Fourier; Lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết thực tiễn Chúng ta sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán đối tượng quan tâm đến việc giải Bài toán truyền nhiệt chuỗi Fourier Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, đề tài chia làm hai chương: Chương 1: Giới thiệu định nghĩa chuỗi Fourier, cách xây dựng cơng thức tính hệ số Fourier (dạng thực dạng phức), điều kiện đủ để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier Khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier với chu kỳ 2π 2l Chương 2: Giới thiệu toán truyền nhiệt Sử dụng phương pháp tách biến dùng chuỗi Fourier để xây dựng công thức nghiệm toán với trường hợp khác điều kiện biên Giải số toán truyền nhiệt cụ thể CHƯƠNG DẪN NHẬP VỀ CHUỖI FOURIER Trong chương kiến thức trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [3], [4], [6] Ý nghĩa chương nhằm mục đích giới thiệu kiến thức chuỗi Fourier, cách khai triển hàm số thành chuỗi Fourier trường hợp cụ thể tổng quát Trong kỹ thuật giới quanh ta thường xảy q trình có xu hướng lặp lặp lại tuần hoàn (hoặc gần tuần hồn), q trình gọi dao động, mô tả hàm số tuần hoàn Những hàm số tuần hoàn đơn giản hàm số An sin (nωt + ϕn ) , n = 1, 2, 3, Chúng biểu diễn dao động điều hoà với biên độ An , chu kỳ 2π 2π Nếu cho hàm số g(t) tuần hồn với chu kỳ T = , T = nω ω khai triển dạng sau không? ∞ g(t) = A0 + An sin (nωt + ϕn ) n=1 Đặt ωt = x, ta có: ∞ x g(t) = g = A0 + An sin (nx + ϕn ) := f (x) ω n=1 Khi f (x) hàm tuần hồn chu kỳ T = 2π ∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx) , f (x) = n=1 a0 = 2A0 , an = An sin ϕn , bn = Bn cos ϕn 1.1 CHUỖI LƯỢNG GIÁC Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi lượng giác chuỗi hàm số có dạng ∞ (an cos nx + bn sin nx) , x ∈ R, a0 + n=1 (1.1) a0 , an , bn (n = 1, 2, 3, ) số Mỗi hàm số un (x) = an cos nx + bn sin nx hàm số tuần hồn chu kì 2π , liên tục khả vi cấp n Định lí 1.1.2 Nếu dãy số {an }, {bn } đơn điệu giảm dần tới n → ∞ chuỗi (1.1) hội tụ điểm x = k2π , k ∈ Z n (ak cos kx + bk sin kx) Với x = m2π , m ∈ Z, Chứng minh Đặt Sn = k=1 ta có n n x x x sin Sn = ak sin cos kx + bk sin sin kx 2 k=1 k=1 n 1 x − sin k − x = ak sin k + 2 k=1 n 1 + bk cos k − x − cos k + x 2 k=1 n+1 n 1 = ak−1 sin x − x− ak sin k − x 2 k=2 k=1 n+1 n 1 bk−1 cos k − x− x + bk cos k − 2 k=2 k=1 n x 1 = −a1 sin + an sin n + x+ (ak−1 − ak ) sin k − x 2 k=2 n 1 x x+ (bk − bk−1 ) cos k − x +b1 cos − bn cos n + 2 k=2 Ta có (1) an sin n + x ≤ |an | → 0, n → ∞ x ≤ |bn | → 0, n → ∞ (2) bn cos n + n n n (3) (ak−1 − ak ) sin k − x ≤ |ak−1 − ak | = (ak−1 − ak ), k=2 k=2 k=2 n hay (ak−1 − ak ) sin k − x ≤ a1 − an → a1 , n → ∞ k=2 n (4) (bk − ak−1 ) cos k − x ≤ b1 − bn → b1 , n → ∞ k=2 64 l cn = l (f (x) − U0 ) cos (2n + 1)πx dx 2l l l (2n + 1)πx f (x) cos dx − 2l l = l l (2n + 1)πx dx 2l l = U0 cos f (x) cos (2n + 1)πx (−1)n 2U0 dx − 2l (2n + 1)π (2.57) Vậy nghiệm tốn cần tìm có dạng x2 u(x, t) = w1 (x, t) + v1 (x) + U0 l ∞ (2n + 1)πx −(2n+1)22 π2 a2 t 4l = cn cos e + U0 , 2l n=0 với cn xác định theo (2.57) Nhận xét 2.6.3 Một cách tổng quát ta tìm v(x, t) trên, nhiên số trường hợp ta khéo chọn hàm v(x, t) tốn đơn giản Chẳng hạn, với ví dụ này, ta tìm nghiệm dạng u(x, t) = w(x, t) + U0 Khi w(x, t) thỏa mãn phương trình ∂w ∂ 2w = a2 , ∂t ∂x với điều kiện biên điều kiện đầu: ∂w (0, t) = 0; w(l, t) = 0, ∂x w(x, = f (x) − U0 Ta có w(x, t) = w1 (x, t) Nghiệm u(x, t) thu hoàn toàn giống ví dụ Ví dụ 2.6.4 Tìm phân bố nhiệt độ đồng chất dài l Biết nhiệt độ ban đầu không, nhiệt độ mút x = khơng, cịn nhiệt độ mút x = cho u(0, t) = At 65 Giải Gọi u(x, t) nhiệt độ thời điểm t Ta có phương trình truyền nhiệt ∂ 2u ∂u = a2 , ≤ x ≤ l t ≥ 0, ∂t ∂x thỏa mãn điều kiện biên u(0, t) = At; u(l, t) = 0, điều kiện đầu u(x, 0) = Tìm nghiệm phương trình dạng u(x, t) = w(x, t) + At − At x l Khi w(x, t) thỏa mãn phương trình ∂w Ax 2∂ w +A− =a ∂t l ∂x2 ∂ w Ax ∂w = a2 + − A, ⇔ ∂t ∂x l với điều kiện biên w(0, t) = 0; w(l, t) = 0, điều kiện đầu w(x, 0) = Đây dạng phương trình truyền nhiệt không (2.42) - (2.44) Ax với g(x, t) = − A, f (x) = l Nghiệm w(x, t) tìm dạng ∞ nπx u(x, t) = Tn (t) · sin , l n=1 t e−ωn (t−τ ) gn (τ )dτ, Tn (t) = l gn (t) = l g(x, t) sin nπx dx l 66 Ta có l gn (t) = l ( Ax nπx − A) sin dx l l nπx −l (Ax − A) cos = l nπ l = −2A Al nπx + sin nπ l (nπ)2 l l l + l l = n A nπx cos dx nπ l −2A nπ Khi t −ωn2 (t−τ ) Tn (t) = e t −2A −2A −ωn2 t ( )dτ = e nπ nπ eωn τ dτ −2Al2 −2A −ωn2 t ωn2 τ t −ωn2 t · (e ) = ) e (1 − e = nπ ωn (nπ)3 a2 Vậy nghiệm tốn cần tìm ∞ At nπx 2Al2 −ωn2 t u(x, t) = At − x + ) sin (1 − e a2 l (nπ) l n=1 (2.58) Nhận xét 2.6.5 Việc tìm nghiệm w(x, t) Ví dụ 2.6.4 làm sau: Ta tiếp tục tách w(x, t) = w1 (x, t) + v1 (x), chọn v1 (x) cho:  Ax  a v (x) = A − , l v(0) = 0, v(l) = Suy Ax2 v (x) = Ax − + c1 , c1 số, a 2l Ax2 Ax3 v(x) = − + c1 x + c2 , c2 số a 6l Với v(0) = v(l) = c1 , c2 nghiệm hệ   c2 = c2 = 2 ⇔ Al  Al − Al + c1 l = c1 = − 67 Như −Al2 v(x) = 6a2 x l x l −3 +2 x l Khi hàm w1 (x, t) thỏa mãn phương trình ∂w1 ∂ w1 =a , ∂t ∂x2 với điều kiện biên w1 (0, t) = w1 (l, t) = 0, điều kiện đầu w1 (x, 0) = −v1 (x) Việc tìm w1 (x, t) quay lại phương trình truyền nhiệt (2.13) (2.15) Nghiệm w1 (x, t) tìm có dạng: ∞ cn e−ωn t sin w1 (x, t) = n=1 nπx , l cn l −2 = l v1 (x) sin nπx dx l l = l Al2 6a2 x l x −3 l +2 x l sin nπx dx l Al2 = 3a (t3 − 3t2 + 2t) sin nπtdt Áp dụng tích phân phần ba lần ta thu 2Al2 Al3 [(6t − 6) cos nπt] = 3 cn = 3a nπ nπ a Như vậy, nghiệm Ví dụ 2.6.4 ∞ Al2 x x x 2Al2 −ωn2 t nπx u(x, t) = At− −3 +2 + 3 e sin 6a l l l a π n=1 n3 l Hai cơng thức nghiệm Ví dụ 2.6.4 giống ∞ −2Al2 nπx sin = v1 (x) π a2 n l n=1 68 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn với đề tài “Chuỗi Fourier ứng dụng giải toán truyền nhiệt” thực nội dung sau: Luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết chuỗi Fourier: Định nghĩa; chứng minh chi tiết định lý 1.1; xây dựng công thức tính hệ số Fourier; điều kiện đủ để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier; dạng phức chuỗi Fourier Luận văn trình bày chi tiết 17 ví dụ minh họa việc khai triển hàm số thành chuỗi Fourier tốn truyền nhiệt Hầu hết ví dụ tác giả tự đưa lấy đề phần tập (khơng có lời giải) tài liệu [4], [6] sau tự giải chi tiết luận văn, ví dụ điển hình cho nội dung khác Ở mục 1.4.4 việc khai triển hàm số thành chuỗi Fourier, luận văn cụ thể bước thực thể ví dụ 1.4.9 ví dụ 1.4.11 Hơn nữa, hai ví dụ luận văn hai cách giải trình bày cụ thể nhận xét Cuối chương I, luận văn đề cập đến dạng phức chuỗi Fourier Tùy theo hàm đề cho mà ta nên áp dụng công thức tính hệ số Fourier dạng phức dạng thực để việc tính tốn đơn giản Trong chương II, luận văn trình bày tốn truyền nhiệt; cơng thức nghiệm toán truyền nhiệt phương pháp tách biến biết phân bố nhiệt độ ban đầu chế độ nhiệt hai đầu mút Luận văn xây dựng công thức nghiệm toán truyền nhiệt với điều kiện biên hỗn hợp(mục 2.6.3) cơng thức nghiệm tốn truyền nhiệt không nhất(mục 2.5) Trong trường hợp có ví dụ minh họa cụ thể Cuối chương này, luận văn cách giải toán truyền nhiệt với điều kiện biên không nhất, thông qua hàm phụ ta đưa điều kiện biên mà có cơng thức nghiệm tổng qt 69 Hơn nữa, với tốn truyền nhiệt khơng có dạng: ∂u 2∂ u =a + g(x), ∂t ∂x2 luận văn hai cách giải, cụ thể trình bày ví dụ 2.6.4 Các ví dụ chương này, tác giả đưa sưu tầm phần tập tài liệu [2], sau giải chi tiết Qua nội dung trên, thấy chuỗi Fourier nhà toán học Fourier đưa cơng cụ để giải lớp tốn truyền nhiệt mà luận văn đề cập đến toán truyền nhiệt hữu hạn phương pháp tách biến Trong trình thực đề tài, tác giả cố gắng nghiên cứu, nhiên thời gian có hạn kiến thức cịn hạn chế nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong góp ý chân thành quý thầy đồng nghiệp để luận văn hồn thiện 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng Tập I II, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Đinh Xuân Khoa, Nguyễn Huy Bằng (2013), Giáo trình tốn cho vật lý, Nhà xuất Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê (1995), Phép tính vi phân tích phân Tập II, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Nguyễn Đình Trí (2011), Tốn học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục [5] Lê Hải Trung (2011), Ứng dụng phần mềm Mathematica cho toán truyền nhiệt, Đ 2011-03-07 Tiếng Anh [6] Anders Vretblad (2003), Fourier Analysis and Its Applications, Springer ... trình truyền nhiệt vật chất Joseph Fourier áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt Năm 1822, ơng cho cơng bố cơng trình “Lý thuyết giải tích nhiệt? ?? mở thời kỳ ứng dụng toán học... phần ứng dụng chuỗi Fourier, hướng dẫn thầy TS Lê Hải Trung nên chọn đề tài “ Chuỗi Fourier ứng dụng giải toán truyền nhiệt? ?? Đề tài nhằm nghiên cứu việc khai triển hàm số thành chuỗi Fourier dành... cứu toán truyền nhiệt với trường hợp khác điều kiện biên Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết chuỗi Fourier khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Từ đó, ứng dụng chuỗi Fourier vào