Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier

Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier Ck khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi fourier

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐÀO QUANG HƯNG Ck − KHẢ TỔNG VÀ ÁP DỤNG ĐỐI VỚI LÝ THUYẾT CHUỖI FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀ NỘI - 2014 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐÀO QUANG HƯNG Ck − KHẢ TỔNG VÀ ÁP DỤNG ĐỐI VỚI LÝ THUYẾT CHUỖI FOURIER Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI - 2014 ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS. NGUYỄN VĂN HÀO. Thầy hướng dẫn truyền đạt cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học. Thầy quan tâm giúp đỡ tác giả suốt trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy. Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, thầy,cô trường Đại học sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình đào tạo Cao học, hoàn thiện luận văn bảo vệ tốt nghiệp. Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo Tỉnh Vĩnh Phúc,Lãnh đạo UBND Huyện Tam Đảo Phòng GD & ĐT Huyện Tam Đảo tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên tinh thần để tác giả hoàn thiện khóa học hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả ĐÀO QUANG HƯNG LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan. Luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn TS. NGUYỄN VĂN HÀO. Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn sâu sắc. Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả ĐÀO QUANG HƯNG i Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. 1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Điều kiện để chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Một số tính chất chuỗi hội tụ . . . . . . . . . 10 1.1.4. Chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5. Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý . . . . . . . . . 17 1.1.6. Chuỗi hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . 18 Dãy hàm chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.1. Một số khái niệm dãy hàm . . . . . . 20 1.2.2. Điều kiện hội tụ dãy hàm . . . . . . . . 22 1.2.3. Tính chất hàm giới hạn dãy hàm . . . . 23 1.2.4. Một số khái niệm chuỗi hàm 24 ii . . . . . 1.3. 1.2.5. Các tiêu chuẩn hội tụ chuỗi hàm . . . . 25 1.2.6. Tính chất chuỗi hàm số hội tụ . . . . . 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.1. Khái niệm chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . 30 1.3.2. Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa . . . . . . . . 31 1.3.3. Chuỗi Taylor hàm số . . . . . . . . . . . . . 34 1.3.4. Khai triển số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . 36 Chuỗi lũy thừa Chuỗi phân kì vấn để Ck -khả tổng 38 2.1. Lời dẫn việc nghiên cứu chuỗi phân kỳ . . . . . . . . 38 2.2. Quá trình Cesáro hay Ck −quá trình . . . . . . . . . . . 40 2.3. Một số ví dụ Ck -khả tổng . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. Một số điều kiện để chuỗi Ck −khả tổng . . . . . . . . . 45 Áp dụng Ck -khả tổng chuỗi Fourier 50 3.1. Chuỗi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3. Áp dụng Ck -khả tổng chuỗi Fourier . . . . . 53 3.4. Tính tổng số chuỗi qua ứng dụng chuỗi Fourier 60 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 iii Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Lý thuyết chuỗi số lý thuyết chuỗi hàm nghiên cứu từ sớm gần mang tính hoàn thiện cách chuẩn mực. Các kết đẹp lĩnh vực phải nói đến công trình tính toán nhà toán học L. Euler số nhà Toán học đương thời. Tuy nhiên kết trước lĩnh vực phải kể đến số nhà Toán học Leibniz, Newton cộng họ. Lý thuyết chuỗi hình thành cách tự nhiên xuất phát từ công trình tính toán nhà toán học thời từ nhiều lĩnh vực thực tế. Về lĩnh vực này, theo tiến trình lịch sử có lẽ phải kể đến quan tâm nhà Toán học chuỗi hình học + x + x2 + x3 + · · · . Chuỗi hình học xuất kết không kết thúc phép chia . Vấn đề hội tụ chuỗi theo nghĩa đại 1−x xuất từ sớm ý nghĩ nhà Toán học. Điều không ngạc nhiên nhà Toán học L. Euler sử dụng biểu diễn chuỗi hình học + x + x2 + x3 + · · · = , 1−x để khẳng định 1 − + − + . . . = ; với x = −1 1 − + 22 − 23 + · · · = ; với x = −2. Tương tự thế, từ biểu diễn 1−x = + 2x + 3x2 + 4x3 + . L. Euler khẳng định đẳng thức sau 1 − + − + . . . = ; với x = −1. Điều thực tế rằng, nhà Toán học đương thời nghi ngờ kết đưa đây. Tuy nhiên, họ hiểu biết cách thấu phủ định hay chấp nhận kết thế. Đương thời lúc đó, người ta nghi ngờ khẳng định trên. Để thấy điều ta xét chuỗi − + − + ., theo cách suy luận có kết . Thế nhưng, từ biểu diễn 1+x − x2 = = − x2 + x3 − x5 + x6 − x8 + . . . , 1+x+x 1−x với x = ta lại nhận − + − + . = . Chỉ đơn giản suy luận Euler chưa có sở. Cauchy Abel người đưa khái niệm hội tụ chuỗi số theo quan điểm đại ngày nay. Quan điểm nhà Toán học xét hội tụ chuỗi số thông qua hội tụ dãy tổng riêng (sn ). Trở lại vấn đề ta xét chuỗi ∞ (−1)n = − + − + . . . , n=0 có dãy tổng riêng (sn ) = 1, 0, 1, 0, 1, . . . , không tồn giới hạn. Tuy nhiên, có ý tưởng nghĩ đến dạng trung bình số học sn = s0 + s1 + . . . + sn , n+1 sn = [1 + (−1)n ], thấy (n + 1) + [1 + (−1)n ] 1 + (−1)n sn = = + . 2(n + 1) 4(n + 1) Theo nghĩa dãy sn hội tụ tới giá trị dẫn đến đẳng thức nghịch lý Euler 1 − + − + . = . Từ đó, người ta đưa khái niệm có tính thử nghiệm sau: Dãy ∞ tổng riêng (sn ) chuỗi an gọi "hội tụ" tới giới hạn, n=0 có tổng s dãy trung bình số học sn = s0 + s1 + . . . + sn , n+1 hội tụ đến s. Tính thích hợp khái niệm minh chứng ∞ chuỗi (−1)n trở thành chuỗi hội tụ "theo nghĩa mới" với n=0 tổng . Có hai điều cần lưu ý đưa khái nệm sau (i) Dãy tổng riêng chuỗi (sn ) hội tụ theo nghĩa thông thường tới s hội tụ đến s theo nghĩa mới. ∞ an = A (ii) Nếu hai chuỗi hội tụ theo nghĩa cũ ∞ n=0 n=0 ∞ cn ≡ chuỗi tích ∞ bn = B n=0 (a0 bn + a1 bn−1 + . + an b0 ) không n=0 thiết hội tụ theo nghĩa này. Thế ta thấy C0 + C1 + + Cn → AB; n+1 ∞ n với Cn = ck . Điều có nghĩa chuỗi tích cn lại hội tụ n=0 k=0 theo nghĩa mới. Ngoài dạng trung bình số học đây, gợi ý cho nghiên cứu đến trình khác dùng thay số dạng khái niệm hội tụ. Việc áp dụng C1 −quá trình vào nghiên cứu chuỗi Fourier nghiên cứu Fejér, việc nghiên cứu điều kiện để chuỗi Fourier hàm f (x) hội tụ điểm x0 . Với mong muốn tìm hiểu lý thuyết chuỗi phân kỳ lý thuyết chuỗi Fourier, nên tác giả chọn đề tài. “Ck −khả tổng áp dụng lý thuyết chuỗi Fourier”. 2. Mục đích nghiên cứu nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết chuỗi phân kỳ áp dụng Ck -quá trình vào việc nghiên cứu chuỗi Fourier 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Vậy ta có điều phải chứng minh. 3.2. Chuỗi Fourier Giả sử ta lấy tích phân số hạng chuỗi (3.1) đoạn [−π, π]. Khi đó, theo Bổ đề (3.1) ta xác định hệ số chuỗi (3.1) sau π a0 = π f (x)dx. (3.2) f (x)cosnxdx; (3.3) f (x) sin nxdx. (3.4) −π Với n = 1, 2, 3, ., ta có π an = π −π π bn = π −π Từ đó, ta đến định nghĩa chuỗi Fourier sau Định nghĩa 3.2. Giả sử f (x) hàm khả tích đoạn [−π, π] tuần hoàn với chu kỳ 2π. Khi đó, chuỗi hàm ∞ a0 s(x) = + (an cos nx + bn sin nx), n=1 (3.5) gọi chuỗi Fourier hàm f (x) đoạn [−π, π]; với hệ số a0 , an , bn , n = 1, 2, . xác định công thức (3.2), (3.3) (3.4). 52 3.3. Áp dụng Ck -khả tổng chuỗi Fourier Qua trình bày phần trên, ta phần thấy hữu ích để nghiên cứu trình khả tổng. Trước đây, chuỗi phân kỳ mà nhiều người ta không quan tâm, qua khái niệm lại trở thành công cụ hữu ích. Để minh họa điều đó, trình bày ứng dụng C1 −khả tổng việc nghiên cứu hội tụ chuỗi Fourier Định lý 3.1. (Định lý Fejér). Nếu hàm f (x) khả tích đoạn ≤ x ≤ 2π, tuần hoàn với chu kì 2π giới hạn lim [f (x0 + 2t) + f (x0 − 2t)] = s(x0 ), t→0 tồn chuỗi Fourier hàm C1 −khả tổng điểm x0 với tổng s(x0 ). Chứng minh. Gọi chuỗi hàm +∞ a0 + (an cos nx0 + bn sin nx0 ), n=1 chuỗi Fourier hàm f (x) điểm x0 . Ta có a0 + sn (x0 ) = n (aυ cos υx0 + bυ sin υx0 ). υ=1 Đặt h (x0 ) = (aυ cos υx0 + bυ sin υx0 ) ∞ a0 sn (x0 ) = + h (x0 ) . n=1 Trong 2π a0 = π f (t)dt; 53  h (x0 ) =   2π π  f (t) cos υtdt cos υx0 +  π 2π = π  2π f (t) sin υtdt sin υx0 f (t) cos υ(t − x0 )dt. Do đó, ta có 2π f (t)dt sn (x0 ) = 2π 2π 2π + f (t) cos(t − x0 )dt + . + f (t) cos n(t − x0 )dt π0 π0 2π = f (t) + cos(t − x0 ) + + . + cos n(t − x0 ) dt. 2π Theo cách biến đổi Ví dụ 2.2, t − x0 sin(2n + 1) +cos(t−x0 )+cos 2(t−x0 )+ .+cos n(t−x0 ) = (3.6) t − x0 2 sin Hơn nữa, hàm f (x) tuần hoàn với chu kì 2π. Do đó, theo tính chất tích phân, với c số ta có c+2π 2π f (t)dt = f (t)dt = c β 2π f (c + t)dt f (t)dt = α β+2π f (t)dt. α+2π Từ (3.6), ta tìm 2π s(x0 ) = 2π f (x0 + t) 2π = 2π sin t t dt t t 2π sin(2n + 1) dt + dt f (x0 + t) f (x0 + t) t t 2π sin sin π 2 t t π −2π sin(2n + 1) sin(2n + 1) dt − dt f (x0 + t) f (x0 + t) t t 2π sin sin −π 2 π = sin(2n + 1) sin(2n + 1) 54 π π sin(2n + 1)t dt + f (x0 + 2t) sin t 2π = 2π f (x0 − 2t) sin(2n + 1)t dt sin t π 21 sin(2n + 1)t = [f (x0 + 2t) + f (x0 − 2t)] dt. π0 sin t Vì vậy, ta có π sn = sn (x0 ) = π sin(2n + 1)t [f (x0 + 2t) + f (x0 − 2t)] dt; sin t với n = 0, 1, 2, Do đó, với n = 0, 1, 2, . ta có 2π sin t + . + sin(2n − 1)t [f (x0 + 2t) + f (x0 − 2t)] dt. s0 + .+sn−1 = π0 sin t + Nếu t = kπ sin t + sin 2t + . + sin(2n − 1)t = 2sin2 t + sin t. sin 2t + . + sin t. sin(2n − 1)t sin t [(1 − cos 2t) + (cos 2t − cos 4t) + . = sin t + (cos(2n − 2)t − cos 2nt)] sin nt = .(1 − cos 2nt) = . sin t sin t sin2 nt + Nếu t = kπ, ta thấy → t → kπ, sin t π σn+1 s0 + s1 + . + sn−1 = = n nπ sin nt [f (x0 +2t)+f (x0 −2t)] sin t Do đó, tồn giới hạn lim [f (x0 + 2t) + f (x0 − 2t)] = s(x0 ) = s, t→0 theo điều kiện định lý Fejér, ta có σn → s. 55 dt. Mặt khác, ta thấy π sin nt sin t nπ . dt = n sin(2ν − 1)t Hàm dấu tích phân , với số hạng sin t ν=1 π π tích phân từ đến nhận giá trị . Bởi 2 sin(2ν − 1)t = + cos 2t + cos 4t + . + cos 2(ν − 1)t, sin t nên ta viết π s= nπ sin nt s sin t dt. Do đó, ta có π σn−1 − s = nπ sin nt [f (x0 + 2t) + f (x0 − 2t) − s]. sin t dt. Từ giả thiết, biểu thức dấu ngoặc vuông dần tới t → +0. Để chứng minh σn−1 hay σn → s, ta chứng minh điều sau đây. π Nếu ϕ(t) hàm dấu tích phân từ đến lim ϕ(t) = t→+0 π nπ sin nt ϕ(t) sin t dt → 0, với n → ∞. Bởi ϕ(t) → 0, với ε > cho trước, tồn δ < π ta có ε |ϕ(t)| < ; với t ∈ (0, δ]. Khi đó, ta có π nπ sin nt ϕ(t) sin t π ε dt ≤ . nπ sin nt sin t 56 ε dt < , từ tích phân cuối hàm lấy tích phân hàm dương tích phân hàm bé tích phân vài hàm khác ta lấy tích phân π từ đến . π Giả sử tồn số M cho ϕ(t) < M với < t < . Khi đó, ta có π nπ sin nt ϕ(t) sin t dt ≤ 2M π . . . nπ sin2 δ Với n0 đủ lớn cho biểu thức nhỏ ε với n > n0 , ta có |σn−1 − s(x0 )| < ε, σn−1 → s. Theo [10; theorem 8,267] σn → s. Hay chuỗi Fourier hàm C1 −khả tổng với tổng s(x0 ). Như định lý Fejés hoàn toàn chứng minh. Ví dụ 3.1. Xét hàm f (x) =   0 −π ≤ x ≤  x ≤ x ≤ π Dễ thấy f (x) hàm tuần hoàn với chu kì 2π, đơn điệu khúc bị chặn đoạn [ − π, π]. Ta có π a0 = π f (x)dx = π ; −π với n = 1, 2, ., ta có π an = π π f (x) cos nxdx = π −π  =  x sin nx π n x cos nxdx −π −  π π n sin nxdx = 57 cos nx . nπ n π =   0 n chẵn   −2 π.n2 n lẻ π bn = π π f (x) sin nxdx = π −π x sin nxdx −π  π   x cos nx π π + cos nx|π0 cos nxdx = − π n n nπ 0    −1 n chẵn n =   n lẻ n = Do đó, chuỗi Fourier hàm f (x) f (x) = π − π cos x cos 3x + + . + 12 32 sin x sin 2x sin 3x + + + . . Chuỗi hội tụ điểm đoạn [ − π, π], trừ điểm x = ±π. Tại điểm này, tổng chuỗi Fourier hàm f (x) trung bình cộng giới hạn phải giới hạn trái hàm điểm đó. Nghĩa π+0 π = . 2 Ví dụ 3.2. Hàm f (x) tuần hoàn với chu kì 2π; biết f (x) = x, với x ∈ [0;2π]. Ta có 2π a0 = π f (x)dx = 2π; với n = 1, 2, ., ta có 2π an = π f (x) cos nxdx = 0; 58 2π bn = π f (x) sin nxdx = − . n Do đó, chuỗi Fourier hàm f (x) s(x) = π − 2(sin x + sin 2x + .). Theo định lý Fejér, chuỗi s(x) hội tụ đến f (x), với x = 2kπ, k ∈ Z. Tại điểm x = 2kπ, s(x) hội tụ đến giá trị trung bình cộng giới 2π + = π. hạn trái giới hạn phải điểm đó. Nghĩa Hệ 3.1. Nếu hàm f (x) liên tục khoảng ≤ x ≤ 2π có f (0) = f (2π), chuỗi Fourier hàm f (x) C1 −khả tổng với tổng f (x), với x. Hệ 3.2. Nếu hàm f (x) liên tục khoảng ≤ x ≤ 2π; f (0) = f (2π) C1 −khả tổng ta thiết lập dãy hàm σn (x) tiến dần đến hàm f (x) với x. Ngoài ra, với ε > cho trước ta xác định số tự nhiên N cho với n > N ta có |σn (x) − f (x)| < ε. Chứng minh. Ta cần chứng minh bất đẳng thức |σn (x) − f (x)| < ε. Đặt ϕ(t) = ϕ(t, x) = [f (x + 2t) − f (t)] + [f (x − 2t) − f (x)], từ giả thiết hàm f (x) tuần hoàn liên tục điểm x với ε > cho trước, ta chọn δ > cho ε |f (x ± 2t) − f (x)| < ; với x ∈ [0, 2π] . 59 Như biết δ nπ sin nt ϕ(t) sin t ε dt < . Hơn nữa, hàm f (x) hàm tuần hoàn, liên tục điểm bị chặn hay |f (x)| ≤ K với x. Do đó, với x, t ta có |ϕ(t)| = |ϕ(t, x)| ≤ 2K, δ nπ sin nt ϕ(t) sin t dt ≤ 2K . . n sin2 δ Bây giờ, cần tồn số nguyên dương N cho ε biểu thức < . Do đó, với n ta có |σn (x) − s| < ε. Vậy ta có điều cần phải chứng minh. 3.4. Tính tổng số chuỗi qua ứng dụng chuỗi Fourier Như giới thiệu Chương 1, có số tiêu chuẩn để kiểm tra tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi. Tuy nhiên, chuỗi hội tụ, việc tính tổng chuỗi vấn đề đơn giản. Điển hình, ta kể đến tổng hàm Riemann zeta với số mũ lẻ vấn đề mở. Dưới đây, trình bày số ứng dụng chuỗi Fourier việc tính tổng số chuỗi, với quan tâm đến tổng hàm Riemann zeta có số mũ chẵn. 60 Ví dụ 3.3. Cho hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định  π π π   với x ∈ − ,   2   4π π 3π − với x ∈ , f (x) =  2    π   với x = ± Dễ dàng ta thấy rằng, hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện Định lý Fejés. Ngoài ra, ta có f (x) = [f (x + 0) + f (x − 0)] ; với x ∈ R. Vì f (x) hàm chẵn nên ∞ a0 an cos nx; với x ∈ R. f (x) = + n=1 Khi đó, ta có π π a0 = π f (x)dx = π π π dx + π π π π dx = − = 0; 4 π π an = f (x) cos nxdx = π0 π = sin nx; n với n = 1, 2, − π π cos nxdx + π π − π π cos nxdx + Nếu n chẵn n ≥ 1, ta có an = + Nếu n lẻ n ≥ 1, Giả sử n = 2k + 1, với k = 0, 1, . ta có a2k+1 (−1)k = . 2k + 61 Vì hàm f (x) biểu diễn sau cos3x cos5x (−1)k f (x) = cos x − + − . + cos(2k + 1)x + .; 2k + với x ∈ R. Đặc biệt, với x = ta có π 1 (−1)k = − + − + + + 2k + Ví dụ 3.4. Cho f (x) hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định tập R hàm f (x) = |x| ; với |x| ≤ π. Dễ dàng ta thấy, hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện Định lý Fejés. Khi đó, ta có a0 = π. Với n = 1, 2, ., ta có π an = π x cos nxdx = (cos nπ − 1) ; πn2 bn = 0. + Nếu n chẵn n ≥ 1, ta có an = 0. + Nếu n lẻ n ≥ 1, Giả sử n = 2k + 1, với k = 0, 1, . ta có a2k+1 = − . π(2k + 1)2 Do đó, qua phép biến đổi Foureir hàm f (x) ta thấy π − π ∞ k=0 cos (2k + 1) x = |x| ; với |x| ≤ π. (2k + 1)2 62 Tại x = 0, ta có ∞ k=0 π2 = . (2k + 1)2 (3.7) Đến đây, từ biểu diễn ∞ = n2 n=1 ta suy ∞ n=1 ∞ ∞ 1 + 2, 4n (2n + 1) n=0 n=1 = n2 ∞ n=0 π2 = . (2n + 1)2 Vì vậy, ta có ∞ n=1 π2 = . n2 (3.8) Ví dụ 3.5. Cho hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định x2 f (x) = − ; với x ∈ [a, b] . π Do f (x) hàm chẵn, liên tục trơn khúc, nên ta có π a0 = π x2 − dx = ; π −π π an = π x2 1− π cos nxdx = (−1)n+1 . n2 π −π chuỗi Fourier hàm f (x) hội tụ tới hàm f (x) tập R. Vì vậy, ta có x2 f (x) = − = − π π ∞ (−1)n n=1 63 cos nx ; với x ∈ [−π, π] . n2 + Tại x = π f (π) = 0, ta suy ∞ − π Vì vậy, ta có ∞ n=1 n=1 = 0. n2 π2 = . n2 + Tại x = f (0) = 1, ta suy ∞ − π Vì vậy, ta có ∞ n=1 (−1)n = 1. n2 n=1 π2 (−1)n =− . n2 12 Trong trường hợp n lẻ, Giả sử n = 2k − với k = 0, 1, Khi đó, ta có ∞ n=1 ∞ 1 = (2k − 1)2 k=1 − k2 ∞ k=1 (−1)k k2 = π2 . Đặc biệt, áp dụng đẳng thức Parseval vào hàm f (x) ta có biểu thức + Vì vậy, ta có ∞ n=1 ∞ n=1 16 = . n4 π 15 π4 = . n4 90 64 KẾT LUẬN Trên toàn nội dung luận văn với đề tài "Ck -khả tổng áp dụng Lý thuyết chuỗi Fourier”. Luận văn giải số vấn đề sau Chương 1. Trình bày hệ thống khái niệm, ví dụ, tiêu chuẩn định lý hội tụ chuỗi số; dãy hàm; chuỗi hàm; chuỗi lũy thừa. Chương 2. Trình bày khái niệm Ck −khả tổng số ví dụ điều kiện, tính chất để chuỗi Ck −khả tổng. Chương 3. Trình bày hệ thống định nghĩa, định lí chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier áp dụng Ck −khả tổng chuỗi Fourier. Đặc biệt chương đưa ứng dụng quan trọng việc tính tổng số chuỗi qua ứng dụng chuỗi Fourier. 65 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hoàng Quốc Toàn,Giáo trình giải tích, tập 2, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, (2002). [2] Nguyễn Văn Khuê - Đậu Thế Cấp - Bùi Đắc Tắc, Toán cao cấp, NXB Khoa Học Kĩ Thuật, (1998). [3] Nguyễn Xuân Liêm, Giáo trình giải tích, tập 2, NXB Giáo Dục Việt Nam, (2010) [B] Tài liệu tiếng nước [4] N. H. Abel, Untersuchunggen liber die Reihe 1+ m(m − 1) m x+ x + . 1.2 Journal f¨ ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 1, pp. 311 − 339.(1826). [5] A. L. Cauchy, Cours d’ananlyse de l’£cole polytechnique, Part I. Ananlyse aigébrique. Paris (1821). [6] L. Euler, Introductio in ananlysin infinitorum, Lausanne(1748). [7] L. Euler, Institutiones calculi differentialis cum ejus usu in analysi infinitorum ac doctrina serierum, Berlin(1755). [8] L. Euler, Institutiones calculi integralis, St. Petersburg(1768 - 1769). [9] K. F. Gauss, Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+ α(α + 1).β(β + 1) α.β x+ x + etc 1.γ 1.2.γ(γ + 1) G¨ottingen(1812). [10] DR. Konrad Knopp, Theory and application of infinite series, Reprinted(1954). 67 [...]...Nghiên cứu lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier 4 Phương pháp nghiên cứu Tra mạng tìm tài liệu, phân tích và tổng hợp kiến thức, xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn 5 Dự kiến đóng góp của đề tài Trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết chuỗi phân kỳ, chuỗi Fourier, các Ck −quá trình và ứng dụng của Ck −quá trình trong việc nghiên cứu lý thuyết chuỗi Fourier 5 Chương 1... kiện của định lý (1.1) gọi là chuỗi Leibniz Vậy chuỗi Leibniz là hội tụ 1.1.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối ∞ an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi Định nghĩa 1.4 Chuỗi số n=1 ∞ |an | hội tụ n=1 ∞ ∞ n=1 n=1 được gọi là bán hội tụ 18 ∞ |an | phân kỳ thì chuỗi an hội tụ nhưng chuỗi Khi chuỗi an n=1 Định lý 1.10 (Liên hệ giữa tính chất hội tụ và hội tụ tuyệt đối) Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối là chuỗi hội tụ... bn+p ] = 2M bn+1 < ε ∞ an bn hội tụ Từ định lý (1.1) suy ra chuỗi n=1 11 1.1.4 Chuỗi số dương ∞ an được gọi là chuỗi dương nếu an ≥ 0; Định nghĩa 1.2 Chuỗi số n=1 với mọi n ≥ 1 Hiển nhiên, dãy tổng riêng của chuỗi số dương sn ≥ 0; với mọi n = 0, 1, 2, và là dãy tăng Do đó ta có định lý sau ∞ an hội tụ là dãy Định lý 1.3 Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương n=1 tổng riêng sn của nó bị chặn trên ∞ an hội... 1.6 Xét chuỗi ∞ Ví dụ 1.7 Xét chuỗi cos n Ta có đánh giá 2 n=1 n |cos n| 1 ≤ 2 ; với mọi n = 1, 2, 2 n n ∞ 1 ∞ |cos n| Thế nhưng, ta đã biết chuỗi hội tụ, nên chuỗi cũng hội n2 n2 n=1 n=1 ∞ cos n hội tụ tuyệt đối tụ Vậy chuỗi 2 n=1 n Tính chất 1.3 (Tính chất giao hoán của chuỗi hội tụ tuyệt đối) Nếu ∞ ∞ an hội tụ tuyệt đối và có tổng là s thì chuỗi chuỗi n=1 ∞ bn nhận được n=1 an cũng hội tụ và có... n+1 Từ đó, suy ra lim sn = 1 Vậy chuỗi đã cho hội tụ với tổng bằng 1 1.1.2 Điều kiện để chuỗi hội tụ Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy) Để chuỗi (1.1) hội tụ điều kiện cần và đủ là với ε > 0 tồn tại số nguyên dương n0 = n0 (ε) sao cho với mọi n ≥ n0 (ε) và với mọi số nguyên dương p, ta có |an+1 + an+2 + + an+p | < ε (1.3) Chứng minh Chuỗi (1.1) hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {sn } có giới hạn hữu... tùy ý các số hạng của chuỗi n=1 tổng là s ∞ ∞ |an | hội tụ an hội tụ tuyệt đối nên chuỗi Chứng minh Vì chuỗi n=1 n=1 19 Do đó theo định lý Cauchy với mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n1 để i∈F ε |ai | < ; 2 với mọi tập con hữu hạn F ⊂ {n ∈ N∗ : n > n1 } ∞ Gọi sn và tn lần lượt là tổng riêng thứ n của chuỗi ∞ an và chuỗi n=1 bn n=1 Giả sử lim sn = s Khi đó, tồn tại n2 ≥ n1 sao cho với mọi n ≥ n2 n→∞... Định lý 1.20 Cho chuỗi n=1 Nếu chuỗi hội tụ đều và có tổng bằng f (x) thì hàm f (x) cũng khả tích và ta có b ∞ b fn (x)dx = n=1 a f (x)dx a ∞ f (x) các hàm có đạo hàm fn (x) liên tục Định lý 1.21 Cho chuỗi n=1 ∞ f (x) hội tụ có tổng là hàm f (x), chuỗi trên đoạn [a, b] Nếu chuỗi n=1 ∞ f n (x) hội tụ đều trên đoạn [a, b] thì hàm f (x) có đạo hàm trên đoạn n=1 [a, b] và ∞ f (x) = f n (x) n=1 1.3 Chuỗi. .. là với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại số nguyên dương n0 = n0 (ε) sao cho |sn+p (x) − sn (x)| < ε; với mọi n ≥ n0 , mọi p ∈ N∗ và mọi x ∈ A Vậy ta có điều phải chứng minh ∞ fn (x) Nếu Định lý 1.16 (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm số n=1 với mọi số nguyên dương n, ta có |fn (x)| ≤ cn ; với mọi x ∈ A ∞ cn hội tụ thì chuỗi hàm đã cho hội tụ tuyệt đối và đều và chuỗi số n=1 trên A ∞ cn hội tụ nên với. .. do chuỗi n=1 trước, tồn tại số nguyên dương n0 sao cho cn+1 + + cn+p < ε; với mọi n ≥ n0 và mọi p ∈ N∗ Từ đó, ta có p |fn+1 (x) + + fn+p (x)| ≤ |fn+1 (x)| + + |fn+p (x)| ≤ cn+i < ε; i=1 26 với mọi x ∈ A, n ≥ n0 và p ∈ N∗ Vậy chuỗi hàm ∞ fn (x) hội tụ tuyệt n=1 đối và đều trên A Ví dụ 1.8 Chuỗi hàm số ∞ n=1 cos nx n2 + x2 hội tụ tuyệt đối và đều trên R Thật vậy, ta có 1 |cos nx| ≤ 2 ; với mọi n và. .. định lý Chú ý Khi áp dụng dấu hiệu D’Alembert hay dấu hiệu Cauchy nếu an+1 √ = 1 hoặc lim n an = 1 thì chưa kết luận được gì về sự hội tụ lim n→∞ n→∞ an hay phân kỳ của chuỗi 1.1.5 Chuỗi với số hạng có dấu tùy ý Định nghĩa 1.3 (Chuỗi đan dấu) Một chuỗi có dạng ∞ (−1)n+1 an , (1.6) n=1 với an > 0, gọi là chuỗi đan dấu Định lý 1.9 (Dấu hiệu Leibniz) Giả sử dãy {an } đơn điệu giảm và lim an = 0, thì chuỗi . tìm hiểu về lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier, nên tác giả đã chọn đề tài. “C k khả tổng và áp dụng đối với lý thuyết chuỗi Fourier . 2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên. cứu Nghiên cứu về lý thuyết chuỗi phân kỳ và áp dụng C k -quá trình vào việc nghiên cứu chuỗi Fourier 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4 Nghiên cứu lý thuyết chuỗi phân kỳ và lý thuyết chuỗi Fourier. 4 50 3.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3. Áp dụng của C k -khả tổng đối với chuỗi Fourier . . . . . 53 3.4. Tính tổng một số chuỗi qua ứng dụng của chuỗi Fourier