Chuỗi fourier và tích phân fourier

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− VÕ THỊ HỒNG LÊ CHUỖI FOURIER VÀ TÍCH PHÂN FOURIER Chun ngành: Cử nhân Tốn Tin KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN Đà Nẵng, 3/2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu XẤP XỈ VỚI TÍCH CHẬP 1.1 Dãy Dirac 1.2 Định lý weierstrass CHUỖI FOURIER 11 2.1 Tích Hermit trực giao 11 2.2 Chuỗi Fourier xấp xỉ 2.3 Hội tụ điểm 27 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 21 31 3.1 Định nghĩa 31 3.2 3.3 Tiêu chuẩn hội tụ 34 Tích phân phụ thuộc tham số 37 TÍCH PHÂN FOURIER 43 4.1 Khơng gian Schwartz 43 4.2 Công thức nghịch đảo Fourier 47 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê Lời cảm ơn! Để thực tốt đề tài khóa luận tốt nghiệp này, em nhận giúp đỡ tận tình Thầy, Cơ khoa Tốn trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng bạn khóa Lời đầu tiên, em xin gửi tới Ban lãnh đạo khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng quý thầy cô lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ, giúp đỡ, truyền đạt kinh nghiệm quý báu tạo điều kiện để em phấn đấu suốt trình học tập trường Đặc biệt, suốt q trình làm khóa luận vừa qua, em nhận đựợc quan tâm, hướng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình thầy TS Trần Nhân Tâm Quyền - giảng viên trường Đại Học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng Em xin gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành ý kiến đóng góp quý báu Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến người thầy dìu dắt em suốt thời gian qua để em hồn thành tốt khóa luận Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ, nguồn động viên to lớn tiếp thêm sức mạnh để em hồn thành tốt nhiệm vụ Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng năm 2014 Sinh viên Võ Thị Hồng Lê Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê Lời nói đầu! Chuỗi Fourier(được đặt theo tên nhà toán học Joseph Fourier (1768 -1830)) khái niệm quen thuộc tốn học Chuỗi Fourier hàm tuần hồn có dạng einx , đó, e số Euler i đơn vị ảo Theo công thức Euler, chuỗi biểu diễn cách tương đương theo hàm sin hàm cos Nói cách tổng quát, chuỗi hữu hạn hàm lũy thừa số ảo gọi chuỗi lượng giác Fourier người nghiên cứu chuỗi lượng giác theo cơng trình trước Euler Bernoulli Fourier nghiên cứu truyền nhiệt tìm chuỗi hàm lượng giác dùng để biểu diễn hàm số khác Giả sử cho hàm f khả tích tuyệt đối trục số thực Nếu cách hình thức, ta thay việc tính tổng số hạng theo số n việc lấy tích phân theo tham số y , chuỗi Fourier thay tích phân Fourier Đây lĩnh vực quan trọng tốn học có nhiều ứng dụng thiết thực vật lý, học, kĩ thuật, công nghệ quan tâm nghiên cứu nhiều Các kết lĩnh vực vô phong phú, đa dạng biết từ trước kiến thức ban đầu Vì vậy, em chọn đề tài: ”Chuỗi Fourier tích phân Fourier ” đề tài khóa luận tốt nghiệp em Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp, hội tụ tích phân, hiểu rõ chuỗi Fourier, tích phân Fourier biến đổi Fourier Ngồi phần mở đầu phần kết luận, khóa luận gồm có bốn chương: Chương 1: Tìm hiểu dãy Dirac định lý Weierstrass Chương 2: Trình bày tích Hermit trực giao, chuỗi Fourier xấp xỉ đều, hội tụ điểm cách phát biểu định lý, hệ quả, bổ đề, chứng minh với số ví dụ cụ thể Chương 3: Trình bày định nghĩa tích phân suy rộng, phát biểu, chứng minh định lý tiêu chuẩn hội tụ, tích phân phụ thuộc tham số Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê áp dụng giải toán cụ thể Chương 4: Phát biểu định nghĩa không gian Schwarts, nêu định lý liên quan đưa công thức nghịch đảo Fourier Đà Nẵng, tháng năm 2014 Sinh viên Võ Thị Hồng Lê Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê Chương XẤP XỈ VỚI TÍCH CHẬP 1.1 Dãy Dirac Cho hàm f , xấp xỉ f hàm có tính chất định Đó phương pháp tổng quát, ta mơ tả Để thuận tiện, ta lấy tích phân cận −∞ đến ∞ Giả sử cho hàm g đoạn [−c, c].Ta viết: ∞ c g(t)dt = −∞ g(t)dt −c Nếu người đọc chương tích phân suy rộng, ta thực nhiều trường hợp tổng quát hơn, ta khơng giả sử g ngồi đoạn bị chặn Tuy nhiên, lần đọc, người đọc giả sử tất hàm đề cập đến liên tục đoạn khoảng Dãy Dirac dãy hàm {Kn } có giá trị thực xác định R, thỏa mãn tính chất sau: Ta có Kn (x)≥0, với ∀n, ∀x Với Kn liên tục ∞ Kn (t)dt = −∞ Lấy ε δ, ∃N cho n≥N −δ +∞ Kn + −∞ Khóa Luận Tốt Nghiệp Kn < ε δ SVTH: Võ Thị Hồng Lê Tính chất diện tích đường cong y = Kn (x) Tính chất nghĩa diện tích tập trung gần n đủ lớn Cho hàm Kn có đỉnh cao gần n lớn cho diện tích đường cong Ngồi ra, tất ứng dụng chương chương kế tiếp, hàm Kn hàm chẵn, nghĩa Kn (−x) = Kn (x), ∀x ∈ R Đó nguyên nhân mà ta vẽ đồ thị đối xứng qua trục tung Như đề cập trước, ứng dụng chương này, Kn ngồi khoảng Nếu f hàm liên tục mảnh bị chặn Khi xác định tích chập sau: +∞ fn (x) = Kn ∗ f (x) = f (t)Kn (x − t)dt −∞ Ta thấy dãy {fn } xấp xỉ tới f Định lý 1.1.1 Cho f hàm liên tục mảnh R f bị chặn Với n, đặt fn = Kn ∗ f S tập compact R mà f liên tục Khi dãy {fn } hội tụ đến f S Chứng minh Đổi biến, ta có: +∞ f (x − t)Kn (t)dt fn (x) = −∞ Mặt khác, theo tính chất dãy Dirac, +∞ f (x) = f (x) +∞ Kn (t)dt = −∞ f (x)Kn (t)dt −∞ +∞ ⇒ fn (x) − f (x) = [f (x − t) − f (x)]Kn (t)dt −∞ Lấy x ∈ S S tập compact f liên tục S , lấy ε, tồn δ cho |t| < δ Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê |f (x − t) − f (x)| < ε, ∀x ∈ S Cho M cận f Chọn N cho n ≥ N , −δ +∞ Kn + Kn < −∞ δ ε 2M Ta có: +∞ fn (x) − f (x) = [f (x − t) − f (x)]Kn (t)dt −∞ −δ = δ + −∞ −δ ≤ +∞ + −∞ [f (x − t) − f (x)]Kn (t)dt + −δ δ δ +∞ |f (x − t) − f (x)||Kn (t)|dt + −δ δ Mà |f (x − t) − f (x)| ≤ |f (x − t)| + |f (x)| ≤ 2M Ta thu được: −δ +∞ |f (x − t) − f (x)||Kn (t)|dt + −∞ −δ ≤ 2M +∞ |Kn (t)|dt + −∞ ≤ 2M · |f (x − t) − f (x)||Kn (t)|dt δ ε = ε 2M |Kn (t)|dt δ Tích phân giữa, ta ước lượng sau: δ δ δ −δ |f (x − t) − f (x)|Kn (t)dt ≤ −δ εKn = ε −δ Kn ≤ ε Định lý chứng minh +∞ −∞ Kn ≤ ε Hàm Kn sử dụng lấy tích phân tích chập gọi hàm nhân Qua phép biến đổi f làm hàm fn xấp xỉ tới f có nhiều tính chất f Ta thấy rõ tập chương 1.2 Định lý weierstrass Ta ứng dụng Định lý 1.1.1 trường hợp đặc biệt Định lý 1.2.1 Cho f hàm liên tục [a, b] Khi f xấp xỉ với đa thức [a, b] Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê Chứng minh Đầu tiên ta cắt giảm số trường hợp mà áp dụng Định lý 1.1.1, đặc biệt Kn Giả sử a = b Cho x−a , a ≤ x ≤ b u= b−a Thì x = (b − a)u + a ≤ u ≤ Cho g(u) = f (b − a)u + a Nếu ta tìm đa thức P [0, 1] cho: |P (u) − g(u)| ≤ ε, P với a ≤ x ≤ b P x−a b−a x−a b−a ∀u ∈ [0, 1], − f (x) ≤ ε đa thức chứa x (đpcm) Điều giảm chứng minh cho trường hợp [a, b] = [0, 1] Tiếp theo, ta giả sử cho trường hợp h(x) = f (x) − f (0) − x f (1) − f (0) Nếu ta xấp xỉ h đa thức rõ ràng ta xấp xỉ f đa thức Vậy giảm chứng minh trường hợp f (0) = f (1) = Từ giả sử [a, b] = [0, 1] f (0) = f (1) = Khi ta xác định f (x) = x không thuộc [0, 1] Khi f liên tục bị chặn R Tiếp theo, cho cn số thích hợp lớn 0, cho (1 − t2 )n cn Kn (t) = Kn (t) = − ≤ t ≤ 1, t < −1 t > Khi Kn (t) ≥ 0, với ∀t Kn liên tục Chúng ta chọn cn cho tính chất thỏa mãn Nghĩa là: (1 − t2 )n dt cn = −1 Lưu ý Kn hàm chẵn Kn thỏa mãn tính chất 3, dãy Dirac Để chứng minh điều ước tính cn Ta có: cn = 1 n (1 + t)n (1 − t)n dt (1 − t ) dt = 0 (1 − t)n dt = ≥ Khóa Luận Tốt Nghiệp n+1 SVTH: Võ Thị Hồng Lê 10 Do cn ≥ n+1 Cho δ > 0, ta có: 1 Kn (t)dt = δ δ (1 − t2 )n dt ≤ cn n+1 (1 − δ )n dt δ n+1 ≤ (1 − δ )n (1 − δ) Đặt r = (1 − δ ) Khi < r < 1, (n + 1)rn xấp xỉ n → ∞ Tính chất chứng minh (Tích phân cịn lại có giá trị tính đối xứng Kn ) Do {Kn } dãy Dirac Ta biểu diễn: +∞ f (t)Kn (x − t)dt fn (x) = −∞ đa thức Nhưng f = ngồi [0,1] Do f (t)Kn (x − t)dt fn (x) = Chú ý Kn (x − t) đa thức chứa t x viết dạng: Kn (x − t) = g0 (t) + g1 (t)x + + g2n (t)x2n , g0 , g1 , , g2n đa thức chứa t Khi đó: fn (x) = a0 + a1 x + + a2n x2n , hệ số biểu diễn dạng tích phân = f (t)gi (t)dt Định lý Weierstrass chứng minh Hàm Kn sử dụng chứng minh gọi nhân Landau Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 37 Tích phân xem trường hợp đặc biệt định lý 3.2.4 Ta đặt: (n+1)π sin x dx an = x nπ Khi đó, an chuỗi đan dấu nhau, mà số hạng có giá trị tuyệt đối giảm tới Chuỗi hội tụ, sinx x dần đến x → ∞, tích phân hội tụ Ví dụ 3.2.3 Ta lấy tích phân phần để chứng minh hội tụ tích phân Giả sử f, g, f , g hàm liên tục Khi B ≥ a, ta có: B B f g = f (B)g(B) − f (a)g(a) − a gf a Nếu f (B)g(B) → B → ∞ tích phân vế phải có giới hạn B → ∞, ta tính giới hạn tích phân vế trái Ví dụ, tích phân B ∞ −x xe dx = lim −xe −x B→∞ B + e−x dx 0 cách tính Cách tính khác, ta viết: e−x = e−x/2 e−x/2 quan sát thấy với x đủ lớn, xe−x/2 ≤ Trường hợp này, ta so sánh tích phân ∞ e−x/2 dx a hội tụ lấy tích phân cận a, B B → ∞ 3.3 Tích phân phụ thuộc tham số Định lý 3.3.1 Cho f hàm liên tục chứa hai biến (t, x) xác định t ≥ a x chứa tập compact S Giả sử tích phân: ∞ B f (t, x)dt = lim B→∞ a f (t, x)dt a hội tụ với x ∈ S Cho ∞ g(x) = f (t, x)dt a Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 38 Khi g liên tục Chứng minh Lấy x ∈ S ta có: ∞ g(x + h) − g(x) = ∞ f (t, x + h)dt − a f (t, x)dt a ∞ f (t, x + h) − f (t, x) dt = a Lấy ε, chọn B cho với y ∈ S ta có ∞ f (t, y)dt < ε B Khi đó: ∞ B |g(x+h)−g(x)| ≤ f (t, x+h)−f (t, x) dt + a ∞ f (t, x+h)dt + B f (t, x)dt B Ta biết f liên tục tập compact [a, B] × S Do đó, tồn δ cho |h| < δ ta có |f (t, x + h) − f (t, x)| ≤ ε/B Tích phân vế phải ước tính Bε/B = ε Hai tích phân cịn lại ε Vậy vế phải 3ε Ta chứng minh trường hợp định lý liên quan đến phép toán vi phân dấu tích phân mà áp dụng cho chương gọi trường hợp hội tụ tuyệt đối Định lý 3.3.2 Cho f hàm chứa hai biến (t, x) xác định với t ≥ a x nằm khoảng J = [c, d] Giả sử rằng, tồn D2 f f với D2 f liên tục Giả sử có hàm ϕ(t) ψ(t) ≥ 0, cho |f (t, x)| ≤ ϕ(t) |D2 f (t, x)| ≤ ψ(t), với t, x cho tích phân ∞ ∞ ϕ(t)dt ψ(t)dt a a hội tụ Cho ∞ f (t, x)dt g(x) = a Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 39 Khi g khả vi, ∞ Dg(x) = D2 f (t, x)dx a Chứng minh Ta có g(t, x + h) − g(t, x) − h ∞ ∞ D2 f (t, x)dt ≤ a a f (t, x + h) − f (t, x) −D2 f (t, x) dt h Nhưng f (t, x + h) − f (t, x) − D2 f (t, x) = D2 f (t, ct,h ) − D2 f (t, x) h Chọn B lớn để ∞ ψ(t)dt < ε B Khi ta tính ∞ = a ∞ B + a B Khi D2 f liên tục [a, B] × [c, d], ta lấy δ cho |h| < δ , |D2 f (t, ct,h ) − D2 f (t, x)| < ε B Tích phân cận a, B bị chặn ε Tích phân cận B đến ∞ bị chặn 2ε f (t, x + h) − f (t, x) − D2 f (t, x) ≤ 2ψ(t) h Định lý chứng minh Nhận xét 3.3.1 Ở định lý 3.3.1, giả sử điều kiện tương tự định lý 3.3.2, dấu giá trị tuyệt đối lấy ngồi tích phân cận a, B Ở định lý tiếp theo, điều kiện tương tự hội tụ ta giả sử Định lý 3.3.1 3.3.2 kết chương, với định lý 3.3.5 sử dụng cho chương Ta giả sử hội tụ tuyệt đối Định lý 3.3.3 Cho f hàm chứa hai biến xác định với t ≥ a x thuộc khoảng đóng J = [c, d] Giả sử tích phân ∞ B lim B→∞ Khóa Luận Tốt Nghiệp f (t, x)dt = a f (t, x)dt a SVTH: Võ Thị Hồng Lê 40 hội tụ với x ∈ J Khi ∞ d ∞ d f (t, x)dxdt f (t, x)dtdx = a c c a Chứng minh Lấy ε, tồn B0 cho B ≥ B0 x ∈ J ta có ∞ B f (t, x)dt − f (t, x)dt < ε/(d − c) a a ∞ a f (t, x)dt Ta biết từ định lý 3.3.1 phân, ta thu d liên tục x, lấy tích ∞ d B f (t, x)dtdx − c f (t, x)dtdx < ε c a a Ta biết tích phân hữu hạn đổi chỗ cho nhau, d B B d f (t, x)dtdx = c f (t, x)dxdt a a c Ta chứng minh B d lim B→∞ ∞ d f (t, x)dxdt = a c f (t, x)dtdx, c a nội dung định lý Định lý 3.3.4 Cho f hàm chứa hai biến t, x xác định với t ≥ a x chứa khoảng đóng J = [c, d] Giả sử f D2 f tồn liên tục Giả sử rằng: ∞ D2 f (t, x)dt a hội tụ với x ∈ J ∞ g(x) = f (t, x)dt, a hội tụ với x Khi g khả vi ∞ g (x) = D2 f (t, x)dt a Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 41 Chứng minh Theo định lý 3.3.3, ta có ∞ x ∞ x D2 f (t, u)dudt D2 f (t, u)dtdu = c a a c ∞ (f (t, x) − f (t, c))dt = a ∞ ∞ f (t, x)dt − = a f (t, c)dt a = g(x) − g(c) Nghĩa g khả vi đạo hàm Lưu ý: Chứng minh hoàn toàn tương tự hàm chuỗi vô hạn Hơn nữa, từ định lý 3.3.3 ta chứng minh định lý 3.3.4 Ví dụ 3.3.1 Cho a > Cho f (t, x) = sin t −tx e t Khi f liên tục với t ≥ với x Đầu tiên ta xét x ≥ a > Khi D2 f (t, x) = −e−tx sin t khả tích tuyệt x ≥ a, là: ∞ ∞ | sin t|e−tx dt ≤ e−tx dt hội tụ Điều kiện khác định lý 3.3.4 hiển nhiên thỏa mãn, hàm ∞ sin t −tx e dt g(x) = t khả vi, ∞ g (x) = − e−tx sin tdt Từ bổ đề đạo hàm với a > x ≥ a, với x > Định lý 3.2.5 sử dụng để tính tích phân hội tụ với x ≥ Ví dụ 3.3.2 Cho ϕ(t) hàm liên tục với t ≥ cho ∞ t|ϕ(t)|dt Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 42 hội tụ Khi ∞ ϕ(t)eitx dt g(x) = hội tụ ∞ itϕ(t)eitx dt g (x) = Áp dụng vào cụ thể, ta lấy ϕ(t) = e−t Ta chứng minh định lý với trường hợp tích phân lấy từ cận đến ∞, định lý 3.3.3 Trường hợp này, ta phải thêm điều kiện bổ sung Định lý 3.3.5 Cho f hàm liên tục chứa hai biến, xác định với t ≥ a x ≥ c Giả sử rằng: (1) Tích phân ∞ ∞ |f (t, x)|dt |f (t, x)|dx a c hội tụ với x thuộc khoảng hữu hạn, t thuộc vào khoảng hữu hạn tương ứng (2) Tích phân ∞ ∞ ∞ |f (t, x)|dtdx c ∞ |f (t, x)|dxdt a a c hội tụ Khi có tích phân khác hội tụ chúng Chứng minh Ở điều kiện (2), giả sử ví dụ lặp lại tích phân hội tụ Giả sử f ≥ 0, ta bỏ qua dấu giá trị tuyệt đối Khi theo định lý 3.3.3, ∞ b ∞ c ∞ ≤ = a ∞ b c a c a Đúng với b ≥ a, với tích phân ≥ 0, Tích phân bị chặn vế trái b ≥ a giới hạn tích phân, hội tụ Do ta chứng minh tích phân thứ hai hội tụ nhỏ tích phân Bây giờ, ta sử dụng tính chất đối xứng để kết luận chúng Để giảm trường hợp tổng quát từ trường hợp đặc biệt vừa xét, ta chia f thành phần thực phần ảo áp dụng giả thiết (1) (2), ta giả sử f hàm thực Cuối cùng, ta viết f = g1 − g2 với g1 = max(0, f ) g2 = max(0, −f ) Khi g1 , g2 ≥ 0, g1 ≤ |f |, |g2 | ≤ |f | Áp dụng giả thiết định lý g1 g2 tính tuyến tính ta có điều cần chứng minh Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 43 Chương TÍCH PHÂN FOURIER 4.1 Không gian Schwartz Cho f hàm liên tục R Ta nói f giảm nhanh vô cực với số nguyên m > hàm |x|m f (x) bị chặn Vì |x|m+1 f (x) bị chặn, lim |x|m f (x) = |x|→∞ với số nguyên dương m Cho S tập tất hàm f khả vi vô hạn cho f đạo hàm giảm nhanh vơ cực Tồn hàm thế, chẳng hạn e−x Dễ thấy S không gian vectơ C Mỗi hàm S bị chặn Nếu f ∈ S , đạo hàm Df ∈ S , đạo hàm thứ p Dp f ∈ S với số nguyên p ≥ Ta gọi S không gian Schwartz Vì, ∞ dx −∞ + x hội tụ, suy hàm S lấy tích phân R, tức tích phân ∞ f (x)dx −∞ hội tụ tuyệt đối Thật vậy, Vì lim |x|m f (x) = |x|→∞ Giả sử ε = 1, ∃N > 0: |x| > N > ⇒ |xm ||f (x)| < ⇒ |f (x)| < |x1m | , ∀m ∈ Z+ Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 44 Cho m = Khi |f (x)| < +∞ +∞ |f (x)|dx ≤ Suy −∞ −∞ 1 < |x|3 + x2 1+x2 dx |x| > N < +∞ Để đơn giản hơn, từ ta viết ∞ = −∞ khơng liên quan đến tích phân khác Nếu P đa thức bậc m, có số C > cho với |x| đủ lớn, ta có: |P (x)| ≤ C|x|m Do f ∈ S P f ∈ S Nếu f, g ∈ S f g ∈ S (hiển nhiên) Ta thấy S đại số nhân thông thường Ta xét hàm −ixf (x), mở rộng −ix Ngoài ra, ta sử dụng ký hiệu (M f )(x) = −ixf (x), M p f (x) = (−ix)p f (x) với số nguyên p ≥ Để bảo đảm tính đối xứng kết tiếp theo, thuận tiện cho việc chuẩn √ hóa tích phân R cách nhân với hệ số không đổi, cụ thể 1/ 2π Mục đích để làm quen với ký hiệu Ta viết: f (x)d1 x = √ 2π f (x)dx Ta xác định phép biến đổi Fourier hàm f ∈ S tích phân f (x)e−ixy d1 x f (y) = Tích phân rõ ràng hội tụ tuyệt đối Hơn nữa: Định lý 4.1.1 Nếu f ∈ S , f ∈ S Ta có Dp f = (M p f )∧ Khóa Luận Tốt Nghiệp (Dp f )∧ = (−1)p M p f SVTH: Võ Thị Hồng Lê 45 Chứng minh Hàm f liên tục bị chặn, |f (y)| ≤ |f (x)e−ixy |dx ≤ |f (x)|dx Đạo hàm riêng ∂ (f (x)e−ixy ) = −ixf (x)e−ixy ∂y bị chặn |x||f (x)|, ta phân biệt biến đổi Fourier dấu tích phân Ta có: Df (y) = −ixf (x)e−ixy d1 x, sử dụng phương pháp quy nạp cho công thức đầu tiên, với Dp f Đối với tích phân thứ hai ta lấy tích phân phần Df (x)e−ixy d1 x, ta có u = e−ixy dv = Df (x)dx Lấy tích phân đoạn hữu hạn [−B, B] lấy giới hạn (rõ ràng hội tụ), ta thấy (Df )∧ (y) = iy f (y) Bởi phương pháp quy nạp, ta thu cơng thức thứ hai Từ ta kết luận f nằm S , Dp f ∈ S , (Dp f )∧ bị chặn |y|p |f (y)| bị chặn Định lý 4.1.1 chứng minh Ta giới thiệu phép nhân khác phần tử S Cho f, g ∈ S với tích chập f ∗ g(x) = f (t)g(x − t)d1 t hội tụ tuyệt đối Trong thực tế, g bị chặn C , |f ∗ g(x)| ≤ C |f (t)|d1 t Định lý 4.1.2 Nếu f, g ∈ S , f ∗ g ∈ S Ta có f ∗ g = g ∗ f , S đại số có dạng (f, g) → f ∗ g Ta có Dp (f ∗ g) = Dp f ∗ g = f ∗ Dp g Khóa Luận Tốt Nghiệp (f ∗ g)∧ = f g SVTH: Võ Thị Hồng Lê 46 Chứng minh Đổi biến tích chập, cho u = x − t, du = −dt, với cận hữu hạn cho cận tiến đến ∞, ta thấy f ∗ g = g ∗ f Tích hiển nhiên tuyến tính với biến Khi Dg ∈ S , bị chặn |f (t)Dg(x − t)| ≤ C|f (t)| với số C , ta phân biệt dấu tích phân thấy D(f ∗ g) = f ∗ Dg Sử dụng phương pháp quy nạp lần cho công thức đầu tiên, Dp (f ∗ g) = f ∗ Dp g Ta biết f ∗ g ∈ S Với số ngun dương m, cho x, t ta có: |x|m ≤ (|x − t| + |t|)m = crs |x − t|r |t|s với số cố định crs Khi |x|m |(f ∗ g)(x)| ≤ |t|s |f (t)||x − t|r |g(x − t)|d1 t crs bị chặn f ∗ g ∈ S Để chứng minh cơng thức cuối ta có: (f ∗ g)∧ (y) = f (t)g(x − t)e−ixy d1 td1 x Vì f ∗ g khả tích tuyệt đối S , ta đổi chỗ tích phân thấy rằng: (f ∗ g)∧ (y) = = f (t)g(x − t)e−ixy d1 xd1 t g(x − t)e−i(x−t)y d1 x e−ity d1 t f (t) = f (y)g(y) Sau đổi biến u = x − t Định lý 4.1.2 chứng minh Ta kết luận với ví dụ hữu ích hàm f cho f = f Định lý 4.1.3 Cho f (x) = e−x /2 Khi f = f Chứng minh Ta biết rằng: Df (y) = Khóa Luận Tốt Nghiệp −ixe−x /2 −ixy e d1 x SVTH: Võ Thị Hồng Lê 47 Ta lấy tích phân phần, u = e−ixy dv = −xe−x /2 dx Đầu tiên ta lấy tích phân cận từ −B đến B cho B → ∞ Thừa số uv triệt tiêu eB /2 tiến Thừa số khác có dạng: Df (y) = −yf (y) Ta phân biệt thương f (y) e−y2 /2 Do có số C cho f (y) = Ce−y /2 Mặt khác f (0) = e−x /2 d1 x = (Đây tích phân chuẩn) Do số C 1, định lý chứng minh [Như đề cập từ trước, đánh giá e−x dx tốt thực tọa độ cực phép toán sơ cấp Chúng ta gặp lại tập liên quan] Từ định lý 4.1.3, ta kết luận f = f Khái quát hóa định lý 4.1.3, với hàm tùy ý S thấy f (x) = f (−x) Ở trường hợp đặc biệt định lý 4.1.3, dấu trừ biến hàm hàm chẵn 4.2 Công thức nghịch đảo Fourier Nếu f hàm, ta ký hiệu hàm f − cho f − (x) = f (−x) Ngay lập tức, người đọc xác minh phép toán trừ giao hoán với tất phép toán khác mà giới thiệu từ trước Ví dụ: (f )− = (f − ), (f ∗ g)− = f − ∗ g − , (f g)− = f − g − Lưu ý (f − )− = f Định lý 4.2.1 Với hàm f ∈ S ta có f = f − Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 48 Chứng minh Cho g hàm S Sau đổi chỗ tích phân, ta thấy: f (x)e−ixy g(x)d1 x = = f (t)e−itx e−ixy g(x)d1 td1 x f (t)g(t + y)d1 t Cho h ∈ S cho g(u) = h(au) với a > Khi g(u) = h(u/a), a đó: f (x)e−ixy h(ax)d1 x = = t+y f (t) h( )d1 t a a f (au − y)h(u)d1 u Sau đổi biến, u = (t + y)/a, d1 u = d1 t/a Cả hai tích phân phụ thuộc tham số a, liên tục a Cho a → thấy h(0)f (y) = f (−y) h(u)du = f (−y)h(0) Cho h hàm định lý 4.1.3 Khi định lý 4.2.1 chứng minh Định lý 4.2.2 Với f ∈ S , tồn hàm ϕ ∈ S cho f = ϕ Nếu f, g ∈ S , thì: (f g)∧ = f ∗ g Chứng minh Đầu tiên, rõ ràng áp dụng phép toán bốn lần ta hàm f trở Do f = ϕ, mà ϕ = f ∧∧∧ Bây ta chứng minh cơng thức, ta có f = ϕ g = ψ Khi f = ϕ− g = ψ − định lý 4.2.1 Hơn nữa, sử dụng định lý 4.2.1 , ta thấy: (f g)∧ = (ϕψ)∧ = (ϕ ∗ ψ)∧∧ = (ϕ ∗ ψ)− = ϕ− ∗ ψ − = f ∗ g, Ta đưa vào dạng hội tụ tích Hermit f, g = Khóa Luận Tốt Nghiệp f (x)g(x)dx SVTH: Võ Thị Hồng Lê 49 Ta quan sát bước chứng minh định lý 4.2.1 f (x)g(x)dx = f (x)g(x)dx cho y = hai vế Hơn từ định nghĩa ta có: f =f − liên hợp phức Ở định lý tiếp theo, ta sử dụng f (x)dx = f (−x)dx (đổi biến lí làm xuất dấu trừ kép) Định lý 4.2.3 Cho f, g ∈ S ta có f, g = f , g f = f Chứng minh Ta có: f −g = fg = f −g− = fg Định lý chứng minh Nhận xét 4.2.1 Kết chương mở rộng cho hàm nhiều biến Không gian Schwartz xác định tương tự, | | hiểu chuẩn Euclid Ta có: d1 (x) = dx1 dxn (2π)n/2 Nếu ta đề cập đến hàm n biến Tích xy hai vectơ viết x · y tích điểm vơ hướng thơng thường, f (x)e−ix·y d1 x f (y) = Rn = (2π)n/2 ∞ ∞ −∞ f (x1 , , xn )e−ix·y dx1 dxn −∞ mơt tích phân với n biến Tất kết chứng minh thỏa mãn đạo hàm riêng thay cho đạo hàm hàm biến Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 50 Kết luận Sau thời gian tìm tịi nghiên cứu, khóa luận đề cập tìm hiểu vấn đề sau: Chương 1: Tìm hiểu dãy Dirac định lý Weierstrass Chương 2: Trình bày tích Hermit trực giao, chuỗi Fourier xấp xỉ đều, hội tụ điểm cách phát biểu định lý, hệ quả, bổ đề, chứng minh với số ví dụ cụ thể Chương 3: Trình bày định nghĩa tích phân suy rộng, phát biểu, chứng minh định lý tiêu chuẩn hội tụ, tích phân phụ thuộc tham số áp dụng vào giải toán cụ thể Chương 4: Phát biểu định nghĩa không gian Schwarts, nêu định lý liên quan đưa công thức nghịch đảo Fourier Mặc dù có nhiều cố gắng, nổ lực việc tìm tịi nghiên cứu kinh nghiệm chuyên môn kinh nghiệm thực tiễn cịn hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Em mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ phía thầy giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê 51 Tài liệu tham khảo [1] Serge Lang, Analysis I, Columbia University, New York,(1968), pp 210-265 [2] Titchmarsh E C (1986), Introduction to the theory of Fourier integrals, Chelsea, New York [3] ”Pointwise Convergence of Fourier” Series, Lecture Notes in Mathematics 1785 Springer, 2002, Juan Arias de Reyna [4] Bochner S., and Chandrasekharan K (1949), Fourier transforms, Princeton Uni Press [5] Bracewell R N (1986), The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, N Y [6] Debnath L., and Bhatta D (2007), Integral Transforms and Their Applications, Second Edition, Chapman Hall/CRC, Boca Raton [7] ”A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems”, Proc I R E., 30, pp 144 - 150 Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Võ Thị Hồng Lê ... tài: ? ?Chuỗi Fourier tích phân Fourier ” đề tài khóa luận tốt nghiệp em Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp, hội tụ tích phân, hiểu rõ chuỗi Fourier, tích phân Fourier biến đổi Fourier. .. ∞ b c a c a Đúng với b ≥ a, với tích phân ≥ 0, Tích phân bị chặn vế trái b ≥ a giới hạn tích phân, hội tụ Do ta chứng minh tích phân thứ hai hội tụ nhỏ tích phân Bây giờ, ta sử dụng tính chất... (x)|, ta phân biệt biến đổi Fourier dấu tích phân Ta có: Df (y) = −ixf (x)e−ixy d1 x, sử dụng phương pháp quy nạp cho công thức đầu tiên, với Dp f Đối với tích phân thứ hai ta lấy tích phân phần