Luận văn sư phạm Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p Tr ng đ i h c s ph m hà n i KHOA TOÁN ********** nguy n th nhâm chu i fourier bi n đ i hilbert Khoá lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Gi i tích Ng ih ng d n khoa h c TS.BÙI KIÊN C NG Hà N i - 2010 Nguy n Th Nhâm K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p L IC M Khóa lu n đ N c hồn thành t i t Gi i Tích, khoa Toán, tr ng HSP Hà N i Em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n ti n s Bùi Kiên C đư t n tình h ng - ng i ng d n, ch b o, giúp đ em hồn thành khóa lu n Em c ng xin g i l i c m n chân thành đ n th y giáo, giáo t Gi i Tích, Khoa Tốn, Tr ng HSP Hà N i gia đình b n bè đư nhi t tình giúp đ t o u ki n t t nh t cho em hồn thành khóa lu n Hà N i, ngày 01 tháng 05 n m 2010 Sinh Viên Nguy n Th Nhâm Nguy n Th Nhâm K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p L I CAM OAN Khóa lu n k t qu c a s n l c b n thân v i s h t n tình c a ti n s Bùi Kiên C ng d n ng Vì v y em xin cam đoan n i dung c a khóa lu n khơng trùng l p v i cơng trình nghiên c u c a tác gi tr đư đ c công b Sinh Viên Nguy n Th Nhâm Nguy n Th Nhâm K32G - Toán c Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p M CL C M c l c……………………………………………………………………….3 M u Ch ng Hàm c c đ i Hardy-Littelewood 1.1 M t s ki n th c chu n b : 1.2 Hàm c c đ i Hardy-Littelewood 1.3 B t đ ng th c y u 1.3 Tính kh vi 11 1.5 N i suy 13 1.6 B t đ ng th c t ng quát 16 Ch ng Chu i Fourier Error! Bookmark not defined 2.1 M t s ki n th c chu n b 18 2.2 Chu i Fourier 18 2.3 H t nhân Dirichlet 19 2.4 Chu i Fourier c a hàm liên t c 22 2.5 Nguyên lý v tính liên t c Banach 26 2.6 Tính kh t ng 28 2.7 Hàm liên h p 33 2.8 Bi n đ i Hilbert R 36 2.9 Gi thuy t c a Luzin 39 Ch ng Bi n đ i Hilbert Error! Bookmark not defined 3.1 Toán t c c đ i 41 3.2 Toán t ch t c t Nguy n Th Nhâm ( ) 41 K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p 3.3 Toán t ch t c t ( ) 43 3.4 N i suy 48 3.5 Bi n đ i Hilbert 49 3.6 Bi n đ i Hilbert c c đ i 52 K t Lu n Error! Bookmark not defined Tài Li u Tham Kh o Error! Bookmark not defined Nguy n Th Nhâm K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p M U Trong tốn h c, gi i tích chi m m t v trí r t quan tr ng Các k t qu nghiên c u đ c gi i tích khơng ch áp d ng l nh v c khác c a toán h c mà áp d ng ngành khoa h c khác nh v t lý, hóa h c, thiên v n h c, … Trong gi i tích, k t qu v chu i Fourier bi n đ i Hilbert khơng ch có ý ngh a v m t lý thuy t mà cịn có ng d ng r t l n th c t , đ c bi t vi c gi i quy t tốn v t lý Chính v y khóa lu n em ch n đ tài “Chu i Fourier bi n đ i Hilbert” Vi c nghiên c u đ tài đư giúp em có c h i tìm hi u sâu h n v ngu n g c c a chu i Fourier nh ng tính ch t c a bi n đ i Hilbert N i dung c a khóa lu n g m ch ng: Ch ng 1: Hàm c c đ i Hardy-Littelewood Ch ng 2: Chu i Fourier Ch ng 3: Bi n đ i Hilbert Khóa lu n hồn thành d a s k t h p ph c u: nghiên c u lý lu n, phân tích, t ng h p, đánh giá, … ng pháp nghiên i v i nh ng v n đ đư đ c l a ch n cho khóa lu n này, em hi v ng có th giúp cho vi c nghiên c u đ i t ng khác c a toán h c c ng nh c a v t lý Nguy n Th Nhâm K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p CH HÀM C C NG I HARDY ậ LITTELEWOOD 1.1 M t s ki n th c chu n b : 1.1.1 M t s không gian hàm ,1< Cho không gian nh ngh a: Cho = = Ta đ nh ngh a: v i1< : : ho c ; ; đo đ ho c Và kí hi u đo đ c c , kh tích , ( ) h uh t = Nh n xét: N u Hàm xác đ nh m i t p b ch n 1.1.2 nh lý Fubini Gi s =1 , ( ) , = inf ; h uh t ( ) ( ) h uh t , hàm kh tích đ a ph ng kh tích m t dãy hàm th c không gi m đo n ( )t nt iv i v i h u h t , , : , cho: Khi kh vi h u h t = =1 ( ) 1.2 Hàm c c đ i Hardy-Littelewood N u loc ( Nguy n Th Nhâm ) hàm K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p = sup đ , c g i hàm c c đ i Hardy - Littelewood Trong ký hi u c a m t hình l p ph hình l p ph Trong tr thì: ng tâm , c nh , th tích ng ng h p chi u ta có = , + = sup Khi cho loc ( ) + , >0 1.3 B t đ ng th c y u Tr c h t ý r ng đư cho hàm kh 0, +∞ đo đ : > l p ph ng c Th c m i s th c d t p m , b i cho tâm tích đ a ph v i > ng ng , hàm t p t n t i m t hình cho ( ) > Ta ch ph i ý r ng hàm ( ) + liên t c Nguy n Th Nhâm K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p ( N u ) v i 1< < +∞, ta s ch r ng ( ) Tuy nhiên v i p=1 u không n a Nh ng ta có th nói ch -y u, ngh a là: > B đ 1.1 ( B đ ph ) đ Gi s c cho v i chu n gi s t p h p khác r ng có đ đo ngồi h u h n, = N u m t ph c a g m hình c u m t n t i m t h h u h n hình c u r i 1, , c a cho =1 Ch ng minh: đo đ Chúng ta có th gi thi t r ng t pm v i đo đ gi s ( ) h u h n nh v y nh ng hình c u đ ch t hình c u đ u tiên dãy dãy khác v i có giao v i Nguy n Th Nhâm v i ( ) G i hình c u ( ) Ta 1, 2, , c s p x p theo th t bán kính gi m d n ch n hình theo cách sau Tr c a dãy c l i s t n t i có th ph c a Bây gi c t n t i t p compact ph i ch n m t ph h u h n c a c u c , n u ng = khác v i hình c u l n nh t, sau Sau s hình c u đ u tiên Ti p t c trình này, đ n m i hình c u c a khác r ng K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p Bây gi ta cho r ng =1 m i , = Ng cl i cho N u n u không ta ph i ch n < , nh nh t ph i có q trình Do bán kính thay cho l n h n ho c b ng bán kính c a hình c u c a hình c u Do v i =1 đó, rõ ràng ta có Ch n = giao v i mà ta bi t Vì v y Do đó: ( ) ( ) , =1 Và s xây d ng có ngh a hình c u r i B đ 1.2 ( Hardy Littlewood ) N u ( ) v i m i th a mãn b t đ ng th c y u > 0, | > Ch ng minh: t = | > đ đo h u h n Vì v y ta xét kính V i m i m có tâm t p m , ta v n ch a bi t có , = hình c u tâm > ; t n t i hình l p ph ta có bán ng cho Nguy n Th Nhâm ( ) > 10 (1.2) K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p M nh đ 3.3 V i > t n t i hàm ch n : 0, + ) cho hàm gi m 0, + ), + ( ) >2 ( )v im i , Và tích phân b ch n b i h ng s t đ i < Ch ng minh: Ta có + ( ) >2 + + Ngh a v i ( ) ( ) + > > > >2 >2 2 Và v i + + 4 >2 + Gi ta đ t , = 2 Nguy n Th Nhâm , = n u2 n u >2 , n u n u 3, n u >4 47 3, K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p = Thì ta có th l y l y = , + , , + , > i u có ngh a n u v i < 2 > < c n có th đ c vi t d 1) ( i u ( i d ng đ i x ng ) b ch n đ u v i Ta ch ch ng minh chu n u có th đ n i suy gi a 2 c th c hi n b ng cách áp d ng m t l n n a đ nh lý phép = = 3.5 Bi n đ i Hilbert Gi ta c n ch ng minh r ng v i m i < < + , có tốn t b ch n : ( ) ( ) Ta s ch ng minh r ng n u < < + + (đ c l y khơng gian ( ), t n t i gi i h n ( )) Trong tr ng h p = 1, ch thu c -y u v y ta ph i thay đ i m t l p lu n Ta s c n t p h p trù m t gi i h n t n t i M nh đ 3.5 Gi s hàm kh vi vơ h n có giá compact V i m i < 1) th hàm v i m t hàm Ta áp d ng tính ch t đ y đ c a ( ) đ có đ c kh ng đ nh đ u tiên Các k t lu n v s h i t theo t ng m có th đ c suy theo cách t ng t t ( ) M nh đ 3.6 Gi s ( ) dãy Cauchy hàm đo đ lim 1, c 1, ( ) cho ( ) Thì t n t i dãy ( )và h i t h u kh p n i t i = 1, Ch ng minh: = Ta ch n dãy N u = = > +1 theo cách nh v y mà >2 ta có có đ đo v i m i Nguy n Th Nhâm 50 ,t nt i +1 1, =2 , +1 ( t i hàm đo đ ) ( ) cb tk Vi c ch ng minh r ng lim = thu n l i đ xem xét r ng 1, 1, v i m i dãy h u h n c a hàm =1 Do đó, ta có +1 > ( ), d dàng suy r ng = 41 1, Bây gi , ta có th ( ),1 < > + > Do đó, 1, Ngh a là, < 41 1, ( ) ta có: =1 1, ( ) = T ) h i t h u kh p n i Suy r ng dãy ( xác đ nh bi n đ i Hilbert ( ) C ng có b ng ng th c có ý ngh a m c dù ta đư xác đ nh = c a kho ng v i ( ) vào ch m t toán t t m i m ( ) Th c t , : = kho ng , t i , ta có Do b ng 2 2( ) không ph m t hàm liên t c kho ng cl Ta có th ng dao đ ng c a 2( 2 ( ) Bây gi ta nh l i r ng t n t i m t hàm ) gi m v i 2( ) , tích phân c a b ch n b i m t h ng s t đ i cho >2 (theo m nh đ 3.3) Do ta suy ra: 2( ) b i b t đ ng th c t ng quát đ , 2 c th a mãn theo hàm c c đ i Hardy - Littlewood ( ) T ng h p k t qu ta có + 2( ),v im i Do ( ) Nguy n Th Nhâm + 53 ( ) + , (3.2) K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p Nh ng ta đ t đ V i h u h t c t l a ch n Bây gi ta s d ng lý lu n xác su t đ ch ng minh r ng có m b t k t i b ch n B ng đ nh ngh a c a hàm c c đ i Hardy – Littlewood, ( ) Ta có: : ( ) suy r ng V i g n b ng ta thu đ Khi đánh giá t t nh t đ thu đ ng c k t qu c a Sjolin Ta c ng cho k t qu t = 1, u đ h u kh p n i c a v i ( ) = thu c b t đ ng th c Cotlar h n t i m i m n u thay cho ng c c n đ n phép ch ng minh s h i t m t i Bài toán t i l y c b t đ ng th c không t t nh t Ta c n có th h u ( ) Do ta u ch nh b t đ ng th c ( ) nh lý 3.8 ( i u ch nh b t đ ng th c Cotlar) Gi s ( ) 2 + Ch ng minh: Ch ng minh t đ ng t nh b t đ ng th c Cotlar, cho đ n ta thu c b t đ ng th c (3.2) Theo đ nh ngh a hàm c c đ i Hardy- Littlewood, Nguy n Th Nhâm ( 55 )( ) K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p Dođó, : ( ) < Ph n l i c a phép ch ng minh t : 2 M nh đ 3.9 (Kolmogorov) Gi s tốn t cho v i m i Thì v im i > : ta có 1, ( ) ( ) > Ch ng minh: `V i m i hàm đo đ c : ta có: = Nguy n Th Nhâm + 56 > K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p Do >2 > theo b đ Hardy-Littlewood: > >2 > Ta áp d ng b t đ ng th c v i hàm c a ta, đ : c >4 2> Gi ta làm theo đ ng truy n th ng + 1 = 2> theo gi thi t v ta đ 1 > , c + : >4 2 = 1 nh lý 3.10 V im i ( ) >0 : > , m t h ng s t đ i Do v i m i Nguy n Th Nhâm ( ) 57 K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p , 1< 2 Do đó, theo đ nh lý tr đ c áp d ng v i Bây gi ta bi t r ng có h ng s đ nh lý Marcinkiewicz ta thu đ > > c b t đ ng th c y u cho 4 Áp d ng c , 1< < Nh l i r ng ta đư ch ng minh , Hai b t đ ng th c ch ng minh đ > > > ta suy r ng v i m i > 0, = h u kh p n i nh ta mu n ch ng minh 59 K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p K T LU N Trên toàn b n i dung c a khóa lu n “ Chu i Fourier bi n đ i Hilbert” N i dung c a khóa lu n đ c đ c p đ n là: 1) Hàm c c đ i Hardy-Littelewood 2) Các k t qu c b n c a chu i Fourier 3) Nh ng tính ch t c a bi n đ i Hilbert c n đ n phép ch ng minh c a đ nh lý Carleson Tuy nhiên u ki n trình đ th i gian có h n c ng v n đ m i đ i v i b n thân nên khóa lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c nh ng ý ki n c a th y cô giáo s đóng góp c a b n sinh viên Em xin chân thành c m n! Hà n i, ngày 01 tháng 05 n m 2010 Sinh Viên Nguy n Th Nhâm Nguy n Th Nhâm 60 K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O [1] ng ình Áng (2007), “Bi n i Tích Phân” NXB Giáo D c [2] Nguy n Ph Hy (2005), “Gi i Tích Hàm”, NXB Khoa H c K Thu t [3] Nguy n Xuân Liêm (1994), “Tơ Pơ iC ng o Và Tích Phân” B Giáo D c T o [4] Juan Arias de Reyna (2002), Pointwise Convergence of Fourier Series, Springer, Germany Nguy n Th Nhâm 61 K32G - Toán ... đ i Hilbert R 2.8.1 Bi n đ i Fourier V i ( ) bi n đ i Fourier đ Nguy n Th Nhâm 36 c đ nh ngh a K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p + = i u t t ng đ ng t nh h s Fourier. .. 2.2 Chu i Fourier Cho : Chu i Fourier c a Nguy n Th Nhâm xác đ nh b i: hàm s t n t i, đ c g i tích ch p c a hàm tu n hồn chu k , kh tích , chu i : 18 K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert. .. K32G - Toán Chu i Fourier bi n đ i Hilbert Khóa lu n t t nghi p 3.3 Toán t ch t c t ( ) 43 3.4 N i suy 48 3.5 Bi n đ i Hilbert 49 3.6 Bi n đ i Hilbert c c đ i