Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert

Trường đại học sư phạm hà nội 2

KHOA TOÁN

sek kok sok eae

nguyễn thị nhâm

chuỗi fourier

và biến đối hilbert

Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học TS.BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội - 2010

Trang 2

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành tại tổ Giải Tích, khoa Tốn, trường

ĐHSP Hà Nội 2

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Bùi Kiên Cường - người

đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em hồn thành khóa luận này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải Tích, Khoa Tốn, Trường ĐHSP Hà Nội 2 cùng gia đình và bạn bè đã

nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 0] tháng 05 năm 2010 Sinh Viên

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của sự nỗ lực bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Bùi Kiên Cường Vì vậy em xin cam đoan nội dung của khóa luận khơng trùng lặp với các cơng trình nghiên cứu của các tác giả trước đã được công bố

Sinh Viên

Trang 4

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert MỤC LỤC Mục lục HH HH nh nh kg 3 Mở Đầu .- HH he 6

Chương 1 Hàm cực đại Hardy-Littelewood «55s <<c<xsc> 7

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị: - c6 StxEEEEkSEEEEEEekrrkererkerkerree 7

1.2 Hàm cực đại Hardy-LItt€lewWOOC - án HH, 7 I2 ,ÔỎ 8

b0 0m ằeee - 11

I9 13

1.6 Bất đắng thức tông quát - 52-5522 xecverxerkterxerrrerrrrrrervee 16 Chương 2 Chuỗi Fourier Error! Bookmark not defined

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị ¿- c2 2 +k+EE+E#EEEEE+EeEEEEErkerkrrerkrrke 18

pÄ®u ¡00 0n dAH.H 18

2.3 Hat nhéin 8090006011077 19 2.4 Chuỗi Fourier của các hàm liên tục .-. 2 2 2 2 s+s+s+szs+s+xzxzsz 22

2.5 Nguyên lý về tính liên tục Banach -s¿©csecx++xesrxecrxeres 26

2.6 Tính khả tổng

2.7 Hàm liên hợp

2.8 Biến đổi Hilbert trên R .-ccc ri 36 2.9 Giả thuyết của Luzïn 55ccsc2cxtecxrerxxerrxrerkrerrrerrrrrrrrerrree 39

Chương 3 Biến đối Hilbert Error! Bookmark not defined

EM ion 41

3.2 Toán tử chặt cụt trên /£Z (Ñ) + ccsxvxvxsrtEtEttrrrrrrrrrrrrrrrererrre 41

Trang 5

3.3 Toán tử chặt cụt trên /£Í (R) cv cv vvexexerertrrrrrrrrrrrrrrrrrerree 43

E09 08 48

3.5 Biến đổi Hilber( -222cc Hee 49

3.6 Biến đối Hilbert cực đại - cv EEkEkerkEErkerkekerkrrkererkrrke 52

Kết Luận Error! Bookmark not defined Tai Liệu Tham Khảo - Error! Bookmark not defined

Trang 6

MỞ ĐẦU

Trong tốn học, giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng Các kết quá nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực khác của toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hóa học, thiên văn học,

Trong giải tích, các kết quả về chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert khơng chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà cịn có ứng dụng rất lớn trong thực tế, đặc biệt là trong việc giải quyết các bài toán vật lý Chính vì vậy trong khóa luận này em chọn đề tài “Chuỗi Fourier và biến đôi Hilbert”

Việc nghiên cứu đề tài này đã giúp em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về nguồn gốc của chuỗi Fourier và những tính chất của biến đổi Hilbert

Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:

Chương I: Hàm cực đại Hardy-Littelewood Chương 2: Chuỗi Fourier

Chương 3: Biến đối Hilbert

Khóa luận này hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tống hợp, đánh giá,

Đối với những vấn đề đã được lựa chọn cho khóa luận này, em hi vọng nó

Trang 7

CHƯƠNG 1

HÀM CỰC ĐẠI HARDY - LITTELEWOOD

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị:

1.1.1 Một số không gian hàm

Cho khong gian £L?, 1 <p < œ

Định nghĩa: Cho p € R với 1 < p < © Ta định nghĩa:

£P (0) = {ƒ: 2 > R(hoặc €); ƒ äo được và |ƒ |? khả tích},

L°(Q) = {ƒ:.0 ¬ R(hoặc C); ƒ đo được và 3Œ, |ƒ(x)| < € hầu hết)

Và kí hiệu

1/p Iifllp = | Ferdx

IIfll.oHB = inf{C; |f (x)| < C hau hét}

Nhận xét: Nếu ƒ € £” (0) thi

If(x)l < lIƒll hầu hết x e Ø

Hàm ƒ xác định trên R”, ƒ là hàm khả tích địa phương khi nó khả tích trên

mọi tập bị chặn trong R”

1.1.2 Dinh ly Fubini

Giả sử {ƒ,}„>¡ là một dãy hàm thực không giảm trén doan [a, b] sao cho:

cf, (x) = f(x) ton tai voi Vx € [a, b] Khi đó ƒ là kha vi hầu hết x € [a, b] va với hầu hết x € [a,b]: f (x) = X§-¡ ƒ, (x)

1.2 Hàm cực đại Hardy-Littelewood

Trang 8

Mf (x) = sup "P Tối J | (0) ldt, 1

được gọi là hàm cực đại Hardy - Littelewood

Trong đó @ là ký hiệu của một hình lập phương tâm +, cạnh h, |Q| là thể tích hình lập phương

Trong trường hợp 1 chiều ta có Ợ = [x — h,x + h] Khi đó cho f €£1.(R)

thi: x+h 1 mpc) =supz [ If@lat, x-h h>0 1.3 Bất đẳng thức yếu

Trước hết chú ý rằng đã cho hàm khả tích địa phương ƒ, hàm Mf:R" — [0,+0] 14 do duoc Thực ra thì mọi số thực đương a@ thì tập {Mf (x) > a} 1a tap mo, boi vi cho x € R" voi Mf(x) > ø tồn tại một hình lập phuong Q tam x sao cho

Trang 9

Nếu ƒ € £P(R*) với 1< p < +œ, ta sẽ chỉ ra rằng Mf € £P(R") Tuy nhiên với p=l điều này khơng đúng nữa Những gì ta có thể nói chỉ là

ƒ € £!-yếu, nghĩa là:

fla

m{M f(x) > a}<c, 7 Bồ đề 1.1 ( Bé dé pha)

Giả sử R“ được cho với chuẩn nào đó và giả sử cy = 2.3% Néu AC Rˆ là tập hợp khác rỗng có độ đo ngoài hữu hạn, và % là một phủ của 4

gồm các hình cầu mở thì tồn tại một họ hữu hạn các hình cầu rời nhau

B,, ,B, cua U sao cho

n

Ca » > tr (4)

j=l Chung minh:

Chúng ta có thé gia thiết rằng 4 đo được , vì nếu ngược lại thì sẽ tồn tại tập mở Œ 5 4 với mm(Œ) hữu hạn và như vậy U có thể là phủ của Œ Bây giờ giá sử 4 đo được thì tồn tại I tập compact K C A với m(K) > m(A)/2 Ta phải chọn một phủ con hữu hạn của K Gọi các hình cầu U;,U;, ,U,„„ là những hình cầu được sắp xếp theo thứ tự bán kính giảm dẫn và chọn các hình cầu B, theo cach sau Trước hết B, = U, là hình cầu lớn nhất, sau đó B; là

hình cầu đầu tiên trong dãy U, khác với B Sau đó B; sẽ là hình cầu đầu tiên

của dãy U, khác với B, U B; Tiếp tục quá trình này, đến khi mọi hình cầu của

Trang 10

Bây giờ ta cho rằng K C U7_; 3B, mà ta biết K c UP_, Uj Do dé voi

mỗi K, 3ƒ sao cho x € ÙU, Nếu U; = B, nào đó, rõ ràng ta có x € By C 3B, Ngugc lai U; giao với H„ = U, nào đó Chọn k nhỏ nhất thì phải có s < j, vì nếu khơng ta phải chọn U, thay cho B, trong quá trình trên Do đó bán kính của hình cầu B„ lớn hơn hoặc bằng bán kính của hình cầu U; Vì vậy

U, Cc 3B,

Do do:

1 Oy

2m(4) < m(K) < à 3“m(B,),

j=l

Và sự xây dựng đó có nghĩa là các hình cầu này rời nhau

Bồ đề 1.2 ( Hardy và Littlewood )

Nếu ƒ € £!(R*) thì với mỗi ø > 0, %fƒ thỏa mãn bắt đẳng thức yếu m{x € R#|Mƒ() > #} S cạ LỢI,

Ching minh:

Đặt A = {x € R*|M f(x) > a} thi A 1a tập mở, ta vẫn chưa biết nó có độ đo hữu hạn Vi vay ta xét A, = 4n B„, trong đó B„ là hình cầu tâm Ø bán kính n Với mỗi x € 4„ ta có 'ƒ(+) > ø; đo đó tồn tại I hình lập phương Q

mở có tâm là x sao cho

1 a | vole >a (1.2)

Trang 11

Bây giờ các hình lập phương là các hình cầu với chuẩn || ||„ trên R*

Vì vậy ta có thể áp dụng bổ đề phủ để thu được I tập hợp hữu hạn cách hình lập phương phân biệt (Q;)7—¡ sao cho mọi hình cầu đều thỏa mãn (1.2) và

m m(4,) € c¿ > m(Q;) j=l Do đó ta có m(4,) < œ > =f Flat j Q j=1

Từ đó các hình lập phương là rời nhau

fll

m(A,,) < œ 7

Lấy giới hạn khi n — eo ta được điều phải chứng minh.n 1.4 Tính kha vi

Điểm x € R“4 thỏa mãn

li — |ƒ( — hang | VO flat = 0 |dt = 0

được gọi là diém Lebesgue cua f Định lý 1.3 (Định lý về tinh kha vi)

Trang 12

lim J If(t) ~ ƒœ)| dt =0

Ching minh:

Việc x có là điểm Lebesgue của ƒ hay không chỉ phụ thuộc vào các giá trị của ƒ trong một lân cận của x Vì vậy ta có thể quy về trường hợp ƒ khả

tích

Các kết quả vẫn đúng đối với một tập trù mật trên £!(R+) Thực tế nếu ƒ

liên tục, cho x và e > 0 thì có một lân cận của x sao cho |ƒ(£) — f(x)| < e Do đó nếu Q là ký hiệu của một hình lập phương có bán kính đủ nhỏ ta có

+ [lƑœ)~ a] Vo ƒ()ldt <e ƒœ)lát <

Do đó với một hàm ƒ liên tục thì mọi điểm đều là điểm Lebesgue Bây

giờ, điều mà ta quan tâm nhất đó là hàm cực đại xảy ra sự hội tụ điểm như thế

nao

Ta sẽ định nghĩa toán tử 0 Néu f € £'(R®),

f(x) = imiSup re ai) lfŒ) ƒ(œ)lát

Chú ý rằng

Oƒ(x) < Mƒ(z) + |ƒ()|

Trang 13

Cố định e > 0, từ đó các hàm liên tục là trù mật trên £1 (R*), ta thu được

ø € £'(R*) liên tục sao cho ||ƒ — ØÌÌ¡ < e Theo bất đẳng thức tam giác

Oƒ() < 0ø) + 0Q — ø)(2) = 0 — ø)(x) < MỰ - ø)Œ) + |ƒ(œ) ~ ø@)|

Do đó Vư > 0 ta có

{0ƒ) > ø} c {MỰ ~ ø)(z) > a/2} U {|ƒ(x) — @)| > @/2}

Bây giờ ta sử dụng bất đẳng thức yếu cho hàm cực đại Hardy-

Littlewood va bat dang thirc Chebyshev cho |f — ¢|

If-olh Wal _

m{Of (x) > a} < 2cq a a Sty alm

Từ việc bất đẳng thức này đúng với mọi € > 0, ta suy ra m{Of (x) > a} = 0

Điều đó đúng với Vø > 0 do đó 0ƒ (x) = 0 hầu khắp nơi.n

1.5 Nội suy

Tại cực trị ø = 1 thi ham cuc dai Mf thao mãn bat dang thức yếu Tại

cực trị p = +00: néu f € £°(R4) thì J|AZƒII.„ < lI/lls

Ý tưởng đó cho phép ta thực hiện nội suy giữa 2 cực trị p = 1 vàp = œ

Định lý 1.4

Với mỗi ƒ € £?(R“), 1 < p < +0 taco:

p

Trang 14

Chứng mình:

Voi Va > 0 ta phân tích ƒ ƒ = ƒZa4 + ƒXpavx › trong đó 4 = {|ƒ| > a} Khi

do Mf <a+M(fx,) Vi vay

mM > 2a} < mex.) > ø) < ^^ [ lƒlxuyi.uydm

Điều phải chứng minh phụ thuộc vào sự vận dụng khéo léo bất đẳng thức này Đặc biệt chú ý rằng ta đã sử dụng một sự phân tích khác của ƒ cho

moi a Ta có bất đẳng thức sau +00 +00 Pp p-1 p-1 2ca IMfll, =p] t?““m{Mƒ >t}dt<p] t TT |ƒÏxtu;¡~:/2 mát 0 0 Ra Áp dụng định lý Fubini +œ

acaP | ire | tP~®XtIyœ>:/2dtdx = Rủ 0 2 p1 2d =2p | LOO (pela = 2? ip Rd

Rất đơn giản để nhận thấy rằng (p/(p— 1)! ” trơng đương với Ð/(p — 1) Do đó chúng ta đạt được yêu cầu của chúng ta về chuân.m

Trong trường hợp p=l ta có thể nói bất đẳng thức yếu là tốt nhất Ví dụ

Trang 15

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier va biến đổi Hilbert

Mệnh đề 1.5 Với mỗi hàm ƒ 6€ £!(R2) và B c R* là I tập đo được thì

| */G08x < mŒ) +24, | reottog* reolax,

Ching minh:

Gia su my 1a mét d6 do va mz (M) = m(B N M) Ta có

| M f (x)dx = | mp{Mf (x) > t}dt

Bây giờ ta có 2 bat dang thie: m,{Mf (x) > t} < m(B) va bat dang tht yếu

Các điểm của phép chứng minh này là sự vận dụng phù hợp bất đẳng thức

yếu Với mỗi ø ta có ƒ = ƒXa + fXpay, trong đó A = {f(x) > a} Do do Mƒ < œ+ Mfxa) và {Mf (x) > 2a} c {M(fx4) > a} Vi vay m{M f(x) > 2a} < “ | |ƒ(x)|dx {If @)l>a} Do đó +œ | Mf (x)dx < m(B) +2 | = | lƒ(x)Idx | dt B 1 tỊƒ()|>t}

Trang 16

| Mf (x)dx < m(B) + 2c, | lf (x) log* |f(x)|dx.o

1.6 Bắt đẳng thức tống quát

Hàm cực đại Hardy-Littewood có thể được sử dụng để chứng minh nhiều định lý về sự hội tụ điểm Điều đó và nhiều ứng dụng khác của các hàm

suy ra từ bất đẳng thức sau Định lý 1.6

Giả sử ø: R# ¬ R là hàm dương, xuyên tâm, giảm và khả tích Khi đó

với mỗi hàm ƒ € £”(R#) và x € R* ta có

lø x ƒ()| < Calle MFC),

Trong đó Œ¿ là một hằng số chỉ phụ thuộc vào số chiều và bằng 1 khi đ = 1

Chung minh:

Ta nói rằng ø là hàm xuyên tâm nếu có một hàm u:[0, +00) > R sao cho ø(x) = (|x|) với mọi x € R# Hàm xuyên tâm ø là giảm nếu 1 giảm

Hàm + là đo được nên tồn tại một day ham don gian (u,,) tang sao cho

1„ (£) hội tụ tới u(t) voi moi t > 0 Trong trường hợp này khi + giảm, có thể lựa chọn từng 1„

N

Uy (t) = à h Xo„,]Œ),

j=l

trong đó 0 < f¡ < f¿ < : < tạ và h, > 0 và số tự nhiên N phụ thuộc vào

Trang 17

lợ*ƒG)| <ø*l/IG) = limø, *If1G0 Do đó

ø *l/|@Ó =3 | I/0)lớy

J=1 B(xtj)

Ta có thể thay thế hình cầu B(x, t,) bằng hình lập phương tâm x và cạnh 2 Tỉ số giữa thể tích của hình cầu và hình lập phương bị chặn bằng một hằng số Do đó

Trang 18

CHUONG 2

CHUOI FOURIER

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

2.1.1 Định lý giá trị trung bình thứ hai

Nếu ø là hàm liên tục và ƒ là đơn điệu trên [a, b], äc € [a, b] sao cho

b b c

[ F@awat = F-m) | oOae+ fas) | gat

2.1.2 Ki higu f(a+), f(b—) ta xem nhu f xac dinh trén [a, b] voi giá trị tại biên là ƒ(a +) và ƒ(b—)

2.1.3 Nguyên lý phạm trù Baire

Mọi không gian metric đầy là tập phạm trù thứ hai 2.1.4 Định nghĩa tích chập

Cho 2 hàm số ƒ và ø xác định trên R" thì hàm số ƒ * g xac định bởi:

Œ*ø)œ) = | ƒŒœ~—y)g0)dy

Rm

Với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của ƒ va g

2.2 Chuỗi Fourier

Trang 19

+œ

> que (2.1)

j=-œ

trong đó hệ số Fourier œ được xác định bởi

tf

G= on [ Foe" dt (2.2)

—TL

Những hệ số này được ký hiệu là Ê) = a,

2.3 Hạt nhân Dirichlet

Sự hội tụ của chuỗi (2.1) được Dirichlet xem xét năm 1892 Ông đã chứng minh rằng chuỗi hội tụ tới (ƒ(x + 0) + ƒ( — 0))/2 với mọi hàm liên

tục và đơn điệu trên mỗi đoạn Điều này sau đó đã được thay thế bởi các kết

quả của Dini và Jordan Để chứng minh các kết quả này ta xem xét kết quả đầu tiên của Riemann

Mệnh đề 2.1 (Bồ đề Riemann-Lebesgue)

Nếu ƒ: R —› € là hàm tuần hoàn với chu kỳ 27 và khả tích trên [- 7, zr| thì

lim f (j) =0

Jj|>œ

Chứng mình

Nếu ta đổi bién u = t + Z/j trong tích phân (2.2) thi dấu của hàm số

mũ thay đổi Do đó ta có:

Trang 20

Với 1 hàm liên tục ƒ ta suy ra rang lim|f(j)| = 0 Voi 1 ham f tong

quát ta lấy xấp xỉ chuẩn của nó trong £! bởi một hàm liên tục.m

Đề nghiên cứu sự hội tụ điểm ta xét dãy tổng riêng: n

S60 = > FD

j=n

Từ đó, mỗi hệ số có một biểu thức tích phân, ta được tổng riêng của chuỗi Fourier có dạng tích phân:

1 TL

S,0,) =z~ | Dœ~ Đƒ()át

Trong đó, hàm D„ được gọi là hạt nhân Dirichlet

mm t

im, sin”/2

n sin (» + 1) t

D, (t) = ; et = ——— tr

Vì vậy, ƒ — S,(f,x) 1a dạng tuyến tính liên tục xác định trên £![—m,rr] Hàm D„ tuần hoàn với chu kỳ 2z, với tích phân bằng 1, nhưng

|ID„ ||¡ và ||D„ || không bị chặn đều

Với biểu thức tích phân của tổng riêng ta có thể thu được hai điều kiện

cơ bản cho sự hội tụ điểm Định lý 2.2 (Dấu hiệu Dini)

Trang 21

r d

[/Œ+9+ /&—0-~ 2/015 < to,

0

thì chuỗi Fourier của ƒ tại điểm x hội tụ tới ƒ(%)

Ching minh:

Hiéu sé S,,(f) — f co thé duge viết là:

1 TT S,)~ ƒG@) = s~ | DĐ (Œ=9 =ƒG))dt = 1 TL = | D, (tf +0) + fx —t) — 2ƒ(@w))dt — 2m 0

Từ đó 2sin£/2 ~ t, bổ đề Riemann-Lebesgue chứng minh rằng hiệu này tiến dén 0.0

Định lý 2.3 (Dấu hiệu Jonrdan)

Nếu ƒ € £![—zr,7r] là hàm biến thiên bị chặn trên một khoảng mở

chứa x thì chuỗi Fourier tại x hội tụ tới (ƒ(x + 0) + ƒ(x — 0))/2

Chung minh:

Phép chứng minh được dựa trên sự kiện ||D„||¡ là khơng bị chặn và tích phân

6

| D,, (t)dt

0

Trang 22

Đề không đánh mắt tính tơng qt ta có thể giả sử rằng x = 0 và cũng có thể giả sử rằng ƒ tăng trên một lân cận của 0 Ta phải chứng minh:

1 TL

lim>— | Đ,@ŒŒ) + ƒ(9)át = Ứ(0 3) + ƒ(0 =))/2

0

Do tính đối xứng nên ta phải đi chứng minh:

tims | D, (t)f(t)dt = f(O+)/2

Cuối cùng ta giả sử rằng ƒ(0 +) = 0

Chon 6 > 0 sao cho 0 < f(t) < z với mọi 0 < £ < ổ Ta phân tích tích phân thành hai phần, một phần trên [0, 5] và một phần trên [6, z] Ta áp dụng định

lý giá trị trung bình thứ hai cho tích phân thứ nhất, ta được

TẾ 6

| Dị @/G)át = ƒ(G—) [ 0, ae | 0, Fade TL

0 6

Tích phân thứ 2 hội tụ tới 0 theo bé dé Riemann-Lebesgue va tich phan thứ nhất nhỏ hon C, theo tính chất của hạt nhân Dirichlet ma ta di chi yo

2.4 Chuỗi Fourier của các hàm liên tục

Các điều khiện hội tụ mà ta đã chứng minh cho thấy chuỗi Fourier của một hàm khá vi hội tụ điểm đến hàm đó Điều này không đúng với các hàm liên tục Du Bois Reymond đã xây dựng một hàm liên tục mà chuỗi Fourier của nó phân kỳ tại 1 điểm

Trang 23

li,lL= lID,lị ==ylogn +00)

Cac s6 L, = ||D,, ||, được gọi là hằng số Lebesgue

Hệ quá 2.4 Nếu ƒ e £”[—n,z] thì |S„(ƒ,x)| < (Glogn + c) II

Định lý 2.5 (Hardy)

Nếu ƒ € £![—z,7z] thì tại mọi điểm Lebesgue x của ƒ

lim IS,Ứ,x)/(logn)] = 0

Hơn nữa nếu ƒ liên tục trên I khoảng mở ï thì hội tụ đều trên mọi tập đóng

Jcl

Ching minh:

Hạt nhân Dirichlet có thể được viết là:

i 1 sinj n+ t ( 5) sinnt ——-— 2 t 1 2

D,(t) = "Œ) sin t/2 - + casn trí tant/2 Tp) t sinn t

Hai số hạng cuối cùng bị chặn đều trong n và t Do đó

sinnt

D, (t) = 2 + Pn (t), lt] <7, (2.3)

và có trị tuyệt đối không đổi 0 < Œ < +œ sao cho ||ø„||„ < C Dinh ly nay giữ một vai trò trong định lý của Carleson

Trang 24

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert 1 f sin nt S.G-= [t@-p™ dt <c le

Từ đó với mọi ƒ trong £†[—7r, 7r]

sin t nt dt 1 I5„,x)| < cllfll += [re-o

Hàm sin £/t có các tích phân bị chặn đều trên các khoảng Từ đó, sin t nt dt} 1 1

IS, fixl se + = [Ưœ+o+ ƒŒ&~—t)~ 2ƒ(z)}

Đặt ø¿() =ƒŒ +£)+ ƒŒ&«—£)— 2ƒ(x) Nếu x là một điểm Lebesgue của ƒ, nguyên hàm ®(£) của |ø,(£)| thỏa mãn #®(£) = o(£) khi t — 0 Do do ta co:

1/n 1

1

.Gaolsc+=] le@lde+= [etle.old

0 1/n TL =Ct+ =ø(0)+ ‘ee! tin + 1 Je t)t~?dt =C+—o(-)+ — im + = | Peat 1/n Dễ dàng ta có S, (f,x)/logn — 0

Từ đó, x là một điểm Lebesgue của ƒ, ta có ®(£) = o(£)

Trang 25

Giá sử rằng (3„) là một dãy tăng các số thực dương sao cho với mọi g€£”[—n, r]

Sn (gx)

lim =

n> +00 Än+t 0

Thì nếu ƒ € £1[—zr,r] thỏa mãn Ð;|ÊŒ)Â\,¡ |’ < +00, thi

f= lim SU, x), hầu khắp nơi

Theo định lý Riesz- Fischer tồn tại một hàm g € £?[—z,], sao cho

30)= FDA | So sanh cdc hệ s6 Fourier ta suy ra đẳng thức

n

S0) = 3 (—- 1 )5.3)+ SiG), A a A

k=0 k k+1 m +1

Theo giả thiết của ta về các hàm trên £?[—m, z], ta suy ra rằng đặc tính

của Š„ (ƒ, x) trùng với những đặc tính của chuỗi

3 Œ- ra) (gx) = yn (x)

k=1

Nhưng khi là một chuỗi trên £?[—z, r], ta có ¥;,|hy|lz < +00 Do đó, chuỗi

Trang 26

2.5 Nguyên lý về tính liên tục Banach

Trước hết ta cần biết một số kiến thức về không gian các hàm đo được

£°[—7r,Tr| Đó là khơng gian metric với khoảng cách

_1 ƒ lƒ=øl 4Ữ/8) “5y | 14 jƑ gi

Đây là một không gian metric đủ Dãy (ƒ,) hội tụ tới 0 khi và chỉ khi

nó hội tụ tới 0 theo độ đo Điều đó nói rằng với Ve > 0 ta có lim, mf{|f,| >

e}=0

Cho dãy (T,) của toán tử tuyến tinh:

T„: CP[—m,Tr] —› £°[—m, m]

Néu T, f(x) hội tu hau khap noi, thi toan tir cuc dai T* f(x) = sup, |T, f(x)|

bị chặn hầu khắp noi

Định lý 2.7 (Nguyên lý Banach về tính liên tục)

Ta giá sử rằng với mỗi hàm f € £L’[—7,7], ham T*f (x) < +œ hầu khắp nơi trên [- z, z] thì tồn tại một hàm €(#) giảm xác định với moi a > 0,

sao cho lim,_, C(a@) = 0 va sao cho

m{T* f(x) > allfllp} S$ C(@),

với moi f € £L? [—7, 7] Chung minh:

Cố định e > 0 Đặt F, = {ƒ|ƒ € £P[—m,]} sao cho m{T'ƒ(x) > n} < z

Trang 27

m{T*f(x) >n}>e

Từ đó, suy ra tồn tai N sao cho

mf sup T;, f(x) > rÌ >e

1<k<N

Thì tồn tại ổ > 0 sao cho

mf sup Tf) >n+d}>e+6

1<k<N

Do tính liên tục theo độ đo của toán tử Tự, äổ > 0 sao cho với mỗi g mà |ƒ — ølÌ; < ổ ta có m{|T, (Ff — g)(x)| > 5} < 6/2*, 1Sk<N Dat Z = {|T, Gf — g)(x)| > 5} thi m(Z) < ổ Ta cũng có {T* g(x) >n}UZD { sup T;, f(x) > n+ổ) 1<k<N Do đó, ta suy ra m{T* g(x) >n}>e Nghĩa là tập £P [—r, z] \, là tập mở

Giả thiết của ta về tính bị chặn của T” ƒ nghĩa là:

£r[~m,m] =| ]*

Theo định lý Baire về phạm trù, 3n € N sao cho F, c6 phần trong khác

rỗng nghĩa la f, € F, vad > 0 sao cho f = fy + 5g voi llgll, = 1

Trang 28

m{T*(fo + 6g) >n}<e, thi

m{T*g > 2n/5} < m{T*(fo + 6g) > n} + m{T*(fo — 6g) > n} < 2e

Do đó, với mỗi g € £P[—m, r]

m{T"g > (2n/8)lIøll,} <2

Do đó nếu ta đặt

C() = sup m{T"ø > allgll, },

thi ham C(q@) thoa mãn lim„_,.„ C(œ) = 0.0

2.6 Tinh kha tong

Fejér đã chi ra các giá trị trung bình của tổng riêng là : 1 n

on (fit) =>) Salfom)

j=0

Ta có 1 biểu thức tích phân cho những giá trị trung bình này:

Tr

ø.(,1) =z„ | f.œ~ Đƒ()á

TL

trong do F, 1a hat nhan Fejér:

n J=n ,

E,@)=—" )pœ= " n + 1¿ di > (1- UY git, | n+1

Trang 29

sin(n + 1) tự ;

1

In = 47 | simŒ/2) (2.4)

F, la ham duong, ||F, |]; = 1, va voi mdi 5 > 0 ta c6 voi 6 < |t| <7 thi

lim, F, (t)=0

Tổng quát hơn ta định nghĩa một hạt nhân khả tổng là một dãy (k„) của

các hàm tuân hoàn sao cho

1 TL

i — | k„()dt = 1

(0 2x | ku)

(ii) lk, ll s C

(iii) iii li im ;— , |k„ (£)|dt = 0,với Vổ n = 0, voi > 0

n—-+o0 270 ô<|t|<m

Định lý 2.8 (Định lý thác triển hạt nhân khá tổng của Fejér)

Giả sử (k„) là một hạt nhân khả tổng Nếu ƒ: R — € là liên tục và tuần

hoàn với chu kỳ 2z thì k„ + ƒ(x) hội tụ đều tới ƒ(+) Hơn nữa với mọi 1 <p<+oœ và ƒ € £P[—r,Tr] ta có:

tim kn *f—fllp = 0

Chung minh:

Trước hết giả sử ƒ liên tục và tuan hoan véi chu ky 27 theo tinh chat (i)

Trang 30

1 TL

k, *ƒG) = ƒG) =z~ |Œ=19~ƒG))k, (0t

Cho e > 0 ta phân tích tích phân thành 2 phần Phần thứ nhất trên

{lt| < ổ} và phần còn lại trên {ổ < |t| < z} Theo tính liên tục của ƒ và tính

chat (ii) thì phần thứ nhất nhỏ,theo tính chất (iii) thi phần thứ hai nhỏ Cần

chú ý rằng phép chứng minh tương tự cho ta thấy sự hội tụ tại mỗi điểm liên

tục của ƒ cho một hàm ƒ đo được bị chặn

Do (E,) là hạt nhân khả tổng va F, * f là đa thức lượng giác với mọi ƒ nên suy ra những đa thức này trù mật trên £(T)

Bây giờ với mỗi ƒ € £P[—m,r] ta c6 t +> G(t) = ||ƒ(.+£#) - FOI,

là một hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ 27r Ta có

1 TL

IIkn *f — fly $= furc-o — ƒC)ll,k„()dt = k„ * GO)

Ta có thể áp dụng cho phần đầu tiên của định lý tích chập này để kết luận rang lim, k, * G(0) — 0.0

Do đó nếu ƒ liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 27, ø„ (ƒ,x) hội đều tới f và nếu ƒ € £P[—z,1] thì nó hội tụ đều tới ƒ trên £P [—7r, z] Một ví dụ quan

trọng khác đó là hạt nhân Poisson Hạt nhân này xuất hiện khi ta xem xét

chuỗi Fourier của ƒ như là các giá trị biên của một hàm phức hợp xác định

trên một hình cầu đơn vị mở Nếu ƒ € £? [—z,z] thì chuỗi

S fu + ie

Trang 31

hội tụ trên hình cầu đơn vị mở và xác định một hàm phức hợp điều hịa (2)

Thì

u(re'°) = à £0rU!e09 == J?@~97át

j=-=œ —T

Trong đó, hạt nhân Poisson P.(Ø) được xác định là:

P.(0)= S rll ẹU9 —_ TrrẺ (2 5)

7 1—2rcos0 +r?' l

j=-œ

Dễ dàng kiểm tra được P.(Ø) là hạt nhân khả tổng

Mệnh đề 2.9

Nếu ƒ € £?[—m,m], 1p < +œ, hoặc p = +œ và ƒ liên tục với

ƒ£Œ) = f(-7), ta có lim,_.1- ||F * ƒ —ƒlly =0

Bây giờ, ta xét ƒ € £![—r,7r] và nói về sự hội tụ hầu khắp nơi của

F, * ƒ(z) hoặc P * f(x) t6i f(x) Hiển nhiên tồn tại day con bat ky F,, * f và P,„ x ƒ hội tụ hầu khap noi tdi f

u(re” ) = P * f(@) 1a 1 ham điều hồn trên hình cầu đơn vị Điều mà

ta muốn là 1 định lý của sự hội tụ xuyên tâm của l hàm điều hòa tới

lim,_,¡- (re!?3) Định lý đầu tiên thuộc dạng này được biết đến bởi Fatou năm 1905

Định lý 2.10 (Fatou)

Trang 32

lim ,+ƒ@) =ƒG6), — lmø,,x)=ƒG):

Chứng mình:

Phần chính là ta đi chứng minh toán tử cực đại

P*f(x) = sup |P * ƒ(@)|, F* f(x) = suplF, * ƒ()|

0<r<1

bị chặn Điều này được suy ra từ bất đẳng thức tổng quát về hàm cực đại Hardy - Littlewood Định nghĩa ƒ°:R — € là 0 với |x| > 2m và bằng mở

rộng tuần hoàn của ƒ khi |x| < 2z Cũng đặt P°: R —› € là P°(Ø) bằng 0 khi

|Ø| > z, và bằng P.(Ø) khi |Ø| < 7 Thì ta có thê viết:

h.+*ƒ@&)=Pˆ+xƒ*°(x), |x|<

Bằng cách tượng tự ta định nghĩa hàm F” sao cho

Ø,(ƒ,x) = h, * ƒ(Œ) = lì *ƒ°(x), — lx|<

Từ đó, P” là một hàm xuyên tâm mà nó giảm khi x > 0 và tích phân

của nó trên R bằng I Ta có |P° *ƒ°(x)| <Mƒ°(+) Do dé, P*f(x) <

Mf? (x) voi moi |x| <7

Hạt nhân Fejér không giảm nhưng sin(t/2) > t/mr với Ö < t < T,

Do đó,

1 n+1)t/2 1

a(S ne) 16(n + 1), neu |t] <=,

Fe(t) <4" (4) -*4 1 cine

Trang 33

Vì vậy k, bị chặn bởi một hàm xuyên tâm mà nó giảm khi £ > Ư và có các tích phân bị chặn đều Từ đó suy ra

F* f(x) < CMf (x)

Khi này sự hội tụ điểm hầu khắp nơi được chứng minh như trong định lý về tính khả vi.n

2.7 Hàm liên hợp

Từ (e'* ) là một hệ trực chuẩn day đủ trên không gian L?[—n, 7], ta c6

đăng thức Parseval TL Dial =z [irorae ~ 2n ‘ JeZ —Tm Từ đó suy ra limllf = S„)ll; = 0 Thực tế với mỗi 1 < p < +© ta có: limllƒ — 5,Œ)ll, =0, vƒ€ #[-z,m] (2.6)

Trong trường hợp ø = 1 điều này không đúng Thực tế nếu F, và D„ là các hạt nhân Fejer và hạt nhân Dirichlet thì SŠ„ (F,) = D„ * E, = øy(D„) Do đó

theo định ly Fejer limy S, (F,) = D, trén £L'[—7, 7]

Từ ||F, ||, = 1 suy ra ||S, |], > L„ Và ta biét rang L, ~ logn

Mặt khác để chứng minh (2.6) thì phải chứng minh nó thỏa mãn chuẩn

Trang 34

từ các đa thức trù mật trên £P [—7r,7r], cho e > 0 ta tìm một đa thức P, sao

cho ||ƒ — P.||, < € Nếu n lớn hơn bậc của P thi

If — Sn Alp SMF — F.ll, + IS, Œ.)— S„Ø)ll; S e+ C

Tính hội tụ đều của các chuẩn đã được M.Riesz chứng minh năm 1928 Ông chỉ ra rằng toán tử xác định trên không gian các đa thức lượng giác là

R > ge" =) gett

J j20

Rõ ràng là R la 1 phép chiếu liên tục trên £?[—zr, 1] Điều đáng chú ý đối với Z® là ta có hệ thức liên hệ

Sn (f) =e int R(e'™ f) _— gi@+1)t70(2~i@+1)t £),

Nếu R cé thể thác triển thành 1 toán tử liên tục trên £? [—z, z] thì chuẩn của

Š„ bị chặn đều

Tốn tử #® liên quan tới hàm liên hợp điều hòa Xét một chuỗi lũy thừa

À (6, +ib,)z"

Phần thực và phan ảo của z = e“ 1a

u= YG cos nt — b, sin nt); v= » sinnt + b, cosnt)

n>0 n>0

Ta nói rằng v = i 1a chudi liên hợp với Toán tir H di tir w vao v phai thoa

Trang 35

#f(cos nt) = sinnt; H(sinnt) = —cosnt Điều này tương tự với cách nói:

H(e™) = —isgn(n) e™

Các toán tử R va H lién hé voi nhau bởi

®Ứ()) + e'°® (e~'° Ƒ(8)) = ƒ(8) + i(ƒ(8))

Suy ra toán tử ?#f mở rộng thành 1 toán tử liên tục từ £?[—r,7r] vào

£?[—m, m]

Trong chương tiếp theo ta sẽ nghiên cứu toán tử H Luc nay ta co biéu thức bất kỳ về toán tử này

Giả sử ƒ € £![—z, z] Chuỗi Fourier của nó là

> fe” j Ta sẽ gọi Yi san De J là chuỗi liên hợp

Rõ ràng khi ƒ € £?[—z, z] thì chuỗi liên hợp là chuỗi Fourier của Hf

Ta có thể biểu thị tổng riêng của chuỗi liên hợp như 1 tich chập

„ am 1 (uy

5.6.0) = YD sen) fe == | FOD C= dar,

Trang 36

Ở đây „ là liên hợp của hạt nhân Dirichlet

~ = cos £/2 — cos(n + 1/2)t

B, =2 sin je = SSE ose MO

— sint/2

j=

Và ta có điều kiện hội tụ tương tự như điều kiện Dini Định lý 2.11 (Dấu hiệu Pringsheim về sự hội tụ)

Giả sử ƒ € £![—z, z] là 1 hàm tuần hoàn chu kỳ 27 va x € [—7,7] sao

cho

[ dt

[G+Ð~7Œ~ ĐỊT < +e,

thì chuỗi liên hợp hội tụ tại z

Chứng mình:

Do đ, (£) là I hàm lẻ,

1/ ~

Š,,Ð =sx | Œ=9~ ƒŒ +), (Đát

Nên theo bổ đề Riemamn - Lebesgue và biểu thức của , (£) ta có điều phải chứng minh.n

2.8 Biến đối Hilbert trên R

2.8.1 Biến đổi Fourier

Trang 37

f= | ƒŒ)e~?" at

Điều này tương tự như hệ số Fourier (/) Tổng riêng của chuỗi Fourier tương đương với

%Ứ,x) = | f@er"* dé = | f(t)D, (x — tt,

Trong đó hạt nhân Dirichlet được thay thế bằng

sin 2mat

D,(Œ)=——

Và tông Fejer được thay thế bằng 1 a

afin =—{ S(f0at= | fe- ORs,

0

Tương tự với hat nhan Fejer 1a:

1(enssoy a

Vai trò của hình cầu đơn vị được thay bởi nửa mặt phẳng y > 0 trên R? Nếu ƒ € £!(R) ta định nghĩa trên nửa mặt phẳng hàm giải tích

1 +œ ( ) t F(z =— / Ti t—Z —œ dt

Trang 38

-1[._ 3 |

u(x, y) == | Gooey fae

_ 1 ư x—t d

van=s | Gop ry t

Với ƒ tổng quát thì các hàm + và xác định bởi những tích phân trên là các

hàm liên hợp điều hòa

2.8.2 Biến đối Hilbert

Biến đổi Hilbert được xác định là

+00

1 ƒŒ)

7£ f(x) xP =—p.v | —dt yo

Nghiên cứu về biến đổi này tương đương với nghiên cứu biến đổi trên

vòng xuyến Thực tế , cho ƒ € £![—z,z] nếu ta định nghĩa ƒ°:R — € là 0

khi |x| > 27 và bằng mở rộng tuần hoàn của ƒ khi |x| < 2z.thì v|x| <

Trang 39

Nếu ta ký hiệu 2 phép biến đối nay Hz va Hy, ta có

|#rƒ() — Hef? OI S Clif lh

2.9 Giả thuyết của Luzin

Định lí 2.12 Giả sử ƒ € £?[—r, r] thì 1 ¢” 2rg()sin(f— x) 1 g(x -t) li — im ( ooo dt — - tant/2 dt) =0 rot 2njJ_,1—2rcos(t—x)+r? 2m <|t|<m )

hầu khắp nơi Trong đó =7) là nghiệm duy nhất của cosx =

2r/(1 + r?) trên khoảng (0,7)

Ông đã chứng minh rằng với ƒ e £?(R)

TL

1 | g(x -t)

ane ‘tant/2 4t =F),

hau khap noi va

SiG, x) = Sa cos jx + b, sin jx

j=1 Tr _1 1 cos(n + 1/2)t ` 2m [s«+9(- sint/2 )ae —TL

Trang 40

cos nt t

dt = 0, hau khap noi

n> lim p.v [acto

—T

Sau đó với mỗi g € £^(R) giá trị chính

+t x x z

p.V | ge Oat ton tai hau khap noi

Ông cũng cho biết rằng tồn tại 1 hàm liên tục ƒ va 1 tập dương đo được 4 sao

J

cho

fato-fa@-t 7 dt = +0 ,Vx EA

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	6,07 MB