Chuỗi fourier và biến đổi hilbert

LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này là kết quả của sự nỗ lực bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của tiến sĩ Bùi Kiên Cường.. Các kết quả nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng tro

và biến đổi hilbert

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS.BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội - 2010

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành tại tổ Giải Tích, khoa Toán, trường

ĐHSP Hà Nội 2

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Bùi Kiên Cường - người

đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trong

tổ Giải Tích, Khoa Toán, Trường ĐHSP Hà Nội 2 cùng gia đình và bạn bè đã

nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2010

Sinh Viên

Nguyễn Thị Nhâm

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của sự nỗ lực bản thân cùng với sự hướng dẫn

tận tình của tiến sĩ Bùi Kiên Cường Vì vậy em xin cam đoan nội dung của

khóa luận không trùng lặp với các công trình nghiên cứu của các tác giả trước

đã được công bố

Sinh Viên

Nguyễn Thị Nhâm

MỤC LỤC

Mục lục……….3

Mở Đầu 6

Chương 1 Hàm cực đại Hardy-Littelewood 7

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị: 7

1.2 Hàm cực đại Hardy-Littelewood 7

1.3 Bất đẳng thức yếu 8

1.3 Tính khả vi 11

1.5 Nội suy 13

1.6 Bất đẳng thức tổng quát 16

Chương 2 Chuỗi Fourier Error! Bookmark not defined 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 18

2.2 Chuỗi Fourier 18

2.3 Hạt nhân Dirichlet 19

2.4 Chuỗi Fourier của các hàm liên tục 22

2.5 Nguyên lý về tính liên tục Banach 26

2.6 Tính khả tổng 28

2.7 Hàm liên hợp 33

2.8 Biến đổi Hilbert trên R 36

2.9 Giả thuyết của Luzin 39

Chương 3 Biến đổi Hilbert Error! Bookmark not defined 3.1 Toán tử cực đại 41

3.2 Toán tử chặt cụt trên ℒ2(𝑹) 41

3.3 Toán tử chặt cụt trên ℒ1(𝑹) 43

3.4 Nội suy 48

3.5 Biến đổi Hilbert 49

3.6 Biến đổi Hilbert cực đại 52

Kết Luận Error! Bookmark not defined

Tài Liệu Tham Khảo Error! Bookmark not defined

MỞ ĐẦU

Trong toán học, giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng Các kết quả

nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực khác

của toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hóa

học, thiên văn học, …

Trong giải tích, các kết quả về chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert không chỉ

có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ứng dụng rất lớn trong thực tế, đặc biệt

là trong việc giải quyết các bài toán vật lý Chính vì vậy trong khóa luận này

em chọn đề tài “Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert”

Việc nghiên cứu đề tài này đã giúp em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về

nguồn gốc của chuỗi Fourier và những tính chất của biến đổi Hilbert

Nội dung của khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Hàm cực đại Hardy-Littelewood

Chương 2: Chuỗi Fourier

Chương 3: Biến đổi Hilbert

Khóa luận này hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp nghiên

cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá, …

Đối với những vấn đề đã được lựa chọn cho khóa luận này, em hi vọng nó

có thể giúp cho việc nghiên cứu các đối tượng khác của toán học cũng như

của vật lý

CHƯƠNG 1 HÀM CỰC ĐẠI HARDY – LITTELEWOOD

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị:

1.1.1 Một số không gian hàm

Cho không gian ℒ𝑝, 1 < 𝑝 ≤ ∞

Định nghĩa: Cho 𝑝 ∈ 𝑹 với 1 < 𝑝 ≤ ∞ Ta định nghĩa:

ℒ𝑝 𝛺 = 𝑓: 𝛺 → 𝑹 hoặc 𝑪 ; 𝑓 đo được và 𝑓 𝑝khả tích ,

ℒ∞ 𝜴 = 𝑓: 𝛺 → 𝑹 hoặc 𝑪 ; 𝑓 đo được và ∃𝐶, 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶 hầu hết

được gọi là hàm cực đại Hardy - Littelewood

Trong đó 𝑄 là ký hiệu của một hình lập phương tâm 𝑥, cạnh 𝑕, 𝑄 là thể tích

Trước hết chú ý rằng đã cho hàm khả tích địa phương 𝑓, hàm

ℳ𝑓: 𝑅𝑛 → 0, +∞ là đo được Thực ra thì mọi số thực dương 𝛼 thì tập

ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 là tập mở, bởi vì cho 𝑥 ∈ 𝑹𝑛 với ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 tồn tại một hình

lập phương 𝑄 tâm 𝑥 sao cho

Giả sử 𝑹𝑑 được cho với chuẩn nào đó và giả sử 𝑐𝑑 = 2 3𝑑 Nếu

𝐴 ⊂ 𝑹𝑑 là tập hợp khác rỗng có độ đo ngoài hữu hạn, và 𝒰 là một phủ của 𝐴

gồm các hình cầu mở thì tồn tại một họ hữu hạn các hình cầu rời nhau

𝐵1, … , 𝐵𝑛 của 𝒰 sao cho

𝑐𝑑 𝔪 𝐵𝑗 ≥ 𝔪∗ 𝐴

𝑛

𝑗 =1

Chứng minh:

Chúng ta có thể giả thiết rằng 𝐴 đo được , vì nếu ngược lại thì sẽ tồn tại

tập mở 𝐺 ⊃ 𝐴 với 𝔪(𝐺) hữu hạn và như vậy 𝑈 có thể là phủ của 𝐺 Bây giờ

giả sử 𝐴 đo được thì tồn tại 1 tập compact 𝐾 ⊂ 𝐴 với 𝔪(𝐾) ≥ 𝔪(𝐴) 2 Ta

phải chọn một phủ con hữu hạn của 𝐾 Gọi các hình cầu 𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑚 là

những hình cầu được sắp xếp theo thứ tự bán kính giảm dần và chọn các hình

cầu 𝐵𝑗 theo cách sau Trước hết 𝐵1 = 𝑈1 là hình cầu lớn nhất, sau đó 𝐵2 là

hình cầu đầu tiên trong dãy 𝑈𝑗 khác với 𝐵1 Sau đó 𝐵3 sẽ là hình cầu đầu tiên

của dãy 𝑈𝑗 khác với 𝐵1 ∪ 𝐵2 Tiếp tục quá trình này, đến khi mọi hình cầu của

dãy 𝑈𝑗 có giao với 𝐵𝑗 khác rỗng

Bây giờ ta cho rằng 𝐾 ⊂ 𝑛𝑗 =13𝐵𝑗 mà ta biết 𝐾 ⊂ 𝑛𝑗 =1𝑈𝑗 Do đó với

mỗi 𝐾, ∃𝑗 sao cho 𝑥 ∈ 𝑈𝑗 Nếu 𝑈𝑗 = 𝐵𝑘 nào đó, rõ ràng ta có 𝑥 ∈ 𝐵𝑘 ⊂ 3𝐵𝑘

Ngược lại 𝑈𝑗 giao với 𝐵𝑘 = 𝑈𝑠 nào đó Chọn 𝑘 nhỏ nhất thì phải có 𝑠 < 𝑗, vì

nếu không ta phải chọn 𝑈𝑗 thay cho 𝐵𝑘 trong quá trình trên Do đó bán kính

của hình cầu 𝐵 𝑘 lớn hơn hoặc bằng bán kính của hình cầu 𝑈𝑗 Vì vậy

độ đo hữu hạn Vì vậy ta xét 𝐴𝑛 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑛, trong đó 𝐵𝑛 là hình cầu tâm 𝑂 bán

kính 𝑛 Với mỗi 𝑥 ∈ 𝐴𝑛 ta có ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼; do đó tồn tại 1 hình lập phương 𝑄

mở có tâm là 𝑥 sao cho

1

𝑄 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 > 𝛼

𝑄

(1.2)

Bây giờ các hình lập phương là các hình cầu với chuẩn ∞ trên 𝑹𝑑

Vì vậy ta có thể áp dụng bổ đề phủ để thu được 1 tập hợp hữu hạn cách hình

lập phương phân biệt (𝑄𝑗)𝑗 =1𝑚 sao cho mọi hình cầu đều thỏa mãn (1.2) và

Giả sử 𝑓: 𝑹𝑑 → 𝑪 là hàm khả tích địa phương Khi đó tồn tại 1 tập con

𝑍 ⊂ 𝑹𝑑 có độ đo không sao cho ∀𝑥 ∉ 𝑍 là 1 điểm Lebesgue của 𝑓 Nghĩa là:

Việc 𝑥 có là điểm Lebesgue của 𝑓 hay không chỉ phụ thuộc vào các giá

trị của 𝑓 trong một lân cận của 𝑥 Vì vậy ta có thể quy về trường hợp 𝑓 khả

tích

Các kết quả vẫn đúng đối với một tập trù mật trên ℒ1(𝑹𝑑) Thực tế nếu 𝑓

liên tục, cho 𝑥 và 𝜀 > 0 thì có một lân cận của 𝑥 sao cho 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑥) < 𝜀

Do đó nếu 𝑄 là ký hiệu của một hình lập phương có bán kính đủ nhỏ ta có

1

𝑄 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑡 ≤ 𝜀.

𝑄

Do đó với một hàm 𝑓 liên tục thì mọi điểm đều là điểm Lebesgue Bây

giờ, điều mà ta quan tâm nhất đó là hàm cực đại xảy ra sự hội tụ điểm như thế

Cố định 𝜀 > 0, từ đó các hàm liên tục là trù mật trên ℒ1(𝑹𝑑), ta thu được

𝜑 ∈ ℒ1 𝑹𝑑 liên tục sao cho 𝑓 − 𝜑 1 < 𝜀

Theo bất đẳng thức tam giác

Ω𝑓 𝑥 ≤ Ω𝜑 𝑥 + Ω 𝑓 − 𝜑 𝑥 = Ω 𝑓 − 𝜑 (𝑥)

≤ ℳ 𝑓 − 𝜑 𝑥 + 𝑓 𝑥 − 𝜑 𝑥

Do đó ∀𝛼 > 0 ta có

Ω𝑓 𝑥 > 𝛼 ⊂ ℳ 𝑓 − 𝜑 𝑥 > 𝛼 2 ∪ 𝑓 𝑥 − 𝜑(𝑥) > 𝛼 2

Bây giờ ta sử dụng bất đẳng thức yếu cho hàm cực đại

Hardy-Littlewood và bất đẳng thức Chebyshev cho 𝑓 − 𝜑

Từ việc bất đẳng thức này đúng với mọi 𝜀 > 0, ta suy ra 𝔪 Ω𝑓 𝑥 > 𝛼 = 0

Điều đó đúng với ∀𝛼 > 0 do đó Ω𝑓 𝑥 = 0 hầu khắp nơi.□

Điều phải chứng minh phụ thuộc vào sự vận dụng khéo léo bất đẳng

thức này Đặc biệt chú ý rằng ta đã sử dụng một sự phân tích khác của 𝑓 cho

Rất đơn giản để nhận thấy rằng (𝑝 (𝑝 − 1))1 𝑝 tương đương với

𝑝 (𝑝 − 1) Do đó chúng ta đạt được yêu cầu của chúng ta về chuẩn.□

Trong trường hợp p=1 ta có thể nói bất đẳng thức yếu là tốt nhất Ví dụ

nếu 𝑓 1 > 0 thì ℳ𝑓 không khả tích

Mệnh đề 1.5 Với mỗi hàm 𝑓 ∈ ℒ1(𝑹𝑑) và 𝐵 ⊂ 𝑹𝑑 là 1 tập đo được thì

Bây giờ ta có 2 bất đẳng thức: 𝔪𝐵 ℳ𝑓 𝑥 > 𝑡 ≤ 𝔪(𝐵) và bất đẳng thức

yếu

Các điểm của phép chứng minh này là sự vận dụng phù hợp bất đẳng thức

yếu Với mỗi 𝛼 ta có 𝑓 = 𝑓𝜒𝐴 + 𝑓𝜒𝑹𝑑 \𝐴 trong đó 𝐴 = 𝑓 𝑥 > 𝛼 Do đó

Vì vậy theo định lý Fubini ta có

Hàm cực đại Hardy-Littewood có thể được sử dụng để chứng minh

nhiều định lý về sự hội tụ điểm Điều đó và nhiều ứng dụng khác của các hàm

Chứng minh:

Ta nói rằng 𝜑 là hàm xuyên tâm nếu có một hàm 𝑢: [0, +∞) → 𝑹 sao

cho 𝜑 𝑥 = 𝑢( 𝑥 ) với mọi 𝑥 ∈ 𝑹𝑑 Hàm xuyên tâm 𝜑 là giảm nếu 𝑢 giảm

Hàm 𝑢 là đo được nên tồn tại một dãy hàm đơn giản 𝑢𝑛 tăng sao cho

𝑢𝑛(𝑡) hội tụ tới 𝑢(𝑡) với mọi 𝑡 ≥ 0 Trong trường hợp này khi 𝑢 giảm, có thể

lựa chọn từng 𝑢𝑛

𝑢𝑛 𝑡 = 𝑕𝑗𝜒 0,𝑡𝑗 𝑡 ,

𝑁

𝑗 =1

trong đó 0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑁 và 𝑕𝑗 > 0 và số tự nhiên 𝑁 phụ thuộc vào 𝑛

Khi này phép chứng minh trở lên đơn giản cho 𝜑𝑛 𝑥 = 𝑢𝑛( 𝑥 ) Theo

định lý về sự hội tụ đơn điệu

Ta có thể thay thế hình cầu 𝐵 𝑥, 𝑡𝑗 bằng hình lập phương tâm 𝑥 và cạnh

2𝑡𝑗 Tỉ số giữa thể tích của hình cầu và hình lập phương bị chặn bằng một

CHƯƠNG 2 CHUỖI FOURIER

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

2.1.1 Định lý giá trị trung bình thứ hai

Nếu 𝑔 là hàm liên tục và 𝑓 là đơn điệu trên 𝑎, 𝑏 , ∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 sao cho

Cho 𝑓: 𝑹 ⟶ 𝑪 là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π, khả tích trên – 𝜋, 𝜋

Chuỗi Fourier của 𝑓 là chuỗi :

Sự hội tụ của chuỗi (2.1) được Dirichlet xem xét năm 1892 Ông đã

chứng minh rằng chuỗi hội tụ tới 𝑓(𝑥 + 0) + 𝑓(𝑥 − 0) 2 với mọi hàm liên

tục và đơn điệu trên mỗi đoạn Điều này sau đó đã được thay thế bởi các kết

quả của Dini và Jordan Để chứng minh các kết quả này ta xem xét kết quả

đầu tiên của Riemann

𝜋𝑗

𝜋

−𝜋

)𝑒−𝑖𝑗𝑡𝑑𝑡

Với 1 hàm liên tục 𝑓 ta suy ra rằng lim 𝑓 (𝑗) = 0 Với 1 hàm 𝑓 tổng

quát ta lấy xấp xỉ chuẩn của nó trong ℒ1 bởi một hàm liên tục.□

Để nghiên cứu sự hội tụ điểm ta xét dãy tổng riêng:

𝑆𝑛 𝑓, 𝑥 = 𝑓 𝑗 𝑒𝑖𝑗𝑥

𝑛

𝑗 =−𝑛

Từ đó, mỗi hệ số có một biểu thức tích phân, ta được tổng riêng của

chuỗi Fourier có dạng tích phân:

Vì vậy, 𝑓 ⟼ 𝑆𝑛 𝑓, 𝑥 là dạng tuyến tính liên tục xác định trên

ℒ1 −𝜋, 𝜋 Hàm 𝐷𝑛 tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋, với tích phân bằng 1, nhưng

||𝐷𝑛||1 và ||𝐷𝑛||∞ không bị chặn đều

Với biểu thức tích phân của tổng riêng ta có thể thu được hai điều kiện

cơ bản cho sự hội tụ điểm

Định lý 2.2 (Dấu hiệu Dini)

Nếu 𝑓 ∈ ℒ1[−𝜋, 𝜋] và

Định lý 2.3 (Dấu hiệu Jonrdan)

Nếu 𝑓 ∈ 𝓛1[−𝜋, 𝜋] là hàm biến thiên bị chặn trên một khoảng mở

chứa 𝑥 thì chuỗi Fourier tại 𝑥 hội tụ tới (𝑓 𝑥 + 0 + 𝑓(𝑥 − 0)) 2

Để không đánh mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng 𝑥 = 0 và cũng

có thể giả sử rằng 𝑓 tăng trên một lân cận của 0 Ta phải chứng minh:

lim

𝑛

12𝜋 𝐷𝑛 𝑡 (𝑓(𝑡)

𝜋

0

= 𝑓(0+) 2

Cuối cùng ta giả sử rằng 𝑓 0 + = 0

Chọn 𝛿 > 0 sao cho 0 ≤ 𝑓(𝑡) < 𝜀 với mọi 0 < 𝑡 < 𝛿 Ta phân tích tích phân

thành hai phần, một phần trên 0, 𝛿 và một phần trên 𝛿, 𝜋 Ta áp dụng định

lý giá trị trung bình thứ hai cho tích phân thứ nhất, ta được

Tích phân thứ 2 hội tụ tới 0 theo bổ đề Riemann-Lebesgue và tích phân

thứ nhất nhỏ hơn 𝐶𝜀 theo tính chất của hạt nhân Dirichlet mà ta đã chú ý □

2.4 Chuỗi Fourier của các hàm liên tục

Các điều khiện hội tụ mà ta đã chứng minh cho thấy chuỗi Fourier của

một hàm khả vi hội tụ điểm đến hàm đó Điều này không đúng với các hàm

liên tục Du Bois Reymond đã xây dựng một hàm liên tục mà chuỗi Fourier

của nó phân kỳ tại 1 điểm

Ta công nhận kết quả:

𝑇𝑛 = 𝐷𝑛 1 = 4

𝜋2log 𝑛 + 𝑂 1 Các số 𝐿𝑛 = 𝐷𝑛 1 được gọi là hằng số Lebesgue

Hệ quả 2.4 Nếu 𝑓 ∈ ℒ∞ −𝜋, 𝜋 thì 𝑆𝑛(𝑓, 𝑥) ≤ 𝜋42log 𝑛 + 𝐶 𝑓 ∞

và có trị tuyệt đối không đổi 0 < 𝐶 < +∞ sao cho 𝜑𝑛 ∞ ≤ 𝐶 Định lý này

giữ một vai trò trong định lý của Carleson

Khi này ta có:

Giả sử rằng 𝜆𝑛 là một dãy tăng các số thực dương sao cho với mọi

Theo giả thiết của ta về các hàm trên ℒ2 −𝜋, 𝜋 , ta suy ra rằng đặc tính

của 𝑆𝑛(𝑓, 𝑥) trùng với những đặc tính của chuỗi

Nhưng khi là một chuỗi trên ℒ2 −𝜋, 𝜋 , ta có 𝑕𝑘 𝑘 2 < +∞ Do đó, chuỗi

hội tụ hầu khắp nơi □

2.5 Nguyên lý về tính liên tục Banach

Trước hết ta cần biết một số kiến thức về không gian các hàm đo được

𝓛𝟎 −𝝅, 𝝅 Đó là không gian metric với khoảng cách

Đây là một không gian metric đủ Dãy (𝑓𝑛) hội tụ tới 0 khi và chỉ khi

nó hội tụ tới 0 theo độ đo Điều đó nói rằng với ∀𝜀 > 0 ta có lim𝑛𝔪 𝑓𝑛 >

𝜀 = 0

Cho dãy (𝑇𝑛) của toán tử tuyến tính:

𝑇𝑛: ℒ𝑝 −𝜋, 𝜋 ⟶ ℒ0 −𝜋, 𝜋 Nếu 𝑇𝑛𝑓 𝑥 hội tụ hầu khắp nơi, thì toán tử cực đại 𝑇∗𝑓 𝑥 = sup𝑛 𝑇𝑛𝑓 𝑥

bị chặn hầu khắp nơi

Định lý 2.7 (Nguyên lý Banach về tính liên tục)

Ta giả sử rằng với mỗi hàm 𝑓 ∈ ℒ𝑝 −𝜋, 𝜋 , hàm 𝑇∗𝑓 𝑥 < +∞ hầu

khắp nơi trên – 𝜋, 𝜋 , thì tồn tại một hàm 𝐶(𝛼) giảm xác định với mọi 𝛼 > 0,

sao cho lim𝛼⟶∞𝐶(𝛼) = 0 và sao cho

𝔪 𝑇∗𝑓 𝑥 > 𝛼 𝑓 𝑝 ≤ 𝐶 𝛼 , với mọi 𝑓 ∈ ℒ𝑝 −𝜋, 𝜋

Chứng minh:

Cố định 𝜀 > 0 Đặt 𝐹𝑛 = 𝑓|𝑓 ∈ ℒ𝑝 −𝜋, 𝜋 sao cho 𝔪 𝑇∗𝑓 𝑥 > 𝑛 ≤ 𝜀

Tâp 𝐹𝑛 là tập đóng trong ℒ𝑝 −𝜋, 𝜋 Để chứng minh điều này xét

𝑓 ∉ 𝐹𝑛 thì

Theo định lý Baire về phạm trù, ∃𝑛 ∈ 𝑵 sao cho 𝐹𝑛 có phần trong khác

rỗng nghĩa là 𝑓0 ∈ 𝐹𝑛 và 𝛿 > 0 sao cho 𝑓 = 𝑓0 + 𝛿𝑔 với 𝑔 𝑝 = 1

Vì vậy,

𝔪 𝑇∗ 𝑓0 + 𝛿𝑔 > 𝑛 ≤ 𝜀, thì

𝐹𝑛 𝑡 = 1

𝑛 + 1

sin 𝑛 + 1 𝑡 2sin 𝑡 2

2

(2.4)

𝐹𝑛 là hàm dương, 𝐹𝑛 1 = 1, và với mỗi 𝛿 > 0 ta có với 𝛿 < 𝑡 ≤ 𝜋 thì

lim𝑛𝐹𝑛(t)=0

Tổng quát hơn ta định nghĩa một hạt nhân khả tổng là một dãy 𝑘𝑛 của

các hàm tuần hoàn sao cho

Định lý 2.8 (Định lý thác triển hạt nhân khả tổng của Fejér)

Giả sử 𝑘𝑛 là một hạt nhân khả tổng Nếu 𝑓: 𝑹 ⟶ 𝑪 là liên tục và tuần

hoàn với chu kỳ 2𝜋 thì 𝑘𝑛 ∗ 𝑓(𝑥) hội tụ đều tới 𝑓(𝑥) Hơn nữa với mọi

𝑘𝑛 ∗ 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 1

2𝜋 𝑓 𝑥 − 𝑡 − 𝑓 𝑥 𝑘𝑛 𝑡 𝑑𝑡.

𝜋

−𝜋

Cho 𝜀 > 0 ta phân tích tích phân thành 2 phần Phần thứ nhất trên

𝑡 < 𝛿 và phần còn lại trên 𝛿 < 𝑡 < 𝜋 Theo tính liên tục của 𝑓 và tính

chất (ii) thì phần thứ nhất nhỏ,theo tính chất (iii) thì phần thứ hai nhỏ Cần

chú ý rằng phép chứng minh tương tự cho ta thấy sự hội tụ tại mỗi điểm liên

tục của 𝑓 cho một hàm 𝑓 đo được bị chặn

Do 𝐹𝑛 là hạt nhân khả tổng và 𝐹𝑛 ∗ 𝑓 là đa thức lượng giác với mọi 𝑓

nên suy ra những đa thức này trù mật trên 𝐶(𝑻)

Bây giờ với mỗi 𝑓 ∈ ℒ𝑝 −𝜋, 𝜋 ta có 𝑡 ⟼ 𝐺 𝑡 = 𝑓 +𝑡 − 𝑓( ) 𝑝

là một hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 Ta có

Do đó nếu 𝑓 liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋, 𝜎𝑛(𝑓, 𝑥) hội đều tới 𝑓

và nếu 𝑓 ∈ ℒ𝑝 −𝜋, 𝜋 thì nó hội tụ đều tới 𝑓 trên ℒ𝑝 −𝜋, 𝜋 Một ví dụ quan

trọng khác đó là hạt nhân Poisson Hạt nhân này xuất hiện khi ta xem xét

chuỗi Fourier của 𝑓 như là các giá trị biên của một hàm phức hợp xác định

trên một hình cầu đơn vị mở Nếu 𝑓 ∈ ℒ𝑝 −𝜋, 𝜋 thì chuỗi

𝑓 𝑗 𝑧𝑗 +∞

𝑗 =0

+ 𝑓 −𝑗 𝑧 𝑗 +∞

𝑗 =1

hội tụ trên hình cầu đơn vị mở và xác định một hàm phức hợp điều hòa 𝑢(𝑧)

Bây giờ, ta xét 𝑓 ∈ ℒ1 −𝜋, 𝜋 và nói về sự hội tụ hầu khắp nơi của

𝐹𝑛 ∗ 𝑓(𝑥) hoặc 𝑃𝑟 ∗ 𝑓(𝑥) tới 𝑓 𝑥 Hiển nhiên tồn tại dãy con bất kỳ 𝐹𝑛𝑘 ∗ 𝑓

và 𝑃𝑟𝑘 ∗ 𝑓 hội tụ hầu khắp nơi tới 𝑓

𝑢 𝑟𝑒𝑖𝜃 = 𝑃𝑟 ∗ 𝑓(𝜃) là 1 hàm điều hoàn trên hình cầu đơn vị Điều mà

ta muốn là 1 định lý của sự hội tụ xuyên tâm của 1 hàm điều hòa tới

lim𝑟⟶1−𝑢(𝑟𝑒𝑖𝜃) Định lý đầu tiên thuộc dạng này được biết đến bởi Fatou

năm 1905

Định lý 2.10 (Fatou)

Giả sử 𝑓 ∈ ℒ1 −𝜋, 𝜋 Với hầu hết các điểm 𝑥 ∈ −𝜋, 𝜋 ta có :

bị chặn Điều này được suy ra từ bất đẳng thức tổng quát về hàm cực đại

Hardy - Littlewood Định nghĩa 𝑓𝑜: 𝑹 ⟶ 𝑪 là 0 với 𝑥 > 2𝜋 và bằng mở

rộng tuần hoàn của 𝑓 khi 𝑥 < 2𝜋 Cũng đặt 𝑃𝑟𝑜: 𝑹 ⟶ 𝑪 là 𝑃𝑟𝑜 𝜃 bằng 0 khi