Chuỗi fourier và biến đổi hilbert

Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội KHOA TOÁN ********** nguyễn thị nhâm chuỗi fourier biến đổi hilbert Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS.BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội - 2010 Nguyễn Thị Nhâm K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert LỜI CẢM ƠN Khóa luận hoàn thành tổ Giải Tích, khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Bùi Kiên Cường - người tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo tổ Giải Tích, Khoa Toán, Trường ĐHSP Hà Nội gia đình bạn bè nhiệt tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2010 Sinh Viên Nguyễn Thị Nhâm Nguyễn Thị Nhâm K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nỗ lực thân với hướng dẫn tận tình tiến sĩ Bùi Kiên Cường Vì em xin cam đoan nội dung khóa luận không trùng lặp với công trình nghiên cứu tác giả trước công bố Sinh Viên Nguyễn Thị Nhâm Nguyễn Thị Nhâm K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert MỤC LỤC Mục lục……………………………………………………………………….3 Mở Đầu Chƣơng Hàm cực đại Hardy-Littelewood 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị: 1.2 Hàm cực đại Hardy-Littelewood 1.3 Bất đẳng thức yếu 1.3 Tính khả vi 11 1.5 Nội suy 13 1.6 Bất đẳng thức tổng quát 16 Chƣơng Chuỗi Fourier Error! Bookmark not defined 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 18 2.2 Chuỗi Fourier 18 2.3 Hạt nhân Dirichlet 19 2.4 Chuỗi Fourier hàm liên tục 22 2.5 Nguyên lý tính liên tục Banach 26 2.6 Tính khả tổng 28 2.7 Hàm liên hợp 33 2.8 Biến đổi Hilbert R 36 2.9 Giả thuyết Luzin 39 Chƣơng Biến đổi Hilbert Error! Bookmark not defined 3.1 Toán tử cực đại 41 3.2 Toán tử chặt cụt ℒ (𝑹) 41 Nguyễn Thị Nhâm K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert 3.3 Toán tử chặt cụt ℒ (𝑹) 43 3.4 Nội suy 48 3.5 Biến đổi Hilbert 49 3.6 Biến đổi Hilbert cực đại 52 Kết Luận Error! Bookmark not defined Tài Liệu Tham Khảo Error! Bookmark not defined Nguyễn Thị Nhâm K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert MỞ ĐẦU Trong toán học, giải tích chiếm vị trí quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích không áp dụng lĩnh vực khác toán học mà áp dụng ngành khoa học khác vật lý, hóa học, thiên văn học, … Trong giải tích, kết chuỗi Fourier biến đổi Hilbert ý nghĩa mặt lý thuyết mà có ứng dụng lớn thực tế, đặc biệt việc giải toán vật lý Chính khóa luận em chọn đề tài “Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert” Việc nghiên cứu đề tài giúp em có hội tìm hiểu sâu nguồn gốc chuỗi Fourier tính chất biến đổi Hilbert Nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Hàm cực đại Hardy-Littelewood Chương 2: Chuỗi Fourier Chương 3: Biến đổi Hilbert Khóa luận hoàn thành dựa kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá, … Đối với vấn đề lựa chọn cho khóa luận này, em hi vọng giúp cho việc nghiên cứu đối tượng khác toán học vật lý Nguyễn Thị Nhâm K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert CHƢƠNG HÀM CỰC ĐẠI HARDY – LITTELEWOOD 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị: 1.1.1 Một số không gian hàm Cho không gian ℒ 𝑝 , < 𝑝 ≤ ∞ Định nghĩa: Cho 𝑝 ∈ 𝑹 với < 𝑝 ≤ ∞ Ta định nghĩa: ℒ 𝑝 𝛺 = 𝑓: 𝛺 → 𝑹 𝑪 ; 𝑓 đo 𝑓 𝑝 khả tích , ℒ ∞ 𝜴 = 𝑓: 𝛺 → 𝑹 𝑪 ; 𝑓 đo ∃𝐶, 𝑓(𝑥) ≤ 𝐶 hầu hết Và kí hiệu 𝑝 𝑓 𝑝 𝑓(𝑥) 𝑝 𝑑𝑥 = , 𝛺 𝑓 ∞ 𝐻𝐵 = inf 𝐶; 𝑓 𝑥 ≤ 𝐶 hầu hết Nhận xét: Nếu 𝑓 ∈ ℒ ∞ (𝛺) 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓 ∞ hầu hết 𝑥 ∈ 𝛺 𝑛 Hàm 𝑓 xác định 𝑹 , 𝑓 hàm khả tích địa phương khả tích tập bị chặn 𝑹𝑛 1.1.2 Định lý Fubini Giả sử 𝑓𝑛 𝑛≥1 dãy hàm thực không giảm đoạn 𝑎, 𝑏 cho: ∞ 𝑛=1 𝑓𝑛 𝑥 ≔ 𝑓(𝑥) tồn với ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 Khi 𝑓 khả vi hầu hết ′ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 với hầu hết 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 : 𝑓 ′ 𝑥 = ∞ 𝑛=1 𝑓𝑛 (𝑥) 1.2 Hàm cực đại Hardy-Littelewood Nếu 𝑓 ∈ ℒloc (𝑹𝑛 ) hàm Nguyễn Thị Nhâm K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert ℳ𝑓 𝑥 = sup 𝑄 𝑄 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, 𝑄 gọi hàm cực đại Hardy - Littelewood Trong 𝑄 ký hiệu hình lập phương tâm 𝑥, cạnh 𝑕, 𝑄 thể tích hình lập phương Trong trường hợp chiều ta có 𝑄 = 𝑥 − 𝑕, 𝑥 + 𝑕 Khi cho 𝑓 ∈ ℒloc (𝑹) thì: ℳ𝑓 𝑥 = sup 𝑕 >0 𝑕 𝑥+𝑕 𝑓 𝑡 𝑑𝑡, 𝑥−𝑕 1.3 Bất đẳng thức yếu Trước cho hàm khả tích địa phương 𝑓, hàm ℳ𝑓: 𝑅𝑛 → 0, +∞ đo Thực số thực dương 𝛼 tập ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 tập mở, cho 𝑥 ∈ 𝑹𝑛 với ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 tồn hình lập phương 𝑄 tâm 𝑥 cho 𝑄 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 > 𝛼 𝑄 Ta phải ý hàm 𝑦→ 𝑄 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑦 +𝑄 liên tục Nguyễn Thị Nhâm K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Nếu 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹𝑛 ) với < 𝑝 < +∞, ta ℳ𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹𝑛 ) Tuy nhiên với p=1 điều không Những ta nói 𝑓 ∈ ℒ -yếu, nghĩa là: 𝔪 ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 ≤ 𝑐𝑛 𝑓 𝛼 Bổ đề 1.1 ( Bổ đề phủ) Giả sử 𝑹𝑑 cho với chuẩn giả sử 𝑐𝑑 = 3𝑑 Nếu 𝐴 ⊂ 𝑹𝑑 tập hợp khác rỗng có độ đo hữu hạn, 𝒰 phủ 𝐴 gồm hình cầu mở tồn họ hữu hạn hình cầu rời 𝐵1 , … , 𝐵𝑛 𝒰 cho 𝑛 𝔪 𝐵𝑗 ≥ 𝔪∗ 𝐴 𝑐𝑑 𝑗 =1 Chứng minh: Chúng ta giả thiết 𝐴 đo , ngược lại tồn tập mở 𝐺 ⊃ 𝐴 với 𝔪(𝐺) hữu hạn 𝑈 phủ 𝐺 Bây giả sử 𝐴 đo tồn tập compact 𝐾 ⊂ 𝐴 với 𝔪(𝐾) ≥ 𝔪(𝐴) Ta phải chọn phủ hữu hạn 𝐾 Gọi hình cầu 𝑈1 , 𝑈2 , … , 𝑈𝑚 hình cầu xếp theo thứ tự bán kính giảm dần chọn hình cầu 𝐵𝑗 theo cách sau Trước hết 𝐵1 = 𝑈1 hình cầu lớn nhất, sau 𝐵2 hình cầu dãy 𝑈𝑗 khác với 𝐵1 Sau 𝐵3 hình cầu dãy 𝑈𝑗 khác với 𝐵1 ∪ 𝐵2 Tiếp tục trình này, đến hình cầu dãy 𝑈𝑗 có giao với 𝐵𝑗 khác rỗng Nguyễn Thị Nhâm K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Bây ta cho 𝐾 ⊂ 𝑛 𝑗 =1 3𝐵𝑗 mà ta biết 𝐾 ⊂ 𝑛 𝑗 =1 𝑈𝑗 Do với 𝐾, ∃𝑗 cho 𝑥 ∈ 𝑈𝑗 Nếu 𝑈𝑗 = 𝐵𝑘 đó, rõ ràng ta có 𝑥 ∈ 𝐵𝑘 ⊂ 3𝐵𝑘 Ngược lại 𝑈𝑗 giao với 𝐵𝑘 = 𝑈𝑠 Chọn 𝑘 nhỏ phải có 𝑠 < 𝑗, không ta phải chọn 𝑈𝑗 thay cho 𝐵𝑘 trình Do bán kính hình cầu 𝐵 𝑘 lớn bán kính hình cầu 𝑈𝑗 Vì 𝑈𝑗 ⊂ 3𝐵𝑘 Do đó: 𝔪(𝐴) ≤ 𝔪(𝐾) ≤ 𝑛 3𝑑 𝔪 𝐵𝑗 , 𝑗 =1 Và xây dựng có nghĩa hình cầu rời nhau.□ Bổ đề 1.2 ( Hardy Littlewood ) Nếu 𝑓 ∈ ℒ (𝑹𝑑 ) với 𝛼 > 0, ℳ𝑓 thỏa mãn bất đẳng thức yếu 𝔪 𝑥 ∈ 𝑹𝑑 |ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 ≤ 𝑐𝑑 𝑓 𝛼 Chứng minh: Đặt 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑹𝑑 |ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼 𝐴 tập mở, ta chưa biết có độ đo hữu hạn Vì ta xét 𝐴𝑛 = 𝐴 ∩ 𝐵𝑛 , 𝐵𝑛 hình cầu tâm 𝑂 bán kính 𝑛 Với 𝑥 ∈ 𝐴𝑛 ta có ℳ𝑓 𝑥 > 𝛼; tồn hình lập phương 𝑄 mở có tâm 𝑥 cho 𝑄 Nguyễn Thị Nhâm 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 > 𝛼 (1.2) 𝑄 10 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Mệnh đề 3.3 Với ∀𝑎 ∈ 𝑹 𝜀 > tồn hàm chẵn 𝜓: 𝑹 → 0, +∞) cho hàm giảm 0, +∞), 𝐾𝜀 𝑡 + 𝑎 − 𝐾𝜀 (𝑡) 𝑡 > 𝑎 ≤ 𝜓(𝑥) với 𝑡 ≥ 𝑥 , Và tích phân bị chặn số tuyệt đối ∫ 𝜓 𝑡 𝑑𝑡 < 𝐶 Chứng minh: Ta có 𝐾𝜀 𝑡 + 𝑎 − 𝐾𝜀 (𝑡) 𝑡 > 𝑎 ≤ 𝐾 𝑡 + 𝑎 − 𝐾(𝑡) 𝑡 + 𝑎 > 𝜀 𝑡 > 𝑎 + 𝐾(𝑡) 𝑡+𝑎 >𝜀 − 𝑡 >𝜀 𝑡 >2 𝑎 Nghĩa với 𝜀 < 𝑎 ≤ 𝑎 𝑡 − 𝑎 𝑡 𝑡 >2𝑎 + 2𝑎 ≤ 𝑡 ≤4𝑎 𝑡 Và với 𝜀 ≥ 𝑎 ≤ 𝑡 𝑎 𝑡 − 𝑎 𝑡 >2𝑎 + 𝜀≤ 𝑡 ≤ 𝜀 𝑡 3 Giờ ta đặt 𝜓1 𝑎, 𝑡 = 𝑎 𝑡 2𝑎 𝑡 𝜓2 𝜀, 𝑡 = Nguyễn Thị Nhâm 𝑡 − 𝑎 −1 2𝜀 𝑡 > 𝑎 , 𝑡 ≤ 𝑎 2𝜀 ≤ 𝑡 ≤ 4𝜀 , 𝑡 ≤ 2𝜀 3, 𝑡 > 4𝜀 47 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Thì ta lấy lấy 𝜓 𝑡 = 𝜓1 𝑎, 𝑡 + 𝜓2 𝑎 , 𝑡 𝜀 < 𝑎 𝜓 𝑡 = 𝜓1 𝑎, 𝑡 + 𝜓2 𝜀, 𝑡 𝜀 ≥ 𝑎 Rõ ràng hàm thỏa mãn tất điều kiện.□ 3.4 Nội suy Giả sử toán tử tuyến tính xác định khoảng hàm đo chứa 𝓛𝒑𝟎 (𝝁) 𝓛𝒑𝟏 (𝝁) với 𝟏 ≤ 𝒑𝟏 < 𝒑𝟎 ≤ +∞ Thì 𝑻 xác định 𝒑 ∈ 𝒑𝟏 , 𝒑𝟎 Điều ta phân tích hàm 𝒇 ∈ 𝓛𝒑 (𝝁): 𝒇 = 𝒇𝟎 + 𝒇𝟏 Trong đó, với 𝐴 = 𝑡 ∈ 𝑋: 𝑓(𝑡) < ,Ta xác định 𝑓0 = 𝑓𝜒𝐴 𝑓1 = 𝑓 − 𝑓0 Thì 𝑓0 ≤ 𝑓0 ≤ 𝑓 , 𝑓0 ∈ ℒ ∞ (𝜇) 𝑓0 ∈ ℒ 𝑝 (𝜇) Điều kéo theo 𝑓0 ∈ ℒ 𝑝 (𝜇) Một cách tương tự 𝑓1 < 𝑓 𝑓1 ≤ 𝑓 𝑝 , 𝑓1 ∈ ℒ 𝑝 (𝜇) 𝑓1 ∈ ℒ (𝜇), thuộc trung gian ℒ 𝑝 (𝜇) Sau đó, rõ ràng 𝑇 𝑓 = 𝑇 𝑓0 + 𝑇(𝑓1 ) xác định Mệnh đề 3.4 Với < 𝑝 < +∞ toán tử ℋ𝜀 : ℒ 𝑝 (𝑹) → ℒ 𝑝 (𝑹) liên tục ℋ𝜀 𝑝 ≤ 𝐶𝑝2 𝑝−1 Chứng minh: Ta chứng minh ℋ𝜀 kiểu yếu (1,1) kiểu mạnh (2,2) Do đó, áp dụng định lý Marcinkiewicz với < 𝑝 ≤ ta ℋ𝜀 𝑓 𝑝 ≤ 𝐶𝑝 𝑓 𝑝 − (2 − 𝑝) 𝑝 Các giá trị 𝑝 > liên hợp với 𝑝′ < Và dễ dàng thấy ℋ𝜀 𝑝 = ℋ𝜀 𝑝′ Nguyễn Thị Nhâm ′ Từ định lý Fubini suy 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 𝑔 ∈ ℒ 𝑝 ta có 48 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp 𝑹 Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥−𝑡 >𝜀 𝑥 − 𝑡 𝑹 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑥−𝑡 >𝜀 𝑥 − 𝑡 Điều có nghĩa 𝑝 − > ℋ𝜀 𝑝 ≤ 𝐶𝑝2 (𝑝 − 1) (Điều với < 𝑝 < cận viết dạng đối xứng 𝐶𝑝𝑝′ ) Ta chứng minh chuẩn ℋ𝜀 𝑝 bị chặn với 𝑝 − ≤ điều thực cách áp dụng lần định lý phép nội suy 𝑝1 = 𝑝0 = 4.□ 3.5 Biến đổi Hilbert Giờ ta cần chứng minh với 𝟏 < 𝑝 < +∞, có toán tử bị chặn 𝓗: 𝓛𝒑 (𝑹) → 𝓛𝒑 (𝑹) Ta chứng minh 𝟏 < 𝑝 < +∞ 𝒇 ∈ 𝓛𝒑 (𝑹), tồn giới hạn 𝐥𝐢𝐦𝜺→𝟎+ 𝓗𝜺 𝒇 (được lấy không gian 𝓛𝒑 (𝑹)) Trong trường hợp 𝑝 = 1, ℋ𝜀 𝑓 thuộc ℒ -yếu ta phải thay đổi lập luận Ta cần tập hợp trù mật giới hạn tồn Mệnh đề 3.5 Giả sử 𝜑 hàm khả vi vô hạn có giá compact Với < 𝑝 < +∞ giới hạn ℋ𝜑 = lim+ ℋ𝜀 𝜑 𝜀→0 tồn ℒ 𝑝 𝑹 Hơn với 𝑥 tồn giới hạn ℋ𝜑(𝑥) = lim+ ℋ𝜀 𝜑(𝑥) 𝜀→0 Chứng minh: Nguyễn Thị Nhâm 49 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Chú ý với < 𝛿 < 𝜀 ℋ𝜀 𝜑(𝑥) − ℋ𝛿 𝜑 = 𝜑 𝑥 − 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑡 𝛿 < 𝑡 𝑁 𝑍𝑘 có độ đo với 𝑥 ∉ 𝑍, tồn 𝑁 cho với Nguyễn Thị Nhâm 50 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert 𝑛 > 𝑁, 𝑔𝑛+1 (𝑥) − 𝑔𝑛 (𝑥) ≤ 2−𝑛 Suy dãy (𝑔𝑛 ) hội tụ hầu khắp nơi tới hàm 𝑓 đo Việc chứng minh lim𝑛 𝑓𝑛 − 𝑓 1,∞ = thuận lợi để xem xét với dãy hữu hạn hàm 𝑕𝑗 ℒ 1,∞ (𝑹) ta có: 𝑁 𝑁 𝑕𝑗 𝑗 =1 Do đó, ta có 𝑔𝑘+1 − 𝑔𝑘 1,∞ 2𝑗 𝑕𝑗 ≤ 1,∞ 𝑗 =1 1,∞ < 41−𝑛 Nghĩa là, 𝔪 𝐴𝑘 (𝑥) = 𝔪 𝑔𝑛+𝑘 − 𝑔𝑛 > 𝛼 ≤ Từ 𝑓 − 𝑔𝑛 > 𝛼 ⊂ 𝑍 ∪ 𝑁 ∞ 𝑘=𝑁 𝐴𝑘 (𝛼), 4𝑛 −1 𝛼 dễ dàng suy 𝔪 𝑓 − 𝑔𝑛 > 𝛼 ≤ 41−𝑛 𝛼 −1 Do đó, 𝑓 − 𝑔𝑛 1,∞ → 0.□ Bây giờ, ta xác định biến đổi Hilbert ℋ𝑓 với 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹),1 < 𝑝 < +∞, ℋ𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹) Cũng có ℋ: ℒ 𝑝 (𝑹) → ℒ 𝑝 (𝑹) toán tử tuyến tử tuyến tính bị chặn ℋ𝑓 𝑝 𝑝2 ≤𝐶 𝑓 𝑝−1 𝑝, < 𝑝 < +∞ Trong trường hợp 𝑝 = toán tử tuyến tính ℋ xác định lấy giá trị ℒ 1,∞ Trong trường hợp đặc biệt với 𝑓 ∈ ℒ (𝑹), ℋ𝑓 1,∞ ≤ 𝐶 𝑓 Điều suy từ định lý tương ứng Kolmogorov ℋ𝜀 từ việc với dãy (𝜀𝑛 ) ta có ℋ𝜀 𝑛 𝑓 hội tụ hầu khắp nơi tới ℋ𝑓 Nguyễn Thị Nhâm 51 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert 3.6 Biến đổi Hilbert cực đại Trong phép chứng minh định lý Carleson ta cần bất đẳng thức 𝓗 𝒇 𝒑 ≤ 𝐵𝑝 𝒇 𝒑 , với 𝒑 ≥ 𝟐 𝒇 ∈ 𝓛𝒑 (𝑹) ∗ ℋ ∗ 𝑓 𝑥 = sup ℋ𝜀 𝑓(𝑥) 𝜀>0 biến đổi Hilbert cực đại Kết nhận cho phép chứng minh thực hội tụ theo điểm ℋ𝑓 𝑥 = lim+ ℋε f x , hầu khắp nơi ε→0 Phép chứng minh mà ta đưa cho kết dựa biên sau Định lý 3.7 (Bất đẳng thức Cotlar ) Giả sử 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹), 1𝜀 Nguyễn Thị Nhâm 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎−𝑡 52 𝑹 𝑓2 (𝑡) 𝑑𝑡 = ℋ𝑓2 𝑎 , 𝑎−𝑡 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Trong 𝑓 = 𝑓1 + 𝑓2 𝑓2 𝑓 𝑡 − 𝑎 > 𝜀 2𝐽 = 𝑡: 𝑎 − 𝑡 ≤ 𝜀 Đẳng thức có ý nghĩa ta xác định ℋ toán tử từ ℒ 𝑝 (𝑹) vào ℒ 𝑝 (𝑹) Thực tế, 𝑓2 = khoảng 2𝐽, điểm 𝑥 khoảng 𝐽 = 𝑡: 𝑎 − 𝑡 ≤ 𝜀 , ta có ℋ𝜂 𝑓2 (𝑥) không phụ thuộc vào 𝜂 với 𝜂 < 𝜀 Do ℋ𝑓2 ℋ𝜂 𝑓2 𝐽 hàm liên tục khoảng Ta ước lượng dao động ℋ𝑓2 𝐽 ℋ𝑓2 𝑥 − ℋ𝑓2 (𝑎) ≤ 𝐾𝜂 𝑥 − 𝑡 − 𝐾𝜂 (𝑎 − 𝑡) 𝑓2 (𝑡) 𝑑𝑡 Bây ta nhớ lại tồn hàm 𝜓 𝑥 giảm với 𝑥 , tích phân bị chặn số tuyệt đối cho 𝐾𝜂 𝑥 − 𝑡 − 𝐾𝜂 𝑎 − 𝑡 𝑎−𝑡 >2 𝑥−𝑎 ≤𝜓 𝑎−𝑡 (theo mệnh đề 3.3) Do ta suy ra: ℋ𝑓2 𝑥 − ℋ𝑓2 (𝑎) ≤ 𝜓 𝑎 − 𝑡 𝑓2 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝐶ℳ𝑓2 𝑎 ≤ 𝐶ℳ𝑓 𝑎 , 𝑅 bất đẳng thức tổng quát thỏa mãn theo hàm cực đại Hardy Littlewood Tổng hợp kết ta có ℋ𝜀 𝑓(𝑎) ≤ 𝐶ℳ𝑓 𝑎 + ℋ𝑓2 (𝑥) , với 𝑥 ∈ 𝐽 Do ℋ𝜀 𝑓(𝑎) ≤ 𝐶ℳ𝑓 𝑎 + ℋ𝑓(𝑥) + ℋ𝑓1 𝑥 , Nguyễn Thị Nhâm 53 (3.2) K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Với hầu hết 𝑥 ∈ 𝐽 Những ta đạt tự lựa chọn 𝑥 ∈ 𝐽 Bây ta sử dụng lý luận xác suất để chứng minh có điểm ℋ𝑓 𝑥 ℋ𝑓1 𝑥 bị chặn Bằng định nghĩa hàm cực đại Hardy – Littlewood, 𝐽 ℋ𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ≤ ℳ ℋ𝑓 𝑎 𝐽 Ta có: 𝔪 𝑡 ∈ 𝐽: ℋ𝑓(𝑡) < 3ℳ ℋ𝑓 (𝑎) ≥ 𝐽 Với số hạng khác ta sử dụng bất đẳng thức yếu cho ℋ𝑓1 𝔪 𝑡 ∈ 𝐽: ℋ𝑓1 (𝑡) > 𝛼 ≤ 𝐶 𝑓1 𝛼 ≤ 2𝐶 ℳ𝑓(𝑎) 𝐽 𝛼 Do theo cách tương tự ta có 𝔪 𝑡 ∈ 𝐽: ℋ𝑓1 (𝑡) ≤ 6𝐶ℳ𝑓(𝑎) ≥ 𝐽 Giờ có điểm 𝑥 ∈ 𝐽 cho đồng thời xảy ℋ𝑓(𝑥) < 3ℳ ℋ𝑓 𝑎 , ℋ𝑓1 (𝑥) < 6𝐶ℳ𝑓 𝑎 Cuối ta tới ℋ𝜀 𝑓 𝑎 ≤ 𝐶ℳ𝑓 𝑎 + 3ℳ ℋ𝑓 + 6𝐶ℳ𝑓(𝑎) ≤ 𝐴(ℳ𝑓 𝑎 + ℳ(ℋ𝑓)(𝑎 ) Bây ta chứng minh cận chuẩn Từ 𝑝 > áp dụng kết biết hàm cực đại Hardy-Littlewood biến đổi Hilbert ta có: Nguyễn Thị Nhâm 54 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp ℋ ∗𝑓 Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert ≤ 𝐴 ℳ(ℋ𝑓) 𝑝 𝑝 + 𝐴 ℳ𝑓 𝑝 ≤ 𝐶𝑝 ℋ𝑓 𝑝−1 𝑝3 ≤𝐶 𝑓 (𝑝 − 1)2 𝑝 + 𝐶𝑝 𝑓 𝑝−1 𝑝 + 𝐶𝑝 𝑓 𝑝−1 𝑝 𝑝 Với 𝑝 > suy ℋ ∗𝑓 𝑝 ≤ 𝐶𝑝 𝑓 𝑝 □ Khi 𝑝 gần ta thu bất đẳng thức không tốt Ta cần đánh giá tốt để thu kết Sjolin Ta cho kết tương ứng 𝑝 = 1, điều cần đến phép chứng minh hội tụ điểm hầu khắp nơi ℋ𝜀 𝑓 𝑥 tới ℋ𝑓 𝑥 với 𝑓 ∈ ℒ (𝑹) Bài toán 𝑝 = thuộc bất đẳng thức Cotlar ℳ ℋ𝑓 hữu hạn điểm ℋ𝑓 ∉ ℒ (𝑹) Do ta điều chỉnh bất đẳng thức lấy ℳ ℋ𝑓 thay cho ℳ(ℋ𝑓) Định lý 3.8 (Điều chỉnh bất đẳng thức Cotlar) Giả sử 𝑓 ∈ ℒ (𝑹) ℋ ∗𝑓 𝑥 ≤ 𝐴 ℳ ℋ𝑓 𝑥 + ℳ𝑓 𝑥 Chứng minh: Chứng minh tương tự bất đẳng thức Cotlar, ta thu bất đẳng thức (3.2) Theo định nghĩa hàm cực đại Hardy- Littlewood, 𝐽 Nguyễn Thị Nhâm ℋ𝑓 𝑑𝔪 ≤ ℳ( ℋ𝑓 )(𝑎) 𝐽 55 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Dođó, 𝔪 𝑡 ∈ 𝐽: ℋ𝑓(𝑡) < 3ℳ ℋ𝑓 (𝑎) 2 ≥ 𝔪 𝐽 Phần lại phép chứng minh tương tự Ta được: có điểm 𝑥 thuộc 𝐽 đồng thời ta có: ℋ𝑓(𝑥) < 3ℳ ℋ𝑓 𝑎 ℋ𝑓1 𝑥 ≤ 6𝐶ℳ𝑓 𝑎 □ Bây ta chứng minh ℋ ∗ 𝑓 ∈ ℒ -yếu 𝑓 ∈ ℒ (𝑹) Thực tế 𝑇: ℒ 𝑹 → ℒ1,∞ 𝑹 , trường hợp tổng quát ℳ(𝑇𝑓) ∉ ℒ1,∞ (𝑹), Kolmogorov ý (xem mệnh đề sau) ℳ 𝑇𝑓 ℒ2,∞ (𝑹) ℳ( 𝑇𝑓 ) 2,∞ ≤ 2𝑐1 𝑇 𝑓 1 ∈ Đã cho điều chỉnh bất đẳng thức Cotlar ta chứng minh ℋ ∗ 𝑓 ∈ ℒ1,∞ (𝑹) với 𝑓 ∈ ℒ (𝑹) Thực tế ℳ ℋ𝑓 ∈ ℒ2,∞ (𝑹) cho ta: 𝔪 𝑡 ∈ 𝑹: ℳ( ℋ𝑓 ) >𝛼 ≤𝐶 𝑓 𝛼 Mệnh đề 3.9 (Kolmogorov) Giả sử 𝑇 toán tử cho với 𝑓 ∈ ℒ 𝑹 ta có 𝑇𝑓 1,∞ ≤ 𝑇 𝑓 Thì vớ imọi 𝛼 > 𝑓 ∈ ℒ (𝑹) 𝔪 𝑡 ∈ 𝑹: ℳ( 𝑇𝑓 ) >𝛼 ≤𝑐 𝑇 𝑓 𝛼 Chứng minh: `Với hàm đo 𝑔: 𝑹 → 𝑪 ta có: 𝑔 =𝑔 𝑔 ≤𝛼 +𝑔 𝑔 >𝛼 Nguyễn Thị Nhâm 56 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Do ℳ𝑔 > 2𝛼 ⊂ ℳ 𝑔 𝑔 > 𝛼 > 𝛼 theo bổ đề Hardy-Littlewood: 𝔪 ℳ𝑔 > 2𝛼 ≤ 𝑐1 𝛼 𝑔 𝑑𝔪 𝑔 >𝛼 Ta áp dụng bất đẳng thức với hàm ta, 𝔪 𝑡 ∈ 𝑹: ℳ 𝑇𝑓 2 > 4𝛼 ≤ 𝑐1 𝛼 𝑇𝑓 𝑑𝔪 𝑇𝑓 > 𝛼 Giờ ta làm theo đường truyền thống 𝑐1 𝛼 𝑇𝑓 𝑑𝔪 = 𝑇𝑓 > 𝛼 𝑐1 𝛼 +∞ 𝑡 −1 𝔪 𝑇𝑓 > 𝑡 𝑑𝑡, 𝛼 theo giả thiết 𝑇 ta 𝔪 𝑡 ∈ 𝑹: ℳ 𝑇𝑓 2 > 4𝛼 ≤ = 𝑐1 𝑇 𝑓 +∞ 𝛼 𝑐1 𝑇 𝑓 𝛼 𝑡 −3 𝑑𝑡 𝛼 □ Định lý 3.10 Với 𝑓 ∈ ℒ (𝑹) 𝛼 > 𝔪 𝑥 ∈ 𝑹: ℋ ∗ 𝑓 𝑥 > 𝛼 ≤ 𝐶 𝑓 , 𝛼 𝐶 số tuyệt đối Do với 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹) Nguyễn Thị Nhâm 57 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp ∗ ℋ 𝑓 Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert 𝑝 𝑝2 ≤𝐵 𝑓 𝑝−1 𝑝, < 𝑝 < +∞ (3.3) Chứng minh: Theo tiêu chuẩn bất đẳng thức Cotlar ℋ ∗ 𝑓 > 2𝛼 ⊂ ℳ ℋ𝑓 > 𝛼 𝐴 ∪ ℳ𝑓 > 𝛼 𝐴 Do đó, theo định lý trước áp dụng với ℋ bất đẳng thức yếu Bây ta biết có số 𝐶 cho ℋ𝑓 ≤𝐶 𝑓 Áp dụng định lý Marcinkiewicz ta thu ℋ ∗𝑓 𝑝 ≤ 𝐶 𝑓 𝑝−1 𝑝, < 𝑝 < Nhớ lại ta chứng minh ℋ ∗𝑓 𝑝 ≤ 𝐵𝑝 𝑓 𝑝, ≤ 𝑝 < +∞ Hai bất đẳng thức chứng minh (3.3).□ Định lý 3.11 ( Sự hội tụ điểm) Với 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 (𝑹) ≤ 𝑝 < +∞, ℋ𝑓 𝑥 = lim+ ℋ𝜀 𝑓 𝑥 , 𝜀→0 hầu khắp nơi Chứngminh: Phép chứng minh giống định lý phép lấy đạo hàm Đặt 𝛺𝑓 𝑥 = lim⁡sup ℋ𝜀 𝑓 𝑥 − lim⁡inf ℋ𝜀 𝑓(𝑥) + 𝜀→0 𝜀→0+ Nguyễn Thị Nhâm 58 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert Những ta phải chứng minh 𝛺𝑓 𝑥 , hầu khắp nơi Với hàm trơn giá compact 𝜑 dễ dàng 𝛺𝜑 𝑥 = với 𝑥 ∈ 𝑹 Ta biết 𝛺𝑓(𝑥) ≤ 2ℋ ∗ 𝑓(𝑥) với 𝑥 ∈ 𝑹 Kết hợp điều theo cách sau 𝔪 𝛺𝑓 > 𝛼 = 𝔪 𝛺 𝑓 − 𝜑 > 𝛼 ≤ 𝔪 ℋ ∗ 𝑓 − 𝜑 > 𝛼 Do theo kết ta chứng minh ℋ ∗ suy 𝐶 𝑓−𝜑 𝔪 𝛺𝑓 > 𝛼 ≤ 𝛼 𝑝 𝑝 Theo chiều hàm trơn ℒ 𝑝 𝑹 ta suy với 𝛼 > 0, 𝔪 𝛺𝑓 > 𝛼 = Do 𝛺𝑓 𝑥 = hầu khắp nơi ta muốn chứng minh.□ Nguyễn Thị Nhâm 59 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận “ Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert” Nội dung khóa luận đề cập đến là: 1) Hàm cực đại Hardy-Littelewood 2) Các kết chuỗi Fourier 3) Những tính chất biến đổi Hilbert cần đến phép chứng minh định lý Carleson Tuy nhiên điều kiện trình độ thời gian có hạn vấn đề thân nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến thầy cô giáo đóng góp bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 01 tháng 05 năm 2010 Sinh Viên Nguyễn Thị Nhâm Nguyễn Thị Nhâm 60 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier biến đổi Hilbert TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Đình Áng (2007), “Biến Đổi Tích Phân” NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Phụ Hy (2005), “Giải Tích Hàm”, NXB Khoa Học Kỹ Thuật [3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), “Tô Pô Đại Cương Độ Đo Và Tích Phân” Bộ Giáo Dục Đào Tạo [4] Juan Arias de Reyna (2002), Pointwise Convergence of Fourier Series, Springer, Germany Nguyễn Thị Nhâm 61 K32G - Toán [...]... [−𝜋, 𝜋] là hàm biến thiên bị chặn trên một khoảng mở chứa 𝑥 thì chuỗi Fourier tại 𝑥 hội tụ tới (𝑓 𝑥 + 0 + 𝑓(𝑥 − 0)) 2 Chứng minh: Phép chứng minh được dựa trên sự kiện ||𝐷𝑛 ||1 là không bị chặn và tích phân 𝛿 𝐷𝑛 𝑡 𝑑𝑡 0 bị chặn đều với 𝑛 và 𝛿 Nguyễn Thị Nhâm 21 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Để không đánh mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng 𝑥 = 0 và cũng có thể... ℒ 1 −𝜋, 𝜋 là 1 hàm tuần hoàn chu kỳ 2𝜋 và 𝑥 ∈ −𝜋, 𝜋 sao cho 𝜋 𝑓 𝑥+𝑡 −𝑓 𝑥−𝑡 0 𝑑𝑡 < +∞, 𝑡 thì chuỗi liên hợp hội tụ tại 𝑥 Chứng minh: Do 𝐷𝑛 (𝑡) là 1 hàm lẻ, 1 𝑆𝑛 𝑓, 𝑡 = 2𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 − 𝑡 − 𝑓 𝑥 + 𝑡 𝐷𝑛 𝑡 𝑑𝑡 0 Nên theo bổ đề Riemann - Lebesgue và biểu thức của 𝐷𝑛 𝑡 ta có điều phải chứng minh.□ 2.8 Biến đổi Hilbert trên R 2.8.1 Biến đổi Fourier Với 𝑓 ∈ ℒ 1 (𝑹) biến đổi Fourier được định nghĩa là Nguyễn Thị Nhâm... K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert +∞ 𝑎𝑗 𝑒 ị𝑡 (2.1) 𝑗 =−∞ trong đó hệ số Fourier 𝑎𝑗 được xác định bởi 1 𝑎𝑗 = 2𝜋 𝜋 𝑓(𝑡)𝑒 𝑖𝑗𝑡 𝑑𝑡 (2.2) −𝜋 Những hệ số này được ký hiệu là 𝑓 𝑗 = 𝑎𝑗 2.3 Hạt nhân Dirichlet Sự hội tụ của chuỗi (2.1) được Dirichlet xem xét năm 1892 Ông đã chứng minh rằng chuỗi hội tụ tới 𝑓(𝑥 + 0) + 𝑓(𝑥 − 0) 2 với mọi hàm liên tục và đơn điệu trên mỗi đoạn Điều... kỳ 2𝜋, với tích phân bằng 1, nhưng ||𝐷𝑛 ||1 và ||𝐷𝑛 ||∞ không bị chặn đều Với biểu thức tích phân của tổng riêng ta có thể thu được hai điều kiện cơ bản cho sự hội tụ điểm Định lý 2.2 (Dấu hiệu Dini) Nếu 𝑓 ∈ ℒ 1 [−𝜋, 𝜋] và Nguyễn Thị Nhâm 20 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert 𝜋 𝑓 𝑥 + 𝑡 + 𝑓 𝑥 − 𝑡 − 2𝑓 𝑥 0 𝑑𝑡 < +∞, 𝑡 thì chuỗi Fourier của 𝑓 tại điểm 𝑥 hội tụ tới 𝑓 𝑥 Chứng... < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑁 và 𝑕𝑗 > 0 và số tự nhiên 𝑁 phụ thuộc vào 𝑛 Khi này phép chứng minh trở lên đơn giản cho 𝜑𝑛 𝑥 = 𝑢𝑛 ( 𝑥 ) Theo định lý về sự hội tụ đơn điệu Nguyễn Thị Nhâm 16 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert 𝜑 ∗ 𝑓(𝑥) ≤ 𝜑 ∗ 𝑓 (𝑥) = lim 𝜑𝑛 ∗ 𝑓 𝑥 𝑛 Do đó 𝑁 𝜑𝑛 ∗ 𝑓 𝑥 = 𝑕𝑗 𝑗 =1 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 𝐵(𝑥,𝑡 𝑗 ) Ta có thể thay thế hình cầu 𝐵 𝑥, 𝑡𝑗 bằng hình lập phương tâm 𝑥 và cạnh 2𝑡𝑗 Tỉ... đều Toán tử ℛ liên quan tới hàm liên hợp điều hòa Xét một chuỗi lũy thừa 𝑎𝑛 + 𝑖𝑏𝑛 𝑧 𝑛 𝑛>0 Phần thực và phần ảo của 𝑧 = 𝑒 𝑖𝑡 là 𝑢= 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑡 − 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑡 ; 𝑣= 𝑛 >0 𝑎𝑛 sin 𝑛𝑡 + 𝑏𝑛 cos 𝑛𝑡 𝑛 >0 Ta nói rằng 𝑣 = 𝑢 là chuỗi liên hợp với 𝑢 Toán tử đi từ 𝑢 vào 𝑣 phải thỏa mãn: Nguyễn Thị Nhâm 34 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert ℋ cos 𝑛𝑡 = sin 𝑛𝑡; ℋ sin 𝑛𝑡 = − cos 𝑛𝑡 Điều này... và cạnh 2𝑡𝑗 Tỉ số giữa thể tích của hình cầu và hình lập phương bị chặn bằng một hằng số Do đó 𝑁 𝜑𝑛 ∗ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑕𝑗 𝔪 𝑄 𝑥𝑗 , 𝑡𝑗 ℳ𝑓 𝑥 ≤ 𝐶𝑑 𝜑 1 ℳ𝑓 𝑥 □ 𝑗 =1 Nguyễn Thị Nhâm 17 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert CHƢƠNG 2 CHUỖI FOURIER 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 2.1.1 Định lý giá trị trung bình thứ hai Nếu 𝑔 là hàm liên tục và 𝑓 là đơn điệu trên 𝑎, 𝑏 , ∃𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 sao cho... các hàm trên ℒ 2 −𝜋, 𝜋 , ta suy ra rằng đặc tính của 𝑆𝑛 (𝑓, 𝑥) trùng với những đặc tính của chuỗi ∞ 𝑘=1 1 1 − 𝑆 𝑔, 𝑥 = 𝜆𝑘 𝜆𝑘+1 𝑘 Nhưng khi là một chuỗi trên ℒ 2 −𝜋, 𝜋 , ta có ∞ 𝑕𝑘 𝑥 𝑘=1 𝑘 𝑕𝑘 2 < +∞ Do đó, chuỗi hội tụ hầu khắp nơi □ Nguyễn Thị Nhâm 25 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert 2.5 Nguyên lý về tính liên tục Banach Trước hết ta cần biết một số kiến thức về không... nhân khả tổng Nếu 𝑓: 𝑹 ⟶ 𝑪 là liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 thì 𝑘𝑛 ∗ 𝑓(𝑥) hội tụ đều tới 𝑓(𝑥) Hơn nữa với mọi 1 ≤ 𝑝 ≤ +∞ và 𝑓 ∈ ℒ 𝑝 −𝜋, 𝜋 ta có: lim 𝑛 ⟶+∞ 𝑘𝑛 ∗ 𝑓 − 𝑓 𝑝 = 0 Chứng minh: Trước hết giả sử 𝑓 liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 theo tính chất (i) của hạt nhân khả tổng Nguyễn Thị Nhâm 29 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert 1 𝑘𝑛 ∗ 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 = 2𝜋 𝜋 𝑓 𝑥 −... tích Nguyễn Thị Nhâm 14 K32G - Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuỗi Fourier và biến đổi Hilbert Mệnh đề 1.5 Với mỗi hàm 𝑓 ∈ ℒ 1 (𝑹𝑑 ) và 𝐵 ⊂ 𝑹𝑑 là 1 tập đo được thì 𝑓(𝑥) log + 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ℳ𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝔪 𝐵 + 2𝑐𝑑 𝑹𝑑 𝐵 Chứng minh: Giả sử 𝔪𝐵 là một độ đo và 𝔪𝐵 𝑀 = 𝔪 𝐵 ∩ 𝑀 Ta có +∞ ℳ𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐵 𝔪𝐵 ℳ𝑓 𝑥 > 𝑡 𝑑𝑡 0 Bây giờ ta có 2 bất đẳng thức: 𝔪𝐵 ℳ𝑓 𝑥 > 𝑡 ≤ 𝔪(𝐵) và bất đẳng thức yếu Các điểm của phép chứng minh này là ... Biến đổi Fourier Với