Chuỗi fourier và ứng dụng

Lời cam đoanTôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: "Chuỗi Fourier và ứngdụng" là công trình nghiên cứu của bản thân.. Chính vì vậy trong khóa luậntốt nghiệp em đã lựa chọn đề tài về chuỗ

Em xin trân trọng bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất VănNinh, thầy đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóaluận này.

Em cũng trân trọng cám ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và toàn thểcác bạn sinh viên trong khoa đã nhiệt tình góp ý giúp đỡ em trong suốtthời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành khóa luận

Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nênnội dung khóa luận này còn tồn tại nhiều thiếu sót Em kính mong nhậnđược sự phê bình góp ý của thầy cô cùng toàn thể các bạn để nội dungkhóa luận này trở nên hoàn thiện hơn

Em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viênLại Thị Thủy

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: "Chuỗi Fourier và ứngdụng" là công trình nghiên cứu của bản thân Những phần sử dụng tàiliệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu rõ trong phần tài liệu thamkhảo Các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực, nếusai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm và chịu mọi kỷ luật của khoa vànhà trường đề ra

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viênLại Thị Thủy

2

1 Lý do chọn đề tài.

Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến chúng ta đã được làmquen với khái niệm chuỗi Fourier của các hàm khả tích và xét sự hội tụcủa nó Đây là một lĩnh vực quan trọng của Toán học và có nhiều ứngdụng thiết thực trong Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật công nghệ, cho nên đãđược quan tâm nghiên cứu rất nhiều Các kết quả về lĩnh vực này vô cùngphong phú, đa dạng và những gì chúng ta biết trong giáo trình giải tíchnói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu Chính vì vậy trong khóa luậntốt nghiệp em đã lựa chọn đề tài về chuỗi Fourier và ứng dụng của nó đểtiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu về chuỗi Fourier

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và một số ứng dụng của chuỗiFourier

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về chuỗi Fourier

- Nghiên cứu một số ứng dụng của chuỗi Fourier

4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Chuỗi Fourier và ứng dụng

- Phạm vi: Chuỗi số, chuỗi hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu

6 Cấu trúc

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệpgồm ba chương:

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

- Chương 2: Chuỗi Fourier

- Chương 3: Ứng dụng của chuỗi Fourier

Lời cảm ơn 1

1.1 CHUỖI SỐ 8

1.1.1 Định nghĩa 8

1.1.2 Chuỗi số hội tụ 8

1.1.3 Phần dư của chuỗi hội tụ 9

1.1.4 Điều kiện để một chuỗi hội tụ 9

1.2 DÃY HÀM 10

1.2.1 Dãy hàm số 10

1.2.2 Sự hội tụ đều của dãy hàm 11

1.3 CHUỖI HÀM 11

1.3.1 Định nghĩa 11

1.3.2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm 12

1.3.3 Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm 12

1.3.4 Tính chất của tổng chuỗi hàm 13

1.4 KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TỔNG 14

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.4.2 Không gian L2[−π, π] 14

1.5 HỆ TRỰC GIAO, HỆ TRỰC CHUẨN 15

1.5.1 Vectơ trực giao, hệ trực giao 15

1.5.2 Hệ trực chuẩn 16

1.5.3 Hệ lượng giác 16

1.6 HÀM SỐ LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI 17

2 CHUỖI FOURIER 18 2.1 HỆ HÀM LƯỢNG GIÁC TRỰC GIAO 18

2.2 CHUỖI LƯỢNG GIÁC 19

2.3 CHUỖI FOURIER 20

2.3.1 Chuỗi Fourier 20

2.3.2 Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier (tổng Dirichlet) 21

2.4 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER 24

2.4.1 Điều kiện Dini 24

2.4.2 Điều kiện Lipschitz 28

2.4.3 Hàm liên tục từng khúc, hàm khả vi từng khúc 29 2.4.4 Nguyên lý địa phương 30

2.4.5 Định lý về sự hội tụ của chuỗi Fourier 31

2.5 MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI FOURIER 32 2.5.1 Định lý 2.6 32

2.5.2 Định lý 2.7 35

2.5.3 Định lý 2.8 35

2.5.4 Định lý 2.9 35

2.6 KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI FOURIER 39

2.6.1 Khai triển Fourier trong khoảng [−π, π]. 39

2.6.2 Khai triển một hàm không tuần hoàn trên

đoạn [−π, π] 41

2.6.3 Khai triển chẵn và khai triển lẻ của hàm f trên [−π, π] 42

2.6.4 Khai triển tuần hoàn trong đoạn [-l, l] bất kỳ 44 2.6.5 Khai triển một hàm tuần hoàn trên [a, b]. 44

2.6.6 Một số ví dụ 45

3 CÁC ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 52 3.1 Ứng dụng để tính tổng của một chuỗi số 52

3.2 Bài toán dây rung 53

3.3 Bài toán dao động tự do của dây rung 55

3.4 Dao động tự do của thanh 57

3.5 Dao động của màng hình chữ nhật 58

3.6 Một số ví dụ 60

– An được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1).

– Dãy {An} là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1)

• Nếu dãy {An} hội tụ và lim

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.2.2 Sự hội tụ đều của dãy hàm

• Giả sử un(x) là một dãy hàm xác định trên U ∈ R

• Dãy hàm số {un(x)}, ∀n = 1, 2, 3, được gọi là hội tụ đều tới hàm

u(x) trên tập U nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n sao cho

+∞

P

n=1

un(x) có tổng là S(x).Như vậy: S(x) =

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 21.3.2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm

uk(x) hội tụ đều đến tổng S(x) trên tập U, hay

∀ε > 0 cho trước đều ∃nε > 0 sao cho (∀n > nε), (∀x ∈ U) thì:

|Sn(x) − S(x)| < ε

1.3.3 Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm

• Định lý 1.4: (Điều kiện cần và đủ Cauchy)

un(x) hội tụ đều trên U

• Định lý 1.6: (Dấu hiệu Dirichlet)

Cho hay dãy hàm {an}, {bn} cùng xác định trên tập U

là dãy số đơn điệu và dãy hàm {bn(x)} hội tụ đều trên U đến 0.Khi đó chuỗi hàm

ii) Chuỗi hàm

+∞

P

n=1

un(x) hội tụ đều trên U đến tổng S(x)

Khi đó S là một hàm liên tục trên U

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trong L1[−π, π] ta đưa vào khoảng cách bằng công thức:

ρ(f, g) = ||f − g|| L1[−π, π] cùng với khoảng cách này tạo thành mộtkhông gian metric với quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g(x) hầu khắpnơi trên [−π, π]

Sự hội tụ theo nghĩa này của một dãy các hàm khả tổng được gọi là sựhội tụ trung bình

Định lý 1.10: Không gian C[−π, π] trù mật khắp nơi trong không gian

L1[−π, π]

1.4.2 Không gian L2[−π, π]

Định nghĩa:

Tập L2[−π, π] gồm tất cả các hàm có bình phương khả tổng trênđoạn [−π, π] tức là các hàm f đo được Lebesgue trên đoạn [−π, π] mà

π

R

−π

|f (x)|2dµ < +∞

Trong L2[−π, π] ta đưa vào một chuẩn bằng công thức :

với quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g(x) hầukhắp nơi trên đoạn [−π, π] L2[−π, π] cùng với chuẩn trên xác định mộtkhông gian định chuẩn.

Khoảng cách giữa hai phần tử f, g trong L2[−π, π] đươc định nghĩa:

L2[−π, π] cùng với khoảngcách này tạo thành một không gian metric với quy ước f = g khi và chỉkhi f (x) = g(x) hầu khắp nơi trên đoạn [−π, π]

Sự hội tụ trong L2[−π, π] của dãy các hàm khả tổng được gọi là sự hội

1.5.1 Vectơ trực giao, hệ trực giao

• Trong khôn gian Hilbert H, hai vectơ x, y được gọi là trực giao vớinhau nếu (x, y) = 0 Ký hiệu: x⊥y

• Hệ các vectơ {xn} được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ xn đôimột trực giao với nhau

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 21.5.2 Hệ trực chuẩn

• Một hệ {en}n≥1 các phần tử trong không gian Hilbert H được gọi làmột hệ trực chuẩn nếu (ei, ej) = δij tức là:

P

n≥1

|(x, en)|2 ≤ ||x||2

• Định nghĩa: Một hệ trực chuẩn (en)n≥1 được gọi là đầy đủ (hay cơ

số đầy đủ) nếu với mọi x trong H, ta có đẳng thức Parseval sau đây:

P

n≥1

|xn|2 ≤ ||x||

1.5.3 Hệ lượng giác

Trong không gian L2[−π, π], các hàm 1, cosnx, sinnx (n = 1, 2, 3, )

tạo thành một hệ trực giao đầy đủ gọi là hệ lượng giác

hệ hàm lượng giác trực giao trên [a, b].

• Xét hệ hàm lượng giác trên [−π, π]

1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, , cosnx, sinnx, (2.1)

• Ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng:

sinkx.cosnxdx = 0 với mọi k, n

Như vậy hệ hàm lượng giác (2.1) là hệ hàm lượng giác trực giao trên[−π, π] Hơn nữa nó là một hệ hàm lượng giác đầy đủ

18

2.2 CHUỖI LƯỢNG GIÁC

• Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng:

– Số hạng tổng quát: un(x) = ancosnx + bnsinnx

– Hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π

n , liên tục và khả vi mọi cấp.

• Nếu chuỗi (2.2) hội tụ và có tổng f (x)thì f là một hàm liên tục, tuầnhoàn với chu kỳ 2π Vì thế sau đây ta chỉ cần xét chuỗi hàm lượnggiác trên một đoạn có độ dài 2π, chẳng hạn trên [−π, π]

• Giả sử chuỗi hàm (2.2) hội tụ đều trên [−π, π] và:

• Tính ak: Nhân hai vế của (2.3) với coskx Sau đó lấy tích phân 2

vế của đẳng thức nhận được trên [−π, π] và do tính trực giao của hệhàm lượng giác ta có:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

π

R

−π

f (x)sinnxdx (n = 1, 2, 3 )

được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x)

• Chuỗi hàm lượng giác:

• Nếu xét hàm số f ∈ L1[−π, π] thì các tích phân:

vẫn có nghĩa đối với các hàm trong không gian L1[−π, π].

• Vậy với các hàm f ∈ L1[−π, π] có thể ứng với các hệ số Fourier vàchuỗi Fourier của nó như công thức (2.4), (2.5)

2.3.2 Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier (tổng

π

R

−π

f (x)sinnxdx (n = 1, 2, 3 ).Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier là:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

có giá trị như nhau

Vậy ta có thể giữ nguyên cận như cũ là [−π, π]

2)dz

Đặt: Dn(z) = 1

π

sin(2n + 1

2 .z)2sin(z

π 0

Các vấn đề hội tụ của chuỗi này ta sẽ nghiên cứu trong các phần tiếpsau đây

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Ta xét điều kiện đủ để chuỗi Fourier hội tụ điểm:

2.4.1 Điều kiện Dini

Định lý Dini:

Giả sử f là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định trên R, liêntục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn và x0 là một số thực sao cho cácgiới hạn: lim

Đặc biệt, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì chuỗi Fourier của hàm số

f hội tụ tại điểm x0 và có tổng là f(x0)

Nếu f (x) thỏa mãn thêm điều kiện ∃f0(x), f ”(x) ở [−π, π] và có

Điều kiện Dini

Hàm số f (x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dini tại điểm x nếu tồntại số δ sao cho tích phân:

Nếu ϕ(x) là hàm khả vi liên tục thì sử dụng công thức tính tích phân

b a

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

thỏa mãn điều kiện Dini, tức là ta tìm được số δ > 0 sao cho tích phân

Do hàm f (x + z) − f (x)

z khả tổng theo biến z trên đoạn [−δ, δ] nên

nó khả tổng trên đoạn [−π, π] (do giá trị hàm f (x) khả tổng)

Mặt khác: Do lim

z→0

z2sinz2

= 1 nên với ε > 0 bất kỳ luôn ∃δ0 > 0 sao

cho ∀z : |z| < δ0 thì: | z

2sinz2

− 1| < ε ⇒ | z

2sinz2

| < 1 + ε

Và trên các đoạn [−π, −δ]; [δ, π] hàm z

2sinz2

liên tục nên tồn tại giá trị

Vậy Sn(x) hội tụ về hàm f (x) khi n → +∞ tại điểm x

Định lý được chứng minh.

Chú ý:

+ Nếu f (x) liên tục và có đạo hàm hữu hạn hoặc có đạo hàm trái vàđạo hàm phải hữu hạn tại điểm x thì điều kiện Dini được thỏa mãn.Thật vậy: Khi đó |f (x + z) − f (x)

z | bị chặn trong đoạn [−δ, δ] hoặc bịchặn trong từng đoạn [−δ, 0], [0, δ] nên tích phân (2.12) là tồn tại

+ Lập luận trong định lý trên vẫn đúng khi thay điều kiện Dini bởi sựhội tụ của hai tích phân sau:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định lý 2.2:

Giả sử f (x) là hàm bị chặn, tuần hoàn với chu kỳ 2π chỉ có điểm giánđoạn loại 1 và giả sử tại mỗi điểm hàm số có đạo hàm trái và đạo hàmphải Khi đó chuỗi Fourier của nó hội tụ khắp nơi và tổng bằng f (x) tạinhưng điểm liên tục và bằng f (x + 0) + f (x − 0)

2 tại các điểm gián đoạn

loại 1

Chú ý: Kết luận của định lý trên vẫn còn đúng với những điều kiện rộngrãi hơn

Ta thừa nhận định lý sau đây:

Định lý 2.3: (điều kiện Dirichlet) Giả sử f (x) là hàm tuần hoàn với chu

kỳ 2π, thỏa mãn một trong hai điều kiện sau trên đoạn [−π, π]

+ f (x) liên tục từng khúc và có đạo hàm f0(x) liên tục từng khúc.+ f (x) đơn điệu từng khúc và bị chặn

Khi đó chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm, chuỗi này có tổngbằng f (x) tại những điểm liên tục của nó và bằng

f (c − 0) + f (c − 0)

2 tại các điểm gián đoạn c của nó.

2.4.2 Điều kiện Lipschitz

• Điều kiện Lipschitz:

Cho hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π, và f (x) ∈ L1[−π, π].Hàm f (x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc α > 0 tạiđiểm x0 nếu tồn tại một hằng số C và số dương r thỏa mãn:

|f (x) − f (x0)| ≤ C|x − x0|α (∀x : |x − x0| < r)

Nếu điều kiện này đúng với tất cả các giá trị x0 với cùng một hằng

số c thì hàm số f (x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipchitz đều

• Hệ quả:

Nếu hàm f (x) thỏa mãn điều kiện lipchitz bậc α > 0 tại điểm x0

thì tổng riêng Sn của chuỗi Fourier của hàm f (x) tại điểm x0 sẽ hội

δ 0

Cho hàm f xác định trên đoạn [a, b] Nếu ta có thể chia đoạn [a, b]

thành hữu hạn đoạn [ai, bi], i = 1, k bởi các điểm chia

a = a1 < b1 < < ak < bk = b sao cho trên mỗi khoảng (ai, bi) hàm f

liên tục và tồn tại các giới hạn hữu hạn: lim

x→a+i

f (x) = f (ai + 0),lim

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 22.4.4 Nguyên lý địa phương

• Định lý 2.4: Giả sử hàmf (x) tuần hoàn với chu kỳ2π, liên tục từngkhúc trên mỗi đoạn hữu hạn bất kỳ Khi đó với bất kỳ δ(0 < δ < π)

và với bất kỳ x0 ∈ R tính hội tụ của chuỗi Fourier của hàm f (x) tại

x0 chỉ phụ thuộc vào dáng điệu của hàm f trong khoảng

sin(2n + 1

2 t)dt

= 1π

sin(2n + 1

2 t)dt

+ 1π

sin(2n + 1

2 t)dt = 0

Điều này có nghĩa là tính hội tụ của chuỗi Fourier của hàm f (x)

tại x0 chỉ phụ thuộc vào dáng điệu của hàm f (x) trong khoảng(x0 − δ, x0 + δ)

2.4.5 Định lý về sự hội tụ của chuỗi Fourier

Định lý 2.5:

Nếu f là hàm xác định trên toàn trục số, tuần hoàn với chu kỳ 2π vàtrơn từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn bất kỳ thì chuỗi Fourier tương ứngvới f hội tụ tại mọi điểm x0 và có tổng S(x0) = f (x0 + 0) + f (x0 − 0)

sin(2n + 1

2 t)dt =

f (x0 + 0)2

dt = 1π

= [f (x0 + t) − f (x0 + 0)]

t

t2sint2

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

π

R

0

f (x0 + t)2sint2

sin(2n + 1

2 t)dt

= f (x0 + 0) + f (x0 − 0)

2

Định lý đã được chứng minh xong

CHUỖI FOURIER

Ta xác định một số điều kiện để chuỗi Fourier của một hàm f (x) nào

đó hội tụ điểm Trong phần này chúng ta tiếp tục nghiên cứu một vài điềukiện để chuỗi Fourier của hàm f (x) là hội tụ đều

Gọi hệ số Fourier của hàm f0(x) là a0n và b0n (n = 1, 2, )

Do f (x) liên tục tuyệt đối nên ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với mọi họ hữuhạn những khoảng đôi một rời nhau (ak, bk) k = 1, 2, n0 mà tổng độ dàinhỏ hơn δ, tức là

sinn(bk − ak)

2 .cos

n(bk + ak)2

sinn(bk − ak)

2

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

(ancosnx + bnsinnx) hội

tụ đều hay chuỗi Fourier của hàm f (x) hội tụ đều Người ta có thể chứngminh được rằng tổng của chuỗi đó bằng f(x)

Thật vậy: Giả sử h(x) là tổng của chuỗi Fourier của hàm f

Vì f ∈ L2[−π, π] ⇒ f0 hữu hạn hầu khắp nơi hay

Định lý đã được chứng minh

2.5.2 Định lý 2.7

Nếu trên tập bất kỳ E ∈ [−π, π] mà hàm khả tổng f (x) bị chặn vàđiều kiện Dini được thỏa mãn đều trên E tức là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao chotích phân:

δ

R

−δ

... 2

(ancosnx + bnsinnx) hội

tụ hay chuỗi Fourier hàm f (x) hội tụ Người ta chứngminh tổng chuỗi f(x)

Thật vậy: Giả sử h(x) tổng chuỗi Fourier hàm f

Vì f ∈ L2[−π,... (2.13)thì chuỗi Fourier hàm f hội tụ E tới hàm

2.5.3 Định lý 2.8

Cho hàm f (x) ∈ L1[−π, π] thỏa mãn điều kiện Lipchitz bậc

α > (a, b) Khi tổng riêng chuỗi Fourier. .. π) Khi chuỗi Fouriercủa f hội tụ f đoạn [a, b] ⊂ (u, v)

Với F (x) G(x) hàm bị chặn, khơng âm, đơn điệu tăng Ngồi

ra, F (x) G(x) liên tục điểm mà f (x) liên tục

Để chứng minh