Chuỗi fourier và ứng dụng

Lời cảm ơn Em xin trân trọng bày tỏ biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, thầy tận tình hướng dẫn bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em trân trọng cám ơn thầy cô tổ Giải tích toàn thể bạn sinh viên khoa nhiệt tình góp ý giúp đỡ em suốt thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành khóa luận Do trình độ chuyên môn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên nội dung khóa luận tồn nhiều thiếu sót Em kính mong nhận phê bình góp ý thầy cô toàn thể bạn để nội dung khóa luận trở nên hoàn thiện Em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lại Thị Thủy Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp: "Chuỗi Fourier ứng dụng" công trình nghiên cứu thân Những phần sử dụng tài liệu tham khảo khóa luận nêu rõ phần tài liệu tham khảo Các kết trình bày khóa luận hoàn toàn trung thực, sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm chịu kỷ luật khoa nhà trường đề Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Lại Thị Thủy Lời nói đầu Lý chọn đề tài Trong giáo trình giải tích hàm số biến làm quen với khái niệm chuỗi Fourier hàm khả tích xét hội tụ Đây lĩnh vực quan trọng Toán học có nhiều ứng dụng thiết thực Vật lý, Cơ học, Kỹ thuật công nghệ, quan tâm nghiên cứu nhiều Các kết lĩnh vực vô phong phú, đa dạng biết giáo trình giải tích nói kiến thức ban đầu Chính khóa luận tốt nghiệp em lựa chọn đề tài chuỗi Fourier ứng dụng để tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu chuỗi Fourier Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm, số tính chất số ứng dụng chuỗi Fourier Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu chuỗi Fourier - Nghiên cứu số ứng dụng chuỗi Fourier 4.Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Chuỗi Fourier ứng dụng - Phạm vi: Chuỗi số, chuỗi hàm Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội - Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp gồm ba chương: - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị - Chương 2: Chuỗi Fourier - Chương 3: Ứng dụng chuỗi Fourier Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CHUỖI SỐ Định nghĩa 1.1.2 Chuỗi số hội tụ 1.1.3 Phần dư chuỗi hội tụ 1.1.4 Điều kiện để chuỗi hội tụ 1.1.1 1.2 DÃY HÀM 10 Dãy hàm số 10 1.2.2 Sự hội tụ dãy hàm 11 1.2.1 1.3 CHUỖI HÀM 11 Định nghĩa 1.3.2 Sự hội tụ chuỗi hàm 1.3.3 Điều kiện hội tụ chuỗi hàm 1.3.4 Tính chất tổng chuỗi hàm 1.3.1 1.4 11 12 12 13 KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TỔNG 14 1.4.1 Không gian L1[−π, π] 14 Khóa luận tốt nghiệp 1.4.2 1.5 Trường ĐHSP Hà Nội Không gian L2[−π, π] 14 HỆ TRỰC GIAO, HỆ TRỰC CHUẨN 15 Vectơ trực giao, hệ trực giao 15 1.5.2 Hệ trực chuẩn 16 1.5.3 Hệ lượng giác 16 1.5.1 1.6 HÀM SỐ LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI 17 CHUỖI FOURIER 18 2.1 HỆ HÀM LƯỢNG GIÁC TRỰC GIAO 18 2.2 CHUỖI LƯỢNG GIÁC 19 2.3 CHUỖI FOURIER 20 Chuỗi Fourier 20 2.3.2 Tổng riêng thứ n chuỗi Fourier (tổng Dirichlet) 21 2.3.1 2.4 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER 24 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.5 Điều kiện Dini Điều kiện Lipschitz Hàm liên tục khúc, hàm khả vi khúc Nguyên lý địa phương Định lý hội tụ chuỗi Fourier 28 29 30 31 MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ ĐỀU CỦA CHUỖI FOURIER 32 Định 2.5.2 Định 2.5.3 Định 2.5.4 Định 2.5.1 2.6 24 lý lý lý lý 2.6 2.7 2.8 2.9 32 35 35 35 KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI FOURIER 39 2.6.1 Khai triển Fourier khoảng [−π, π] 39 Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán Khóa luận tốt nghiệp 2.6.2 2.6.3 2.6.4 2.6.5 2.6.6 Trường ĐHSP Hà Nội Khai triển hàm không tuần hoàn đoạn [−π, π] Khai triển chẵn khai triển lẻ hàm f [−π, π] Khai triển tuần hoàn đoạn [-l, l] Khai triển hàm tuần hoàn [a, b] Một số ví dụ CÁC ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 41 42 44 44 45 52 3.1 Ứng dụng để tính tổng chuỗi số 52 3.2 Bài toán dây rung 3.3 Bài toán dao động tự dây rung 55 3.4 Dao động tự 57 3.5 Dao động màng hình chữ nhật 3.6 Một số ví dụ 60 53 58 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CHUỖI SỐ 1.1.1 Định nghĩa • Cho dãy số: a1 , a2 , , an , • Lập dãy số mới: A1 = a1 A = a1 + a2 n An = a1 + a2 + + an = ak k=1 +∞ • Ký hiệu hình thức: n ak = lim An = lim k=1 n→+∞ n→+∞ k=1 +∞ ak gọi ak k=1 chuỗi số, ak gọi số hạng thứ k chuỗi số 1.1.2 Chuỗi số hội tụ • Xét chuỗi số: +∞ ak k=1 (1.1) Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội n • Đặt: An = ak k=1 • Khi đó: – An gọi tổng riêng thứ n chuỗi số (1.1) – Dãy {An } dãy tổng riêng chuỗi (1.1) +∞ • Nếu dãy {An } hội tụ lim An = A ta nói chuỗi số n→+∞ ak hội k=1 +∞ tụ có tổng A Viết là: ak = A k=1 • Nếu dãy An giới hạn hữu hạn ta nói chuỗi số (1.1) phân kỳ 1.1.3 Phần dư chuỗi hội tụ • Xét chuỗi số hội tụ: +∞ ak (1.2) k=1 +∞ • Đặt rn = +∞ ak = k=n+1 an+k k=1 • Khi rn gọi phần dư thứ n chuỗi hội tụ (1.2) +∞ • Giả sử A = n ak ta có rn = A − An ak An = k=1 ⇒ lim rn = k=1 n→+∞ 1.1.4 Điều kiện để chuỗi hội tụ • Định lý 1.1:(Định lý điều kiện cần) +∞ ak hội tụ lim ak = Nếu chuỗi k=1 k→+∞ • Điều kiện cần đủ để chuỗi số hội tụ Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội – Xét chuỗi số: +∞ ak (1.3) k=1 n có dãy tổng riêng An = ak k=1 – Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (1.3) hội tụ điều kiện cần đủ là: ∀ε > cho trước ∃n0 = n0 (ε), n0 ∈ N ∗ cho: ∀n > n0 , ∀p ∈ N ∗ |An+p − An | < ε – Điều nghĩa là: |an+1 + an+2 + + an+p | < ε Vậy ta có: • Định lý 1.2: +∞ ak hội tụ là: Điều kiện cần đủ để chuỗi k=1 ∀ε > cho trước ∃n0 = n0 (ε), n0 ∈ N ∗ cho ∀n > n0 , ∀p ∈ N ∗ ta có: |an+1 + an+2 + + an+p | < ε +∞ an phân kỳ tồn Từ định lý ta suy chuỗi số n=1 số ε0 > để ∀n ∈ N ∗ , ∃p0 ∈ N ∗ cho: |An+p0 − An | ≥ ε0 1.2 DÃY HÀM 1.2.1 Dãy hàm số • Cho U tập tập số thực R A tập tất hàm số xác định U • Ánh xạ F: N −→ A n −→ un (x) ∈ A u1 (x), u2 (x), u3 (x), , un (x), (n = 1, 2, ) gọi dãy hàm số xác định tập U Ký hiệu: {un (x)}, ∀n = 1, 2, 3, Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán 10 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội   1 < x < Ví dụ 4: Cho hàm số: f (x) =  0 [...]... h→0 h h và hữu hạn Khi đó chuỗi Fourier của hàm số f hội tụ tại điểm x0 và có 1 tổng là: [f (x0 + 0) + f (x0 − 0)] 2 Đặc biệt, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì chuỗi Fourier của hàm số f hội tụ tại điểm x0 và có tổng là f (x0 ) Nếu f (x) thỏa mãn thêm điều kiện ∃f (x), f ”(x) ở [−π, π] và có π |f ”(x)| dx ≤ C thì chuỗi Fourier hội tụ f (−π) = f (π), f (−π) = f (π), π đều đến tổng S(x) và là chuỗi hội... thể ứng với các hệ số Fourier và chuỗi Fourier của nó như công thức (2.4), (2.5) 2.3.2 Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier (tổng Dirichlet) Cho hàm f ∈ L2 [−π, π] có khai triển thành chuỗi Fourier là: a0 +∞ (an cosnx + bn sinnx) với x ∈ [−π, π] + 2 n=1 1 π Trong đó: a0 = f (x)dx π −π 1 π an = f (x)cosnxdx (n = 1, 2, 3 ) π −π 1 π bn = f (x)sinnxdx (n = 1, 2, 3 ) π −π Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier. .. ĐỀU CỦA CHUỖI FOURIER Ta xác định một số điều kiện để chuỗi Fourier của một hàm f (x) nào đó hội tụ điểm Trong phần này chúng ta tiếp tục nghiên cứu một vài điều kiện để chuỗi Fourier của hàm f (x) là hội tụ đều 2.5.1 Định lý 2.6 Nếu hàm f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π và liên tục tuyệt đối, có đạo hàm thuộc không gian L2 [−π, π] thì chuỗi Fourier của nó hội tụ đều tới f (x) trên toàn trục số Chứng minh:... nghĩa là tính hội tụ của chuỗi Fourier của hàm f (x) tại x0 chỉ phụ thuộc vào dáng điệu của hàm f (x) trong khoảng (x0 − δ, x0 + δ ) 2.4.5 Định lý về sự hội tụ của chuỗi Fourier Định lý 2.5: Nếu f là hàm xác định trên toàn trục số, tuần hoàn với chu kỳ 2π và trơn từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn bất kỳ thì chuỗi Fourier tương ứng f (x0 + 0) + f (x0 − 0) với f hội tụ tại mọi điểm x0 và có tổng S(x0 ) = 2... (x)sinkxdx (k = 1, 2, 3, ) π −π 2.3 CHUỖI FOURIER 2.3.1 Chuỗi Fourier • Định nghĩa: Trong không gian L2 [−π, π], cho hàm số f (x) Khi đó các hệ số: 1 π a0 = f (x)dx π −π π 1 an = π f (x)cosnxdx (n = 1, 2, 3 ) (2.4) −π 1 π f (x)sinnxdx (n = 1, 2, 3 ) π −π được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x) bn = • Chuỗi hàm lượng giác: +∞ a0 + (an cosnx + bn sinnx) 2 n=1 (2.5) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) • Nếu... 2 ) và n ≤ (an 2 + 2 ) n 2 n n 2 n +∞ mà f ∈ L2 [−π, π] nên (an 2 + bn 2 ) < +∞ n=1 |a0 | +∞ |a0 | +∞ 2 + |an cosnx + bn sinnx| ≤ + (an + bn 2 ) < +∞ 2 2 n=1 n=1 a0 +∞ Theo dấu hiệu Weierstrass thì chuỗi: + (an cosnx + bn sinnx) hội 2 n=1 tụ đều hay chuỗi Fourier của hàm f (x) hội tụ đều Người ta có thể chứng ⇒ minh được rằng tổng của chuỗi đó bằng f(x) Thật vậy: Giả sử h(x) là tổng của chuỗi Fourier. .. Nội 2 CHUỖI LƯỢNG GIÁC • Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng: +∞ a0 + (an cosnx + bn sinnx) 2 n=1 (2.2) – Trong đó a0 , an , bn (n = 1, 2, 3, ) là những số thực – Số hạng tổng quát: un (x) = an cosnx + bn sinnx 2π , liên tục và khả vi mọi cấp – Hàm tuần hoàn với chu kỳ n • Nếu chuỗi (2.2) hội tụ và có tổng f (x) thì f là một hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π Vì thế sau đây ta chỉ cần xét chuỗi. .. cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm đó Giả sử A là miền hội tụ của chuỗi hàm (1.4), khi đó với +∞ mọi x ∈ A chuỗi un (x) có tổng là S(x) n=1 +∞ Như vậy: S(x) = un (x), ∀x ∈ A Ta gọi S(x) là tổng của chuỗi n=1 hàm Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán 11 Khóa luận tốt nghiệp 1.3.2 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm +∞ uk (x) là một chuỗi hàm xác định trên U... ] + f (x) liên tục từng khúc và có đạo hàm f (x) liên tục từng khúc + f (x) đơn điệu từng khúc và bị chặn Khi đó chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm, chuỗi này có tổng bằng f (x) tại những điểm liên tục của nó và bằng f (c − 0) + f (c − 0) tại các điểm gián đoạn c của nó 2 2.4.2 Điều kiện Lipschitz • Điều kiện Lipschitz: Cho hàm số f (x) tuần hoàn với chu kỳ 2π , và f (x) ∈ L1 [−π, π] Hàm f (x)... Các vấn đề hội tụ của chuỗi này ta sẽ nghiên cứu trong các phần tiếp π sin sau đây Lại Thị Thủy - K35B - sp Toán 23 Khóa luận tốt nghiệp 2.4 Trường ĐHSP Hà Nội 2 SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI FOURIER Ta xét điều kiện đủ để chuỗi Fourier hội tụ điểm: 2.4.1 Điều kiện Dini Định lý Dini: Giả sử f là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định trên R, liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn và x0 là một số thực sao ... tài chuỗi Fourier ứng dụng để tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu chuỗi Fourier Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm, số tính chất số ứng dụng chuỗi Fourier Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu chuỗi Fourier. .. Nghiên cứu chuỗi Fourier - Nghiên cứu số ứng dụng chuỗi Fourier 4.Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Chuỗi Fourier ứng dụng - Phạm vi: Chuỗi số, chuỗi hàm Phương pháp nghiên cứu - Nghiên... Với hàm số g(x) cho ta chuỗi Fourier tương ứng, có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm số f (x) Nếu hàm số g(x) chẵn chuỗi Fourier toàn hàm số cosin, hàm số g(x) lẻ chuỗi Fourier toàn hàm số sin