Chuỗi fourier

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Mục Lục Lời mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi số 1.2 Chuỗi hàm 1.3 Không gian hàm khả tổng 1.4 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn 10 1.5 Hàm số liên tục tuyệt đối 11 Chương CHUỖI FOURIER 12 2.1 Hệ hàm lượng giác trực giao 12 2.2 Chuỗi lượng giác 12 2.3 Chuỗi Fourier 14 2.4 Sự hội tụ chuỗi Fourier 18 2.5 Điều kiện hội tụ chuỗi Fourier 27 Chương KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI FOURIER 30 3.1 Thác triển hàm tuần hoàn đoạn 30 3.2 Thác triển hàm không tuần hoàn đoạn [- ; ] 36 3.3 Thác triển chẵn thác triển lẻ hàm tuần hoàn đoạn [- ; ] 37 3.4 Thác triển hàm tuần hoàn đoạn [  l; l ] 43 3.5 Thác triển hàm xác định đoạn [a;b] 46 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong toán học, giải tích chiếm vị trí quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học nhiều ngành khoa học khác Vật lí, Thiên văn, Địa lí … Trong giải tích, kết chuỗi Fourier có nhiều ý nghĩa mặt lí thuyết đồng thời có ứng dụng lớn thực tế, đặc biệt việc giải toán Vật lí Chính em chọn đề tài “chuỗi Fourier” để làm khóa luận tốt nghiệp ngành SP Toán Mục đích nghiên cứu Do thời gian tài liệu nghiên cứu nên em trình bày chuỗi Fourier, số điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ (hội tụ hội tụ điểm) Ngoài khóa luận đề cập tới cách khai triển số hàm liên tục thành chuỗi Fourier Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nhằm đạt mục đích đề Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Chuỗi Fourier Phạm vi nghiên cứu: Chuỗi số, chuỗi hàm Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận, phân tích tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận tốt nghiệp gồm ba chương: Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Chuỗi Fourier hội tụ chuỗi Fourier Chương 3: Thác triển thành chuỗi Fourier Trong suốt trình nghiên cứu em nhận tận tình giúp đỡ thầy cô tổ giải tích khoa Toán trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy Nguyễn Văn Hùng Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Em mong nhận đóng góp ý kiến quý báu quý thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chương Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Chuỗi số 1.1.1 Định nghĩa Cho dãy số a1, a2,…,an,… Lập dãy số A = a1 A2 = a1+a2 n An = a1+ a2+…+ an=  i 1  n  ak  limAn  lim  ak gọi Kí hiệu hình thức n k 1 n k 1  a k 1 k chuỗi số, ak gọi số hạng thứ k chuỗi số 1.1.2 Chuỗi hội tụ Xét chuỗi số:  a k 1 Đặt An = k (1.1) n a k 1 k Khi An gọi tổng riêng thứ n chuỗi (1.1) Dãy { An} gọi dãy tổng riêng chuỗi (1.1) Nếu dãy { An} hội tụ lim An  A ta nói chuỗi số n  tổng A viết là:  a k 1 k hội tụ có  a k 1 k =A Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Nếu dãy { An} giới hạn hữu hạn ta nói chuỗi  a k 1 k phân kỳ Định lí 1.1 (định lí điều kiện cần) Nếu chuỗi  a k 1 k hội tụ lim an  n  1.1.3 Phần dư chuỗi hội tụ  a Xét chuỗi số hội tụ: k 1 Đặt rn     a  a k  n 1 (1.2) k k k 1 nk Khi rn gọi phần dư thứ n chuỗi hội tụ  n k 1 k 1  a k 1 k Giả sử A=  ak An =  ak Thì ta có rn=A- An  lim rn  n 1.1.4 Điều kiện để chuỗi hội tụ Xét chuỗi số:  a k 1 (1.3) k Có dãy tổng riêng là: An= n a k 1 k Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (I.3) hội tụ điều kiện cần đủ là:   cho trước n0  n0 ( ) , n0  N * cho (n  n0 ) (p  1,2, ) An p  An   Điều có nghĩa an1  an2   an p   Định lý 1.2  Điều kiện cần đủ để chuỗi a k 1 Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán k hội tụ là: Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội   cho trước n0  n0 ( ) , n0  N * cho (n  n0 ) (p  1, 2, ) ta có an1  an2   an p   Từ định lý ta suy chuỗi  a u 1 n phân kỳ tồn số   để với n  N * tồn số p0  N * cho An p  An   1.2 Chuỗi hàm 1.2.1 Dãy hàm số Cho U tập tập số thực R A tập tất hàm số xác định U Ánh xạ F : N  A n  un ( x)  A u1 ( x), u2 ( x), , un ( x), (n 1,2, ) gọi dãy hàm số xác định tập U Ký kiệu là: { un ( x) }, n  1,2, 1.2.2 Chuỗi hàm số Cho dãy hàm số un ( x) xác định tập U  R Chuỗi hàm số tổng hình thức: u1 ( x)  u2 ( x)   un ( x)      u ( x) n 1 n (1.4) Nếu x0 U chuỗi số u (x ) hội tụ ta nói x0 điểm hội tụ chuỗi (1.4) Nếu x0 chuỗi u (x ) phân kì ta nói chuỗi hàm (1.4) phân n 1  n 1 n n 0 kì x0 Tập tất điểm hội tụ chuỗi hàm gọi miền hội tụ chuỗi hàm Giả sử A miền hội tụ chuỗi hàm (1.4) Khi x  A chuỗi Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội    u ( x) có tổng S ( x) Như S ( x)   u ( x) n 1 n n 1 n ( x  A) S ( x ) gọi tổng chuỗi hàm 1.2.3 Sự hội tụ 1.2.3.1 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm 1.2.3.1.1 Sự hội tụ dãy hàm Giả sử un ( x) dãy hàm xác định U  R Dãy hàm hàm số un ( x) , n=1,2,… gọi hội tụ tới hàm u  x  tập U   n cho: (n  n ) (x U ) U n ( x)  U ( x)   1.2.3.1.2 Sự hội tụ chuỗi hàm Giả sử   u ( x) k 1 k chuỗi hàm xác định U Ta nói chuỗi hàm   u ( x) hội tụ tới tổng S ( x) tập U dãy hàm k 1 k Sn ( x) hội tụ đến tổng S ( x ) tập U hay:   cho trước n >0 cho (n  n ) (x U ) Sn ( x)  S ( x)   1.2.3.2 Điều kiện hội tụ chuỗi hàm Định lí 1.3 (dấu hiệu cần đủ Cauchy) Chuỗi hàm   u ( x) hội tụ tập U với k 1 k   cho trước n >0 cho n  n với số m nguyên dương ta có n m  u ( x)   k  n 1 k (x U ) Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Định lí 1.4 (dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm   u ( x) gồm hàm u ( x) xác định tập U Giả thiết n n 1 n tồn dãy số dương Cn  thỏa mãn điều kiện sau: a, un ( x)  Cn ( x U ) ( n  N * )  C b, Chuỗi số dương n n 1  hội tụ  u ( x) hội tụ U Khi chuỗi hàm n n 1 1.2.3.3 Tính Chất Tổng chuỗi hàm Định lí 1.5 (tính liên tục) Cho chuỗi hàm   u ( x) , giả thiết rằng: n n 1 a, un ( x) hàm liên tục tập U với n  1,2, b, Chuỗi hàm   u ( x) n 1 hội tụ U đến tổng S ( x ) n Khi S ( x ) hàm liên tục đoạn [a;b] Định lí 1.6 (định lí Dini) Giả thiết rằng: a, Chuỗi hàm   u ( x) n 1 hội tụ đoạn [a;b] đến tổng S ( x ) n b, un ( x) (n=1,2,…) hàm liên tục đoạn [a;b] un ( x)  (hoặc un ( x)  ) với x [a; b] n  1,2, c, S ( x ) hàm liên tục đoạn [a;b] Khi chuỗi hàm   u ( x) hội tụ đoạn [a;b] n 1 n Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1.3 Không gian hàm khả tổng 1.3.1 Không gian L1[   ; ] Tập L1[   ; ] gồm tất hàm đo đoạn [   ; ] , tức là:   f ( x) d     Trong tập L1[   ; ] ta đưa vào chuẩn xác định công thức: f    f ( x) d   Khi tập L1[   ; ] với chuẩn xác định lập thành không gian định chuẩn Trong không gian định chuẩn L1[   ; ] ta đưa vào khoảng cách xác định công thức: d ( f , g )  f  g Khi L1[   ; ] với khoảng cách xác định lập thành không gian metric Sự hội tụ dãy hàm khả tổng theo nghĩa khoảng cách gọi hội tụ trung bình Định lí 1.7 Không gian C[ ; ] trù mật khắp nơi không gian L1[   ; ] 1.3.2 Không gian L2[   ; ] Tập L2[   ; ] gồm tất hàm có bình phương khả tổng đoạn [   ; ] , tức là:   f ( x) d     Trong L2[   ; ] ta đưa vào chuẩn xác định công thức: Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội  f   f ( x) d   Khi L2[   ; ] với chuẩn xác định lập thành không gian định chuẩn Khoảng cách hai phần tử f , g không gian L2[   ; ] định nghĩa công thức:    d ( f , g )  f  g    f ( x)  g ( x) d      Khi L2[   ; ] với khoảng cách xác định lập thành không gian metric Sự hội tụ dãy hàm khả tổng theo nghĩa khoảng cách gọi hội tụ trung bình bình phương Trong không gian L2[   ; ] ta trang bị tích vô hướng hai phần tử f , g xác định công thức:  f , g     f ( x).g ( x)d   Khi L2[   ; ] với tích vô hướng lập thành không gian Hilbert 1.4 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn 1.4.1 Vectơ trực giao, hệ trực giao Trong không gian Hilbert H, hai vectơ x, y gọi trực giao với  x, y   Kí hiệu là: x  y Hệ vectơ  xn  gọi hệ trực giao vectơ xn đôi trực giao với Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 10 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b, Thác triển lẻ hàm f ( x) đoạn [0; ] Ta xây dựng hàm f ** ( x) hàm tuần hoàn với chu kì 2π, xác định đoạn [ ; ] sau:      ** f ( x)   x       x    x      x  Hàm f ** ( x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên khai triển thành chuỗi Fourier y  x      2 (Hình 5) Vì hàm f ( x) hàm lẻ nên ta có: ** f ( x)  **   b sin nx n 1 n Trong đó:     2  ** x sin nxdx   sin nxdx  bn   f ( x)dx    0 0      Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 42 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2  cos nx   x   n      cos nx  cos nx  dx  n n   2 n  sin   2 sin nx  cos n 2  (1) n       n n   n   Vậy n   sin  2  (1) n  sin nx f ** ( x)     n2 n 1       (3.9) Vì đoạn [0; ] f ** ( x)  f ( x) nên (3.9) khai triển hàm f ( x) đoạn [0; ] Vậy thác triển lẻ hàm f ( x) đoạn [0; ] là: n    sin n f ( x)     (  1)  sin nx n2 n 1       Tại điểm gián đoạn x  (2k  1) , k Z tổng chuỗi Đồ thị hàm f ** ( x) cho hình 3.4 Thác triển tuần hoàn đoạn  l; l  Cho hàm số f ( x) xác định, khả vi khúc đoạn  l; l  (với l số bất kì) Khi đặt x  ly  hay y  x l x biến thiên từ - l tới l ly th× y biến thiên từ  tới  hàm g ( y )  f ( ) hàm số xác định  Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 43 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội khả vi khúc đoạn [ ; ] ta có: g ( y)  a0    (an cos ny  bn sin ny ) n1 y[ ; ] Trong đó: a0    an  bn  g  y dy          ly  f  dy   g  y cosnydy         ly  f   cosnydy    ly   g  y sinnydy    f    sinnydy   Thay trở lại biến x  l; l  là: f ( x)      ly  ta nhận khai triển hàm f ( x) đoạn a0  n x n x   (an cos  bn sin ) n1 l l (3.10) Trong hệ số Fourier tính theo công thức sau: l a0   f ( x)dx l l n x an   f ( x)cos dx l l l l n x bn   f ( x)cos dx l l l l Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán n  1,2, 44 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ví dụ 5: Tìm chuỗi Fourier hàm f ( x) xác định đoạn [-4;4] xác định công thức: 4  x   x  2  f ( x)   x   x  4  x 2 x4  Lời giải: Hàm số cho thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên khai triển thành chuỗi Fourier  Vì f ( x) hàm lẻ đoạn [-4;4] nên: f ( x)   bn sin n 1 n x n x bn   f ( x)sin dx   f ( x)sin dx 4 20 4 Trong đó: n x   x sin dx  20 2 Đặt t  n x x  (4  x)sin n x dx 4t  x     dx  dt     bn  2  t sin ntdt   Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 2  (  t )sin ntdt 45 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội     2   t t    cos nt   cos ntdt  cos nt   cos ntdt    n n n   n  2   1   sin nt  sin nt    n n   2   0   16 =  2  n  16   n n  4k k  Z n  4k  n  4k  y x -10 -12 -8 -6 -4 -2 -2 (Hình 6) Vậy chuỗi Fourier hàm cho là: f ( x)  16   x 3 x 5 x  sin  sin  sin      4  Đồ thị hàm số cho hình 3.5 Thác triển hàm tuần hoàn đoạn [a;b] Giả sử f ( x) hàm số xác định đoạn [a;b], khả vi khúc Để thác triển f ( x) thành chuỗi Fourier ta xây dựng hàm số g ( x ) có chu kì lớn hay (b-a) cho: g ( x)  f ( x), x [a; b] Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 46 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Nếu hàm số g ( x ) khai triển thành chuỗi Fourier tổng chuỗi f ( x) x  [a; b] trừ điểm gián đoạn f ( x) Rõ ràng có nhiều cách xác định hàm số g ( x ) Với hàm số g ( x ) cho ta chuỗi Fourier tương ứng, có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn hàm số f ( x) Nếu hàm số g ( x ) chẵn chuỗi Fourier toàn hàm số cosin, hàm số g ( x ) lẻ chuỗi Fourier toàn hàm số sin Ví dụ 6:   x   Cho hàm số: f ( x)   0  x   a, Thác triển lẻ hàm f ( x) đoạn [0;1] b, Thác triển chẵn hàm f ( x) đoạn [0;1] c, Chuỗi Fourier hàm f ( x) đoạn [0;1] Lời giải: a, Thác triển lẻ hàm f ( x) đoạn [0;1] Ta xây dựng hàm f * ( x) tuần hoàn với chu kì 2, xác định đoạn [0;1] sau:  1   * f ( x)  0   1 Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 0 x  x 1   x 47 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Hàm f * ( x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên khai triển thành chuỗi Fourier y x 3  1 -2  -1 2 -1 (Hình 7)  Vì hàm f * ( x) hàm lẻ đoạn [-1;1] nên: f * ( x)   bn sin n x n 1 Trong đó: 1 bn   f ( x)sinn xdx  2 f * ( x)sinn xdx * 1 1 2  n    sinn xdx  2 cos n x  1  cos  n   n 0   n   0    n Vậy f * ( x)  n  4k  n  4k  k  Z n  4k  2 2sin x sin3 x      sin x    Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán (3.11) 48 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Vì đoạn [0;1] f * ( x)  f ( x) nên (3.11) khai triển hàm f ( x) đoạn [0;1] Do thác triển lẻ hàm cho đoạn [0;1] là: f ( x)  2 2sin x sin3 x  sin  x        Đồ thị hàm f * ( x) cho hình b, Thác triển chẵn hàm f ( x) đoạn [0;1] Ta xây dựng hàm f ** ( x) tuần hoàn với chu kì 2, xác đoạn [-1;1] sau:   x    f ** ( x)   1  x   Hàm f ** ( x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên khai triển thành chuỗi Fourier Vì hàm f ** ( x) hàm chẵn đoạn [-1;1] nên:  a0 f ( x)    an cos n x n1 ** Trong đó: 1 a0   f ( x)dx  2 f ( x)dx  2 dx  ** 1 ** 1 an   f ( x)cos n xdx  2 f ** ( x)cosn xdx ** 1 Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 49 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 2   cos n xdx  sin n x n 0   n   0  2   n n  4k  n  2k ( k  Z) n  4k  y x 5 -3 3 -1  2 (Hình 8) Vậy f ** ( x)  2 cos3 x sin5 x sin7 x    cos x        (3.12) Vì đoạn [0;1] f ** ( x)  f ( x) nên (3.12) khai triển hàm f ( x) đoạn [0;1] Do thác triển chẵn hàm f ( x) đoạn [0;1] là: f ( x)  2 cos3 x sin5 x sin7 x    cos x        Đồ thị hàm f ** ( x) cho hình Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 50 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội c, Tìm chuỗi Fourier hàm f ( x) đoạn [0;1] 1 Đặt x  t  Vì x [0;1]  t [ ; ] 2 Như hàm f ( x) cho trở thành:  1   t  g (t )   0  t   Hàm g(t) thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên khai triển thành chuỗi Fourier y 3 1 1 t (hình 9) a0  Ta có: g (t )    (an cos2 n t  bn sin 2n t ) n1 Trong đó: a0   g (t )dt   f ( x)dx 1 an   a0   dt  1 2  g (t )cos 2n tdt  2 f ( x)cos2n xdx 1 Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 51 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 0 cos2n tdt  sin 2n t  n 1 2  1 bn  2  g (t )sin2n tdt  2 f ( x)sin2n xdx 1 2  1 1 cos n  sin 2n tdt  co s 2n t  n n 1 2  2    n 0 n  2k  ( k  Z) n  2k Vậy chuỗi Fourier hàm cho là: g (t )   2.sin(4k  2) t  k 1  (2k  1) Đồ thị hàm g(t) cho hình Ví dụ Khai triển hàm số f ( x)  x với  x  thành chuỗi Fourier theo hàm số sin chuỗi Fourier theo hàm số cosin Lời giải: + Muốn khai triển hàm số f ( x)  x với  x  thành chuỗi Fourier theo hàm số cosin, ta xây dựng hàm số g ( x ) chẵn, tuần hoàn với chu kì 4, g ( x)  x với  x  2 Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 52 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Hàm g ( x ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên khai triển thành chuỗi Fourier Vì hàm g ( x ) chẵn nên: g ( x)  a0  n x   an cos n1 2 x Với a0   dx  x n x x n x n x an   cos dx  sin   sin dx 2 n n 2 n  2k 0  = 2  cos n  1   4 n  n 2 2 Vậy f ( x)  n  2k  ( k  Z)  x 3 x 5 x    cos  cos  cos      Đồ thị hàm g ( x ) cho hình 10 \ y x -6 -4 -2 (Hình 10) + Muốn khai triển hàm số f ( x)  x với  x  thành chuỗi Fourier theo họ hàm số sin Ta xây dựng hàm h( x) hàm lẻ, tuần hoàn với chu kì Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 53 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội h( x)  f ( x)  x với x[0;2] Hàm h( x) thỏa mãn điều kiện Dirichlet nên khai triển thành  chuỗi Fourier Vì h( x) lẻ ( Hình 11 ) đoạn [0;2] nên: h( x)   bn sin n 1 n x Trong đó: x n x x n x n x bn   sin dx = cos  c os dx 2 n n 0 2 = Vậy f ( x)  2 cosn  (1) n1 , n  1,2, n n 2 x 2 x 3 x   sin  sin    sin  2  Tại điểm gián đoạn x  (2k  1)2, k Z tổng chuỗi y -4 -2 x -6 -1 (Hình 11) Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 54 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Như ta thấy lớp hàm số có chuỗi Fourier hội tụ điểm lớn Trong lớp hàm số tính liên tục không cần thiết Thông qua đề tài thấy số lớp hàm mà chuỗi Fourier hội tụ điểm (các hàm thỏa mãn điều kiện Dini điều kiện Lipschitz) biết số điều kiện để chuỗi Fourier hàm số hội tụ Chú ý để chuỗi Fourier hàm số hội tụ hàm số phải liên tục Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Hùng toàn thể thầy cô khoa toán Đặc biệt thầy cô tổ giải tích tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 55 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Bình – Lê Trọng Vinh, Chuỗi Và Phương Trình Vi Phân, Nxb khoa học giáo dục Nguyễn Phụ Hy, Giáo Trình Giải Tích Hàm, Nxb khoa học kĩ thuật Trần Đức Long – Nguyễn Đình Sang – Hoàng Quốc Toàn, Giáo Trình Giải Tích – Tập 2, Nxb ĐH Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm, Giải Tích-Tập 2, Nxb giáo dục Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán Học Cao Cấp –Tập 2, Nxb giáo dục Nguyễn Đình Trí - Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài Tập Toán Học Cao Cấp –Tập 2, Nxb giáo dục Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 56 [...]... hệ số Fourier và chuỗi Fourier của nó xác định như các công thức (2.5) và (2.6) 2.3.2 Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier (tổng Dirichlet) Cho hàm f  L2[- ; ] có khai triển thành chuỗi Fourier là: a0     an cos nx  bn sin nx  2 n1 Trong đó: a0  an  bn   1  1  1  x [- ; ]  f ( x)dx    f ( x)cosnxdx n  1,2,  f ( x)sin nxdx n  1,2,    Tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier. .. f ( x)sin kxdx (k=1,2 )  2.3 Chuỗi Fourier 2.3.1 Chuỗi Fourier Trong không gian L2[- ; ] , cho hàm số f ( x) Khi đó các hệ số a0  an  bn   1  1  1   f ( x)dx    f ( x)cosnxdx n  1,2, (2.5)    f ( x)sin nxdx n  1,2,  được gọi là hệ số Fourier của hàm f ( x) Chuỗi hàm lượng giác: a0     an cos nx  bn sin nx  2 n1 (2.6) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f ( x) Nghiêm... 2sin 2 Điều này có nghĩa là tính hội tụ của chuỗi Fourier của hàm f ( x) tại x0 chỉ phụ thuộc vào dáng điệu của hàm f ( x) trong khoảng ( x0   ; x0   ) 2.5 Điều kiện hội tụ đều của chuỗi Fourier Ta đã xác định một số điều kiện để chuỗi Fourier của môt hàm f ( x) nào đó hội tụ điểm Trong phần này chúng ta tiếp tục nghiên cứu một vài điều kiện để chuỗi Fourier của hàm f ( x) là hội tụ đều Định lí... x  E thì chuỗi Fourier của hàm f ( x) hội tụ đều trên E tới hàm đó Định lí 2.7 Cho hàm f ( x)  L1[   ; ] thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc   0 đều trong (a;b) Khi đó tổng riêng của chuỗi Fourier của hàm f ( x) hội tụ đều về hàm f ( x) trong đoạn [c;d] bất kì mà [c;d]  (a;b) Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán 30 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chương 3 Thác Triển Thành Chuỗi Fourier 3.1.Thác... x)cos nxdx    f ( x)sin nxdx (n=1,2,…)  Ta thành lập chuỗi: a0     an cos nx  bn sin nx  2 n1 (3.1) thì chuỗi này là chuỗi Fourier của hàm f * ( x) liên tục, tuần hoàn với chu kì 2π mà trong đoạn [   ; ] thì f * ( x) trùng với f ( x) tức là: f * ( x)  f ( x) x [   ; ] Vì thế chuỗi (3.1) sẽ hội tụ Đặc biệt trong đoạn [   ; ] chuỗi (3.1) sẽ hội tụ về f ( x) tại những điểm liên tục...  Chuỗi (3.3) vẫn được gọi là chuỗi Fourier của hàm f ( x) Câu hỏi đặt ra là chuỗi (3.3) có hội tụ về f ( x  0)  f ( x  0) hay không ? 2 Để trả lời câu hỏi này ta đi xây dựng hàm f * ( x) sao cho trên đoạn [   ; ] hoặc ( ; ] hàm f * ( x) trùng với hàm f ( x) , tức là: f * ( x  0)  f * ( x  0) 2 x [   ; ] và hàm f * ( x) lặp lại tuần hoàn với chu kì 2π Như vậy chuỗi (3.3) cũng là chuỗi. .. đầy đủ 2.2 Chuỗi lượng giác Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng: a0     an cos nx  bn sin nx  2 n1 Nghiêm Thị Trang-K33A-sp Toán (2.3) 12 Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Trong đó a0 , an , bn (n  1,2 ) là những số thực Ta thấy số hạng tổng quát của chuỗi này là: un ( x)  an cos nx  bn sin nx Đây là một hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , liên tục và khả vi mọi cấp Nếu chuỗi (2.3)... ( z)dz n  =   f ( x  z )  f ( x)Dn ( z )dz  =  1 2   f ( x  z )  f ( x)  sin 2n  1 z 2 dz z sin 2 (2.9) Các vấn đề hội tụ của chuỗi này ta sẽ nghiên cứu trong phần tiếp sau đây 2.4 Sự hội tụ của chuỗi Fourier Ta xét điều kiện đủ để chuỗi Fourier hội tụ điểm 2.4.1 Điều kiện Dini Điều kiện Dini: Hàm số f ( x) được gọi là thỏa mãn điều kiện Dini tại điểm x nếu tồn tại số   0 sao cho... ) được gọi là nhân Dirichlet của hàm f ( x) (nếu z  k 2 thì Dn ( z )  2n  1 ) 2 Ta thấy rằng với mỗi hàm số f  L2[- ; ] (hoặc f  L1[- ; ] ) đều tồn tại chuỗi Fourier xác định như công thức (2.3) Câu hỏi đặt ra là khi nào chuỗi Fourier này hội tụ tới hàm f ( x) (hội tụ điểm hoặc hội tụ đều) Để tìm hiểu vấn đề này ta sẽ xét hiệu Sn ( x)  f ( x) Ta có:    Dn ( z )dz   1 n    cos... nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2   a0 a0    ancosnx+bn sin nx     an'2  bn'2    2 n1 2 n1 a0  Theo dấu hiệu Weierstrass thì chuỗi    an cos nx  bn sin nx  hội tụ đều 2 n1 hay chuỗi Fourier của hàm f ( x) hội tụ đều Người ta có thể chứng minh được rằng tổng của chuỗi đó bằng f ( x) Định lí được chứng minh Định lí 2.5 Nếu trên tập bất kì E  [   ; ] mà hàm khả tổng f ( x) bị chặn và điều ... ta ứng với hệ số Fourier chuỗi Fourier xác định công thức (2.5) (2.6) 2.3.2 Tổng riêng thứ n chuỗi Fourier (tổng Dirichlet) Cho hàm f  L2[- ; ] có khai triển thành chuỗi Fourier là: a0  ... thành chuỗi Fourier tổng chuỗi f ( x) x  [a; b] trừ điểm gián đoạn f ( x) Rõ ràng có nhiều cách xác định hàm số g ( x ) Với hàm số g ( x ) cho ta chuỗi Fourier tương ứng, có nhiều chuỗi Fourier. .. 1 k chuỗi số, ak gọi số hạng thứ k chuỗi số 1.1.2 Chuỗi hội tụ Xét chuỗi số:  a k 1 Đặt An = k (1.1) n a k 1 k Khi An gọi tổng riêng thứ n chuỗi (1.1) Dãy { An} gọi dãy tổng riêng chuỗi