biến đổi fourier và biến đổi laplace

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINI ee

TRAN THI MINH THUY

BIEN DOI FOURIER VA BIEN DOI LAPLACE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

VINH - 2009

Trang 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINI ee

TRAN THI MINH THUY

BIEN DOI FOURIER VA BIEN DOI LAPLACE

Chuyén nganh: GIAI TICH

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học

PGS.TS ĐINH HUY HỒNG

VINH - 2009

Trang 3

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 000002202 n n n n n n n nu 1

LỜI NĨI ĐẦU 0200000200201 n nh nh nh nh xà 2

Chương 1 Biến đổi Eourier 4 1.1 Các kiến thức chuẩn bị c2 hs 4 1.2 Chuỗi FOurier 2Q 2n 2n ng nh kg ky 8 1.8 Tích phân FOUrier - c2 22222212 15

1.4 Biến đổi Fourier c2 c 222k 19

1.5 Ứng dụng của biến đổi Eourier c c 27 Chương 2 Biến đổi Laplace 31 2.1 Biến đổi Laplace 20222 n n2 nh hs 31

2.2 Tính chất của ảnh 22 34

2.3 Tích chập -.ccccQ Q Q Q2 ng ng ng HH ng ng ng kg vn ky 39

2.4 Biến đổi Laplace ngược c2 2c cà 41

2.5 Ứng dụng của biến đổi Laplace cccccccccc 45

n9 0H la 49

Trang 4

LỜI NĨI ĐẦU

Lý thuyết tốn tử là một trong những hướng nghiên cứu chính của Giải tích hàm và Giải tích phức Khi nghiên cứu các phép tính về tốn tử người ta đưa

ra các khái niệm và tính chất của biến đổi Fourier và biến đổi Laplace Các

biến đổi này rất hữu ích trong việc giải phương trình vi phân, giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài tốn Vật lý, Điện tử Qua hai phép biến đổi này ta cĩ thể chuyển các phương trình phức tạp về các phương trình đơn giản hơn

Vì thế việc tiếp cận và tìm hiểu biến đổi Fourier và biến đổi Laplace là điều

bổ ích và cần thiết Do đĩ chúng tơi chọn đề tài cho luận văn của mình là: "Biên đơi Fourier và biên đồi Laplace"

Mục đích của chúng tơi là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của biến đổi Fourier và biến đổi Laplace cùng với một vài ứng dụng của chúng

Với mục đích đĩ, luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 Biến đổi Fourier

Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn, như khái niệm về tích phân suy rộng, tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối, tích phân hàm biến phức, định lý Cauehy cho miền đơn liên, định lý Morera, chuỗi Laurent, khái niệm điểm bất thường cơ lập, thang dư

Trang 5

Chương 2 Biến đổi Laplace

Trong chương này, chúng tơi trình bày các khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép biến đổi Laplace

Các kết quả trong luận văn chủ yếu là đã cĩ trong các tài liệu tham khảo Chúng tơi đã tìm hiểu, trình bày theo bố cục của mình Chứng minh chỉ tiết

một số kết quả mà các tài liệu chứng minh vắn tắt hoặc bỏ qua chứng minh

Bên cạnh đĩ, chúng tơi cũng đưa ra một số kết quả mới như Định lý 1.4.2,

Mệnh đề 1.4.10, Ví dụ 2.1.2

Luan van được thực hiện và hồn thành tại Trường Dại học Vĩnh dưới sự

hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo PGS.TS Dinh

Huy Hồng Tác giả xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy

Nhân dây, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới Ban

chủ nhiệm khoa Tốn, Ban Chủ nhiệm khoa Sau đại học, và tất cả các thầy

cơ giáo trong bộ mơn Giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học

tập tại trường Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện

động viên, giúp đỡ tác giả hồn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu

Mặc dù đã cĩ nhiều cố gắng song luận văn khơng tránh khỏi những thiếu

sĩt, kính mong quý thầy cơ và bạn đọc gĩp ý để luận văn ngày được hồn

thiện hơn

Trang 6

CHƯƠNG 1

BIEN DOI FOURIER

1.1 CAC KIEN THUC CHUAN BI

1.1.1 Định nghĩa Cho a € R và ƒ : [a,+o0)—R 14 ham kha tich trén mọi đoạn [a,b] với b > a Khi đĩ đẳng thức

b

F(b) = [ Hoar b>a (1)

xác định một hàm # : [a,+oo)—lR Nếu hàm # trong (1) cĩ giới hạn là 7 (hữu hạn hoặc vơ hạn) khi b— + oo thì 7 được gọi B tích phân suy rộng của

+00

ham f trén [a,+oo) vaky hitula f f(x)dx = jim fH) )da

a bo0 Gq

+00

Nếu T tồn tại và hữu hạn thì ta nĩi tích phân suy rộng ƒ ƒ(#)dz hội tu

a

về I va viét Tra \dx =I

a

Néu / khơng hữu hạn hoặc khơng tồn tại giới hạn lim #{0) thì ta nĩi tích boo

phan suy rong ự ƒ(œ)da phan ky

a

Tương tự như trên ta cĩ định nghĩa sau

1.1.2 Định nghĩa Cho ƒ : (œ,ø]—R là hàm khả tích trên mọi đoạn [b,a], b< a Tich phan suy rong ctia ham ƒ trên (—o, &] là giới hạn nếu cĩ

,im f ƒ(z)d+ = / f (a)da

b —o°o

1.1.3 Định nghĩa Cho ƒ : (—oe,)—>›R và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn 7ích phân suụ rộng của hàm ƒ trên (—oe, +o©) là

+90 a +oo

Trang 7

với œ € IR và nếu về phải là cĩ nghĩa

+00

1.1.4 Định nghĩa Tích phân suy rộng ƒ ƒ(z)d+ được gọi là hội tụ tuyết

a

+00

đối nếu tích phân ƒ |ƒ(+)|dz hội tụ

a

+00

Néu tich phan f ƒ(2)dz hội tụ tuyệt đối thì nĩ hội tụ a

1.1.5 Định nghĩa Cho ham W = /(z) xdc dinh trén mién , nhận giá

trị trong C va z € D Ham ƒ gọi là giải tich tai 29 néu tdn tai lan can U của zg sao cho f kha vi tai moi z € U

Ham / goi lA giải tích trên miền D nêu nĩ giải tích tại mọi z € D

1.1.6 Định nghĩa Giả sử + là một đường cong trong RŸ (trong C) và Ƒ: + với ƒ(2) = u(z, 9) + i0(,9), z—=#+iu€ + Ta gọi tích phân của ƒ trên + là biểu thức

“u(x, yjdx + u(x, y)dy +i | v(x, y)da — u(a,y)dy := | ƒ(2)dz

| | y |

1.1.7 Định lý (Cauchy) Giá sử D là miền don lién trong C va ham ƒ giải tích trên D Khi đĩ tích phân của ƒ trên moi đường cong đĩng nằm trong D

đều bằng 0

1.1.8 Định lý (Morera) Cho ƒ là một hàm liên tục trên miền don lien D 0à tích phân của ƒ theo mọi đường cong đĩng trong D đều bằng 0 Khi đĩ ƒ là hàm giải tích trên D

Giả sử với mỗi số nguyên k, ƒ¿ là một hàm xác định trên tập 4 Ta gọi

«oo

chuéi ham >> ƒ;(z) trên 44 là tổng của hai chuỗi hàm

k=—œ

=1 oo oo

So fel) = Sofa) va YO fel)

Trang 8

Như vậy

—1 oo

So fkla)= So fel) + So fel)

k=0

k=—œ k=—œ

1.1.9 Dinh ly (Laurent) Cho hàm ƒ giải tích trên hành vanh khan

V={zECir<|z—-zl<R}.0<r<R<w

Khi đĩ trên V ta cĩ

CO

F(2)= SO axle — 20)" (1)

k=—oo

trong đĩ các hé 86 ag la duy nhat va được tính theo cơng thúc

1 f(n)

L = —————d +

ak | pos 1

“p

Œp là đường trịn tâm zụ, bán kính p uới r < p< lì

1.1.10 Định nghĩa Chuỗi (1) trong Dịnh lý 1.1.9 được gọi là khai triển Laurent hay chudi Laurent cia ham ƒ trong hình vành khăn {z € C: r <

|z — zo| < f} Trường hợp r = 0, chuỗi (1) hội tụ trong hình trịn thủng

{z€(Œ:0< |z-— zo| < R} ta gọi (1) là khai triển Laurent cia f trong lan

cận của zọ Trường hợp zo = 0, !? = œ, chuỗi ° a,zÈ hội tụ trong miền

k=—oc

|z| > r đến hàm ƒ gọi là khai trién Laurent cia f trong lan can cia oo 1.1.11 Định nghĩa Điểm zọ gọi là điểm bắt thường cơ lập của hàm f néu ƒ khơng xác định tại zo nhưng xác định và giải tích trong hình tron thủng

0<|z—zo|<#, R>O

1.1.12 Định nghĩa Giả sử zọ là một điểm bất thường cơ lập của hàm ƒ

Khi đĩ tồn tại ƒ > 0 sao cho ƒ giải tích trên hình trịn thủng 0 < |z— zo| < R lý hiệu Œ› là đường trịn tâm zo, bán kính ø Ta gọi thăng đư của ƒ tại điểm

zo la

res[ f(z), Zo] = , [ieia: 0< ø< đ

271,

Trang 9

1.1.13 Định ly (a) Néu 2 1a o0-diém đơn của hầm ƒ thì

res| f(z), 20] = lim (z — 20) f(z)

(b) Nếu ƒ(z) = oe yp tà ¿ là các hàm giải tích tại zạ thỏa mãn

¢(20) #0, Ø(zo) =0, # (2o) # 0

thà

res(ƒ(2) 2] = Ty

(c) Nếu zụ là - điểm cấp m của hàm ƒ thì

res[J(z), z0] = = 1 " ae sả (2)Ì

1.1.14 Dinh ly Cho ham f gidi tich trong mién D trừ ra một số hữu hạn

điểm bắt thường cơ lập z\.z3 zu Khi đĩ uới mọi chu tuyến + sao cho i

{ZI;22 ;Zu}C DC + đều cĩ

[tou = 2ni È ` res[ƒ(2).j]

7 J=I

1.1.15 Định lý Cho số thực a > 0 uà hàm ƒ giải tích trên tồn mặt phẳng trừ ra hữu hạn các điểm bắt thường cơ lập cĩ phần thực khác a tới

lim ƒ(z) =0

2Z—oo

Khi đĩ uới mọi t > 0 ta cĩ

1 at+ioo n

tz , jit

I(t) = = / e” f(z)dz = dures fe" f(z), 2]

a—ioo j=l

trong d6 {21,22, , z„} là tập các điểm bất thường cơ lập của ƒ(z) cĩ phần

Trang 10

1.2 CHUOI FOURIER

1.2.1 Dinh nghia Ta goi ham

1

P(ø) = ° + À X(aycoske + 0gsink#) VzeR

k=l

là một đa thức lượng giác, trong đĩ ao, ag.b, € R, k =1,2, 1.2.2 Định nghĩa Giả sử ƒ : [—z,z]—>†‡ là hàm khả tích Đặt

HỆ

== | Fe) cos kde, k=1, T

Li

bụ = — [ 10) sinkadx, k =1,2, (1)

Ty

Ta goi ap bp, k = 1,2, lA hé sé Fourier cia him ƒ và gọi chuỗi

oO

ao

at (ax coska + by sinks) k=l

là chuỗi Fourier của hầm ƒ Khi đĩ ta viết

ao

f(a) ~ 5 + » (ay coska + by sinks) (2)

1.2.3 Nhận xét Nĩi chung chuỗi Fourier của hàm ƒ chưa chắc đã hội tụ

và nếu nĩ hội tụ thì cũng chưa biết tổng của nĩ cĩ bằng hàm f hay khong?

Do đĩ cĩ một vấn đề đặt ra ở đây là với điều kiện nào thì chuỗi Fourier hội

tụ tới hàm f? Sau đây ta sẽ giải quyết vấn đề này

Đặt

Sn(f.2) = OL (ax coska + by sinks)

k=1

Ta cĩ

T7

1

Trang 11

Tr

== [ft u IF + SN eosk( x —u) au = = cj ta x —u)du,

ne k=1

n

=‡ + È) cosk(% — 0)

a

Dirichlet cap n chia ham f

trong d6 Dy(a — 0) “ Ta goi Dy(a — u) 1a nh

Vi 2sin 4 5 cos kt = sin (k + Na (k — 4) t nén

n 1 Dạ(Œ) = s1? » cos kt k=1

[sin +sin mỸ+ 4sin tt!

=> sin — sin — — sin = sim ,

2sing 2 2 2 ay 2n+1 _ sin at int 2sing Từ đĩ ta cĩ ƒ(u)Da(u — #)du, " - — 7) Dy(u : n( )= 2sin * Đặt u — z = / thì " „20-1 1 sin“s—t su(ƒ,#) =— 7 ƒ(+f) 2sins =, dt —T— T 2n+1 1 sine l ==] f(r+ pat T 2sin 5 ion a 0 5 | fe nộ sin} =‡j J[fœ+1) + f(x ta ————di+— tren + sin 2n—1 L = yt 2sin5 5 (3)

Ta nhắc lại ring, ham ƒ gọi là liên tục từng khúc trên đoạn [a,b] néu f liên tục trên [a,b} trừ ra hữu hạn điểm gián đoạn loại 1 Hàm ƒ gọi là trơn

Trang 12

1.2.4 Dinh ly (Riemann - Lebesgue) Nếu hàm ƒ(z) trơn từng khúc trên

đoạn [a, b| thì với mọi số thực ¿ ta cĩ

À—>œ b lim [26bess0x +)d+ =0 a va À—oo b lim |relsn0u +#)d+ =0 a

Ching minh Chon 79 =a < #1 < #2 < -: <#NT—1 <# = b là các điểm sao cho trên mỗi khoảng (#_+,) hàm f cĩ đạo hàm /” liên tục Khi đĩ

b N3

/ f(a) cos(Aa + ¢)da = » / f(x) cos(Ax + y)da

k=lyy N ° + in(\ Pp 2 XE 1 %

= ` [Ammar+2 ‘ iI À #41 —— / f' (x) sin(Ax + eda] Xr

= #k—1 i 14- |/)sim(Aø + #) ~ ƒ(a_1)sin(Akt + 2)| rary ¬ >~ Ax = Il / f'(x)sin(Ax + y)dx Up-1 >| ~ li c=l

Vì ƒ trơn từng khúc nên tồn tại số Äƒ > 0 sao cho

|ƒ(aT)|<AI, |ƒ0-~)|< M, f(a) | <M, f'(27)<M với mọi # € (#g_1,#), k =1, ,/V Trong đĩ, ta ký hiệu

f(ut) = lim ƒŒ).ƒ(u )= lim f(t), u € [a,b)

tout tou

Từ đĩ ta cĩ

b N

| 2MN Me

| [Fo cos(Àz# + #)dz\ < {ty So (ax — #g—1)

a kel

Trang 13

Do đĩ jim hile #)cos(Àz + p)da = 0

A>00 |

Đăng thức cịn lại được chứng minh tương tự

1.2.5 Nhận xét Nếu hàm ƒ trơn từng khúc và cĩ hệ số Fourier là {ag, by} thì

lim az = lim by = 0 k—œ na ko k

That vay, thay \ = k, ¿ = 0 vào Định lý 1.2.4 ta cĩ các đẳng thức này 1.2.6 Định lý Nếu hàm ƒ tuần hồn oới chu kỳ 2 ồ trơn từng khúc trên

mỗi chu kỳ thà chuối Fourier của ƒ hội tụ đến ƒ (x) tai moi x ma f lién tuc va hoi tu dén Le" the") tai moi x ma f gidn doan, tic la vdi moi x € R

f@)+f@) _ «> > =e + „0 cos ka; + by sin kx) sy + by sin ki

Chitng minh Vì

TT

2 2

ofp níu ÄN © Seon) a=

0

nén theo (3)

s(0,3) = gÍfŒ*) + J2)

= [Œ +u) + ƒŒœ — w)|Dạ(w)du — lft (= f Da udu

0 {(œ +) T— ƒ(œ*)] + [ƒŒœ — u) — ƒ(#~)]}D›(u)du

=—

ma

<

Chọn 6, 0 < 6 < m sao cho ƒ7(u) liên tục trên các khoang (a — 6,2) va

(2,2 +0) Dat M = sup |{'(x)| Ap dung Dinh ly Lagrange ta c6 sin? u_ |

ỗ

[UG+%)=7@°)1+ le 0) — fee} eran

0

Trang 14

2n+1

in +

—— 2> du | (0<0i, 0ạ <1)

_1 luf'(@ + Ou) — uf" (a — Ogu)} 2sin ' ¬ du = Mo u ha | wie 6 i ỗ “ng ¬ 0

Với ¿ > 0 tùy ý đã cho, chọn ổ > 0 đủ nhỏ để f’(u) liên tục trên các khoảng đã chỉ ra ở trên và 0 < ð < sắy Ta cĩ

|h| < Shs 4)

Trén doan [5,7] ham

4 f(a +u) = f@") + fle =u) — f@)

On(u) = 2sin Ÿ 2

là trơn từng khúc nên theo Định lý 1.2.4, tồn tại Đ sao cho mọi ø > thì

1 2n +1

|| = [ao sin = udu| <

n 15 | `2|*6 =~ Ot Từ (4) và (5), với mọi n > N ta c6 ISn(f.2) — sl) + Fe] < v Do đĩ

(ax coska + by sinka), V2 ER > ll

TM:

silt) + F007) = Jim, Sy(f.2) = a9 +

1

(Để ý rằng, nếu ƒ liên tục tại # thì ƒ(zT) = /(ˆ))

1.2.7 Nhận xét Từ năm 1871 Dubois - Reymond đã cho ví dụ về hàm

liên tục nhưng khơng trơn từng khúc cĩ chuỗi Fourier khơng hội tụ về hàm đĩ

1.2.8 Chuỗi Fourier của hàm tuần hồn với chu kỳ /

Trang 15

Co

la y(t) ~ B+ tài (ag, cos kt + Øy sin kt), trong dé

3 QE -=| p(t) coskidt, 6, = | p(t) sin ktdt, k = 0,1, —Tm TL —T Trở lại biến z và hàm ƒ ta cĩ £ 'Íz( ork PLEO 1 T "| 9 ak = Nie Qik [ (a) cos Sade

2 |

=

Hồn tồn tương tự với đy, ta cĩ

=F f £2) cos Fd, k=0.1,

=F f fe) sin Fd, k=1,2, (6)

Ta cĩ chuỗi Eoirier của ham f với chu kỳ £ là

2km

ƒ()~— oy > C08 ——+ + “ø + Ox sin 7 2) ——* ] (7) ĩ Với ax, Gy cho bdi (6)

1.2.9 Dạng phức của chuỗi Fourier

Đặt

2k Qkr r) u(f,2) = > Oy » án cos 7

và gọi nĩ là chuỗi Fourier của ham ƒ với chu kỳ £ Theo cơng thức Euler

2km 1 (c jing + a)

cos —-27 = = 7 6e +

Trang 16

Từ đĩ

0 ay — iby cite ag + iby ike

s3)< tà ( 2 toe), CO —% - ¬_ ¡2m 2 4 ` tok ek tea, k=0 k=-1 Vậy cĩ thể viết _ Che ere (8) k=—oe C = nếu & > 0

4k = ori ib, =C_p, neu k <0 oA £

trong đĩ

Với k > 0 ta cĩ

7h = £ da J(u) (=” TT, — 7sin ru) du

= ; [roe

Với k < 0 ta cĩ

Lj ~2k ~2ku

Œpy =— [ 1 (, cos ( “ — isin ( “u | du

Trang 17

Ta gọi chuỗi Fourier của hầm ƒ là chuỗi (8) với hệ số cho bởi (9) Ký hiệu ‡ = vg Coi k nhu la ham của 1 ta cĩ k = 0 Khi đĩ cũng cĩ thể coi Œp là hàm của

Œpy = C(1y) =} J x " (10)

gi

1.3 TICH PHAN FOURIER

Cho / là một hàm tuần hồn với chu kỳ £, trơn từng khúc trên mỗi chu kỳ Khi đĩ, theo Định lý 1.2.6 flat) + v8 TP “` >1 k=-œ Theo (10) trong 1.2 ta cĩ œ œ -

= » C(y)c 27 = ` tc(uy)c 2# Auy, (1)

k=—œ k=—œ trong đĩ kt+1 k 1 Av = 22 ee vk TG | fc(1⁄) = J foe em

Chuỗi (1) cĩ dạng là một tổng tích phân của hàm ƒ)e 12m? theo biến w, 6 day

£00

flv) = lim le(v Ni flue edu

1.3.1 Định nghĩa Giả sử hàm ƒ(#) khả tích trên IR Ta gọi tích phan

oo oC Cc

| / fue?” du | dv = / fv)" dudv, (2)

Trang 18

la tich phan Fourier cia f (2)

Mot cau hoi duge đặt ra ở đây là tích phân Fourler của hàm ƒ cĩ quan hệ gì với hàm ƒ Dịnh lý sau cho ta câu trả lời

1.3.2 Định lý Nếu hàm ƒ() khả tích tuyệt đối trên IR, tức là

%

J |f(2)|dz = M < œ (3)

—®%œ

0ù trơn từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của I thà cĩ đẳng thúc

(a) = gIf*) + S| = | / Puye2@"—du | du (4)

—oc \œ%

Chitng minh Do (3), tich phan (4) hoi tu déu theo bién x va cĩ đánh giá

| i2rv(a—u) ; b, —

| ƒ(u)c đu| < Piru) =M

với mọi # € Từ đĩ tích phan

v(f,2) -j [fre ƒ(u)c27a= va) dv Cĩ thể đổi thứ tự lấy tích phân

oo N

I(f,2) = / tu) [em *—) dydu

Trang 19

CO sinanNe 5 (5) = fier + fe) 0 V6i moi A #0 ta cé [~ Uh _ / sin Uh a u + 2 0 0 Do đĩ 2 f sin 2nNt xi TNE HS 1, (6) 7 t 0 Từ (5) và (6) Iv (f,2) — f(@) = QNt 1 2 f sin 2nN 3 fu a +t) + fleet — tay tị s09) + ree fe

7Í z

0 "`

sup |J (4 )|} Với e > 0 tùy ý, chọn 6 > 0 sao Dat My = maz{sup |/(z)|

cho 0 <t <6 thi iG +1) va Sa — t) cĩ dao ham lién tuc va 6 < air: Theo

định lý Lagrange, ton tai 01, 02,0 < 01,62 < 1 sao cho

sin 2a Nt

———dt ỗ

== [tes = fe") = fe) = fry

Trang 20

Do tính hội tụ của tích phân (6), tồn tại # đủ lớn sao cho Co 2M < nm 2M, [> 2mNu < £ sc L1 iva —— | ——— du| 6 T u <- R

Cuối cùng, với 6 > 0 va R > 0, moi /£ € [ơ, !?] hàm

f(a+t) + f(a—t) — flat) — fla)

t

6,(t) =

là trơn từng khúc nên theo Định lý 1.2.4, tồn tại No sao cho moi N > No

sin 2x Nidi) <=

a) |i flere ste =O = fe) =f

R

Trang 21

1.4 BIEN DOI FOURIER

Ta ký hiệu + là tập tất cả các hàm kha tich tuyét d6i trén R va dat

I/lli = / LF (an) |der

1.4.1 Định nghĩa Với mỗi ƒ € L, theo Định lý 1.3.2 từ đẳng thức (4)

ta cĩ so oe f(a) = | [syed c?11⁄3 dụ, (1) -—o \oco Ta goi ham ƒz)= | J(œ)e ? 2d, zcTR (2) 50

là biến doi Fourier cha f

Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là hàm biến đổi Fourier ƒ của ƒ cĩ những tính chất gì? Các Dịnh lý sau giải quyết vấn đề này

1.4.2 Định lý Nếu ƒ € Lị thà f la ham liên tuc va bi chăn trên H Chitng minh Vi

je?) — |eos vy — isin ay| = 1 Vz,u€IlR

lf(y)| < / [f(a)e- 24 dar

< | l7ø)w = lilh Vyek

Do đĩ f bi chan trén R

Trang 22

Gia stt y € R va {ym} la mot day trong R va ym—y Ta can chứng minh f(Ym)— f(y) Ta cĩ CO eum) =n)? ff player 2x, m= 1.2 —®œ ƒ(n)c 79m Ƒ(w)e ?"“V hi m—oo Va € R ƒ(œ)e 781 < |Ƒ()| Ve ER, Vm

và |ƒ/| khả tích trên /# nên theo Dịnh lý Lebesgue vé su hdi tu bi chan thi

[ foyer lu

xc —%

Do đĩ fm) f(y) và ta kết luận được f lién tuc tai y Vi y là điểm bất

kỳ của R nén ƒ liên tục trên R

1.4.3 Định lý Cđo ƒ € Lị Với mọi r > 0, đặt ƒr(+) = ƒ(ra) Khi đĩ #;z) = z!(§)

Chứng mạnh Tà cĩ

1.4.4 Định lý Cho ƒ là một hàm khá tích tuyệt đối trên R Với mỗi

y ER, dat fY(x) = f(a —y) Khi do (f¥)(2) = e 2" f(z); (f)" = h, trong

Trang 23

Ching minh Ta cd Co (PY(2) = J Pla — g)c—?2dg S% _ J ƒ(x)e ?119)24„ —oœc =c ?niuz f(z)

(A"2) = fle—n) = / c~?7Œ~1) Ƒ(y)dy

= J c2 f(a) 2" da = h(z)

1.4.5 Định lý Néu 2 f(x) kha tich tuyet doi tren R v6i moi m < k thi

f khả vi lién tuc k lan va (f) ứn) = ((—2zia)"ƒ)^

Chitng minh Ta co Co _ dm m) c2rigz Mo —27i#z (0 = om [© f(a dx = [1 ƒ(z).(—2iz) dx

1.4.6 Định nghĩa Cho ƒ và ø là các hàm khả tích tuyệt đối trên IR Ta gọi fích chập của ƒ và ø là

CO

fx g(2) = | fla —y).g(y)dy

oe

1.4.7 Dinh ly Ta c6 f * g(z) = flz)g(z) Vf vag e Li

Chiing minh Ta c6

Trang 24

®œ co

=J |9)? tan dụ

—œ —

= fle), [ sye?rray

—œ

1.4.8 Dinh ly Œđo ƒ là hàm khả tí liên tục k lần va vdi moi m <

—

k, ƒ0*)(œ)—›0 khi x00 Khi đĩ (7®) = (2miz)È ƒ(z)

Chiing minh Ta c6 +90 (?)Œœ) = | (aye 22d —o oO — f Ha(eniveje ax ox — f(a)c ?2 °° oe #=_—o% = 2rizf(z)

Theo quy nap ta dude (f*))(z) = (2ziz) ƒ(2)

Ta ký hiệu + là khơng gian các ham do được Lebesgue va bi chan hầu khắp nơi trên ïR với chuẩn

I/le =in/[ sụp |/@)|: ECR,u(E) =0} œeR\E

f € Loo, trong đĩ là độ đo Lebesgue trên R

1.4.9 Dinh nghia Ta goi Anh xa F : [; 31 voi F(f) = Ẩ fella phép bién doi Fourier

1.4.10 Ménh dé Phép bién doi Fourier la ánh xa tuyến tính liên tục

Chứng tinh Từ tính tuyến tính của phép lấy tích phân Lebesgue suy ra Ƒ° là ánh xạ tuyến tính

Theo chttng minh Dinh lý 1.4.2 ta cĩ

Trang 25

Do đĩ #' liên tục

1.4.11 Định nghĩa Với mọi hàm ƒ(z ‘ kha tich tuyét déi trén R, ta goi

biến doi Fourier nguge cha f(a) la f(x) = f(—2) = =ƒ )c?121z,

^ x

1.4.12 Định lý Nếu ƒ sà ƒ khả tích tuyệt đối tren R thi (f) = (f) = f

hầu khắp nơi

Dể chứng minh định lý này ta cần 4 bổ đề sau

1.4.12.1 Bổ đề Nếu ƒ ồ g khả tích tuyệt đối trên R thì

I ƒ(z)8()dz = [fo Fa)g(a)de

Chứng mình Hai tích phần đều bang

J fi f(a À)c 27 dy dX

4 zA2

1.4.12.2 Bồ đề Nếu ƒ(+) = e 7“, a >0 thì ƒ(A) = ase”S

Chứng tinh Theo Dịnh lý 1.4.5 và Dịnh lý 1.4.7 của biến đổi Fourier

^

(Ơ „— 889) Ê(À)

: FQ)

(2rd) ft (2) \F(A)

Từ đĩ 4 (ef) = = 0 va do dé e = F(X) la ham hans

enna

“Oe (7)

Co

7 ƒ(0) = f hdr = a3 (tích phân Poisson) nên e”2 BF) = = a2 Với

—oo

mọi hàm ¿ khả tích tuyệt đối trên R ta ky hiéu

Trang 26

1.4.12.3 Bổ đề Cho ham ƒ khả tích tuyệt đối trên IR Khi đĩ

lim ||ƒ” = ƒ||i = 0 >0

Chitng minh Gia st’ g la mot ham liên tục cĩ giá compăc trên lR, tức là tap K = {x ER: ø(z) # 0} compäc Do ø liên tục đều nên

lø ~ gl = Jun \a"(2) — g(e)ldt < lạt — gllum()—0 khí y—0,

(ở đây ký hiệu ||l¿|| = sup |l¿(z)| rm(K) là độ do Lebesgue cia tập K)

Vì f kha tích tuyệt đối trên nên mọi e > 0, tồn tại ø cĩ giá compăc sao

cho ||ƒ — ø|[< § Khi đĩ

2

l/” — /lli < lƯ — ø)”li + llø” — ø|li + Ilo = Sila 1< 3+ lly’ —glh Theo đoạn trên nếu ¿ đủ nhỏ thì ||ø# — g||ị < § nên ||/# — øÌ||i <e

1.4.12.4 Bổ đề Cho ¿ là hàm khả tích tuyệt đối trên IR va i ¿(#)dz = 1

Khi đĩ uới mọi hàm ƒ khá tích tuyệt đối trên ta cĩ

lim ||f * ee — fll, =0

Chitng minh Dat y = Lz ta cĩ

“ai#) = ƒứ) = [ fŒ = 9)= f)lei0)dy

œ

Từ đĩ theo bất đẳng thức Minkowski

Trang 27

Vì |JƒZ — /ll < 2|ƒlh và theo Bổ đề 1.4.12.3, him |"? — li = 0 với mọi

z nên

li lim ||ƒ * ý: — ƒÏlh vi - fil, <0

Chứng minh Định lý 1.4.12 Với / > 0 và z €R đặt

¿(2) = c2nixA~zi??

Theo Dịnh lý 1.4.3 của biến đổi Fourier và Bồ đề 1.4.12.2 ta cĩ

^ x(z—w)2

Ply) =t le @ =gi(w= 9)

trong d6 g(#) = e~™" Theo B6 dé 1.4.12.1

[ 2-7 0)ad = / f(z)g(+)d> = | f(x)g(x)da: = f * g(x) °° 2 2 Vì f e77 dx = 1 nén theo Bo dé 1.4.12.4 —œ lim |ƒ * ge ~ fl, = 0 Từ đĩ oo

| eH TEN o2ri@d F(\)d\— f(x) theo chuẩn ||.|[i khi #0 (3) —o0

Mat khac, do f khả tích tuyệt đối nên theo định lý hội tụ bị trội

So Co

J €—UA) 2À ƒ(A)đdA— J e271 F(\)dd = (f)Y (x)

—0o —oœc

A

theo chuan ||.||; khi 40 Két hgp điều này với (3) ta cĩ ƒ = (ƒ) hầu khắp

Trang 28

Tương tự ta cũng cĩ ƒ = (ƒ) hầu khắp nơi

1.4.13 Nhận xét Theo Dinh ly 1.4 12, nều ƒ và ve tích tuyệt đối trên

R thì ta cĩ ƒ() = =f ƒ(z)c?*##d¿ = f i ƒ(œ)e2m(®=1)quä4y hầu khắp

—oc —00

nơi

1.4.14 Biến đổi Fourier thực

Cho ƒ(z) là một hàm trơn từng khúc, khả tích tuyệt đối trên IR Theo Định

lý 1.3.2

ƒ(œ)= sứ f(a) + f(at) " J 10) ƒ(u elm (a s4] dv Từ đĩ theo cơng thức Euler

oO

F(z) = j Le ƒ(u)cos2n(% — nh dư +i / (ƒ(u)sin2m(œ — u)du) du —oc

=J ( fs ‘)cos2ru (a — " dv

Vé /

Do ham v +> f f(u)cos2rv (2 — u)du chan trén R nên

—o0

=

n)=2 f / ƒ(u)cos2m(% — u)dudv (4)

0 —

Bằng phép đổi biến 2z = œ và ký hiệu

1 Aw) == / ƒ(œ)cosuudu, (5) 1 Co B(w) =— J ƒ(œ)sinudu T (6) —œ% Từ (4) ta cĩ

Trang 29

Các hệ thức (5), (6), (7) gọi là biến đổi Fourier thực của ƒ(3)

Nếu f(x) chin thi B(w) = 0 Ta goi bién déi Fourier cosin cia ham chin fe(w) = VỆ / ƒ(u)cosuudu,

0

2 Ta

f(z) = V2 a fe(œ)cosưudu

Nếu f(z) lé thi A(w) = 0 Ta goi bién di Fourier s¿n của hàm lẻ ƒ(z) là

f(#) là cặp cặp A 2 ở fs(w) = VỆ ƒ(u)sinuudu, 4 / 2 f2 f(z) = VỆ tị fs(w)sinwudu 1.5 UNG DUNG CUA BIEN DOI FOURIER

1.5.1 Bài tốn Dirichlet trong nửa mặt phẳng trên Tìm nghiệm của phương trình

bầu + dâu 0 <#œ<%, >0 (1)

—s+s=0_ Ox? Oy? -*<#<œ, ỹ thỏa mãn điều kiện

thực hiện JKhi đĩ

oO

đ(z,) = [eee tra

Trang 30

Do đĩ

Co —_—~_

Paley) _— f Pule.y) _„„j„„„ — (Pury)

Oy? Oy2 ˆ TC Oy? ‘

—%

tức là ee

Ba) _ 838 Oy? } Ay?"

Từ Định lý 1.4.8 ta cĩ On ^ (5) = 2712 in —s | =-(2nz)? (5) (2z) Kết hợp với (1) và (2) ta cĩ Pu a 2a — 9 —(27z) ut op —o (3)

Giải phương trình (3) ta được

u(z.y) = Cye 2 lely + Coe? lly,

Vì e?/!“lV khong c6 bién déi Fourier ngudc nén ta xét trudng hop C2 = 0 Khi dé

đ(z.u) = Oie-?1#Ù,

Do d6 ti(z,0) = C1

Theo điều kiện (2) ta cĩ

oO S%

u(z,0) = J u(œ,0)e”?"?d+ = J f(ax)e 2" dx = f(z) Từ đĩ ta cĩ Cy = f(z) Do đĩ

Trang 31

Đặt 2(z) = e7?! ta cĩ Co CO g(x,y) _ J ?(z)c?7?dz _ | e2tivz—27|2|y Jy —oo —oo 0 % — / c2 (9)? q„ + / c2n(4—)2q1„ —œ —œ =—_”— (3? +2) Từ đĩ, theo Định lý 1.4.7 ta cĩ oO

ny) veya f —* —pwa

— sẽ

—œ®

1.5.2 Phương trình truyền nhiệt Bài tốn Tìm nghiệm của phương trình

Ou Pu

> = yw Ot Ox (4)

thỏa mãn điều kiện

u(œ, 0) = f(x) (5) Gidi Ta cĩ — Pu on —Y = 2 T Ue (=) (2=z)⁄? Từ đĩ ta cĩ Ott aT = -(2zz)? ˆ

phương trình này cĩ nghiệm là (z,£) = cĩ” 72))1,

oo -

Mat khac, tit @(z,y) = ƒ u(œ,t)e~?*2dz ta cĩ

Trang 32

Từ điều kiện (5) ta cĩ G(z,t) = fie — Antz?

Theo Bo dé 1.4.12.2 (2) = (e- AP tz?) A — = (4m) ie eat, x Ny

Vay ta cé nghiém u(x,t) = f * g(a)

1.5.3 Phương trình truyền sĩng Bài tốn Tìm nghiệm của phương trình

Pu Ou

= a =I 6

Ot? = Ox? (6)

thỏa mãn điều kiện

Ou

u(x,0) = f(z), 5, (#0) = g(a) (7)

Giải Tà cĩ phương trình của biến đổi Fourier Oru

SP +417 27% =0

với điều kiện

Pt

đ(s.0) =ƒ() r0) =0)

Nghiệm của phương trình này là

Trang 33

CHƯƠNG 2

BIEN DOI LAPLACE

Trong chương 1, chúng tơi đã trình bày các kiến thức chuẩn bị cần dùng trong luận văn và khái niệm, tính chất của biến đổi Fourier Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm và các tính chất của biến đổi Laplaee

2.1 BIEN DOI LAPLACE

2.1.1 Định nghĩa Với mỗi hàm f(t) xdc dinh trén R, ta xdc dinh mot hàm biến phức p

CO

rp) = fersoa, pec (1

0

Hàm #(p) được gọi là biến đổi Laplace của ham f(t) Ham Ƒ(p) cĩ thể

khơng tồn tại với mọi hàm f(t)

Để đảm bảo F(ø) luơn tồn tại, ta chỉ giới hạn xét ƒ(£) thuộc một lớp hàm

đặc biệt, gọi là hờm gốc

Ham ƒ(£) xác định trên R được gọi là hàm gốc nêu thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1) f(t) =O khit <0

2) Trên mỗi khoang (a,b), 0<a<b < oo, f(t) tron ting khúc, tức là ƒ

và f’ liên tục trừ ra hữu hạn điểm giới hạn loại 1

3) Khi t-00, ham ƒ(f) cĩ cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại các hằng số a va M sao cho

[f(t)| < Me® véi moi t> 0 (2)

Ký hiệu ao = inf{a : a théa man (2)} va goi ao 1A chi 86 téng cia ham

F(t)

2.1.2 Vi du Gia stt f : R-R 1a ham dugc xac dinh béi cơng thức ƒ(£) = 0

Trang 34

ƒ() = đạt? + au dt?” Í + ‹-‹ + ao, với mọi t > 0, trong d6 aj ER, j =0,n, an £0

Khi d6, ttt lim = =oo lim = =o véi moi a > 0, véi moi n € N,

#00 &” a0 +”

SUY ra

[ƒ()| < lan|.f" + |au-i|4?—” + -‹- + |ao|

< Me™, v6i moi t > 0, véi moi a > 0,

trong đĩ Äƒ = n.maz{|ao| |an|}

Hiển nhiên ƒ(/) trơn từng khic trén méi khoang (a,b), 0 <a <b <n

Do đĩ f(t) lA ham gốc

Mặt khác, nếu œ < 0 thì với mọi 3 > 0, do limlimils;—.|f(t)| = 00 va e*t < 1, với mọi £ > 0 nên tồn tại /¿ > 0 sao cho |f(t)| > Be

Từ đĩ suy ra ap = inf{a € R:a thoa man (2) } = 0

Ta nhan xét rang véi w = ap, (2) cĩ thể khơng xảy ra, chẳng hạn trong Ví dụ 2.1.2, ƒ(/) là hàm gốc với chỉ số tăng œo = 0 nhưng chúng khơng bị chặn 2.1.3 Định lý Giả sử œạ là chỉ số tăng của hàm ƒ(I) Khi đĩ tích phân

(1) hội tụ tuyệt đối tại mợi p cĩ Rep > ao, hơn nữa uới mọi p thỏa mãn

Rep > x9 > ag sự hội tụ là đều

Trang 35

Từ đánh giá trên suy ra tích phân Ƒ(ø) hội tụ tuyệt đối với mọi p cĩ

Rep > ag Néu x > 29 > ao thi

M M

(p)|<<————— = | F(p)| < :

| (Ì + —aa=g | (0Ì < Ta?

nên sự hội tụ là đều

2.1.4 Định ly Bién doi Laplace F(p) ctia hầm f(t) c6 chi số tang ag là

ham gidi tich trén mién Rep > ao

Chúng mình Xét tại điểm po bat ky, Repo > ao Chon 2:9 sao cho Repo >

#0 > Qo va lan cận U cia po sao cho Rep > 29 v6i moi P € U Gia sty 1a

mot chu tuyén trong U Ta cé

%œ S%

[Fou | [t0 a= | 10) / e dp | dt = 0

ĩ i i

Ở đây tích phân giao hốn được do Ƒ(ø) hội tu đều tren U, f[,e~?dp = 0 do e"?! giải tích trên tồn mặt phẳng Từ đĩ theo định lý Morera, (p) giải

tích trên mién Rep > ao

2.1.5 Định nghĩa Với các ký hiệu như trong 2.1.1

Ta gọi (0) là ảnh của ƒ() ƒ(0) là gốc của P0)

Ký hiệu mối liên hệ này ta viết

f(t) = F(p) hoac F(p) = f(t)

Người ta cũng viết Z(ƒ(f)) = F@) hoặc £~!{F(p)) = ƒ(9

2.1.6 Vi du Ta gọi bước nhảy đơn vi (hay ham Heaviside) là hàm

Trang 36

Với hàm ƒ() xác định trên R thì

0 nếu /¿< 0 h)ƒ) = tha nếu ¿>0 Sau này khi xét hàm géc ta sé hicu f(t) la h(t) f(t)

2.1.7 Vi du Tim ảnh của f(t) = e”, véi a 1a sé phtic nao do

Gidi Ta cĩ

œ oo

, 1 1

lun =— era = véi Re(p—a) > 0

pra 0 Po 0 — ayy pat + _ Ì Vay eS = a 2.1.8 Ví dụ Tìm ảnh của hàm f(t) =t" (n € N) (Re(p — a) > 0)

Gidi Tich phan ting phan n lan ta cé

1t ; te m„„—pl °° n 3 , Tưng =— Ha 0 Piso Tý oo n , — NHƯ p 0 n! =~ — prt

Vay 1? = êm (Rep > 0)

2.2 TINH CHAT CUA ANH

2.2.1 Dinh ly (Tinh chất tuyến tính) Nếu fi(t) = Fi(p), Rep > a1; folt) = Fo(p), Rep > a2 thi vdi moi hang 86 phic 1 va A» ta cb

Ai fi(t) + A2fe(t) = Ai Fi(p) + A2Fo(p), Rep > max{aj, az} Chitng minh That vay

\ifilt) + As/a(0) = / es fall) + dafalt))at

Trang 37

oO CO

= a fem Algae + dy fem Alena

0 0

= Àifi(p) + Àal5(p)

2.2.2 Ví dụ Tìm ảnh của hàm cosœf, s¿nuf, chưt, shút

Gidi Theo Vi du 2.1.7 coswt = xe +e) 1 1 1 =3( —+ 5) + Re(pt tw) >0 2\p-iw ptiw Vay cosuwt = P Tủ Rep > [Tmw| Tương tự ta cĩ

sinwl = _Y Pw Rep > |Imw|; p | m |

chut = P 2 Rep > |Reu|;

shut = x Rep > |Reu|

2.2.3 Định lý (đồng dang) Nếu f(t) = F(p), Rep > ao thi vdi moi c> 0 ta c

Jl (Pp

[(ct): of () , Rep > cao Chitng minh That vay

f(ct) 2 fe PF (ct) dt = Lh, Pe" Ƒ(w)dụ = SP (0):

0 0

2.2.4 Định lý (tịnh tiến gốc) Néu f(t) = F(p), Rep > œạ thì uới mọi

T >0 ta cĩ

Trang 38

Chitng minh Vi f(t — T) = 0 khi t < T nên đặt t — T = 1 ta cĩ ƒŒ—T) = femur = pov —T)dl 0 T CO =e lt / e Pf (n)dn =e?! F(p) 0 2.2.5 Ví dụ Tìm ảnh của

1 néu té [to —a,to +a]

f(t) = 0 néu t¢ [to—a,lo+a], to >a>0 á _

Giả¿ Ký hiệu h(£) là bước nhảy đơn vị (Ví dụ 1.2.6), ta c6 h(t) = ụ và f(t) = h(t — to +a) — h(t — typ — a)

Do đĩ theo tính chất tuyến tính và định lý tịnh tiến gốc 2—Pfo—=) — ¿=Po+d) — œ—Pho Qe—Pto

f= ———-——=- (ce? — e “") = ‘ sh(ap)

p p p P

2.2.6 Dinh lý (tịnh tiến ảnh) Néu f(t) = F(p), Rep > ao thi vdi moi số phức a ta cĩ

c ƒ() Z F(p— a) Rep > œg + Rea

Chúng mính Thật vậy

Co

eM f(t) = / ec (te Ol dt = F(p—a)

0

2.2.7 Vi du Tim ảnh của e coswt,e@ sinwt, ett”

Giải Theo các Ví dụ 2.1.8, Ví dụ 2.2.2 và định lý tịnh tiến ảnh ta cĩ

Trang 39

Vậy cơng thức đúng với k = 1 Giả sử cơng thức đúng với k — I1 > 1

FOV) = pT R(p) — ph? f(0) ~~ f° (0)

Theo (1) ta cĩ

ft) =p (oF) ơ" /#-đ(0) #=)(0)

= pF (p) — ph" (0) — + — f® V0)

nén cong thtic ding véi k Theo quy nạp ta cĩ cơng thức đúng với mọi É

2.2.9 Dinh ly (dao ham cta anh) Cho f(t) = I’(p), Rep > ao Khi đĩ

vdi moi n EN ta cĩ

I" f(t) = (=D FO (p), Rep > ao

Chứng mình Ta nhận xét rằng f“ƒ(0) là hàm gốc cĩ cùng cấp tăng với

ƒ() Do tích phân suy rong /’(p) hoi tu déu trong mién Rep > ay > ag nén

cĩ thể lấy đạo hàm theo p

Pp) = [£CC1)/(0Mt = =0),

Trang 40

Bằng quy nạp ta cĩ hệ thie t" f(t) = (—1)"F(p), Rep > ao

2.2.10 Vi du Tim anh cia tsin wt, t? sinwt

Giải Ấp dụng Định lý 2.2.9 ta cĩ / tsinwt =-(—*—) : p2+w2 = — (p? + w2)?’ 2pw ' 6p?w — 9,2 Vsinwt = — (| ——, ) = — — (Gram) - (p? + w?)?

2.2.11 Dinh ly (tich phân của gốc) Nếu ƒ() là hàm gốc của F(p) thì

t J f(u)du cũng là hàm gốc va 0 t ¬ 2) co DS

Chitng minh Dat ( =f ƒ(u)du Với M > 0 va a > 0 sao cho |f(b)| <

Me™ vé6i moi £ > 0 ta cĩ

t

, Mo M 4

|¿()| < A1 [na = —(e%— 1) < =e,

0 a a

Vay y(t) 1A ham goc Gia stt y(t) = ĩ(p) Vì ¿'() = f(t) nén theo cơng thức dao ham của gốc

f(t) = ý) = po(p) — 9(0) = pĩ(p) = P0)

Ti ds y(t) = op) = AP

2.2.12 Dinh lý (tích phân của ảnh) Néu f(t) = F(p) va £0 là hàm gốc

thi *

repre t

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	7,41 MB