Một số cách khai thác và biến đổi bài toán có lời văn ở lớp 4, 5

Là một sinh viên năm cuối, một giáo viên tiểu học trong tương lai, với mục tiêu trang bị nhiều hơn cho bản thân những kiến thức cần thiết trong việc hướng dẫn học sinh khai thác và biến

ra được cách biến những tri thức đã tiếp nhận được vào bộ não để có thể ghi nhớ nó trong thời gian lâu dài Giáo dục cho các em học sinh biết cách tự tìm kiếm và xử lý những tri thức mà các em tiếp thu được để vận dụng vào học tập và nhận thức thế giới khách quan là dạy trẻ phương pháp học tập ngay từ khi bắt đầu bước vào học tiểu học

Tiểu học là cấp học quan trọng trong quá trình giáo dục con người Có thể coi tri thức ở cấp Tiểu học là tri thức nền móng của ngôi nhà tri thức Muốn ngôi nhà đó vững chắc thì nền móng của nó phải thật kiên cố Đồng thời, ngày nay chúng ta đang hướng tới mục tiêu phát triển bền vững cho nên càng phải chú trọng hơn nữa đến việc giáo dục - đào tạo ở Tiểu học và việc trang bị cho các em những tri thức, phương pháp học đúng đắn

Trong các môn học ở Tiểu học, môn Toán có vị trí rất quan trọng Toán học với tư cách là một khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới khách quan, có một hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cơ bản rất cần thiết cho đời sống, sinh hoạt, lao động Đó cũng là công cụ cần thiết để

học các môn học khác, để tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh và để hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn Khi nói đến Toán học, người ta thường chỉ nghĩ đến những con số, các phép tính, những đường thẳng, các hình học… và cho rằng Toán học là một môn học khô khan mà không chú ý đến khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán là rất to lớn Nhà bác học người Nga

N.E.Giucôpxki (1847 - 1921) đã nhận xét: “ Toán học cũng có vẻ đẹp riêng

giống như hội họa và thi ca Vẻ đẹp này thường được hiện ra qua những tư tưởng rõ ràng khi mọi chi tiết như bày ra trước mắt ta nhưng có khi nó làm ta phải sửng sốt vì những ý đồ rộng lớn chứa điều gì đó chưa được nói ra hết nhưng đầy hứa hẹn”

Với đặc điểm nhận thức và phát triển tư duy của học sinh tiểu học thì chủ yếu các em tiếp thu tri thức qua con đường thực nghiệm, thực hành Một trong những hoạt động thực hành đó chính là giải toán Thông qua hành động giải các bài toán có lời văn, học sinh được luyện tập, củng cố, linh hoạt vận dụng các kiến thức và thao tác đã học, từ đó hiểu sâu sắc thêm các kiến thức về Số học, về Đại lượng và đo đại lượng, về các yếu tố Hình học đã được học trong môn Toán ở Tiểu học Đồng thời, các kỹ năng giải toán được rèn luyện Thực

tế dạy - học giải toán có lời văn cũng cho thấy: thông qua nội dung thực tế nhiều hình, nhiều vẻ của các đề toán, học sinh sẽ tiếp nhận được những kiến thức phong phú về cuộc sống và có điều kiện để rèn luyện khả năng áp dụng các kiến thức toán học vào cuộc sống Việc giải các bài toán sẽ giúp phát triển trí thông minh, óc sáng tạo và thói quen làm việc một cách khoa học cho học sinh Việc giải các bài toán còn đòi hỏi học sinh phải biết tự mình xem xét vấn đề, tự mình tìm tòi cách giải quyết vấn đề, tự mình thực hiện các phép tính, tự mình kiểm tra lại các kết quả… Do đó giải toán là một cách rất tốt để rèn luyện những đức tính và phong cách làm việc của người lao động mới

Trong giải toán có lời văn, ngoài việc hướng dẫn học sinh cách tìm hiểu, phân tích, trình bày lời giải, làm quen với các dạng bài thì khai thác và biến đổi bài toán có lời văn cũng là một trong những nội dung quan trọng Đây là nội dung góp phần giúp học sinh củng cố, vận dụng kiến thức, hơn nữa nó còn giúp các

em rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo cho bản thân, giúp các em “học một,

hiểu mười”

Khai thác và biến đổi bài toán có lời văn đã bước đầu được đưa vào trong chương trình Sách giáo khoa Toán tiểu học dưới các hình thức như: đặt bài toán theo sơ đồ rồi giải bài toán đó hay giải bài toán bằng hai cách… Tuy còn ở mức độ đơn giản, song nó là cơ sở để các em học cách khai thác và biến đổi bài toán Dẫu vậy, trong vấn đề này lâu nay giáo viên thường chỉ khuyến khích đối với học sinh khá, giỏi mà chưa chú ý gây hứng thú cho tất cả các

em học sinh, trong khi hầu hết các em học sinh đều gặp khó khăn khi giải toán

có lời văn (vì lời văn đã che đậy bản chất của bài toán)

Là một sinh viên năm cuối, một giáo viên tiểu học trong tương lai, với mục tiêu trang bị nhiều hơn cho bản thân những kiến thức cần thiết trong việc hướng dẫn học sinh khai thác và biến đổi bài toán có lời văn, tôi đã lựa chọn

đề tài: “Một số cách khai thác và biến đổi bài toán có lời văn ở lớp 4, 5”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận chung

- Tìm hiểu các cách khai thác và biến đổi ở từng bài toán có lời văn cụ

thể trong chương trình lớp 4, 5

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Một số cách khai thác và biến đổi bài toán có lời

văn

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán có lời văn ở lớp 4, 5

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp tổng hợp kết quả

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN CHUNG

1.1 Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4, 5

1.1.1 Chú ý:

Với học sinh lớp 4, 5, khối lượng chú ý tăng lên, trẻ dần hình thành kỹ năng tổ chức, điều chỉnh chú ý của mình Chú ý có chủ định phát triển dần và chiếm ưu thế Trong sự chú ý của trẻ đã bắt đầu xuất hiện giới hạn của yếu tố thời gian, trẻ đã định lượng được khoảng thời gian cho phép để làm một việc nào đó và cố gắng hoàn thành công việc trong khoảng thời gian quy định

1.1.2 Tri giác:

Đến lớp 4, 5, tri giác phân tích được hình thành và phát triển mạnh Tri

giác bắt đầu mang tính xúc cảm, trẻ thích quan sát các sự vật hiện tượng có màu sắc sặc sỡ, hấp dẫn, tri giác của trẻ đã mang tính mục đích, có phương hướng rõ ràng - tri giác có chủ định

1.1.3 Trí nhớ:

Giai đoạn lớp 4, 5, ghi nhớ có ý nghĩa và ghi nhớ từ ngữ được tăng cường Ghi nhớ có chủ định đã phát triển Tuy nhiên hiệu quả của việc ghi nhớ có chủ định còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố như mức độ tập trung trí tuệ của các em, sức hấp dẫn của nội dung tài liệu, yếu tố tâm lý tình cảm hay hứng thú của các em…

1.1.4 Tư duy:

Ở giai đoạn này, tư duy cụ thể vẫn tiếp tục phát triển, tư duy trừu tượng

đang dần dần chiếm ưu thế hơn Học sinh tiếp thu tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác tư duy với các ký hiệu

Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau thành cấu trúc tương đối ổn định và trọn vẹn: thao tác thuận và ngược Tính kết hợp nhiều thao tác, các thao tác đồng nhất

Khái quát hóa ở giai đoạn này mang tính khái quát, học sinh biết dựa vào các dấu hiệu bản chất của đối tượng để khái quát hóa

Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả tốt hơn từ kết quả đến nguyên nhân Bởi vì khi suy luận từ nguyên nhân đến kết quả mối quan hệ trực tiếp được xác lập Ngược lại thì mối quan hệ đó được xác lập một cách không trực tiếp do một kết quả có thể có nhiều nguyên nhân

1.1.5 Tưởng tượng:

Tưởng tượng là một trong những quá trình nhận thức lý tính Nếu không

có sự phát triển đầy đủ của tưởng tượng thì học sinh không thể học tập có kết quả được

Khả năng tưởng tượng tái tạo của học sinh lớp 4, 5 khá tốt và vẫn tiếp tục được phát triển Các hình ảnh tưởng tượng tái tạo khá đầy đủ, ổn định chỉ

có điều không phải học sinh nào cũng đạt được lôgic chặt chẽ trong kết cấu của hình ảnh tưởng tượng

Tưởng tượng sáng tạo bắt đầu được hình thành ở học sinh lớp 4, 5 song mức độ đầy đủ, sinh động của các hình ảnh tưởng tượng chưa cao

Giáo viên sử dụng các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học nhiều khi chưa phù hợp, chưa thực sự chú ý phát triển trí tưởng tượng cho học sinh trong từng giờ dạy, từng bước lên lớp Chính vì vậy khả năng tưởng tượng không đồng đều ở các học sinh, nhiều em còn gặp khó khăn, lúng túng khi đứng trước một yêu cầu phải tưởng tượng

Dựa vào sự phát triển của quá trình nhận thức của học sinh lớp 4, 5 như vậy, các nhà giáo dục phải tạo điều kiện phát triển tư duy và trí tưởng tượng

cho các em bằng cách biến các kiến thức “khô khan” thành những hình ảnh có cảm xúc, đặt ra cho các em những câu hỏi mang tính gợi mở để các em tự giải quyết vấn đề; từ đó các em có cơ hội phát triển trí thông minh và sức sáng tạo

trong quá trình học tập nói riêng và trong cuộc sống nói chung “Trí tưởng

tượng quan trọng hơn cả sự hiểu biết” (Albert Einstein)

Việc dạy và học các bài toán cũng như các cách khai thác và biến đổi bài toán có lời văn là một trong những biện pháp tốt để phát triển trí thông minh,

óc sáng tạo và thói quen làm việc một cách có khoa học cho học sinh lớp 4, 5 1.2 Bài toán và việc giải bài toán có lời văn ở Tiểu học

1.2.1 Bài toán có lời văn ở Tiểu học

Theo nghĩa rộng: “Bài toán” là bất cứ vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống cần giải quyết

Theo nghĩa hẹp: “Bài toán” là vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống được giải quyết bằng phương pháp toán học

Ở Tiểu học: “Bài toán” được hiểu theo nghĩa hẹp, thậm chí nhiều khi còn được hiểu một cách đơn giản bài toán là bài tập trong sách giáo khoa

1.2.2 Quy trình chung giải một bài toán

Muốn giải được bài toán trong chương trình toán Tiểu học, học sinh cần

nắm được các bước chung của hoạt động giải toán Trong cuốn “Giải một bài

toán như thế nào?”, G.Polya đã tổng kết quá trình giải toán gồm 4 bước: Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán, phân biệt cái đã cho và cái cần tìm, phải chứng minh; có thể dùng công thức, ký hiệu, hình vẽ (tóm tắt) để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm và xây dựng chương trình giải

Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm

đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán

Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải

Từ cách giải được phát hiện, sắp xếp các việc cần làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước

đó

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kỹ từng bước thực hiện hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan; tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để tìm chọn được cách giải hợp lý nhất; nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của bài giải; nghiên cứu giải những bài toán tương tự mở rộng hay lật ngược vấn đề…

Quá trình giải toán của học sinh là quá trình biến những tri thức tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân thông qua việc giải hàng loạt các bài toán cụ thể Từ việc vận dụng quy trình giải chung đi tới cách giải một bài toán cụ thể là một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực, trong đó có

nhiều sáng tạo Theo G Polya: “Tìm được cách giải một bài toán là một phát

minh”

Để giải một bài toán ở tiểu học, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, cụ thể:

1 Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

2 Phương pháp rút về đơn vị - phương pháp tỉ số

3 Phương pháp chia tỉ lệ

4 Phương pháp thay thế

5 Phương pháp giả thiết tạm

6 Phương pháp suy luận lôgic

7 Phương pháp ứng dụng nguyên lý Điriclê

13 Phương pháp dùng chữ thay số (Phương pháp đại số)

14 Phương pháp sử dụng đơn vị quy ước

1.2.3 Khai thác và biến đổi bài toán có lời văn ở Tiểu học

Theo cách định nghĩa của “Từ điển Tiếng Việt” thì:

- “Khai thác” là phát hiện và sử dụng những cái có ích còn ẩn dấu hoặc chưa được tận dụng

Vậy, khai thác bài toán có lời văn có thể hiểu là việc phát hiện, tìm tòi những điều còn ẩn chứa đằng sau mỗi bài toán (lời giải, phép toán, khả năng ứng dụng, …)

Như vậy là sau khi giải xong mỗi bài toán, chúng ta có thể tiến hành một

số hoạt động như:

+ Giải lại bài toán bằng dãy tính gộp

+ Tìm nhiều cách giải cho một bài toán

+ Nhận xét, rút kinh nghiệm sau khi giải mỗi bài toán

+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của bài toán đã giải…

- “Biến đổi” là thay đổi thành khác trước

Như vậy, biến đổi bài toán là hoạt động sao cho từ một bài toán cụ thể

ban đầu chúng ta tạo ra những bài toán mới (có thể nội dung tương tự, ngược, khái quát hóa,…) Vì vậy, ta có thể tiến hành một số hoạt động như:

+ Đặt các bài toán mới tương tự với bài toán đã cho

+ Đặt bài toán ngược với bài toán đã cho

+ Đặt bài toán mới dựa trên cách giải bằng dãy tính của bài toán đã cho + Tóm tắt bài toán rồi dựa vào tóm tắt đó đặt ra các bài toán mới

+ Phát biểu bài toán khái quát hóa

Có thể khẳng định ngay rằng: khai thác và biến đổi bài toán là cần thiết đối với cả giáo viên và học sinh, đặc biệt là đối với học sinh Bởi: Trong học toán, nếu chỉ nhằm một mục đích đơn giản là phấn đấu để đạt điểm tốt trong môn toán thì chỉ cần giải đúng các bài toán là đủ, nghĩa là học sinh làm tốt 3 bước đầu của quá trình giải toán Ở đó, các công việc như tìm hiểu đề toán, tóm tắt đề toán, phân tích để tìm lời giải, thử lại các phép tính và đáp số chỉ cần học sinh thực hiện ra giấy nháp hoặc chỉ cần nghĩ trong đầu là được Khi thầy cô kiểm tra, học sinh chỉ cần viết phần bài giải và bài làm là đủ Riêng phần tóm tắt đề toán, học sinh chỉ cần viết vào bài kiểm tra khi giáo viên yêu cầu hoặc khi chính phần tóm tắt ấy là một bộ phận không thể thiếu của lời giải Tuy nhiên, muốn thực sự trở thành giỏi Toán thì sau khi đã giải xong, tìm ra đúng đáp số của bài toán, học sinh nên suy nghĩ tiếp tục để khai thác và biến đổi bài toán đó Việc khai thác và biến đổi bài toán có lời văn sẽ giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện được kỹ năng tính toán cho học sinh Việc đó không những giúp các em phát triển tư duy độc lập, mà còn giúp phát triển tính linh hoạt, tư duy suy luận và óc sáng tạo cho bản thân Hơn nữa nó còn gây hứng thú học tập, làm cho các em nắm vững hơn cấu trúc, cách giải của bài toán, tạo điều kiện gắn với cuộc sống, vì các em phải tìm hiểu đời sống, chọn các số liệu trong đời sống để đặt đề toán,

tập tự mình nêu vấn đề, giải quyết vấn đề như cuộc sống thường đòi hỏi Kết quả nghiên cứu về tâm lý học khẳng định: tư duy chỉ nảy sinh trên

cơ sở hoạt động hoạt động thực tiễn trong môi trường cụ thể với những thách thức mới Điều đó đòi hỏi giáo viên trong dạy học môn toán phải biết khai thác nội dung dạy học, tạo được môi trường thuận lợi cho sự phát triển của tư duy - tức là phải có biện pháp và kế hoạch rèn luyện cho học sinh trong quá trình dạy học toán Vấn đề đặt ra là, hiện nay giáo viên tiểu học đã dạy học sinh khai thác và biến đổi bài toán có lời văn như thế nào và đã thực sự rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh hay chưa?

Theo quan sát và qua trao đổi với các giáo viên tiểu học, tôi thấy:

- Về phương diện lý thuyết:

Có 100% giáo viên (được hỏi) đều cho rằng cần thiết và có thể dạy cho học sinh khai thác và biến đổi bài toán có lời văn trong môn Toán để rèn tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học Nhiều giáo viên còn khẳng định: giúp học sinh khai thác và biến đổi bài toán có lời văn là điều kiện thuận lợi nhất trong việc rèn luyện và phát triển các loại hình tư duy cũng như khả năng suy luận…

- Về phương diện thực hành:

+ Trong khi dạy học kiến thức mới, rất ít giáo viên có thể tạo lập được tình huống gợi vấn đề hấp dẫn để học sinh khai thác và biến đổi bài toán, để thu hút chú ý và kích thích hoạt động tư duy cho học sinh; giúp học sinh tự tìm tòi chiếm lĩnh tri thức

+ Việc giao các nhiệm vụ luyện tập vẫn theo hướng đồng loạt, điều này chưa đạt yêu cầu dạy học theo năng lực sở trường của học sinh Việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán ở sách giáo khoa hầu như bỏ qua trong một tiết dạy trên lớp mà chỉ cố gắng đưa ra được một cách giải (trừ khi có hướng

dẫn chặt chẽ, cụ thể từ sách giáo viên)

+ Bước khai thác và biến đổi bài toán thường được giáo viên hướng dẫn học sinh vào tiết luyện toán buổi chiều vì buổi sáng cần chú ý đến chất lượng đại trà Các cách khai thác và biến đổi bài toán có lời văn mà giáo viên thường sử dụng là: Tìm thêm lời giải khác cho bài toán; đặt các đề toán dựa vào tóm tắt; đặt bài toán tương tự với bài toán đã cho; nhận xét, rút kinh nghiệm bài toán vừa giải

Căn cứ vào các kết quả điều tra tìm hiểu thực tế nêu trên, tôi xin đưa ra một số cách khai thác và biến đổi bài toán có lời văn cho học sinh lớp 4, 5 nhằm rèn luyện và phát triển tư duy, óc sáng tạo trong dạy học toán cho các

em

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC VÀ BIẾN ĐỔI

BÀI TOÁN CÓ LỜI VĂN Ở LỚP 4, 5

Lên lớp 4, lớp 5 quá trình nhận thức của học sinh phát triển mạnh, do đó nội dung dạy học giải toán có lời văn không chỉ dừng lại ở việc giải các bài toán đơn, các bài toán hợp có đến hai bước tính mà nội dung đó được phát triển hơn lên Học sinh biết giải các bài toán hợp có đến ba, bốn bước tính, làm quen với các bài toán giải theo các bước hoặc “công thức” giải; được tiếp cận các bài toán đa dạng đòi hỏi suy nghĩ linh hoạt, sáng tạo hơn Một trong những cách rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh trong khi dạy học Toán đó chính là dạy cho các em biết các cách khai thác và biến đổi bài toán 2.1 Một số cách khai thác bài toán có lời văn ở lớp 4, 5

2.1.1 Giải lại bằng dãy tính gộp

Thông thường, học sinh vẫn hay giải các bài toán bằng những phép tính riêng rẽ với nhau, mỗi phép tính có một câu lời giải tương ứng, cho nên nhiều khi lời giải của bài toán rất dài Ta có thể viết gộp các phép tính này lại với nhau để bài giải được ngắn gọn hơn Việc giải bài toán bằng dãy tính gộp như trên có một số cái lợi như sau:

- Bài giải gọn hơn vì gồm ít câu lời giải và ít phép tính

- Dãy tính gộp có thể giúp học sinh nhìn thấy nhiều cách tính khác nhau

từ đó tìm ra nhiều cách giải khác nhau và chọn lấy cách giải hay nhất Đồng thời giúp học sinh rèn luyện óc sáng tạo, rèn luyện đức tính tiết kiệm

Ví dụ: “Hai ấp cùng đào một con kênh dài 1080 m để dẫn nước vào ruộng Nếu riêng ấp thứ nhất đào con kênh đó thì mất 10 ngày Nếu riêng ấp thứ hai đào con kênh đó thì mất 15 ngày Hỏi cả hai ấp cùng đào con kênh đó thì mất bao nhiêu ngày?”

Phân tích: Bài toán trên thuộc dạng toán tỉ lệ nghịch Bài toán cho biết:

độ dài con kênh; thời gian ấp thứ nhất và ấp thứ hai đào riêng hoàn thành được con kênh Bài toán yêu cầu tính thời gian cả hai ấp cùng đào để đào xong con kênh

Muốn tính thời gian cả hai ấp cùng đào để đào xong được con kênh thì phải tính được một ngày cả hai ấp cùng đào thì được bao nhiêu mét kênh Muốn tìm được một ngày cả hai ấp cùng đào được bao nhiêu mét kênh thì phải tìm được một ngày mỗi ấp đào riêng được bao nhiêu mét kênh

Như vậy nếu trình bày lời giải theo lôgic suy luận trên, thông thường ta

có thể làm như sau:

Bài giải:

Mỗi ngày ấp thứ nhất đào được độ dài con kênh là:

1080 : 10 = 108 (m) Mỗi ngày ấp thứ hai đào được độ dài con kênh là:

1080 : 15 = 72 (m) Mỗi ngày cả hai ấp đào được độ dài con kênh là:

108 + 72 = 180 (m)

Cả hai ấp cùng đào kênh thì hết:

1080 : 180 = 6 (ngày)

Đáp số: 6 ngày Sau khi giải xong theo cách trên, ta có thể viết gộp cả 4 phép tính ở trên vào trong một dãy tính như sau:

Cả hai ấp cùng đào kênh thì hết:

1080 : (1080 : 10 + 1080 : 15) = 6 (ngày)

Đáp số: 6 ngày

Ta thấy phép toán sau khi viết gộp lại không công kềnh nhưng phức tạp

hơn Vì thế đòi hỏi tư duy của học sinh phải linh hoạt để hiểu ý nghĩa của phép toán

2.1.2 Tìm nhiều cách giải cho một bài toán

Đứng trước một bài toán học sinh có thể chỉ tìm ra một cách giải theo mẫu nội dung của ngày học hôm đó Song việc giải toán không chỉ dừng lại ở việc tìm ra đáp số mà quan trọng hơn chúng ta cần tìm ra những cách giải khác nhau cho một bài toán Có thể các cách này không hay bằng cách ban đầu nhưng nó lại mở ra các hướng phát triển cho bài toán đó Giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhiều cách tư duy đối với một bài toán, dạng toán giúp các em biết vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học, biết phân tích, tổng hợp, sáng tạo một vấn đề theo chiều hướng khác nhau Từ đó các em sẽ hứng thú học toán hơn và thấy rằng học toán không khô khan chút nào

Bài toán có nhiều cách giải ở Tiểu học là những bài toán bao gồm những đồi tượng và những mối quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau Việc tổ chức, hướng dẫn cho học sinh tìm nhiều cách giải từ một bài toán và sau đó chọn cách giải hay, độc đáo có nhiều ý nghĩa trong dạy học toán, sẽ giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, tư duy linh hoạt chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, khả năng nhìn nhận đa chiều một sự vật hiện tượng, khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết giải pháp khác Đây cũng là một trong những cách phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu học toán và rèn tư duy sáng tạo cho học sinh

Việc đi sâu vào tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kỹ năng, củng cố kiến thức, phát huy trí thông minh, óc sáng tạo cho học sinh Có thể thấy rất rõ điều đó trong các tác dụng sau:

- Những cách giải khác nhau của một bài toán góp phần hình thành và

củng cố cho học sinh về tính chất của các phép tính số học, về quan hệ giữa các phép tính số học

- Trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác nhau của bài toán, học sinh sẽ có dịp suy nghĩ đến những khía cạnh khác nhau của bài toán, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm trong bài toán

- Việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các cách giải đó, chọn ra cách hay hơn và tích lũy được nhiều kinh nghiệm để giải toán

- Việc tìm ra nhiều cách giải một bài toán góp phần rèn luyện đức tính tiết kiệm, bởi vì từ những cách giải đó học sinh có thể chọn ra được con đường ngắn nhất để đi tới đích, không vội bằng lòng với kết quả đầu tiên Ngoài ra, quá trình tìm tòi những cách giải khác nhau cũng là quá trình rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng suy nghĩ linh hoạt cho học sinh

- Việc tìm ra các cách giải khác nhau cho một bài toán cũng làm cho lời giải thêm sinh động và phong phú hơn, học sinh thêm say mê học Toán hơn

- Đứng trước một bài toán chúng ta thường có những hướng suy nghĩ khác nhau nhiều khi khá độc đáo và sáng tạo Việc tìm nhiều cách giải cho một bài toán còn giúp học sinh nhìn một vấn đề trong cuộc sống thường ngày dưới nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó các em có thể tìm ra được nhiều cách khác nhau để giải quyết một vấn đề trong cuộc sống

Ví dụ:

Bài toán 1: “Một tiệm tạp hóa bán 9 thùng bột giặt, mỗi thùng chứa 50

gói, mỗi gói nặng 400 gam Hỏi tiệm tạp hóa đó đã bán bao nhiêu kilôgam bột giặt?”

Phân tích: Bài toán thuộc dạng toán tỉ lệ thuận Bài toán cho biết số

thùng bột giặt cửa hàng bán được, cho biết số gói bột giặt trong mỗi thùng,

khối lượng bột giặt trong mỗi gói và yêu cầu tính khối lượng bột giặt cửa hàng đã bán được Để tính được khối lượng bột giặt cửa hàng cửa hàng đã bán được ta có thể đi theo hai hướng sau:

- Hướng thứ nhất: Tính số gói bột giặt cửa hàng đã bán rồi tính khối lượng bột giặt đã bán

- Hướng thứ hai: Tính khối lượng bột giặt trong mỗi thùng rồi tính khối lượng bột giặt đã bán

+ Với hướng thứ nhất ta có cách giải như sau:

Trong cách giải thứ hai ta lấy 50 (gói) nhân với 400 (g) trước, rồi lấy 9 nhân với tích vừa tìm được Cách giải này tương ứng với dãy tính:

9  (50  400)

Sở dĩ hai cách làm trên đều cho cùng một đáp số là do theo tính chất kết hợp của phép nhân thì:

(9  50)  400 = 9  (5  400)

Việc tìm ra hai cách giải cho bài toán này sẽ giúp hình thành hoặc củng

cố cho học sinh về tính chất kết hợp của phép nhân

Bài toán 2: “Cho hình thang vuông ABCD vuông góc ở A và D, đáy bé

AB dài 12cm, đáy lớn CD dài 16cm Cạnh AD dài 8cm M là một điểm trên

AD cách D 2cm Từ M kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng đó cắt BC tại N Tính diện tích tứ giác MNCD, biết MN vuông góc với AD”

Phân tích:

Vì MN song song với CD và AB nên tứ giác ABNM và MNCD là hình thang Để tính được diện tích hình thang MNCD ta có thể đi theo hai hướng sau:

- Hướng thứ nhất: Tính độ dài đoạn MN

- Hướng thứ hai: SMNCD = SMNC + SMCD = SMND + SNDC

+ Với hướng thứ nhất ta có cách giải như sau:

Cách 1:

Vì MNCD là hình thang nên diện tích tam giác NCD là:

Từ B kẻ đường thẳng song song với AD, đường thẳng này cắt MN tại H

và cắt CD tại E Nối E với N, kẻ NI vuông góc với CD

Diện tích tam giác BNE là:

Diện tích hình thang ABCD là:

Diện tích hình thang ABCD là:

ra cách hay hơn và tích lũy được thêm nhiều kinh nghiệm để giải toán

Vì vậy khi giải toán, giáo viên cần lưu ý học sinh tạo cho mình thói quen suy xét theo nhiều khía cạnh khác nhau, cân nhắc tất cả các khả năng có thể xảy ra Có vậy chúng ta mới có lời giải đầy đủ và chính xác được

2.1.3 Nhận xét và rút kinh nghiệm sau khi giải mỗi bài toán

Có thể coi việc nhận xét, rút kinh nghiệm sau khi giải mỗi bài toán là sự suy nghĩ để tìm ra: các đặc điểm của đề toán, đặc điểm của cách giải bài toán, các quy tắc chung để giải những bài toán cùng loại, những sai lầm mà mình

đã phạm phải khi giải toán, nguyên nhân những sai lầm đó…Phương hướng suy nghĩ ở đây không hoàn toàn gò bó, học sinh nghĩ gì và làm gì là tùy vào năng lực của các em…Miễn sao những suy nghĩ đó có lợi cho việc giải các bài toán cùng loại sau này

Nhờ việc nhận xét và rút kinh nghiệm sau khi giải mỗi bài toán học sinh

sẽ tích lũy được các kiến thức và kỹ năng để giải được các bài toán tương tự một cách nhanh chóng, tìm được nhiều cách giải cho một bài toán để chọn được cách giải tối ưu nhất, khái quát hóa lời giải cho dạng bài đó từ đó tổng hợp đưa ra trường hợp tổng quát, cũng nhờ đó học sinh có thể tự đặt cho mình rất nhiều những bài toán bằng cách thay đổi số liệu của đề bài

Ví dụ 1:

Bài toán 1: “Học sinh trường Lê Lợi lao động dán bao thư bằng giấy tiết kiệm Buổi đầu 25 em làm xong 800 bao thư mất 4 giờ Hỏi buổi sau 40 em làm 1120 bao thư mất mấy giờ? (Năng suất ngang nhau)”

Có thể giải bài toán trên như sau:

Nhìn vào tóm tắt đề:

25 em làm 800 bao thư mất 4 giờ

40 em làm 1120 bao thư mất ? giờ

Ta thấy: - Trong đề toán có 3 đại lượng:

+ Số học sinh + Số bao thư + Thời gian làm việc

- Nếu số bao thư không đổi thì “số học sinh” và “thời gian làm việc” là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

- Nếu số học sinh không thay đổi thì “số bao thư” và “thời gian làm việc” là hai đại lượng tỉ lệ thuận

Như vậy có thể tách bài toán đã cho thành hai bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch như sau:

Bài toán 1a (bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch):

Cho số bao thư không thay đổi (giữ nguyên là 800 em)

25 em làm mất 4 giờ

40 em làm mất ? giờ

(Giải ra ta được 2,5 giờ)

Bài toán 2a (bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận)

Cho số học sinh không thay đổi (giữ nguyên là 40 em)

800 bao thư mất 2,5 giờ

1120 bao thư mất ? giờ

(Giải ra ta được đáp số của bài toán là 3,5 giờ)

Như vậy, ta thấy bài toán có 3 đại lượng, mỗi đại lượng có 2 giá trị; vậy

có 6 giá trị Trong 6 giá trị này có 5 giá trị đã biết còn 1 giá trị phải tìm Để giải bài toán ta có thể tách bài toán ra làm hai bài toán nhỏ: một bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, một bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch bằng cách lần lượt

giữ cho giá trị của từng đại lượng không thay đổi Việc ta giữ cho các giá trị của một đại lượng nào đó không thay đổi nghĩa là ta đã tạm thời loại đại lượng đó ra ngoài quá trình tính toán

Dựa vào việc nhận xét lời giải bài toán như vậy, học sinh có thể tìm ra được nhiều lời giải khác nhau cho bài toán trên Chẳng hạn:

Cách 2:

Tách bài toán trên thành hai bài toán:

Bài toán 1b (bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận):

Cho số học sinh không thay đổi (giữ nguyên là 25 em)

25 em làm 800 bao thư mất 4 giờ

25 em làm 1120 bao thư mất ? giờ

(Giải ra ta được 5,6 giờ)

Bài toán 2b (bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch):

Cho số bao thư không thay đổi (giữ nguyên là 1120 bao thư)

25 em làm 1120 bao thư mất 5,6 giờ

40 em làm 1120 bao thư mất ? giờ

(Giải ra ta được đáp số của bài toán là 3,5 giờ)

Cách 3:

Tách bài toán trên thành hai bài toán:

Bài toán 1c (bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận)

Cho thời gian không thay đổi (giữ nguyên là 4 giờ)

25 em làm 800 bao thư mất 4 giờ

40 em làm ? bao thư trong 4 giờ

(Giải ra ta được 1280 bao thư)

Bài toán 2c (bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch)

Cho số học sinh không thay đổi (giữ nguyên là 40 em)

40 em làm 1280 bao thư mất 4 giờ

40 em làm 1120 bao thư mất ? giờ

(Giải ra ta được đáp số của bài toán là 3,5 giờ)

Cách 4:

Tách bài toán trên thành hai bài toán:

Bài toán 1d (bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận):

Cho thời gian không thay đổi (giữ nguyên là 4 giờ)

25 em làm 800 bao thư mất 4 giờ

? em làm 1120 bao thư trong 4 giờ

(Giải ra ta được 35 em)

Bài toán 2d (bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch):

Cho số bao thư không thay đổi (giữ nguyên là 1120 bao thư)

35 em làm 1120 bao thư mất 4 giờ

40 em làm 1120 bao thư mất ? giờ

(Giải ra ta được đáp số của bài toán là 3,5 giờ)

Cách 5:

Tách bài toán trên thành ba bài toán:

Bài toán 1e (bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch)

Cho số bao thư không thay đổi (giữ nguyên là 800 bao thư)

25 em làm 800 bao thư mất 4 giờ

1 em làm 800 bao thư mất ? giờ

(Giải ra ta được 100 giờ)

Bài toán 2e (bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận)

Cho số học sinh không thay đổi (giữ nguyên là 1 em)

1 em làm 800 bao thư mất 100 giờ

1 em làm 1120 bao thư mất ? giờ

(Giải ra ta được 140 giờ)

Bài toán 3e (bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch)

Cho số bao thư không thay đổi (giữ nguyên là 1120 bao thư)

1 em làm 1120 bao thư mất 140 giờ

40 em làm 1120 bao thư mất ? giờ

(Giải ra ta được đáp số của bài toán là 3,5 giờ)

Cách 6:

Tách bài toán trên thành ba bài toán:

Bài toán 1g (bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch)

Cho số bao thư không thay đổi (giữ nguyên là 800 bao thư)

25 em làm 800 bao thư mất 4 giờ

? em làm 800 bao thư mất 1 giờ

(Giải ra ta được 100 em)

Bài toán 2g (bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận)

Cho thời gian không thay đổi (giữ nguyên là 1 giờ)

100 em làm 800 bao thư mất 1 giờ

40 em làm ? bao thư mất 1 giờ

(Giải ra được 320 bao thư)

Bài toán 3g (bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận)

Cho số học sinh không thay đổi (giữ nguyên là 40 em)

40 em làm 320 bao thư mất 1 giờ

40 em làm 1120 bao thư mất ? giờ

(Giải ra ta được đáp số của bài toán là 3,5 giờ)

Ví dụ 2:

Sau khi giải bài toán: “Hai chị em gánh thóc nộp thuế Em nói: “Nếu chị bớt sang mỗi thúng của em 3 kg thì có phải chị em mình cùng gánh nặng như

nhau không” Tính xem mỗi người gánh được bao nhiêu kg thóc, biết rằng số thóc nộp thuế tất cả là 98 kg”, có thể có các nhận xét rút kinh nghiệm sau:

- Thực tế là chị xẻ bớt sang cho em : 3 x 2 = 6 (kg thóc)

Đây là bài toán thuộc loại: “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó” Tổng ở đây đã cho sẵn là 98 kg, hiệu ở đây chưa cho sẵn song có thể tính được ( 6 + 6 = 12 (kg))

- Sau khi chị xẻ bớt sang cho em 3 kg mỗi thúng thì số thóc của hai người bằng nhau, điều đó có nghĩa là lúc đầu số thóc của chị ở mỗi thúng hơn của em là: 3 + 3 = 6 (kg) hay chị gánh nhiều hơn em 6 + 6 = 12 (kg) Từ nhận xét này, học sinh có thể phát hiện ra điều tương tự ở các bài toán khác để giải toán Chẳng hạn: “Nếu anh cho em 4 cái kẹo thì số kẹo của hai anh em bằng nhau” có nghĩa là “Số kẹo lúc đầu của anh hơn của em 4 + 4 = 8 (cái)”…

Ví dụ 3:

Trong giải toán học sinh thường mắc phải các sai lầm khiến cho việc giải bài toán gặp khó khăn và sai trong lời giải Việc nhận xét và rút kinh nghiệm sau khi giải mỗi bài toán là rất cần thiết, nó giúp học sinh nhận ra những sai lầm của mình trong quá trình giải toán, từ đó tìm ra nguyên nhân của sai lầm

đó để khắc phục và tránh lặp lại những sai lầm đó khi giải các bài toán khác Chẳng hạn:

Bài toán: “Một vòi nước chảy vào bể đang không có nước Giờ thứ nhất

đó thì số nước còn lại là mấy phần của bể?”

- Có học sinh giải bài toán trên như sau:

Bài giải:

Sau hai giờ thì lượng nước trong bể là:

- Ở lời giải trên học sinh đã mắc phải sai lầm ở bước giải thứ hai Lỗi sai

này là do đã thực hiện phép trừ với hai đại lượng khác nhau ( 9

10 thể tích bể

và 3

5 lượng nước có trong bể)

- Bài toán trên phải được giải lại như sau:

Sau hai giờ thì lượng nước trong bể là:

2.1.4 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của bài toán đã giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của bài toán đã giải là ứng dụng kết quả của các bài toán cơ bản vào giải quyết những bài toán phức tạp hơn

Việc đi sâu vào nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của bài toán đã

giải có vai trò quan trọng trong việc rèn luyện kỹ năng, củng cố kiến thức, phát huy trí thông minh, óc sáng tạo cho học sinh Nhờ vận dụng kết quả của những bài toán đơn giản học sinh có thể giải được những bài toán phức tạp hơn Cũng nhờ đó suy nghĩ của học sinh linh hoạt hơn, kích thích hứng thú học Toán của học sinh

Ví dụ 1:

Ta thừa nhận một số kết quả sau:

Kết quả 1: Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC

BM CM

Kết quả 2 (hệ quả của kết quả 1): Cho tam giác ABC, D là điểm bất kỳ

BM

Kết quả 3 : Cho hình thang ABCD có AC cắt BD tại O Khi đó:

Một số bài tập ứng dụng kết quả trên là:

Bài 1: Cho tam giác ABC; A1, B1, C1 lần lượt nằm trên các cạnh BC,

AC, AB sao cho AA1, BB1, CC1 cắt nhau tại O Chứng minh rằng:

Xét tam giác ABC có: O nằm trong tam giác ABC

AO cắt BC tại A1 nên SABO

CO cắt AB tại C1 nên SACO

MN = AB Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, từ N kẻ đường thẳng song song với AB, chúng cắt nhau tại I Nối IA, IB, IC Chứng minh rằng:

SAIC = SCIB = SBIA.

Bài giải:

Dựa vào kết quả 1 có: CM = MN = NB nên SACM = SMAN = SNAB (1) Dựa vào kết quả 3 có: SACM = SACI (2) ; SAIM = SCIM (3)

SANB = SABI (4) ; SBNI = SAIN (5)

Mặt khác: SAMN = SAIM + SMIN + SNIA (6)

Và: SBIC = SCIM + SMIN + SNIB (7)

Từ (3), (5), (6), (7) ta có: SAMN = SBIC (8)

Từ (1), (2), (4), (8) ta có: SAIC = SAIB = SBIC

Vậy SAIC = SCIB = SBIA

Như vậy tổng hợp lại chúng ta có tất cả 5 cách khai thác một bài toán Mỗi cách khai thác có đặc điểm khác nhau song đều giúp học sinh nắm vững

hơn cấu trúc, mối liên quan của các đại lượng trong bài toán đó Quan trọng hơn cả là học sinh được rèn luyện các thao tác, hành động của tư duy trí tuệ 2.2 Một số cách biến đổi bài toán có lời văn ở lớp 4, 5

Như đã nói ở trên, biến đổi bài toán là từ bài toán ban đầu, bằng một số hoạt động chúng ta tạo ra những bài toán mới Hệ thống lại ta có các cách sau:

2.2.1 Đặt bài toán mới tương tự với bài toán đã cho

Bài toán mới theo cách này sẽ có nội dung, cấu trúc tương tự (gần giống) với bài toán ban đầu Thông thường, ta có các cách:

2.2.1.1 Thay đổi các số liệu của bài toán đã cho

Ở mỗi bài toán đều có hai phần: phần đã cho và phần cần tìm Trong phần đã cho của bài toán chúng ta thường có các đối tượng, các điều kiện và các số liệu để có thể dựa vào đó để tìm ra lời giải cho bài toán Mỗi bài toán đều có các số liệu cụ thể tương ứng với bài toán đó Chính vì vậy, nếu chúng

ta thay đổi các số liệu của bài toán đã cho thành số liệu khác thì chúng ta sẽ lập được một bài toán mới tương tự với bài toán đã cho

Ví dụ:

“Một cửa hàng bán được 56 hộp kẹo và hộp bánh, trong đó số hộp kẹo

Phân tích: Bài toán đã cho có hai số: 56 (chỉ tổng số lượng hộp bánh và

hộp kẹo đã bán) và 3

4 (thể hiện mối quan hệ giữa số hộp kẹo và số hộp bánh

đã bán) Muốn có đề toán mới, ta có thể thay 56 bằng bất cứ số nào, ví dụ: 64; 3

bằng 3

5 số hộp bánh Hỏi cửa hàng đó bán được bao nhiêu hộp mỗi loại?”

Tuy nhiên nếu thay đổi số liệu một cách quá tùy tiện sẽ dẫn đến những

đề toán vô lý; ví dụ:

“Một cửa hàng bán được 64 hộp kẹo và hộp bánh, trong đó số hộp kẹo

bằng 2

3 số hộp bánh Hỏi cửa hàng đó bán được bao nhiêu hộp mỗi loại?”

Đề toán này vô lý vì khi giải ra ta thấy: số hộp bánh và số hộp kẹo là số thập phân nên vô lý Bài toán này thuộc dạng toán: “Tìm hai số khi biết tổng

và tỉ số của hai số đó” nên khi thay đổi số liệu ta cần chú ý thay đổi số liệu sao cho tổng đã cho phải chia hết cho (tử số + mẫu số) (tử số và mẫu số của phân số biểu thị tỉ số của hai số đó)

Như vậy khi thay đổi số liệu của đề toán đã cho cần tính đến yếu tố hợp

lý của số liệu khi thay đổi để có đề toán mới

2.2.1.2 Thay đổi đối tượng trong đề toán

2.2.1.2.1 Thay đổi tên gọi đối tượng trong bài toán (văn cảnh của bài toán)