Phương trình tích phân toeplitz hankel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HỒNG THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TOEPLITZ - HANKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II HOÀNG THỊ VÂN PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TOEPLITZ – HANKEL LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60460102 Cán hướng dẫn : PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo, người định hướng chọn đề tài tình hướng dẫn , giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học , thầy giáo giảng dạy chun ngành Tốn giải tích , trường Đại học Sư phạm Hà Nội II cenima toán trường đại học Bách khoa Hà Nội , giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln cổ vũ , động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hoàn thiện luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2017 Tác giả Hoàng Thị Vân LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dạo hướng dẫn PGS.TS.Nguyễn Xuân Thảo , luận văn chun ngành giải tích với đề tài “ Phương trình tích phân Toeplitz – Hanken” hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn , tác giả thừa kế kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2017 Tác giả Hoàng Thị Vân Mục lục MỞ ĐẦU Chương BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 1.1 Biến đổi tích phân Fourier 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Nhân Fourier 1.1.3 Công thức nghịch đảo không đối xứng 1.1.4 Định lý tích phân Fourier 10 1.1.5 Công thức nghịch đảo 17 1.1.6 Các tính chất biến đổi Fourier 20 1.2 Biến đổi tích phân Fourier cosine 22 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier cosine 22 1.2.2 Một số tính chất phép biến đổi Fourier cosine 22 1.3 Phép biến đổi tích phân Fourier sine 24 1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine 24 1.3.2 Một số tính chất phép biến đổi Fourier sine 24 1.4 Biến đổi tích phân Hartley 26 1.4.1 Phép biến đổi Hartley 26 1.4.2 Một số tính chất 27 1.4.3 Định lý Wiener – Levy 28 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TOEPLITZ - HANKEl 30 2.1 Phương trình tích phân 30 2.1.1 Khái niệm phương trình tích phân 30 2.1.2 Phân loại 31 2.2 Tích chập 33 2.2.1 Tích chập 33 2.2.2 Tích chập suy rộng 36 2.3 Phương trình tích phân Toeplitz - Hankel 40 2.3.1 Phương trình tích phân Toeplitz - Hankel với nhân đặc biệt 41 2.3.2 Phương trình tích phânToeplitz – Hankel có vế phải đặc biệt 57 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi tích phân phần nghiên cứu sớm toán học chiếm vị trí quan trọng tốn học Giải tích tìm ứng dụng thú vị ngành khoa học như: Vật lý quang học, điện , học lượng tử, âm thanh, Những phép biến đổi tích phân có vai trò đặc biệt lý thuyết ứng dụng cần phải kể đến phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosin, Laplace, Mellin, Hankel, Kontorovich, Một vấn đề quan trọng phép biến đổi tích phân nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng ứng dụng liên quan Khoảng cuối kỉ 19 , tích chập nghiên cứu tích chập phép biến đổi tích phân Fourier Những nghiên cứu tích chập giới thiệu tích chập phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev phép biếnđổi Stieltjes Đối với tích chập mà đẳng thức nhân tử hóa có nhiều phép biến đổi gọi tích chập suy rộng Năm 1941 , Churchill đưa tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine : ∞ f ∗ g (x) = √ 2π g (x) [f (|x − y|) − f (x + y)] dy; x > (1) Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học tích chập suy rộng việc giải phương trình tích phân Toeplitz – Hankel, dạng tổng quát phương trình xác định ∞ [k1 (x + y) + k2 (x − y)]f (y) dy = g (x) ; x > f (x) + (2) Trong g, k1 , k2 hàm cho, f ẩn hàm Phương trình có nhiều ứng dụng thú vị lĩnh vực khoa học khác lí thuyết tán xạ , lý thuyết động lực học chất lỏng , lý thuyết lọc tuyến tính, nghiên cứu va chạm đàn hồi , tán xạ khí , động lực học khí lỗng , Năm 2008, phương trình tích phân Toeplitz-Hankel có nhân đặc biệt công bố tác giả Thao N.X , Tuan V.K Hong N.T , xét phương trình tích phân Toeplitz – Hankel có nhân Hankel k1 nhân Toeplitz k2 xác định : k1 (t) = √ sign (t 2 − 1) h1 (|t − 1|) − √ sign (t 2 + 1) h1 (|t + 1|) − 1) h1 (|t − 1|) − √ sign (t 2 + 1) h1 (|t + 1|) − √12 h2 (t) , k2 (t) = √ sign (t 2 + √12 h2 (|t|) , (3) với giả sử ϕ1 , ϕ2 , h2 hàm L1 (R+ )và , h1 (x) = ϕ1 ∗ ϕ2 (x) Fs Fc tích chập suy rộng ϕ1 , ϕ2 phép biến đổi Fourier sine Fourier cosine xác định bởi: ∞ Fc f (y) = π f (x) cos xydx, y ∈ R+ ; f ∈ L1 (R+ ) (4) f (x) sin xydx, y ∈ R+ ; f ∈ L1 (R+ ) (5) ∞ Fs f (y) = π Năm 2011, phương trình Toeplitz-Hankel có vế phải đặc biệt cơng bố, phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (2) xét trường hợp nhân bất kì, nhiên vế phải g thoả mãn điều kiện ràng buộc sau: Với giả sử g1 , g2 , k1 , k2 ∈ L1 (R+ ) , g = g1 + g2 , thoả mãn: g1 (x) = π g2 ∗ l − g2 ∗ k1 − k2 Fc (x) , (6) Fs Fc l hàm thuộc không gian L1 (R+ ) , xác định : (Fc l) (y) = π Fc (k1 + k2 ) (y) + π2 Fc (k1 + k2 ) (y) (7) Cho đến nay, ngoại trừ số trường hợp đặc biệt, tốn tìm nghiệm đóng cho phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (2) trường hợp tổng quát toán mở Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Phương trình tích phân Toeplitz-Hankel ” Luận văn trình bày thành hai chương phần tài liệu tham khảo Mục đích nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu số phép biến đổi tích phân tích chập - Phương trình tích phân Toeplitz-Hankel Nhiệm vụ nghiên cứu + Nghiên cứu phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Hartley tích chập + Nghiên cứu phương trình tích phân Toeplitz – Hankel Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương trình tích phân Toeplitz-Hankel, phép biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng , biến đổi tích phân Fourier, biến đổi tích phân Fourier cosine , biến đổi tích phân Fourier sine, biến đổi tích phân Hartley, phương trình tích phân 50 Do : γ   (Fc h1 ) (y) + Fc h3 ∗ h4 (y)  (Fc f ) (y) = (Fc g) (y) 1 − γ + (Fc h1 ) (y) + Fc h3 ∗ h4 (y)   Với giả thiết cho, hàm số ϕ (z) = z 1+z thỏa mãn điều kiện định lý Wiener – Levy, suy tồn hàm l ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn: γ Fc h1 + h3 ∗ h4 (Fc l) (y) = γ + Fc h1 + h3 ∗ h4 (y) (y) Do đó: (Fc f ) (y) = (Fc g) (y) (1 − (Fc l) (y)) = Fc g − g ∗ l (y) Dẫn đến: f (x) = g (x) − g ∗ l (x) , x > Vì g, l ∈ L1 (R+ ) theo tính chất tích chập ∗ suy f ∈ L1 (R+ ) Định lý chứng minh Để đưa trường hợp đặc biệt khác phương trình (2.16) ta xây dựng đa chập cho biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine sau: Định lý 2.3.5 Giả sử hàm số f, g, h ∈ L1 (R+ ), đa chập: ∞ ∞ ∗ (f, g, h) (x) = 2π f (u) g (v) [h (|x − u + v|) + h (|x − u − v|) 0 (2.34) thuộc không gian L1 (R+ ) Hơn đẳng thức nhân tử hóa Fs ∗ (f, g, h) (y) = (Fs f ) (y) (Fc g) (y) (Fc h) (y) , ∀y > Xét phương trình tích phân (2.16) với k1 (t) = k2 (t) = − 2π 2π ∞ ∞ h2 (v) [h3 (|t − v|) + h3 (t + v)] dv − h2 (v) [h3 (|t − v|) + h3 (|t + v|)] dv + h√1 (t) 2π h√ (|t|) 2π 51 Ở h1 , h2 , h3 , g ∈ L1 (R+ ) Khi phương trình tích phân ToeplitzHankel (2.16) viết lại sau: f (x) + f ∗ h1 (x) + ∗ (f, g, h) (x) = g (x) , x > 2 (2.35) Định lý 2.3.6 Cho hàm h1 , h2 , h3 , g ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn: + (Fc h1 ) (y) + (Fc h2 ) (y) (Fc h3 ) (y) = 0, ∀y > (2.36) Khi phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (2.35) có nghiệm L1 (R+ ) dạng : f (x) = g (x) − g ∗ l (x) Ở l ∈ L1 (R+ ) xác định bởi: (Fc l) (y) = (Fc h1 ) (y) + (Fc h2 ) (y) (Fc h3 ) (y) + (Fc h1 ) (y) + (Fc h2 ) (y) (Fc h3 ) (y) Chứng minh Ứng phép biến đổi tích phân Fourier sine đa chập suy rộng (2.34) cho phương trình (2.35) ta được: (Fs f ) (y)+(Fs f ) (y) (Fc h1 ) (y)+(Fs f ) (y) (Fc h2 ) (y) (Fc h3 ) (y) = (Fs g) (y) Từ điều kiện (2.36) tích chập suy rộng cho phép biến đổi Fourier cosine, ta có   (Fs f ) (y) = (Fs g) (y) 1 −  (Fc h1 ) (y) + Fc h2 ∗ h3 (y) 1 + (Fc h1 ) (y) + Fc h2 ∗ h3 (y)   (2.37) Với giả thiết cho thỏa mãn điều kiện định lý Wiener – Levy, suy tồn hàm l ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn : (Fc h1 ) (y) + Fc h2 ∗ h3 (y) (Fc l) (y) = (2.38) + (Fc h1 ) (y) + Fc h2 ∗ h3 (y) 52 Công thức (2.37) (2.38) (Fs f ) (y) = (Fs g) (y) [1 − (Fc l) (y)] Do phương trình tích phân (2.35) có nghiệm thuộc L1 (R+ ) dạng f (x) = g (x) − g ∗ l (x) Định lý chứng minh Xét phương trình tích phân Toeplitz – Hankel (2.16) với √1 (l (|t − 1|) sign (t − 1) − l (t + 1)) 2π ∞ − 2π h1 (v) [h2 (t + v) + h2 (|t − v|)] dv √ = − 12π (l (|t − 1|) sign (t − 1) − l (|t + 1|) sign (t ∞ + 2π h1 (v) [h2 (|t + v|) + h2 (|t − v|)] dv k1 (t) = k2 (t) + 1)) h1 , h2 , l1 , l2 , g, ∈ L1 (R+ ) l = l1 ∗ l2 Khi phương trình tích phân Toeplitz – Hankel (2.16) viết lại sau: γ f (x) + f ∗ l (x) + ∗ (f, h1 , h2 ) (x) = g (x) , x > (2.39) Định lý 2.3.7 Cho h1 , h2 , l1 , l2 , g, ∈ L1 (R+ ) đặt l = l1 ∗ l2 , thỏa mãn + sin y (Fs l) (y) + (Fc h1 ) (y) (Fc h2 ) (y) = 0, ∀y > (2.40) Khi phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (2.39) có nghiệm L1 (R+ ) dạng f (x) = g (x) − g ∗ ϕ (x) Ở ϕ ∈ L1 (R+ ) xác định : (Fc ϕ) (y) = sin y (Fs l) (y) + (Fc h1 ) (y) (Fc h2 ) (y) + sin y (Fs l) (y) + (Fc h1 ) (y) (Fc h2 ) (y) 53 Chứng minh Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier sine định lí 2.3.5 vận dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine cho hai vế phương trình tích phân (2.39) ta được: (Fs f ) (y) + sin y (Fs f ) (y) (Fs l) (y) + (Fs f ) (y) (Fc h1 ) (y) (Fc h2 ) (y) = (Fs g) (y) (2.41) Từ điều kiện (2.40) , ta có (Fs f ) (y) = (Fs g) (y) + sin y (Fs l) (y) + (Fc h1 ) (y) (Fc h2 ) (y) + sin y (Fs l) (y) + (Fc h1 ) (y) (Fc h2 ) (y) (2.42) Từ giả thiết l = l1 ∗ l2 đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier cosine, ta có γ sin y (Fs l) (y) = Fc l1 ∗ l2 , (Fc h1 ) (y) (Fc h2 ) (y) = Fc h1 ∗ h2 (y) 1 (2.43) Với điều kiện (2.40) cho điều kiện (2.43), thỏa mãn điều kiện định lý Wiener – Levy, suy tồn hàm ϕ ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn (Fc ϕ) (y) = sin y (Fs l) (y) + (Fc h1 ) (y) (Fc h2 ) (y) + sin y (Fs l) (y) + (Fc h1 ) (y) (Fc h2 ) (y) (2.44) Từ công thức (2.42) (2.44), ta (Fs f ) (y) = (Fs g) (y) [1 − (Fc ϕ) (y)] Do phương trình tích phân (2.39) có nghiệm thuộc L1 (R+ ) dạng f (x) = g (x) − g ∗ ϕ (x) Định lý chứng minh 54 Xét phương trình tích phân Toeplitz – Hankel (2.15) trường hợp k1 = k2 xét tồn trục thực, phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (2.15) viết lại: ∞ f (|x|) + √ 2π [k (x + y) + k (x − y)] f (y) dy = g (x) , − ∞ < x < ∞ (2.45) Hay: ∞ f (x) + √ 2π [f (x + y) + f (x − y)] k (y) dy = g (x) , − ∞ < x < ∞ (2.46) Định lý 2.3.8 Khi k, g ∈ L1 (R+ ) hàm biết Khi phương trình (2.45) có nghiệm f ∈ L1 (R+ ) nếu: (a) + (Hk) (x) = với x ∈ R (b) g (x) − g ∗ l (x) hàm chẵn, thỏa mãn diều kiện : l (x) = H (Hk) (y) (x) + (Hk) (y) Khi nghiệm phương trình là: f (x) = g (x) − g ∗ l (x) , x ∈ R+ Chứng minh Phương trình (2.45) viết dạng tích chập sau: f (|x|) + f ∗ k (x) = g (x) , x ∈ R H (2.47) 55 Áp dụng phép biến đổi tích phân Hartly H cho hai vế phương trình sử dụng đẳng thức nhân tử hóa H f ∗ g (y) = (Fc f ) (y) (Hg) (y) , ∀y ∈ R H sử dụng tích chập suy rộng (Hf (|x|)) (y) = (Fc f ) (y), ta có: (Fc f ) (y) + (Fc f ) (y) (Hk) (y) = (Hg) (y) , y ∈ R (2.48) Do đó: (Fc f ) (y) = (Hk) (y) (Hg) (y) = (Hg) (y) − + (Hk) (y) + (Hk) (y) (2.49) Định lý Wiener – Levy cho phép biến đổi Hartly khẳng định l (x) định nghĩa (2.47) tồn thuộc không gian L1 (R) Từ công thức (2.47) (2.49) ta có: (Fc f ) (y) = (Hg) (y) [1 − (Hl) (y)] = (Hg) (y) − (Hg) (y) (Hl) (y) Theo tính chất tích chập suy rộng Hartley ta có: (Fc f ) (y) = (Hg) (y) − H g ∗ l (y) = H g (x) − g ∗ l (x) (y) 2 Từ l (x) ∈ L1 (R+ ), ta có g (x) − g ∗ l (x) ∈ L1 (R+ ) Hơn nữa, g (x) − g ∗ l (x) hàm chẵn, suy ra: (Fc f ) (y) = H g (x) − g ∗ l (x) (y) = Fc g (x) − g ∗ l (x) (y) 2 Như vậy: f (x) = g (x) − g ∗ l (x) Định lý chứng minh Xét phương trình tích phân Toeplitz – Hankel (2.46) Định lý 2.3.9 Cho k ∈ L1 (R+ ) , g ∈ L1 (R) hàm biết giả sử + (Fc k) (x) = 0, x ∈ R 56 Khi phương trình (2.46) có nghiệm f ∈ L1 (R+ ) f (x) = g (x) − l ∗ g (x) , x ∈ R H (2.50) l (x) = Fc (Fc k) (y) (x) ∈ L1 (R+ ) + (Fc k) (y) (2.51) Chứng minh Phương trình (2.46) viết dạng: f (x) + k ∗ f (x) = g (x) , x ∈ R H Áp dụng phép biến đổi tích phân Hartly H cho hai vế phương trình sử dụng đẳng thức nhân tử hóa H f ∗ g (y) = (Fc f ) (y) (Hg) (y) , ∀y ∈ R H tích chập suy rộng ta (Hf ) (y) + (Fc k) (y) (Hf ) (y) = (Hg) (y) , y ∈ R (2.52) Do (Hf ) (y) = (Hg) (y) (Fc k) (y) = (Hg) (y) − + (Fc k) (y) + (Fc k) (y) (2.53) Từ ((Fc k) (x)) (y) = (F k (|x|)) (y) , suy + (F k (|x|)) (y) = + (Fc k) (y) = với y ∈ R Suy ra, theo định lý Wiener – Levy, tồn hàm l ∈ L1 (R) thỏa mãn (F l) (y) = (F k (|x|)) (y) (Fc k) (y) = + (F k (|x|)) (y) + (Fc k) (y) Hơn nữa, (F l) (y) hàm chẵn, l (x) hàm chẵn, ta có (F l) (y) = (Fc l) (y) Suy ra, công thức (2.52) ta có: (Hf ) (y) = (Hg) (y) [1 − (Fc l) (y)] = (Hg) (y) − (Hg) (y) (Fc l) (y) 57 Áp dụng tính chất tích chập suy rơng Hartly ta có: (Hf ) (y) = (Hg) (y) − H l ∗ g (y) = H g (x) − l ∗ g (x) (y) H H Suy ra: f (x) = g (x) − l ∗ g (x) ∈ L1 (R) H Định lý chứng minh 2.3.2 Phương trình tích phânToeplitz – Hankel có vế phải đặc biệt Trong phần ta áp dụng tích chập suy rộng để giải phương trình tích phân Toeplitz – Hankel (2.16) ∞ [k1 (x + y) + k2 (|x − y|)] f (y) dy = g (x) , x > f (x) + trường hợp nhân k1 , k2 bất kì, nhiên vế phải g thỏa mãn điều kiện ràng buộc Định lý 2.3.10 Giả sử g1 , g2 , k1 , k2 ∈ L1 (R+ ) ; g = g1 + g2 ,thỏa mãn điều kiện: 1+ : g1 (x) = π Fc [k1 + k2 ] (y) = 0, ∀y > π (2.54) g2 ∗ l − g2 ∗ (k1 − k2 ) (x) Fc Khi phương trình tích phân (2.16) có nghiệm khơng gian L1 (R+ ) có biểu diễn dạng đóng sau: f (x) = g2 (x) + g2 ∗ l (x) Fc l hàm thuộc không gian L1 (R+ ) xác định (Fc l) (y) = π Fc [k1 + k2 ] (y) + π2 Fc [k1 + k2 ] (y) 58 Chứng minh Mở rộng g1 lên toàn trục số hàm lẻ, f, g2 thành hàm số chẵn, mở rộng g lên toàn trục số cho g (x) = g1 (x) + g2 (x).Khi phương trình tích phân (2.16) tồn trục thực R có dạng: ∞ [k1 (|x + y|) + k2 (|x − y|)] f (y) dy =g (x) , x ∈ R f (|x|) + (2.55) Phương trình (2.55) viết lại dạng sau: ∞ (|x|)+ { [(k1 (|x + y|) + k2 (|x + y|)) + (k1 (|x − y|) + k2 (|x − y|))] + [(k1 (|x + y|) − k2 (|x + y|)) − (k1 (|x − y|) − k2 (|x − y|))] }f (y) dy = g (x) , x ∈ R (2.56) Áp dụng phép biến đổi Fourier hai vế phương trình (2.56) để ý (F h) (y) = (Fc h) (y) , y ∈ R,, h hàm số chẵn, (F h) (y) = −i (Fs h) (y) , y ∈ R, h hàm số lẻ, ta (Fc f ) (y) + π (Fc f ) (y) Fc [k1 + k2 ] (y) + i π (Fs f ) (y) Fc [k1 − k2 ] (y) = (F g) (y) , y ∈ R (2.57) Nhắc lại g (x) = g1 (x) + g2 (x), g1 , g2 tương ứng thành phần chẵn lẻ g , f nghiệm phương trình (2.57) hai điều kiện sau thỏa mãn: (Fc f ) (y) + π (Fc f ) (y) Fc [k1 + k2 ] (y) = (Fc g) (y) (2.58) 59 i π (Fs f ) (y) Fc [k1 − k2 ] (y) = −i (Fs g1 ) (y) (2.59) Phương trình (2.58) biểu diễn dạng: Fc [k1 + k2 ] (y) π + π2 Fc [k1 + k2 ] (y) (Fc f ) (y) = (Fc g2 ) (y) − (2.60) Theo định lý Wiener – Levy, với điều kiện (2.54) tồn hàm số l ∈ L1 (R+ ) thỏa mãn Fc [k1 + k2 ] (y) π + π2 Fc [k1 + k2 ] (y) (Fc l) (y) = Do từ (2.60) ta có (Fc f ) (y) = (Fc g2 ) (y) [1 − (Fc l) (y)] Suy ra: f (x) = g2 (x) + g2 ∗ l (x) (2.61) Fc Thế (2.61) vào (2.59) ta có π (Fs g2 ) (y) − Fs g2 ∗ l (y) Fc [k1 − k2 ] (y) = − (Fs g1 ) (y) Fc Hay là: π Fs g2 ∗ (k1 − k2 ) (y)− Do đó, g1 (x) = π π Fs g2 ∗ l ∗ (k1 − k2 ) (y) = − (Fs g1 ) (y) Fc g2 ∗ l − g2 ∗ (k1 − k2 ) (x) Fc Từ công thức (2.57), (2.58), (2.59) (2.61) ta nhận nghiệm phương trình (2.16) L1 (R+ ) dạng đóng sau f (x) = g2 (x) − g2 ∗ l (x) Vì g2 , l ∈ L1 (R+ ) theo tính chất tích chập ∗ suy f ∈ L1 (R+ ) Định lý chứng minh xong 60 Bằng cách tương tự ta chứng minh định lý sau : Định lý 2.3.11 Giả sử hàm g1 , g2 , k1 , k2 ∈ L1 (R+ ) ; g = g1 + g2 thỏa mãn điều kiện sau: π Fc [k1 − k2 ] (y) = 0, ∀y > 1+ g2 (x) = π g1 ∗ l + g1 ∗ (k1 + k2 ) (x) Khi phương trình tích phân (2.16) có nghiệm dạng đóng L1 (R+ ) có dạng f (x) = g1 (x) + g1 ∗ l (x) l hàm L1 (R+ ) xác định bởi: π Fc [k1 − k2 ] (y) − π2 Fc [k1 − k2 ] (y) (Fc l) (y) = Ta xét ví dụ cụ thể cho định lý 2.3.10 Ví dụ 2.3.2 Chon k1 (t) = π √ e− 2t + e−t ; k2 (t) = √ π − 2t e Sử dụng công thức (1.4.1, tr.23) [7], ta có π Fc [k1 + k2 ] (y) (Fc l) (y) = + π2 Fc [k1 + k2 ] (y) √ √ Suy ra: l (x) = 2π e− 2x Chọn g2 (x) = π2 e−x , ta có f (x) = π −x e − = = Fc + y2 Fc = (y) = Fc 1 1+y 2+y π −√2t e (y) √ π −t π −√2t ∗ e e (x) Fc 2 Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa tích chập √ √ π − 2t π −t ∗ e 2e √ π −t 2e ∗ Fc ta √ (y) Fc √ π − 2t e (y) 61 Dùng công thức ( 1.2.18, tr.18 ) [7] ta √ √ − 2x √ π −t π − 2t 1 e −x √ e ∗ e (x) = Fc (x) = F e − c 2 + y2 + y2 Suy ra, √ π −x e − f (x) = π e− 2x −x e − √ √ π −√2x (x) = e Mặt khác, g1 (x) = π √ √ π −√2t π −√2t ∗ + − e e 2 π −t e (x) Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa cho tích chập suy rộng ∗ ta được: π (Fs g1 ) (y) = y 1 −√ + 2 2+y + y2 2+y Sử dụng công thức ( 2.2.35, tr.67 ) ( 2.2.25, tr.66 ) [7] ta được: √ √ π π g1 (x) = − xe− 2x + √ e− 2x − e−x 2 Do đó: π −√2x g (x) = g1 (x) + g2 (x) = − e π e−x √ √ −x + √ π− 2 Kết luận chương II Trong chương II tơi trình bày kết sau: - Phương trình tích phân - Tích chập tính chất - Phương trình tích phân Toeplitz – Hankel với: + nhân đặc biệt + vế phải đặc biệt 62 Bảng trích dẫn số cơng thức [ ] ∞ f (x) Hàm g (y) = f (x) cosxydx; y > 0 −1 −ay −1 Re a > 2−1 πa e Công thức 1.2.11,tr17 (x2 + a2 ) −1 Công thức 1.2.18,tr18 [(a2 + x2 ) (β + x2 )] Re a > 0, Re β > 2−1 π β −1 e−βy − a−1 e−ay (a2 − β ) Công thức 1.4.1,tr23 e−ax ; Rea > a(a2 + y ) Công thức 1.4.5,tr23 xn eax ; n! Re a > a a2 +y −1 n+1 (−1)m 0≤2m≤n+1 n+1 2m Bảng 2.1: ∞ f (x) Hàm g (y) = f (x) sinxydx; y > 0 Công thức 2.4.1,tr71 Công thức 2.2.1,tr64 e−ax Công thức 2.2.25,tr66 0 −1 2−1 π e−βy − e−ay (a2 − β ) πye−ay −n Công thức 2.2.35,tr67 x−1 (a2 + x ) −1 y −1 [1 − cos (ay)] a 22n−2 (n−1)!a2n−3 n = 2, 3, Bảng 2.2: −1 n−2 m=0 (2n−m−4)!(2ay)m m!(n−m−2)! y 2m a 63 KẾT LUẬN Nội dung trình bày luận văn là: Một số phép biến đổi tích phân: Foureir, Foureir cosine, Foureir sine, Hartley Tích chập, tích chập suy rơng Lời giải cho phương trình tích phân Toeplitz – Hankel với nhân đặc biệt vế phải đặc biệt Hướng nghiên cứu tiếp theo: Nghiên cứu phương trình tích phân Toeplitz – Hankel thang thời gian 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Thảo (2015), Phép biến đổi tích phân tích chập ứng dụng, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật Tiếng Anh [3] N.X.Thao, V.K.Tuan, and N.T Hong (2011), "Toeplitz plus Hankel integral equation", Integral Transforms and Special Functions, V.22, (N.10),723-737 [4] N.X.Thao, V.K.Tuan, and N.T Hong (2008), "Generalized convolution trans- forms and Toeplitz plus Hankel integral equations", Fract Calc Appl Anal, Vol 11 (No 2) pp 153-174 [5] N.X.Thao, N.M Khoa, Phi Thị Van Anh (2014), "Polyconvolution and the Toeplitz plup Hankel integral equation", Electronic journal of differential equation,Vol.2014, (No.110), pp.1-14 [6] N.X.Thao, V.K Tuan, Hoang Thi Van Anh (2014), "On the toeplizt plus Hankel intergral equation II", Int Intergral Transforms and Special Functions, Vol.25, (No.1),75 -84 Tiếng Nga [7] Batemen H and Erdelyi A, (1954), Table of Integral Transforms, New YorkToronto- London, McGraw-Hill Book Company, Inc ... nghiên cứu Phương trình tích phân Toeplitz- Hankel, phép biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng , biến đổi tích phân Fourier, biến đổi tích phân Fourier cosine , biến đổi tích phân Fourier... Năm 2008, phương trình tích phân Toeplitz- Hankel có nhân đặc biệt công bố tác giả Thao N.X , Tuan V.K Hong N.T , xét phương trình tích phân Toeplitz – Hankel có nhân Hankel k1 nhân Toeplitz k2... 33 2.2.2 Tích chập suy rộng 36 2.3 Phương trình tích phân Toeplitz - Hankel 40 2.3.1 Phương trình tích phân Toeplitz - Hankel với nhân đặc