Phép biến đổi laplace và một số ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH --- Trần Thanh Đức PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

-

Trần Thanh Đức

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã ngành: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

LỜI CẢM ƠN

Thật khó để tìm được những lời có thể diễn đạt hết công lao của Thầy Cô đã dạy mình Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy PGS.TS. Nguyễn Bích Huy lòng biết ơn chân thành và sâu sắc, Thầy đã để lại ấn tượng rất lớn trong suốt thời sinh viên của tôi Kế đến, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn cô TS. Lê Thị Thiên Hương đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình viết luận văn này

Tôi cũng xin thay mặt các học viên cao học Toán K.15 gửi đến Thầy PGS.TS.

Lê Hoàn Hóa lòng tri ân chân thành, Thầy như người cha già đã dạy chúng tôi rất cặn kẽ từ những việc nhỏ nhất như giờ giấc, thái độ, tác phong khi gặp các thầy cô hướng dẫn

Sau cùng, các học viên K.15 chúng tôi cũng xin cảm ơn tất cả các Thầy Cô của khoa Toán hai trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho chúng tôi những tri thức quý báu và sự say mê nghiên cứu khoa học

CÁC KÝ HIỆU

C R Cung tròn bán kính R

D Miền giới hạn bởi chu tuyến đóng 

ℒ Phép biến đổi Laplace

ℒ1 Phép biến đổi Laplace ngược

PHẦN MỞ ĐẦU

Lý thuyết về phép biến đổi Laplace (Pierre Simon Laplace, 1749-1827, nhà toán

học Pháp) là một phần quan trọng của toán học, nó cho ta phương pháp để giải nhiều bài toán phát sinh từ các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau Trong luận văn này phép biến đổi Laplace được ứng dụng để giải hai bài toán sau

Bài toán 1 Tìm hàm bậc thang y(t) trên [ 0,+∞) thỏa mãn phương trình

hàm cho trước xác định trên tập [ , ] (0,a b   )

Ngoài ra, luận văn còn chứng minh được bài toán 1 tương đương bài toán 1’ sau

Trong [2,3,6,8], các tác giả đã ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

với f, f k xác định trên [0,); ,a a0 k,k1,b jk( ,j k  1,n) là các hằng số cho trước

Trong [1], phép biến đổi Laplace được ứng dụng để giải phương trình (0.1)-(0.2)

và phương trình tích phân Volterra loại một

Luận văn được chia thành các chương mục sau

Phần mở đầu nêu các bài toán được xét trong luận văn và giới thiệu các bài toán cùng hướng đã được giải quyết

Chương 1 nêu một số kết quả của tích phân Cauchy và thặng dư

Chương 2 giới thiệu phép biến đổi Laplace

Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của phép biến đổi Laplace ngược hay còn gọi là gốc và cách xác định gốc

Chương 4 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình sai phân hữu hạn tuyến tính hệ số hằng

Chương 5 ứng dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình đạo hàm riêng

Sau cùng là kết luận của luận văn và danh mục các tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này nhắc lại một số kết quả của tích phân Cauchy, tích phân phụ thuộc tham số phức, thặng dư và ứng dụng thặng dư để tính tích phân

Bổ đề Jordan (xem [5]). Giả sử f(z) là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng phức Imz >0,

trừ hữu hạn điểm kỳ dị cô lập, và

C

f y e dy

   , trong đó C’ R là nửa cung tròn |z|=R phía trên Im(z) >0 của mặt phẳng phức

Chú thích 1.1 Trong [10,13], bổ đề Jordan vẫn đúng trong các trường hợp:

i) Hàm số f(z) giải tích trên nửa mặt phẳng phức Re(z) <0 , trừ hữu hạn điểm kỳ dị

cô lập, và đều theo argz (với

C

f y e dy

   , trong đó C’ R là nửa cung tròn |z – 0|=R phía trái Re(z) <0 của mặt phẳng phức

ii) Hàm số f(z) giải tích trên nửa mặt phẳng phức Re(z)>0, trừ hữu hạn điểm kỳ dị cô

lập, và đều theo argz (với

C

f y e dy

  

trong đó C’ R là nửa cung tròn |z– 0|=R phía phải Re(z) >0 của mặt phẳng phức

1.2 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

Cho hàm đơn trị phức (z,p), với z=x+iy xác định trên tập mở và p= +i

chạy trên đường cong trơn từng khúc , thỏa mãn :

 

(i) Với mỗi p, hàm z( , )z p giải tích trên  ;

(ii) Hàm (z,p) và hàm đạo hàm riêng ( , )z p

cho f(z) giải tích trong hình vành khăn

0

0

0 |  z z | r nhưng f(z) không giải tích tại z 0

( ) '( ) ( ) 0 ( ) 0

m m

Điểm z 0 được gọi là cực điểm cấp m của hàm f(z) nếu z 0 là không-điểm cấp m

( )

f z

Giả sử z 0 là điểm kỳ dị cô lập của hàm giải tích đơn trị f(z) Trong lân

cận điểm z 0 , hàm f(z) được biểu diễn duy nhất thành chuỗi Laurentz

* Công thức tính thặng dư (xem [5,8])

i) Nếu z 0 là cực điểm cấp một của hàm f(z) thì

1 [ ( ), ] lim

Định lý 1.5 (Định lý cơ bản về thặng dư, xem [5]). Giả sử hàm f(z) giải tích trong miền

 , trừ một số hữu hạn điểm z 1 ,z 2 ,…, z n nằm trong miền này Khi đó, ta có

CHƯƠNG 2 : PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Chương 2 nêu khái niệm và các tính chất của phép biến đổi Laplace Việc chứng minh các tính chất này được trình bày trong các tài liệu [1] và [8]

Giả sử f(t) là hàm phức liên tục trên [0,+ ), có thể trừ tại những điểm cô lập, và

số điểm này là hữu hạn

Nếu có số thực  sao cho tích phân suy rộng

 phân kỳ với mọi  <0

Thật vậy, nếu có số thực s <0 sao cho tích phân

f t M e với mọi t 0, trái với cách đặt 0

Điều kiện cần Giả sử f(t) có độ tăng bị chặn, suy ra tích phân suy rộng

Suy ra tích phân (2.2) hội tụ

Ngoài ra, nếu x ≥ x 0 >0 , theo (2.2), ta có

o sát trên, ta có định nghĩa sau:

ên tục trên [0,+ ), trừ tại hữu hạn điểm cô lập, và có độ tăng bị

với Re(p) > ,

i ảnh F(p) của nó được gọi là phép biến

đổi Laplace lace ), ký hiệu là

là hàm giải tích biến số phức p trê

trong đó 0 là chỉ số tăng của f(t)

trong đó 0 là chỉ số tăng của f(t), được gọi là ảnh của gốc f(t)

iii) Phép biến đổi cho tương ứng gốc f(t) vớ

( hay toán tử Lap

a) Mọi hàm biến thực khả vi và bị chặn trên [0,+) đều là gốc với chỉ số tăng

(b) Nếu f(t) là hàm đa thức thì hiển nhiên f(t) liên tục trên [0,+ ) Hơn nữa, theo

quy tắc L’Hospital, lim ( )t 0

Tính hội tụ của (2.2) vẫn đúng cho lớp các hàm mở rộng nhờ bổ đề sau:

Bổ đề. Cho hàm số f(t) xác định với mọi biến thực t ≥ 0 và tồn tại số phức p 0 sao cho tích phân

Mặt khác, do tính hội tụ của tích phân (2.5) nên với mọi  >0 cho trước, tồn tại T 0

> 0 sao cho F t( )  , với mọi t  T0

Xét tích phân 2 (trong đó T 1 <T 2 ), ta có

1

( )

T pt T

e f t dt



Bổ đề được chứng minh xong

Chú thích 1.2. Từ định lý 2.3 và định nghĩa hàm gốc, ta thấy rằng: Nếu f(t) là gốc thì

tồn tại phép biến đổi Laplace ℒ: f t( ) F p( )

2.2 BIẾN ĐỔI LAPLACE MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN

i) Hàm đơn vị Heaviside H(t) xác định bởi :

iii) Biến đổi Laplace của một số hàm đơn giản

Suy ra ℒ  1

! , Re( ) 0

2 sin , Re( ) | Im( ) |

ℒ 1 1 ln ln , Re( ) Re( ), Re( ).

0 , 0 ( ) ( )

Áp dụng tính chất 1 và tính chất 7, ta có

Do (t) là hàm tuần hoàn theo chu kỳ T nên (t+T)=(t) Suy ra (p)=T (p)

Cuối cùng (2.13) được viết lại

( ) ( )

1 pT

F p p

p p

Giả sử ℒ{f(t)}=F(p) và hàm gốc f(t) có chỉ số tăng 0 , với  là hằng số phức Khi

đó

ℒ{et f(t)}=F(p –) , Re(p) > 0 +Re().

Ví dụ 1.7 * Áp dụng tính chất 8 và từ (2.8)-(2.11), ta được

a) ℒ cosh  ( ) 2 2 , Re( ) | Re( ) | Re( )

CHƯƠNG 3 : PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

Chương này nghiên cứu việc tìm gốc f(t) từ ảnh F(p) qua phép biến đổi Laplace của nó

3.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

Định nghĩa 1.2 Phép cho tương ứng mỗi ảnh F(p) với gốc f(t) được gọi là phép biến đổi Laplace ngược của ảnh F(p), ký hiệu: f(t)=ℒ1{F(p)}

Phép biến đổi Laplace ngược là bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa

là nghiệm của phương trình không phụ thuộc liên tục vào vế phải

Định lý 3.1 (Công thức Mellin, xem [1])

Nếu ℒ{f(t)}=F(p), Re(p) > , thì tại moi điểm liên tục của f(t), ta có

1

2

x i pt

Định lý 3.2 Giả sử hàm biến phức F(p), p=x+iy, thỏa mãn:

(a) F(p) là hàm giải tích trên miền Re(p) >;

(b) trong miền Re(p) > ,

| | lim ( ) 0

p F p

  đều theo argp;

(c) với mọi p, Re(p) >, tích phân sau hội tụ

Từ (3.3), suy ra tích phân (3.2) hội tụ đều theo biến t trên mỗi khoảng hữu hạn Để chứng minh f(t) trong (3.2) là gốc của F(p), ta lần lượt chứng minh các khẳng định sau:

0  t T

(i) Tích phân ở (3.2) không phụ thuộc vào x (phụ thuộc t), x > và tăng không nhanh hơn hàm e t ;

(ii) với mọi t < 0, f(t)  0 ;

(iii) hàm F(p) là biến đổi Laplace của f(t)

thẳng: [x 1 –iA;x 2 –iA][x 2 –iA;x 2 + iA][x 1 –iA; x 1 +iA][x 1 +iA;x 2 +iA ],

Do x 1 , x 2|R (x 1 , x 2 >) tùy ý nên (3.4) thể hiện vế phải của (3.2) không phụ thuộc

vào x Hơn nữa, từ (3.3) suy ra

Do x 1 , x 2|R (x 1 , x 2 >) tùy ý nên (3.4) thể hiện vế phải của (3.2) không phụ thuộc

vào x Hơn nữa, từ (3.3) suy ra f t( ) M e1 t với mọi t 0

Chứng minh (ii) Trên miền Re(p) > , xét chu tuyến đóng C R gồm đoạn:

[x–iR;x+iR], với x >, và nửa đường tròn C R ’: |p –x |=R (hình 2 )

Áp dụng công thức tích phân Cauchy

Chứng minh (iii) Xây dựng biến đổi Laplace của hàm f(t) trong (3.2):

Với p 0 tùy ý thỏa mãn Re(p 0 ) > , từ (3.2), ta có

Vì tích phân vế phải của (3.7) không phụ thuộc x nên ta chọn x thỏa mãn Re(p 0 )

>x > Cố định x, với p=x+iy thì dp=idy, suy ra

Do giả thiết (c), vế phải (3.8) hội tụ và do đó tích phân hội tụ đều

đối với t (hội tụ không phụ thuộc t ), nên ta có thể đổi thứ tự lấy tích phân trong vế phải

(3.7), cụ thể

x i iyt

1

( ) , Re( ) Re( ) 2

( R là độ dài nửa cung tròn C R )

Xét chu tuyến đóng  bao gồm đoạn [x–iR, x+iR ] và C R ( hình 3)

x-iA

Hình 3

Theo công thức tích phân Cauchy (p=p 0 là cực điểm đơn của hàm dưới dấu tích

phân) và do F(p) là hàm giải tích trên Re(p) > , suy ra

F p e f t dt





 

Do p 0 tùy ý, định lý được chứng minh

3.2 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

Từ các tính chất của phép biến đổi Laplace, dễ dàng suy ra các tính chất tương ứng của phép biến đổi Laplace ngược (vì gốc hoàn toàn được xác định khi biết ảnh) Các tính chất này được trình bày đầy đủ trong [3] Sau đây là hai tính chất của phép biến đổi Laplace ngược

Đôi khi, việc tìm biến đổi Laplace ngược của ảnh F(p) thông qua đạo hàm của nó được thực hiện một cách de dàng hơn nhờ tính chất sau

Định lý 3.4 ( Biến đổi Laplace ngược của đạo hàm )

Nếu ℒ1 {F(p)}=f (t) thì ℒ1 ( )  1

n n

( ) m k t

k k

Điều kiện cần Giả sử ảnh của F(p) là hàm hữu tỉ Do (2.4) nên F(p) là hàm phân

thức thực sự Gọi p k là các cực điểm của F(p), n k là số bội của các cực điểm này Khi

đó, phân tích F(p) thành các phân thức đơn giản, ta được

1 1

( )

kl l

Ta nhận thấy, mọi phân thức hữu tỉ thực sự đều là ảnh của một gốc nào đó Do

vậy, nhờ phép biến đổi Laplace ta đã thiết lập được song ánh giữa tập hợp tất cả các hàm

số là tổ hợp tuyến tính của các hàm số có dạng t e m t với tập hợp tất cả các phân thức

hữu tỉ thực sự

3.3.2 Tìm gốc có ảnh hữu tỉ cho trước

Theo phần chứng minh của định lý 3.6, nếu F(p) là phân thức hữu tỉ thực sự, phân tích được thành tổng các phân thức đơn giản

1 1

( )

kl l

t

t

f t   e t Ngoài ra, công thức xác định gốc f(t) trong (3.1)-(3.2) được tính thông qua kết quả thặng dư như sau

Xét chu tuyến đóng  gồm cung tròn C R: |p–x |=R, Re(p) <x và đoạn thẳng [x–

iR, x+iR ] (hình 4 )

R

0 x

Hình 4

Chọn R đủ lớn để tất cả các điểm bất thường p k của F(p) nằm trong D Theo định

trong đó p k ( k 1, n ) là tất cả các cực điểm của F(p)

3.4 TÌM GỐC VỚI ẢNH ĐIỀU CHỈNH TẠI VÔ CỰC

Định lý sau đây cho phép ta tìm gốc của một hàm chính quy tại vô cực

Định lý 3.7 (xem [1]) Giả sử

(i) thác triển giải tích của F lên nửa mặt phẳng trái là một hàm giải tích đơn trị;

(ii) ℒ{f}=F và p= là điểm chính quy của F, nghĩa là F có khai triển tại vô cực

như sau

1

k k

( 1)!

k k k

CHƯƠNG 4 : ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

Chương 4 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình sai phân hữu hạn

(gọi tắt là sai phân) tuyến tính hệ số hằng Trước tiên ta đề cập đến các khái niệm

Định nghĩa 1.3 Giả sử h n (n =0,1,2,…) là dãy các số phức tùy ý Hàm số f(t) xác

định trên [0,+ ) bởi f(t)=h n , t [n, n+1) (n=0,1,2,…), được gọi là hàm bậc thang

sinh bởi dãy số { h n }

Ví dụ 1.12.

Hàm f(t), t [0,  ) sinh bởi dãy số 1, a, a 2 , … là f t( ) a t ( a>0 )

Xét tích phân sau, do tính cộng tính của tích phân, ta có

1 1 0 0

1 ( )

s st

k k

Để hàm bậc thang sinh bởi dãy số {h n } là gốc, cần và đủ là chuỗi lũy thừa với hệ

số h k có bán kính hội tụ khác 0 (nói cách khác, điều kiện cần và đủ là các số n

n

h , n=1,2,…, phải bị chặn)

Công thức (4.1) chứng tỏ rằng: Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ với |z| , thì F(p) là

0

n n n

h z







hàm giải tích với Re( ) lnp 1

k

pt k

H z h z



1 ( )

p

e p

Ngược lại, mọi hàm số có dạng 1( ) (p H ep), trong đó H(z) là hàm giải tích trong

lân cận của 0, đều là ảnh của gốc bậc thang sinh bởi dãy các hệ số của khai triển H(z)

theo lũy thừa của z

Chú thích 1.5 Hàm 1( )p chính là ảnh của hàm bậc thang 1 (t), t>0, sinh bởi dãy số

( )

1

k k

p p

1

k k k

1

k k k

i) Nếu thay cho hàm bậc thang f(t) trên [0,+∞), ta xét hàm số tổng quát hơn trên

[0,+∞) xác định bởi công thức f(t)=h n (t –n), t [n, n+1), với n=0,1,2,…, trong đó 

(t) là hàm số bất kỳ cho trước trên [0,1) có hữu hạn điểm gián đoạn, không triệt tiêu và

khả tích tuyệt đối (hàm bậc thang sẽ nhận được khi (t)=1), thế thì công thức (4.1) vẫn

4.2 DỊCH CHUYỂN CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa 1.4 Cho f(t) là hàm số xác định trên [0,+∞) và c >0 Khi đó, hàm số

f(t+c) trên [0,+∞) được gọi là dịch chuyển của hàm số f(t)

Ngoài ra, nếu f(t) là gốc, ℒ{f(t)}=F(p), c >0, thì

Như vậy, nếu f(t) là gốc bậc thang và ℒf t( ) 1( ) (p H ep), trong đó H(z) là

hàm giải tích trong lân cận của 0, n là số tự nhiên, thì (4.3) cho ta

4.3 PHƯƠNGTRÌNHSAI PHÂN TUYẾNTÍNH HỆSỐHẰNG

Định nghĩa 1.5. Cho f(t) là hàm số xác định trên [0,+∞) Ta gọi hiệu f(t)

= f(t+1) – f(t)

là sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm f(t)

Tổng quát Cho hàm f(t) xác định trên [0,+∞) Ta gọi

f t n C f t n



Thật vậy,

* Công thức (4.5) đúng khi n=1 (do định nghĩa 1.5)

Giả sử (4.5) đúng với mọi n  2

* Dễ dàng kiểm tra (4.6) đúng khi n=1

Giả sử (4.6) đúng với mọi n 2, nghĩa là

0

( ) n k k (

n k

Vậy, theo phương pháp quy nạp toán học, (4.5)-(4.6) được chứng minh

Định nghĩa 1.6. Phương trình sai phân hữu hạn tuyến tính hệ số hằng là một biểu

Từ (4.5) suy ra rằng, bài toán 1’ là bài toán 1 với các số a k, thích hợp Từ (4.6)

suy ra bài toán 1 là bài toán 1’ với các số b k , k thích hợp

Bài toán 1 luôn có duy nhất nghiệm (vì việc giải bài toán 1 dẫn tới việc giải hệ

phương trình bằng công thức truy hồi nhằm xác định dãy số sinh ra hàm bậc thang y(t) )

Suy ra bài toán 1’ cũng luôn có nghiệm duy nhất

Định lý 4.2

Nếu f(t) là gốc bậc thang thì nghiệm của bài toán 1 (và suy ra nghiệm của bài

toán 1’) cũng là gốc bậc thang

Chứng minh Giả sử f(k)=h k , y(k)= g k Theo giả thiết | h k | < p k (k=1,2,…), trong

đó p >0 Không mất tính tổng quát, ta giả sử a 0 =1 Gọi A là số lớn nhất trong các số

|a 1 |,|a 2 |,…,| a n | Giả sử q lớn hơn mọi số k

k

g (k1, n ); p; 1 ; nA+1

Ta khẳng định

| g k | < q k, với mọi k=1, 2,… (4.9) Thật vậy, với k ≤ n, bất đẳng thức (4.9) đúng do định nghĩa số q Với k=m (với

m>n) bất đẳng thức (4.9) sẽ đúng nếu nó đúng với mọi k<m, vì từ phương trình mà y(t)

Vậy định lý được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

4.4 ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN