Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 32 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
32
Dung lượng
1,43 MB
File đính kèm
100 Bai toan BDT.rar
(1 MB)
Nội dung
100 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, GTNN, GTLN TỪ MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ Sưu tầm Trần Quang Thạnh I MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: ( √ Với ) Đẳng thức xảy ( Với √ ( ) Với số ( ) ( ) tỷ lệ với BĐT cộng mẫu số : với ) Đẳng thức xảy )( ) Đẳng thức xảy hai ( ta có ( ) Các BĐT từ (5) đến (10) viết với điều kiện CM cách biến đổi tương đương dùng BĐT từ (1) đến (4) )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 10 Một số BĐT biến thường dùng: ( ) ( ) 11 Với 12 Bốn bất đẳng thức sau CM pp biến đổi tương đương kết hợp BĐT AM-GM: ( ) ( ) √ √ √ 13 ĐẲNG THỨC tuyệt với sau phải nhớ : ( ) ( ) II 100 BÀI TOÁN BĐT, GTNN VÀ GTLN TỪ MỘT SỐ ĐỂ THI THỬ: Bài (THPT – Nam Đàn – Nghệ An - 2015) Cho x số thực thuộc đoạn [ 1, ] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 4x x nhỏ P 4x x Bài (THPT – Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - 2015) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 Chứng minh 2 3(a b c)2 2 a b b c c a Bài (THPT – Nguyễn Huệ - Quảng Nam - 2015) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b ab Tìm a2 b2 ab giá trị nhỏ biểu thức P b 1 a 1 a b Bài (THPT – Chuyên Vĩnh Phúc – Lần - 2016) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 4 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P ab bc c a a b c Bài Cho x, y, z số thực dương thoả y z x(y2 z2 ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P 2 (1 x) (1 y) (1 z) (1 x)(1 y)(1 z) Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn 1 2 x 1 2, y 0, z x y z 1 Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức P 2 (x y) (x z) (y z)2 Bài (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y số thực thỏa mãn x +16y + 2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau P=x x2 +3 +2y 4y2 +3 Bài (THPT- Lê Hồng Phong – Phú Yên-2015) Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn x y z Tìm x y z2 x yz y zx z xy Bài (THPT – Quỳnh Lưu 3- Nghệ An – lần - 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ; b 2c a 2c c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 6ln(a b 2c) 1a 1b Bài 10 (THPT – Nguyễn Trung Thiên – Lần - 2015) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a2 b2 c2 3b Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau P 2 a 1 b c 3 giá trị nhỏ biểu thức P Bài 11 (THPT – Hậu Lộc - 2015) Cho x > 0, y > thỏa mãn x2 y xy x y 3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y (1 xy)2 2xy 1 Bài 12 (THPT – Bắc Yên Thành – Nghệ An - 2015) Cho số thực a, b, c ;1 Tìm giá trị lớn 2 a b bc c a biểu thức P c a b Bài 13 (THPT – Hưng Yên – Lần - 2015) Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x 5 x y z2 xy 2yz zx Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 y z x y z 3 Bài 14 (THPT – Quỳnh Lưu – Nghệ An – Lần - 2015) Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] Tìm giá trị nhỏ a b c ab bc ca biểu thức P = Bài 15 (THPT –Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần - 2015) Cho x , y hai số thỏa mãn x , y 3(x y) xy 1 1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y 3 x y Bài 16 Cho x,y thay đổi thỏa mãn x y Tìm GTLN GTNN biểu thức P = 2(x xy) xy 2y 1 a b a b ab 2 Bài 18 Cho x, y > thỏa mãn x y xy Tìm GTLN P = 2 xy x y xy Bài 19 Cho x, y, z số thực dương thay đổi cho x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = x2 y z2 2xyz Bài 17 Cho a, b > a + b Tìm GTNN biểu thức S = Bài 20 Cho a, b, c > Tìm giá trị lớn biểu thức P = (a 1)(b 1)(c 1) a2 b2 c2 Bài 21 Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức 24 P= 13a 12 ab 16 bc abc Bài 22 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y z2 Tìm GTLN biểu thức x2 yz yz P= x yz x x y z (A, A1 2014) Bài 23 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm GTNN biểu thức P a3 b3 c Bài 24 (A-2011) Cho x, y, z số thực thuộc đoạn [1; 4] x y , x z Tìm GTNN biểu thức x y z P 2x 3y y z z x Bài 25 (D - 2012) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) Bài 26 (B-2011) Cho a b số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ a3 b3 a2 b2 biểu thức P = b a b a Bài 27 Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 32 P a a2b2 b4 a2b2 (1 c)3 Bài 28 (THPT – Chu Văn An – An Giang - 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm 121 giá trị nhỏ biểu thức A 2 a b c 14(ab bc ca) Bài 29 (THPT – Chí Linh – Hải Dương - 2015) Với a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu 1296 thức P (a2 2)(b2 2)(c2 2) abc Bài 30 (THPT – Trần Thị Tâm – Quảng Trị - 2015) ) Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn x 5(x2 y2 z2 ) 9(xy 2yz zx) Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 y z (x y z)3 Bài 31 (THPT – Bến Cát – Bình Dương - 2015) Cho số thực x; y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y 2x x y 2x y Bài 32 (THPT – Nguyễn Viết Xuân – Phú Yên - 2015) Cho x , y > thỏa mãn xy x y Tìm giá trị lớn 3x 3y xy biểu thức P x2 y2 y 1 x 1 x y Bài 33 (THPT – Lương Thế Vinh – Lần -2015) Cho số thực a, b dương thỏa mãn ab Tìm giá trị 1 32 nhỏ biểu thức T 1a 1b 2a(1 a) 2b(1 b) Bài 34 (THPT – Thạch Thành – Thanh Hoá - 2015) Cho a, b số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b 7a 4b ab ab Bài 35 (THPT – Nghĩa Hưng - 2015) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn 2x 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2xy y 5(x y ) 24 8(x y) (x y 3) 1 Bài 36 (THPT – Triệu Sơn – lần - 2015) Cho a, b, c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn ( 1)( 1)( 1) a b c 2 Tìm GTNN biểu thức P = a b c Bài 37 (THPT – Như Xuân – Thanh Hoá - 2015) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x (y z) y (z x) z (x y) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P yz zx xy Bài 38 Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P 2(ab bc ca)3 27a2b2c2 3(a2 b2 c2 ) 6(ab bc ca) Bài 39 Cho số thực dương a, b, c thoả a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) Bài 40 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 S (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) Bài 41 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a2 +b2 +c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 S b 2c c 2a a 2b Bài 42 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 S b(2c a) c(2a b) a(2b c) Bài 43 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2x 54 2x 14y Bài 44 (THPT-Ngô Sỉ Liên – Lần -2016) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x2 y2 z Tìm giá 1 xy yz zx Bài 45 (THPT – Đội Cấn - 2016) Cho số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xy yz zx xyz Chứng minh trị nhỏ biểu thức P xyz x yz y xz z xy xyz x y z Bài 46 (THPT – Đức Thọ - Hà Tĩnh – Lần - 2016) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn b 2c a 2c ab ; c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 6ln(a b 2c) 1a 1b Bài 47 (THPT – Bố Hạ - Lần - 2016) Cho số thực x , y , z thỏa mãn x 2, y 1, z Tìm giá trị lớn 1 biểu thức P 2 2 x y z 2(2x y 3) y(x 1)(z 1) Bài 48 Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện biểu thức P x y 2z 2y z z 2x x y z Bài 49 Cho x, y, z thuộc 1;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z x y z Tìm giá trị nhỏ 2 x y z xy 3z z xy Bài 50 Cho x, y, z ba số thực dương thoả mãn điều kiện x y2 6z2 4z x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x3 yx z y3 x y z x2 y2 z Bài 51 (THPT – Việt Yên – Bắc Giang – Lần - 2016) Cho a, b, c số thực dương thoả a b c Tìm a2 b2 giá trị nhỏ biểu thức P a b 2 b c 5bc c a 5ca Bài 52 (THPT – Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần - 2016) Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện (x y)3 xy Tìm giá trị nhỏ biếu thức P 3(x y )2 2(x y)2 xy(3xy 4) 2015 x y z Bài 53 (THPT – Khoái Châu - 2016) Cho ba số thực x , y , z thoả 2 Tìm giá trị lớn x y z biểu thức P x y z Bài 54 (THPT – Lý Thái Tổ - Chọn HSG - 2016) Cho x , y , z ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức P xy xz 7z x y z Bài 55 Cho hai số thực x ,y thoả mãn x , y 1;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2y y 2x x 3y y 3x x y 1 Bài 56 Cho số thực x , y thoả mãn x 2xy y Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P x 2xy y Bài 57 (THPT – Yên Lạc – Lần - 2016) Cho a, b số thực không âm thoả a2 b2 a b Tìm a2 b2 ab giá trị nhỏ biểu thức P (a b)2 a a b b Bài 58 (THPT – Hiền Đa – Phú Thọ - Lần - 2015) Cho số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a b c a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 b3 c 1 c a 1 a3 b Bài 59 (THPT – Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần - 2015) Cho số thực dương x , y , z thoả y 3x(x 1) 16 y 10 3 xz (y 1) x 2 Bài 60 (THPT – Chuyên KHTN – Hà Nội – Lần - 2016) Xét số thực dương x , y , z thoả mãn x y z x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z Bài 61 (THPT – Thuận Thành – Bắc Ninh – 22 - 2015) Cho số thực dương x , y thỏa mãn x y 1 3x 3y 1 ln xy 3x 3y Tìm giá trị lớn biểu thức M 2 2 3xy y(x 1) x(y 1) x y x y Bài 62 (THPT – Thuận Thành – Bắc Ninh – 21 - 2015) Cho ba số thực không âm x , y , z Tìm giá trị lớn 4 biểu thức P x y z2 (x y) (x 2z)(y 2z) (y z) (y x)(z x) 4(x2 x 1) 16 x yz 3x(y z)2 Tìm GTNN biểu thức P Bài 63 (THPT – Việt Trì – Phú Thọ - Lần -2016) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a3 b3 b3 c c a3 2 a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a 2b b 2c c 2a Bài 64 (THPT- Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần - 2015) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a 2b 2bc a 2b 3c b 2c Bài 65 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức c3 3 P a b Bài 66 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 3a2 3b2 3c2 4abc 13 Bài 67 Cho ba số thực x , y , z , chứng minh x y z 3xyz x2 y z y2 z x z2 x y 1 27 ab bc ca Bài 69 (THPT – Chuyên Lê Quý Đôn – Hải Phòng – lần - 2015) Cho x, y số thực thuộc 0;1 thoả mãn Bài 68 Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c Chứng minh x y3 x y 1 x 1 y Tìm giá trị lớn biểu thức P xy x y 1 x 1 y Bài 70 (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần - 2015) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S bc a a c b a bc Trong a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn 2c b abc Bài 71 (THPT – Hậu Lộc – Thanh Hoá – Lần -2016) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ a 3c 4b 8c biểu thức P a 2b c a b 2c a b 3c Bài 72 (THPT – Xuân Trường – Nam Định – Lần - 2016) Cho x , y , z 0;2 thỏa mãn x y z Tìm giá xy 2 1 2 xy yz zx x y y z z x2 Bài 72 (THPT- Thuận Thành – Bắc Ninh - 2016) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ; b 2c a 2c c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 6ln(a b 2c) 1a 1b Bài 73 (THPT – Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần -2016) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn 2(x 3)2 y z 16 2 (x y)(x z) Tìm giá trị lớn biểu thức P 2x2 y z 3x 2y z 3x 2z y Bài 74 (THPT – Triệu Sơn – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn 4b2 a2b2 c2b2 3b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 a 1 1 2b c 3 trị nhỏ biểu thức P Bài 75 (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần - 2016) Cho x , y biểu thức P x y x y 2 2y x thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ y 2 x 3x Bài 76 (THPT – Nguyễn Đình Chiểu – lần - 2016) Cho x y thỏa điều kiện x y Tìm giá trị lớn biểu thức P xy xy Bài 77 (THPT – Thiệu Hoá – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P abc 3 ab bc ca 1 a 1 b 1 c Bài 78 (HSG – Phú Thọ - 2016) Cho số x , y , z thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P xy yz zx 2 x xyz y2 z2 Bài 79 (THPT – Phú Nhuận) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh x.2x y.2y z.2z Bài 80 (THPT – Nguyễn Huệ) Cho số thực không âm x , y , z thoả mãn x y z2 27 Tìm giá trị lớn biểu thức P 2(xy yz xz) xyz Bài 81 (THPT – Trung Phú - 2015) Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = xyz = Tìm GTNN biểu thức P = x4 + y4 + z4 Bài 82 (THPT – Củ Chi - 2015) Cho x,y,z>0 thỏa x y z2 2xy 3 x y z Tìm GTNN 120 120 xz y 2 Bài 83 (THPT – Bùi Thị Xuân) Cho x, y dương thoả x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 y2 y3 x2 3 P= x2 y2 2x 2y Bài 84 (THPT – Chuyên Trần Đại Nghĩa - 2015) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 5 a b c 2ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c 48 a 10 b c Bài 85 (THPT – Nguyễn Thượng Hiền - 2015) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a3 +b3 = c3 Tìm a2 b2 c2 giá trị nhỏ biểu thức P c a c b P x 6y z Bài 86 (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y số thực thỏa mãn x +16y + 2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau P=x x2 +3 +2y 4y2 +3 Bài 87 Cho x, y số thực thỏa mãn x y 1 3x y x 5y Tìm GTLN GTNN biểu thức P x 2y x y x2 y2 Bài 88 (THPT – An Lão - 2015) Cho x,y,z số thực dương Chứng minh x y z P = 4(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2( ) 12 y z x Bài 89 (THPT – Phù Cát - 2015) Cho số thực dương x , y , z thỏa x y z Tìm giá trị nhỏ xy yz zx biểu thức P x y z x y y z z2 x Bài 90 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x3 y3 z3 xy yz zx 3 y z x 27 Bài 91 (THPT – Vân Canh - 2015) Cho số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 3(a2b2 b2c2 c2a2 ) 3(ab bc ca) a2 b2 c2 Bài 92 (THPT – Trần Cao Vân - 2015) Cho ba số thực dương x , y , z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P 2 x y z x y x 2z y 2z Bài 93 (THPT – Bình Dương - 2015) Cho a, b, c số thực thoả mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c Bài 94 (THPT – Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f (x) 5x x 32 3x 24 x 3x 12x 16 Bài 95 (THPT – Lê Quý Đôn - 2015) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn 2x 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2xy y 5(x y ) 24 8(x y) (x y 3) Bài 96 (THPT – Lý Tự Trọng - 2015) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x (y z) y (z x) z (x y) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P yz zx xy Bài 97 (THPT – Nguyễn Diêu -2015) Cho ba số thực x , y , z thoả mãn x y z2 2x 4y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T 2(x z) y Bài 98 (THPT – Quy Nhơn - 2015) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 1 1 2 4b 4c 4a ab bc c a Bài 99 (THPT – Trưng Vương - 2015) Giả sử x, y số thực thỏa mãn phương trình x2 2ax với a ; y 2by với b Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 M 3 x y x y Bài 100 (THPT – Nguyễn Thái Học - 2015) Cho x z biểu thức P 3y z y thỏa mãn x y z x y z Tìm giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Đặt a x , b x a 4b2 9, với a, b 3sin cos ab 2sin cos Do đặt [0, ] với a=3sin ,2b=3cos Khi P a 2b 3sin 3cos 2sin 2cos 4sin x 8cos x 2sin x cos x Xét hàm số f (x) với x [0, ] Ta có f / (x) 0, x [0, ] 2sin x 2cos x (2sin x 2cos x 4) Suy hàm số f(x) luôn đồng biến [0, ] Do f (x) f (0) ;max f (x) f ( ) x[0, ] x[0, ] 2 b2 4b2 a a2 4a2 Tương tự (b c)2 5bc (b c)2 (b c)2 9(b c)2 (c a)2 5ca 9(c a)2 Bài Ta có a2 b2 a2 b2 a b a2 b2 c(a b) Suy (b c)2 5bc (c a)2 5ca (b c)2 (c a)2 b c c a ab c(a b) c 2 (a b)2 c(a b) 2 2(a b)2 4c(a b) (a b)2 (a b)2 4c(a b) 4c c ( a b ) c 2 2(1 c)2 4c(1 c) 8 Vì a b c a b c nên P (1 c)2 (1 c) 2 (1 c) 4c(1 c) 4c c 1 2 8 16 Xét hàm số f (c) (c 1) (1 c) , với c (0;1) Ta có f '(c) 9 c 1 9 c (c 1) f ' (c) (c 1) 64 27(c 1)3 c , c (0;1) Lập BBT, vào BBT, ta có f (c) với c (0;1) 1 Suy P , dấu đẳng thức xảy a b c 2 Bài Đặt x a b ab x Ta có a b 4ab a b a b 4ab x2 4(3 x) x (do x > 0) a3 b3 a2 b2 ab (a b)3 3ab(a b) (a b)2 2ab ab x3 x2 x x (a 1)(b 1) ab a b ab ab x 7 3 Xét f (x) x x , x Ta có f '(x) x 2t 0, x f (x) f (2) 4 x 4 x 3 Do đó, P P a b 2 Bài Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó, P ( ) ( Cộng theo vế BDDT trên, ta Bài Ta có ( ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) √ ) ) ( ) ) ) ) ) ( ( )( ( ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( )( ) ) ( ( ( ) ( ( ( )( ( ) )( ) ( ( ) ) ) ) ) ( ) Lập BBT, suy ( ) ( ) 1 1 1 2 2 (1 z) (1 y) (1 x) (1 y) (1 z) (1 x)2 1 Ta chứng minh 2 (1 y) (1 z) yz 1 Thật (1 yz)[(1 z)2 (1 y)2 ] [(1 z)(1 y)]2 2 (1 y) (1 z) yz Bài Ta có P (1 yz)(2 2z 2y z2 y ) (1 zy z y)2 2(z y)(1 zy) 2(1 yz) (1 zy)(y z)2 2zy(1 yz) (1 zy)2 2(z y)(1 zy) (z y)2 (1 zy)(y z)2 4yz 2y2 z2 (1 yz)2 (y z)2 4yz yz(y z)2 (1 yz)2 Dấu “ ” xảy y z 2 yz y z (1 x) (1 x) Ta lại có yz yz 4 1 1 4 Do P 2 2 (1 x) (1 y) (1 z) yz (1 x) (1 x) (x 1)2 1 4 Do 1 2 x 1 2 nên (x 1)2 [0;8) Đặt t (1 x)2 t [0;8) P t t 3t 72t 240 Xét f (t ) với t [0;8) f '(t) 2 (4 t) (8 t) (4 t)2 (8 t)2 t t f '(t) 3t 72t 240 t 4;t 20 (loại) (1 x)2 x 3 3 Do P f (t ) P y z 4 x y z 1 y z Bài P x 2y xy x 2y 3 x 2y 10 TH1 y ≤ f (y) y y f '(y) Lập bảng biến thiên f(y) f (y) f x( .2] y y ; f '(y) 2y y y2 3y 3 2 3 2y TH2 y ≥ f (y) y y ≥ 3 2 Bài 32 Đặt t x y xy t; x y x y xy t2 2 t t2 2t Vậy P x; y Do MinP x = ; y = 2 xy Ta có xy 3t t t 3 x y 3 x y xy 12 Suy P x y t t f (t ) xy x y xy t 2 Ta có f ' t 2t 0, t Suy hàm số f t nghịch biến với t P f t f t 1 Bài 33 Ta có , ab 1 a b ab Thật Quy đồng, chuyển vế, bđt tương đương với a b ab (Đúng) 1 2 Suy a b ab ab ab.1 ab ab 2 Ta có a(1 a) b(1 b) a b 2 a b 2 2ab 2 ab ab Lại có Suy 2a(1 a) 2b(1 b) ab 12 1 32 32 2a(1 a) 2b(1 b) 2a(1 a) 2b(1 b) ab ab 12 16 16 Đặt t ab T T f (t) ab t 3 t 3 ab f '(t ) 16 ab 8t (t 3)2 t(t 3) t (t 3)2 (t 3) t (t 3)2 (t 3) t Xét M (t 3)2 t(t 3) t (t 3) t t t t t t t 6t t 3t (t t ) 3t (Đúng t ) Suy f '(t) t f (t ) đồng biến t Từ MinT f (1) 7 t a b t 1 Bài 34 Ta có 7a 4b ab 7a 4b a.4b 7a 4b a 4b a b (theo bđt Côsi) 1 1 ) a b t t f t (đặt t ab t ab ab f ' t 2t 2t t t t Suy P 18 a b a ; b Lập bảng biến thiên f t với t>0 ta có minP=f(1)=1 5 a 4b 2x 3y Bài 35 Ta có 6(x 1)(y 1) (2x 2)(3y 3) 36 x y xy Ta có 5(x y ) 2x y 5(x y ) 2x y (x y 3)2 x2 y2 2xy 6x 6y 2(x y xy 3) 8(x y) (x y 3) Suy P 2(xy x y) 24 2(x y xy 3) Đặt t x y xy , t 0;5 , P f (t) 2t 24 2t Ta có f / (t ) 24.2 3 (2t 6)2 2 (2t 6)2 (2t 6)2 0, t 0;5 Vậy hàm số f(t) nghịch biến khoảng 0;5 x Suy f (t) f (5) 10 48 Vậy minP 10 48 2, y 1 1 Bài 36 ( 1)( 1)( 1) ab bc ca a b c 2abc a b c P= (a b c)2 2(ab bc ca) (a b c)2 2(a b c 1) 4abc Theo Cô si abc ( abc ) t v ới t a b c (0 y x y2 z2 z2 x2 y z y, z > ; z x x, z > x z z y Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta P 2(x + y + z) = x, y, z > x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z = Vì vậy, minP = 3 Bài 38 Ta có ab bc ca ab.bc.ca 27a2b2c2 (ab bc ca)3 Lại có a2 b2 c2 ab bc ca 3(a2 b2 c2 ) 3(ab bc ca) Do P (ab bc ca)3 3(ab bc ca) t 3t f (t) Tương tự, ta có (a b c)2 Từ ta có GTLN P a b c với t ab bc ca 3 Bài 43 Trong mặt phẳng tọa độ xét A(4; 0), B(1; 7), M(x; y) (C) x y Ta có 2P = x y x 16 x2 y2 2x 14y 50 = MA + 2MB Gọi I(1 ; 0) I nằm (C) Khi điểm M thuộc (C) ta có MA = 2MI Thật MA = 2MI MA2 4MI2 MO2 OA2 2MO.OA 4(MO2 OI 2MO.OI) 16 2MO.OA 4(5 2MO.OI) 2MO(OA 4OI) (đúng) 19 Suy 2P = 2MI + 2MB 2IB = 14 dấu đẳng thức xảy M giao điểm (C) đoạn IB Tìm M(1, ) Vậy minP = (x;y) = (1; ) Bài 44 Ta có 1 1 3 2 , đặt t = xy yz zx x y z xyz Mà x2 y z x2 + y + z 1 0t 3 Xét hàm số f (t) 8t Ta có t , f'(t) = 24t , f''(t ) = t t t t 1 Suy P ≥ 13 Dấu xảy t = hay x = y = z = Kl MinP = 13 2 1 Bài 45 Đặt a , b , c a, b, c a b c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương x y z P 8t a bc b ac c ab ab bc ac Thật vậy, a bc a a b c bc a2 a b c bc a2 2a bc bc a a bc bc a bc Tương tự, b ac b ac , c ab c ab Cộng theo vế bất đẳng thức ta a bc b ac c ab ab bc ac a b c a bc b ac c ab ab bc ac đpcm Dấu đẳng thức xảy a b c x y z 3 a b 2c a b 2c 1 Bài 46 P 6ln(a b 2c) a b 2c 1 6ln(a b 2c) 1a 1b 1a 1 b Ta chứng minh BĐT quen thuộc sau 1 ab (1) ) ) ab (2) a b ab 1 Thật vậy, ) a b ab 1 a 1 b a b ab a b ab ab Dấu “ ” a b ab=1 ab ab Dấu “ ” ab 1 2 Do đó, a b ab ab ab 4 16 Đặt t a b 2c, t ta có ab bc ca c a c b c a b 2c 2 ) ab 16 t 1 16 t 6t 16t 32 t 6t 6ln t , t 0; f '( t ) t2 t t3 t3 t3 Vậy, GTNN P 3+6ln4 a=b=c=1 1 Bài 47 Đặt a x 2, b y 1, c z a, b, c P a2 b2 c2 (a 1)(b 1)(c 1) P f (t) Ta có a2 b2 c2 (a b)2 (c 1)2 (a b c 1)2 Dấu “ ” xảy a b c 2 20 (a b c 3)3 Mặt khác (a 1)(b 1)(c 1) 27 27 Khi P Dấu “ ” xảy a b c a b c (a b c 3)3 27 Đặt t a b c Khi P ,t t (t 2)3 27 81 81t (t 2)4 f (t ) , t 1; f '( t ) t (t 2)3 t (t 2)4 t2 (t 2)4 Xét f '(t) 81t (t 2)4 t 5t t (do t>1) a b c 1 a b c x 3; y 2; z Vậy ma xP f(4) a b c Bài 52 Với số thực x, y ta có (x y)2 xy , nên từ điều kiện suy (x y)3 (x y)2 (x y)3 xy (x y)3 (x y)2 x y 3 Ta có P (x y )2 (x y )2 2(x y 2xy) xy(3xy 4) 2015 2 3 (x y )2 (x y ) 2(x y ) 2015 (3) 2 (x y )2 4 Do x y nên từ (3) suy P (x y )2 2(x y ) 2015 Đặt x y t t (do x y 1) 9 Xét hàm số f (t ) t 2t 2015 với t , có f '(t ) t , với t nên hàm số f(t) đồng biến 2 1 32233 f (t ) f ; Suy 1 16 2 t ; 2 Bài 53 Ta có √ √ √ ( √ √ √ ) suy ( ) √ ) ( ( ) ( ) ( ) Lập BBT, suy ( ) ) ( ) Từ giả thiết ta có ( Bài 57 Ta có ( Bằng biến đổi tương đương, ta cm ( ) ( ( ( ) ) √( ) ( ) ) √( ( ) ) ] ( ( ) ] ( ) a b c 2 c a 1 b 1 c 1 Bài 58 Ta có P Ta có a3 a3 b3 a 2 a2 2a a a ; b3 21 b 2 b2 2b b b 6 c3 c 2 c2 2c c c 6 a b c a b c P 2 a b c 3 a b c a b c a b c 36 6 2 2 Đặt t a b c với t 0;3 Ta có f t 54 t 8t t 6t f ' t f ' t 2 t 9t 36 t 8 t 9t 36 Vậy P hay Min P dấu xảy a b c Bài 59 Từ giả thiết ta có ( ) ( √ ) √ ( ) ( √ ) √ √ ( ( ) ) ( √ √ ) ( ( ) ( √ ( ) ( ) ) ( )( ( ( ) ) ) √ √ √ √ √ ) ( ) Lập BBT, suy ) ( ) ( ) Bài 60 Ta tìm m cho ( ) ( ) ( ) ( ) Đặt ( ) ( ) ( ) Giải hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Lúc ( ) ( ) ( ) đúng, suy đpcm Bài 61 Từ giả thiết ta suy ln(x y 1) 3(x y 1) ln(3xy) 3.3xy Xét hs g(t) lnt 3t (0; ) , ta có g '(t ) với t , suy g(t ) đbiến (0; ) , từ g(x y 1) g(3xy) x y 3xy , suy t 3xy x y xy Đặt t xy 3t t t 3x 3y 3x (y 1) 3y (x 1) 36t 27t (2) y(x 1) x(y 1) xy(xy x y 1) 4t 1 x2 y2 (3t 1)2 2t 36t 32t (3) x2 y2 x2y2 t2 4t 1 5t 1 5t (4) Từ (2), (3), (4) ta có M Theo Cô si [1;+) Xét hàm số f (t ) x y xy 4t 4t 5.4t (5t 1)8t 5t 0t , suy f (t ) nghịch biến [1;+) , 16t 4t 3 Mmax max f (t) f (1) t x y [1;) Bài 62 Với số thực không âm x, y, z Ta có x y 4z x y 4z (x 2z )(y 2z ) (x y ) (x 2z )(y 2z ) (x y) 2 Ta có f '(t) 22 x y 4z x y 2xy 4yz 4zx 2(x y z )(1) 2 2 2 ì 2xy x y ; 4yz 2(y z ); 4zx 2(z x ) Mặt khác ta có (x y ) y z 4x 2(x y z ) (2) 4 2 2 2 x y z 2(x y z ) 2(x y z ) Tương tự ta có (y z ) (y 2x )(z 2x ) (y z ) Từ (1) (2) ta suy P Hay P x y2 z Đặt t x y z , t 2 2(x y z ) 9 Xét hàm số f (t ) ,t 2 t 2t t 2t 4 9t (4 t )(4t 7t 4t 16) f '(t ) ; f '(t ) t t (t 4)2 t (t 4)2 Khi P (do t > nên 4t 7t 4t 16 4(t 4) t(7t 4) Lập bảng biến thiên hàm số f(t) Dựa vào bảng biến thiên ta có MaxP x y z x3 x (x 0) * x 18 18 * 18(x 1) x 2 7x 5 x 1 11x , với x>0, d ấu “ ” xảy x=1 Bài 63 Trước tiên ta chứng minh BĐT a3 b3 7a2 5b2 b3 c 7b2 5c2 c a3 7c2 5a2 a b c ; ; ; ; ; , ta có a 2b 18 18 b 2c 18 18 c 2a 18 18 b c a 12 a2 b2 c2 Vậy MinS =2 a=b=c=1 Từ đẳng thức suy S 18 1 4 1 1 Bài 64 Ta có 2bc b 2c a 2b 3c a b c b 2c 4a 2b 2bc 4a 4b 4c 1 Suy P Đặt t a b c, t a b c a c b Áp dụng (*) cho x Xét f (t ) 1 1 ,t 0; f '(t ) ; f '(t ) t 4t t 4t t 2 b 2c , a b c a c 1 16 a b c b 2c b Bài 65 Nhìn biểu thức P ta thấy có xuất ba biến số a, b, c mà ta quy trực tiếp biến số sử dụng giả thiết Nhưng ta lại thấy P biểu thức có đối xứng với a, b , ta dự đoán giá trị nhỏ đạt hai biến a, b Ta chứng minh sử dụng bất đẳng thức Suy giá trị nhỏ P - a3 b3 a b , đẳng thức xảy hai biến số a 3 b Khi ta có a b c c 3c 3c P c c f c Bây việc giải toán dễ dàng cách khảo sát hàm số g c f c khoảng 0;1 23 Ta có g ' c 3c2 6c , g ' c c1 1 2, c2 1 Lập bảng biến thiên hàm số g c khoảng 0;1 ta có g c g c2 g 1 , suy P f c 32 1 2 c 1, a b 2 2 Bài 65 Đặt T 3a 3b 3c 4abc Do vai trò a, b, c bình đẳng nên không nghịch biến tổng quát ta giả sử a b c Từ a + b + c = a + b > c suy c (2) 2 2 2 Ta biến đổi T 3(a b ) 3c 4abc a b 2ab 3c 4abc 3 c 3c 2ab 2c Vậy Pmin ab Do – 3c > ab 3 , suy 1 27 2 T 3 c 3c2 a b 2c 3 c2 6c 3c2 c 2c c c f c 2 2 3 Ta có f c 3c2 3c , nên f(c) đồng biến 1; Vì vậy, T f c f 1 13 2 Đồng thời T 13 c Với giả thiết a b c a + b + c = (3) suy a = b = 1, tức tam giác ABC Bài 66 Bài toán hoàn toàn đối xứng với ba biến số, nên không tính tổng quát, ta giả sử x y z , coi x biến số coi y , z tham số hàm số f x x x2 y z 3xyz xy xz2 y z z2y y z Ta có f ' x 3x 2x y z 3yz y z f '' x x y z 3x y z với x , y , z x y z Điều chứng tỏ f ' x hàm số đồng biến, suy f ' x f ' y 3y2 2y y z 3yz y z2 yz z2 ( x y z ) Đến ta suy f x hàm số đồng biến, f x f y z z y Bài 68 Nhìn toán ta khó thấy việc sử dụng phương pháp tiếp tuyến, nhiên để ý a b ab 1 c nên ta đưa toán cho toán quen 4 ab 2c c2 1 27 thuộc Chứng minh với điều kiện a, b, c dương a b c 2 2a a 2b b 2c c 32 Bây xét hàm số f x khoảng 0;1 , phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 2x x 27 81 điểm có hoành độ y x 256 256 chút suy 81 27 81 3x 1 13 3x 27 x x với x 0;1 , Xét f x 256 x x 256 256 256 x x 256 27 81 với x 0;1 x 256 256 1 27 81 27 Từ ta có a b c , đẳng thức xảy 2 2a a 2b b 2c c 256 256 32 abc f x 24 Bài 69 Ta có 1 x 1 y Xét P 1 x x y3 x y xy xy x y 1 y 1 Vì x , y 0;1 2 x y xy 2 xy x y xy 3xy x y 3xy xy xy 1 x 1 y 2xy 1 2xy x y2 * Thật * 2 x y 1 xy 1 x 1 y x y 1 xy Luôn x , y 0;1 Suy P 1 2xy , xy 0; xy 9 Xét hàm số f t 1 1 1 2t ,t 0; Có f ' 0, t 0; 1t 9 9 1 t t 56 56 1 Vậy P f nên maxP = xy 10 10 1 Bài 70 Áp dụng BĐT (x , y 0) ta có x y xy 1 1 1 S ( ) 2( ) 3( ) bc a ac b bc a abc acb abc c b a Từ gt ta có 2 3 a nên 2( ) 2(a ) b c c b a c b a a Vậy S MinS a b c x a 2b c a x 5y 3z Bài 71 Đặt y a b 2c b x 2y z Do ta cần tìm giá trị nhỏ z a b 3c c y z x 2y x 8y z 8y 8z x 2y 8y z P 17 x y z x z y y P 2 x 2y 8y z 2 17 12 17; Đẳng thức xảy b a, c a y x z y Vậy GTNN P 12 17 Bài 72 Ta có x y x 1 y 1 x y ,….; xy xy ,… 1 1 xy yz zx 3 Nên P 2x y y z z x Ta có x y z xy yz zx xyz x y y z z x x y z xy yz zx xyz 25 x y z xy yz zx 9 x y y z y z z x x y z x 1 xy yz zx x y y z z x x y z xy yz zx x y z xy yz zx 27 x y y z z x x y z xy yz zx xy yz zx 2 1 27 27 Suy P xy yz zx Đặt t xy yz zx xy yz zx 8 xyz Do x , y , z 0;2 2 x 2 y 2 z xy yz zx 2t 2 1 27 27 Mặt khác xy yz zx x y z t Vậy t 2;3 Ta có P t f t 8t 8 27 8t 27 t 2;3 nên hàm số f t đồng biến Xét hàm số f t với t 0;2 ta có f ' t t 8t 16t 15 15 15 2;3 f t f 3 Do P f t P Có P x y z 4 Bài 73 1 (x y x z)2 (2x y z)2 Ta có (x y)(x z) 2 4 3x 2y z 3x 2z y 3(2x y z) (2x y z)2 3(2x y z) t (t 2)(3t 8t 16) t 2x y z Đặt 2x y z t (t 0) 3t Mà (2x y z)2 (22 12 12 )(x y z2 ) x y z2 2 2x y z 12x 12x 12x 36x 1 2 2 1 Ta có P 1 2 2 2x y z x x y z 3x x2 36x Xét hàm số f (x) với x 3x x 1 (loaïi) 36(3x2 x 2) , f '(x) Ta có f '(x) 2 x f 10 (3x 2) 3 Vậy giá trị lớn P 10 Dấu “ ” xảy x , y z 3 4b 1 Bài 74 Ta có P 2 2 2 a 1 1 2b c 3 a 1 c 3 2b Đặt d , ta có a2b2 c2b2 3b trở thành a2 c2 d 3d b 1 8 64 256 Mặt khác P 2 2 2 a 1 d c 3 a d c 3 a d c 2a d 2c 10 2 2 Từ giả thiết suy 26 Mà 2a 4d 2c a2 d c2 a2 d c2 3d Suy 2a d 2c Do P nên GTNN P a 1, c 1, b Bài 75 x2 2x 3x x x y x 2x 3x 2x 2x x 5 6 Xét hàm số f (x) 2x 2x x 5 ; x 0; ta Max f(x) = x y 6 5 0; Từ giả thiết ta có y 5 P x y 2x y Đặt t x y P x2 y2 x y x y 2 x y2 t2 t2 2 t3 , t g(t ) , t 0;2; g '(t ) t ; g '(t) t 2 t t t t t (t 2) 1 xy Bài 77 Ta có xy P/ Đặt t xy , điều kiện t P t 2 t 1 t 1 (t 1) x 0 P/ + P Khi x 1; y Bài 78 Vì x y z nên x(x y)(y z) (x xy)(y z) x 2y x z xy xyz x 2y xyz x 2z xy Vậy GTLN P xy yz2 zx2 xyz x2 z xy yz2 xyz x2 y xyz yz2 xyz y x2 z2 Theo bất đẳng thức Cô si ta có x2 y2 z2 1 2y ( x z ) ( x z ) yx z 2y (x z )(x z ) 3 2 Do 2 P xy yz zx 2 x xyz y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 2 3 2 x2 y2 z2 Đặt t (t 0) Ta có P f (t ) 2t t f '(t) 6t 6t 6t (1 t) t 1 Lập bảng biến thiên hàm f (t ) suy f (t ) f (1) P 2 1 Ta thấy P x y z Vậy giá trị lớn cần tìm Max P x y z 2 x y y x x y Bài 79 Ta có 2 x y x.2 y.2 x.2 y.2 27 y.2y z.2z y.2z z.2y Tương tự ta có z x.2x y.2y z.2z y z 2x z x 2y x y 2z x x z z.2 x.2 z.2 x.2 x.2x y.2y z.2z 1 x 2x 1 y 2y 1 z 2z x.2x y.2y z.2z 2x 2y 2z Mặt khác ta có 2x 2y 2z 3 2x y z 3 x.2x y.2y z.2z (đpcm) Bài 80 Đặt t x y z t 27 2(xy yz zx) 2(xy yz zx) t 27 Ta có x y z2 x y z 3(x y z2 ) 27 t 3 t 2t 3 , t 3 A t 27 Xét f (t ) t 27 3 3;9 có f '(t ) 2t t t2 t t f t đồng biến 3 3;9 Do f (t) f (9) 163 / Dấu đẳng thức xảy t 163 Giá trị lớn A x y z 2 3(x y z ) x y z 3 x y z Bài 81 P x y z2 2(x y y z2 z2 x ) 2 2 = x y z xy yz zx xy yz zx 2xyz x y z = 16 xy yz zx xy yz zx 16 Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz Từ gt y z x , yz 2 t x x x2 x x x x x x 16 x x 2 x x (*) x Giải BPT (*) giao với điều kiện < x < ta đươc x Ta có (y z)2 4yz x Khảo sát hàm số t theo biến x với x ; ta tìm t P 16 2t 2(t 16) 2t 64t 288 , t Minf(t) 383 165 t 5 1 ta 5 1 , Maxf (t) 18 t Suy Pmin 383 165 đạt chẳng hạn x 5, y z Pmax 18 đạt chẳng hạn x = 2, y = z = Bài 82 GT x y z 3 x y z 3 x y z 2 5 1 1 x y x 2 Vì x , y ,z nên x y x 120.4.2 8.120 => P x y z 9 x z 4 y 24 x z 2 y 2 2 1920 1920 P 6 x y z Xét hàm số f t 6t đồng biến 0;6 t 10 x y z 10 max P 147 x 1; y 2; z Bài 84 P x 6y z 28 P a b c 48 3 a, b, c Ta có b c a 10 12 Lại có 3 (b c).8.8 b c 16 (b c) b c 16 3 12 (a 10).12 a 22 a 10 a 22 12 12 48 3 a 10 b c a 22 b c 16 a b c 38 482 482 Suy P a b c a b c 38 38 2.48 38 58 a b c 38 a b c 38 Mặt khác với a 2, b 3, c ( thỏa điều kiện toán) P 58 Vậy minP 58 a b Bài 85 Doa, b, c nên x 0; y ; x y 1& x y x y xy x y 3xy x y c c Suy Chia tử mẫu P cho c2 thay x,y Ta x y 2xy t3 x2 y2 P ; t x y xy 3t 1 x 1 y x y xy t t t 3t t 2 3 Do x; y nên t P 1 f t t 1 3 2 t t t t t t t 3t 3 2 2 Vi t nên f t Vay : MinP a b, c a 1 1 x2 y2 x2 3x2y2 Mà x2 3x2y2 x2 y2 x2 y2 ; Đặt t x2 y2 t2 3t t y x2 3x2 y 2 y2 x2 y2 2 2 2 x x t t ,t 1;2 x 2y x y Ta P Bài 87.Từ giả thiết ta có x2 y2 x y2 x y2 x2 y2 t 1 x f (t ) f (1) P 1, 1;2 y 1 t2 t , t 1;2 Xét hàm số f (t ) t 1 max f (t ) f (2) max P , x 1;2 y 3 Bài 88 Ta có 4(x +y ) (x+y) , với x,y>0 Thật 4(x3+y3) (x+y)3 4(x2-xy+y2) (x+y)2 (vì x+y>0) 3x2+3y2-6xy (x-y)2 Tương tự 4(x +z ) (x+z) ; 4(y +z ) (y+z) 4(x y ) 4(x z ) 4(y z ) 2(x y z) xyz 3 3 3 x y z 1 ) 63 P 6( xyz ) 12 Vậy P 12, dấu ‘ ’ xảy x = y = z =1 y z x xyz xyz Bài 89 Áp dụng BĐT TBC-TBN cho hai số dương, ta có x xy2 2x2y , y yz2 2y z , z zx 2z2 x x y z x 2y y z z2 x xy yz2 zx 1 Mặt khác 2( Mặt khác, x y z nên 3 x y z2 x y z x y z2 x y z x 2y y z z2 x xy yz2 zx 2 29 Từ (1) (2), ta có x2 y z2 x 2y y z z2 x Do P x y z xy yz zx x2 y2 z2 Ta có x y z x y z2 xy yz zx Đặt t x y z2 xy yz zx x y z Do x y z 2 t Khi P t t t 2t t ,t P ,t 2t 2t 2t t Xét hàm số f t , 3; Lập bảng biến thiên, ta có hàm f đồng biến 3; 2t P minf t f 3 t 3 Bài 90 Áp dụng bđt Cauchy cho số dương x3 y y 2y x3 x y 27 27 729 x3 y3 z3 x y2 z2 15 1 y z3 x3 27 Tương tự, thu 2 x y z xy yz zx x y z P 27 27 Bài 91 Đặt t=ab+bc+ca ( t ),ta cóa2+b2+c2 ab+bc+ca =>1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) 3(ab+bc+ca)=3t=> a2+b2+c2=1-2t với t Theo bất đẳng thức Cô-si T2=(ab+bc+ca)2 3(a2b2+b2c2+c2a2) 1 Do M t2+3t+2 2t Xét hàm số f(t)= t2+3t+2 2t tập D 0; , 3 2 f’(t) 2t ; f’’(t) 0t D 2t (1 2t )3 11 >f’(t) nghịch biến D >f’(t) f’(1/3) > f(t)đồng biến D=>f(t) f(0)=2 Bài 92 1 x y z2 x y x y z2 z2 x y 2xy z 22 2z 2 1 2 2 x y z x y z x y z x y z 4 1 x y x 2z y 2z x y x y 4z 3x 3y x y z (1) Vì 3x 3y x y z 3x 3y x y z x y z nên 27 (1) x y x 2z y 2z x y z Vậy P x y z 2 x y z 2 Đặt t x y z , xét hàm số f t Ta có f t t 2 27 f t t3 27 với t t 2t 8t 2t 108t 108 t t 2 , f t t f Bài 93 Đặt u 2a ;3b ;4 c , v 2c ;3a ;4 b ,w 2 b ;3c ;4 a M u v w M u v w 2 a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c 2 30 + Theo cô – si có 22 2b 2c 3 2abc Tương tự … + Vậy M 29 Dấu xảy a b c Bài 94 Ta có TXĐ D [0;8] Đặt g(x) 5x x 32, h(x) 3x 12x 16 Ta dễ dàng xác định x [0;8] , g(2) g(x) g(8) 12 2, h(2) h(x) h(8) x 3x 24 x ( 3x 24 x ) x 8(x 2)2 Do f (x) 3x 12x 16 h(x) x [0;8] 2 5x x 32 3x 24 x Đẳng thức xảy x = f (x) x= Ta có f (x) 5x x 32 3x 24 x 3x 12x 16 g(x) h(x) 12 x [0;8] Đẳng thức xảy x = max f (x) 12 x= Vậy f (x) x= max f (x) 12 x= 2x 3y Bài 95 Ta có 6(x 1)(y 1) (2x 2)(3y 3) 36 x y xy Ta có 5(x y ) 2x y 5(x y ) 2x y (x y 3)2 x2 y2 2xy 6x 6y 2(x y xy 3) 8(x y) (x y 3) Suy P 2(xy x y) 24 2(x y xy 3) Đặt t x y xy , t 0;5 , P f (t) 2t 24 2t Ta có f / (t ) 24.2 3 (2t 6)2 2 (2t 6)2 (2t 6)2 0, t 0;5 Vậy hàm số f(t) nghịch biến khoảng 0;5 Suy f (t) f (5) 10 48 Bài 97 x y z2 2x 4y x 1 y 2 z2 2 1 Xét mặt cầu S : x 1 y 2 z2 , tâm I 1; 2;0 ,bán kính R Xét mp : 2x y 2z T 2 G/s M x; y; z Từ 1 có điểm M nằm bên S kể mặt cầu S d I , R T 2 T 10 Với T 2 M giao điểm mp 2x y 2z x 2t 4 7 4 đường thẳng qua I : y 2 t M ; ; Với T 10 Tương tự M ; ; 3 3 3 3 z 2t Bài 98 Xét pt x2 2ax (1) có / a2 với a Nên (1) có nghiệm 1 x 2ax x Xét pt y2 2by (2) có / b2 với b Nên (2) có nghiệm 2 y 2by y Đặt x -t ,t 2 1 1 1 M 3 t y t y t y t y a2 b2 c2 a b c 1 a b c Ta có VT 4b 4b 4c 4c 4a 4a 2b 2c 2a b c a 31 a ; b2 a b b c ; c b c a2 c a a b c 1 Cộng theo vế BĐT ta b c a a b c 1 1 1 1 4 1 VT VP a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a Đẳng thức xảy a b c 1 1 Bài 99 t 0, y ; t y t y t y t y t y Mặt khác M 3t y 16 3t y t y 16 t y 8 ty y ty 16 M 3t y y x t y 2 2a 0, a 3, b 3 3 19 Vì x, y thỏa (1) (2) nên ab 2 2b z x Bài 100 Ta có xz 2x , yz 2z Từ suy y z x z P 3y 2x xz 2z yz 3y 2(x z) y(x y z) xz yz 2(x z) y x(y z) z y Do x y z nên x(y z) Từ kết hợp với ta x z P 3y 2(x z) y 2(3 y) y (y 1)2 z y Vậy giá trị nhỏ P đạt x=y=z=1 32 [...]... Ta có ab bc ca 3 ab.bc.ca 27a2b2c2 (ab bc ca)3 Lại có a2 b2 c2 ab bc ca 3(a2 b2 c2 ) 3(ab bc ca) Do đó P (ab bc ca)3 3(ab bc ca) t 3 3t f (t) Tương tự, ta có (a b c)2 1 1 Từ đó ta có GTLN của P bằng 2 khi a b c với 0 t ab bc ca 3 3 Bài 43 Trong mặt phẳng tọa độ xét A(4; 0), B(1; 7), M(x; y) (C) x 2 y 2 4 Ta có. .. y 1) 2 9 1 9 1 Xét hàm số f (t ) t 2 2t 2015 với t , có f '(t ) t 2 0 , với t nên hàm số f(t) đồng biến trên 4 2 2 2 1 1 32233 f (t ) f 2 ; Suy ra min 1 16 2 t ; 2 Bài 53 Ta có √ √ √ ( √ √ √ ) suy ra ( ) √ ) ( ( ) ( ) ( ) Lập BBT, suy ra ( ) ) ( ) Từ giả thiết ta có ( Bài 57 Ta có ( Bằng biến đổi tương đương, ta cm được ( ) ( ( ( ) ) √( ) (... bằng nhau Khi đó ta có 3 2 a b 1 3 1 c 1 3 c 3c 3c 1 P c c f c Bây giờ thì việc giải quyết bài toán khá là dễ 8 2 4 2 4 dàng bằng cách khảo sát hàm số g c 8 f c trên khoảng 0;1 23 Ta có g ' c 3c2 6c 3 , g ' c 0 c1 1 2, c2 1 2 Lập bảng biến thiên của hàm số g c trên khoảng 0;1 ta có g c g c2... y z 3 t 3 Vậy t 2;3 Ta có P t f t 3 2 8t 8 1 27 8t 3 27 0 t 2;3 nên hàm số f t đồng biến Xét hàm số f t với t 0;2 ta có f ' t t 2 2 8t 16t 2 15 15 15 trên 2;3 f t f 3 Do P f t P Có P khi x y z 1 4 4 4 Bài 73 1 1 8 (x y x z)2 (2x y z)2 Ta có (x y)(x z) 2 4 4 3x... 2ax 9 0 (1) có / a2 9 0 với a 3 Nên (1) có nghiệm và 1 x 2 9 2ax x 0 Xét pt y2 2by 9 0 (2) có / b2 9 0 với b 3 Nên (2) có nghiệm và 2 y 9 2by y 0 Đặt x -t ,t 0 2 2 2 1 1 1 1 2 M 3 t y 3 t y t y t y a2 1 b2 1 c2 1 a b c 1 a b c Ta có VT 2 2 2 2 2 2 2 2 2... x; y Do đó MinP 2 3 khi x = 0 ; y = 2 1 2 xy Ta có xy 3t t t 2 4 2 3 x 2 y 2 3 x y xy 12 5 Suy ra P x 2 y 2 t 2 t f (t ) xy x y 1 xy t 2 2 3 Ta có f ' t 2t 1 2 0, t 2 Suy ra hàm số f t nghịch biến với t 2 P f t f 2 t 2 1 1 2 Bài 33 Ta có , ab 1 1 a 1 b 1 ab Thật vậy Quy đồng,... 1 t 1 Bài 34 Ta có 7a 4b 4 ab 7a 4b 2 a.4b 7a 4b a 4b 8 a b (theo bđt Côsi) 1 1 1 1 ) a b t 2 t f t (đặt t ab t ab ab 1 f ' t 2t 1 2 0 2t 3 t 2 1 0 t 1 t Suy ra P 18 a b 1 4 1 a ; b Lập bảng biến thiên của f t với t>0 ta có minP=f(1)=1 5 5 a 4b 2 2x 2 3y 3 Bài 35 Ta có 6(x 1)(y 1)... 2 2 2 1 1 Từ đó F (z 3 z 2 4) (1) Xét f(z) = (z 3 z 2 4) với 0 < z < 1 2 2 1 2 2 52 Ta có f '(z) (3z 2z) 0 z (0,1) Lập BBT suy ra f(z) (2) 2 3 27 52 2 52 Từ (1) và (2) ta có F Vậy MaxF = đạt được khi x = y = z = 27 3 27 1 1 1 Bài 20 Áp dụng BĐT Côsi ta có a2 b2 c2 1 (a b)2 (c 1)2 (a b c 1)2 2 2 4 3 abc3 và (a 1)(b 1)(c 1) ... BĐT Cô-Si ta có a 4b b 4c 13a 12 ab 16 bc 13a 6 a.4b 8 b.4c 13a 6 8 16(a b c) 2 2 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra a 4b 16c Suy ra P 2(a b c) abc 3 3 Đặt t a b c , t > 0 Khi đó P 2t t 3 3 3 3 Xét hàm f (t ) trên khoảng (0, + ), ta có f '(t ) 2 2t t 2t t 2t 3 3 f '(t) 0 2 0 t 1 2t t 2t a b c 1 16 4 1 3 a ;b ;c Vậy ta có P , dấu... c 1 2 Bài 58 Ta có P Ta có a3 8 a3 8 b3 8 a 2 a2 2a 4 1 2 a a 6 ; b3 8 2 21 b 2 b2 2b 4 1 2 b b 6 2 c3 8 c 2 c2 2c 4 1 2 c c 6 2 6 a b c a b c P 2 2 2 2 a b c 3 a b c a b c 9 a b c 36 6 2 2 2 2 Đặt t a b c với t 0;3 Ta có f t 54 t