Thông tin tài liệu
100 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, GTNN, GTLN TỪ MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ Sưu tầm Trần Quang Thạnh I MỘT SỐ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: ( √ Với ) Đẳng thức xảy ( Với √ ( ) Với số ( ) ( ) tỷ lệ với BĐT cộng mẫu số : với ) Đẳng thức xảy )( ) Đẳng thức xảy hai ( ta có ( ) Các BĐT từ (5) đến (10) viết với điều kiện CM cách biến đổi tương đương dùng BĐT từ (1) đến (4) )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 10 Một số BĐT biến thường dùng: ( ) ( ) 11 Với 12 Bốn bất đẳng thức sau CM pp biến đổi tương đương kết hợp BĐT AM-GM: ( ) ( ) √ √ √ 13 ĐẲNG THỨC tuyệt với sau phải nhớ : ( ) ( ) II 100 BÀI TOÁN BĐT, GTNN VÀ GTLN TỪ MỘT SỐ ĐỂ THI THỬ: Bài (THPT – Nam Đàn – Nghệ An - 2015) Cho x số thực thuộc đoạn [ 1, ] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 4x x nhỏ P 4x x Bài (THPT – Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam - 2015) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 Chứng minh 2 3(a b c)2 2 a b b c c a Bài (THPT – Nguyễn Huệ - Quảng Nam - 2015) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a b ab Tìm a2 b2 ab giá trị nhỏ biểu thức P b 1 a 1 a b Bài (THPT – Chuyên Vĩnh Phúc – Lần - 2016) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 4 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P ab bc c a a b c Bài Cho x, y, z số thực dương thoả y z x(y2 z2 ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P 2 (1 x) (1 y) (1 z) (1 x)(1 y)(1 z) Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn 1 2 x 1 2, y 0, z x y z 1 Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức P 2 (x y) (x z) (y z)2 Bài (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y số thực thỏa mãn x +16y + 2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau P=x x2 +3 +2y 4y2 +3 Bài (THPT- Lê Hồng Phong – Phú Yên-2015) Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn x y z Tìm x y z2 x yz y zx z xy Bài (THPT – Quỳnh Lưu 3- Nghệ An – lần - 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ; b 2c a 2c c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 6ln(a b 2c) 1a 1b Bài 10 (THPT – Nguyễn Trung Thiên – Lần - 2015) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a2 b2 c2 3b Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau P 2 a 1 b c 3 giá trị nhỏ biểu thức P Bài 11 (THPT – Hậu Lộc - 2015) Cho x > 0, y > thỏa mãn x2 y xy x y 3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y (1 xy)2 2xy 1 Bài 12 (THPT – Bắc Yên Thành – Nghệ An - 2015) Cho số thực a, b, c ;1 Tìm giá trị lớn 2 a b bc c a biểu thức P c a b Bài 13 (THPT – Hưng Yên – Lần - 2015) Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x 5 x y z2 xy 2yz zx Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 y z x y z 3 Bài 14 (THPT – Quỳnh Lưu – Nghệ An – Lần - 2015) Cho a,b,c thuôc đoạn [1;2] Tìm giá trị nhỏ a b c ab bc ca biểu thức P = Bài 15 (THPT –Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần - 2015) Cho x , y hai số thỏa mãn x , y 3(x y) xy 1 1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P x y 3 x y Bài 16 Cho x,y thay đổi thỏa mãn x y Tìm GTLN GTNN biểu thức P = 2(x xy) xy 2y 1 a b a b ab 2 Bài 18 Cho x, y > thỏa mãn x y xy Tìm GTLN P = 2 xy x y xy Bài 19 Cho x, y, z số thực dương thay đổi cho x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = x2 y z2 2xyz Bài 17 Cho a, b > a + b Tìm GTNN biểu thức S = Bài 20 Cho a, b, c > Tìm giá trị lớn biểu thức P = (a 1)(b 1)(c 1) a2 b2 c2 Bài 21 Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức 24 P= 13a 12 ab 16 bc abc Bài 22 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x y z2 Tìm GTLN biểu thức x2 yz yz P= x yz x x y z (A, A1 2014) Bài 23 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm GTNN biểu thức P a3 b3 c Bài 24 (A-2011) Cho x, y, z số thực thuộc đoạn [1; 4] x y , x z Tìm GTNN biểu thức x y z P 2x 3y y z z x Bài 25 (D - 2012) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) Bài 26 (B-2011) Cho a b số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ a3 b3 a2 b2 biểu thức P = b a b a Bài 27 Cho số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 32 P a a2b2 b4 a2b2 (1 c)3 Bài 28 (THPT – Chu Văn An – An Giang - 2015) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm 121 giá trị nhỏ biểu thức A 2 a b c 14(ab bc ca) Bài 29 (THPT – Chí Linh – Hải Dương - 2015) Với a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu 1296 thức P (a2 2)(b2 2)(c2 2) abc Bài 30 (THPT – Trần Thị Tâm – Quảng Trị - 2015) ) Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn x 5(x2 y2 z2 ) 9(xy 2yz zx) Tìm giá trị lớn biểu thức P 2 y z (x y z)3 Bài 31 (THPT – Bến Cát – Bình Dương - 2015) Cho số thực x; y thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y 2x x y 2x y Bài 32 (THPT – Nguyễn Viết Xuân – Phú Yên - 2015) Cho x , y > thỏa mãn xy x y Tìm giá trị lớn 3x 3y xy biểu thức P x2 y2 y 1 x 1 x y Bài 33 (THPT – Lương Thế Vinh – Lần -2015) Cho số thực a, b dương thỏa mãn ab Tìm giá trị 1 32 nhỏ biểu thức T 1a 1b 2a(1 a) 2b(1 b) Bài 34 (THPT – Thạch Thành – Thanh Hoá - 2015) Cho a, b số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b 7a 4b ab ab Bài 35 (THPT – Nghĩa Hưng - 2015) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn 2x 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2xy y 5(x y ) 24 8(x y) (x y 3) 1 Bài 36 (THPT – Triệu Sơn – lần - 2015) Cho a, b, c thuộc khoảng (0;1) thoả mãn ( 1)( 1)( 1) a b c 2 Tìm GTNN biểu thức P = a b c Bài 37 (THPT – Như Xuân – Thanh Hoá - 2015) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x (y z) y (z x) z (x y) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P yz zx xy Bài 38 Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P 2(ab bc ca)3 27a2b2c2 3(a2 b2 c2 ) 6(ab bc ca) Bài 39 Cho số thực dương a, b, c thoả a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) Bài 40 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 S (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) Bài 41 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a2 +b2 +c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 S b 2c c 2a a 2b Bài 42 Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 S b(2c a) c(2a b) a(2b c) Bài 43 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2x 54 2x 14y Bài 44 (THPT-Ngô Sỉ Liên – Lần -2016) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x2 y2 z Tìm giá 1 xy yz zx Bài 45 (THPT – Đội Cấn - 2016) Cho số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xy yz zx xyz Chứng minh trị nhỏ biểu thức P xyz x yz y xz z xy xyz x y z Bài 46 (THPT – Đức Thọ - Hà Tĩnh – Lần - 2016) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn b 2c a 2c ab ; c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 6ln(a b 2c) 1a 1b Bài 47 (THPT – Bố Hạ - Lần - 2016) Cho số thực x , y , z thỏa mãn x 2, y 1, z Tìm giá trị lớn 1 biểu thức P 2 2 x y z 2(2x y 3) y(x 1)(z 1) Bài 48 Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện biểu thức P x y 2z 2y z z 2x x y z Bài 49 Cho x, y, z thuộc 1;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z x y z Tìm giá trị nhỏ 2 x y z xy 3z z xy Bài 50 Cho x, y, z ba số thực dương thoả mãn điều kiện x y2 6z2 4z x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x3 yx z y3 x y z x2 y2 z Bài 51 (THPT – Việt Yên – Bắc Giang – Lần - 2016) Cho a, b, c số thực dương thoả a b c Tìm a2 b2 giá trị nhỏ biểu thức P a b 2 b c 5bc c a 5ca Bài 52 (THPT – Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần - 2016) Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện (x y)3 xy Tìm giá trị nhỏ biếu thức P 3(x y )2 2(x y)2 xy(3xy 4) 2015 x y z Bài 53 (THPT – Khoái Châu - 2016) Cho ba số thực x , y , z thoả 2 Tìm giá trị lớn x y z biểu thức P x y z Bài 54 (THPT – Lý Thái Tổ - Chọn HSG - 2016) Cho x , y , z ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức P xy xz 7z x y z Bài 55 Cho hai số thực x ,y thoả mãn x , y 1;2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2y y 2x x 3y y 3x x y 1 Bài 56 Cho số thực x , y thoả mãn x 2xy y Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P x 2xy y Bài 57 (THPT – Yên Lạc – Lần - 2016) Cho a, b số thực không âm thoả a2 b2 a b Tìm a2 b2 ab giá trị nhỏ biểu thức P (a b)2 a a b b Bài 58 (THPT – Hiền Đa – Phú Thọ - Lần - 2015) Cho số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a b c a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 b3 c 1 c a 1 a3 b Bài 59 (THPT – Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần - 2015) Cho số thực dương x , y , z thoả y 3x(x 1) 16 y 10 3 xz (y 1) x 2 Bài 60 (THPT – Chuyên KHTN – Hà Nội – Lần - 2016) Xét số thực dương x , y , z thoả mãn x y z x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P x y z Bài 61 (THPT – Thuận Thành – Bắc Ninh – 22 - 2015) Cho số thực dương x , y thỏa mãn x y 1 3x 3y 1 ln xy 3x 3y Tìm giá trị lớn biểu thức M 2 2 3xy y(x 1) x(y 1) x y x y Bài 62 (THPT – Thuận Thành – Bắc Ninh – 21 - 2015) Cho ba số thực không âm x , y , z Tìm giá trị lớn 4 biểu thức P x y z2 (x y) (x 2z)(y 2z) (y z) (y x)(z x) 4(x2 x 1) 16 x yz 3x(y z)2 Tìm GTNN biểu thức P Bài 63 (THPT – Việt Trì – Phú Thọ - Lần -2016) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a3 b3 b3 c c a3 2 a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a 2b b 2c c 2a Bài 64 (THPT- Trần Phú – Hà Tĩnh – Lần - 2015) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a 2b 2bc a 2b 3c b 2c Bài 65 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức c3 3 P a b Bài 66 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 3a2 3b2 3c2 4abc 13 Bài 67 Cho ba số thực x , y , z , chứng minh x y z 3xyz x2 y z y2 z x z2 x y 1 27 ab bc ca Bài 69 (THPT – Chuyên Lê Quý Đôn – Hải Phòng – lần - 2015) Cho x, y số thực thuộc 0;1 thoả mãn Bài 68 Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a b c Chứng minh x y3 x y 1 x 1 y Tìm giá trị lớn biểu thức P xy x y 1 x 1 y Bài 70 (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần - 2015) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S bc a a c b a bc Trong a, b, c độ dài cạnh tam giác thỏa mãn 2c b abc Bài 71 (THPT – Hậu Lộc – Thanh Hoá – Lần -2016) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ a 3c 4b 8c biểu thức P a 2b c a b 2c a b 3c Bài 72 (THPT – Xuân Trường – Nam Định – Lần - 2016) Cho x , y , z 0;2 thỏa mãn x y z Tìm giá xy 2 1 2 xy yz zx x y y z z x2 Bài 72 (THPT- Thuận Thành – Bắc Ninh - 2016) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ; b 2c a 2c c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 6ln(a b 2c) 1a 1b Bài 73 (THPT – Lý Thái Tổ - Bắc Ninh – Lần -2016) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn 2(x 3)2 y z 16 2 (x y)(x z) Tìm giá trị lớn biểu thức P 2x2 y z 3x 2y z 3x 2z y Bài 74 (THPT – Triệu Sơn – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn 4b2 a2b2 c2b2 3b Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 a 1 1 2b c 3 trị nhỏ biểu thức P Bài 75 (Sở - GD – Vĩnh Phúc – Lần - 2016) Cho x , y biểu thức P x y x y 2 2y x thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ y 2 x 3x Bài 76 (THPT – Nguyễn Đình Chiểu – lần - 2016) Cho x y thỏa điều kiện x y Tìm giá trị lớn biểu thức P xy xy Bài 77 (THPT – Thiệu Hoá – Thanh Hoá - 2016) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức P abc 3 ab bc ca 1 a 1 b 1 c Bài 78 (HSG – Phú Thọ - 2016) Cho số x , y , z thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức P xy yz zx 2 x xyz y2 z2 Bài 79 (THPT – Phú Nhuận) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh x.2x y.2y z.2z Bài 80 (THPT – Nguyễn Huệ) Cho số thực không âm x , y , z thoả mãn x y z2 27 Tìm giá trị lớn biểu thức P 2(xy yz xz) xyz Bài 81 (THPT – Trung Phú - 2015) Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = xyz = Tìm GTNN biểu thức P = x4 + y4 + z4 Bài 82 (THPT – Củ Chi - 2015) Cho x,y,z>0 thỏa x y z2 2xy 3 x y z Tìm GTNN 120 120 xz y 2 Bài 83 (THPT – Bùi Thị Xuân) Cho x, y dương thoả x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 y2 y3 x2 3 P= x2 y2 2x 2y Bài 84 (THPT – Chuyên Trần Đại Nghĩa - 2015) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 5 a b c 2ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c 48 a 10 b c Bài 85 (THPT – Nguyễn Thượng Hiền - 2015) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a3 +b3 = c3 Tìm a2 b2 c2 giá trị nhỏ biểu thức P c a c b P x 6y z Bài 86 (THPT – Nguyễn Thị Minh Khai - 2015) Cho x,y số thực thỏa mãn x +16y + 2xy+1 =2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau P=x x2 +3 +2y 4y2 +3 Bài 87 Cho x, y số thực thỏa mãn x y 1 3x y x 5y Tìm GTLN GTNN biểu thức P x 2y x y x2 y2 Bài 88 (THPT – An Lão - 2015) Cho x,y,z số thực dương Chứng minh x y z P = 4(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2( ) 12 y z x Bài 89 (THPT – Phù Cát - 2015) Cho số thực dương x , y , z thỏa x y z Tìm giá trị nhỏ xy yz zx biểu thức P x y z x y y z z2 x Bài 90 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x3 y3 z3 xy yz zx 3 y z x 27 Bài 91 (THPT – Vân Canh - 2015) Cho số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 3(a2b2 b2c2 c2a2 ) 3(ab bc ca) a2 b2 c2 Bài 92 (THPT – Trần Cao Vân - 2015) Cho ba số thực dương x , y , z Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P 2 x y z x y x 2z y 2z Bài 93 (THPT – Bình Dương - 2015) Cho a, b, c số thực thoả mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c Bài 94 (THPT – Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2015) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f (x) 5x x 32 3x 24 x 3x 12x 16 Bài 95 (THPT – Lê Quý Đôn - 2015) Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn 2x 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2xy y 5(x y ) 24 8(x y) (x y 3) Bài 96 (THPT – Lý Tự Trọng - 2015) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x (y z) y (z x) z (x y) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P yz zx xy Bài 97 (THPT – Nguyễn Diêu -2015) Cho ba số thực x , y , z thoả mãn x y z2 2x 4y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T 2(x z) y Bài 98 (THPT – Quy Nhơn - 2015) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh a2 b2 c2 1 1 2 4b 4c 4a ab bc c a Bài 99 (THPT – Trưng Vương - 2015) Giả sử x, y số thực thỏa mãn phương trình x2 2ax với a ; y 2by với b Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 M 3 x y x y Bài 100 (THPT – Nguyễn Thái Học - 2015) Cho x z biểu thức P 3y z y thỏa mãn x y z x y z Tìm giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Đặt a x , b x a 4b2 9, với a, b 3sin cos ab 2sin cos Do đặt [0, ] với a=3sin ,2b=3cos Khi P a 2b 3sin 3cos 2sin 2cos 4sin x 8cos x 2sin x cos x Xét hàm số f (x) với x [0, ] Ta có f / (x) 0, x [0, ] 2sin x 2cos x (2sin x 2cos x 4) Suy hàm số f(x) luôn đồng biến [0, ] Do f (x) f (0) ;max f (x) f ( ) x[0, ] x[0, ] 2 b2 4b2 a a2 4a2 Tương tự (b c)2 5bc (b c)2 (b c)2 9(b c)2 (c a)2 5ca 9(c a)2 Bài Ta có a2 b2 a2 b2 a b a2 b2 c(a b) Suy (b c)2 5bc (c a)2 5ca (b c)2 (c a)2 b c c a ab c(a b) c 2 (a b)2 c(a b) 2 2(a b)2 4c(a b) (a b)2 (a b)2 4c(a b) 4c c ( a b ) c 2 2(1 c)2 4c(1 c) 8 Vì a b c a b c nên P (1 c)2 (1 c) 2 (1 c) 4c(1 c) 4c c 1 2 8 16 Xét hàm số f (c) (c 1) (1 c) , với c (0;1) Ta có f '(c) 9 c 1 9 c (c 1) f ' (c) (c 1) 64 27(c 1)3 c , c (0;1) Lập BBT, vào BBT, ta có f (c) với c (0;1) 1 Suy P , dấu đẳng thức xảy a b c 2 Bài Đặt x a b ab x Ta có a b 4ab a b a b 4ab x2 4(3 x) x (do x > 0) a3 b3 a2 b2 ab (a b)3 3ab(a b) (a b)2 2ab ab x3 x2 x x (a 1)(b 1) ab a b ab ab x 7 3 Xét f (x) x x , x Ta có f '(x) x 2t 0, x f (x) f (2) 4 x 4 x 3 Do đó, P P a b 2 Bài Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó, P ( ) ( Cộng theo vế BDDT trên, ta Bài Ta có ( ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( )( ) ) ( ) ( ) √ ) ) ( ) ) ) ) ) ( ( )( ( ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( )( ) ) ( ( ( ) ( ( ( )( ( ) )( ) ( ( ) ) ) ) ) ( ) Lập BBT, suy ( ) ( ) 1 1 1 2 2 (1 z) (1 y) (1 x) (1 y) (1 z) (1 x)2 1 Ta chứng minh 2 (1 y) (1 z) yz 1 Thật (1 yz)[(1 z)2 (1 y)2 ] [(1 z)(1 y)]2 2 (1 y) (1 z) yz Bài Ta có P (1 yz)(2 2z 2y z2 y ) (1 zy z y)2 2(z y)(1 zy) 2(1 yz) (1 zy)(y z)2 2zy(1 yz) (1 zy)2 2(z y)(1 zy) (z y)2 (1 zy)(y z)2 4yz 2y2 z2 (1 yz)2 (y z)2 4yz yz(y z)2 (1 yz)2 Dấu “ ” xảy y z 2 yz y z (1 x) (1 x) Ta lại có yz yz 4 1 1 4 Do P 2 2 (1 x) (1 y) (1 z) yz (1 x) (1 x) (x 1)2 1 4 Do 1 2 x 1 2 nên (x 1)2 [0;8) Đặt t (1 x)2 t [0;8) P t t 3t 72t 240 Xét f (t ) với t [0;8) f '(t) 2 (4 t) (8 t) (4 t)2 (8 t)2 t t f '(t) 3t 72t 240 t 4;t 20 (loại) (1 x)2 x 3 3 Do P f (t ) P y z 4 x y z 1 y z Bài P x 2y xy x 2y 3 x 2y 10 TH1 y ≤ f (y) y y f '(y) Lập bảng biến thiên f(y) f (y) f x( .2] y y ; f '(y) 2y y y2 3y 3 2 3 2y TH2 y ≥ f (y) y y ≥ 3 2 Bài 32 Đặt t x y xy t; x y x y xy t2 2 t t2 2t Vậy P x; y Do MinP x = ; y = 2 xy Ta có xy 3t t t 3 x y 3 x y xy 12 Suy P x y t t f (t ) xy x y xy t 2 Ta có f ' t 2t 0, t Suy hàm số f t nghịch biến với t P f t f t 1 Bài 33 Ta có , ab 1 a b ab Thật Quy đồng, chuyển vế, bđt tương đương với a b ab (Đúng) 1 2 Suy a b ab ab ab.1 ab ab 2 Ta có a(1 a) b(1 b) a b 2 a b 2 2ab 2 ab ab Lại có Suy 2a(1 a) 2b(1 b) ab 12 1 32 32 2a(1 a) 2b(1 b) 2a(1 a) 2b(1 b) ab ab 12 16 16 Đặt t ab T T f (t) ab t 3 t 3 ab f '(t ) 16 ab 8t (t 3)2 t(t 3) t (t 3)2 (t 3) t (t 3)2 (t 3) t Xét M (t 3)2 t(t 3) t (t 3) t t t t t t t 6t t 3t (t t ) 3t (Đúng t ) Suy f '(t) t f (t ) đồng biến t Từ MinT f (1) 7 t a b t 1 Bài 34 Ta có 7a 4b ab 7a 4b a.4b 7a 4b a 4b a b (theo bđt Côsi) 1 1 ) a b t t f t (đặt t ab t ab ab f ' t 2t 2t t t t Suy P 18 a b a ; b Lập bảng biến thiên f t với t>0 ta có minP=f(1)=1 5 a 4b 2x 3y Bài 35 Ta có 6(x 1)(y 1) (2x 2)(3y 3) 36 x y xy Ta có 5(x y ) 2x y 5(x y ) 2x y (x y 3)2 x2 y2 2xy 6x 6y 2(x y xy 3) 8(x y) (x y 3) Suy P 2(xy x y) 24 2(x y xy 3) Đặt t x y xy , t 0;5 , P f (t) 2t 24 2t Ta có f / (t ) 24.2 3 (2t 6)2 2 (2t 6)2 (2t 6)2 0, t 0;5 Vậy hàm số f(t) nghịch biến khoảng 0;5 x Suy f (t) f (5) 10 48 Vậy minP 10 48 2, y 1 1 Bài 36 ( 1)( 1)( 1) ab bc ca a b c 2abc a b c P= (a b c)2 2(ab bc ca) (a b c)2 2(a b c 1) 4abc Theo Cô si abc ( abc ) t v ới t a b c (0 y x y2 z2 z2 x2 y z y, z > ; z x x, z > x z z y Cộng vế ba bất đẳng thức vừa nhận trên, kết hợp với (*), ta P 2(x + y + z) = x, y, z > x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = x = y = z = Vì vậy, minP = 3 Bài 38 Ta có ab bc ca ab.bc.ca 27a2b2c2 (ab bc ca)3 Lại có a2 b2 c2 ab bc ca 3(a2 b2 c2 ) 3(ab bc ca) Do P (ab bc ca)3 3(ab bc ca) t 3t f (t) Tương tự, ta có (a b c)2 Từ ta có GTLN P a b c với t ab bc ca 3 Bài 43 Trong mặt phẳng tọa độ xét A(4; 0), B(1; 7), M(x; y) (C) x y Ta có 2P = x y x 16 x2 y2 2x 14y 50 = MA + 2MB Gọi I(1 ; 0) I nằm (C) Khi điểm M thuộc (C) ta có MA = 2MI Thật MA = 2MI MA2 4MI2 MO2 OA2 2MO.OA 4(MO2 OI 2MO.OI) 16 2MO.OA 4(5 2MO.OI) 2MO(OA 4OI) (đúng) 19 Suy 2P = 2MI + 2MB 2IB = 14 dấu đẳng thức xảy M giao điểm (C) đoạn IB Tìm M(1, ) Vậy minP = (x;y) = (1; ) Bài 44 Ta có 1 1 3 2 , đặt t = xy yz zx x y z xyz Mà x2 y z x2 + y + z 1 0t 3 Xét hàm số f (t) 8t Ta có t , f'(t) = 24t , f''(t ) = t t t t 1 Suy P ≥ 13 Dấu xảy t = hay x = y = z = Kl MinP = 13 2 1 Bài 45 Đặt a , b , c a, b, c a b c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương x y z P 8t a bc b ac c ab ab bc ac Thật vậy, a bc a a b c bc a2 a b c bc a2 2a bc bc a a bc bc a bc Tương tự, b ac b ac , c ab c ab Cộng theo vế bất đẳng thức ta a bc b ac c ab ab bc ac a b c a bc b ac c ab ab bc ac đpcm Dấu đẳng thức xảy a b c x y z 3 a b 2c a b 2c 1 Bài 46 P 6ln(a b 2c) a b 2c 1 6ln(a b 2c) 1a 1b 1a 1 b Ta chứng minh BĐT quen thuộc sau 1 ab (1) ) ) ab (2) a b ab 1 Thật vậy, ) a b ab 1 a 1 b a b ab a b ab ab Dấu “ ” a b ab=1 ab ab Dấu “ ” ab 1 2 Do đó, a b ab ab ab 4 16 Đặt t a b 2c, t ta có ab bc ca c a c b c a b 2c 2 ) ab 16 t 1 16 t 6t 16t 32 t 6t 6ln t , t 0; f '( t ) t2 t t3 t3 t3 Vậy, GTNN P 3+6ln4 a=b=c=1 1 Bài 47 Đặt a x 2, b y 1, c z a, b, c P a2 b2 c2 (a 1)(b 1)(c 1) P f (t) Ta có a2 b2 c2 (a b)2 (c 1)2 (a b c 1)2 Dấu “ ” xảy a b c 2 20 (a b c 3)3 Mặt khác (a 1)(b 1)(c 1) 27 27 Khi P Dấu “ ” xảy a b c a b c (a b c 3)3 27 Đặt t a b c Khi P ,t t (t 2)3 27 81 81t (t 2)4 f (t ) , t 1; f '( t ) t (t 2)3 t (t 2)4 t2 (t 2)4 Xét f '(t) 81t (t 2)4 t 5t t (do t>1) a b c 1 a b c x 3; y 2; z Vậy ma xP f(4) a b c Bài 52 Với số thực x, y ta có (x y)2 xy , nên từ điều kiện suy (x y)3 (x y)2 (x y)3 xy (x y)3 (x y)2 x y 3 Ta có P (x y )2 (x y )2 2(x y 2xy) xy(3xy 4) 2015 2 3 (x y )2 (x y ) 2(x y ) 2015 (3) 2 (x y )2 4 Do x y nên từ (3) suy P (x y )2 2(x y ) 2015 Đặt x y t t (do x y 1) 9 Xét hàm số f (t ) t 2t 2015 với t , có f '(t ) t , với t nên hàm số f(t) đồng biến 2 1 32233 f (t ) f ; Suy 1 16 2 t ; 2 Bài 53 Ta có √ √ √ ( √ √ √ ) suy ( ) √ ) ( ( ) ( ) ( ) Lập BBT, suy ( ) ) ( ) Từ giả thiết ta có ( Bài 57 Ta có ( Bằng biến đổi tương đương, ta cm ( ) ( ( ( ) ) √( ) ( ) ) √( ( ) ) ] ( ( ) ] ( ) a b c 2 c a 1 b 1 c 1 Bài 58 Ta có P Ta có a3 a3 b3 a 2 a2 2a a a ; b3 21 b 2 b2 2b b b 6 c3 c 2 c2 2c c c 6 a b c a b c P 2 a b c 3 a b c a b c a b c 36 6 2 2 Đặt t a b c với t 0;3 Ta có f t 54 t 8t t 6t f ' t f ' t 2 t 9t 36 t 8 t 9t 36 Vậy P hay Min P dấu xảy a b c Bài 59 Từ giả thiết ta có ( ) ( √ ) √ ( ) ( √ ) √ √ ( ( ) ) ( √ √ ) ( ( ) ( √ ( ) ( ) ) ( )( ( ( ) ) ) √ √ √ √ √ ) ( ) Lập BBT, suy ) ( ) ( ) Bài 60 Ta tìm m cho ( ) ( ) ( ) ( ) Đặt ( ) ( ) ( ) Giải hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Lúc ( ) ( ) ( ) đúng, suy đpcm Bài 61 Từ giả thiết ta suy ln(x y 1) 3(x y 1) ln(3xy) 3.3xy Xét hs g(t) lnt 3t (0; ) , ta có g '(t ) với t , suy g(t ) đbiến (0; ) , từ g(x y 1) g(3xy) x y 3xy , suy t 3xy x y xy Đặt t xy 3t t t 3x 3y 3x (y 1) 3y (x 1) 36t 27t (2) y(x 1) x(y 1) xy(xy x y 1) 4t 1 x2 y2 (3t 1)2 2t 36t 32t (3) x2 y2 x2y2 t2 4t 1 5t 1 5t (4) Từ (2), (3), (4) ta có M Theo Cô si [1;+) Xét hàm số f (t ) x y xy 4t 4t 5.4t (5t 1)8t 5t 0t , suy f (t ) nghịch biến [1;+) , 16t 4t 3 Mmax max f (t) f (1) t x y [1;) Bài 62 Với số thực không âm x, y, z Ta có x y 4z x y 4z (x 2z )(y 2z ) (x y ) (x 2z )(y 2z ) (x y) 2 Ta có f '(t) 22 x y 4z x y 2xy 4yz 4zx 2(x y z )(1) 2 2 2 ì 2xy x y ; 4yz 2(y z ); 4zx 2(z x ) Mặt khác ta có (x y ) y z 4x 2(x y z ) (2) 4 2 2 2 x y z 2(x y z ) 2(x y z ) Tương tự ta có (y z ) (y 2x )(z 2x ) (y z ) Từ (1) (2) ta suy P Hay P x y2 z Đặt t x y z , t 2 2(x y z ) 9 Xét hàm số f (t ) ,t 2 t 2t t 2t 4 9t (4 t )(4t 7t 4t 16) f '(t ) ; f '(t ) t t (t 4)2 t (t 4)2 Khi P (do t > nên 4t 7t 4t 16 4(t 4) t(7t 4) Lập bảng biến thiên hàm số f(t) Dựa vào bảng biến thiên ta có MaxP x y z x3 x (x 0) * x 18 18 * 18(x 1) x 2 7x 5 x 1 11x , với x>0, d ấu “ ” xảy x=1 Bài 63 Trước tiên ta chứng minh BĐT a3 b3 7a2 5b2 b3 c 7b2 5c2 c a3 7c2 5a2 a b c ; ; ; ; ; , ta có a 2b 18 18 b 2c 18 18 c 2a 18 18 b c a 12 a2 b2 c2 Vậy MinS =2 a=b=c=1 Từ đẳng thức suy S 18 1 4 1 1 Bài 64 Ta có 2bc b 2c a 2b 3c a b c b 2c 4a 2b 2bc 4a 4b 4c 1 Suy P Đặt t a b c, t a b c a c b Áp dụng (*) cho x Xét f (t ) 1 1 ,t 0; f '(t ) ; f '(t ) t 4t t 4t t 2 b 2c , a b c a c 1 16 a b c b 2c b Bài 65 Nhìn biểu thức P ta thấy có xuất ba biến số a, b, c mà ta quy trực tiếp biến số sử dụng giả thiết Nhưng ta lại thấy P biểu thức có đối xứng với a, b , ta dự đoán giá trị nhỏ đạt hai biến a, b Ta chứng minh sử dụng bất đẳng thức Suy giá trị nhỏ P - a3 b3 a b , đẳng thức xảy hai biến số a 3 b Khi ta có a b c c 3c 3c P c c f c Bây việc giải toán dễ dàng cách khảo sát hàm số g c f c khoảng 0;1 23 Ta có g ' c 3c2 6c , g ' c c1 1 2, c2 1 Lập bảng biến thiên hàm số g c khoảng 0;1 ta có g c g c2 g 1 , suy P f c 32 1 2 c 1, a b 2 2 Bài 65 Đặt T 3a 3b 3c 4abc Do vai trò a, b, c bình đẳng nên không nghịch biến tổng quát ta giả sử a b c Từ a + b + c = a + b > c suy c (2) 2 2 2 Ta biến đổi T 3(a b ) 3c 4abc a b 2ab 3c 4abc 3 c 3c 2ab 2c Vậy Pmin ab Do – 3c > ab 3 , suy 1 27 2 T 3 c 3c2 a b 2c 3 c2 6c 3c2 c 2c c c f c 2 2 3 Ta có f c 3c2 3c , nên f(c) đồng biến 1; Vì vậy, T f c f 1 13 2 Đồng thời T 13 c Với giả thiết a b c a + b + c = (3) suy a = b = 1, tức tam giác ABC Bài 66 Bài toán hoàn toàn đối xứng với ba biến số, nên không tính tổng quát, ta giả sử x y z , coi x biến số coi y , z tham số hàm số f x x x2 y z 3xyz xy xz2 y z z2y y z Ta có f ' x 3x 2x y z 3yz y z f '' x x y z 3x y z với x , y , z x y z Điều chứng tỏ f ' x hàm số đồng biến, suy f ' x f ' y 3y2 2y y z 3yz y z2 yz z2 ( x y z ) Đến ta suy f x hàm số đồng biến, f x f y z z y Bài 68 Nhìn toán ta khó thấy việc sử dụng phương pháp tiếp tuyến, nhiên để ý a b ab 1 c nên ta đưa toán cho toán quen 4 ab 2c c2 1 27 thuộc Chứng minh với điều kiện a, b, c dương a b c 2 2a a 2b b 2c c 32 Bây xét hàm số f x khoảng 0;1 , phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 2x x 27 81 điểm có hoành độ y x 256 256 chút suy 81 27 81 3x 1 13 3x 27 x x với x 0;1 , Xét f x 256 x x 256 256 256 x x 256 27 81 với x 0;1 x 256 256 1 27 81 27 Từ ta có a b c , đẳng thức xảy 2 2a a 2b b 2c c 256 256 32 abc f x 24 Bài 69 Ta có 1 x 1 y Xét P 1 x x y3 x y xy xy x y 1 y 1 Vì x , y 0;1 2 x y xy 2 xy x y xy 3xy x y 3xy xy xy 1 x 1 y 2xy 1 2xy x y2 * Thật * 2 x y 1 xy 1 x 1 y x y 1 xy Luôn x , y 0;1 Suy P 1 2xy , xy 0; xy 9 Xét hàm số f t 1 1 1 2t ,t 0; Có f ' 0, t 0; 1t 9 9 1 t t 56 56 1 Vậy P f nên maxP = xy 10 10 1 Bài 70 Áp dụng BĐT (x , y 0) ta có x y xy 1 1 1 S ( ) 2( ) 3( ) bc a ac b bc a abc acb abc c b a Từ gt ta có 2 3 a nên 2( ) 2(a ) b c c b a c b a a Vậy S MinS a b c x a 2b c a x 5y 3z Bài 71 Đặt y a b 2c b x 2y z Do ta cần tìm giá trị nhỏ z a b 3c c y z x 2y x 8y z 8y 8z x 2y 8y z P 17 x y z x z y y P 2 x 2y 8y z 2 17 12 17; Đẳng thức xảy b a, c a y x z y Vậy GTNN P 12 17 Bài 72 Ta có x y x 1 y 1 x y ,….; xy xy ,… 1 1 xy yz zx 3 Nên P 2x y y z z x Ta có x y z xy yz zx xyz x y y z z x x y z xy yz zx xyz 25 x y z xy yz zx 9 x y y z y z z x x y z x 1 xy yz zx x y y z z x x y z xy yz zx x y z xy yz zx 27 x y y z z x x y z xy yz zx xy yz zx 2 1 27 27 Suy P xy yz zx Đặt t xy yz zx xy yz zx 8 xyz Do x , y , z 0;2 2 x 2 y 2 z xy yz zx 2t 2 1 27 27 Mặt khác xy yz zx x y z t Vậy t 2;3 Ta có P t f t 8t 8 27 8t 27 t 2;3 nên hàm số f t đồng biến Xét hàm số f t với t 0;2 ta có f ' t t 8t 16t 15 15 15 2;3 f t f 3 Do P f t P Có P x y z 4 Bài 73 1 (x y x z)2 (2x y z)2 Ta có (x y)(x z) 2 4 3x 2y z 3x 2z y 3(2x y z) (2x y z)2 3(2x y z) t (t 2)(3t 8t 16) t 2x y z Đặt 2x y z t (t 0) 3t Mà (2x y z)2 (22 12 12 )(x y z2 ) x y z2 2 2x y z 12x 12x 12x 36x 1 2 2 1 Ta có P 1 2 2 2x y z x x y z 3x x2 36x Xét hàm số f (x) với x 3x x 1 (loaïi) 36(3x2 x 2) , f '(x) Ta có f '(x) 2 x f 10 (3x 2) 3 Vậy giá trị lớn P 10 Dấu “ ” xảy x , y z 3 4b 1 Bài 74 Ta có P 2 2 2 a 1 1 2b c 3 a 1 c 3 2b Đặt d , ta có a2b2 c2b2 3b trở thành a2 c2 d 3d b 1 8 64 256 Mặt khác P 2 2 2 a 1 d c 3 a d c 3 a d c 2a d 2c 10 2 2 Từ giả thiết suy 26 Mà 2a 4d 2c a2 d c2 a2 d c2 3d Suy 2a d 2c Do P nên GTNN P a 1, c 1, b Bài 75 x2 2x 3x x x y x 2x 3x 2x 2x x 5 6 Xét hàm số f (x) 2x 2x x 5 ; x 0; ta Max f(x) = x y 6 5 0; Từ giả thiết ta có y 5 P x y 2x y Đặt t x y P x2 y2 x y x y 2 x y2 t2 t2 2 t3 , t g(t ) , t 0;2; g '(t ) t ; g '(t) t 2 t t t t t (t 2) 1 xy Bài 77 Ta có xy P/ Đặt t xy , điều kiện t P t 2 t 1 t 1 (t 1) x 0 P/ + P Khi x 1; y Bài 78 Vì x y z nên x(x y)(y z) (x xy)(y z) x 2y x z xy xyz x 2y xyz x 2z xy Vậy GTLN P xy yz2 zx2 xyz x2 z xy yz2 xyz x2 y xyz yz2 xyz y x2 z2 Theo bất đẳng thức Cô si ta có x2 y2 z2 1 2y ( x z ) ( x z ) yx z 2y (x z )(x z ) 3 2 Do 2 P xy yz zx 2 x xyz y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 2 3 2 x2 y2 z2 Đặt t (t 0) Ta có P f (t ) 2t t f '(t) 6t 6t 6t (1 t) t 1 Lập bảng biến thiên hàm f (t ) suy f (t ) f (1) P 2 1 Ta thấy P x y z Vậy giá trị lớn cần tìm Max P x y z 2 x y y x x y Bài 79 Ta có 2 x y x.2 y.2 x.2 y.2 27 y.2y z.2z y.2z z.2y Tương tự ta có z x.2x y.2y z.2z y z 2x z x 2y x y 2z x x z z.2 x.2 z.2 x.2 x.2x y.2y z.2z 1 x 2x 1 y 2y 1 z 2z x.2x y.2y z.2z 2x 2y 2z Mặt khác ta có 2x 2y 2z 3 2x y z 3 x.2x y.2y z.2z (đpcm) Bài 80 Đặt t x y z t 27 2(xy yz zx) 2(xy yz zx) t 27 Ta có x y z2 x y z 3(x y z2 ) 27 t 3 t 2t 3 , t 3 A t 27 Xét f (t ) t 27 3 3;9 có f '(t ) 2t t t2 t t f t đồng biến 3 3;9 Do f (t) f (9) 163 / Dấu đẳng thức xảy t 163 Giá trị lớn A x y z 2 3(x y z ) x y z 3 x y z Bài 81 P x y z2 2(x y y z2 z2 x ) 2 2 = x y z xy yz zx xy yz zx 2xyz x y z = 16 xy yz zx xy yz zx 16 Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz Từ gt y z x , yz 2 t x x x2 x x x x x x 16 x x 2 x x (*) x Giải BPT (*) giao với điều kiện < x < ta đươc x Ta có (y z)2 4yz x Khảo sát hàm số t theo biến x với x ; ta tìm t P 16 2t 2(t 16) 2t 64t 288 , t Minf(t) 383 165 t 5 1 ta 5 1 , Maxf (t) 18 t Suy Pmin 383 165 đạt chẳng hạn x 5, y z Pmax 18 đạt chẳng hạn x = 2, y = z = Bài 82 GT x y z 3 x y z 3 x y z 2 5 1 1 x y x 2 Vì x , y ,z nên x y x 120.4.2 8.120 => P x y z 9 x z 4 y 24 x z 2 y 2 2 1920 1920 P 6 x y z Xét hàm số f t 6t đồng biến 0;6 t 10 x y z 10 max P 147 x 1; y 2; z Bài 84 P x 6y z 28 P a b c 48 3 a, b, c Ta có b c a 10 12 Lại có 3 (b c).8.8 b c 16 (b c) b c 16 3 12 (a 10).12 a 22 a 10 a 22 12 12 48 3 a 10 b c a 22 b c 16 a b c 38 482 482 Suy P a b c a b c 38 38 2.48 38 58 a b c 38 a b c 38 Mặt khác với a 2, b 3, c ( thỏa điều kiện toán) P 58 Vậy minP 58 a b Bài 85 Doa, b, c nên x 0; y ; x y 1& x y x y xy x y 3xy x y c c Suy Chia tử mẫu P cho c2 thay x,y Ta x y 2xy t3 x2 y2 P ; t x y xy 3t 1 x 1 y x y xy t t t 3t t 2 3 Do x; y nên t P 1 f t t 1 3 2 t t t t t t t 3t 3 2 2 Vi t nên f t Vay : MinP a b, c a 1 1 x2 y2 x2 3x2y2 Mà x2 3x2y2 x2 y2 x2 y2 ; Đặt t x2 y2 t2 3t t y x2 3x2 y 2 y2 x2 y2 2 2 2 x x t t ,t 1;2 x 2y x y Ta P Bài 87.Từ giả thiết ta có x2 y2 x y2 x y2 x2 y2 t 1 x f (t ) f (1) P 1, 1;2 y 1 t2 t , t 1;2 Xét hàm số f (t ) t 1 max f (t ) f (2) max P , x 1;2 y 3 Bài 88 Ta có 4(x +y ) (x+y) , với x,y>0 Thật 4(x3+y3) (x+y)3 4(x2-xy+y2) (x+y)2 (vì x+y>0) 3x2+3y2-6xy (x-y)2 Tương tự 4(x +z ) (x+z) ; 4(y +z ) (y+z) 4(x y ) 4(x z ) 4(y z ) 2(x y z) xyz 3 3 3 x y z 1 ) 63 P 6( xyz ) 12 Vậy P 12, dấu ‘ ’ xảy x = y = z =1 y z x xyz xyz Bài 89 Áp dụng BĐT TBC-TBN cho hai số dương, ta có x xy2 2x2y , y yz2 2y z , z zx 2z2 x x y z x 2y y z z2 x xy yz2 zx 1 Mặt khác 2( Mặt khác, x y z nên 3 x y z2 x y z x y z2 x y z x 2y y z z2 x xy yz2 zx 2 29 Từ (1) (2), ta có x2 y z2 x 2y y z z2 x Do P x y z xy yz zx x2 y2 z2 Ta có x y z x y z2 xy yz zx Đặt t x y z2 xy yz zx x y z Do x y z 2 t Khi P t t t 2t t ,t P ,t 2t 2t 2t t Xét hàm số f t , 3; Lập bảng biến thiên, ta có hàm f đồng biến 3; 2t P minf t f 3 t 3 Bài 90 Áp dụng bđt Cauchy cho số dương x3 y y 2y x3 x y 27 27 729 x3 y3 z3 x y2 z2 15 1 y z3 x3 27 Tương tự, thu 2 x y z xy yz zx x y z P 27 27 Bài 91 Đặt t=ab+bc+ca ( t ),ta cóa2+b2+c2 ab+bc+ca =>1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) 3(ab+bc+ca)=3t=> a2+b2+c2=1-2t với t Theo bất đẳng thức Cô-si T2=(ab+bc+ca)2 3(a2b2+b2c2+c2a2) 1 Do M t2+3t+2 2t Xét hàm số f(t)= t2+3t+2 2t tập D 0; , 3 2 f’(t) 2t ; f’’(t) 0t D 2t (1 2t )3 11 >f’(t) nghịch biến D >f’(t) f’(1/3) > f(t)đồng biến D=>f(t) f(0)=2 Bài 92 1 x y z2 x y x y z2 z2 x y 2xy z 22 2z 2 1 2 2 x y z x y z x y z x y z 4 1 x y x 2z y 2z x y x y 4z 3x 3y x y z (1) Vì 3x 3y x y z 3x 3y x y z x y z nên 27 (1) x y x 2z y 2z x y z Vậy P x y z 2 x y z 2 Đặt t x y z , xét hàm số f t Ta có f t t 2 27 f t t3 27 với t t 2t 8t 2t 108t 108 t t 2 , f t t f Bài 93 Đặt u 2a ;3b ;4 c , v 2c ;3a ;4 b ,w 2 b ;3c ;4 a M u v w M u v w 2 a 2b 2c 3a 3b 3c 4a 4b 4c 2 30 + Theo cô – si có 22 2b 2c 3 2abc Tương tự … + Vậy M 29 Dấu xảy a b c Bài 94 Ta có TXĐ D [0;8] Đặt g(x) 5x x 32, h(x) 3x 12x 16 Ta dễ dàng xác định x [0;8] , g(2) g(x) g(8) 12 2, h(2) h(x) h(8) x 3x 24 x ( 3x 24 x ) x 8(x 2)2 Do f (x) 3x 12x 16 h(x) x [0;8] 2 5x x 32 3x 24 x Đẳng thức xảy x = f (x) x= Ta có f (x) 5x x 32 3x 24 x 3x 12x 16 g(x) h(x) 12 x [0;8] Đẳng thức xảy x = max f (x) 12 x= Vậy f (x) x= max f (x) 12 x= 2x 3y Bài 95 Ta có 6(x 1)(y 1) (2x 2)(3y 3) 36 x y xy Ta có 5(x y ) 2x y 5(x y ) 2x y (x y 3)2 x2 y2 2xy 6x 6y 2(x y xy 3) 8(x y) (x y 3) Suy P 2(xy x y) 24 2(x y xy 3) Đặt t x y xy , t 0;5 , P f (t) 2t 24 2t Ta có f / (t ) 24.2 3 (2t 6)2 2 (2t 6)2 (2t 6)2 0, t 0;5 Vậy hàm số f(t) nghịch biến khoảng 0;5 Suy f (t) f (5) 10 48 Bài 97 x y z2 2x 4y x 1 y 2 z2 2 1 Xét mặt cầu S : x 1 y 2 z2 , tâm I 1; 2;0 ,bán kính R Xét mp : 2x y 2z T 2 G/s M x; y; z Từ 1 có điểm M nằm bên S kể mặt cầu S d I , R T 2 T 10 Với T 2 M giao điểm mp 2x y 2z x 2t 4 7 4 đường thẳng qua I : y 2 t M ; ; Với T 10 Tương tự M ; ; 3 3 3 3 z 2t Bài 98 Xét pt x2 2ax (1) có / a2 với a Nên (1) có nghiệm 1 x 2ax x Xét pt y2 2by (2) có / b2 với b Nên (2) có nghiệm 2 y 2by y Đặt x -t ,t 2 1 1 1 M 3 t y t y t y t y a2 b2 c2 a b c 1 a b c Ta có VT 4b 4b 4c 4c 4a 4a 2b 2c 2a b c a 31 a ; b2 a b b c ; c b c a2 c a a b c 1 Cộng theo vế BĐT ta b c a a b c 1 1 1 1 4 1 VT VP a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a Đẳng thức xảy a b c 1 1 Bài 99 t 0, y ; t y t y t y t y t y Mặt khác M 3t y 16 3t y t y 16 t y 8 ty y ty 16 M 3t y y x t y 2 2a 0, a 3, b 3 3 19 Vì x, y thỏa (1) (2) nên ab 2 2b z x Bài 100 Ta có xz 2x , yz 2z Từ suy y z x z P 3y 2x xz 2z yz 3y 2(x z) y(x y z) xz yz 2(x z) y x(y z) z y Do x y z nên x(y z) Từ kết hợp với ta x z P 3y 2(x z) y 2(3 y) y (y 1)2 z y Vậy giá trị nhỏ P đạt x=y=z=1 32 [...]... Ta có ab bc ca 3 ab.bc.ca 27a2b2c2 (ab bc ca)3 Lại có a2 b2 c2 ab bc ca 3(a2 b2 c2 ) 3(ab bc ca) Do đó P (ab bc ca)3 3(ab bc ca) t 3 3t f (t) Tương tự, ta có (a b c)2 1 1 Từ đó ta có GTLN của P bằng 2 khi a b c với 0 t ab bc ca 3 3 Bài 43 Trong mặt phẳng tọa độ xét A(4; 0), B(1; 7), M(x; y) (C) x 2 y 2 4 Ta có. .. y 1) 2 9 1 9 1 Xét hàm số f (t ) t 2 2t 2015 với t , có f '(t ) t 2 0 , với t nên hàm số f(t) đồng biến trên 4 2 2 2 1 1 32233 f (t ) f 2 ; Suy ra min 1 16 2 t ; 2 Bài 53 Ta có √ √ √ ( √ √ √ ) suy ra ( ) √ ) ( ( ) ( ) ( ) Lập BBT, suy ra ( ) ) ( ) Từ giả thiết ta có ( Bài 57 Ta có ( Bằng biến đổi tương đương, ta cm được ( ) ( ( ( ) ) √( ) (... bằng nhau Khi đó ta có 3 2 a b 1 3 1 c 1 3 c 3c 3c 1 P c c f c Bây giờ thì việc giải quyết bài toán khá là dễ 8 2 4 2 4 dàng bằng cách khảo sát hàm số g c 8 f c trên khoảng 0;1 23 Ta có g ' c 3c2 6c 3 , g ' c 0 c1 1 2, c2 1 2 Lập bảng biến thiên của hàm số g c trên khoảng 0;1 ta có g c g c2... y z 3 t 3 Vậy t 2;3 Ta có P t f t 3 2 8t 8 1 27 8t 3 27 0 t 2;3 nên hàm số f t đồng biến Xét hàm số f t với t 0;2 ta có f ' t t 2 2 8t 16t 2 15 15 15 trên 2;3 f t f 3 Do P f t P Có P khi x y z 1 4 4 4 Bài 73 1 1 8 (x y x z)2 (2x y z)2 Ta có (x y)(x z) 2 4 4 3x... 2ax 9 0 (1) có / a2 9 0 với a 3 Nên (1) có nghiệm và 1 x 2 9 2ax x 0 Xét pt y2 2by 9 0 (2) có / b2 9 0 với b 3 Nên (2) có nghiệm và 2 y 9 2by y 0 Đặt x -t ,t 0 2 2 2 1 1 1 1 2 M 3 t y 3 t y t y t y a2 1 b2 1 c2 1 a b c 1 a b c Ta có VT 2 2 2 2 2 2 2 2 2... x; y Do đó MinP 2 3 khi x = 0 ; y = 2 1 2 xy Ta có xy 3t t t 2 4 2 3 x 2 y 2 3 x y xy 12 5 Suy ra P x 2 y 2 t 2 t f (t ) xy x y 1 xy t 2 2 3 Ta có f ' t 2t 1 2 0, t 2 Suy ra hàm số f t nghịch biến với t 2 P f t f 2 t 2 1 1 2 Bài 33 Ta có , ab 1 1 a 1 b 1 ab Thật vậy Quy đồng,... 1 t 1 Bài 34 Ta có 7a 4b 4 ab 7a 4b 2 a.4b 7a 4b a 4b 8 a b (theo bđt Côsi) 1 1 1 1 ) a b t 2 t f t (đặt t ab t ab ab 1 f ' t 2t 1 2 0 2t 3 t 2 1 0 t 1 t Suy ra P 18 a b 1 4 1 a ; b Lập bảng biến thiên của f t với t>0 ta có minP=f(1)=1 5 5 a 4b 2 2x 2 3y 3 Bài 35 Ta có 6(x 1)(y 1)... 2 2 2 1 1 Từ đó F (z 3 z 2 4) (1) Xét f(z) = (z 3 z 2 4) với 0 < z < 1 2 2 1 2 2 52 Ta có f '(z) (3z 2z) 0 z (0,1) Lập BBT suy ra f(z) (2) 2 3 27 52 2 52 Từ (1) và (2) ta có F Vậy MaxF = đạt được khi x = y = z = 27 3 27 1 1 1 Bài 20 Áp dụng BĐT Côsi ta có a2 b2 c2 1 (a b)2 (c 1)2 (a b c 1)2 2 2 4 3 abc3 và (a 1)(b 1)(c 1) ... BĐT Cô-Si ta có a 4b b 4c 13a 12 ab 16 bc 13a 6 a.4b 8 b.4c 13a 6 8 16(a b c) 2 2 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra a 4b 16c Suy ra P 2(a b c) abc 3 3 Đặt t a b c , t > 0 Khi đó P 2t t 3 3 3 3 Xét hàm f (t ) trên khoảng (0, + ), ta có f '(t ) 2 2t t 2t t 2t 3 3 f '(t) 0 2 0 t 1 2t t 2t a b c 1 16 4 1 3 a ;b ;c Vậy ta có P , dấu... c 1 2 Bài 58 Ta có P Ta có a3 8 a3 8 b3 8 a 2 a2 2a 4 1 2 a a 6 ; b3 8 2 21 b 2 b2 2b 4 1 2 b b 6 2 c3 8 c 2 c2 2c 4 1 2 c c 6 2 6 a b c a b c P 2 2 2 2 a b c 3 a b c a b c 9 a b c 36 6 2 2 2 2 Đặt t a b c với t 0;3 Ta có f t 54 t
Ngày đăng: 26/07/2016, 05:24
Xem thêm: 100 bai toan BDT có lời giải, 100 bai toan BDT có lời giải
