cac bai toan lien quan den khao sat ham so

Mục lục §1 §2 §3 §4 §5 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số Cực Trị Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số 11 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị 16 Điểm Thuộc Đồ Thị 20 Các Bài Toán Liên Quan Đến Khảo Sát Hàm Số §1 Cực Trị Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước 2.1 Tìm m để hàm số y = x3 − (m + 1) x2 + 9x − m đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn |x1 − x2 | Lời giải Đạo hàm y = 3x2 − 6(m + 1)x + 9; ∆ = 9(m + 1)2 − 27 = 9m2 + 18m − 18 √ m > −1 + √3 Hàm số cho có hai cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m < −1 − Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x2 , theo định lý Vi-ét có x1 + x2 = 2(m + 1), x1 x2 = 2 Khi |x1 − x2 | ⇔ (x1 + x √2 ) − 4x1 x2 √ ⇔ 4(m + 1) − 12 ⇔ −3 m Kết hợp ta có m ∈ −3; −1 − ∪ −1 + 3; 2.2 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − (m + 1) x2 + 3m (m + 2) x + đạt trị điểm có hoành độ dương Lời giải Đạo hàm y = 3x2 − 6(m + 1)x + 3m(m + 2); ∆ = 9(m + 1)2 − 9m(m + 2) = > 0, ∀m ∈ R Do đồ thị hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hoành độ dương :   m > −1 S>0 2(m + 1) > m>0 ⇔ ⇔ ⇔m>0 P >0 m(m + 2) >  m < −2 Vậy với m > đồ thị hàm số cho đạt trị điểm có hoành độ dương 2.3 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục hoành x=0 x = 2m Do đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục hoành : Lời giải Đạo hàm y = 3x2 − 6mx = 3x(x − 2m); y = ⇔ 2m = y(0).y(2m) < ⇔ m=0 1 − 4m3 < ⇔m> √ Vậy với m > √ đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục hoành 2.4 Tìm m để hàm số y = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + có cực trị đồng thời giá trị cực đại hàm số lớn Lời giải Đạo hàm y = 6x2 − 6(2m + 1)x + 6m(m + 1); ∆ = 9(2m + 1)2 − 36m(m + 1) = > 0, ∀m ∈ R x=m Do hàm số có cực trị với m y = ⇔ x=m+1 Bảng biến thiên : x −∞ m + y y(m) m+1 − +∞ + +∞ y −∞ y(m + 1) Suy hàm số đạt cực đại x = m; yCĐ = y(m) = 2m3 + 3m2 + Do hàm số có giá trị cực đại lớn ⇔ 2m3 + 3m2 + > ⇔ m2 (2m + 3) > ⇔ Vậy với m ∈  m = m > − − ; +∞ \{0} hàm số có cực trị đồng thời giá trị cực đại hàm số lớn 2.5 Tìm m để đồ √ thị hàm số y = −x3 + 3x2 + 3m(m + 2)x + có hai điểm cực trị đồng thời khoảng cách chúng x = −m x=m+2 Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ −m = m + ⇔ m = −1 Khi đồ thị hàm số cho đạt cực trị hai điểm : Lời giải Đạo hàm y = −3x2 + 6x + 3m(m + 2); ∆ = + 9m(m + 2) = 9(m + 1)2 ; y = ⇔ A −m; −2m3 − 3m2 + , B m + 2; 2m3 + 9m2 + 12m + −−→ Ta có AB = 2m + 2; 4m3 + 12m2 + 12m + ⇒ AB = 4(m + 1)2 + 16(m + 1)6 √ m=0 Theo giả thiết AB = ⇔ (m + 1)2 + 4(m + 1)6 = ⇔ (m + 1)2 = ⇔ (thỏa mãn) m = −2 Vậy m = m = −2 2.6 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx − 3m + có cực trị đồng thời chúng cách đường thẳng d : x − y = Lời giải Đạo hàm y = 3x2 − 3m; y = ⇔ x2 = m Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > Khi đồ thị hàm số cho đạt cực trị hai điểm : A √ √ √ √ m; −2m m − 3m + , B − m; 2m m − 3m + Theo giả thiết điểm cực trị cách đường thẳng d nên ta có : d (A, d) = d (B, d) ⇔ Vậy với m = √ √ √ √ m + 2m m + 3m − = − m − 2m m + 3m − ⇔ m = đồ thị hàm số có hai ực trị cách đường thẳng d 3 2.7 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng 2 y = x x=0 x=m Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ m = Khi đồ thị hàm số cho đạt cực trị hai điểm A 0; m3 B(m; 0) −−→ 1 Ta có AB = m; − m3 Gọi I trung điểm AB ⇒ I m; m3 2 − → Đặt d : y = x ⇔ x − y = ⇒ d có vectơ phương ud = (1; 1) Lời giải Đạo hàm y = 3x2 − 3mx; y = ⇔ Hai điểm A, B đối xứng qua đường thẳng d :   −−→ −  m − m3 = →=0 m=0√ (loại) AB.u d ⇔ ⇔ 1 m=±  m − m3 = I∈d  √ Với với m = ± đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua d 2.8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − (m + 1)x + có cực đại, cực tiểu đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : y = 2x + góc 450 Lời giải Đạo hàm y = 3x2 +6x−m−1; ∆ = 9+3(m+1) = 3m+12; y = (x+1)y − (m+4)x+ (m+7) 3 Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ 3m + 12 > ⇔ m > −4 Khi đồ thị hàm số đạt cực trị hai điểm A (x1 ; y1 ) , B (x2 , y2 ), x1 , x2 nghiệm y 2 Ta có y1 = − (m + 4)x1 + (m + 7), y2 = − (m + 4)x2 + (m + 7) 3 3 Do đường thẳng qua hai điểm cực trị d1 : y = − (m + 4)x + (m + 7) 3 − → − Đường thẳng d1 có vectơ phương u1 = 1; − (m + 4) d có vectơ phương → u = (1; 2) Theo giả thiết góc d1 d 450 nên ta có : (m + 4) = √ ⇔ − (m + 4) √ + (m + 4)2 1−  = + (m + 4)2  m= ⇔ m = − (loại) Vậy m = 2.9 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2m2 x2 + có ba cực trị tạo thành tam giác vuông x=0 x2 = m2 Đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị ⇔ y có ba nghiệm phân biệt ⇔ m2 > ⇔ m = Khi đồ thị hàm số cho đạt cực trị ba điểm : Lời giải Đạo hàm y = 4x3 − 4m2 x = 4x x2 − m2 ; y = ⇔ −−→ −→ A(0; 1), B −m; − m4 , C m; − m4 ⇒ AB = −m; −m4 , AC = m; −m4 Đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác vuông : −−→ −→ AB.AC = ⇔ −m2 + m8 = ⇔ m = (loại) m = ±1 Vậy với m = ±1 đồ thị hàm số cho có ba cực trị tạo thành tam giác vuông 2.10 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác x=0 x2 = m Đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị ⇔ y có ba nghiệm phân biệt ⇔ m = Khi đồ thị hàm số cho đạt cực trị ba điểm : √ √ A 0; 2m + m4 , B − m; m4 − m2 + 2m , C m; m4 − m2 + 2m Lời giải Đạo hàm y = 4x3 − 4mx = 4x x2 − m ; y = ⇔ √ √ √ √ −−→ −−→ Khi AB = − m; −m2 ⇒ AB = m + m4 ; BC = (2 m; 0) ⇒ BC = m √ Dễ thấy ∆ABC cân A nên ∆ABC ⇔ AB = BC ⇔ m + m4 = 4m ⇔ m = 3 √ Vậy với m = 3 đồ thị hàm số cho có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác 2.11 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 + 4mx2 + 4m2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 16 x=0 x2 = −4m Đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị ⇔ y có ba nghiệm phân biệt ⇔ m < Khi đồ thị hàm số cho đạt cực trị ba điểm : √ √ A 0; 4m2 , B −2 −m; −4m2 , C −m; −4m2 Lời giải Đạo hàm y = 2x4 + 8mx = 2x(x2 + 4m); y = ⇔ −−→ Gọi H trung điểm BC ta có H 0; −4m2 ⇒ AH = 0; −8m2 ⇒ AH = 8m2 √ √ −−→ Lại có BC = −m; ⇒ BC = −m √ √ 1 Vì tam giác ABC cân A nên S∆ABC = AH.BC = 8m2 −m = 16m2 −m √2 Theo giả thiết ta có S∆ABC = 16 ⇔ 16m2 −m = 16 ⇔ m = −1 (thỏa mãn) Vậy với m = −1 đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích 16 2.12 Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 4mx2 − 4m có ba cực trị ba đỉnh tam giác nhận điểm H 0; − làm trực tâm x=0 x2 = 2m Đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị ⇔ y có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > Khi đồ thị hàm số cho đạt cực trị ba điểm : √ √ A (0; −4m) , B − 2m; 4m2 − 4m , C 2m; 4m2 − 4m Lời giải Đạo hàm y = −4x3 + 8mx = −4x x2 − 2m ; y = ⇔ √ √ −→ − 2m; 4m2 − 4m + , AC = 2m; 4m2 Dễ thấy tam giác ABC cân A nên tam giác ABC nhận H làm trực tâm : −−→ Suy HB = −−→ −→ HB.AC = ⇔ −2m + 4m2 4m2 − 4m + = ⇔ 8m3 − 8m2 + m − = ⇔ m = Vậy m = §2 Tương Giao Giữa Hai Đồ Thị 2.13 Tìm giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − parabol y = x2 − 4x + Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : x3 + 3x2 − 3x − = x2 − 4x + ⇔ x3 + 2x2 + x − = ⇔ x = Do đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − 3x − cắt parabol y = x2 − 4x + điểm (1; −1) 2.14 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + tiếp xúc với đường thẳng y = mx − Lời giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = mx − hệ sau có nghiệm : x4 − 8x2 + = mx − (1) 4x3 − 16x = m (2) Thay (2) vào (1) ta có x4 − 8x2 + = 4x4 − 16x2 − ⇔ x2 = ⇒ m = Vậy với m = đồ thị hàm số y = x4 − 8x2 + tiếp xúc với đường thẳng y = mx − 2.15 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m + 3)x2 + 18mx − tiếp xúc với trục hoành Lời giải Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành hệ sau có nghiệm : 2x3 − 3(m + 3)x2 + 18mx − = (1) 6x2 − 6(m + 3)x + 18m = (2) x=3 x=m 35 Với x = thay vào (1) 54 − 27(m + 3) + 54m − = ⇔ m = 27 m=1 √ , Với x = m thay vào (1) 2m3 − 3m2 (m + 3) + 18m2 − = ⇔ m=4±2 √ 35 Vậy với m = , m = 1, m = ± đồ thị hàm số cho tiếp xúc với trục hoành 27 Ta có (2) ⇔ x2 − (m + 3)x + 3m = ⇔ (x − 3)(x − m) = ⇔ 2.16 Tìm m để đồ thị hàm số y = mx3 − x2 − 2x + 8m cắt trục hoành ba điểm phân biệt Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : mx3 − x2 − 2x + 8m = ⇔ (x + 2) mx2 − (2m + 1)x + 4m = ⇔ x = −2 mx2 − (2m + 1)x + 4m = Đặt f (x) = mx2 − (2m + 1)x + 4m có ∆ = −12m2 + 4m + Đồ thị hàm số  cắt Ox ba điểm  phân biệt ⇔ f (x) có hai nghiệm phân biệt khác −2 m =   m=0 m=0 ∆>0 −12m2 + 4m + > ⇔ Từ ta có ⇔ 1   − −3 2.18 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ dương Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : x3 − mx2 + 4x + 4m − 16 = ⇔ (x − 2) x2 + (2 − m)x + − 2m = ⇔ x=2 x2 + (2 − m)x + − 2m = Đặt f (x) = x2 + (2 − m)x + − 2m có ∆ = (2 − m)2 − 4(8 − 2m) = m2 + 4m − 28 Đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ dương f (x) có hai nghiệm dương phân biệt khác   ∆>0    S > Điều tương đương với  P >0    f (2) = √ Vậy m ∈ −2 + 2;   m2 + 4m − 28 >    m − > ⇔  − 2m >    16 − 4m = √ ⇔ −2 + < m < 2.19 Tìm m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số y = −2x3 + 6x2 + ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C cho B trung điểm AC Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : −2x3 + 6x2 + = mx + ⇔ x 2x2 − 6x + m = ⇔ x=0 2x2 − 6x + m = Đặt f (x) = 2x2 − 6x + m có ∆ = − 2m Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = mx + ba điểm phân biệt f (x) có hai nghiệm phân biệt khác  m < ∆ >0 − 2m > Điều tương đương với ⇔ ⇔ m = f (0) = m=0 Khi đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = mx+1 ba điểm A(0; 1), B (x1 ; mx1 + 1) , C (x2 ; mx2 + 1) + x2 = 2x1 Theo giả thiết B trung điểm AC nên ta có ⇔ x2 = 2x1 mx2 + = 2mx1 + m Lại theo Định lý Vi-ét ta có x1 + x2 = 3, từ suy x2 = 2x1 = x1 x2 = ⇔ m = Vậy m = − 6mx2 + 9(2 − m)x − ba 2.20 Tìm m để đường thẳng d : y = −2 cắt đồ thị hàm số y = (2 − m)x√ điểm phân biệt A(0; −2), B C cho diện tích tam giác OBC 13 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : (2 − m)x3 − 6mx2 + 9(2 − m)x − = −2 ⇔ x=0 (2 − m)x2 − 6mx + 9(2 − m) = Đặt f (x) = (2 − m)x2 − 6mx + 9(2 − m) có ∆ = 36m − 36 Đồ thị hàm số cắt d ba điểm phân biệt f (x) có hai nghiệm phân biệt khác   a = m=2 m=2 Điều tương đương với ∆ > ⇔ ⇔  36m − 36 > m>1  f (0) = 6m Khi d cắt đồ thị hàm số A(0; −2), B(x1 ; −2) C(x2 ; −2), x1 + x2 = , x1 x2 = 2−m −−→ 36m2 Ta có BC = (x2 − x1 ; 0) ⇒ BC = |x2 − x1 | = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = − 36 m2 − 4m + 36m2 Lại có d(O, d) = ⇒ S∆OBC = d(O, d).BC = − 36 m2 − 4m + m = 14 √ 36m2 Theo giả thiết S∆OBC = 13 ⇔ − 36 = 13 ⇔ 13m2 − 196m + 196 = ⇔ 14 m − 4m + m= 13 14 Vậy m = 14 m = 13 2.21 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + (3 − m)x + − m cắt đường thẳng y = −14 ba điểm phân biệt có hoành độ không nhỏ −9 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : x3 + 3x2 + (3 − m)x + − m = −14 ⇔ x3 + 3x2 + 3x + 17 = m(x + 1) 16 ⇔ m = (x + 1)2 + x+1 Xét hàm số f (x) = (x + 1)2 + Có f (x) = 2(x + 1) − 16 [−9; +∞)\{−1} x+1 16 ; f (x) = ⇔ x = (x + 1)2 Bảng biến thiên : x −9 −1 − f (x) − +∞ + +∞ 62 +∞ f (x) −∞ Từ bảng biến thiên ta có 12 < m 12 62 thỏa mãn yêu cầu toán 2.22 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 3(1 − m)x + + 3m cắt Ox ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x1 < < x2 < x3 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : x3 − 3x2 + 3(1 − m)x + + 3m = ⇔ m = Xét hàm số f (x) = x3 − 3x2 + 3x + 3x − x3 − 3x2 + 3x + 2x3 − 6x2 + 6x − R\{1} có f (x) = ; f (x) = ⇔ x = 3x − 3(x − 1)2 Bảng biến thiên : x −∞ − f (x) − +∞ +∞ +∞ + +∞ f (x) −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy m > thỏa mãn yêu cầu toán 2.23 Tìm m để đồ thị hàm số y = (m − 1)x4 − 2x2 + cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (m − 1)x4 − 2x2 + = Đặt x2 = t 0, phương trình trở thành (m − 1)t2 − 2t + = (1) có ∆ = − 3(m − 1) = − 2m Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt (1) có nghiệm dương phân biệt    m−1=0     a=0      m=1    ∆ > 3 − 2m >  3 Điều tương đương với ⇔ ⇔ m< ⇔1    2 S>0    m−1      m>1 P >    >0 m−1 Vậy với m ∈ 1; đồ thị hàm số cho cắt trục hoành bốn điểm phân biệt 2.24 Tìm m để đồ thị hàm số y = −x4 + 2mx2 − 2m + cắt trục hoành hai điểm phân biệt x2 = (∗) x2 = 2m − Đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt m=1 2m − = Từ ta có ⇔ 2m − < m< Vậy với m = m < đồ thị hàm số cho cắt trục hoành hai điểm phân biệt Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm −x4 + 2mx2 − 2m + = ⇔ 2.25 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (3m + 4) x2 + m2 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: x4 − (3m + 4) x2 + m2 = (1) Đặt x2 = t 0, phương trình (1) trở thành t2 − (3m + 4)t + m2 = (2) Đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm phân biệt (2)  có hai nghiệm dương phân biệt   m>−       ∆>0  5m + 24m + 16 >  m < −4 m>− S>0 ⇔ 3m + > Điều tương đương với ⇔ ⇔     m = m > − P >0 m >0     m=0 √ √ Khi phương trình (2) có hai nghiệm t1 , t2 (t1 < t2 ) ⇒ (1) có bốn nghiệm ± t1 , ± t2 Phương trình (1) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng : √ √ √ √ √ − t2 + t1 = −2 t1 √ √ √ ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 − t1 + t2 = t1 Theo định lý Vi-ét có : t1 + t2 = 3m + ⇔ t1 t2 = m2 Vậy m = 12 m = − (3m + 4) 10t1 = 3m + ⇒9 = m2 ⇔ 9t21 = m2 100 m = 12 12 (TM) m=− 19 12 19 2.26 Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x − hai điểm phân biệt x−1 2x − = −x + m ⇔ x−1 x=1 x2 − (m − 1)x + m − = Đặt f (x) = x2 − (m − 1)x + m − có ∆ = (m − 1)2 − 4(m − 1) = m2 − 6m + Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −x + m hai điểm phân biệt : Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm ∆>0 f (1) = ⇔ m2 − 6m + > 1−m+1+m−1=0 ⇔ m>5 m m < 2.27 Tìm m để đường thẳng qua A (−2; 2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số y = 2x − hai điểm x+1 thuộc hai nhánh phân biệt Lời giải Đường thẳng qua A(−2; 2) với hệ số góc m có phương trình dạng d : y = mx + 2m + 2x − x = −1 Phương trình hoành độ giao điểm = mx + 2m + ⇔ mx2 + 3mx + 2m + = x+1 Đặt f (x) = mx2 + 3mx + 2m + có ∆ = m2 − 12m Đồ thị hàm số cắt d hai điểm phân biệt :    m=0  m=0 m > 12 ∆>0 m2 − 12m > ⇔ ⇔ m0 − 4m > m< Điều tương đương với ⇔ ⇔ f (0) = m=0 m=0 Khi (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm C(0; 1), D(x1 ; 1), E(x2 ; 1) Lại có y = 3x2 + 6x + m, tiếp tuyến D, E vuông góc với : y (x1 ).y (x2 ) = −1 ⇔ 3x21 + 6x1 + m 3x22 + 6x2 + m = −1 Hay 9(x1 x2 )2 + 18x1 x2 (x1 + x2 ) + 3m (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 + 36x1 x2 + 6m(x1 + x2 ) + m2 + = (∗) Lại có x1 + x2 = −3, x1 x2 = m thay vào (∗) : 2 9m − 54m + 3m(9 − 2m) + 36m − 18m + m + = ⇔ m = Vậy m = 9± √ 65 9± √ 65 (thỏa mãn) 2x + có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + m cắt (C) hai điểm x−2 phân biệt A, B cho tiếp tuyến (C) A, B song song với 2.45 Cho hàm số y = Lời giải Đạo hàm y = − (x − 2)2 Phương trình hoành độ giao điểm 2x + = 2x + m ⇔ x−2 x=2 2x2 + (m − 6)x − 2m − = Đặt f (x) = 2x2 + (m − 6)x − 2m − Ta có ∆ = (m − 6)2 + 8(2m + 3) = m2 + 4m + 60 > 0, ∀m ∈ R f (2) = = 0, ∀m ∈ R Do d cắt (C) hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) B(x2 ; y2 ) (x1 = x2 ) Tiếp tuyến A B song song : y (x1 ) = y (x2 ) ⇔ − 7 2 =− ⇔ (x1 − 2) = (x1 − 2) ⇔ (x1 − 2) (x1 − 2) x1 = x2 (loại) x1 + x2 = m−6 m−6 ⇔− = ⇔ m = −2 2 Vậy với m = −2 d cắt (C) hai điểm A, B cho tiếp tuyến (C) A, B song song Theo vi-ét có x1 + x2 = − 15 §4 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị 2.46 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x2 − Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 3x2 − m = Lời giải Ta có x3 − 3x2 − m = ⇔ x3 − 3x2 − = m − y x O −1 −3 U −5 Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị (C) đường thẳng y = m − Dựa vào đồ thị ta có : m > 0: Phương trình có nghiệm m = 0: Phương trình có nghiệm −4 < m < 0: Phương trình có nghiệm m = −4: Phương trình có nghiệm m < −4: Phương trình có nghiệm 2.47 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x3 − 3x2 + Tìm m để phương trình 4x3 − 6x2 − m = có ba nghiệm phân biệt m Lời giải Ta có 4x3 − 6x2 − m = ⇔ 2x3 − 3x2 + = + y U O x m Số nghiệm phương trình cho số giao điểm (C) đường thẳng y = + m Dựa vào đồ thị, phương trình cho có ba nghiệm phân biệt ⇔ < + < ⇔ −2 < m < Vậy với −2 < m < phương trình cho có ba nghiệm phân biệt 2.48 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x4 + 2x2 + Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 − 2x2 + m − = Lời giải Ta có x4 − 2x2 + m − = ⇔ −x4 + 2x2 + = m + 16 y −1 O x Số nghiệm phương trình cho số giao điểm (C) đường thẳng y = m + Dựa vào đồ thị ta có: m > 2: Phương trình vô nghiệm m = 2: Phương trình có nghiệm < m < 2: Phương trình có nghiệm m = 1: Phương trình có nghiệm m < 1: Phương trình có nghiệm 2.49 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x4 − 4x2 + Tìm m để phương trình 2 x − 2x + m = có bốn nghiệm phân biệt Lời giải Ta có 12 x4 − 2x2 + m = ⇔ x4 − 4x2 + = − 2m y √ − √ x O −1 Số nghiệm phương trình cho số giao điểm (C) đường thẳng y = − 2m Dựa vào đồ thị, phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt ⇔ −1 < − 2m < ⇔ < m < Vậy với < m < phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt 2.50 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = −2x3 + 3x2 − Tìm m để phương trình 2|x|3 − 3x2 + (m + 1) = có bốn nghiệm Lời giải Ta có 2|x|3 − 3x2 + (m + 1) = ⇔ −2|x|3 + 3x2 − = 2m y −1 O −1 −2 17 x Số nghiệm phương trình cho số giao điểm (C) đường thẳng y = 2m Dựa vào đồ thị, phương trình cho có bốn nghiệm ⇔ −2 < 2m < −1 ⇔ −1 < m < Vậy với m ∈ −1; − phương trình cho có bốn nghiệm 2.51 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x − Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt |x|3 − 3|x| + (m − 1)2 = Lời giải Ta có |x|3 − 3|x| + (m − 1)2 = ⇔ |x|3 − 3|x| − = −(m − 1)2 − Từ đồ thị (C), bỏ phần đồ thị bên trái Oy, sau đối xứng phần đồ thị bên phải Oy qua Oy ta đồ thị (C1 ) hàm số y = |x|3 − 3|x| − y −1 x O −1 −3 Số nghiệm phương trình cho số giao điểm (C1 ) đường thẳng y = −(m − 1)2 − Dựa vào đồ thị, phương trình cho có ba nghiệm phân biệt ⇔ −(m − 1)2 − = −1 ⇔ m = Vậy với m = phương trình cho có ba nghiệm phân biệt 2.52 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x2 + Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt |x − 1|3 − 3|x − 1| − m = Lời giải Hàm số cho viết thành y = (x − 1)3 − (x − 1) + Ta có |x − 1|3 − 3|x − 1| − m = ⇔ |x − 1|3 − |x − 1| + = m + Từ đồ thị (C), bỏ phần đồ thị bên trái đường thẳng d : x = 1, sau đối xứng phần đồ thị bên phải d qua d ta đồ thị (C1 ) hàm số y = |x − 1|3 − |x − 1| + y O x Số nghiệm phương trình cho số giao điểm (C1 ) đường thẳng y = m + Dựa vào đồ thị, phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt ⇔ < m + < ⇔ −2 < m < Vậy với m ∈ (−2; 0) phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt 2.53 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 3x + Tìm m để phương trình x3 − 3x + − 2m2 + m = có ba nghiệm phân biệt 18 Lời giải Ta có x3 − 3x + − 2m2 + m = ⇔ x3 − 3x + = 2m2 − m Từ đồ thị vẽ, đối xứng phần đồ thị bên Ox qua Ox, sau bỏ phần đồ thị bên Ox, ta đồ thị (C1 ) hàm số y = x3 − 3x + y −1 O x Số nghiệm phương trình cho số giao điểm (C1 ) đường thẳng y =  2m2 − m m = −1   m= 2m2 − m =  Dựa vào đồ thị, phương trình có ba nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ 2m2 − m =  m=0  m= Vậy với m ∈ −1; 0; ; phương trình cho có ba nghiệm phân biệt 2 2.54 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x4 − 4x2 + Tìm m để phương trình x4 − 4x3 + = m có tám nghiệm Lời giải Từ đồ thị (C), đối xứng phần đồ thị bên Ox qua Ox, sau bỏ phần đồ thị bên Ox, ta đồ thị (C1 ) hàm số y = x4 − 4x2 + y √ − O √ x Dựa vào đồ thị, phương trình có tám nghiệm phân biệt ⇔ < m < Vậy với m ∈ (0; 1) phương trình cho có tám nghiệm phân biệt 2.55 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 + 3x2 − Biện luận theo m số nghiệm m phương trình (x + 2)2 = |x − 1| m x=1 x=1 ⇔ ⇔ x3 + 3x2 − = m (x + 2) |x − 1| = m |x − 1| Từ đồ thị (C), đối xứng phần đồ thị bên Ox qua Ox, sau bỏ phần đồ thị bên Ox ta đồ thị (C1 ) hàm số y = x3 + 3x2 − Lời giải Ta có (x + 2)2 = 19 y −2 O x Số nghiệm phương trình cho số giao điểm (C1 ) đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị ta có: m > 4: Phương trình có nghiệm m = 4: Phương trình có nghiệm < m < 4: Phương trình có nghiệm m = 0: Phương trình có nghiệm m < 0: Phương trình vô nghiệm §5 Điểm Thuộc Đồ Thị 2.56 Tìm m để đồ thị hàm số y = Lời giải Đồ thị hàm số y = m2 x − qua điểm A (2; 6) x−1 m2 x − 2m2 − qua điểm A (2; 6) ⇔ = ⇔ m = ±2 x−1 2−1 2.57 Chứng minh điểm uốn đồ thị hàm số (C) : y = x3 − 6x2 + 9x tâm đối xứng Lời giải Ta có y = 3x2 − 12x + 9; y = 6x − 12; y = ⇔ x = ⇒ y = Do đồ thị (C) có điểm uốn U (2; 2) −−→ Thực phép tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OU x=X +2 Công thức chuyển hệ tọa độ y =Y +2 Phương trình đường cong (C) hệ tọa độ U XY Y + = (X + 2)3 − 6(X + 2)2 + (X + 2) ⇔ Y = X − 3X Vì Y = X − 3X hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ U làm tâm đối xứng x3 + 3x2 − nhận I (1; 0) làm điểm uốn m Lời giải Ta có y = − x2 + 6x; y = − x + 6; y = ⇔ x = m ⇒ y = 2m2 − m m m=1 Đồ thị hàm số nhận I(1; 0) làm điểm uốn ⇔ ⇔ m = = 2m2 − Vậy với m = đồ thị hàm số nhận I(1; 0) làm điểm uốn 2.58 Tìm m để đồ thị hàm số y = − 2x − điểm có tọa độ nguyên x−1 Lời giải Hàm số viết thành y = + x−1 Gọi M (x0 ; y0 ) điểm đồ thị có tọa độ nguyên ta có :    x0 ∈ Z  x0 ∈ Z x0 ∈ Z 1 ⇔ ⇔ ∈Z ∈Z y0 ∈ Z  2+  x0 − x0 − 2.59 Tìm đồ thị hàm số y = 20 x0 = x0 = Vậy đồ thị có hai điểm có tọa độ nguyên M1 (0; 1) M2 (2; 3) Hay x0 − ước ⇔ x0 − = ±1 ⇔ 2.60 Tìm đồ thị hàm số y = −x2 + 3x − điểm có toạ độ nguyên x−1 x−1 Gọi M (x0 ; y0 ) điểm đồ thị có tọa độ nguyên ta có :    x0 ∈ Z  x0 ∈ Z x0 ∈ Z 1 ⇔ ⇔ ∈Z ∈Z y0 ∈ Z  −x0 + +  x0 − x0 − Lời giải Hàm số viết thành y = −x + + x0 = x0 = Vậy đồ thị có hai điểm có tọa độ nguyên M1 (0; 1) M2 (2; 1) Hay x0 − ước ⇔ x0 − = ±1 ⇔ 2.61 Tìm điểm cố định họ đường cong (Cm) : y = x3 + (m − 1) x2 + m2 − 4m + x − m2 + Lời giải Biến đổi hàm số ta có (x − 2) m2 + 2x2 − 4x m + x3 − 2x2 + x − − y = Giả sử M (x0 ; y0 ) điểm cố định họ (Cm), ta có : (x0 − 2) m2 + 2x20 − 4x0 m + x30 − 2x20 + x0 − − y0 = 0, ∀m ∈ R   x0 − = x0 = 2x20 − 4x0 = Điều tương đương với ⇔ y0 =  x0 − 2x20 + x0 − − y0 Vậy điểm cố định hộ (Cm) M (2; 0) 2.62 Tìm đồ thị hàm số y = 3x + hai điểm đối xứng qua M (−2; −1) x−2 Lời giải Gọi hai điểm cần tìm A, B 3x0 + 3x0 + Giả sử A x0 ; ⇒ B −4 − x0 ; −2 − , x0 = ±2 x0 − x0 − Vì B thuộc đồ thị hàm số nên ta có : −2 − 3x0 + (−4 − x0 ) + = ⇔ 8x20 + 32x0 − 40 = ⇔ x0 − −4 − x0 − x0 = (thỏa mãn) x0 = −5 Vậy hai điểm cần tìm (1; −4) (−5; 2) x+1 có đồ thị (C) Tìm (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua x−1 đường thẳng d : x + 2y − = 2.63 Cho hàm số y = Lời giải Đường thẳng vuông góc d có phương trình dạng ∆ : 2x − y + m = ⇔ y = 2x + m Phương trình hoành độ giao điểm ∆ (C) : x+1 =x+m⇔ x−1 x=1 x2 + (m − 2)x − m − = Đặt f (x) = x2 + (m − 2)x − m − có ∆ = m2 + > 0, ∀m ∈ R f (1) = −2 = 0, ∀m ∈ R Do ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A(x1 ; x1 + m), B(x2 ; x2 + m), x1 + x2 = − m x1 + x2 x1 + x2 2−m 2+m Gọi I trung điểm AB ⇒ I = ; +m = ; 2 2 2−m Khi A, B đối xứng qua d ⇔ I ∈ d ⇔ + + m − = ⇔ m = √ √ √ √2 √ √ √ √ Vậy A + 2; + , B − 2; − A − 2; − , B + 2; + 21 2.64 Tìm đồ thị hàm số y = x điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng x+1 d : 3x + 4y = Lời giải Lấy điểm M x0 ; x0 , x0 = −1, thuộc đồ thị hàm số ta có : x0 +  x0 = 4x0 3x0 +  x0 +  √ d (M, ∆) = ⇔ = ⇔ 3x20 + 7x0 = |x0 + 1| ⇔  x0 = − √  32 + −6 ± 61 x0 = √ √ 5 −6 ± 61 43 ∓ 61 Vậy có bốn điểm cần tìm M1 1; , M2 − ; , M3,4 ; 3 52 2.65 Cho hàm số y = 4x + có đồ thị (C) Tìm (C) điểm cách hai trục tọa độ x+1 4x0 + , x0 = −1, (C) x0 + Điểm M cách hai trục tọa độ : Lời giải Lấy điểm M x0 ;  Vậy có bốn điểm cần tìm M1,2 3± √ 13 − 3x0 − =  x0 = √ ⇔ + 5x0 + = −5 ± 21 x0 = √ √ √ √ ± 13 ± 13 −5 ± 21 ∓ 21 ; , M3,4 ; 2 2 4x0 + |x0 | = ⇔ x20 + x0 = |4x0 + 1| ⇔ x0 + x20 x20 x2 − x + Tìm điểm M đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến giao x−1 điểm I hai tiệm cận nhỏ 2.66 Cho hàm số y = , đồ thị hàm số có tiệm cận dứng x = x−1 Giao điểm hai tiệm cận I(1; 1) −−→ 1 Lấy M x0 ; x0 + ta có IM = x0 − 1; x0 − + x0 − x0 − Suy IM = (x0 − 1)2 + x0 − + x01−1 = 2(x0 − 1)2 + (x0 − 1)2 1 √ Dấu xảy 2(x0 + 1)2 = ⇔ x0 = ± (x0 − 1) √ √ Vậy IM đạt giá trị nhỏ 2 + M ± √ ;1 ± ± Lời giải Ta có y = x + 2.67 Cho hàm số y = tiệm cận xiên y = x +2 √ 2 + √ 3x − có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai x−2 tiệm cận nhỏ Lời giải Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = 3x0 − Lấy điểm M x0 ; ∈ (C) , x0 = 2, ta có : x0 − d (M, TCĐ) + d (M, TCN) = |x0 − 2| + 3x0 − − = |x0 − 2| + x0 − |x0 − 2| x0 = ⇔ x0 = |x0 − 2| Vậy d (M, TCĐ) + d (M, TCN) đạt giá trị nhỏ M (3; 4) M (1; 2) Dấu xảy |x0 − 2| = 22 2.68 Cho hàm số y = x−1 có đồ thị (C) Tìm điểm M (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục x+1 toạ độ nhỏ Lời giải Giả sử M x0 ; x0 − x0 + ∈ (C) , x0 = −1 điểm cần tìm x0 − x0 + Lấy A(0; 1)  ∈ (C), ta có d (A, Ox) + d (A, Oy) = 1, suy d (M, Ox) + d (M, Oy)  |x0 | −1 < x0 x0 − Do ta có ⇔ ⇔ x0 1 − x0 x0 + 1  x0 + Với x0 1, ta có : Ta có d (M, Ox) + d (M, Oy) = |x0 | + √ − x0 2 = x0 + + − 2 x0 + −2=2 2−2 x0 + x0 + x0 +   x0 √ Dấu xảy ⇔ x0 = −  x0 + = x0 + √ √ √ Vậy d (M, Ox) + d (M, Oy) đạt giá trị nhỏ 2 − M − 1; − d (M, Ox) + d (M, Oy) = x0 + 2.69 Tìm hai điểm hai nhánh đồ thị hàm số y = x−2 có khoảng cách bé x−1 x1 − x2 − , x1 < M2 x2 ; , x2 > hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị x1 − x2 − x2 − x1 − x2 − x1 x2 − x1 ; − = x2 − x1 ; x2 − x1 − (x2 − 1) (x1 − 1) Lời giải Lấy M1 x1 ; −−−−→ Ta có M1 M2 = Do ta có : (x2 − 1) (x1 − 1)2 = (x2 − + − x1 )2 + (x2 − 1) (x1 − 1)2 (x2 − 1) (1 − x1 ) + (x2 − 1) (x1 − 1)2 = (x2 − 1) (1 − x1 ) + (x2 − 1) (1 − x1 )   x2 − = − x1 Dấu xảy ⇔  (x2 − 1) (1 − x1 ) = (x2 − 1) (1 − x1 ) √ Vậy M1 M2 đạt giá trị nhỏ M1 (0; 2) M2 (2; 0) (M1 M2 )2 = (x2 − x1 )2 + x2 = x1 = CÁC BÀI TOÁN THI x+2 có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho khoảng cách x − 1√ từ M đến đường thẳng y = −x 2.70 (A-2014) Cho hàm số y = x0 + , (x0 = 1) x0 − x0 + x0 + x −1 √0 Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x d = Lời giải Ta có M ∈ (C) nên có tọa độ dạng M x0 ; 23 Mặt khác theo giả thiết d = √ nên ta có : x0 + x0 + √ x −1 √0 = ⇔ x20 + = |x0 − 1| ⇔ x20 − 2x0 + = (vô nghiệm) ⇔ x20 + 2x0 = x0 = x0 = Vậy có hai điểm M cần tìm M1 (0; −2) M2 (−2; 0) 2.71 (B-2014) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + có hai điểm cực trị B C cho tam giác ABC cân A, biết A(2; 3) Lời giải Đạo hàm y = 3x2 − 3m = x2 − m ; y = ⇔ x2 = m Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > √ √ √ √ Khi đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị B (− m; 2m m + 1) , C ( m; −2m m + 1) √ √ −−→ − → Ta có BC = (2 m; −4m m); gọi I trung điểm BC, ta có I(0; 1) ⇒ AI = (−2; −2) m = (loại) √ √ − → −−→ Tam giác ABC cân A ⇔ AI.BC = ⇔ −4 m + 8m m = ⇔ m= Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán 2.72 (D-2014) Cho hàm số y = x3 − 3x − có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc Lời giải Đạo hàm y = 3x2 − Ta có M ∈ (C) nên có tọa độ dạng M x0 ; x30 − 3x0 − Tiếp tuyến (C) M có hệ số góc ⇔ y (x0 ) = ⇔ 3x20 − = ⇔ x0 = ±2 Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M1 (2; 0) M2 (−2; −4) 2.73 (CĐ-2014) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc (C) có hoành độ x = Lời giải Đạo hàm y = −3x2 + 6x Gọi điểm tiếp xúc M (1; y0 ), ta có y0 = 1; y (1) = Phương trình tiếp tuyến (C) M (1; 1) y = 3(x − 1) + ⇔ y = 3x − 2.74 (A-2013) Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − nghịch biến khoảng (0; +∞) Lời giải Đạo hàm y = −3x2 + 6x + 3m Hàm số nghịch biến khoảng (0; +∞) ⇔ y 0, ∀x ∈ (0; +∞) 2 Hay −3x + 6x + 3m 0, ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ m x − 2x, ∀x ∈ (0; +∞) Xét f (x) = x2 − 2x (0; +∞) có f (x) = 2x − 2; f (x) = ⇔ x = Bảng biến thiên : x − f (x) +∞ + +∞ f (x) −1 Từ bảng biến thiên ta có m −1 hàm số cho nghịch biến (0; +∞) 2.75 (B-2013) Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx có hai điểm cực trị A B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + x=1 x=m Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ m = Khi đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A(1; 3m − 1), B m; −m3 + 3m2 Lời giải Đạo hàm y = 6x2 − 6(m + 1)x + 6m; y = ⇔ 24 −−→ Suy AB = m − 1; −(m − 1)3 − Đường thẳng y = x + có vectơ phương → u = (1; 1) Đường thẳng AB vương góc với đường thẳng y = x + :  m = (loại) −−→ → AB.− u = ⇔ m − − (m − 1)3 = ⇔  m = m=2 Vậy m = m = 2.76 (D-2013) Tìm m để đường thẳng y = −x + cắt đồ thị hàm số y = 2x3 − 3mx2 + (m − 1)x + ba điểm phân biệt Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : 2x3 − 3mx2 + (m − 1)x + = −x + ⇔ x=0 2x2 − 3mx + m = Đặt f (x) = 2x2 − 3mx + m có ∆ = 9m2 − 8m Đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng y = −x + hai điểm phân biệt f (x) có hai nghiệm phân biệt khác m0 9m2 − 8m > Điều tương đương với ⇔ ⇔ m> f (0) = m=0 Vậy m < m > 2x + có đồ thị (C) Gọi M điểm thuộc (C) có tung độ Tiếp x−1 tuyến (C) M cắt trục Ox Oy A B Tính diện tích tam giác OAB 2.77 (CĐ-2013) Cho hàm số y = Lời giải Đạo hàm y = − (x − 1)2 2x0 + = ⇔ x0 = ⇒ y (2) = −3 x0 − Phương trình tiếp tuyến (C) M (2; 5) y = −3(x − 2) + ⇔ y = −3x + 11 11 Tiếp tuyến (C) M cắt Ox A ; cắt Oy B(0; 11) 1 11 121 Do diện tích tam giác OAB S∆OAB = OA.OB = 11 = 2 Giả sử M (x0 ; 5), (x0 = 1), ta có 2.78 (A-2012) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (m + 1) x2 + m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông x=0 x2 = m + Đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị ⇔ y có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > −1 Khi đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị : √ √ A 0; m2 , B − m + 1; −2m − , C m + 1; −2m − Lời giải Đạo hàm y = 4x3 − 4(m + 1)x; y = ⇔ √ √ −−→ −→ Ta có AB = − m + 1; −(m + 1)2 ; AC = m + 1; −(m + 1)2 Dễ thấy tam giác ABC cân A nên tam giác ABC vuông : −−→ −→ AB.AC = ⇔ (m + 1)4 − (m + 1) = ⇔ m = Vậy với m = đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông 2.79 (B-2012) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 25 x=0 x = 2m Đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ m = Khi đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A 0; 3m3 , B 2m; −m3 Suy OA = 3|m|3 , d(B, OA) = 2|m| ⇒ S∆OAB = OA.d(B, OA) = 3m4 Lại có S∆OAB = 48 ⇔ 3m4 = 48 ⇔ m = ±2 (thỏa mãn) Vậy m = ±2 Lời giải Đạo hàm y = 3x2 − 6mx; y = ⇔ 2 2.80 (D-2012) Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 − 3m2 − x + có hai điểm cực trị x1 x2 cho 3 x1 x2 + (x1 + x2 ) = Lời giải Đạo hàm y = 2x2 − 2mx − 2(3m2 − 1); ∆ = m2 + 4(3m2 − 1) = 13m2 − m> √ 13 m < −√ 13 Giả sử hàm số đạt cực trị x1 , x2 , theo định lý Vi-ét có x1 + x2 = m, x1 x2 = − 3m2 m = (loại) Theo giả thiết x1 x2 + (x1 + x2 ) = ⇔ − 3m2 + 2m = ⇔ m= Vậy m =   Hàm số có hai cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ 13m2 − > ⇔  2.81 (CĐ-2012) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số y = 2x + , biết d vuông góc với đường x+1 thẳng y = x + (x + 1)2 Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng y = x + nên có hệ số góc k = −1 Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ), ta có k = −1 ⇔ y (x0 ) = −1 ⇔ − = −1 ⇒ (x0 + 1)2 Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến M1 (0; 3) y = −x + Với x0 = −2 ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến M2 (−2; 1) y = −x − Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = −x + y = −x − Lời giải Đạo hàm y = − x0 = x0 = −2 −x + có đồ thị (C) Chứng minh với m đường thẳng y = x+m 2x − cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn 2.82 (A-2011) Cho hàm số y = Lời giải Đạo hàm y = − (2x − 1)2 Phương trình hoành độ giao điểm =x+m⇔ 2x2 + 2mx − m − = 1 Đặt f (x) = 2x2 + 2mx − m − có ∆ = m2 + 2m + > 0, ∀m ∈ R f = − = 0, ∀m ∈ R 2 Do đồ thị (C) cắt đường thẳng y = x + m hai điểm phân biệt A(x1 ; x1 + m), B(x2 ; x2 + m) 1 4(x1 + x2 )2 − 8x1 x2 − (x1 + x2 ) + Khi k1 + k2 = − − = − (∗) (2x1 − 1)2 (2x2 − 1)2 (4x1 x2 − 2(x1 + x2 ) + 1)2 m+1 Theo định lý Vi-ét có x1 + x2 = −m, x1 x2 = − thay vào (∗) : x= −x+1 2x−1 k1 + k2 = − 4m2 + (m + 1) + 4m + = −4(m + 1)2 − (−2 (m + 1) + 2m + 1)2 Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn −2 m = −1 26 −2 2.83 (B-2011) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − (m + 1) x2 + m có ba cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ A thuộc trục tung x=0 x2 = m + Đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị ⇔ y có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > −1 Khi đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị : √ √ A (0; m) , B − m + 1; −m2 − m − , C m + 1; −m2 − m − Lời giải Đạo hàm y = 4x3 − 4(m + 1)x; y = ⇔ √ √ −−→ Suy OA = |m|; BC = m + 1; ⇒ BC = m + √ Theo giả thiết√ta có OA = BC ⇔ m2 = 4(m + 1) ⇔ ± (thỏa mãn) Vậy m = ± 2.84 (D-2011) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị hàm số y = 2x + hai điểm phân x+1 biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành 2x + x = −1 = kx + 2k + ⇔ kx2 + (3k − 1)x + 2k = x+1 Đặt f (x) = kx2 + (3k − 1)x + 2k có ∆ = k − 6k + Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = kx + 2k + hai điểm phân biệt f (x) có hai nghiệm phân biệt khác −1     k=0  k=0  k=0 √ ∆>0 k − 6k + > ⇔ k > + √2 Điều tương đương với ⇔    f (−1) = 1=0 k 0 ⇔ f (1) = + 4m > −m = m>− m=0 Khi đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 Giả sử x3 = ⇒ x1 , x2 hai nghiệm f (x) x1 + x2 = 1, x1 x2 = −m Theo giả thiết x21 + x22 + x23 < ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 < ⇔ + 2m < ⇔ m < 1 Kết hợp ta có m ∈ − ; \ {0} 2x + 2.87 (B-2010) Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt x+1 √ A, B cho tam giác OAB có diện tích 3, O gốc tọa độ x = −1 2x2 + (4 − m)x + − m = Đặt f (x) = 2x2 + (4 − m)x + − m có ∆ = m2 + > 0, ∀m ∈ R f (−1) = −1 = 0, ∀m ∈ R Do đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −2x+m hai điểm A(x1 ; −2x1 +m), B(x2 ; −2x2 +m) −−→ |m| Ta có d(O, AB) = √ AB = (x2 − x1 ; 2x1 − 2x2 ) ⇒ AB = [(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 ] = 5(m2 + 8) √ √ √ Theo giả thiết S∆OAB = ⇔ |m| m2 + = ⇔ m = ±2 Vậy m = ±2 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm : 2x + = −2x + m ⇔ x+1 2.88 (D-2010) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = −x4 − x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + Lời giải Đạo hàm y = −4x3 − 2x Tiếp tuyến vuông góc với y = x + nên có hệ số góc k = −6 Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ), ta có k = −6 ⇒ −4x30 − 2x0 = −6 ⇔ x0 = Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến (C) M (1; 4) y = −6x + 10 Vậy tiếp tuyến cần tìm y = −6x + 10 2.89 (CĐ-2010) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 − điểm có hoành độ −1 Lời giải Đạo hàm y = 3x2 + 6x Gọi điểm tiếp xúc M (−1; y0 ), ta có y0 = 1; y (−1) = −3 Phương trình tiếp tuyến M (−1; 1) y = −3(x + 1) + ⇔ y = −3x + x+2 , biết tiếp tuyến cắt trục 2x + hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O 2.90 (A-2009) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = > 0, ∀x = − (2x + 3) Tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung tạo thành tam giác cân nên có hệ số góc k = −1 x0 = −2 Gọi điểm tiếp xúc M (x0 ; y0 ), ta có k = −1 ⇔ − = −1 ⇔ x0 = −1 (2x0 + 3)2 Với x0 = −2 ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến M1 (−2; 0) y = −x − Với x0 = −1 ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến M2 (−1; 1) y = −x (loại qua O) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −x − Lời giải Đạo hàm y = − 2.91 (B-2009) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2x4 − 4x2 Với giá trị m, phương trình x2 x2 − = m có sáu nghiệm thực phân biệt Lời giải Ta có x2 x2 − = m ⇔ 2x4 − 4x2 = 2m Từ đồ thị (C), đối xứng phần đồ thị bên Ox qua Ox, sau bỏ phần đồ thị bên Ox, ta đồ thị (C1 ) hàm số y = 2x4 − 4x2 Số nghiệm phương trình cho số giao điểm (C1 ) đường thẳng y = 2m 28 y −1 O x Dựa vào đồ thị, phương trình có sáu nghiệm phân biệt ⇔ < 2m < ⇔ < m < Vậy với m ∈ (0; 1) phương trình cho có sáu nghiệm phân biệt 2.92 (B-2009) Tìm m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = A, B cho AB = x2 − hai điểm phân biệt x x2 − x=0 = −x + m ⇔ 2x2 − mx − = x Đặt f (x) = 2x2 − mx − có ∆ = m2 + > 0, ∀m ∈ R f (0) = −1 = 0, ∀m ∈ R Do đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −x + m hai điểm A(x1 ; −x1 + m), B(x2 ; −x2 + m) −−→ Ta có AB = (x2 − x1 ; x1 − x2 ) ⇒ AB = 2(x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 (*) Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm Theo định lý Vi-ét có x1 + x2 = m , x1 x2 = − 12 thay vào (*) AB = m2 +2 = m2 + √ m2 Lại theo giả thiết có AB = ⇔ + = 16 ⇔ m = ±2 √ Vậy m = ±2 2.93 (D-2009) Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số x4 − (3m + 2) x2 + 3m bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ x2 = x2 = 3m + (∗) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −1 bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt nhỏ khác 1 < 3m + < −   2(2m − 1)  m> 5 >0 ⇔ ⇔ ⇔   P >0 2 − m >    m < Vậy < m < 29 [...]... −5x + 22 Gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ), ta có k = −5 ⇒ −x + 3 có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song 2x − 1 song với đường phân giác góc phần tư thứ hai của mặt phẳng toạ độ 2.41 Cho hàm số y = −5 (2x − 1)2 Tiếp tuyến cần tìm song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai nên có√hệ số góc k = −1 −5 1± 5 Gọi điểm tiếp xúc là M (x0 ; y0 ), ta có k = −1 ⇒ 2 = −1... tại A, B song song với nhau 2.45 Cho hàm số y = Lời giải Đạo hàm y = − 7 (x − 2)2 Phương trình hoành độ giao điểm 2x + 3 = 2x + m ⇔ x−2 x=2 2x2 + (m − 6)x − 2m − 3 = 0 Đặt f (x) = 2x2 + (m − 6)x − 2m − 3 Ta có ∆ = (m − 6)2 + 8(2m + 3) = m2 + 4m + 60 > 0, ∀m ∈ R và f (2) = 1 = 0, ∀m ∈ R Do đó d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) và B(x2 ; y2 ) (x1 = x2 ) Tiếp tuyến tại A và B song song khi... ⇔ − 7 7 2 2 2 =− 2 ⇔ (x1 − 2) = (x1 − 2) ⇔ (x1 − 2) (x1 − 2) x1 = x2 (loại) x1 + x2 = 4 m−6 m−6 ⇔− = 4 ⇔ m = −2 2 2 Vậy với m = −2 thì d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B song song Theo vi-ét có x1 + x2 = − 15 §4 Biện Luận Số Nghiệm Phương Trình Bằng Đồ Thị 2.46 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 − 3x2 − 1 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình