TOÁN đs lê văn đoàn

pt hệ pt

ng vi et bo ok c om v n ThS Lê Văn Đoàn kh a  DÀNH CHO HỌC SINH LUYỆN THI THPT QUỐC GIA  BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI 10, 11, 12  THAM KHẢO CHO GIÁO VIÊN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI MỤC LỤC Phần I Phương trình, bất phương trình vơ tỷ Bài Phương trình vơ tỷ Bài Giải phương trình vơ tỷ cách đưa tích số 11 Sử dụng phép biến đổi tương đương 11 Kỹ thuật nhân lượng liên hợp 17 Bài Giải phương trình vơ tỷ phương pháp đặt ẩn phụ 64 Dạng a f ( x)  b n f ( x)  c  64 v n Dạng a f ( x)  b g( x)  2ab f ( x).g( x)  h( x) 76 Dạng   n a  f ( x)    m b  f ( x)  c 83 om Dạng a  n A2  b  n A.B  c  n B2  89 Dạng a f ( x)  b.g( x)  c f ( x).g( x) 92 c Dạng a f ( x)  b.g( x)  c d f ( x)  e.g ( x) 103 n Dạng  f ( x)  b( x)  a( x)  n a( x)  f ( x)  b( x) 108 ok Dạng (ax  b)n  p n cx  d  q.x  r , với n 2; 3 117 bo Dạng x  2a x  b  a2  b  x  2a x  b  a2  b  cx  d 122 Dạng 10 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 124 et Dạng 11 mx  n  a  x  b  x  c  x2 129 Dạng 12 Đặt ẩn phụ ẩn dựa vào đẳng thức 130 vi Dạng 13 x  m  x n  x  n  x p  x  p  x m  x 132 kh a ng Dạng 14 Đặt ẩn ẩn đưa hệ phương trình 134 Dạng 15 Đặt ẩn phụ cách lượng giác hóa 152 Bài Giải phương trình vơ tỷ phương pháp đánh giá 165 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 165 Sử dụng bất đẳng thức cổ điển 186 Đưa tổng số khơng âm An  Bn 203 Bài Bất phương trình vơ tỷ 212 Bất phương trình vơ tỷ 212 Bất phương trình sử dụng chia khoảng tách 214 Nhóm bất phương trình vơ tỷ có mẫu số 216 Đưa dạng tích số phép biến đổi tương đương 222 Đưa tích số kỹ thuật liên hợp 225 Sử dụng phương pháp hàm số 237 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 250 Bài Phương trình, bất phương trình chứa tham số 251 Bài kh a ng Bài vi et bo ok c Bài .v n Bài om Phần II Phương trình vơ tỷ chứa tham số 252 Bất phương trình vơ tỷ chứa tham số 266 Hệ phương trình đại số, vơ tỷ 272 Hệ phương trình 272 Hệ đối xứng loại I 273 Hệ đối xứng loại II 277 Hệ gần giống đối xứng loại II 282 Hệ đẳng cấp 286 Phương pháp tạo phương trình bậc cao đẳng cấp 288 Hệ phương trình đưa tích số 295 Kỹ thuật tách, ghép, nhóm, tam thức bậc hai 295 Kỹ thuật nhân lượng liên hợp 308 Kỹ thuật dùng phương pháp cộng để đưa tích số 325 Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 341 Dạng Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2, 341 Dạng Đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp phương trình 346 Dạng Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 353 Biến đổi phương trình tìm phép ẩn phụ 353 Dựa vào Viét tìm phép ẩn phụ 366 Chia để xác định lượng ẩn phụ 373 Liên hợp để phát lượng ẩn phụ 384 Biến đổi đẳng thức tìm phép đặt ẩn 387 Đặt ẩn phụ dạng tổng – hiệu 390 Dạng Đặt ẩn phụ cách lượng giác hóa 405 Dạng Đặt ẩn phụ cách số phức hóa 410 Giải hệ phương trình phương pháp đánh giá 423 Phương pháp đánh giá hàm số 423 Một số dạng 423 Hệ có: ax  (ax)2   by  (by)2    423    Hệ có: a1 x  b1 x  c1x  d1  a2 y  b2 y  c2 y 426 3 a x3  b x2  c x  d  (a y  b ) c y  d 1 1 2 2 Hệ có:  434 ( a1 x  b1 ) c1 y  d1  (a2 y  b2 ) c2 y  d2  Một số kỹ làm xuất hàm đặc trưng 443 Chia để xuất hàm đặc trưng 443 Phép cộng để tìm hàm đặc trưng 453 Phép biến đổi tương đường để tìm hàm đặc trưng 461 Phương pháp đánh giá bất đẳng thức cổ điển 468 Bài Hệ phương trình chứa tham số 492 Phần III Giải chi tiết tập rèn luyện 508 khangviet.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 Phần PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ  §1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN I Phương trình bậc bốn quy bậc hai e d Dạng: ax  bx  cx  dx  e  với     a b Phương pháp giải: Chia hai vế cho x2  0, rời đặt t  x  Dạng: ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d)  e với a  c  b  d  d với    x b v n om Phương pháp giải: Viết lại ( x  a)( x  c)  ( x  b)( x  d)  e   x2  (a  c)x  ac    x2  (b  d)x  bd   e đặt t  x2  (a  c)x Dạng: ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d)  ex2 với a.b  c.d .c abcd  x thì phương trình  abcd   abcd   t   x t   x   ex2 (có dạng đẳng cấp) 2     Dạng: ( x  a)4  ( x  b)4  c bo ok Phương pháp giải: Đặt t  x2  ab  ab ab  (t  )4  (t  )4  c với    2 et Phương pháp giải: Đặt x  t  vi Dạng: ax4  bx3  cx2  dx  e  , với b3  8a2 d  4abc ng Phương pháp giải: Đặt x  t  b  4a Dạng: x4  ax2  bx  c (1) kh a Phương pháp giải: Tạo dạng A2  B2 bằng cách thêm hai vế cho mợt lượng 2k.x2  k , tức phương trình (1) tương đương: ( x2 )2  2kx2  k  (2k  a)x2  bx  c  k  ( x2  k)2  (2k  a)x2  bx  c  k 2 k  a   Cần vế phãi có dạng bình phương   k? 2  VP  b  4(2 k  a)(c  k )  Dạng: x4  ax3  bx2  cx  d (2) Phương pháp giải: Tạo A  B bằng cách thêm ỡ vế phãi biễu thức để 2   a  a2  tạo dạng bình phương:  x2  x  k   x4  ax3   2k   x2  kax  k 4    Do đó ta sê cợng thêm hai vế cũa phương trình (2) mợt lượng: Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn    a   a2 a2  2  k   x  kax  k ,  x  x  k    k   b  x  ( ka  c)x  k  d 4       a2 k  b0   Lúc cần sớ k thỏa:  k ?   ( ka  c)2   k  a  b  ( k  d)  VP     II Phương trình vơ tỷ  B   A B   A  B  A  hay B  A B  A  B v n  A B C 0 Dạng: om B   A B   B  hoặc   A  B  A  B3  A   III Một số phương trình vơ tỷ thường gặp (1) c Bước Đặt điều kiện ok Bước Chuyển vế để hai vế dương, tức (1)  A  C  B Bước Bình phương hai vế A  C  AC  B  AC  B  A  C A3B3C (2) bo Dạng: Bước Lũy thừa: ( A  B )3  ( C )3  A  B  3 AB( A  B )  C (2) A  B  C , (2)  A  B  3 ABC  C A B C D vi Dạng: et Bước Thế (3) với A  C  B  D AC  BD Bước Đặt điều kiện ng Bước Biến đổi (3)  A  C  B  D bình phương hai vế kh a  Lưu ý: Biến đỡi của dạng biến đổi hệ quả , đó giãi xong cần thay thế nghiệm lại đề bài và kiễm tra nhằm tránh thu nghiệm ngoại lai Ví dụ Giải phương trình: x   x  3x   Phân tích Phương trình có dạng tổng qt: () Đại học khối D – 2006 mx  n  ax2  bx  c , (m, a  0) ta giải theo dạng A  B Nếu sau lũy thừa nghiệm hữu tỷ tiến hành chia Hcner để phân tích thành tích số (đầu rơi, nhân tới, cộng chéo) Còn nghiệm vơ tỷ ta tiến hành sử dụng chức table máy tính bỏ túi để tìm lượng nhân tử chung bậc hai, sau chia đa thức để đưa dạng tích số bậc hai nhân bậc hai mà dễ dàng tìm nghiệm  Lời giải Xem phương trình dạng A  B khangviet.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821   x  3x   ()  x    x  3x    2  2 x   (  x  3x  1) 2 x     x  3x    x  3x         2  x     x  x  11x  x   ( x  1) ( x  x  2)  v n Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  1, x    Lời giải Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình gần đới xứng loại II  y  2x   y  2x      Đặt y  2x   0, suy ra:   2  y  x  3x    x  3x  y       ( y  x2 )  ( x  y)   ( y  x)( y  x  1)   y  x y   x x   2x   x    x   x  2x    x   x    Với y   x, suy ra: x    x    x  4x   c om  Với y  x, suy ra: Ví dụ ok Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  1, x   Giải phương trình: x2  4x   x  () bo Phân tích Để kiểm tra phương trình có nghiệm hữu tỉ hay vơ tỷ, ta nhập vào casio: ng vi et X2  4X   X  bấm shift solve (1 số ngun nằm khoảng điều kiện) kết X  5.192582404 vơ tỷ Khi định hướng tìm lượng nhân tử bậc hai chức table Trước tiên ta lưu biến X  A, cách nhập alpha ) shift RCL (–) Kế đến ta chuyển chế độ table cách bấm mode setup nhập f (X)  A2  AX cách bấm: alpha () x2 – alpha (–) anpha ), bấm = Nếu casio fx – 570 VN plus vina calc, ta bấm tiếp tục dấu =, fx – 570 ES khơng cần (tức khơng nhập g( X) ), cho Start -9, End 9, Step casio cho kh a X F( X ) ta bảng giá trị 14 6.1925 15 ta quan tâm đến dòng có giá trị số ngun, tức dòng 15 có X  5, F(X)  1, hệ số b, c nhân tử x2  bx  c , tức có x2  5x  Lúc ta định lũy thừa vế theo cơng thức A  B phương trình bậc bốn, sau lấy phương trình bậc bốn chia cho lượng x2  5x  thu bậc viết lại tích bậc hai  Lời giải Xem phương trình dạng A  B x    x    x  4x    ()       ( x  x  3)  x  x  x  10 x  23x   Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn   29 x    x    x x  1 2  ( x  5x  1)  ( x  3x  4)  Kết luận: Phương trình cho có nghiệm: x  1, x   29   Lời giải Đặt ẩn phụ đưa hệ đới xứng 2   ( y  2)  x  y  4y  x    Đặt: y   x   0, suy ra:  x  4x   y  x  4x  y     om v n  y  x  ( y  x2 )  3( y  x)   ( y  x)( y  x  3)     y   x x   29   Với y  x, suy ra: x   x    x    x  5x    x  x   1 x    x  1   x  3x    Với y   x, suy ra: c  29  Bình luận Trong lời giải 1, để nâng lũy thừa, ta thường sử dụng đẳng thức số dạng (a  b  c)2  a2  b2  c  2.(ab  bc  ca) để khai triễn Tuy cách giải giúp bo ok Kết luận: Phương trình cho có nghiệm: x  1, x  Ví dụ vi et tách đa thức bậc cao thành tích số, tính tốn phức tạp, dễ dẫn đến sai lầm nhiều thời gian Do người giải tốn thường tìm phương pháp đơn giản, ngắn gọn điển hình lời giải ví dụ Phương pháp đặt ẩn phụ tìm hiểu kỹ học sau với dấu hiệu nhận dạng định Giải phương trình: 2( x2  x  6)  x3  () ng Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Chun Phan Bội Châu – Nghệ An Phân tích Khác với hai ví dụ trên, biểu thức thức bậc 3, ta giải theo kh a cơng thức A  B, để thu phương trình bậc bốn Lúc với hỗ trợ máy tính casio, ta phân tích thành tích số dạng bậc nhân bậc  Lời giải Điều kiện: x3    ( x  2)( x2  2x  4)   x  2 ()  8.( x2  x  6)2  25( x3  8)  8x4  41x3  104x2  96x  88   x2  x    ( x2  x  4)(8 x2  18 x  28)     x   13 8x  18x  28  : VN Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x   13 Lưu ý: Ta giải phương pháp đặt ẩn phụ sau biến đổi phương trình dạng: 2( x  2)  2( x2  2x  4)  ( x  2)( x2  2x  4)  Lời giải Đặt u  x   0, v  x2  2x   (1) khangviet.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 u u u u (1)  2u  2v  5uv             v v v v 2  x   x2  2x  4 x  x  14  u  v    x   13 Suy ra:   x   x2  x   x  x    2u  v   Lời giải Chia hai vế cho lượng dương: x2  2x   ( x  1)2   .v n  x2 2  x2 x2 x  2x  (1)    5 20  x  2x  x  2x  x2    x  2x  Ví dụ Giải phương trình: om  x   4( x2  x  4)   x   13  4( x  2)  x  x   x2  x x    x  x () c  A  hay B  A B , có A  B phương án chọn A  hay B  Dựa vào đặc điểm tốn, ta nên chọn phương án đơn giản nhất, tức chọn B   2x  x2  có lời giải sau:  3  x  x   Lời giải Phương trình ()   2  7  x  x x    x  x 3  x    x  (do x  khơng nghiệm của phương trình)  x5  x  ng vi et bo ok Phân tích Phương trình có dạng bản: kh a 3  x  2  x  3  x      x2   0  2  x     x  1  x  1 x     x  4 2  x  x  16 x  16    x ( x  5)2  ( x  2)2  Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  1 Ví dụ () Giải phương trình: 3x   x   2x  Phân tích Phương trình có dạng A  B  C , ta đặt điều kiện, chuyển vế cho vế dương bình phương hai vế để đưa dạng A  B  Lời giải Điều kiện: x  Khi đó: ()  3x   x   2 x   4(3x  1)  x   4(2x  1)  ( x  1)(2x  1) Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn  x   x  3x   3x     x   23x  102 x  65  Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  Ví dụ Giải phương trình: x2  x   x2  x   () v n Phân tích Phương trình có dạng giống ví dụ trên, ta dám lựa chọn hướng bình phương vế lên sau lũy thừa, bậc cao 4x triệt tiêu có lời giải sau:  Lời giải Điều kiện: x   x  ()  4x2  x    x2  x   ( x2  x   1)2  4( x2  x  1) om  29  67 3x    x2  x   3x    x  7 x  58 x  33    Giải phương trình: x2  x  x2  x2  x  () ok Ví dụ 29  67  c Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình x  A.B  A B A  0, B  et thức tách hợp lý, tức: bo Phân tích Phương trình có dạng tương tự ví dụ trên, bình phương lên khơng triệt tiêu bậc cao Nhận thấy biểu thức thức có chung nghiệm x  nên ta dùng phương pháp chia khoảng tách Nghĩa tìm điều kiện, dựa vào khoảng điều kiện để áp dụng cơng A.B  ( A)  (B) vi   A B A  0, B  Từ đó, ta có lời giải chi tiết sau:  x2  x  0, x2  x     x     x  2 x  2x  ng  Lời giải Điều kiện:  Khi ()  x( x  1)  x( x  2)  x2 (1) kh a  Trường hợp Nếu x  thì (1) ln đúng nên x  nghiệm của (1)  Trường hợp Nếu x  (1)  x  x   x  x   x  x  x   x   x  ( x   x  2)2  (2 x )2 , (do : x  1)  Trường hợp Nếu x  2  x   0; x   nên:  x2  x   x   x  (1)  x  x   x  x   x  x   x   x    x  (  x  x  2)2  (2 x )2  x2  x    2x : vơ nghiệm Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  0; x   khangviet.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 Ví dụ Giải phương trình: () x   3x   x  A  B  C , hướng xử lý lập phương hai vế thường sử dụng đẳng thức (a  b)3  a3  b3  3ab(a  b), Phân tích Phương trình có dạng thay A  B  C vào phương trình thu sau lập phương giải phương trình hệ dạng 3 f ( x)  g( x)  f ( x)   g( x) Từ có lời giải sau:  Lời giải Tập xác định: D    4x   3 ( x  1)(3x  1)  ( x   3x  1)  x   ( x  1)(3x  1).( x   3x  1)  ( x  1) x   3x   x  vào (1), suy ra: (1) ( x  1)(3x  1)( x  1)  ( x  1) om Thế: v n ()  ( x   3x  1)3  ( x  1)  ( x  1)4x2   x  1 x  .c  ( x  1)(3x  1)( x  1)  ( x  1)3  ( x  1) (3x  1)( x  1)  ( x  1)2    Với x  1 thì phương trình () sai nên loại nghiệm x  1 ok  Với x  thì phương trình () đúng nên nhận nghiệm x  Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x  10x   3x   9x   2x  bo Ví dụ Giải phương trình: () et Phân tích Phương trình có dạng: A  B  C  D với A  C  B  D, cụ thể: (10x  1)  (2x  2)  (9x  4)  (3x  5)  12x  1, nên ta chuyển vế đưa dạng: kh a ng vi A  C  D  B bình phương hai vế Nhưng chuyển vế bình phương ta giải phương trình hệ quả, giải xong ta cần thay nghiệm vào phương trình đầu đề nhằm nhận, loại nghiệm thích hợp  Lời giải Điều kiện: x  , ()  10x   2x   9x   3x   ( 10x   2x  2)2  ( x   3x  5)2  12x   (10x  1)(2x  2)  12x   (9x  4)(3x  5)  (10x  1)(2 x  2)  (9 x  4)(3x  5)  x2  15x  18   x  3, x    Kết luận: So với điều kiện vào (), phương trình có nghiệm x  Ví dụ 10 Giải phương trình: x   x   2 x   5x  () Phân tích Nếu biến đổi 2x   8x  12 phương trình cho đưa giống thí dụ với (8x  12)  ( x  7)  (5x  6)  (4x  1)  9x  có lời giải sau: khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848  i   9t  112t  108   t   t    t 3   xy  xy    x  y         x  y   x  y  x  y    9    16      x; y    3; 1 ;   ;  ;   ;  (thỏa mãn điều kiện thỏa   )  9   9 x  y  x  2y   xy   x  2y  ( x; y   )   x  y  x  2y om 1  (1) (2) v n  2 y   x  y BT 638 Giải hệ phương trình:    x  y  x  y  3y  Lời giải Điều kiện: x  1; y  1; x  y  i  y    y   x  22 So điều kiện:  x; y    22;  bo 1  y ok c a  x  y    a  b  a  b  Đặt   i    2    a  b  y b  x  y   a  b  a  b   y a  b    2a  y   x  y  y   x  y  y  a  b  y   2 x  y   BT 639 Giải hệ phương trình:   4 y  8( x  2) x    et (i) ( x; y   )     vi  Lời giải Điều kiện: x  2; y  2 Đặt: a  x   0; b  y    ng  a   2b    2b  a    i     b   8a a2      4b  8a  32a       8a3  32a    a4  2a3  a2  8a  14  kh a  2a2   a  x      a  1 a   a2  5a       b  y       x2  y   BT 640 Giải hệ phương trình:  3 (3x  x )(3 y  y )   TM  (1) (2) ( x; y   )  x  cos     ;     ;     cos 3 sin 3  1    y  sin   Lời giải Đặt  759 Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn sin 6  1 sin 6  1  5    11           ;  ; ; ;       12 12 12 12      ;       ;          6 6 2  6 2    2      x; y     ; ; ; ;   ;       4 4 2          x   y  BT 641 Giải hệ phương trình:   y   x2  ( x; y   ) (i) om     1 3  cos   sin     x; y    ;  i     2      cos   sin      v n  x   x  cos  Đặt  với  ,  0;   y  cos   y   Lời giải Điều kiện:  (i) ( x; y   ) bo ok c     3x   2 x  y   BT 642 Giải hệ phương trình:   7y 1       xy   TM   Lời giải Đặt a  x  b  y   et vi a  bi   i   Gọi z  a  bi ,  a; b   2 a b kh a  a  bi   a  a  2 a b   b bi  bi  2.i   b a2  b2 7 a  b ng  a  a  ()   b   a2  2    38 i  z   có  '    i  2i    z    21  21  21   z  2  2     i  z      i     21  21    Do a, b   z  760  2     i   21     a  x  21   b  y  2   khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Suy ra: x  11 21  22 y   21 21  x3  3xy  x   y  2xy  x  BT 643 Giải hệ phương trình:  () ( x; y   ) 2   y  yx  y   y  xy  x  Lời giải Tập xác định: D    x x2  y  xy  x2  y  2xy  x    1    2 y y  x  x2 y  x2  y  2xy  y   2           1  i     x  yi   1  i  x  yi    x  yi    i   Đặt z  x  yi ,  x; y      z  1  i  z  z   i  v n om z  i   ( z  i )( z  z   i)    2  10  41 i  ( 41  5) (5  41) z    2  10  41  1   x; y    0;1 ;  ;  41  5  41         ok c   2y  et x2    2 y   vi 1  x  bo 2  ( x  x  4)( y  y  1)  BT 644 Giải hệ phương trình:  3  12 y  10 y   x   Lời giải Tập xác định: D   ng Xét f  t   t   t có f '  t   (1) (2) ( x; y   )   f  x   f  2 y   t2  t 1 t  t t  t2 0  f  t  đồng biến  có f  x   f  2 y   x  2 y    5x   x3    x  1   x  1  x3   x3  kh a    3x  g  x  1  g  3  x3  với g  t   t  2t có g '  t   3t    g  t  tăng  có  g  x  1  g    3x2  3x    x; y    1;  ;  0;    x   x3   x  TM  ( x  3)( x  4)  y( y  7)  BT 645 Giải hệ phương trình:  y x 1  x 1   y   Lời giải Điều kiện: x  1; y  (1) (2) ( x; y   ) 761 Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn 1   x  1   x  1    y     y   f  x  1  f   y  Xét hàm số f  t   t  3t  0;   có f '  t   2t   0, t   f  t  đồng biến  0;   có f  x  1  f   y   x   y  2  y2 2y  y   x  (thỏa đk)  y2  y     2y  y  2  x  2y 2   y  y( x  1)  x  x   BT 646 Giải hệ phương trình:  4   y 1  x 1  y   x (1) ( x; y   ) (2) v n  Lời giải Điều kiện: y  1 Khi đó: (1)  y2  2xy  x2  2y  2x   ( y  x)2  2( y  x)   4x  ( y  x  1)2  4x  (3) om (2)  y   ( y  1)4   x  x4   f ( y  1)  f ( x) tăng [0; +) 4 x  t   f  t   y   f  x   x  y   y   x4 Khi đó:  ok  3   x  t4   x   y  1  x  x x7  x  x      x  2x  x     bo Mà ta có f 2t c Xét hàm số f  t   t  t  [0; +) f '  t    Xét hàm số f  x   x7  2x4  x  0;   có et f '  x   x6  8x3   0, x   f  x  đồng biến 0;   vi Ta lại có: f  x    f 1  x   y  ng Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm cần tìm S  ( x; y)  (0; 1);(1; 0)  kh a 3   x  y  y  3x   BT 647 Giải hệ phương trình:  2  x   x  y  y   Lời giải Điều kiện: 1  x   y  (1) (2) ( x; y   ) (1)  x3  3x  ( y  1)3  3( y  1)  f ( x)  f ( y  1) Xét hàm số f (t)  t  3t 1;1 có f (t)  3.(t  1)  0, t    1;1 Do hàm số f (t ) nghịch biến đoạn   1;1 Suy ra: f ( x)  f ( y  1)  x  y   2  x   x2  x4  4x2    x; y     2  2;1  2     3   y  y  x  3x  x  BT 648 Giải hệ phương trình:    1 x  y   y 1 762 (1) (2) ( x; y   ) khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848  Lời giải Điều kiện: 1  x   y  (1)  y3  3y  ( x  1)3  3( x  1)  f ( y)  f ( x  1) Xét hàm số f (t)  t  t có f (t)  3t   nên f (t ) đồng biến  Suy ra: f ( y)  f ( x  1)  y  x  (2)   x2    x   x Đặt t   x   x  phương trình  t  2t  t  Suy ra:  x   x    x2   x   y  Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm hệ S  ( x; y)  (0;1)  om v n  4 x  3x  ( y  1) y   (1) BT 649 Giải hệ phương trình:  ( x; y   ) (2)  2 x  x   y(2 y  1)    2 y  y  0  2 x   Lời giải Điều kiện:     x ; y     2   2 x  x  0  y   (1)  ( y  1)3  y   ( 2 x)3  3.( 2 x)  f ( y  1)  f ( 2 x) ok c Xét hàm số f (t)  t  3t 0;1 có f (t)  3(t  1)  0, t  0;1 Do hàm số f (t ) nghịch biến 0;1  Suy ra: f ( y  1)  f (2x)  y   2x, với điều kiện: x       bo     x; y    0;  21  ;   21 ;  : thỏa mãn điều kiện  vi et  (8 x  3) x   y  y  BT 650 Giải hệ phương trình:   4 x  x  y  y  y  (1) ( x; y   ) (2) ng  Lời giải Điều kiện: x    x   (1)  y3  y   ( 2x  1)3  2x   f ( y)  f ( 2x  1) kh a Xét hàm số f (t)  4t  t có f (t)  12t   0, nên f (t ) đồng biến  Suy ra: f ( y)  f ( 2x  1)  y  2x    y  2x  (1)  (2x  1)2  2.(2x  1)  y3  y2  y   y4  y3  y2  y      ( y2  1)  ( y2  y)  Suy ra: ( x; y)   ;  ;(1;1)        Kết luận: Sới điều kiện, tập nghiệm hệ S  ( x; y)   ;  ;(1;1)       (3  x)  x  y y   BT 651 Giải hệ phương trình:    x2 2 y2 5 (1) (2) ( x; y   ) 763 Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn  Lời giải Điều kiện: x  y   (1)   x  (  x )3  y   ( y  1)3  f (  x )  f ( y  1) Xét hàm số f (t)  t  t có f (t)   3t  0, nên f (t ) đồng biến  Suy ra: f (  x )  f ( y  1)   x  y   x   y (2)   y  y   5, (i) Đặt a   y ; b  y   v n   185  23 65 3  65 a  x   a   x  1 a  2b    16 (i)          23  65 233  23 65 y  a  2b  b    b   y  32 c om  185  23 65 x  x  1  16 Kết luận: So với điều kiện, nghiệm hệ  ,   y  233  23 65    y  32 (1) (2) bo ok  2(2 x  1)  x   (2 y  3) y  BT 652 Giải hệ phương trình:    4x   y    Lời giải Điều kiện: x   ; y  et (1)  2(2x  1)3  x   2( y  2)3  y   f (2 x  1)  f ( y  2) vi Xét hàm số f (t)  2t  t có f (t)  6t   0, nên f (t ) đồng biến  ng Suy ra: f (2x  1)  f ( y  2) y   2x   y  4x2  4x  (2)  4x   8x2  8x  10    f ( x)  1 khơng nghiệm f ( x)  0, nên với x   : 2 kh a Do x     Xét hàm số f ( x)  4x   8x2  8x  10    ;   có:   8x  f ( x)    0; x    Do hàm số f ( x) đồng biến 4x  x2  x  10   khoảng   ;      Suy phương trình f ( x)  có tối đa nghiệm 764 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 1 Mà f    nên nghiệm x   y  2    Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm cần tìm S  ( x; y)   ;        4 x x   12 y   y  13 y  18 x  (1) BT 653 Giải hệ phương trình:  (2)  4 x  x  x   y  y  y  v n  Lời giải Điều kiện: x   (1)  4( y  1)3  ( y  1)  4(2 x  1)  1 x   f ( y  1)  f ( x  1) Xét hàm số f (t)  4t  t có f (t)  12t   nên f (t ) đồng biến  om  y  1   Suy ra: f ( y  1)  f ( 2x  1)  y   x     2 x  y  y  ok c x   y  (2)  y  ( y  1)  ( y  y  6)      x   y  1  bo  1  Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm cần tìm S  ( x; y)  (1; 0);  ; 1    2   et  (1) (17  3x)  x  (3 y  14)  y  BT 654 Giải hệ phương trình:  (2)  2 x  y   3x  y  11  x  x  13 vi  Lời giải Điều kiện: x  5; y  4; 2x  y   0; 3x  y  11  ng (1)  3  (5  x)    x  3.(4  y)    y  f (  x )  f (  y ) Xét hàm số f (t)  2t  3t có f (t)   9t  nên f (t ) đồng biến  kh a Suy ra: f (  x )  f (  y )   x   y  y  x     (2)  3x   5x   x2  x  13; x   ;      3x   ( x  2)   5x   ( x  3)  x2  x      2( x2  x) 3x   x   3( x2  x) 5x   x   ( x2  x)  x     ( x  x)     1   x2  x     5x   x    3x   x   x  1 Kết luận: So điều kiện, tập nghiệm cần tìm S  ( x; y)  (0; 1);( 1; 2)  765 Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn  (2102  3x)  x  (6 y  2009)  y  (1) BT 655 Giải hệ phương trình:  (2)  2 x  y  14 x  18 y  x  x  13  Lời giải Điều kiện: x  4; y  ; x  y  0; 14x  18 y  (1)  3  (3  y)  2000    y  3  (4  x)  2000   x   ( 3  y )3  2000   y   (  x )3  2000   x  f (  y )  f (  x ) .v n Xét hàm số f (t)  3t  2000t có f (t)  9t  2000  nên f (t ) tăng  Suy ra: f (  y )  f (  x )   y   x  y  x  om (2)  3x   5x   x2  6x  13 2( x2  x) 3x   x   3( x2  x) 5x   x   ( x2  x)  ok  c   3x   ( x  2)   5x   ( x  3)  x2  x     bo x     ( x  x)     1   x2  x     5x   x    3x   x   x  1 et   1 Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm S  ( x; y)   0;   ;( 1; 1)   2   vi  2 y  y  x  x   x BT 656 Giải hệ phương trình:    2y   y   x (1) (2) ( x; y   ) ng  Lời giải Điều kiện: x  (1)  y3  y  2(  x )3   x  f ( y)  f (  x ) kh a Xét hàm số f (t)  2t  t có f (t)  6t   0, t , nên f (t ) đồng biến  Suy ra: f ( y)  f (  x )  y   x   y   x Thế vào (2) được: (2)   x   x   x    2x   x 2x  2x   x 2x  1,  : x  1   x   x   x   y  Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm cần tìm S  ( x; y)  (1; 0)  766 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848  y x.(1  x  1)  y   y  BT 657 Giải hệ phương trình:  ( x; y   ) 4y  1 4 3  8  xy xy   y   y Từ phương trình thứ hệ, suy ra: x  0, y   Lời giải Điều kiện:   y  xy  .v n   4y  1 34 1 Từ phương trình hai, suy ra:     xy  3y   y  xy  Suy ra: y  om   4y     2     4y    3y   y   xy   y   y   1  Do điều kiện  y  x  4 1   1 y y y2 ok c Chia hai vế phương trình cho y , được: x  x x2   bo 1  f ( x)  f    Do hàm đơn điệu tăng  nên x   xy  y y Thế vào phương trình hai được: 4.( y  1)  (  3y  2)  (  y  1)    0  ( y  1)       y 1  y  1  y    y 1 et 3.( y  1)  3y  vi  4( y  1)  Suy ra: y   x  ng Kết luận: So với điều kiện, hệ có nghiệm ( x; y)  (1;1)  kh a   x  xy  y  y BT 658 Giải hệ phương trình:    3x   y   (1) (2) ( x; y   )  Lời giải Điều kiện: x    Do y  khơng nghiệm hệ nên: x x x (1)      y  y  f    f ( y) y y y chia cho: y 0 Xét hàm số f (t)  t  t có f (t)   3t  0, t , nên f (t ) đồng biến  x x Suy ra: f    f ( y)   y  x  y  Thế vào phương trình (2) được: y y 767 Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn  x   y  1 (2)  3x   x    (3x  1)( x  3)   x     x  33  y   33   Kết luận: So điều kiện, tập nghiệm S  ( x; y)  (1;1);(33;  33);(33; 33)   2 x y  y  x  x BT 659 Giải hệ phương trình:   ( x  2) y   ( x  1) (1) (2) ( x; y   )  Lời giải Điều kiện: y  1 Do x  khơng nghiệm nên: v n y y y chia cho: x3 0 (1)       x  x3  f    f ( x) x x x Xét hàm số f (t)  2t  t có f (t)   3t  0, t , nên f (t ) đồng biến  om y y Suy ra: f    f ( x)   x  y  x2  Khi đó: x x   c (2)  ( x  2)  x2   ( x  1)2  ( x  2)2 ( x2  1)  ( x  1)4  x    y    ok Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm cần tìm S  ( x; y)  ( 3; 3);(  3; 3)  2  x  x y  x  x  y  BT 660 Giải hệ phương trình:  3 2   x  y  6( x  3y)  15  x  bo (1) (2)  Lời giải Tập xác định: D   et (1)  ( x2  1)  ( x  y  1)   y  x  vào (2), ta được: vi (2)  ( x  1)3  3( x  1)  ( x2  2)3  3 x2   f ( x  1)  f ( x2  2) ng Xét hàm số f (t)  t  3t có f (t)  3t   0, t , nên f (t ) đồng biến  Suy ra: f ( x  1)  f ( 6x2  2)  6x2   x   x3  9x2  3x  kh a  ( x  1)3  2( x  1)3  x   2.( x  1)  x  1 1 y 1   1  ;  Kết luận: Tập nghiệm cần tìm hệ S  ( x; y)   3        2 y  x  x   x  y BT 661 Giải hệ phương trình:    y   x  xy  x (1) (2) ( x; y   )  Lời giải Điều kiện: 1  x  (1)  y3  y  2(1  x)  x   x  f ( y)  f (  x ) Xét hàm số f (t)  2t  t có f (t)  6t   0, t , nên f (t ) đồng biến  768 khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 Suy ra: f ( y)  f (  x )   x  y  Thế vào (2)   x  2x2   2x  x2 () đặt x  cos  ,   0;    0;   3  ()  sin  cos 2  sin 2          10 sin  sin      4   Suy ra: x  cos 3 3  y  sin  10 10 ( x; y   ) c  Lời giải Điều kiện: x  2; y   (1) (2) om  ( x  3)  x  y  y BT 662 Giải hệ phương trình:   x  3y   x  v n  3 3  Kết luận: So điều kiện, nghiệm hệ phương trình  x; y    cos ; sin   10 10   ok (1)   x  (  x )3  y   ( y  1)3  f (  x )  f ( y  1) Xét hàm số f (t)  t  t có f (t)   3t  0, t , nên f (t ) đồng biến  bo Suy ra: f (  x )  f ( y  1)   x  y   x   y (2)   y  y   5, (i) Đặt a   y ; b  y   ng vi et   185  23 65 3  65 x   a  2b  a  a   x     16 (i)        b  y  a  b   23  65    b   y  233  23 65   32   kh a    185  23 65 233  23 65   Kết luận: Tập nghiệm hệ S  ( x; y)  ( 1; 2);  ;    16 32      2 3   x  y  x  x  y  y y  1.( x  x ) BT 663 Giải hệ PT:  3   x  x  x   x.( y  1)  (1) (2) y     x  x    Lời giải Điều kiện:  (1)  ( x  x )2  ( y y  1)2  2.( x  x ).y y   x  x  ( y  1)3  y   x   f ( x )  f ( y  1)  x  y       x  ( y  1) 769 Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn (2)  x4  x3  x2   x3   x4  x3  x2   x3  x2   x2  ( x  1).( x3  x  1)     ( x4  x3  x2  1)         2 x3  x2   x2    x  x    x  x   y  x   y  Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm cần tìm S  ( x; y)  (0;1);(1; 2)   x  y  ( y  x)( xy  2)  BT 664 Giải hệ phương trình:  2  x  y  (1) (2) ( x; y   ) v n  Lời giải Điều kiện: x  0, y  Thế  x2  y vào (1), ta được: (1)  x  y  ( y  x)( xy  x2  y )  y  x3  x3  x  y  y om  f ( x)  f ( y)  x  y (2)  y2   y   x  .c Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm hệ S  ( x; y)  (1;1)  ok   x2 y  x4 y  x4 (1  x2 )  y  BT 665 Giải hệ phương trình:  3  1   ( x  y)  x ( x  x  y ) (i) bo  Lời giải Điều kiện:  2x2 y  x4 y2  (1) (2) Lấy (1)  (2)   (1  x2 y2 )2    ( x  y)2  ( x3  y2 )2 (ii ) vi et   (1  x2 y )2  x4  x6  y   (i )   2  1   ( x  y)  x  x  x y  kh a ng 1  x y   (1  x2 y )2  x     Do  nên (ii ) có nghiệm   x  y    y  x3  y 1   ( x  y)2  ( x3  y )2   Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm hệ ( x; y)  (1;1)  4  x  y   x   y  BT 666 Giải hệ phương trình:  2   x  x  x    x  y   Lời giải Điều kiện: x3  x2  4x   0, y  2; x  1; x  y  (2)  x2  4.( x   3y  6)  có x2   nên  x   3y   (i ) (1)  x   3y   770 (ii ) (1) (2) khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848 x  x    (i),(ii)  dấu "  " xảy   x  y   y  Kết luận: So với điều kiện, nghiệm hệ cần tìm ( x; y)  (0;1)     6 x  x    x    x   x  x BT 667 Giải hệ phương trình:    x  10  x  y  (1) (2)  Lời giải Điều kiện:  x  10 x3  6x   .v n (1)  6x2 x3  6x   ( x2  2x  6)  ( x3  4) Cauchy Mà: Cauchy x3 x3 x3 x3    33    x3   3x3 2 2 om Ta có: ( x2  x  5)  ( x  1)  ( x  1)( x2  x  5)  x2  2x   x3  6x  c Lấy vế nhân vế, suy ra: ( x2  2x  6)  ( x3  4)  6x2 x3  6x  ok x2  x   x   Dấu đẳng thức xảy   x   y    x  bo Kết luận: So với điều kiện, nghiệm hệ ( x; y)  (2;  ) vi et  x2  y 2 3       x  y   xy BT 668 Giải hệ phương trình:  y x    ( x  xy  3x )  2( x  y  3)  x  y  2 y 3 x ng  Lời giải Điều kiện:     x  y   0; x  0; y  3 kh a Phương trình thứ  2x2  xy  y  (2x  3y)x.( x  y).y  (4 y2  4xy)  (2x2  3xy)  (4 y  4xy)  (2x2  3xy) (1) Đặt a  y2  4xy; b  2x2  3xy (1)  a  b  ab  a  b Suy ra: y2  4xy  2x2  3xy  x  y y  2x Phương trình hai, suy ra: x  y   2( x  y  3)  x  y   x( y  3)  2( x  y  3)  ( x  y  3)2  Do x  y3 0x y3 (2) x  y  y  2 x x  x    Từ (1), (2), suy ra:    x  y  x  y  y   y  2 771 Tư sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vơ tỷ – ThS Lê Văn Đồn Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm hệ ( x; y)  (4;1)  ( x  y  1)( x  y  xy  1)  12 xy BT 669 Giải hệ phương trình:  2   y 3x  x   x  y  y  xy  (1) (2) 1  x    y  2 Với ( x  y  1)  ( x  y   xy)  : hệ cho vơ nghiệm  Lời giải Điều kiện: Ta lại có: 1    x  y  x  y   xy 12 1     x  y  x  y   xy x  y  ( x  y  2)2 v n Với ( x  y  1)  ( x  y   xy)  0, đó: (1)  om Xét f (t )   1; 3 , với t  x  y  được: f (t )  f (3)   t (t  1)2 12 c x   y  Dấu đẳng thức xảy   x  y  x  y   ok Kết luận: So với điều kiện, nghiệm hệ cần tìm S  ( x; y)  (1;1)  et bo  y y4 x    ( x  y )2 BT 670 Giải hệ phương trình:  x  y ( y  x ) ( x; y   )   y  x   32( x  y  1) y   Lời giải Điều kiện: x  1, y  ng vi Phương trình thứ   x    1 y    y   1   x   x 1 y kh a  x a   y  Đặt  b  y   Phương trình  1   2  ab ( a  1) (b  1)  a  Cauchy Schwarz ( ab  1)    ( a  1)2    b    Ta có:  Cauchy Schwarz  b ( ab  1)     (b  1)2    a  772 ()  khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821 – 0903 906 848  b    a  b ab   ( a  1)     a   (b  1)2 a  b ab  Cộng vế theo vế được: 1 ab    2 ( a  b)  (1  ab)  ab ( a  1) (b  1) () Thế vào phương trình thứ hai được: v n  a ab  b Từ () (), suy dấu đẳng thức xảy   a  b   x  y2 b ab   a y  y   32.( y  1)2 y  om  y  y   2.(4 y  4)5 Đặt u  y   giải phương pháp c  25  hàm số nghiệm u  1, suy ra: ( x; y)   ;    16  kh a ng vi et bo ok  25  Kết luận: So với điều kiện, nghiệm cần tìm hệ ( x; y)   ;    16  773