Các dạng bài số phức và các phép toán trên số phức – Lê Văn Đoàn

Tài liệu gồm 40 trang tóm tắt lý thuyết số phức cơ bản và tuyển chọn các bài tập tự luận – trắc nghiệm về dạng đại số của số phức và các phép toán trên số phức, có đáp án và hướng dẫn giải. Tài liệu được biên soạn bởi thầy Lê Văn Đoàn. Các dạng bài tập số phức được đề cập bao gồm: + Dạng 1. Tìm các số thực x và y thỏa các điều kiện sau (nhóm sử dụng 2 số phức bằng nhau) + Dạng 2. Nhóm bài toán tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và môđun của z, w (loại 1) + Dạng 3. Nhóm bài toán tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và môđun của z (loại 2) + Dạng 4. Nhóm bài toán tìm các số phức z thỏa mãn biểu thức số phức là số thực, số thuần ảo + Dạng 5. Nhóm bài toán lấy môđun hai vế của đẳng thức số phức (đề cần tính |z| hoặc P(|z|) + Dạng 6. Nhóm bài toán chuẩn hóa số phức + Dạng 7. Nhóm bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức

Chuyên đề

§ 1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC



1 Định nghĩa

— Đơn vị ảo: Số i mà i  2 1 được gọi là đơn vị ảo

— Số phức z  a bi với a b  , . Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức z

— Tập số phức {a bi a b| , ; i2  1}. Tập số thực 

Ví dụ Số phức z  3 2i cĩ phần thực là ………… phần ảo là …………

Đặc biệt:  Khi phần ảo b    0 z a  z là số thực  Khi phần thực a   0 z bi z là số thuần ảo  Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo 2 Hai số phức bằng nhau Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau a c a bi c di b d           với a b c d  , , , . Ví dụ Tìm các số thực x y, , biết rằng (2x  1) (3y2)i (x2) ( y4) i Giải Từ định nghĩa, ta cĩ:

x y                    3 Biểu diễn hình học của số phức Điểm M a b( ; ) trong hệ trục tọa độ vuơng gĩc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z  a bi Ví dụ Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta cĩ: Điểm A biểu diễn cho số phức: ………

Điểm B biểu diễn cho số phức: ………

Điểm C biểu diễn cho số phức: ………

Điểm D biểu diễn cho số phức: ………

4 Mơđun của số phức

Giả sử số phức z  a bi được biểu diễn bởi điểm M a b( ; ) trên mặt phẳng tọa độ

— Độ dài của véctơ OM



được gọi là mơđun của số phức z và được

kí hiệu là z Khi đĩ: z  OM  abi  a2 b2

— Kết quả:   z ta cĩ: z 0, z   0 z 0, z2  z 2 và

z z

SỐ PHỨC

4

3 2 1

O D

C

B

A y

x

-3 -2 -1

-3 -2 -1 1 2 3

y

x

M b

a O

Ví dụ Tìm môđun của các số phức sau:

— Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z đối xứng với nhau qua trục Ox

— Từ định nghĩa, ta có các kết quả sau:

— Phép nhân số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức, rồi thay i  2 1 trong kết

y

x

z = a - bi

z = a + bi

Bài tập vận dụng

BT 1 Tìm các số thực x và y thỏa các điều kiện sau (nhĩm sử dụng 2 số phức bằng nhau)

Nhận xét: Ở trên đã sử dụng kết quả của hai số phức bằng nhau nếu phần thực và

phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

b) (1 2 ) i x  (1 2 )y i  1 i ĐS: x 1, y1

c) 3x2iyix5y  7 5 i ĐS: x  1, y 2

1

i i

BT 2 Nhĩm bài tốn tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và mơđun của z, w (loại 1)

2 5

 Về phương pháp tự luận, để thực hiện phép chia 2 số phức, ta cần nhân thêm số

phức liên hợp của mẫu số, chẳng hạn trong lời giải trên có

12

i i

i i



 



 sẽ được kết quả 2i, nghĩa là tìm được

số phức z  2 i. Các phép toán còn lại thao tác tương tự trên casio

b) z (24 )i 2 (1 3 ).i  i ĐS: z  8 6 i

d) (1i z) (2  i) 4 5 i ĐS: z  3 i

e) wz12z2 biết rằng z1  1 2 , i z1  2 3 i ĐS: w  3 8 i

f) wz z1 2 biết rằng z1  2 5 , i z2  3 4 i ĐS: w267 i

g) 9 7

3

i

i



h) (1i) (22 i z)   8 i (12 ) i z ĐS: z  2 3 i

BT 3 Nhóm bài toán tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và môđun của z (loại 2) a) Cho số phức z thỏa mãn (23 )i z  (1 2 )i z  7 i. Tìm môđun của z Lời giải tham khảo Gọi z  a bi   z a bi a b ( ,  ) Ta có (23 )i z  (1 2 )i z   7 i (23 )(i abi) (1 2 )(i abi) 7 i 2 2 2a 2bi 3ai 3bi a bi 2ai 2bi 7 i           (a5 ) (b  a3 )b i 7 i 2 2 5 7 2 2 2 2 ( 1) 5 3 1 1 a b a z i z i a b b                               Phần thực của số phức z là 2, phần ảo bằng 1, số phức liên hợp z  2 i Nhận xét: Khi bài toán yêu cầu tìm các thuộc tính của số phức (phần thực, phần ảo, môđun hoặc số phức liên hợp) mà đề bài cho giả thiết chứa hai thành phần trong ba thành phần , , z z z thì ta sẽ gọi số phức z  a bi z  a bi, z  a2 b2, với a b  , , rồi sau đó thu gọn và sử dụng kết quả hai số phức bằng nhau, giải hệ b) 2ziz  2 5 i ĐS: z  3 4 i

d) 2z 3(1i z)  1 9 i ĐS: z  2 3 i

e) (3z z)(1 i) 5z 8i 1 ĐS: z  3 2 i

f) (23 )i z (4i z)   (1 3 ) i 2 ĐS: z   2 5 i

g) (32 )i z 5(1i z)  1 5 i ĐS: z  1 i

h) (3i z) (12 )i z  3 4 i ĐS: z  2 5 i

i) (12 )i z2  z 4i20 ĐS: z  4 3 i

j) z2  z 0 ĐS: z 0; z  i

k) z (z 3)i 1 ĐS: z  3 4 i

l) z  z 10 và z 13 ĐS: z  5 12 i

m) z (2i)  10 và z z  25 ĐS: z  3 4 , i z 5.

n) z  1 2i  z   và 2 i z  1 5 ĐS: 2 2 1 z i z i          

o) z 2 2 z z  z 2  và 8 z  z 2 ĐS: z  1 i z,  1 i

p) w  1 iz z2 với z (2i z)   5 i ĐS: w 3 i

q) w z 2z với (1i z) 2iz  5 3 i ĐS: w 6 i

r) z  1 (1i)(1i)2 (1i)3         (1 i) 20 ĐS: z (210 1)i2 10

BT 4 Nhóm bài toán tìm các số phức z thỏa mãn biểu thức số phức là số thực, số thuần ảo a) (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 44) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z   2 i 2 2 và (z 1)2 là số thuần ảo ? Lời giải tham khảo Gọi z  a bi a b ( ,  ) Ta có (z1)2 z2 2z  1 (abi)2 2(a bi) 1 2 2 2 2 2 2 (z 1) a 2abi b i 2a 2bi 1 (a b 2a 1) (2ab 2 )b i               Vì (z 1)2 là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0, nghĩa là có: 2 2 2 1 0 ( 1)2 2 0 a b  a   a b  (1)

Ta có z   2 i 2 2  a bi  2 i 2 2  (a 2)(b1)i 2 2 2 2 2 2 (a 2) (b 1) 2 2 (a 2) (b 1) 8           (2)

Từ (1),(2)  hệ phương trình

1

( 1)

  









0

1

a

b

a



       

             



         

Có ba số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là z  i z,   1 3(2 3) i

Nhận xét: Số phức z  a bi được gọi là số phức thuần ảo  phần thực a 0 và z

là số thực  phần ảo b 0

c) z  2 và z2 là số thuần ảo ĐS: 1 1 z i z i          

d) z  i 2 và (z 1)(z  là số thực i) ĐS: z 1, z   1 2 i

e) 2z z  13 và (12 )i z là số thuần ảo ĐS: z   (2 i)

f) (z1)(z 2 )i là số thực và z  1 5 ĐS: z 2 , i z  2 2 i

g) z  z 6 và z2 2z 8i là số thực ĐS: z  3 2 i

h) z 3i  1 iz và 9 z z  là số thuần ảo ĐS: 2 5 2 z i z i         

BT 5 Nhóm bài toán lấy môđun hai vế của đẳng thức số phức (đề cần tính |z| hoặc P(|z|)

a) Cho số phức z thỏa mãn z  4 (1i z) (43 ) z i Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A 0 z  1 B 1 z  3 C 3 z 10 D 10 z 50

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết, ta có z  4 z i z 4i 3iz (13 )i z z 4  z 4i

Lấy môđun hai vế, được (13 )i z  z 4  z 4i

  2 2   2 2

Nhận xét: Lấy môđun hai vế của một biểu thức số phức thực ra là việc sử dụng phép kéo

theo của hai số phức bằng nhau z1 z2  z1  z2 Do đó ta chỉ được thực hiện được

nó khi biểu thức giả thiết của bài toán được đưa về các dạng chuẩn sau:

 abi c di, với a b c d  , , ,

 (abi z)  c di hoặc (abi z)  c di với a b c d  , , ,

 a bi

z

hoặc a bi

z

với a b c d  , , ,

Ta thường sử dụng các tính chất z  z , .z z  z2  z 2 và z z1 2  z1.z2

b) Tìm môđun của số phức z thỏa mãn 2z  2 (1i z) (2z 2) i

c) Cho số phức z  thỏa mãn (20 z  3 )i z  3 2i 26 0     Tính giá trị của z .

d) Cho số phức z  thỏa mãn 0 1 i (2 3 )2i z 2 i.

  Tính giá trị của z

e) Cho số phức z  thỏa mãn 0 (1 2 )i z 10 i 2 z     Tính giá trị của z

f) Cho số phức z  thỏa mãn 0 (2 3 )i z 26 3 2 i z     Tính giá trị của z

g) Cho số phức z  thỏa mãn 0 (1 3 )i z 4 10 3 i z     Tính P  z 4  z2

BT 6 Nhóm bài toán chuẩn hóa số phức

a) Cho các số phức z1 0, z2 0 thỏa mãn z1  z2  z1z2 Tính giá trị của biểu thức

P

   

    

Lời giải tham khảo

Có



2

1

2

3 2

a

b

 





Kiểm tra z1  z2  z1z2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Khi đó

casio

1

P

     

     

        

     

là kết quả cần tìm

b) Cho hai số phức z1 0, z2 0 thỏa mãn z1z2 5z1  z2 Gọi a b, lần lượt là

phần thực và phần ảo của số phức wz z1 2. Tính a2 b2

c) Cho các số phức z z1, 2 thỏa mãn z z  1 2 1 và z1  z2 1 Tìm phần ảo của số phức 1 2 1 2 w 1 z z z z    

d) Cho các số phức z1 0, z2 0 thỏa mãn 2 1 2 2 1 2z z 2z2 0 z    Tính 1 2 2 1 z z P z z   

BT 7 Nhóm bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức

Vì số phức z  a bi được biểu diễn bởi điểm M a b( ; ) trên mặt phẳng tọa độ Do đó ta

có thể xem véctơ OM ( ; )a b cũng biểu diễn cho số phức z Nghĩa là có thể sử dụng bất

đẳng thức véctơ trong phép toán max – min của số phức

Cho ba véctơ u ( ; ), a b v ( ; ), x y w ( ; )m n và khi đó:

 uv  u v Dấu "" xảy ra u v,  cùng chiều a b

a  b

 u  v  uv Dấu "" xảy ra u v,  cùng chiều a b

a  b

 u v  u v . Dấu "" xảy ra u v,  cùng chiều a b

a  b

 u  v  w  u v w Dấu "" xảy ra a x m

Các bất đẳng thức cổ điển thường được sử dụng:

 Bất đẳng thức Cauchy:

 Với a b , 0 thì:

2

ab

Dấu "" xảy ra   a b 0

 Với a b c , , 0 thì: 3

3

abc

Dấu "" xảy ra    a b c 0

 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiacôpxki):

 Ta có thể sử dụng phương pháp hàm số (hoặc tam thức) để tìm max – min

 Ngoài ra còn sử dụng phương pháp hình học (sẽ tìm hiểu kỹ ở bài học 2)

a) Cho số phức z thỏa z 3 4i  4 Tìm giá trị lớn nhất Pmax của P  z

Bài giải tham khảo Cách giải 1 Áp dụng bất đẳng thức uv  u  v, hay z1 z2  z1 z2

Ta có 4  z 3 4i  z (34 )i  z  3 4i  z  5 P  z  9

Vậy giá trị lớn nhất của P là Pmax 9

Cách giải 2 Sử dụng lượng giác hóa

4cos4

x y

40 24 sin 32 cos 40 1 41 24 sin 32 cos 81

1 41 24 sin 32 cos 9

     Pmin 1 và Pmax 9

Cách giải 3 Sử dụng phương pháp hình học (sẽ tìm hiểu rộng ở bài học 2)

Gọi z  x yi x y ( ,  ). Ta có z  3 4i 4  (x 3)(y4)i  4

     Do đó tập hợp biểu diễn số phức z là một đường tròn

có tâm I(3; 4), bán kính R 4.

max

1



Để tìm z có môđun lớn nhất và z có môđun nhỏ nhất chính

là tọa độ hai điểm M M1, 2 cũng là tọa độ giao điểm của

đường thẳng OI và đường tròn

Đường thẳng OI qua O(0; 0) và có VTCP là OI  (3; 4)



x y     

      

Nhận xét: Cách 2 và 3 tổng quát hơn, có thể tìm P max và P min cùng một lúc Tùy vào yêu

cầu của bài toán mà ta chọn phương pháp cho phù hợp cho trắc nghiệm hoặc tự luận

b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  4 3i  Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 z

c) Cho số phức z thỏa z2 i 1. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P  z

d) Trong các số phức thỏa mãn z  2 4i  z 2 ,i tìm số phức có môđun nhỏ nhất ?

Bài giải tham khảo

Gọi z  x yi x y ( ,  ). Từ điều kiện  x yi 2 4i  x yi2i

      

Cách giải 1 Sử dụng tam thức bậc hai

Ta có z  x2 y2  x2 (4x)2  2x2 8x 16  2(x 2)2  8 2 2

z

  và dấu "" xảy ra khi và chỉ khi x     y 2 z 2 2 i

Cách giải 2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu





Ta có

2 2



z

  và dấu "" xảy ra khi và chỉ khi x     y 2 z 2 2 i

Cách giải 3 Sử dụng hình học

Tập hợp biểu diễn số phức z là đường d x:   y 4 0

Số phức có môđun nhỏ nhất  z min OH và số phức cần

tìm chính là tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm O lên d

Vì OH d x:    y 4 0 OH x:  y m 0

Do O(0; 0)OH m  0 OH x:  y 0. Tọa độ điểm H  d OH thỏa mãn

2

e) Trong các số phức thỏa mãn z  i z  2 3 ,i tìm số phức có môđun nhỏ nhất ?

f) Trong các số phức thỏa mãn iz   3 z 2 i , tìm số phức có môđun nhỏ nhất ?

g) Trong các số phức thỏa (z1)(z 2 )i là số thực, tìm số phức có môđun nhỏ nhất ?

h) Trong các số phức thỏa mãn z   1 z i , tìm môđun nhỏ nhất min w của số phức 2 2 w  z i

i) Cho các số phức z w, thỏa mãn z  2 2i  z 4i và w iz 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của w

j) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 2 của biểu thức z i P z    A 3 4 B 1 C 2 D 2 3

k) Cho số phức z thỏa mãn z   3 z 3 8. Gọi M m, lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z Tìm M m A 4 7 B 4 7 C 7 D 4 5

l) Cho số phức z thỏa z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 P   1 z 3 1z Lời giải tham khảo Gọi z  x yi x y ( ,  ). Từ giả thiết z  1 x2 y2  1 x2 y2  1 y2  1 x2    0 x [ 1;1] Ta có P   1 z 3 1 z (1x)yi 3 (1x)yi 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 3 (1 ) ( 1) 1 3 (1 ) 1 P x y x y x x x x                2(1 ) 3 2(1 ) P x x      Xét hàm số P  f x( ) 2(1x)3 2(1x) trên đoạn [ 1;1] có: 1 3 ( ) , ( 1;1) 2(1 ) 2(1 ) f x x x x         Cho 4 ( ) 0 ( 1;1) 5 f x      x Tính 4 ( 1) 6, (1) 2, 2 10 5 f   f  f       Suy ra maxP 2 10. Dấu "" xảy ra 4 3 4 3 5 5 5 5 x y z i           Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức ax by  (a2 b2)(x2 y2) 2 2 2 2 1 ( 1) 3 (1 ) P  x  y  x y 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 3 ) ( 1) (1 ) 20( 1) 2 10 P  x y x y  x y               Lưu ý: Ta có thể sử dụng phương pháp hình học sẽ ngắn hơn (bài học 2) BT 8 Cho số phức z z1, 2 thỏa z1 0, z2 0, z1 z2  0 và 1 2 1 2 1 1 2 z z  z z   Tính 1 2 z z  A 1

2 2 2 z z   B 1 2 3 2 z z   C 1 2 2 3 z z  D 1 2 2 3 z z  