Tài liệu Các phép biến hình trong mặt phẳng của thầy Nguyễn Hữu Biển gồm 55 trang bao gồm tóm tắt lý thuyết, công thức cần nắm, các ví dụ mẫu và bài tập rèn luyện đầy đủ các dạng của các phép dời hình và phép đồng dạng trong chương trình Toán 11.
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 1: PHÉP TỊNH TIẾN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo v = (a;b) phép biến hình, biến điểm M thành M’ cho MM ' = v M’ Ký hiệu: Tv ( M ) = M ' Tv : M → M ' v Tính chất ĐỊNH LÝ M Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N thành hai điểm M’ N’ M′N′=MN ĐỊNH LÝ Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm HỆ QUẢ - Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với - Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng với - Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác - Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn - Phép tịnh tiến biến góc thành góc … Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho v = ( a;b ) ;M ( x;y ) ;M ' ( x';y ') Khi phép tịnh tiến : Tv ( M ) = M ' có biểu thức tọa x ' = x + a độ : y ' = y + b y' M' b y O M a x x' II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Xác định ảnh điểm hình qua phép tịnh tiến tính toán Bài 1: v = ( −1;2); A(3;5);B( −1;1);d : x − 2y + = Tìm tọa độ điểm A’, B’ theo thứ tự ảnh A, B qua phép tịnh tiến v Tìm tọa độ điểm C cho A ảnh C qua phép tịnh tiến v Tìm phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến v Hướng dẫn: x A' = x A + x v = − = Tv (A) = A ' ⇒ ⇒ A '(2;7) y A' = y A + y v = + = Tương tự có : B’(-2;3) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG = xC − xC = x A = xC + x v Tv (C) = A ⇒ ⇔ ⇔ ⇒ C(4;3) = + = + = y y y y y C C C v A x ' = x − x = x'+ Cách 1: Giả sử M(x;y) ∈ d, Tv (M) = M '(x ';y ') ∈ d' ⇒ ⇒ y ' = y + y = y '− ⇒ M(x'+ 1;y '− 2) ∈ d ⇒ x'− 2y '+ = Vậy : d’ có phương trình: x - 2y + = Cách 2: Tv (d) = d ' ⇒ d'/ /d ⇒ d ' : x − 2y + c = x M' = −3 − = −4 + Chọn M(-3;0) ∈ d ⇒ Tv (M) = M ' ⇒ ⇒ M '( −4;2) yM' = + = + M ' ∈ d ' ⇒ −4 − 2.2 + c = ⇔ c = ⇒ d' : x − 2y + = Bài 2: d cắt Ox A(-4;0), cắt Oy B(0;5) Hãy viết phương trình tham số d’ ảnh d qua phép tinh tiến v = (5;1) Hướng dẫn: + Chọn U d = AB = (4;5) + Vì Tv (d) = d ' ⇒ U d' = U d = (4;5) x A' = x A + = + Gọi Tv (A) = A ' ⇒ ⇒ A '(1;1) y A' = y A + = x = + 4t + Vì A ∈ d ⇒ A ' ∈ d ' ⇒ d ' : (t ∈ R) y = + 5t Bài 3: 2 Cho (C) : ( x − ) + ( y − 1) = Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép tịnh tiến v = ( −2;2) Cho (C) : x + y − 2x + 4y − = Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép tịnh tiến v = ( −2;3) Hướng dẫn: Cách 1: + (C) có tâm I(2;1); bán kính R = + Tv (C) = C' ⇒ R C' = R = x I' = x I + ( −2) = + Tv (I) = I ' ⇒ ⇒ I '(0;3) y I' = y I + = + Vậy (C') : ( x − ) + ( y − ) = Cách 2: 2 x' = x − x = x'+ + Gọi Tv ( M(x;y) ∈ (C) ) = M '(x ';y ') ∈ (C') ⇒ ⇒ ⇒ M(x'+ 2;y '− 2) y ' = y + y = y '− + M ∈ (C) ⇒ x'2 + ( y '− ) = ⇒ (C') : x + ( y − ) = 2 Tương tự ta có (C') : ( x + 1) + ( y − 1) = 2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 4: Cho A(2;3);B(1;1); v = (3;1) Tìm tọa độ A’, B’ tương ứng ảnh A, B qua Tv Tính độ dài vectơ AB; A 'B' Hướng dẫn: x A' = x A + = + = + Tv (A) = A ' ⇒ ⇒ A'(5;4) y A' = y A + = + = + Tương tự ta có: B’(4;2) + AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2 = ⇒ A 'B ' = AB = (tính chất phép tịnh tiến) Bài 5: Cho U = (1;3);V = (2;1);M(x;y) Tìm tọa độ M1 ảnh M qua TU Tìm tọa độ M ' ảnh M1 qua TV Tính tọa độ vectơ MM ' So sánh MM ' vectơ t = u + v Hướng dẫn: x M1 = x M + = x + 1 ⇒ M (x + 1;y + 3) y M1 = y M + = y + x M ' = xM1 + = x + ⇒ M '(x + 3;y + 4) y M ' = y M1 + = y + MM ' = (3;4) ⇒ MM ' = t Có t = u + v = (3;4) Bài 6: Giải toán sau cách sử dụng phép tịnh tiến: “Xác định tọa độ đỉnh C D hình bình hành ABCD, biết A(-1;0); B(0;4) giao điểm đường chéo I(1;1)” Hướng dẫn: A(-1;0) B(0;4) xC = x I + (xI − x A ) = ⇒ C(3;2) + Ta có : TAI (I) = C ⇒ y C = y I + (y I − y A ) = + Tương tự: D(2;-2) I(1;1) D C Bài 7: Cho v = ( −2;1);d : 2x − 3y + = 0;d1 : 2x − 3y − = 1) Viết phương trình d ' = Tv (d) 2) Tìm tọa độ w có phương vuông góc với d để d1 = Tw (d) Hướng dẫn: 1) Đáp số: d’: 2x - 3y + 10 = 2) d1 M’ d w M Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Vì w có phương vuông góc với d nên w = k.nd = ( k.2;k.( −3) ) x M ' = x M + x w = 2k + Chọn M(0;1) ∈ d ⇒ Tw (M) = M ' ∈ d1 ⇒ ⇒ M '(2k; −3k + 1) y M ' = y M + y w = −3k + 16 24 + M ' ∈ d1 ⇒ 2.(2k) − 3.( −3k + 1) − = ⇔ k = ⇒ w = ;− 13 13 13 Bài 8: Cho (d): 3x - y - = Tìm phép tịnh tiến theo phương song song với trục Ox biến d thành d’ qua gốc tọa độ Hãy viết phương trình d’ Hướng dẫn: + Giả sử Tv (d) = d ' ⇒ d'/ /d ⇒ d ' : 3x − y + c = + Vì d’ qua gốc tọa độ ⇒ 3.0 − + c = ⇔ c = ⇒ d' : 3x − y = + Do v có phương song song với Ox ⇒ v = (a;0) x M' = x M + x v = + a ⇒ M '(3 + a;0) + Chọn M(3;0) ∈ d ⇒ Tv (M) = M ' ∈ d ' ⇒ y M' = y M + y v = + + M ' ∈ d ' ⇒ 3.(3 + a) − = ⇔ a = −3 ⇒ v = ( −3;0) Vậy phép tịnh tiến cần tìm Tv với v = ( −3;0) Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = ax Gọi T phép tịnh tiến theo vectơ u = (m; n) (P’) ảnh (P) qua phép tinh tiến Hãy viết phương trình (P’) Hướng dẫn x ' = x + m x = x '− m + Gọi M(x; y) ∈ (P), M '(x '; y ') = Tu (M) ⇒ ⇒ ⇒ M(x '− m; y '− n) y ' = y + n y = y '− n + Mà M ∈ (P) ⇒ y '− n = a(x '− m) ⇒ y ' = ax '2 − 2amx '+ am + n + Mặt khác ta có M '(x '; y ') ∈ (P ') ⇒ (P ') : y = ax − 2amx + am + n Bài 10: Cho đường thẳng ∆ : 6x + 2y − = Tìm vec tơ u ≠ để ∆ = Tu (∆ ) Hướng dẫn + Ta có VTCP đường thẳng ∆ U ∆ = (2; −6) = 2(1; −3) + Do ∆ = Tu (∆ ) ⇒ u phương với U ∆ ⇒ chọn u = (1; −3) Bài 11: Cho A(−5; 2), C(−1; 0) Biết B = Tu (A), C = Tv (B) Tìm mối quan hệ u v để thực phép tịnh tiến biến đổi A thành C Hướng dẫn + Ta có Tu (A) = B ⇒ AB = u, Tv (B) = C ⇒ BC = v ⇒ Tu + v (A) = C ⇒ AC = u + v = (4; −2) B u v A u +v C Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Bài 12: Cho điểm K(1; 2), M(3; −1), N(2; −3) vec tơ u = (2;3), v = (−1; 2) Tìm ảnh K, M, N qua phép tịnh tiến Tu Tv Hướng dẫn + Theo cách làm Bài 11, ta có: K ' = Tu + v (K) ⇒ K '(2; 7) Tương tự: M '(4; 4), N '(3; 2) Bài 13: Cho ∆ABC, A(3;0), B(−2; 4), C(−4;5) G trọng tâm ∆ABC phép tịnh tiến theo vectơ u ≠ biến A thành G Tìm G ' = Tu (G) Hướng dẫn A + Ta tính : G(−1;3) ⇒ TAG = ( −4;3) (A) = G ⇒ TAG =( −4;3) (G) = G ' ⇒ G '(−5; 6) G B C Bài 14: Cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y + 3) = 4, (C ') : x + y − 10x + 4y + 25 = Có hay không phép tịnh tiến vec tơ u biến (C) thành (C’) Hướng dẫn + Ta thấy (C) có tâm I(1;-3) bán kính R = 2, (C’) có tâm I’(5;-2) bán kính R’ = R = nên ta có phép tịnh tiến theo vec tơ u = II ' = (4;1) biến (C) thành (C’) Bài 15: Cho hình bình hành OABC với A(−2;1), B ∈ ∆ : 2x − y − = Tìm quỹ tích đỉnh C (biết O gốc tọa độ) Hướng dẫn + Do OABC hình bình hành nên TAO =(2;−1) (B) = C , mà quỹ tích B đường thẳng ∆ bên quỹ tích C đường thẳng ∆ ' = TAO =(2;−1) (∆) A(-2;1) B + Ta tìm ∆ ' : 2x − y − 10 = , quỹ tích C đường thẳng có O(0;0) phương trình 2x − y − 10 = DẠNG 2: Một số toán suy luận quỹ tích ∆:2x - y - = C Bài 1: Cho U1 ;U ;TU1 (M) = M ;TU2 (M ) = M ' Tìm v để Tv (M) = M ' Hướng dẫn: Theo đề bài, ta có: + TU1 (M) = M ⇒ U = MM + TU2 (M ) = M ' ⇒ U = M 1M ' M1 U2 U1 M M' V=U1+U2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + TV (M) = M ' ⇒ V = MM ' = MM + M 1M ' = U1 + U Vậ y V = U + U Bài 2: Cho d / /d ' Hãy phép tịnh tiến biến d thành d’ Hỏi có phép tịnh tiến ? Hướng dẫn: d d' + Chọn điểm cố định A ∈ d; A ' ∈ d ' + Xét điểm M tùy ý d Giả sử : A M A' M' TAA ' (M) = M ' ⇒ MM ' = AA ' ⇒ MA = M ' A ' ⇒ MA / /M ' A ' ⇒ M ' ∈ d ' + Do đó: TAA ' (d) = d ' Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d’ Bài 3: Cho đường tròn (O;R) (O’;R) Hãy phép tịnh tiến biến (O;R) thành (O’;R) Hướng dẫn: M M' + Đó phép tịnh tiến TOO' Chứng minh: Lấy M ∈ (O;R) Giả sử TOO ' (M) = M ' ⇒ MM ' = OO ' ⇒ OM = O 'M ' (quy tắc O' O hình bình hành) ⇒ O'M ' = OM = R ⇒ M ' ∈ (O';R) Bài 4: ∆ABC , G trọng tâm Xác định ảnh ∆ABC qua phép tịnh tiến AG Xác định điểm D cho TAG (D) = A Hướng dẫn: + Ta có: TAG (A) = A ' ⇒ AA ' = AG ⇒ A ' ≡ G A + TAG (B) = B' ⇒ BB ' = AG ⇒ AA 'B 'B hình bình hành + TAG (C) = C' ⇒ CC ' = AG ⇒ ACC'G hình bình hành Vậy TAG ( ∆ABC) = ∆A 'B'C' + Xác định D: TAG (D) = A ⇒ DA = AG ⇒ A trung điểm DG G A' B C G D A B' C' Bài 5: Cho điểm B, C cố định (O;R) A thay đổi đường tròn Chứng minh trực tâm H ∆ABC nằm đường tròn cố định Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hướng dẫn: A D O H B + Kẻ đường kính BD ⇒ ADCH hình bình hành (Vì AD // CD vuông góc AB; AH // DC vuông góc BC) ⇒ AH = DC ⇒ H = TDC (A) Mà A thay đổi đường tròn (O;R) ⇒ H thay đổi nằm đường tròn (O’;R) ảnh đường tròn (O;R) qua TDC C Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, điểm A, B cố định, tâm I di động đường tròn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh DC Hướng dẫn B K C I M A + Gọi K trung điểm cạnh AB ⇒ K cố định + Ta có TKI (I) = M , mà quỹ tích I đường tròn (C), quỹ tích M ∈ (C ') = TKI (C) D (C) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Phép đối xứng trục d phép biến hình biến điểm M thành M’ cho d đường trung trực MM’ d Ký hiệu: Đd(M) = M’ * Nhận xét: + Đd(M) = M’ ⇒ Đd(M’) = M + M ∈ d ⇒ Đd(M) = M M M’ Biếu thức tọa độ phép đối xứng trục qua Ox, Oy y x0 ' = − x0 + ĐOy(M) = M’ có biểu thức tọa độ: y0 ' = y0 M' M y0 -x0 x O x0 y x ' = x0 + ĐOx(M) = M’ có biểu thức tọa độ: y0 ' = −y0 y0 M x0 O -y0 x M' Tính chất phép đối xứng trục Tính chất Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách hai điểm Tính chất Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Trục đối xứng hình Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H phép đối xứng qua d biến H thành Khi đó, ta nói H hình có trục đối xứng II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép đối xứng trục tính toán Bài 1: Cho điểm M(1;3) Tìm tọa độ M’ ảnh M qua phép đối xứng trục Oy, tìm tọa độ điểm M’’ ảnh M’ qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG x ' = − x = −1 + ĐOy(M) = M’ ⇒ ⇒ M '( −1;3) y ' = y = x '' = x' = −1 + ĐOx(M’) = M’’ ⇒ ⇒ M ''( −1; −3) y '' = − y ' = −3 Bài 2: Cho đường tròn (C) : ( x − 1) + ( y − ) = Viết phương trình đường tròn (C') ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox Hướng dẫn: + Goi I; R tâm bán kính đường tròn (C); gọi I’;R’ tâm bán kính đường tròn (C’) Khi ta có R’ = R = I’ = ĐOx(I) + Dễ dàng tìm I’(1;-2) từ có phương trình đường tròn (C’) là: 2 (C') : ( x − 1) + ( y + ) = 2 Bài 3: Cho d : x−1 y + = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép đối xứng trục Oy Cho M(-3;2); ∆ : x + 3y − = 0;(C) : ( x + ) + ( y + ) = Tìm ảnh M; ∆ ; (C) qua Đa, a: x - 2y + = Cho d: x - 5y + = 0; d’: 5x - y - 13 = Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’ Cho d: x - 2y + = 0; d’: x - 2y + = Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’ Hướng dẫn: x ' = −x x = − x' + Gọi M(x;y) ∈ d , ĐOy(M) = M’ ⇒ ⇔ ⇒ M( − x';y ') y ' = y y = y ' − x '− y '+ + M∈d ⇒ = ⇔ 3x '+ 2y '+ = + Vậy d’: 3x + 2y + = Ý 1: a:x - 2y + = + Gọi M’ = Đa(M) ⇒ a đường trung trực MM’ + Đường thẳng MM’ qua M vuông góc với a ⇒ MM ' : 2x + y + = 2 + Gọi H = MM '∩ a ⇒ H ( −2;0 ) + H trung điểm MM’ ⇒ M '( −1; −2) M(-3;2) H M' Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Ý 2: a:x - 2y + = 8 + Lấy A(8;0);B 0; ∈ ∆ 3 + Gọi A’ = Đa(A); B’ = Đa(B) ⇒ A ', B ' + Gọi ∆ ' = Đa( ∆ ) ⇒ ∆ ' đường thẳng qua A’; B’ ⇒ ∆ ' : 3x − y − = Ý 3: a:x - 2y + = (C) I(-3;-2) I' ∆ ∆' A A' I B B' K + Giả sử (C’) = Đa(C), đường tròn (C) (C’) bán kính, tâm I’ đường tròn (C’) tương ứng ảnh tâm I đường tròn (C) qua phép đối xứng trục a + Từ ta tìm 2 21 2 21 I ' − ; ⇒ (C') : x + + y − = 5 5 + Ta thấy d; d’ không song song, trục đối xứng ∆ phép đối xứng trục biến d thành d’ phân giác d d’ có phương trình: x − 5y + 5x − y − 13 ∆1 : x + y − = = ⇔ Vậ y 2 2 ∆ : x − y − = + ( −5 ) + ( −1 ) ∆2 Đ ∆ (d) = d’; Đ ∆ (d) = d’ d d' + Ta thấy d // d’ , trục đối d xứng ∆ phép đối xứng trục biến d thành d’ đường thẳng song song cách d; d’ có phương trình: 5+ ∆ : x − 2y + = Vậy Đ ∆ (d) = d’ ∆1 d' DẠNG 2: Một số toán suy luận quỹ tích Bài 1: Cho A, B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm d điểm M cho tổng ( MA + MB ) Hướng dẫn: Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 10 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG BÀI HỌC 5: PHÉP VỊ TỰ (Phép biến hình biến nhỏ thành to - biến to thành nhỏ theo phương định) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I cố định số thực k không đổi Với điểm M mặt phẳng, phép biến hình biến M thành M’ cho IM ' = k.IM gọi phép vị tự tâm I, tỉ số k Ký hiệu: V( I;k ) (M) = M ' Chú ý: + Khi k > OM ';OM hướng (I tâm vị tự ngoài: I nằm M M’) + Khi k > OM ';OM ngược hướng (I tâm vị tự trong: I nằm M M’) (k > 0) I M M' I M' M (k < 0) Tính chất: V( I;k ) (M) = M ' M 'N ' = k.MN a Định lý 1: Nếu V (N) = N ' M 'N ' = k MN ( I;k ) b Định lý 2: Nếu M, N, P thẳng hàng theo thứ tự V( I;k ) : M, N, P → M ', N ', P ' thẳng hàng theo thứ tự c + Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với : ( V( I;k ) (d) = d' I ∈ d ⇒ d' ≡ d , I ∉ d ⇒ d / /d ' ) + Phép vị tự biến tam giác thành tam giác đồng dạng với CHÚ Ý: (1) Nếu V( I;k ) (M) = M ' M’ có quỹ tích hình (H) M có quỹ tích hình (H ') = V 1 I; k (H) (2) Với đường tròn (O1 ;R1 ) (O ;R ) bất kỳ, có phép vị tự V( I;k ) (O1 ;R1 ) = (O ;R ) , đó: (a) Tâm vị tự I xác định BẰNG CÁCH NHƯ SAU: (+) I tiếp điểm đường tròn (nếu đường tròn tiếp xúc nhau) (+) I tâm đường tròn (nếu đường tròn đồng tâm) (+) I giao điểm d đường nối tâm đường tròn (trong đường thẳng d qua M, N với M1 ∈ ( O1 ;R ) ;M ∈ ( O ;R ) ;O1M1 / /O M ) R (b) Tỉ số vị tự k xác định BẰNG (độ dài đại số tỉ số bán kính) R1 R (+) k = > I nằm đoạn O1O (I tâm vị tự ngoài) R1 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 41 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG (+) k = − R2 < I nằm đoạn O1O (I tâm vị tự trong) R1 TH1: Đường tròn ( O1 ;R1 ) tiếp xúc đường tròn ( O ;R ) ⇔ R + R = I1I d Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) M2 I1 ; R1 M1 ( I1 tâm vị tự ngoài, k > 0) + V I1 O1 I2 R2 I ;− R1 O2 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) ( I1 tâm vị tự trong, k < 0) TH2: Đường tròn ( O1 ;R1 ) tiếp xúc đường tròn ( O ;R ) ⇔ R − R1 = I1I d M2 M1 Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) I O2 I; R1 O1 ( I tâm vị tự ngoài, k > 0) TH3: Đường tròn ( O1 ;R1 ) không cắt đường tròn ( O ;R ) ⇔ R + R < I1I d Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) M'1 I1 ; R1 M2 I1 O1 I2 O2 ( I1 tâm vị tự ngoài, k > 0) + V R2 I ;− R1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) ( I1 tâm vị tự trong, k < 0) M1 TH4: Đường tròn ( O1 ;R1 ) cắt đường tròn ( O ;R ) ⇔ R1 − R < I1I < R1 + R Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 42 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG M2 d Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) M1 I1 ; R1 ( I1 tâm vị tự ngoài, k > 0) O1 I1 I2 O2 + V R2 I ;− R1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) ( I1 tâm vị tự trong, k < 0) M'2 TH5: Đường tròn ( O1 ;R1 ) đựng đường tròn ( O ;R ) ⇔ R1 − R > I1I M1 Có phép vị tự: + V R ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) I1 ; R1 M2 O1 ( I1 tâm vị tự ngoài, k > 0) I2 + V R2 I ;− R1 O2 I1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) ( I1 tâm vị tự trong, k < 0) d' d M'1 Chú ý: + Nếu đường tròn có tâm vị tự trung điểm đoạn thẳng nối tâm + Nếu đường tròn đồng tâm có tâm vị tự tâm đường tròn, nhiên R có tỉ số vị tự k = ± R1 Biểu thức tọa độ phép vị tự Xét phép vị tư V( I;k ) (M) = M ' , I(a;b); M(x;y); M’(x’;y’) ⇒ IM ' = k.IM ⇔ ( x'− a;y '− b ) = k ( x − a;y − b ) ⇔ ( x '− a;y '− b ) = ( kx − ka;ky − kb ) x'− a = kx − ka x' = kx + a(1 − k) ⇔ ⇔ y '− b = ky − kb y ' = ky + b(1 − k) x ' = kx + a(1 − k) Vậy V( I;k ) (M) = M ' có biểu thức tọa độ : y ' = ky + b(1 − k) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 43 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép vị tự tính toán Bài 1: 1) Cho A(1; - 3) Tìm tọa độ A' = V( O;k =−2) (A) 2) Cho (d): x + 2y + = Tìm phương trình d ' = V( I;k ) (d) biết I(1;2), k = Hướng dẫn: 1) A ' = V( O;k =−2) (A) ⇒ OA' = −2.OA ⇒ A '( −2;6) 2) Chọn M(-3;0), N(-1;-1) ∈ d Gọi M ' = V( I;k ) (M);N ' = V( I;k ) (N) ⇒ M '(2; −2);N '( −3; −4) ∈ d ' Từ lập phương trình d’: x + 2y + 11 = x'+ x= x ' = 2x − x '+ y '+ Cách khác: Gọi M(x;y) ∈ d, M ' = V( I;k ) (M) ⇒ ⇒ ⇒ M ; y ' = 2y − y = y '+ x'+ y '+ + + M∈d ⇒ + = ⇔ x'+ 2y '+ 11 = 0(*) + Gọi d ' = V( I;k ) (d) ⇒ M ' ∈ d ' , từ (*) ⇒ d’ : x + 2y + 11 = Nhận xét: + Nếu I ∉ d ⇒ d'/ /d + Nếu I ∈ d ⇒ d' ≡ d Bài 2: (Tương tự) Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm I, tỉ số k, biết 1) A(1;2);I(3; −1);k = (Đáp số: A'( −1;5) ) 2) B(2; −3);I( −1; −2);k = −3 (Đáp số: B'( −10;1) ) 3) C(8;3);I(2;1);k = (Đáp số: C'(5;2) ) 2 1 4 4) P( −3;2);Q(1;1);R(2; −4), I ≡ O,k = − (Đáp số: P ' 1; − ;Q' − ; − ;R ' − ; ) 3 3 3 Bài 3: 1) Cho điểm A(0 ; 3), B(2 ; -1), C(-1 ; 5) Tồn hay không phép vị tự tâm A, tỉ số k biến B thành C ? 2) Cho điểm A(-1 ; 2), B(3 ; 1), C(4 ; 3) Tìm phép vị tự tâm A, tỉ số k biến B thành C ? Hướng dẫn: −1 = k.2 ⇔k=− 1) Giả sử tồn V( A;k ) (B) = C ⇒ AC = k.AB ⇒ = k.( −4) Vậy tồn V (B) = C A;− 2) tương tự phần 1) Bài 4: Cho đường tròn (C) : x + ( y − 1) = Tìm phương trình đường tròn (C') = V( I;k ) ( C ) Hướng dẫn: + Ta thấy tâm vị tự I(0;1) đồng thời tâm đường tròn (C) ⇒ đường tròn (C’) có tâm I Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 44 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Do k = nên bán kính đường tròn (C’) gấp lần bán kính đường tròn (C) + Vậy (C') : x + (y − 1)2 = Cách khác: Gọi M(x;y) ∈ (C);M '(x ';y ') = V( I;k ) (M) ⇒ Bài 5: (tương tự) Tìm ảnh đường thẳng d qua phép vị tự tâm I, tỉ số k, biết: 1) d : 3x − y − = 0, I ≡ O;k = − (§S:d': 9x - 3y + 10 = 0) 2) d : 2x + y − = 0, I( −1;2);k = −2 (§S:d': 2x + y + = 0) Bài 6: (tương tự) Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k, biết: 1) (C) : ( x − 1) + ( y + ) = 5, I ≡ O;k = −2 (ĐS: (C') : ( x + ) + ( y − ) = 20 ) 2 2 2) (C) : ( x − ) + ( y + 1) = 5, I(1;2);k = −2 (ĐS: (C') : ( x + ) + ( y − ) = 20 ) 2 2 Bài 7: Tìm phép vị tự biến: x y 1) Đường thẳng d : − = thành d ' : 2x − y − = , biết V( O;k ) 2 2) Đường tròn (C1 ) : ( x + ) + y = thành ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = Hướng dẫn: 1) Có d: 2x - y - = // d’ x ' = k.2 + 0(1 − k) = 2k ⇒ M '(2k;0) + Chọn M(2;0) ∈ d , gọi M '(x ';y ') = V( O;k ) (M) ⇒ y ' = k.0 + 0(1 − k) = + Do d ' = V( O;k ) (d) ⇒ M ' ∈ d ' ⇒ 2.2k − − = ⇔ k = Vậy V (d) = d' O; 2) ( C1 ) có tâm I1 ( −4;0 ) , bán kính R1 = ; ( C2 ) có tâm I ( 2;3 ) , bán kính R = 2 + Ta thấy ( C1 ) ( C2 ) không đồng tâm nên có phép vị tự thỏa mãn yêu cầu toán: TH1: V R2 I; R1 TH2: V (C1 ) = (C ) ⇒ V R2 I; R1 R2 I;− R1 (C1 ) = (C2 ) ⇒ V (I1 ) = (I ) ⇒ II = R2 I;− R1 R2 II1 ⇒ I( −10; −3) R1 (I1 ) = (I ) ⇒ II = − R2 II1 ⇒ I( −2;1) R1 Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn : (C1 ) : ( x − 1) + ( y − ) = 1;(C2 ) : ( x − ) + ( y − ) = a) Xác định tọa độ tâm vị tự đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn Hướng dẫn: a) ( C1 ) có tâm I1 ( 1;3 ) , bán kính R = ; ( C2 ) có tâm I ( 4;3 ) , bán kính R = 2 2 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 45 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Gọi I tâm vị tự phép vị tự V( I;k ) (C1 ) = (C2 ) ⇒ V( I;k ) (I1 ) = (I ) ⇒ II = kII1 R2 = , giải hệ phương trình ⇒ I( −2;3) R1 b) Ta thấy R + R = I1I nên (C1 ) (C2 ) k = d I2 I1 I + Gọi d tiếp tuyến chung (C1 ) (C2 ) , d qua I, giả sử d có hệ số góc k, phương trình d có dạng: kx − y + + 2k = ( ) ( ) d : x − 4y + 12 + = ⇒ + Vì d tiếp xúc (C1 ) ⇒ d ( I1 ;d ) = R1 ⇒ k = ± 2 d : x + 4y − 12 + = Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1;2) đường thẳng d qua A có hệ số góc Gọi B điểm di động d Gọi C điểm cho tứ giác OABC hình bình hành Tìm phương trình tập hợp: a) Các tâm đối xứng I hình bình hành b) Các trọng tâm G tam giác ABC Hướng dẫn a) Đường thẳng d qua A có hệ số góc ⇒ d ≡ AB : y − = 1(x + 1) ⇔ y = x + O C I d' d G A B + I tâm đối xứng hình bình hành nên ⇒ OB = 2.OI ⇒ V( O;2) (I) = B Mà B ∈ d ⇒ I ∈ d ' = V 1 O; ⇒ d': x − y + (d) ⇒ d’// d qua I đồng thời qua trung điểm OA =0 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 46 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG b) Ta có OB = A ' = V 2 O; OG ⇒ B = V (G) Mà B ∈ d ⇒ G ∈ d '' = V (d) ⇒ d’’// d qua O; O; 4 (A) ⇒ A ' − ; ⇒ d'' : x − y + = 3 DẠNG 2: Một số toán chứng minh, dựng hình quỹ tích Bài 1: Chứng minh thực liên tiếp phép vị tự tâm I phép vị tự tâm I Hướng dẫn + Xét V( I,k ) (M) = M ' ⇔ IM ' = k.IM (1) , V( I,k ') (M ') = M '' ⇔ IM '' = k '.IM ' (2) + Từ (1) (2) ⇒ IM '' = k.k '.IM ⇒ V( I;k.k ') (M) = M '' (đpcm) Bài 2: Cho đường tròn (C) (C’) cắt có giao điểm A Hãy dựng đường thẳng d qua A cắt (C) M cắt (C’) N cho M trung điểm AN Hướng dẫn (C) A (C1) (C') M N * Bước 1: Phân tích + Giả sử toán dựng Ta có: M trung điểm AN ⇒ AM = AN ⇒ V (N) = M A; 2 + Vì N ∈ (C ') ⇒ M ∈ (C1 ) = V 1 A; 2 (C ') * Bước 2: Cách dựng + Dựng đường tròn (C1 ) = V 1 A; 2 (C ') (đường tròn (C1 ) qua A, có bán kính bán kính (C’)) + Dựng M = (C1 ) ∩ (C) (Do M ∈ (C), M ∈ (C1 ) ) + Nối AM kéo dài cắt (C’) N Bài 3: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) B C cố định, A di động đường tròn (O) Tìm quỹ tích trọng tâm ∆ABC Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 47 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG A G B M C Hướng dẫn + Gọi M trung điểm BC Do B, C cố định nên M cố định, mà MG = MA ⇒ V (A) = G M; 3 Vậy quỹ tích G ∈ (O '; R ') = V 1 M; 3 (O; R) Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) điểm A cố định đường tròn BC dây cung di động BC có độ dài không đổi 2a (a < R) Tìm tập hợp trọng tâm G ∆ABC Hướng dẫn A O G B M C + Gọi M trung điểm BC, ta có OM ⊥ BC ⇒ OM = OC2 − MC2 = R − a ( ⇒ M ∈ O; R − a + AG = ) AM ⇒ G = V (M) A; 3 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 48 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG ( ) + Do M chạy đường tròn O; R − a nên G chạy đường tròn (O’) ảnh đường ( ) tròn O; R − a qua phép vị tự V 2 A; 3 Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB Một đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) đoạn AB C D Đường thẳng CD cắt (O ; R) I Tính độ dài AI, BI theo R Hướng dẫn C O' O B A D I + Ta có V R' C; R (O) = O ' ⇒ CO ' = R' R' CO (1), V R ' (I) = D ⇒ CD = CI (2) R R C; R CO ' CO = ⇒ OI / /O ' D ⇒ OI ⊥ AB ⇒ I điểm cung AB CD CI AB 2R ⇒ AI = BI = = =R 2 Bài 6: Cho đường tròn (O ; R) (O’ ; R’) tiếp xúc A (R > R’) Đường kính qua A cắt (O ; R) B cắt (O’ ; R’) C Một đường thẳng di động qua A cắt (O ; R) M cắt ( O’; R’) N Tìm quỹ tích I = BN ∩ CM + Từ (1) (2) ⇒ Hướng dẫn M N I B C O O' A Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 49 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG + Ta dự đoán V CI C; CM (O1 ) = V CI C; CM (M) = I , mà M nằm đường tròn (O) ⇒ I nằm đường tròn CI theo R R’ CM (O) Như ta cần phải tính CM CI + IM IM = = 1+ CI CI CI IM IB BM AB 2R R CM R + R ' CI R' = = = = = ⇒ = ⇒ = ⇒ V R ' (M) = I + Mà CI IN CN AC 2R ' R ' CI R' CM R + R ' C; R+R ' Thật vậy: Vậy tập hợp điểm I đường tròn (O '') = V R' C; R +R ' ( ( O; R ) ) Bài 7: Cho ∆ABC , gọi I, K, M theo thứ tự trung điểm AB, AC, IK Đường tròn ngoại tiếp ∆AIK cắt AO A’ Gọi M’ chân đường vuông góc hạ từ A’ xuống BC Chứng minh điểm A, M, M’ thẳng hàng Hướng dẫn A O I M K M B M' ≡ M1 C AB = 2.AI ⇒ V( A;2) ( ∆AIK ) = ∆ABC (1) ⇒ V( A;2) (O) = A ' (do OA ' = 2.OA ) + Ta có AC = 2.AK + Gọi M1 trung điểm BC, M trung điểm IK, từ (1) ⇒ V( A;2) (M) = M1 ⇒ điểm A, M, M’ thẳng hàng (do V( A;2) (M) = M1 ⇒ A, M, M1 thẳng hàng) Bài 8: Cho đường tròn ( O1 ;R1 ) ( O ;R ) nhau, R1 ≠ R Một đường tròn (O;R) thay đổi tiếp xúc với ( O1 ;R1 ) A tiếp xúc với ( O ;R ) B Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 50 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG C O B A O2 O1 I Hướng dẫn + Gọi C = AB ∩ ( O ;R ) V R ( O1 ;R ) = ( O;R ) A;− R1 O, A,O1 th¼ng hµng + Ta có : ⇒ ⇒ AO1 / /CO AO//CO V O;R O ;R = ( ) ( ) R2 2 A;− R + Gọi I = AB ∩ O1O ⇒ I tâm vị tự phép vị tự V R2 I; R1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) nên I cố định Vậy AB qua điểm I cố định tâm vị tự phép vị tự V R2 I; R1 ( O1 ;R1 ) = ( O ;R ) Bài 9: ∆ABC có A’, B’, C’ trung điểm BC, CA, AB a) Tìm phép vị tự V biến ∆ABC thành ∆A'B 'C' b) Tìm phép vị tự V biến ∆A'B 'C' thành ∆ABC Hướng dẫn A C' B' I B A' C a) Ta phân tích sau để tìm hướng giải: + Giả sử có phép vị tự V( I;k ) (M) = M ' ⇔ IM ' = kIM ⇒ I, M, M ' thẳng hàng Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 51 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Vậy để có phép vị tự V( I;k ) ( ∆ABC ) = ∆A 'B 'C' : I, A, A ' th¼ng hµng I, B, B' th¼ng hµng ⇒ I lµ giao ®iÓm cña AA', BB', CC' I, C, C' th¼ng hµng + Mà A’, B’, C’ trung điểm BC, CA, AB ⇒ I trọng tâm ∆ABC Vậy phép vị tự cần tìm V( I;k ) ( ∆ABC ) = ∆A 'B 'C' , I trọng tâm ∆ABC , OA ' OB ' OC' =− =− =− OA OB OC b) Từ phần a) ta có: V ( ∆A 'B'C') = ∆ABC (hay V( I;−2) ( ∆A 'B'C' ) = ∆ABC) k=− I; k BÀI HỌC 6: PHÉP ĐỒNG DẠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Trong mặt phẳng, phép biến hình biến điểm M thành M’; N thành N’ cho M ' N ' = k.MN (với k số thực dương cho trước) phép biến hình gọi phép đồng dạng tỉ số k Ký hiệu: § k : (MN) = M ' N ' hoÆc § k : MN → M ' N ' (Như vậy: phép đồng dạng phép phóng to thu nhỏ, không cần theo phương định phép vị không cần quan tâm đến yếu tố thẳng hàng) Chú ý + Khi thực liên tiếp phép vị tự phép dời hình ta phép đồng dạng + Khi thực liên tiếp phép đồng dạng ta phép đồng dạng II BÀI TẬP ÁP DỤNG DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép đồng dạng tính toán Bài 1: Cho đường thẳng d : x + y − = Viết phương trình d’ ảnh d qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm I(−1; −1) , tỉ số k = phép quay tâm O, góc quay (−45 ) Hướng dẫn + Gọi d1 = V (d) ⇒ d1 : x + y = I;k = 2 + Gọi d = Q O;−450 (d1 ) ⇒ d : x = ( ) Vậ y d ' ≡ d : x = Bài 2: Xét phép biến hình biến điểm M ( x; y ) thành điểm M ' ( −2x + 3; 2y − 1) Chứng minh F phép đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng Hướng dẫn: Tìm ảnh M qua phép biến hình sau: - Phép vị tự tâm O, tỉ số - Phép đối xứng trục Oy - Phép tịnh tiến vectơ v = ( 3;1) Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 52 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Thật vậy: - Phép vị tự tâm O, tỉ số 2: M → M1 có M1 ( 2x; 2y ) - Phép đối xứng trục Oy: M1 → M có M ( 2x; −2y ) - Phép tịnh tiến vectơ v = ( 3;1) : M → M ' ( 2x + 3;1 − 2y ) ⇒ Phép biến hình F tích phép vị tự phép dời hình ⇒ F phép đồng dạng, tỉ số Bài 3: Cho điểm I(1;1) , đường tròn ( I; ) Viết phương trình đường tròn ảnh đường tròn qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 450 phép vị tự tâm O, tỉ số (với O gốc tọa độ) Hướng dẫn I1 I 450 O + Gọi đường tròn (C1 ) có tâm I1 , bán kính ( ) ảnh đường tròn (C) tâm I, bán kính ( ⇒ Q O;450 (I) = I1 ⇒ I1 0; ⇒ (C1 ) : x + y − ( ) ) = (R1 = 2) + Gọi đường tròn (C2 ) có tâm I , bán kính R ảnh đường tròn (C1 ) qua phép vị tự R R V O; (do k > nên ta có tâm vị tự ngoài), có k = ⇔ = ⇔ R = 2 ( ) R1 Mặt khác V O; ( xI − 0 = 1− (I ) = I2 ⇒ 2) y I2 − 0 = 1− 2x I1 x I2 = ⇒ ⇒ I (0; 2) 2y I1 y I2 = 2 = 2 Vậy (C2 ) : x + ( y − ) = DẠNG 2: Một số toán chứng minh, dựng hình quỹ tích Bài 1: Trên mặt phẳng, cho điểm M 1) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép đối xứng trục D ∆ phép vị tự V tâm O với O ∉ ∆ , tỉ số k = 2) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép vị tự V, tâm O, tỉ số k = - phép quay tâm I, góc quay ϕ = 900 Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 53 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Chương 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Hướng dẫn 1) ∆ O O M2 M M ≡ M1 M2 TH1 TH2 TH1: M ∈ ∆ + Gọi M1 = D ∆ (M) ⇒ M1 ≡ M + Gọi M = V( O;k = 2) (M1 ) ⇒ OM = 2.OM1 ⇒ M trung điểm OM TH2: M ∉ ∆ + Gọi M1 = D ∆ (M) ⇒ ∆ trung trực MM1 + Gọi M = V( O;k = 2) (M1 ) ⇒ OM = 2.OM1 ⇒ M1 trung điểm OM 2) M2 I O ≡ M1 I M O M1 M2 TH1 TH2 TH1: M ≡ O + Gọi M1 = V( O;−3) (M) ⇒ OM1 = −3.OM = ⇒ M1 ≡ O IM = IM1 ( ∆IM1M vuông cân I) + Gọi M = Q I;900 (M ) ⇒ ( ) IM ; IM 90 = TH2: M ≠ O + Gọi M1 = V( O;−3) (M) ⇒ OM1 = −3.OM ( ) IM = IM1 + Gọi M = Q I;900 (M ) ⇒ ( ∆IM1M vuông cân I) ( ) IM1 ; IM = 90 ( ) CÒN NỮA … Giáo viên : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 54 T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com CÁC SÁCH ĐÃ PHÁT HÀNH (1) Các chuyên đề đại số (Ôn thi vào lớp 10) (2) Tinh hoa hình học (Ôn thi vào lớp 10) (3) Luyện đề môn toán (Ôn thi vào lớp 10) (4) Tinh hoa hình học (Ôn thi THPT quốc gia) (5) Luyện đề môn toán (Ôn thi THPT quốc gia) ĐỂ ĐẶT MUA SÁCH, CÁC EM LIÊN HỆ VỚI THẦY Facebook: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Gmail: ng.huubien@gmail.com Điện thoại: 01234.170.323