VO DAI MAU
PHEPDOIHINH
TRONGMATPHANG
Lớp
BAN KHOA HỌC TỰ NHIÊN * Luyện thi vào Đại học, Cao dang va THCN + Thi Olympic Quốc gia
Trang 2
VO DAI MAU PHEP DOI HINH trong > MAT PHANG tap 1 1
BAN KHOA HOC TU NHIEN
- Luyén thi vao Dai hoc, Cao dang va THCN
- Thi Olympic Quéc gia
(TỰ LUẬN & TRAC NGHIEM)
Trang 3Vit né€ dau
Re ti¢ nam hoc 2007 — 2008, chương trình phân ban lớp 11 sẽ áp
dụng đại trà trên cả nước
Cũng như các cấp lớp khác, chương trình tốn lớp 11 cĩ nhiều đổi
mới Trong phân mơn Hình học lớp 11 cĩ phần “Các phép dời hình trong một phẳng”
Theo quan điểm tốn học trên thế giới thì cần phải phân biệt phép
biến hình và phép đời hình
+ Phép biến hình là một qui tắc biến đổi một hình (F) đã cho thành một hình (F') mà khơng bắt buộc phải bảo tồn độ lớn của hình
Thí dụ: Phép vị tự, phép đồng dạng, phép nghịch đảo là
những phép biến hình
+ Phép đời hình là một phép biến hình đặc biệt, biến đổi một hình (F) đã cho thành một hình (F') mà khơng làm thay đổi các khoảng cách giữa hai điểm cho trước của hình
Thí dụ: Phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay
Di nhiên các phép tịnh tiến, đối xứng, quay cũng là những phép biến hình nhưng các phép biến đổi như phép vị tự, phép đồng dạng,
phép nghịch đảo, khơng phải là những phép dời hình
Dù thận trọng đến đâu vẫn cĩ thể cĩ sai sĩt - những sai sĩt ngồi
ý muốn (những sai sĩt mà các bạn đã từng viết sách đều cĩ kinh nghiệm qua), chúng tơi rất mong các bạn đồng nghiệp thơng cảm, thể
tất
Trang 4
T(V ): Phép tinh tién theo vecto V
(T là tiếng đầu của từ Translation, tiếng Pháp, dùng trong tốn học cĩ nghĩa là phép tịnh tiến)
8(O): Phép đối xứng qua tâm O
(S là chữ đầu của từ symétrie, tiếng Pháp, là phép đối xứng)
S(A): Phép đối xứng qua trục A
AO, k): Phép vi tu tam O, tỉ số vị tự k
(⁄ là chữ đầu của từ Homothétie, tiếng Pháp, cĩ nghĩa là phép vi tu’)
iR(O; a): Phép quay tâm O goc a
(Chi R là chữ đầu của từ Rotation, tiếng Pháp, cĩ nghĩa là phép quay) Si(O; k; 6) hoặc Si(O; k; œ): Phép đồng dạng tâm O, tỉ số đồng dạng k, gĩc đồng dạng 0 hoặc gĩc đồng dạng ơ (Chữ Si là hai chữ đầu của Similaire, tiếng Pháp nghĩa là phép đồng dạng) [2z], [180°]: mơđun 2x, mơdun 180” (Mơdun là phiên âm của từ module) "Theo qui ước quốc tế, các kí hiệu tốn học đều dua vào qui ước tốn học của Pháp
Trang 5Chương 0 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
VÀ DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
KIEN THUC CAN NHG
I Phép biến hình trong mặt phẳng
1 Ảnh của một điểm
Trong mặt phẳng (P), cho một điểm M
Phép biến hình f trong mặt phẳng (P) là một qui tắc cho tương
úng điểm M e (P) một điểm M' < (P)
f£ Me(P) —+ M’e (P) hay: M « (P) -Ê,M'e (P)
M': gọi là điểm biến đổi của điểm M cho bởi phép biến hình f hay M' là ảnh của điểm M cho bởi phép biến hình f
Kí hiệu: M' = f (M)
M gọi là tạo ảnh của M' trong phép biến hình £
Trong tốn học, phép biến hình f trong mp (P) là một ánh xạ đi tif mp (P) vao mp (P)
Thí dụ: Nếu ta cĩ: MM'= Ÿ, V là một vectơ cho trước thi M’
gọi là ảnh của điểm M trong phép tịnh tiến theo V, kí hiệu
T(V)
Nếu ta cĩ: ƠM' = k OM, k là một số thực cho trước, k z 0 thì
M' gọi là ảnh của điểm M trong phép vị tự tâm O, tỉ số k, kí
hiệu H (O; k)
Nếu ta cĩ: OM'.OM = k, k là số thực cho trước, k z 0 thì M' gọi là ảnh của điểm M trong phép nghịch đảo tâm O, phương tích
nghịch đảo k, kí hiệu: I(O; k)
2 Ảnh của một hình
Trong phép biến hình f, nếu M vẽ một hình (F) thì M' vẽ một
hình (F”), gọi là ảnh của hình F trong phép biến hình f
Trang 6(F’) là tập hợp tất cả các ảnh của tất cả các điểm thuộc hình (F) cho bởi phép biến hình f
II Phép dời hình trong mặt phẳng 1 Định nghĩa: Trước hết phép dời hình trong mặt phẳng là một phép biến hình trong mặt phẳng + Biến đổi một điểm M thuộc mặt (P) thành một điểm M' thuộc mp (P)
+ Biến đổi một hình (F) thành một bình (F') trong cùng một
mặt phẳng nhưng khơng làm thay đổi hình dạng và kích thước của hình Nĩi một cách khác là phép dời hình f biến một hình (F) thành một hình (F°) bằng hình (F') Trong tốn học, phép đời hình phẳng f được gọi là song ánh đi từ mp (P) lên mặt phẳng (P')
Hiểu một cách nơm na là phép đời hình f đã “dời” hình (F) từ vị
trí ban đầu đã cho đến một vị trí mới
Trang 7b) Phép dời hình báo toan đĩ lớn
+ Ảnh của một đoạn thăng AB là đoạn thang A’B’ bang AB
AB '> A’B = AB
+ Ảnh của một gĩc xOy là gĩc vĨYy" bằng gĩc xOy:
xOy '› xO'y' = xĨy
+ Ảnh của đường trịn (O) là một đường trịn (O') bằng đường trịn (O)
(O, R) >» (O',R) với O' là ảnh của O 4 Tích của hai phép dời hình phẳng: M -'› M' -*#y› M” Nef e M’ la anh cua M cho boi phép dời hình phẳng t: M’ = f (M) e M” la anh cua M' cho bai phép doi hình phẳng g: M” = g (M’)
Ta nĩi M” là ảnh của M cho bởi tích của phép dời hình phẳng f với phép dời hình phăng g: f x g
Ki hiéu: gof (doc la g tron f) M #4 M”
Ý nghĩa là thực hiện liên tiếp phép dời hình phẳng f trước, g
Trang 8Chuong | PHEP TINH TIEN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Định nghĩa:
Cho V z 0 và một điểm M nằm trong mặt phẳng (P)
a) Ảnh của một điểm: _
Điểm M' được gọi là ảnh của V N
Trang 93 Dịnh lí: Trong phép tình tiến TCV ): a) Ảnh của một đương thẳng ) là mĩt đường thẳng D' song song (H.3a) # b) Anh cda mot tia Ox là tia Ơx song song va cùng chiều; O và ©' là 2 điểm đối ứng tH.3Ù) c) Ảnh của đoạn thẳng AB là đoạn thăng A'B' song song và bằng AB.(H.3c) d) Ảnh của AB la A'B’ = AB với A, A và B, B' là 2 cặp điểm đối ứng (H.3d) ME Hinh 3a Hình 3b B B ` O ` O * A’ A’ Hinh 3c Hinh 3d
e) Ảnh của gĩc xOy là gĩc x'O'y' bằng với gĩc xOy, Ơ là điểm
đối ứng của O (H.3e)
Hình 3e
Trang 10Ð Ảnh của một đường trịn (O) là một đường trịn (O') bằng
đường trịn (O) và cĩ tâm O' là ảnh của tâm O cho bởi phép tịnh tiến T( V ) (H.3f) Vv > —————> Vv M _—M' LÀ RE Ơ TÊY Oo oO ơ Hình 3ƒ
4 Sự tịnh tiến của hai đường trịn bằng nhau cho trước:
Cho hai đường trịn bằng nhau (O; R) và (Ơ; R)
- Hai đường trịn (O) và () cĩ thể xem là hình tịnh tiến của nhau bằng 2 cách: + (O') là ảnh của (O) trong phép tịnh tiến @ OO ).(H.4a) (O0) —°9)_, (0œ) M 7 M Hinh 4a ' + (O) là ảnh của (Ơ') trong phép tịnh tiến @ OO’) (H.4b) (0) —1%)_, (0) N a N’ {\ ( / Hinh 4b
5 Tích của hai phép tịnh tiến:
Giả sử M; là ảnh của M trong phép tịnh tiến T(V, ) và M; là
ảnh của M; trong phép tịnh tiến T(V,) thì M; là ảnh của M cho
bởi tích của hai phép tịnh tiến T(V,) và T(V,), kí hiệu
Trang 11TCV, ).T(V, ) (Hinh 5) ty w i,
M mY) >›M THN M, 1 `
TOV, TOV.) M
Ta co: MM, = MM, + MM, = V, + V,
Do d6: M2 là ảnh của M cho bởi phép tịnh tiến: T(V, + V, )
Vậy: Nếu ta thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến thì ta được một phép tịnh tiến mà vectơ tịnh tiến bằng tổng của các vectơ tịnh tiến của hai phép tịnh tiến đã cho T(V, ).TLV,) = TUV, t,) s Tích của hai vectơ tịnh tiến cĩ tính chất giao hốn: T(Ý, ).T(V,) = T(V, ).T(V, ) s Chú ý: Tích TC V ).T(- V ) là một phép biến đổi đồng nhất M—**) ,M,_—*YÌ , mM, =M * Chú §:
1 Hai đường thẳng song song cĩ thể xem là tịnh tiến của
nhau bởi một phép tịnh tiến nào đĩ (Hình 6)
M’ D’ M D
a b
Tt M D mã D M
Hình 6
2 Hai đường trịn bằng nhau (O; R) và (Ơ; R) là hình tịnh
Trang 12LUYEN TAP
1 Cho một hình bình hành ABCD cĩ hai đỉnh A, B cố định Tìn tép
hợp đỉnh D khi:
a) C di động trên đường thẳng A cố định cho trước
b) C di động trên đường trịn (O) tâm O cố định, bán kính R cho trước
Hướng dẫn: Ta cĩ: CD = BA = dpem
- Giải
ABCD là một hình bình hành nên ta cĩ: CD = BA Vectơ BA cố định
Do đĩ D là ảnh của C trong phép tịnh tiến #( BA)
a) Khi C di động trên một đường thẳng A thì D di động trên dường
thẳng A’, ảnh của A cho bởi phép tịnh tiến #( BA ) (Hinh 84)
Nếu A qua D thì A' trùng với A (Hình 8b)
Vậy tập hợp các điểm D là đường thẳng A’, ảnh của A clo bei phép tịnh tiến Ø( BA ) A’ ; D A a“ oD c A HN A B A B Hinh 8a Hình 8b
b) Khi C di động trên đường trịn (O; R) thì D di động trên đường trịn (Ơ; R), ảnh của đường trịn (O; R) cho bởi phép tịnh tiến
(BA), v6i O’ la ảnh của O trong phép tịnh tiến đĩ (Hình 9) Vậy tập hợp các điểm D là đường trịn (Ơ; R)
Trang 13
2 Cho đường tron (O) co dinh va mot doan thang MN cé dinh Trén (O), lay mét diém A va ke doan thang Al song song va bang MN
Tìm tập hợp các điểm [ khi A di động trên đường tron (O)
Hướng dẫn: Nhận xét răng: AI “ MN Nhu vay ta co: Al = MN
hoac Al = NM
Gidi Theo giả thiết, ta cĩ: AI - MN
Suy ra: Al = MN hoặc Al = NM
Nhu vay: I là ánh của A trong phép tịnh tiến T(MN) hoặc trong
phép tịnh tiến T(NM )
Do đĩ: Khi A vạch đường trịn (O) tâm O thì I vạch đường trịn
(O') tâm Ơ' bằng (O), với Ĩ' là ảnh của Ơ cho bởi phép, TMN)
hoặc I vạch đường trịn (O”) tâm O”, bằng (O), với O” là ảnh của
O cho bởi phép tịnh tiến TLNM')
M N
Hình 10
3 Cho đường trịn (O) tâm O, bán kính R Trên (O), lấy hai điểm cố định A, B và một điểm di động Tìm tập hợp trực tâm H của tam
giác ABC
Hướng dẫn: Trước hết chúng ta chứng minh rằng: CH = 2 OM với M là trung điểm của cạnh AB = đpem
Giải
Gọi M là trung điểm của AB, M cố định: OM L AB Kẻ đường
kính AOA' = A'B L AB
Ta cĩ: AB = 2ĨM
Tứ giác CHBA' là hình bình hành (Vì sao?)
=> CH= AB =20M
Trang 144, 16 Như vậy: H là ảnh của C trong phép tịnh tiến T( V ) với Ở = 2ƯM (Hình 11) Do đĩ: Khi C vạch đường trịn (O; R) thì H vạch đường trịn (Ơ; R) với O' là ảnh của O cho bởi phép tịnh tiến T(V ) Hình ¡1
Cho tam giác ABC cố định, trực tâm H Vẽ hình thoi BCDE Kẻ
DD’ 1 AB, EE’ 1 AC; DD’ va EE’ giao nhau tai M Tim tap hop
điểm M khi hình thoi BCDE thay đổi Hướng dẫn: Chứng minh DM = CH Giải Tứ giác BCDE là một hình thoi nên ta cĩ: ‘ BC = ED Hai tam giác HBC và MED bằng nhau vì cĩ: BC = ED B = E, (Goe nhọn cĩ cạnh đơi một song song) G: =D, (Nhu trén) Hinh 12
Suy ra: DM = CH (Hinh 12)
Điều này chứng tỏ M là ảnh của D trong phép tịnh tiến &(CH )
Ta lại cĩ: CD = BC = a khơng đổi (vì sao?)
Suy ra: Tập hợp các điểm D là đường trịn (œ) tâm C bán tính
R=CD =a
Do đĩ, tập hợp các điểm M là ảnh của đường trịn (ơ) cho bởi
phép tịnh tiến 9%(CH) Đĩ là đường trịn (B) tâm H, bán kính
R=HM =a
Vậy: Tập hợp các điểm M phải tìm là đường trịn (B) tâm H, bán
Trang 155 Trén dung tron (O) tam © bin kinh R cho bai điểm cố định A, B
va mot diém C di déng
a) Tim tap hop true tam H cua \ABC
b) Tim tap hop dinh M cua tam giae déu CHM
Huong dan: Goi A’ la doi tam cua A
8o sánh CH và AB Xem bài 3
Giải
a) Gọi A` là điểm đơi tâm của A Ta cĩ: CH = ATB (xem bài 3) Ta suy ra: H là ảnh cua C trong phép tịnh tiến Ø(A'B)
Do đĩ: Khi C chạy trên đường tron (O; R) thi H chạy trên
đường trịn (O'; R), anh của đường trịn (O; R' cho bởi phép
tịnh tiến #(AT) với O là ảnh Ì
của O trong phép tịnh tiến
%( A'B): OO' = A'B = 201
1 là trung điểm của AB (Hình 13)
(O) và (O') đối xứng nhau qua AB
nên (Ø') đi qua A, B oO
Xét điểm M nằm cùng phía với A đối với CH
Dung OO; = HM = \OƠO; đều và O;¡ nằm trên đường thẳng
AB, ƠO; cố định nên \OƠ'O; cố định > CM = OO,
Suy ra: M là ảnh cúa C cho bới #(OO, ) Khi C vạch đường trịn
(O; R) thi tap hop cac điểm M là đường trịn (O;; R), ảnh của
đường trịn (O; R) cho bởi #(OỔ, !
ø Tương tự, nếu điểm M nằm cùng phía với B đối với CH thì tập
hợp các điểm M là đường trịn (O;; R), ảnh của đường trịn
(O; R) cho bởi Ø(OG
6 Cho hai đường trịn (O!), (O’) va mot đoạn thẳng PQ cố định Hãy
đựng một đoạn thắng MN song song và bằng PQ sao cho M e (O) va Ne (0°)
Hướng dàn: Dựng đường trịn (O"”), ảnh của đường trịn (O) cho bởi
phep tịnh tiến T(V ) với V = PQ hoặc V = QP
LC JAt ao
Hinh 13
b
Trang 1618
Gidi
Giả sử ta đã dựng được đoạn thẳng MN song song và bằng PQ,
với M e (O) va N e (O') (Hình 14)
Ta suy ra rằng N thuộc hai đường trịn:
— Đường trịn (O') đã cho
- Đường trịn (O”), ảnh của đường trịn (O) cho bởi phép
tịnh tiến T(V ), với V = PQ hoặc V = QP
Do đĩ N là giao điểm của hai ———>Q
đường trịn (O') và (O”) P Ta suy ra cách dựng đoạn thẳng Hình 14 MN song song và bằng PQ như sau: ~ Dựng đường trịn (O”), ảnh của (O) cho bởi phép tịnh tién T( V ), với V = PQ hoặc V = QP
- Từ N kẻ NM= -V, Me (O), ta cĩ MN là đoạn thẳng phải dựng
Biện luận: Gọi (O”\) và (O”;) theo thứ tự là ảnh của (O) cho bởi
các phép tịnh tiến T(PQ ) và T(QE )
~ Nếu (O) cắt (O;”) va (O”2) tai Ni, Ny’ va No, N¿: Cĩ 4 nghiệm hình (hình 15)
— Nếu (O') cắt (O¡”) và tiếp xúc với (O;”) hoặc cắt (O;”) và tiếp xúc
với (O¡”) Cĩ 3 nghiệm hình (hình 16)
— Nếu (O') chỉ cắt (O;”) và khơng cĩ điểm chung với (O;`) hoặc cắt (O;”) và khơng cĩ điểm chung với (O;”) hoặc (O') tiếp xúc đồng
thời với (O¡”) và (O;”): Cĩ 2 nghiệm hình
— Nếu (O') chỉ tiếp xúc với một trong hai đường trịn (0,”), (O2”):
Cĩ 2 nghiệm hình
—- Nếu (Ơ') khơng cĩ điểm chung với cả hai đường trịn (O”) và
(O;”), khơng cĩ nghiệm hình (Hình 17)
* Chú ý: Đường nối tâm OO' khơng bắt buộc phải song song
Trang 17Hinh 15 i Key P*“—————>~€ Hình 17
7 Cho một điểm A và một đường thẳng D khơng qua A Hay dựng một đường trịn cĩ bán kính R đi qua A và chắn trên D một đoạn cĩ chiều dài 7 cho trước
Hương dẫn:
Cách 1: Gọi O là tâm đường trịn (C) phải dựng Kẻ OH 1 D tai H
= 0H = d khơng đổi Xác định được O Dựng được đường trịn (C)
Cách 2: Dựng đường trịn (ơ) tâm Ï tùy ý, cĩ bán kính R và chắn trên
D đoạn MN = Cho đường trịn (œ) tịnh tiến dọc theo phương D
Giải
Giá sử ta đã dựng được đường trịn (C) tâm O bán kính R di qua A
và chắn trên đường thang D một đoạn PQ =/, / là độ dài cho trước
Dựng OH L O tại H = PH = HQ =/
Ta cĩ: OH = |R? _P„ V4R -É 4 2
Trang 18Điểm O nằm trên hai đường:
e Đường trịn (A) tâm A bán kính R
e Đường = A// D và cách D một đoạn
| / 2 2
d= yRe-> - RE =i (C6 hai dutng thang A va 4’)
Ta xác định được điểm O
Đường trịn (C) tâm O, bán kính R là đường trịn phải dựng
Trang 198 Cho ¬ai đường trịn (O; I), (Ơ; R}) và một đường thẳng \ cé dinh
Hãy dựng theo một đường thăng D cĩ phương song song với A sao
cho (JQ) va (O') chấn trên D hai day bằng nhau MN và PQ Huorg dan: Ké OH, OH’ | \ Pat OH = d, O'll’ = d’ khơng đổi
Giai
Dựng OH, H' | \ (Hinh 19)
Da: OH =d, O'H' = dd’ Giasud>d'vaR>R
Theo gia thiét, ta cd: PQ = MN Hinh 19 Đnh hướng MN va PQ sao cho: PQ = MN <> PM = QN Ding O’0” sao cho: O'0" = PM = QN
O nằm trên trung trực của đoạn PQ Suy ra: ĨO" nằm trên trung
tric của đoạn MN
D› đĩ ta cĩ: O” « OH => 00" =d-d
OO' là tiếp tuyến của đường trịn tâm O ban kinh R = d - d@’
Suy ra M là giao điểm của đường trịn (O; Rì và đường trịn (O”; R’) * Cách dụng:
Dung OH : A
Dung O’O” | \ tai O”
Trang 20Dựng đường trịn (O”; R’) cdt dudng trdn (O; R) tai M va N
Đường thẳng MN là đường thẳng D phải dựng
* Chứng mình:
Ta cé: OH 1 A, O'O” 1 OH = O'O” // A
Đường trịn (O”, R) cĩ thể xem là anh của đường trịn (C’, R’) cho
bởi phép tịnh tiến ®%(ÕÕ”)
Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng MN và đường trịn (Ơ; R) °
Định hướng PQ sao cho PQ cùng hướng với MN Tacĩ: PQ —1!9°) , MN = PQ = MN MN 1 OO’ = MN // A, dpem * Biện luận: Đường trịn (O”; R') cắt đường trịn (O; R) khi và chỉ khi R-R<OO<R+R =R-R<d-d<R+F
9 Cho tam giác ABC cĩ đỉnh A cố định và Â = ọ khơng đổi B và C
di động sao cho BC= a, khơng đổi a) Tìm tập hợp các điểm B và C b) Chứng tỏ rằng đường cao BB' của AABC luơn luơn đi qua một điểm cố định Hướng dẫn a) Vận dụng định lí hàm sin b) Gọi H là trực tâm AABC Chứng minh H cố định Giải
a) Dựng đường trịn (œ) tâm O ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi R là bán kính của đường trịn (a).- Theo định lí hàm sin, ta cĩ: EBC 3 — khơng đổi _ 9sine 7 2sing a 2sing
Suy ra O chạy trên đường trịn (A) tâm A, bán kính R =
Trang 21Ta suy ra: AOBC di động nhưng khơng thay đổi hình dạng và
luơn luơn băng chính nĩ i Hinh 20)
Hình 20
Các veetơ OB và OC cĩ độ dài khơng đổi và hợp với vectơ ä
một gĩc khơng đối 0 = 90"~— nên các vectơ OB va OC 1a cdc
vectơ cĩ độ dài và hướng khơng đơi
Dựng AO, = OB, AO: = OC, các vectơ Ã, và Ã; cố định
Suy ra: B là ảnh của O cho bởi 9(AO: ) và C là ảnh của O cho
bởi Ø(AO;)
Khi O chạy trên đường trịn (A; R) thì tập hợp các điểm B là
đường trịn (O¡; R), ảnh của đường trịn O cho bởi @ AO) )
Tập hợp các điểm C là đường trịn (O;; R), ảnh của đường trịn (A)
3) Gọi A' là giao điểm thứ hai của các đường trịn (O;) và (O¿)
Ta cĩ: 0,0, = BC |
0,0, 1 AH |
Đường trịn (O;) cĩ thể xem là ảnh của dutng tron (O,) cho bởi S(ä )
Gọi D là điểm đối tâm của điểm H trong đường trịn (O¿) và I là giao điểm của AH và O¡O¿
= AD = 2]Õ; = BC
=> CD / AB, HCD = 90° = CH 1 AB Suy ra: H 1a truc tam AABC
D cố định nên H cố định
Do đĩ đường cao BB' của AABC luơn luơn đi qua điểm cố định H,
trực tâm cua AABC
+» AH L BC
Trang 2210 Trong mặt phẳng (Oxy), cho diém M(x; ym) va vecto 4 = (a); ay)
Goi M’(xw; ym) la ảnh của M cho bởi phép tịnh tién Ba )
Hãy xác định tọa độ của M' theo tọa độ của M và tọa dé cua a Giải Ta cĩ: MM' = ä , ° { Xụ — Xự = 8y Yu — Ym = 4 Xy =Xy +a = | M M 1 Yur = Yu †8¿ Hinh 21
11 Trong mặt phẳng (Oxy), cho điểm A(1; 3) va a= (—2; 4) Xée dinh
diém M’, ảnh của điểm M cho bởi phép tịnh tién Ga ) Giải Theo bài 10, ta cĩ tọa độ điểm M' cho bởi cơng thức: Xy = Xy +a, =1-2=-1 là =Yy +a, =3+4=7 Vay M*(-1; 7)
12 Trong mặt phẳng (Oxy), cho vecto a = (1; 2) Tim ảnh của đường trịn: (C): x? + y? — 4x — 2y ~4 = 0 cho bởi phép tịnh tiến “ta ) Giải Đường trịn (C): x? + y? — 4x — 2y — 4 = 0 cĩ tâm I(2; 1), báa kính R=3 Gọi I'(xọ; yo) là ảnh của I cho bởi phép tịnh tiến Sa) X =X, +4, = 3 = [E(3; 3) Yọ =Y¡+8; =3 Ta cĩ: |
Ta biết rằng ảnh của một đường trịn cho bởi phép tịnh tiến là
một đường trịn bằng đường trịn đã cho
Do đĩ ta cĩ ảnh của đường trịn: (C): x” + y? - 4x - 2y—4= 0là
đường trịn (C) cĩ phương trình: (x — 3) + (y — 3)? = 9 ©x?+y?-6x-— 6y+9=0
Trang 2313 Trong mat phẳng (Oxy) cho vecto a = (1; 2) Tim anh cho bởi phép tinh tién @ a) cua cae conic sau a) Parabol (P): y* = 1x b) Elip (Ey; * + yoy 16 9 eì Hyperbol:(H): Š- Ÿ 16 9 4 Giai
a) Goi M(x; y) la một diém thuộc Parabol (P): y? = 4x va M’(xo; yo)
Trang 2415 Cho hai đường trịn (O) và (O'`) giao nhau Gọi A là một trong hai
16
26
giao điểm
Qua A, kẻ một cát tuyến (A) cắt (O) tại B và (O’) tai C Trén (A)
lấy hai đoạn AM va AN sao cho: AM =-AN = 5 BC a) Dung OP = 5 BC Chitng minh: PM = OA
b) Suy ra quy tich cua M va N Gidi Ta cĩ: OP = 136 2 ‘ Cc a N 1 M AM = 3 C (Hình 22) g ¬ ¬ ` — P => OP = AM @ PM = OA oO KỶ Ơœ
" Suy ra: M là ảnh của P
trong phép tinh tién @ OA)
Goi I va J theo thi ty la Hinh 22
trung điểm của AB va AC
Ta c6: OI, O'J 1 (A) va = 5 6 = ƯE = lj = PJ L(A)
=P.e OJ = ÕPỠ = 900
Khi đường thẳng (A) quay quanh điểm A thì P chạy trên đường
trịn (œ) đường kính OƠ', tâm K là trung điểm của đoạn OO'
Tập hợp các điểm M là đường trịn (B), ảnh của đường trịa (œ)
cho béi phép tinh tién @ OA)
* Vì điểm N là điểm đối xứng của M qua A nên tập hợp các
điểm N là đường trịn (y), ảnh của đường trịn (B) cho bởi ahép đối xứng S(A) qua điểm A
Trên đường trịn cố định (O; R) cho trước, lấy hai điểm cố diah A
và B, C là một điểm di động trên (O) và khơng trùng với A, E
Gọi H là trực tâm của AABC; P và Q là giao điểm của hai đường
trịn tâm C bán kính CHÍ = p và đường trịn tâm H bán kính c
Tìm tập hợp các điểm P, Q
Trang 2517
Ta co: CH= DB= 201 ‘xem bai
5) Trong đĩ, D là điểm doi tam cua A va I la trung điểm của doan AB Điều này chứng tỏ CHÐ là một vectơ cĩ phương, chiêu và độ dài khơng đổi Đặt CH = V, cố định và Tam giác ACHP đều Dựng OO' = 2 Ọ = CH; 00, = CP
Suy ra: AOO'O; đều và cố định vì cĩ mơt cạnh cố định OO'
Do đĩ ta cĩ: P là ánh của C trong phép tinh tién @ OO; ) (Hinh 23)
Tập hợp các điểm P là đường trịn (z), ảnh của đường trịn (O) cho bởi phép tịnh tiến #LOO; ), tâm O¿, bán kính R
Tương tự, ta cĩ tập hợp các điểm Q là đường trịn (B), ảnh của
đường trịn (O) cho bởi phép tịnh tiến OO: )
Trên đường thẳng cố định x'x, lấy một điểm B cố định và một
điểm C di động Dựng tam giác APBC can tại P Biết đường trịn
(O) ngoại tiếp tam giác APBC cĩ bán kính R khơng đổi, hãy tìm:
a) Tập hợp (E) các điểm P
b) Tap hgp (F) true tam H cua APBC
Gidi
a) Vectơ OP cé phuong khơng
Trang 26Do đĩ, tập hợp các điểm P là đường trịn (B), ảnh của đường
trịn (œ) cho bởi phép tịnh tiến @ BA), la đường trịn tâm A
bán kính R (hình 24)
b) Gọi I là trung điểm của BC và ' là điểm đối xứng của điểm O
qua đường thang x’x
Ta cĩ: PH= O00’ ƠH = OB= BA
Suy ra: H là ảnh của Ơ trong phép tịnh tiến @ BA)
Ơ' € (a) (Vi sao ?)
Do đĩ: Tập hợp các điểm H là ảnh của đường trịn (ơ) cho bởi
phép tịnh tiến @ BA), chinh la đường trịn (B), tập hợp các
- điểm P
Nhận xét rằng: Đường trịn (/) tiếp xúc với đường thẳng xx tại B
18 Cho hai đường trịn (O;; R¡) và (O;; R;¿) và một phương (d) Hãy
dựng một đường thẳng D cĩ phương (d) sao cho hai đường trịn đã
cho (O;) và (O;) chắn trên D các dây cung MN và MN' cĩ tổng bằng một độ dài / cho trước
Giải
* Giả sử ta dựng được một đường thẳng D cĩ phương (đ) cắt các
Trang 27Dung 0,0’, = / : MM - OƠ
Ta suy ra M’, la anh cua M trong phep tính tiến SE Ủ)
Do đĩ M'; nằm trên đương tron tÕ Ry
Mặc khác M} là anh của N trong phep tỉnh tiến ØCM,ỤN,)
Dựng 0,0’, = M.N, > O; nam tren trung true A cua N,;M‘, va cua 0,0’)
Do đĩ, Mì nằm trên duong tron (0'., Ro)
Ta suy ra M’, la giau diem cua các đương trịn (O); Rị) và (Ơ$; Ro)
Dựng được M) là dựng được đường thăng D * Ta suy ra cách dưng đường thăng Ù như sau:
+ Dựng O,O',= Í
+ Dựng trung trực \ cua doan 0,0’,
+ Qua O¿ kẻ O O; song song với (d) cắt \ ở Ø3,
+ Dựng các đường trịn (Ư;; R,) và (O;; R;) cắt nhau tại M' + Qua Mì), dựng đường thắng D song song với (d) D là đường thẳng phái dựng * Chứng mình Học sinh tự chứng minh * Biện luận: Điều kiện tồn tại Mì: |R¡ - R;| < O;O; < Rị + R¿ Gọi H là trung điểm của đoan O,O, Đạt O';H = d Ta cĩ: = (Rị— Rạ) < d” + : < (ị + R¿! ©(Rị — Rạ)? ~ d° < <{R, + Ry? ~ &, V6i diéu kién: d < R, + Ro, ta cĩ: -Néul=2/(R, RP -d' vl =2\(R, +R, -d? Bài tốn cĩ 1 nghiệm hình ~ Nếu 2J/ŒR, - R,!“ - d° </<2/(R,+R,)? - đ? Bài tốn cĩ 2 nghiệm hình
1£ Cho hai đường trịn (O; R) và (Ơ'; R') và một phương (d)
Hãy dựng một đường thẳng (d) sao cho hai đường trịn đã cho (O) ‘va (O’) chan trên D các dây cung MN và MN' cĩ hiệu bằng một
tđộ dài cho trước
Trang 28
Hướng dẫn: Cĩ thể giả sử MN > MN' Nếu khơng thì chỉ cản đổi
chiều bất đẳng thức
Ta sẽ cĩ: MN - MN =ï
<= MN + NM =
Tré lai bai 18
20 Cho đường trịn (O; R) cố định và một điểm cố định A nằm ngồi
đường trịn; MM’ la một đường kính di động của đường trịn
Đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ hai P và cắt đường thẳng
qua M’ song song với OA tai Q
Đường thẳng AM' cắt (O) tại điểm thứ hai P’ và cắt đường thẳng
qua M song song với OA tai Q’
a) Chứng minh đường thẳng QQ đi qua một điểm cố định b) Tim tập hợp các điểm Q va Q’ Giải a) Từ cách dựng, ta cĩ: Hình 26 MQ = MQ =20A
Gọi O' là điểm đối xứng của điểm O qua tam A, O’ « QQ’
Vậy: QQ’ luén luén đi qua điểm cố định O' (Hình 26)
b) Ta cĩ: Q và Q theo thứ tự là ảnh của M và M' trong phép tịnh
tiến 3(OO')
Do đĩ khi đường kính MM' quay quanh O thì tập hợp cát điểm
Q và G là đường trịn (Ơ'; R), ảnh của đường trịn (O; R) do bởi
phép tịnh tiến Ø(OO”)
Trang 29Chương II PHÉP Đối XỨNG KIẾN THỨC CÂN NHỚ
I.Phép đối xứng qua tâm (đối xứng tâm)
1 Định nghĩa
a) Ảnh của một điểm
Trong mặt phẳng, cho điểm cố định O và một điểm M
Điểm M' được gọi là điểm đối xứng ‹
của điểm M qua O hay anh của điểm _,~
M trong phép đối xứng tâm O, M 8
kí hiệu S(O), khi O là trung điểm Hình 97 của đoạn MM' (Hình 27) O gọi là tâm đối xứng M -#® MP JM,0,M thang hàng \OM = OM <> OM =-OM e Ảnh của điểm O trong phép đối xứng S(O) là điểm O' trùng với điểm O
O gọi là điểm bất động hay điểm kép trong phép đối xứng S(O) e Ngược lại: M cũng là ảnh của M' trong phép đối xứng S(O)
e Cách vẽ ảnh M' của M cho bởi S(O): - Nối MO
— Trên tia đối của tia OM, lấy diém M’ sao cho OM’ = OM
M’ la anh của M cho bởi S(O)
b) Ảnh của một hình
Khi điểm M vẽ một hình (F) thì
ảnh M' của M cho bởi S(O) sẽ 9 vé mot hinh (F’) goi la anh
(biến hình) của hình (F) cho bởi
S(O) (Hinh 28) Hinh 28
Do đĩ: Ảnh (biến hình) của một hình (F) cho bởi S(O) là một
hình (F') gồm tất cả các điểm ảnh của tất cả các điểm của hình
(F) cho bởi S(O)
(F)
(F)
Trang 30(F’) = (M’/M > M’, Me (PF) Nếu (F') trùng với (F) thì O gọi là tâm đối xứng của hình (#) 2 Tính chất Trong phép đối xứng tâm, ảnh của hình (F) là một hìrh (F') bằng hình (F): (F) 3%, (F) = (F) Do đĩ: Phép đối xứng tâm là một phép đời hình 3 Định lí ,
Trong phép đối xứng tâm S(O):
a) Ảnh của một đường thẳng D là một đường thẳng D' song song với D (Hình 29a) b) Ảnh của một tia Ix 1a tia I’x’ song song và ngược chiều với Ix, I' là ảnh của | (Hinh 29b) D D x r A' A O ư oO I x’ Hinh 2 sit Hinh 29b
c) Anh của đoạn thẳng AB là B A
đoạn thẳng A'B' song song và bằng AB, A' và B' theo thứ tự j là ảnh của A và B (Hình 29c) A 8, A’ oO S(O) B’ B BS A AB |-22 SO) A’B’ # AB Hình 39c
d) Ảnh của một vectơ là một A’
vectơ đối của nĩ (Hinh 29d)
A S(O) oO; A’ B 8, S(Q' B’
AB S10), AB’ =— AB
B’ Hinh 2d!
Trang 31e) Anh cua mot goc xAy JA mot goc x Ay’ bằng gĩc xAy, trong do A’x’ va A'y’ theo thu tu la anh cua Ax va Ay cho béi S(O) (Hinh 29e)
Y
X
Hình 29c
Ð Ảnh của một đường trịn (1) là một đường trịn (I') bằng đường
tron (1), trong dé tam I' la anh cua tam I cho bởi phép đối xung S(O) (Hinh 39)
Hinh 30
4 Đối xứng tâm của hai đường trịn bằng nhau cho trước
Bất kì 2 đường trịn nào bằng nhau cho trước cũng cĩ thể xem là đối xứng của nhau trong một phép đối xứng tâm mà tâm đối xứng là trung điểm của đoạn nối tâm hai đường trịn đã cho
5 Tích của 2 phép đối xứng tâm M
1 Giả sử M; là đối xứng của M qua tâm 5
O, va M2 1a déi xting cua M, qua tâm } Os
O, thi ta néi M; là anh của M cho bởi
M 800) ) M, OD, My M Mạ
tích của hai phép đối xứng tâm S(O,).SO;) Hình 31
Ta co: MM: = MM, + MM,
Trang 32Do d6: Mz là ảnh của M cho bởi phép tịnh tién T(20,0, ) (Hình 31)
Vậy: Tích của hai phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến S(O,).8(O;) = T2Ø,Õ, Tương tự ta cĩ: S(O;).S(O,) = T(2O,Ø, ) Tích của hai phép đối xứng tâm khơng cĩ tính giao hốn: S(O¡).5(O¿) z S(O;).S(O)) S(O,).S(O;) = —[S(O;).S(O))] e Chú ý: Tích S(O).S(O¡) là một phép biến đổi đồng nhất M 80, M, ss M, =M IL Phép đối xứng qua trục (đối xứng trục) 34 1 Định nghĩa a) Ảnh của một điểm
Trong mặt phẳng, cho đường thẳng cố định A và một điểm M Điểm M' được gọi là ảnh của điểm M trong phép đối xứng qua
trục A, kí hiệu S(A), khi A là trung trực của đoạn MM' M -%; M” Ngược lại: M cũng ảnh của M' cho bởi phép đối xứng S(A) ø Cách vẽ ảnh M' của điểm M cho bởi phép đối xứng 8(A) Ké MI + A tại I
Trên tia đối của tia IM, lấy
điểm M' sao cho IM’ = IM, M’
là ảnh của M cho bởi phép đối xứng S(A) (Hình 32) ® A gọi là trục đối xứng , e Với mọi điểm M e A, ảnh M' của M cho bởi phép đối xứng S(A), trùng với M A là tập hợp những điểm kép (điểm bất động) trong phép đối xứng S(A) Hình 32 A Ss A b) Ảnh của một hình:
Trang 33cua hinh (F) cho boi phép doi xung SC\) (Hinh 33) Do đĩ: Anh (thiên hình!
của một hình (tF! chú bơi
phép đối xứng S(vI la một
hình (F”) gồm tât ca các
điểm ảnh của tât ca các La bo
điểm của hinh (F) cho boi "
phép đối xứng S(\) Xá er
(F) = (M/M 25 M,M é Œ), Q
Néu (F’) = (F) thi \ goi la truc doi xung cua hinh (F)
2 Tinh chat
Trong mặt phẳng phép đối xứng truc khơng phải là một phép dời hình, nhưng vẫn bảo tồn khoảng cách và độ lớn của gĩc A Hinh 33
3 Định lí: Trong phép đơi xứng S(A) A B
a) Ảnh của đoạn thăng AB là đoạn + + thẳng A'B' = AB (Hình 34a) K - Nếu AB // A thi A’B’ // A : , (Hình 34b) a B Hinh 34b Hình 34a B — Nếu AB cắt A ơ một điểm O th A'B' cũng cắt A ở O (Hình 34c) A Hinh 34c
b) Ảnh của tam giác ABC là một tam giác A'B'C' bằng nhau
ngược với tam giác ABC
Trang 344 Tích số của hai phép đối xứng trục
S(A).S(A;) = ?
a) Trường hợp hai trục đối xứng giao nhau
Gọi O là giao điểm của hai trục đối xứng A; và A¿
Ta cĩ: M -*2”,M' “2M” M oO
Suy ra: OM = OM’ = OM”
(OM, OM*) = 2(Ai, A;) = 2a[2n]
Do đĩ: M7 là ảnh của M trong phép qua R(0; 2œ), tâm O và gĩc
quay 2œ (Hình 35a) (Học sau) Ay ‘ow
S(A)).S(A;) = R(0; 2u) Ae
Tương tự, ta cĩ: S(A;).S(A¡) = R(0; — 2œ) Hinh 35a
b) Trường hợp hai trục đối xứng song song uới nhau Ta cé: MM’ = 2HK Do đĩ: M” là ảnh của M cho bởi phép tịnh tiến T2HK) với HK = d(Aj, Ag) (Hinh 35b) 8(A,).8(A;) = T(2 HK ) M Tương tự, ta cĩ: S(A;).S(A,) = T2KH)
Vậy: Tích của hai phép đối xứng
trục khơng cĩ tính giao hốn Hình 3ãb
S(A;).S(A;) + S(Ag).S(A))
LUYEN TAP 21 Cho hai đường thẳng song song D và D',
Hỏi D và D' cĩ thể xem là hình đối xứng của nhau? 1 Qua một điểm
2 Qua một trục
hay khơng?
Hướng dẫn
Dựng HH' vuơng gĩc với D và D, H c D và H' c D' Chú ý trung
Trang 35Dưng một đường thăng \ vuơng gĩc với ID và D theo thứ tự tại H va H’ (Hinh 36)
1 Lay một điểm M bât kì thuộc đương thang D
Gọi I là trung điểm cua đoạn
HH’ Duong thang MI cat D’ M H
tai M’
Ta cĩ: AHMÌI = AHMI ->IM' =IM
Suy ra M' là ảnh của điểm M trong phép đối xứng S(I) tâm I
Khi M vẽ đường thăng D
thì M' về đường thang D’ va HB M
ngược lại a
Váy: Hai đường thẳng song song D va D’ Hinh 36
đêi xứng nhau qua tam I, | la trung diém
của đoạn HH' vuơng gĩc với D va D’
2 Qua I, dung đường thẳng (d) song song với D và D' (Hình 37) H M D + a (d) I + ca D H’ M’ Hinh 37
"Ta chứng minh dễ dang D và D' đối xứng nhau qua (d)
Trang 3624 Trong các hình sau hình nào cĩ hai trục đối xứng: A Hình bình hành? B Hình chữ nhật? C Hình thoi? D B và C đều đúng E Các câu trên đều sai ` 2ð Trong các hình sau, hình nào cĩ hai trục đối xứng? A Elip? B Hyperbol? Đ Parabol? D A và B đều đúng
E.L ] Tất cả đều sai
26 1 Đường trịn cĩ vơ số tâm đối xứng: A Dung B Sai 2 Đường trịn cĩ vơ số trục đối xứng A Đúng B Sai 27 Chứng minh rằng một đường thẳng bất kì: 38 1 Cĩ vơ số tâm đối xứng 2 Cĩ vơ số trục đối xứng Giải Lấy một đường thẳng D nào đĩ
1 Lấy một điểm O bất kì thuộc D
Lấy điểm M e D
Trên tia đối của OM, lấy một điểm M' sao cho: OM' =OM
M' là ảnh của điểm M trong phép đối xứng S(O)
Khi M chạy trên đường thẳng D thì M' chạy trên đường thảng D
Ta suy ra O là tâm đối xứng của đường thẳng D
O là một điểm bất kì thuộc D do đĩ đường thẳng D œ vé số tâm đối xứng
M oO M’
2 Dung A 1 D tai O
Suy ra A là trung trực của đoạn MM'
Như vậy M' là ảnh của điểm M trong phép đối xứng S(¿)
Trang 37Ta suy ra \ 1a truc doi xung của đương thang D O bất kì thuộc l) ner aiing
thăng D cĩ vơ so tru: đơi xứng
Vậy: se Một đường thăng cĩ vơ số tâm đối xứng
Một điểm bất ki của đường
thắng là tâm đối xứng của
đường thăng đĩ
se Một đường thẳng cĩ võ số trục đối xứng
Mỗi đường thẳng vuơng gĩc với một đường thẳng cho trước là
trục đối xứng cua đường thang do
28 Chứng minh rằng trong một tam giác, khoảng cách từ một đỉnh đến trưc tâm bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường trịn ngoại
tiế› tam giác đến cạnh đối diện của đỉnh đĩ
Hướng dẫn: Xem bài 5
Học sinh tự giải
29 Ch‹ tam giác ABC trực tâm H nội tiếp trong đường trịn (O)
Chứng minh rằng các đường trịn ngoại tiếp các tam giác HBC,
HCA, HAB bằng nhau Hướng dẫn
Dựng đường cao AA’, cắt đường trịn (O) tai H”
Ching minh H’ 1a điểm đối xứng của điểm H qua BC nghĩa là chứng minh AT = -AH =› đpem Giải Dựng đường cao AA', cät đường trịn (O)tại H' Nối BH (Hình 38) Ta :ĩ: ¢ B = A, (Vi sao?) « Bz=Âi (gĩc nhọn cĩ cạnh đơi nột vuơng gĩc) > 31 = B,
= “am giác BHH' cân tại B
Suy ra BA' cịn là đường trung trực
AH AH
Trang 38H' là ảnh của H trong phép đối xứng S(BC) qua BC
Ta cĩ: B 8, B
ce, ¢
H S80),
= AHBC = AH’BC
Do đĩ đường trịn ngoại tiếp AABC bằng đường trịn (O)
Vậy: (HBC) = (HCA) = (HAB) = (O) ,
(Ki hiéu (HBC) chi đường trịn ngoai tiép AHBC)
30 Cho hình bình hành ABCD tâm O, cĩ hai đỉnh A và C cế định Tìm tập hợp đỉnh D trong các trường hợp sau: 1 Cạnh AB = a khơng đổi 2 B cĩ hình chiếu lên AC là B' cố định 3 B di động trên đường trịn (y) tâm I, bán kính R Hướng dẫn 1 Ta cĩ: OD = -OB = dpem 2 AC cố định, B' cố định B thuộc đường nào? Giải Nhận xét rằng A và C cố định nên đường thẳng AC và điểm O cố định
B và D đối xứng nhau qua O
1 Cạnh AB cĩ độ dài khơng đổi bằng a nên B chạy trên đường
trịn (A) tâm A, bán kính a
D là đối xứng của B qua O
C là đối xứng của A qua O
Do đĩ tập hợp các điểm D là đường trịn (C; a) ảnh của đường
trịn (A; a) cho bởi phép đối xứng S(O) tâm O (Hình 39)
Trang 3931
2 AC c6 dinh, B’ cé dinh nen dugny tnany BB’ cé định
Suy ra B chay trén duong thăng \ vuơng gĩc với AC tai B
Do đĩ tập hợp các điểm DD lá
đường thang A’, anh cua đường thang A cho boi phep doi xưng
S(O) tam O
A' song song với \, vuơng gĩc với
AC tại D, D là anh cua B trong phép đối xứng S(O) (Hình 40) 3 Học sinh tự giải
Cho hinh vuéng ABCD tam O Goi T là phép biến hình, biến mỗi điểm M nằm trong mặt phẳng (ABCD) thành một điểm M' sao
cho: MM” = 8MA + MB- MC - MŨ Hãy xác định T
Hướng dẫn
Viết MM' dưới dạng: MMI -= ZMA - (MA + MB) - (MC + MD)
Giải
Ta cĩ thể viết: MM’ - 3MA + MB- MC - MD
= 2MA + (MA + MBIÌ - (MƠ + MD)
Goi I va J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD ta cĩ: MÃ + MB-= 261 DoJ oc MC + MD = 2MJ #—” => MM! = 2MA + 2MI - 2Md <> MM'- MA = MA+ 2(MI- MJ) = AM' = MA +2JÏ A
œ AM + AM = 2Ji- 2DA (Hinh 42), Y 3
Trang 4032 Cho đường trịn (O; R) và hai điểm cố định A va A' đối xứng nhau
42
qua O Từ điểm M nằm trên đường trịn (O), kẻ MB=ĨA và MB’ = OA’ Tim tép hop
1 Điểm C đối xứng của B qua AM 2 Điểm C' đối xứng của B' qua AM Hướng dẫn * So sánh AC và AB; A'C' và A'B' Giải Hình 42 1 Ta cĩ: AC = AB (Đối xứng qua AM) MB = OA = AB =OM=R => AC =R
Do 44 C nằm trên đường trịn tâm A bán kính R (Hình 42)
Khi điểm M chạy trên đường trịn (O; R) ta cĩ tập hợp các điểm
C 1a đường trịn (A; R)
Nhận xét rằng tập hợp các điểm B cũng chính là đường trịn (0; R)
2 Tương tự: Tập hợp các điểm C' là đường trịn (A'; R) (Hình 42)