Các phép biến hình trong mặt phẳng EUCLIDE

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN PHƯƠNG THẢO CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG EUCLIDE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN PHƯƠNG THẢO CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG EUCLIDE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th.S PHẠM THANH TÂM HÀ NỘI – 2018 Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc 1.2 Góc định hướng 1.2.1 Góc đinh hướng hai tia 1.2.2 Góc định hướng hai đường thẳng Đường phân giác 1.3.1 1.3 Các định lý khác góc Nội dung 2.1 2.2 Phép biến hình 2.1.1 Sơ lược phép biến hình 2.1.2 Phép biến hình affine Phép đẳng cự 10 2.2.1 Sơ lược phép đẳng cự 10 2.2.2 Phép đẳng cự mặt phẳng 10 2.2.3 Các phép đẳng cự đặc biệt mặt phẳng Euclide 14 2.2.4 Hợp thành phép đẳng cự 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Các phép biến hình khác Nguyễn Phương Thảo 41 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 58 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình dạy học tốn phổ thơng, phân mơn Hình học ln mơn học khó em học sinh Bởi khơng cần học nội dung sách giáo khoa, em cần phải tư logic, tưởng tượng sáng tạo vận dụng linh hoat nhiều kiến thức liên quan để giải tập Một số nội dung học sinh học phép biến hình phép dời hình mặt phẳng Đây công cụ đắc lực để giải dạng tập quỹ tích, chứng minh, tốn dựng hình câu hỏi khó đề Phép biến hình mặt phẳng giới thiệu chương trình Tốn lớp củng cố chương trình Tốn trung học phổ thông với nhiều tập đa dạng Tuy nhiên tài liệu tham khảo không vào chuyên sâu nội dung phép biến hình Do em làm đề tài nhằm mục đích khai thác cách cụ thể hiệu phép biến hình mặt phẳng, đồng thời đưa số dạng tập vận dụng chương trình tốn phổ thơng nhằm giúp em học sinh hiểu rõ nội dung này, vận dụng cách linh hoạt phép biến hình để giải toán Xuất phát từ quan sát với hướng dẫn tận tình Th.S Phạm Thanh Tâm, em xin chọn đề tài: “Các phép biến hình mặt phẳng Euclide” để thực khóa luận tốt nghiệp Khóa luận trình bày hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Chương Các phép biến hình mặt phẳng Euclide Mục đích nghiên cứu • Đi sâu vào nội dung phép biến hình mặt phẳng Euclide • Đưa số tốn chương trình phổ thơng giúp học sinh vận dụng linh hoạt phép biến hình học số dạng tập Đối tượng, phạm vi nghiên cứu • Phép biến hình mặt phẳng Euclide • Một số tập hình học liên quan chương trình tốn phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến hình mối quan hệ phép biến hình mặt phẳng Euclide Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích giải minh họa, tích cực nghiên cứu bảo thầy giáo hướng dẫn Ý nghĩa khoa học, thực tiễn đề tài Là tài liệu tham khảo cho sinh viên chun ngành Tốn, học sinh Trung học phổ thơng tham khảo Hà Nội, tháng 04 năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Phương Thảo Bảng kí hiệu (AB) đường thẳng AB [AB) tia [AB) [AB] đoạn thẳng [AB] |AB| độ dài đoạn thẳng [AB] Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Góc Định nghĩa 1.1.1 Một cặp tia h, k gốc O gọi góc, kí hiệu (h, k) Điểm O gọi đỉnh góc h, k gọi hai cạnh góc Định nghĩa 1.1.2 Độ lớn α góc có đỉnh A có hai cạnh hai tia theo thứ tự qua hai điểm B C tính cơng thức: cos α = CA2 +AB −BC 2.CA.AB (0 ≤ α ≤ π) Trong AB, BC, CA độ dài đoạn thẳng Định lý 1.1.1 Cho góc (h, k) mà cạnh thuộc mặt phẳng α tia h thuộc mặt phẳng hay mặt phẳng α khác Khi có tia k phía cho trước đường thẳng chứa tia h cho góc (h, k) tồn đẳng với góc (h , k ), viết (h, k) ≡ (h , k ) Định lý 1.1.2 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng ( không thuộc đường thẳng) ba điểm A , B , C không thẳng hàng Nếu AB ≡ A B , AC ≡ A C (BA, AC) ≡ (B A , A C ,) ( kí hiệu BAC = B A C ) có: ABC ≡ A B C ACB = A C B Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2 Nguyễn Phương Thảo Góc định hướng 1.2.1 Góc đinh hướng hai tia Định nghĩa 1.2.1 Cho hai tia OA OB Góc định hướng hai tia OA OB hình gồm hai tia OA OB hai tập hợp hai tia phân hoạch mặt phẳng ra; đồng thời hai tia OA OB ta quy ước tia tia đầu, tia tia cuối Dễ thấy với hai tia OA, OB có hai góc định hướng tạo hai tia Ký hiệu:(OA, OB) Nhận xét 1.2.1 Nếu α giá trị góc định hướng hai tia OA OB giá trị khác sai khác lượng k2π: α = α + k2π (k ∈ Z) Định nghĩa 1.2.2 Hệ thức Salo: Cho n tia OA1 ; OA2 ; ; OAn mặt phẳng định hướng ta có hệ thức Salo: (OA1 , OA2 ) + (OA2 , OA3 ) + + (OAn−1 , OAn ) = (OA1 , OAn ) 1.2.2 Góc định hướng hai đường thẳng Định nghĩa 1.2.3 Trong mặt phẳng định hướng, cho hai đường thẳng a b • Nếu a ∩ b ≡ O góc định hướng từ a đến b góc quay quanh O để a trùng b • Nếu a//b a ≡ b góc định hướng hai đường thẳng a b Kí hiệu: (a, b) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Nhận xét 1.2.2 Nếu α giá trị góc định hướng hai đường thẳng a b giá trị α khác có dạng: α = α + kπ (k ∈ Z) Định nghĩa 1.2.4 Hệ thức Salo Trong mặt phẳng định hướng cho n đường thẳng a1 , a2 , , an cắt O Khi ta có: (a1 , a2 ) + (a2 , a3 ) + + (an−1 , an ) = (a1 , an ) 1.3 Đường phân giác Định nghĩa 1.3.1 Tia phân giác: Cho hai tia OA, OB mặt phẳng (P ) định hướng Tia OT thuộc mặt phẳng (P ) gọi tia phân giác góc định hướng hai tia OA, OB nếu: (OA, OT ) = (OT , OB) ⇔ (OA, OT ) + (OT , OB) = 2(OT , OB) ⇔ (OA, OB) = 2(OT , OB) ⇔ (OT , OB) = 12 (OA, OB) Định nghĩa 1.3.2 Đường phân giác: Trong mặt phẳng (P ) định hướng, cho hai đường thẳng a, b cắt O Đường thẳng t qua O mặt phẳng (P ) gọi đường phân giác góc định hướng hai đường thẳng a b cắt O nếu: (a, t) = (t, b) ⇔ (a, t) + (t, b) = 2(t, b) ⇔ (a, b) = 2(t, b) ⇔ (t, b) = 12 (a, b) Nhận xét: Các điểm nằm đường phân giác cách hai đường thẳng hợp thành góc mà chia đơi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) (O ) tiếp xúc với A((O )nằm (O)) BC dây cung (O) tiếp xúc với (O ) Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC dây BC thay đổi Gọi M tiếp điểm BC với đường tròn (O ) Phép vị tự tâm A, tỉ số k biến (O )thành (O) biến M thành M thuộc (O) O M//OM Rõ ràng M điểm cung BC nên AM tia phân giác góc BAC tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm AM Vì BI phân giác góc B nên ta có: AI IM = AB BM = √ AB BA.BB Ta lại có AB = kAB , đó: BB = (1 − k1 )AB ⇒ √ AB BA.BB − → −−→ − → Vậy AI = q.IM hay AI = vị tự tâm A tỉ số q q+1 = √1 1− k1 −→ q − q+1 AM = q ( không đổi) Tập hợp điểm I ảnh (O ) qua phép (là đường tròn) Phép đồng dạng Định nghĩa 2.3.3 Phép biến hình phẳng cho khoảng cách hai điểm nhân lên với số k > gọi phép biến đổi đồng dạng tỉ số k 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Kí hiệu phép đồng dạng Z k , với k tỉ số đồng dạng Định nghĩa 2.3.4 • Phép đồng dạng bảo tồn hướng gọi đồng dạng thuận ( đồng dạng loại một) • Phép đồng dạng không bảo tồn hướng gọi đồng dạng nghịch ( hay đồng dạng loại hai) Ví dụ 2.3.1 • Các phép vị tự ví dụ phép đồng dạng thuận Ta có VOk = Z |k| • Tất phép đẳng cự biến đổi đồng dạng: D = Z1 Định nghĩa 2.3.5 Nếu hình Φ1 ảnh hình Φ qua phép đồng dạng tỉ số k Φ1 gọi hình đồng dạng với Φ với hệ số đồng dạng k Kí hiệu Φ1 ∼ Φ Ví dụ 2.3.2 • Các đường thẳng tia đồng dạng • Các đường tròn đồng dạng với • Các đa giác số cạnh đồng dạng Dễ thấy, quan hệ đồng dạng hình quan hệ tương đương Tính chất 2.3.2 a) Trong hình đồng dạng đoạn tương ứng tỉ lệ; góc tương ứng tồn đẳng b) Biến đổi đồng phép đồng dạng c) Biến đổi ngược Z k phép đồng dạng với hệ số k1 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Các mệnh đề sau suy trực tiếp từ định nghĩa Mệnh đề 2.3.3 Có phép đồng dạng biến đỉnh A, B, C tam giác ABC tương ứng thành đỉnh A1 , B1 , C1 tam giác A1 B1 C1 đồng dạng với Mệnh đề 2.3.4 Hợp thành phép vị tự tỉ số k = phép đẳng cự phép đồng dạng tỉ số |k| Ngược lại, phép đồng dạng tỉ số k biểu diễn hợp thành phép vị tự với tỉ số k = phép đẳng cự Định lý 2.3.2 • Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thằng hàng bảo tồn thứ tự chúng, bảo tồn tính song song tính đồng quy • Phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn • Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc ( biến góc thành góc tồn đẳng) Định lý 2.3.3 Mọi phép đồng dạng tỉ số k = có điểm bất động Nếu phép đồng dạng có điểm bất động điểm gọi tâm đồng dạng Chứng minh: Ta thừa nhận định lí nêu cách xác định điểm bất động O phép đồng dạng khác đẳng cự Z k a) Xét mặt phẳng E2 Z k thuận 1) Nếu Z k phép vị tự có k = nên tâm vị tự điểm O 2) Nếu Z k khơng phải phép vị tự, ta có Z k xác định hai tam giác đồng dạng chiều ABC A B C sau: Rõ ràng AB, A B, không song song Gọi I = AB ∩ A B Do OAB OA B đồng dạng chiều nên IAO = IA O suy IAA O tứ giác nội tiếp Tương tự IBB O tứ giác nội tiếp Vậy O giao điểm thứ hai hai đường tròn ngoại tiếp tam giác IAA IBB , 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo b) Xét E2 Z k nghịch: Do Z k xác định hai tam giác đồng dạng không chiều OAB OA B Ta có: (OA, OB) = −(OA , OB ) Vậy phân giác BOB phân giác AOA , Giả sử phân giác BOB cắt BB AA Q P Do PA PA = OA OA = k QB QB = OB OB = k nên ta có (A AP ) = (B BQ) = −k Nếu lấy I = SP Q (A) I ∈ OA Vậy O = P Q.A I Như cách dựng O trường hợp là: Lấy hai cặp điểm tương ứng (A, A ) (B, B ) Dựng điểm P, Q thỏa mãn (A AP ) = (B BQ) = −k Dựng điểm I điểm đối xứng A qua P Q Cuối O giao điểm P Q với A I Dạng chuẩn tắc phép đồng dạng 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Bổ đề 2.3.1 Hợp thành phép vị tự phép quay giao hoán tâm vị tự trùng với tâm quay Bổ đề 2.3.2 Hợp thành phép vị tự phép đối xứng trục giao hoán tâm vị tự thuộc trục đối xứng Định lý 2.3.4 • Mọi phép đồng dạng thuận khơng phải phép đẳng cự hay phép vị tự phân tích cách thành tích giao hoán phép vị tự phép quay • Mọi phép đồng dạng nghịch phép đẳng cự phép vị tự phân tích cách thành tích giao hốn phép vị tự phép đối xứng trục Một số ví dụ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có C = 90o , đường cao CD Chứng minh trung tuyến AM, CN tam giác ADC, DBC vng góc với Ta chứng minh toán sau: Do: ADC ∼ CDB nên |DC| |DA| = |DB| |DC| Bây ta xác định phép đồng dạng cụ thể biến 90o ; |DC| ZD |DA| 90o ; |DB| ZD |DC| Như 90o ; |DC| ZD |DA| : ADC thành DCB : A → C : C → B ACD → CBD M → N , AM → CN , nghĩa AM ⊥ CN Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Trên ba cạnh tam giác ta dựng phía ngồi ba tam giác Chứng minh tâm tam giác lập thành tam giác 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Ở phía ngồi ba cạnh BC, AC, AB dựng ba tam giác có tâm P, Q, R o Q−120 : C → A Q Ta có: o Q−120 : A → B R o o Q−120 ◦ Q−120 : C → B R Q Do đó: Ta lại có: o o o o o −120 Q−120 ◦ QQ = Q−240 = Q+120 vQ120 : C → B P R ? ? Vì thế: o o o Q−120 ◦ Q−120 = Q120 P R Q Theo tính chất hợp thành hai phép quay ta có P QR Phép nghịch đảo Định nghĩa 2.3.6 Không gian En (n = 2, 3) bổ sung phần tử ∞ gọi không gian bảo giác En Định nghĩa 2.3.7 Trong không gian bảo giác cho điểm O số thức k = 0, phép biến hình En cho ứng điểm M với điểm M thỏa mãn OM OM = k, 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo O ∞ tương ứng với gọi phép nghịch đảo cực O, phương tích nghịch đảo k Chú ý: OM = k OM ∀M = O, ∞ Kí hiệu phép nghịch đảo N (O, k) Định nghĩa 2.3.8 Hai hình tương ứng phép nghịch đảo gọi hai hình nghịch đảo Tính chất 2.3.3 Phép nghịch đảo En phép nghịch đảo đối hợp Tính chất 2.3.4 Nếu M, M tương ứng với qua N (O, k) M, M , O thẳng hàng Tính chất 2.3.5 Nếu phương tích nghịch đảo k < phép nghịch đảo khơng có điểm bất động Nếu phương tích nghịch đảo k > phép nghịch đảo có tập điêm bất động √ siêu cầu tâm O bán kính k (Siêu cầu nghịch đảo) Chứng minh: Xét N (O, k) phép nghịch đảo có k > Rõ ràng O ∞ không điểm bất động M điểm bất động N (M ) = M hay ta có OM OM = k suy √ OM = k Tính chất 2.3.6 Mọi siêu cầu có tính chất: Phương tích cực nghịch đảo phương tích nghịch đảo hình kép Tính chất 2.3.7 Điều kiện cần đủ để hai điểm M, M tương ứng với phép nghịch đảo phương tích dương có n-siêu cầu qua M, M trực giao với siêu cầu nghịch đảo 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Chú ý: Để chuyển từ phép nghịch đảo phương tích âm sang phép nghịch đảo phương tích dương ta áp dụng hệ thức sau: N (O, k) = XO N (O, −k) Một số tính chất quan trọng phép nghịch đảo phát biểu định lý sau Định lý 2.3.5 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không qua cực nghịch đảo thằng siêu cầu qua cực nghịch đảo biến siêu cầu qua cự nghịch đảo thành siêu phẳng không qua cực nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh định lý không gian E2 , việc chứng minh E3 tương tự a) Qua phép nghịch đảo, ảnh đường thẳng không qua cực nghịch đảo đường tròn qua cực nghịch đảo Chứng minh: Cho đường thẳng d không qua cực O ⇒ Nok : d → (C) và(C) qua O Gọi A hình chiếu vng góc O lên d A = NOk (A) Lấy điểm M tùy ý d M = NOk (M ) ⇒ OM OM = k = OA.OA ⇒ bốn điểm M, M , A, A 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo đồng viên ⇒ M AA = M M A = 900 ⇒ M thuộc đường tròn đường kính OA b) Qua phép nghịch đảo, ảnh đường tròn qua cực nghịch đảo đường thẳng khơng qua cực nghịch đảo vng góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo tâm đường tròn cho Chứng minh: Đường tròn (C) qua O ⇒ Nok : (C) → d không qua O d⊥OO1 Gọi A điểm đối xứng với O qua tâm O1 B ảnh A qua NOk M điểm tùy ý (C) N = NOk (M ) Ta có: OM.ON = k = OA.OB ⇒ bốn điểm A, B, M, N thuộc đường tròn ⇒ AM N = ABN = 900 ⇒ N thuộc đường thẳng d qua B vng góc với OA Định lý 2.3.6 Phép nghịch đảo biến siêu cầu không qua cực nghịch đảo thành siêu cầu không qua cực nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh định lý E2 Qua phép nghịch đảo, ảnh đường tròn khơng qua cực nghịch đảo đường tròn khơng qua cực nghịch đảo Cho (C) = (I; R) không qua O ⇒ NOk : (C) → (C ) = (I ; R ) khơng qua O 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Chứng minh: Lấy điểm M tùy ý (C), OM cắt (C) N Ta có : ℘O/(C) = OM ON = p Suy ảnh (C) qua NOk (C) Gọi M ảnh M qua NOk ⇒ OM.OM = k ⇒ k Suy M ảnh N qua phép vị tự VOp OM ON = kp Đảo lại M ảnh N qua k p VO OM = kp ON ⇒ OM OM = OM kp ON = k Suy M ảnh M qua NOk k Vậy ảnh (C ) (C) qua ảnh (C) qua VOp với p =℘O/(C) đường tròn Các bất biến Bổ đề 2.3.3 Nếu NOk (A) = A1 , NOk (B) = B1 thì: |A1 B1 | = k |OA|.|OB| |AB| Chứng minh: Thật vậy, ba điểm O, A, B không nằm đường thẳng từ hệ thức OA.OA1 = OB.OB1 = k, hay OA OB1 OB1 A1 đồng dạng nghịch với Do đó: 54 = OB , OA1 ta hai tam giác OAB Khóa luận tốt nghiệp Đại học |A1 B1 | |AB| Vậy |A1 B1 | = Nguyễn Phương Thảo = |OA1 | |OB| = |OA|.|OA1 | |OA|.|OB| OA.OA1 |OA|.|OB| = = k |OA|.|OB| k |OA|.|OB| |AB| Trường hợp ba điểm O, A, B thẳng hàng A1 , B1 nằm đường thẳng Lúc ta được: A1 B1 = OB1 − OA1 = k OB − k OA = f (OA−OA) OB.OA = k.BA OA.OB Từ ta thu hệ thức k |OA|.|OB| |AB| |A1 B1 | = Mệnh đề 2.3.5 Phép nghịch đảo phép biến hình bảo giác làm đảo hướng hình phương tích nghịch đảo dương Mệnh đề 2.3.6 Phép nghịch đảo bảo tồn tỉ số kép bốn điểm Chứng minh: Trước hết ta định nghĩa tỉ số kép (ABCD) bốn điểm A, B, C, D lấy theo thứ tự là: (ABCD) = (ABC) : (ABD) = CA CB : DA DB Giả sử phép NOk biến bốn điểm A, B, C, D thành điểm tương ứng A1 , B1 , C1 , D1 Theo bổ đề ta có: |C1 A1 | |CA| = |C1 B1 | k |OA|.|OC| , |CB| = |D1 A1 | k |OB|.|OC| , |DA| = |D1 B1 | k |OA|.|OD| , |DB| Suy |C1 A1 | |CA| : |C1 B1 | |CB| = |D1 A1 | |DA| : |D1 B1 | |DB| = Do |C1 A1 | |C1 B1 : D1 A1 | |D1 B1 | = Vậy (A1 B1 C1 D1 ) = (ABCD) 55 |CA| |CB| : |DA| |DB| |OB| |OA| = k |OB|.|OD| Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo Mệnh đề 2.3.7 Tích hai phép nghịch đảo đồng cực phép vị tự có tâm trùng với cực nghịch đảo hệ số vị tự tỉ số phương tích nghịch đảo Chứng minh: Ta chứng minh định lí cho hai phép nghịch đảo đồng quy cực khơng phân biệt phương tích dương hay âm Với điểm M tùy ý, giả sử NOk1 (M ) = M1 , NOk2 (M1 ) = M2 Khi đó: OM OM1 = k1 , OM1 OM2 = k2 Do OM2 OM = k2 , k1 OM2 = k2 k1 OM k2 Vậy tích hai phép nghịch đảo NOk2 , NOk1 phép vị tự VOk1 Hệ 2.3.2 Tích phép vị tự phép nghịch đảo có tâm, cực trùng ( theo thứ tự hay thứ tự ngược lại) phép nghịch đảo Chứng minh: Ta có: NOk2 ◦ NOk1 = VOk ⇔ NOk1 = (NOk2 )−1 ◦ VOk DO (NOk2 )−1 = NOk2 nên NOk1 = NOk2 ◦ VOk Một số ví dụ: Ví dụ 1: Định lý Ptolemy: Điều kiện cần đủ để tứ giác lồi nội tiếp đường tròn tích hai đường chéo tổng số tích cặp cạnh đối diện Chứng minh: Xét phép nghịch đảo: 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Phương Thảo ND1 : A → A1 , B → B1 , C → C1 Ta thấy tứ giác ABCD với hai đường chéo [AC], [BD], nội tiếp điểm A1 , B1 , C1 , D1 phải thẳng hàng điểm B1 ∈ [A1 C1 ], tức ABCD tứ giác nội tiếp [A1 C1 ] = [A1 B1 ] + [B1 C1 ].Theo bổ đề 2.3.3, ta có: |AC| |DA|.|DC| = |AB| |DA|.|DB| + |BC| |DB|.|DC| Nhân hai vế với |DA|.DB|.|DC| ta có: |AC|.|DB| = |AB|.|DC| + |BC|.|DA| Ví dụ 2: Cho đường thẳng điểm cố định O ∈ / Với điểm M ∈ , ta vẽ điểm N ∈ [OM ) cho OM ON = 1: Chứng minh quỹ tích N vòng tròn (C) qua O 2: Cho điểm cố định A ∈ Vẽ vòng qua O, A cắt lại vòng tròn (C) điểm P (khác O) cắt đường thẳng điểm Q (khác A) Chứng minh P Q qua điểm cố định vòng tròn (C) Giải: O, M, N thẳng hàng OM.ON = nên N = NO1 (M ) Vậy quỹ tích N đường tròn (C) qua O Gọi B = (OA) ∩ (C), R = (OQ) ∩ (C), S = (OP ) ∩ NO1 : , F = (P Q) ∩ (C) Xét: → (C), A → B, Q → R, S → T Do (D) → (BR) Vì tứ giác RQSP nội tiếp nên R = P Suy cung OB cung OF Do B điểm cố định nên F cố định Ta có: OBF = OP F ( góc nội tiếp chắn cung) OP F = QP S = QRS = OAQ Suy OBF = OAS Vậy (BF )// 57 Kết luận Sau thời gian học tập, tổng hợp hoàn thiện khóa luận hướng dẫn tận tình Th.S Phạm Thanh Tâm, em hồn thành khóa luận Các phép biến hình mặt phẳng Euclide mình, phần quan trọng chương trình hình học, phương pháp giải chứng minh hữu hiệu chương trình tốn phổ thơng Khóa luận bao gồm phần phần kiến thức sau: Hệ thống kiến thức chuẩn bị trình bày rõ ràng, đầy đủ làm tiền đề để nghiên cứu phép biến hình Các phép biến hình, gồm có phép biến hình nghiên cứu mặt phẳng Euclide Mối quan hệ phép biến hình Trong đó, đóng góp khóa luận bao gồm: Các phép biến hình mối quan hệ mặt phẳng Euclide, quay trở lại, phần kiến thức quan trọng bổ ích cho em học sinh ứng dụng thực tế Do điều kiện thời gian lực thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận hồn thiện 58 Tài liệu tham khảo [1] Đ.Đ.Thái, P.V.Đức, P.H.Hà (2011), Cơ sở hình học hình học sơ cấp, Nxb Đại học Sư Phạm, Hà Nội [2] B.V.Bình, N.V.Vạn (1993), Giáo trình hình học sơ cấp Tập 1,2,Nxb Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [3] Đ.Quỳnh, V.N.Cương, T.N.Dũng, N.M.Hà, Đ.T.Sơn, L.B.K.Trình (2010), Tài liệu chuyên tốn: Bài tập hình học 10, Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam 59 ... Chương Các phép biến hình mặt phẳng Euclide Mục đích nghiên cứu • Đi sâu vào nội dung phép biến hình mặt phẳng Euclide • Đưa số tốn chương trình phổ thơng giúp học sinh vận dụng linh hoạt phép biến. .. Tính chất 2.2.3 Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn góc 2.2.2 Phép đẳng cự mặt phẳng Định nghĩa 2.2.2 Phép biến hình mặt phẳng Euclide bảo tồn khoảng cách hai điểm gọi phép đẳng cự mặt phẳng Euclide, tức... hai phép biến hình Giả sử f g hai phép biến hình En cho, tích f ◦ g ánh xạ từ En vào En nên tích phép biến hình En Định nghĩa 2.1.3 Điểm bất động, hình kép, hình bất động Cho phép biến hình