Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng

Trên cơ sở khaithác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phương trìnhdạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của ba điểm,tính chất song song

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập hợp số thực khi giảiphương trình, nhưng lại tìm thấy những ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơhọc, vật lý và các ngành kĩ thuật khác

Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và cáctính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học Trên cơ sở khaithác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phương trìnhdạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của ba điểm,tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng và các biểu thức dạngphức của các phép biến hình Xuất phát từ quan điểm xem số phức là công cụnghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là nghiên cứu các

phép biến hình chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng”.

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức

- Tổng hợp, phân tích các kiến thức về các phép biến hình trong mặt phẳng bằngcông cụ số phức và phân tích qua các bài tập vận dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu liên quan đến số phức, các phép biến hình trong mặtphẳng, từ đó hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức, diễn đạt theo ngôn ngữ

số phức các phép biến hình trong mặt phẳng

- Nghiên cứu một số dạng bài tập liên quan đến phép biến hình sử dụng công cụ

số phức

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu giáo trình liên quan đến

số phức và các phép biến hình trong mặt phẳng

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức

có liên quan đến vấn đề nghiên cứu một cách đầy đủ, khoa học và chính xác

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức, các phép biến hìnhtrong mặt phẳng và các bài toán về quỹ tích, dựng hình

- Phạm vi nghiên cứu: Số phức và các phép biến hình trong hình học sơ cấp

6 Bố cục của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo đề tài: "Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng" bao gồm 3 chương:

Chương 1 Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức

1.1 Định nghĩa, dạng đại số của số phức

1.2 Các phép toán và tính chất 1.3 Biểu diễn hình học của số phức

1.4 Số phức liên hợp và mô đun của số phức

1.5 Dạng lượng giác của số phức

1.6 Căn bậc n của số phức 1.7 Tích vô hướng và tích lệch

1.8 Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức

Chương 2 Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng

Chương 3 Bài tập vận dụng

3.1 Bài toán chứng minh3.2 Bài toán quỹ tích3.3 Bài toán dựng hình3.4 Bài tập

Chương 1

ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC

1.1 Định nghĩa, dạng đại số của số phức

Tập hợp 2

 các cặp (có thứ tự) số thực (x, y) với các phép toán cộng vànhân xác định bởi:

(x, y) + (u, v) = (x + u, y+ v)

(x, y).(u, v) = (xu - yv, xv + yu)

gọi là tập hợp các số phức, kí hiệu là ,  cùng hai phép toán trên làm thành

một trường

Vậy mỗi số phức z   là cặp số thực (x, y), viết z = (x, y) Để ý các sốphức dạng (x, 0), (x  ) ta thấy:

(x, 0) + (x', 0) = (x + x', 0)( x, 0 ).(x', 0) = (x.x', 0)Tức là phép cộng và phép nhân các số phức dạng (x, 0) cũng giống nhưphép cộng và phép nhân các số thực x; từ đó có thể đồng nhất tập hợp  các số

thực x với tập hợp con của  gồm các phần tử (x, 0), tức coi , viết

x = (x, 0)

Kí hiệu số phức (0, 1)   là i, gọi là đơn vị ảo, thì với y  , ta có:

yi = (y, 0).(0,1) = (0, y)

iy = (0, 1).(y, 0) = (0, y)nên z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy = x + yi Vậy mỗi số phức z có thể viếtdưới dạng z = x + iy ( hay z = x + yi ) (x, y  ), gọi là dạng đại số của số phức

z, trong đó:

x gọi là phần thực của z, kí hiệu Rez,

y gọi là phần ảo của z, kí hiệu Imz

Số phức mà phần ảo bằng 0 là số thực, số phức có phần thực bằng 0 gọi là sốthuần ảo

1.2 Các phép toán và tính chất

1.2.1 Các phép toán

1.2.2.2 Tính chất của phép nhân và chia số phức

Phép toán nhân các số phức cũng có các tính chất tương tự phép toán nhân các

    tính chất phân phối giữa phép cộng và phép nhân

*) Với z  và n là số nguyên dương, người ta cũng viết: zn = 

n lÇn

z z z

Khi đó i2 = (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) tức i2 = -1

*) Với z  0 và n là số nguyên, n  0, ta cũng có: z0 = 1, z-n = 1n

z và với

 m, n  Z ta có : zm zn = zm+n , (zm)n = zmn

1.3 Biểu diễn hình học của số phức

Trong mặt phẳng, kí hiệu E, lấy hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy, khi đó mỗi điểm M của E xác định bởi tọa độ (x; y) của nó trong hệ tọa độ đó Gọi số phức z = x + yi là tọa vị của điểm M, cũng viết M(z) và gọi E (với hệ tọa độ Oxy) là mặt phẳng phức, đồng nhất M với tọa vị của nó, tức đồng nhất E với .Các điểm thuộc Ox là các điểm có tọa vị thực nên gọi Ox là trục thực Các điểm

thuộc Oy là các điểm có tọa vị thuần ảo nên gọi Oy là trục ảo Điểm K có tọa vị

1 thuộc Ox gọi là điểm đơn vị, điểm I có tọa vị i thuộc Oy gọi là điểm đơn vị ảo.Mỗi điểm M E xác định véc tơ OM gọi là bán kính

véc tơ của M (đối với gốc O của E)

Khi đó M có toạ độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy

thì véc tơ OM cũng có tọa độ (x, y) nên M có toạ vị z

thì véc tơ OM cũng có toạ vị z, viết OM (z) Nếu OM có Hình 1.1

toạ vị z, OP có tọa vị w thì z + w là tọa vị của OM + OP , kz (k R) là tọa vị

của k OM tức là nếu z = x + yi thì kz = (k + 0i)(x + yi) = kx + kyi

1.4 Số phức liên hợp và mô đun của số phức

1.4.1 Số phức liên hợp

Cho số phức z = x + yi (x, y  ) thì số phức  z x iy gọi là số phức liên hợp của z Nếu z là tọa vị của M thì z là tọa vị của điểm M' đối xứng với

M qua trục Ox Ta có: z + z = 2Rez, z  z = 2iImz

Vậy số phức z là số thực khi và chỉ khi z = z , nó là số

thuần ảo khi và chỉ khi z =  z

K(1) y

M(z) y

M ’ ()

x O

Hình 1.2

i) z = z

ii) z w z w  

iii) zw z  w

iv) z w z w  

1.4.2 Mô đun của số phức

Nếu z là tọa vị của điểm M thì ta định nghĩa môđun của z là khoảng cách

1.5 Dạng lượng giác của số phức

1.5.1 Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z  0

Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị z,

khi đó M được xác định bởi độ dài đoạn thẳng OM tức z

và góc định hướng (Ox, OM) tạo bởi tia Ox (tia đầu),

tia OM (tia cuối) Số đo  của góc định hướng (đo bằng rađian) xác định saikhác một bội nguyên của 2 ,  gọi là argumen của z, kí hiệu: argz

Vậy z  0 hoàn toàn xác định bởi z và argz + 2k (k  ), tức là nếu

x O

Hình 1.3

đôi khi cũng dùng công thức lượng giác đó cho cả z = 0, coi argz khôngxác định trong trường hợp này.

1.5.2 Nhân số phức dưới dạng lượng giác

Cho z, w  : z = z (cos + isin )

w = w (cos  + isin  )

Ta có:

zw z w (cos + isin )(cos  + isin  )

= z w (cos cos  - sin sin  ) + i(cos sin  + cos  sin ) = z w ((cos( +  ) + isin( +  ))

Vậy zw z w , arg(zw) = arg z + arg w + 2k , k  Z

1.6 Căn bậc n của số phức

1.6.1 Căn bậc hai của số phức

Ta sẽ chứng minh trong  có căn bậc hai của mọi số

*) n là kí hiệu số thực không âm mà lũy thừa n bằng 

*) Cho k = 0, 1, 2, …, n - 1 thì được n nghiệm khác nhau đó là tất cả cácnghiệm của phương trình zn =  Vậy n nghiệm đó ứng với k = 0, 1, 2, …, n -1

là tọa vị của n điểm A0, A1, …, An-1 Các điểm này tạo thành đa giác n đỉnh địnhhướng thuận nội tiếp đường tròn tâm O bán kính n

1.6.3 Căn bậc n của đơn vị

0 1 1, 1, k, l k l

         Ngoài ra, còn có 1

   và zn - 1 = z 0 z 1 z n1 (do tất cả các nghiệm của phương trình zn - 1 = 0 là ( 0, 1, ,n1)

OP = w và  ,  lần lượt là argz, argw.

Ta có: z w = z (cos +i.sin ) w (cos(-  )+ i.sin(-  ))

= z w cos   isin  

= z w cos    isin  

Tương tự ta có: w z = w z cos    isin  

Định nghĩa 1.1 Tích vô hướng của hai véc tơ 

Nếu z = 0 hoặc w = 0 thì quy ước: OM OP = <z, w> = 0

Tính chất của tích vô hướng

<z, z> = z z = z 2 > 0, z  0 (tính chất xác định dương)

<z, w> = <w, z> ( tính chất đối xứng)

<kz, w> = k <z, w>, k

<z1+z2, w> = <z1, w> + <z2, w>

- Phương trình z = z0+ t u (t ) được gọi là phương trình tham số của

đường thẳng  qua M0(z0) có véc tơ chỉ phương u(u)

- Phương trình của đường thẳng đi qua M0(z0) và có véc tơ chỉ phương u

Cho hai điểm M1(z1), M2(z2) Đường thẳng đi qua hai điểm M1(z1),

M2(z2) là đường thẳng đi qua điểm M1(z1), có véc tơ chỉ phương  

00

Mặt khác đường thẳng  qua hai điểm M1(z1), M2(z2) là đường thẳng đi

qua điểm M1(z1), có véc tơ chỉ phương u M M có toạ vị z1 2 2 z1 nên có phươngtrình tham số: z = z1 + (z2 z1) t, t  

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy chọn điểm A Ox, A có toạ vị z1 = a (a  ) và B Oy, B có tọa vị z2 = ib (b  ) Khi đó phương trình đườngthẳng đi qua hai điểm A, B (đường thẳng AB) là:

z2  z z1  z2  z z1 z z1 2  z z1 2 0

 (- ib – a)z – (ib – a) z + iab + iab = 0

 (a + ib)z + (ib – a) z = i2ab

1.8.2.1 Phương trình dạng tự liên hợp của đường tròn

Trong mặt phẳng phức, xét đường tròn (C) có tâm tại điểm M0 có toạ vị z0

và có bán kính R > 0 Điểm M(z) thuộc đường tròn (C) khi:

1.8.2.2 Phương trình dạng tham số của đường tròn

Cho đường tròn (C) tâm M0 có tọa vị z0, bán kính R > 0.

Điểm M (z) thuộc đường tròn (C) và gọi t là argumen của z  z0, ta có:

z z0 = R  z  z 0 = R( cost + isint ), 0 t 2

 z = z 0 + Re it , 0 t 2

Vậy: z = z 0 + Re it, 0 t 2 gọi là phương trình tham số của đường tròn (C).

1.8.2.3 Phương trình tổng quát của đường tròn

Trong hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) Phươngtrình tổng quát của (C) được xác định:

a(x 2 + y 2 ) + 2bx + 2cy + d = 0, a 0, b 2 + c 2 > ad, a, b, c, d  

Đặt z = x + iy  2x = z z ; 2y = z zi

Khi đó, phương trình trên trở thành:

az z + b(z + z ) + c( z  z)i + d = 0  az z + (b  ic) + (b + ic) z + d = 0

- Nếu  2  ad < 0: không có z   thoả mãn phương trình đó (hay còn

gọi là phương trình của “đường tròn ảo” tâm tại điểm có tọa vị  

a )

- Để cho gọn ta còn viết phương trình của đường tròn tâm M0(z0), bán

kính R là: z z + zz+ d = 0, d  ,    và  2 d0

hoặc: zz 2 ,z d 0, d  ,    và  2 d0

là đường tròn tâm M0(z0), toạ vị z0 =  , bán kính R = 2

a Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng vàkhông làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó

c Phép tịnh tiến:

+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

+ Biến một tia thành một tia

+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

O

v 

+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.

2.1.3 Chứng minh một số tính chất

Cho T v là một phép tịnh tiến có biểu thức tọa vị là z’ = z + 

(  là tọa vị của véc tơ tịnh tiến v )

* T v biến một đường thẳng thành một đường thẳng.

- Trường hợp đường thẳng  có phương trình là:

Vì '  1, ' '  +  ’=  ( +  -   ) +  +  -  

=   +   -  +  +  -   =   +  = 0Nên z’ = ' ' z +  ’ là phương trình của một đường thẳng

Vậy phép tịnh tiến T v biến đường thẳng  thành đường thẳng ' cóphương trình là z’ = ' ' z +  ’ (với  ’= ,  ’= +  -   )

- Trường hợp đường thẳng  có phương trình là z = z +  (trong đó







 ) (tức  là đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v ).

Khi đó ảnh của đường thẳng  qua T v là đường thẳng ' có phương trìnhlà: z’ = ' ' z +  ’

Với  ’= 



 ,  ’= +  -   =  +  -  

Khi đó ' có phương trình là z’ = ' ' z +  Suy ra  '

Vậy T v biến đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến v thành chínhđường thẳng đó

* T v biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó.

Cho đường tròn (C1) có phương trình là

z z’ +  z + 1 1 z+ p1 = 0 ( p1  ) (C1) có tâm có tọa vị là z0 = -1, bán kính R1   1 1 p1

Ảnh của đường tròn (C1)qua T v là đường (C2)có phương trình là

Hình 2.2

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.

Khi đó Đd là phép đối xứng trục có biểu thức tọa vị là

'

z z  1,   0

2.2.2 Tính chất

a) Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b) Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự của chúng

c) Phép đối xứng trục biến:

+ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng

+ Biến một tia thành một tia

+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

+ Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó

+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

d) Phép đối xứng trục là phép biến hình có tính chất đối hợp

2.2.3 Chứng minh một số tính chất

Cho phép đối xứng trục Đd có biểu thức tọa vị là

z’ = z  1,   0

(d là đường thẳng có phương tình là z = z,  1,   0)

* Phép Đ d biến một đường thẳng thành một đường thẳng

Cho đường thẳng  có phương trình là

Nên 'z ' 'z ' là phương trình của một đường thẳng.

Vậy Đd biến đường thẳng  thành đường thẳng ’ có phương trình là

* Đ d biến một đường tròn thành đường tròn bằng nó

Cho đường tròn  có phương trình là zzzz p0 (p )

 là đường tròn có tâm có tọa vị zy o = -  , có bán kính R=    p

d



'



Ảnh cuả đường tròn  qua Đd là đường ' có phương trình là

Ta ký hiệu ( AM AM, ') là góc định hướng mà tia đầu là AM, tia cuối làAM’.

Ký hiệu phép quay tâm A góc quay  là Q A

Đặt cos + isin   p p là số phức có p 1 và argp=

a) Phép quay bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

b) Phép quay biến ba điểm thẳng hành thành ba điểm thẳng hàng vàkhông làm thay đổi thứ tự của chúng

c) Phép quay Q A

+ Biến đường thẳng  thành đường thẳng ’ và (,’)=

+ Biến một tia thành một tia

+ Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó

+ Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó

+ Biến một tam giác thàn tam giác bằng nó

+ Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

d) Phép quay Q A có tâm A là điểm kép duy nhất

2.3.3 Chứng minh một số tính chất

Cho phép quay Q A có biểu thức tọa vị là

z' = p (z-a) + a (a là tọa vị của A, argp =  , p  )1

* Q A biến một đường thẳng thành một đường thẳng

+ Cho đường thẳng  có phương trình là

Khi đó ảnh của đường thẳng  qua Q A là đường ’ có phương trình là

''

Suy ra 'z ' 'z ' là phương trình của một đường thẳng

Vậy Q A biến đường thẳng  thành đường thẳng ’ có phương trình là

biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó

Cho đường tròn C1 có phương trình là zz z 1z1 p10 (p1 )Khi đó ảnh của C1 qua Q A là đường C1’ có phương trình là

N N'

M' M

Từ đó suy ra z'z'+z'β '+z'β '+p ' = 0 là phương trình của một đường tròn.1 1 1

Vậy Q A biến đường tròn C1 thành đường tròn C1’ có phương trình là:

1 1

1' 1' ' 1' 1 ' 1 1

R     p     p R  đường tròn C1 bằng đường tròn C1’

* Phép quay Q A có A là điểm kép duy nhất

Giả sử Q A: A(a) A’(a’)

Trong mặt phẳng giả sử e e 1, 2 , ' , 'e e 1 2 là hai cơ sở của không gian véc

tơ E2 có ma trận chuyển từ cơ sở thứ nhất sang cơ sở thứ hai là A

+ e e 1, 2 , ' , 'e e 1 2 gọi là cùng hướng với nhau nếu det A > 0

+ e e 1, 2 , ' , 'e e 1 2 gọi là ngược hướng với nhau nếu det A < 0

2.4.2 Phép dời hình

Định nghĩa 2.4 Một phép biến hình f E: 2  E2 được gọi là một phép dời hình nếu trong mặt phẳng với hai điểm M, N bất kỳ và hai ảnh của chúng lần lượt là M’ = f(M), N’ = f(N) ta luôn có d(M’,N’) = d(M,N) và f bảo tồn hướng của cơ sở trong E2.

Cho phép biến hình f E: 2  E2có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu trực

chuẩn 0, ,e e 1 2 là x’ = Ax + b, trong đó 1

2

b b b

 

 

 

f là phép dời hình  A là ma trận trực giao và det A =1

 luôn có một hệ tọa độ trực chuẩn  ' '







Giả sử :f M x y( , ) M x y'( ', ') f có biểu thức tọa độ là 1

2

''

M(x’, y’) có tọa vị là z’ = x’ +iy’

1 2

M(x’, y’) có tọa vị là z’ = x’ + iy’

   (với pcos isin , p l,  b1 ib2) (**)

Trong trường hợp (**) nếu p = 1 thì trường hợp (**) trở về trường hợp(*)

Vậy biểu thức tọa vị của một phép dời hình :f M z( ) M z'( ') có dạnglà: 'z pz ( p 1)

2.4.3 Phép phản chiếu

Định nghĩa 2.5 Một phép biến hình f E: 2  E2được gọi là phép phản chiếu nếu trong mặt phẳng với hai điểm M, N bất kỳ và hai ảnh của chúng lần

lượt là M’ = f(M), N’ = f(N) ta luôn có d(M’, N’) = d(M,N) và f làm đổi hướng của cơ sở trong E2.

Cho phép biến hình f E: 2  E2 có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu trực

chuẩn trực chuẩn 0, ,e e 1 2 là x’ = Ax + b, với 1

2

b b b

 

 

 

+ f là phép phản chiếu  A là ma trận trực giao và det A = -1

 luôn có một hệ tọa độ trực chuẩn 0, ,e e 1 2 để ma trận A chỉ có dạng

10





Giả sử Giả sử :f M x y( , ) M x y'( ', ') f có biểu thức tọa độ là

1 2

''

M(x’, y’) có tọa vị là z’ = x’ + iy’

= pz  (với pcos isin ,   b1 ib p2, l) (**)

Trong trường hợp (**) nếu p = 1 thì trường hợp (**) trở về trường hợp (*)Vậy biểu thức tọa vị của một phép phản chiếu :f M z( ) M z'( ') có dạng

là 'z pz  ( p 1).

2.4.4 Sự xác định của phép dời hình và phép phản chiếu

Mọi biểu thức tọa vị có dạng 'z pz  ( p 1) luôn xác định một phépdời hình f biến điểm M(z) thành điểm M’(z’)

Ta thấy phép tịnh tiến và phép quay là phép dời hình

Mọi biểu thức tọa vị có dạng 'z pz  ( p 1) luôn xác định một phépphản chiếu f biến điểm M(z) thành điểm M’(z’)

Ta thấy phép đối xứng trục là phép dời hình

Nếu  1, giả sử f có một điểm I bất động có tọa vị z thì o z xác định bởi o

Định lý 2.2 Mọi phép phản chiếu đều là tích (giao hoán được) của một

phép đối xứng trục Đ d với một phép tịnh tiến , T v v 

// d Trường hợp v  0 thì phép phản chiếu là một phép đối xứng trục Đ d

Gọi ,u   là hai véc tơ c  ó tọa vị theo thứ tự u và 

Gọi v là tọa vị của véc tơ v thành phần cùng phương với u của 

Khi đó biểu thức tọa vị của f là z'z  có thể viết dưới dạng