Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Số phức ra đời do yêu cầu của việc mở rộng tập hợp số thực khi giải phương trình, nhưng lại tìm thấy những ứng dụng rộng rãi trong hình học, cơ học, vật lý và các ngành kĩ thuật khác. Trong hình học có thể sử dụng số phức để biểu diễn các đối tượng và các tính chất hình học, từ đó dùng số phức để giải toán hình học. Trên cơ sở khai thác việc biểu diễn bằng số phức các điểm, vec tơ ta sẽ lập các phương trình dạng phức của đường thẳng, đường tròn, các tính chất thẳng hàng của ba điểm, tính chất song song, vuông góc của hai đường thẳng và các biểu thức dạng phức của các phép biến hình. Xuất phát từ quan điểm xem số phức là công cụ nghiên cứu các đối tượng, tính chất hình học và cụ thể hơn là nghiên cứu các phép biến hình chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng”. 2. Mục tiêu nghiên cứu - Hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức. - Tổng hợp, phân tích các kiến thức về các phép biến hình trong mặt phẳng bằng công cụ số phức và phân tích qua các bài tập vận dụng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu những tài liệu liên quan đến số phức, các phép biến hình trong mặt phẳng, từ đó hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức, diễn đạt theo ngôn ngữ số phức các phép biến hình trong mặt phẳng. - Nghiên cứu một số dạng bài tập liên quan đến phép biến hình sử dụng công cụ số phức. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu giáo trình liên quan đến số phức và các phép biến hình trong mặt phẳng. 1 - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức có liên quan đến vấn đề nghiên cứu một cách đầy đủ, khoa học và chính xác. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về số phức, các phép biến hình trong mặt phẳng và các bài toán về quỹ tích, dựng hình. - Phạm vi nghiên cứu: Số phức và các phép biến hình trong hình học sơ cấp. 6. Bố cục của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo đề tài: "Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng" bao gồm 3 chương: Chương 1. Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức 1.1. Định nghĩa, dạng đại số của số phức. 1.2. Các phép toán và tính chất 1.3. Biểu diễn hình học của số phức. 1.4. Số phức liên hợp và mô đun của số phức. 1.5. Dạng lượng giác của số phức. 1.6. Căn bậc n của số phức 1.7. Tích vô hướng và tích lệch 1.8. Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức Chương 2. Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng 2.1. Phép tịnh tiến. 2.2. Phép đối xứng trục. 2.3. Phép đối xứng tâm. 2.4. Phép quay. 2.5. Phép dời hình và phép phản chiếu. 2.6. Phép vị tự. 2.7. Phép đồng dạng. 2.8. Phép nghịch đảo. 2 Chương 3. Bài tập vận dụng 3.1. Bài toán chứng minh 3.2. Bài toán quỹ tích 3.3. Bài toán dựng hình 3.4. Bài tập 3 Chương 1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC 1.1. Định nghĩa, dạng đại số của số phức Tập hợp 2 ¡ các cặp (có thứ tự) số thực (x, y) với các phép toán cộng và nhân xác định bởi: (x, y) + (u, v) = (x + u, y+ v) (x, y).(u, v) = (xu - yv, xv + yu) gọi là tập hợp các số phức, kí hiệu là £ , £ cùng hai phép toán trên làm thành một trường. Vậy mỗi số phức z ∈ £ là cặp số thực (x, y), viết z = (x, y). Để ý các số phức dạng (x, 0), (x ∈ ¡ ) ta thấy: (x, 0) + (x', 0) = (x + x', 0) ( x, 0 ).(x', 0) = (x.x', 0) Tức là phép cộng và phép nhân các số phức dạng (x, 0) cũng giống như phép cộng và phép nhân các số thực x; từ đó có thể đồng nhất tập hợp ¡ các số thực x với tập hợp con của £ gồm các phần tử (x, 0), tức coi ⊂¡ £ , viết x = (x, 0). Kí hiệu số phức (0, 1) ∈ £ là i, gọi là đơn vị ảo, thì với y ∈ £ , ta có: yi = (y, 0).(0,1) = (0, y) iy = (0, 1).(y, 0) = (0, y) nên z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy = x + yi. Vậy mỗi số phức z có thể viết dưới dạng z = x + iy ( hay z = x + yi ) (x, y ∈ ¡ ), gọi là dạng đại số của số phức z, trong đó: x gọi là phần thực của z, kí hiệu Rez, y gọi là phần ảo của z, kí hiệu Imz. Số phức mà phần ảo bằng 0 là số thực, số phức có phần thực bằng 0 gọi là số thuần ảo. 1.2. Các phép toán và tính chất 1.2.1. Các phép toán 4 Cho z = x + iy, w = u + iv (x, y, u, v ∈ ¡ ) thì: z = w x u y v =  ⇔  =  z + w = (x + u) + i(y + v) z.w = (xu - yv) + i(xv + yu) 2 2 2 2 w z xu yv uy xv i u v u v + − = + + + 1.2.2. Tính chất của phép toán 1.2.2.1. Tính chất của phép toán cộng số phức Phép toán cộng các số phức có các tính chất tương tự phép toán cộng các số thực, với mọi số phức z 1 , z 2 , z 3 ta có: *) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (giao hoán) *) (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) (kết hợp) *) z 1 + 0 = 0 + z 1 = z 1 (0 là phần tử không của phép cộng) *) Cho z = x + iy (x, y ∈ ¡ ) thì có duy nhất một số phức (số đối của z) - z = - x - iy để z + (-z) = (-z) + z = 0, từ đó ta có định nghĩa phép trừ hai số phức : z 2 - z 1 = z 2 + (-z 1 ), nó là phép toán ngược của phép cộng với các tính chất quen thuộc (chuyển vế, mở dấu ngoặc …). 1.2.2.2. Tính chất của phép nhân và chia số phức Phép toán nhân các số phức cũng có các tính chất tương tự phép toán nhân các số thực, với mọi số phức z, z 1 , z 2 , z 3 ta có: *) z 1 z 2 = z 2 z 1 (giao hoán) *) (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) (kết hợp) *) 1z = z1 = z (1 là phần tử đơn vị của phép nhân số phức) *) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2 3 z z z z z z z z z z z z z z  + = +   + = +   tính chất phân phối giữa phép cộng và phép nhân *) Với z ∈ £ và n là số nguyên dương, người ta cũng viết: z n = { . n lÇn z z z 5 Khi đó i 2 = (0, 1) (0, 1) = (-1, 0) tức i 2 = -1 *) Với z ≠ 0 và n là số nguyên, n ≥ 0, ta cũng có: z 0 = 1, z -n = 1 n z và với ∀ m, n ∈ Z ta có : z m . z n = z m+n , (z m ) n = z mn 1.3. Biểu diễn hình học của số phức Trong mặt phẳng, kí hiệu E, lấy hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy, khi đó mỗi điểm M của E xác định bởi tọa độ (x; y) của nó trong hệ tọa độ đó. Gọi số phức z = x + yi là tọa vị của điểm M, cũng viết M(z) và gọi E (với hệ tọa độ Oxy) là mặt phẳng phức, đồng nhất M với tọa vị của nó, tức đồng nhất E với £ . Các điểm thuộc Ox là các điểm có tọa vị thực nên gọi Ox là trục thực. Các điểm thuộc Oy là các điểm có tọa vị thuần ảo nên gọi Oy là trục ảo. Điểm K có tọa vị 1 thuộc Ox gọi là điểm đơn vị, điểm I có tọa vị i thuộc Oy gọi là điểm đơn vị ảo. Mỗi điểm M ∈ E xác định véc tơ OM uuuur gọi là bán kính véc tơ của M (đối với gốc O của E). Khi đó M có toạ độ (x, y) đối với hệ tọa độ Oxy thì véc tơ OM uuuur cũng có tọa độ (x, y) nên M có toạ vị z thì véc tơ OM uuuur cũng có toạ vị z, viết OM uuuur (z). Nếu OM uuuur có Hình 1.1 toạ vị z, OP uuur có tọa vị w thì z + w là tọa vị của OM uuuur + OP uuur , kz (k ∈ R) là tọa vị của k OM uuuur tức là nếu z = x + yi thì kz = (k + 0i)(x + yi) = kx + kyi. 1.4. Số phức liên hợp và mô đun của số phức 1.4.1. Số phức liên hợp Cho số phức z = x + yi (x, y ∈ ¡ ) thì số phức = −z x iy gọi là số phức liên hợp của z. Nếu z là tọa vị của M thì z là tọa vị của điểm 'M đối xứng với M qua trục Ox. Ta có: z + z = 2Rez, z − z = 2iImz Vậy số phức z là số thực khi và chỉ khi z = z , nó là số thuần ảo khi và chỉ khi z = − z . Với mọi số phức z, w ta có: 6 P(w) O x z + w M(z) I(i) K(1) y M(z) y M ’ () x O Hình 1.2 i) z = z ii) z w z w+ = + iii) zw z= w iv) z w z w− = − 1.4.2. Mô đun của số phức Nếu z là tọa vị của điểm M thì ta định nghĩa môđun của z là khoảng cách từ M đến gốc tọa độ O: = uuuur z OM = OM Viết z = x + iy (x, y ∈ ¡ ) thì z z = (x + iy)(x − iy) = x 2 + y 2 = OM 2 ⇒ z zz= Ta có các tính chất sau: z ≥ 0, z = 0 ⇔ z = 0, z z= , zw z w= . 1.5. Dạng lượng giác của số phức 1.5.1. Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị z, khi đó M được xác định bởi độ dài đoạn thẳng OM tức z và góc định hướng (Ox, OM) tạo bởi tia Ox (tia đầu), tia OM (tia cuối). Số đo β của góc định hướng (đo bằng rađian) xác định sai khác một bội nguyên của 2 π , β gọi là argumen của z, kí hiệu: argz. Vậy z ≠ 0 hoàn toàn xác định bởi z và argz + 2k π (k ∈ ¡ ), tức là nếu z, w ∈ £ \ { } 0 thì: z = w π  =  ⇔  = + ∈   ¡arg arg 2 ( ) z w z w k k Vậy với z = x + yi (z ≠ 0), β là argumen của z ta xác định được: = + 2 2 z x y , β β = = + + 2 2 2 2 cos , sin x y x y x y 7 β M y x O Hình 1.3 z =   + +  ÷  ÷ + +   2 2 2 2 2 2 x y x y i x y x y , tức là ( ) β β = +cos sinz z i , β là argz. Đó là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0, vì số phức z = 0 có z = 0 nên đôi khi cũng dùng công thức lượng giác đó cho cả z = 0, coi argz không xác định trong trường hợp này. 1.5.2. Nhân số phức dưới dạng lượng giác Cho z, w ∈ £ : z = z (cos α + isin α ) w = w (cos β + isin β ) Ta có: =zw z w (cos α + isin α )(cos β + isin β ) = z w (cos α cos β - sin α sin β ) + i(cos α sin β + cos β sin α ) = z w ((cos( α + β ) + isin( α + β )) Vậy =zw z w , arg(zw) = arg z + arg w + 2k π , k ∈ Z 1.6. Căn bậc n của số phức 1.6.1. Căn bậc hai của số phức Ta sẽ chứng minh trong £ có căn bậc hai của mọi số. Cho số phức α = a + bi (a, b ∈ ¡ ), tìm số phức z = x + yi (x, y ∈ ¡ ) để z 2 = α tức (x + yi) 2 = a + bi ⇔ x 2 − y 2 + 2xyi = a + bi. Đồng nhất hệ số ta được: 2 2 2 − =   =  x y a xy b ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4  + = +   ⇒   =   b x y a b x y Vì x 2 - y 2 = a và tích xy cùng dấu với b khi b ≠ 0 suy ra : * Nếu   + + + −  ÷ ≥ = ± +  ÷   2 2 2 2 0, 2 2 a b a a b a b z i 8 * Nếu b   + + + −  ÷ ≤ = ± −  ÷   2 2 2 2 0, 2 2 a b a a b a z i Hai số z tìm thấy là hai số đối nhau (và khác nhau, trừ trường hợp α = 0). 1.6.2. Căn bậc n của số phức Cho số nguyên n ≥ 2. Với số phức α , hãy tìm số phức z mà z n = α , tức tìm nghiệm của phương trình: z n - α = 0 +) Nếu α = 0 thì z = 0 là nghiệm duy nhất +) Nếu α ≠ 0 α = ϕ α i e , ϕ là arg α . Khi đó: z = ψ n i z e thì: z n - α = 0 ⇔ ψ n i z e = ϕ α i e 2 2 , , α α ϕ ψ ϕ π ψ π  =  =   ⇔ ⇔   = + ∈  = + ∈    n n z z k n k k Z k Z n n Vậy: z = ϕ ϕ α π π       + + +  ÷  ÷  ÷       2 2 cos sin n k k i n n n n , k ∈ Z *) α n là kí hiệu số thực không âm mà lũy thừa n bằng α . *) Cho k = 0, 1, 2, …, n - 1 thì được n nghiệm khác nhau đó là tất cả các nghiệm của phương trình z n = α . Vậy n nghiệm đó ứng với k = 0, 1, 2, …, n -1 là tọa vị của n điểm A 0 , A 1 , …, A n-1 . Các điểm này tạo thành đa giác n đỉnh định hướng thuận nội tiếp đường tròn tâm O bán kính α n . 1.6.3. Căn bậc n của đơn vị Xét số phức z mà z n = 1 (n ≥ 2). Ta có, các số phức z: π ε π π = = + 2 2 2 cos sin i k n k k k e i n n (k = 0, 1, …, n - 1). Rõ ràng k qn k ε ε + = (k, q ∈ Z) nhưng tập { } k k Z ε ∈ chỉ có n phần tử phân biệt. Tập hợp đó đóng kín đối với phép nhân số phức: 9 0 1 1 , 1, , k l k l k l k l k k ε ε ε ε ε ε ε ε + = = = = Ngoài ra, còn có 1 k k ε ε − = và z n - 1 = ( ) ( ) ( ) 0 1 1 n z z z ε ε ε − − − − (do tất cả các nghiệm của phương trình z n - 1 = 0 là ( 0 1 1 , , , n ε ε ε − ). 10 [...]... β ∈ £ và β − d > 0 15 là đường tròn tâm M0(z0), toạ vị z0 = − β , bán kính R = 2 β −d Chương 2 SỐ PHỨC VỚI CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 2.1 Phép tịnh tiến 2.1.1 Định nghĩa 2.1 r Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình biến một điểm M thành r uuu r u ur điểm M’ sao cho MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ v và ký hiệu r là Tv y r v r Véc tơ v gọi là véc tơ tịnh tiến r r Ta... M(z) thành điểm M’(z’) Ta thấy phép tịnh tiến và phép quay là phép dời hình Mọi biểu thức tọa vị có dạng z ' = pz + β ( p = 1) luôn xác định một phép phản chiếu f biến điểm M(z) thành điểm M’(z’) Ta thấy phép đối xứng trục là phép dời hình 2.4.5 Dạng chính tắc của phép dời hình Định lý 2.1 Mọi phép dời hình là phép tịnh tiến hoặc là phép quay Chứng minh Cho phép dời hình f: M(z) → M’(z’) có biểu thức... 2.4.2 Phép dời hình Định nghĩa 2.4 Một phép biến hình f : E 2 → E 2 được gọi là một phép dời hình nếu trong mặt phẳng với hai điểm M, N bất kỳ và hai ảnh của chúng lần lượt là M’ = f(M), N’ = f(N) ta luôn có d(M’,N’) = d(M,N) và f bảo tồn r hướng của cơ sở trong E 2 Cho phép biến hình f : E 2 → E 2 có biểu thức tọa độ đối với mục tiêu trực b  r r chuẩn { 0, e1 , e2 } là x’ = Ax + b, trong đó b = ... khi đó phép phản chiếu f có tọa vị là z' = u z + δ , < u, δ >= 0 và f chính là phép đối xứng trục Đ d (d là đường thẳng có u phương trình là z = u z + δ , < u ,δ >= 0) u 2.5 Phép vị tự 2.5.1 Định nghĩa 2.6 Trong mặt phẳng P cho một điểm I cố định và một số thực k ≠ 0 Một phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M’ uu uu r uu ur sao cho IM ' = k IM được gọi là phép vị tự tâm I tỉ số k... chúng c) Phép đối xứng trục biến: + Biến một đường thẳng thành một đường thẳng + Biến một tia thành một tia + Biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài bằng nó + Biến một tam giác thành một tam giác bằng nó + Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó + Biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó d) Phép đối xứng trục là phép biến hình có tính chất đối hợp 2.2.3 Chứng minh một số tính... ) + z0 Vậy VIk1VIk2 = VIk (với k = k1k2 ) 2.6 Phép đồng dạng 2.6.1 Định nghĩa 2.7 Một phép biến hình f : E 2 → E 2 gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai điểm A, B bất kỳ của mặt phẳng thành hai điểm A ' = f ( A ) , B ' = f ( B ) sao cho ta luôn có d ( A ', B ') = kd ( A, B ) Trong đó k là một số thực dương xác định, k gọi là tỉ số đồng dạng Ký hiệu phép đồng dạng tỉ số k là Đ(k) 36 ... + b1 + ib2 ⇔ z ' = pz + β (với p = cos α + i sin α , p = l , β = b1 + ib2 ) (**) Trong trường hợp (**) nếu p = 1 thì trường hợp (**) trở về trường hợp (*) Vậy biểu thức tọa vị của một phép dời hình f : M ( z ) → M '( z ') có dạng là: z ' = pz + β ( p = 1) 2.4.3 Phép phản chiếu Định nghĩa 2.5 Một phép biến hình f : E 2 → E 2 được gọi là phép phản chiếu nếu trong mặt phẳng với hai điểm M, N bất kỳ và... 2.4 Phép dời hình và phép phản chiếu 2.4.1 Sự định hướng trong mặt phẳng r r r r Trong mặt phẳng giả sử { e1 , e2 } ,{ e '1 , e '2 } là hai cơ sở của không gian véc r tơ E 2 có ma trận chuyển từ cơ sở thứ nhất sang cơ sở thứ hai là A r r r r + { e1 , e2 } ,{ e '1 , e '2 } gọi là cùng hướng với nhau nếu det A > 0 r r r r + { e1 , e2 } ,{ e '1 , e '2 } gọi là ngược hướng với nhau nếu det A < 0 2.4.2 Phép. .. = R1) 2.2 Phép đối xứng trục 2.2.1 Định nghĩa 2.2 Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận đường thẳng d làm đường trung trực được gọi là phép biến đối xứng trục d d Đường thẳng d gọi là trục đối xứng Ký hiệu phép đối xứng trục d là Đd M Ta có Đd(M) = M’ hay Đd: M → M’ Cho đường thẳng d có phương trình là: z= M' I Hình 2.3... 2.3 Phép quay 2.3.1 Định nghĩa 2.3 Trong mặt phẳng P đã được định hướng Cho một điểm A cố định và một góc định hướng α sai khác 2k π Một phép quay tâm A với góc quay α là một phép biến hình biến điểm A thành chính nó và biến điểm M thành điểm M’ sao u ur u ur uu uu cho AM = AM’ và ( AM , AM ') = α u ur u ur uu uu Ta ký hiệu ( AM , AM ') là góc định hướng mà tia đầu là AM, tia cuối là AM’ Ký hiệu phép . quan đến số phức, các phép biến hình trong mặt phẳng, từ đó hệ thống các kiến thức cơ bản về số phức, diễn đạt theo ngôn ngữ số phức các phép biến hình trong mặt phẳng. - Nghiên cứu một số dạng. tròn trong mặt phẳng phức Chương 2. Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng 2.1. Phép tịnh tiến. 2.2. Phép đối xứng trục. 2.3. Phép đối xứng tâm. 2.4. Phép quay. 2.5. Phép dời hình và phép. " ;Số phức với các phép biến hình trong mặt phẳng& quot; bao gồm 3 chương: Chương 1. Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng phức 1.1. Định nghĩa, dạng đại số của số phức. 1.2. Các phép toán