Giải và khai thác một số dạng toán về các phép biến đổi ma trận vuông

iii Gii v khai thỏc mt s dng toỏn v cỏc phộp bin i ma trn vuụng Trn Vn Quõn iii MC LC Trang Trang ph bỡai Li cm n ii Mc lc iii Danh mc cỏc ký hiu.iv M U .1 Tớnh cp thit ca ti khúa lun Mc tiờu khúa lun í ngha khoa hc v thc tin Chng KIN THC C S 1.1.1 Tỡm hiu s b toỏn 1.1.2 Khai thỏc toỏn 1.1.3 Tỡm tũi li gii 1.1.4 Trỡnh by li gii 1.1.5 Kim tra, ỏnh giỏ li gii, khai thỏc bi toỏn 1.2.1 Mt s ma trn c bit .7 1.2.2 Khụng gian vect 1.2.3 Phộp nhõn trờn ma trn .9 1.2.4 Nhúm 1.3.1 Ma trn chuyn c s 10 1.3.2 i c s i vi mt vect .10 1.3.3 i c s i vi mt ỏnh x tuyn tớnh 10 1.3.4 i c s i vi mt t ng cu .11 1.5 T ng cu ly linh 11 Chng PHẫP CHẫO HểA CC T NG CU 13 Trn Vn Quõn iii V MA TRN VUễNG 13 2.1 Phn t riờng 13 2.2 a thc c trng .14 2.3 Tớnh chộo húa c 15 2.4 a thc t ng cu, a thc ma trn 16 2.5 ng dng ca vic chộo húa 17 2.5.1 Tớnh cỏc ly tha ca mt ma trn vuụng 17 2.5.2 Xỏc nh cỏc dóy truy hi tuyn tớnh ng thi cp mt vi h s khụng i 18 2.5.3 Xỏc nh cỏc dóy truy hi tuyn tớnh vi h s khụng i 18 2.6 Mt s dng toỏn v phộp chộo húa ma trn vuụng 19 2.6.1 Dng toỏn v tỡm giỏ tr riờng, vect riờng 19 2.6.3 Dng toỏn v chộo húa ma trn 26 2.6.4 Dng toỏn v ng dng ca phộp chộo húa ma trn 32 Chng PHẫP THU GN CC MA TRN VUễNG .37 3.1 Phộp tam giỏc húa 37 3.1.1 Kin thc c bn v phộp tam giỏc húa .37 3.1.2 Mt s dng toỏn v phộp tam giỏc húa 38 3.2 Cỏc a thc trit tiờu 42 3.2.1 nh lý Cayley v Hamilton 42 3.2.2 nh lý cỏc ht nhõn 43 3.2.3 a thc ti tiu 44 3.2.4 Mt s dng toỏn .45 3.3 Phõn tớch Dunford 51 3.3.1 Khụng gian c trng 51 3.3.2 Phõn tớch Dunford 52 Trn Vn Quõn iii 3.3.3 Cỏc vớ d v ng dng phõn tớch Dunford 53 3.4 Phộp thu gn Jordan 58 3.4.1 Cu trỳc ca cỏc t ng cu ly linh 58 3.4.2 Thu gn Jordan ca cỏc t ng cu 59 3.4.3 Mt s dng toỏn v phộp thu gn Jordan 59 KT LUN .67 TI LIU THAM KHO 67 Trn Vn Quõn iv DANH MC CC Kí HIU A : B : Ma trn A ng dng vi ma trn B A = diag ( , , n ) : A l ma trn chộo vi cỏc phn t chộo l , , n An ( K ) : Tp hp cỏc ma trn vuụng phn i xng cp n vi h t K Dn ( K ) : Tp hp cỏc ma trn chộo cp n trờn trng K GLn ( K ) : Tp hp cỏc ma trn vuụng cp n kh nghch trờn trng K KGC ( f , ) : Khụng gian c trng ca f liờn kt vi giỏ tr riờng KGCR ( f , ) : Khụng gian riờng ca f liờn kt vi giỏ tr riờng L ( E ) : Tp hp cỏc t ng cu ca khụng gian vect E M n ( K ) : Tp hp cỏc ma trn vuụng cp n cú cỏc phn t thuc trng K Mat ( f ) : Ma trn ca ỏnh x f c s Pass ( , ' ) : Ma trn chuyn c s t sang ' Sn ( K ) : Tp hp cỏc ma trn vuụng i xng cp n vi h t K SpK ( A ) : Tp hp cỏc giỏ tr riờng ca ma trn vuụng A SpK ( f ) : Tp hp cỏc giỏ tr riờng ca ng cu f Tn ,i ( K ) : Tp hp cỏc ma trn tam giỏc di cp n vi cỏc phn t K Tn ,s ( K ) : Tp hp cỏc ma trn tam giỏc trờn cp n vi cỏc phn t K A : a thc c trng ca ma trn vuụng A f : a thc c trng ca t ng cu f A : a thc ti tiu ca ma trn A f : a thc ti tiu ca t ng cu f ( A) = Max : bỏn kớnh ph ca ma trn A Sp ( A) Ê Trn Vn Quõn M U Tớnh cp thit ca ti khúa lun Ma trn l khỏi nim c bn i s tuyn tớnh, nú c ng dng nhiu toỏn hc v nhiu b mụn khoa hc khỏc Ma trn l cụng c nghiờn cu lớ thuyt v h phng trỡnh tuyn tớnh Nh cú ma trn m cỏc ỏnh x tuyn tớnh c nghiờn cu sõu sc hn Ngoi ra, ma trn cũn giỳp cho vic xỏc nh c giỏ tr riờng, vect riờng ca mt ỏnh x tuyn tớnh, xỏc nh nhng dng ỏnh x tuyn tớnh c bit Ma trn c dựng gii cỏc bi toỏn v h phng trỡnh tuyn tớnh, phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh h s l hng s Ma trn giỳp cho vic nghiờn cu ỏnh x tuyn tớnh c sõu sc hn Mi ỏnh x tuyn tớnh u cú mt cu trỳc riờng, cu trỳc cng phc thỡ vic kho sỏt ỏnh x ny cng tr nờn khú khn Nhng mi c s thỡ mi ỏnh x u tng ng vi mt ma trn Ma trn ca ỏnh x tuyn tớnh chớnh l ngụn ng giỳp mụ t chỳng mt cỏch c th Do vy kho sỏt cu trỳc mt ỏnh x tuyn tớnh thỡ vic bin i tỡm ma trn biu din ca ỏnh x tuyn tớnh dng n gin nht l rt cn thit Bin i ma trn ca t ng cu a v ma trn dng chộo c tỏc gi on Qunh trỡnh by mt cỏch sõu sc giỳp cho vic kho sỏt cu trỳc ca t ng cu thun tin hn [6] Cỏc bi v chộo húa ma trn c hai tỏc gi Khu Quc Anh v Nguyn Anh Kit trỡnh by chi tit giỳp cho ngi c hiu cỏch thc chộo húa ma trn ca t ng cu [1] Nhng khụng phi ma trn no cng a v dng chộo c Vy i vi nhng ma trn khụng a c v dng chộo thỡ chỳng cú th cú dng n gin nht nh th no? Chỳng ta cú th bin i nhng ma trn ú v dng n gin hn qua vic s dng phộp tam giỏc húa, phõn tớch Dunford, phộp thu gn Jordan [11] Nhng cỏc ti liu ny a s ch dng li vic hng dn gii bi toỏn m hn ch vic khai thỏc li gii bi toỏn Vic khai thỏc bi toỏn th hin s sỏng to v hiu sõu hn li gii mt bi toỏn Hin nay, s ti liu vit v gii v khai thỏc khụng nhiu thng trung toỏn s cp chng hn ti liu [4] cp n vic Trn Vn Quõn gii v khai thỏc cỏc bi toỏn s cp dnh cho bi dng giỏo viờn trung hc c s, ti liu [9] cp n vic gii v khai thỏc mt s dng toỏn v ma trn v nh thc Nhm mc ớch hiu sõu sc hn v cỏc phộp bin i ma trn vuụng chỳng tụi chn Gii v khai thỏc mt s dng toỏn v cỏc phộp bin i ma trn vuụng lm ni dung nghiờn cu khúa lun Mc tiờu khúa lun Phõn loi mt s bi v bin i ma trn vuụng theo cỏc ch im xõy dng li gii v a nhng khai thỏc v chỳng Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu nhng kin thc c bn v cỏc phộp bin i ma trn vuụng nh phộp chộo húa, phộp tam giỏc húa, phộp thu gn Jordan Phõn loi cỏc dng bi v cỏc phộp bin i ma trn vuụng v trỡnh by li gii cho cỏc dng bi a hng khai thỏc, xut bi toỏn mi t bi toỏn cho trc mi dng Phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu lý lun: c v nghiờn cu ti liu, giỏo trỡnh cú liờn quan n cỏc phộp bin i ma trn vuụng ri phõn húa, h thng húa kin thc; tng t húa, khỏi quỏt húa, c bit húa khai thỏc xut bi toỏn mi t bi toỏn ban u Phng phỏp tng kt kinh nghim: Qua vic nghiờn cu tham kho ti liu, giỏo trỡnh t ú rỳt kinh nghim ỏp dng vo vic nghiờn cu Phng phỏp ly ý kin chuyờn gia: Ly ý kin ca ging viờn trc tip hng dn, cỏc ging viờn khỏc hon thin v mt ni dung v hỡnh thc ca khúa lun Trn Vn Quõn i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: cỏc phộp bin i ma trn vuụng Phm vi nghiờn cu: trung nghiờn cu phõn dng v khai thỏc li gii bi toỏn v cỏc phộp bin i ma trn vuụng m phn t thuc cỏc trng s thc, s phc í ngha khoa hc v thc tin Khúa lun ó h thng li mt cỏch c bn nhng kin thc v cỏc phộp bin i ma trn vuụng, ng thi trờn c s nghiờn cu li gii ca nhng bi toỏn ó cho, xut cỏc hng khai thỏc chỳng di dng khỏi quỏt húa, c bit húa, tng t Qua ú, cung cp thờm thụng tin khai thỏc bi toỏn, to ti liu tham kho hu ớch B cc ca khúa lun Ngoi phn: Mc lc; m u; kt lun; ti liu tham kho; khúa lun c chia thnh chng Chng trỡnh by s lc v gii v khai thỏc mt s bi toỏn; kin thc c bn v ỏnh x tuyn tớnh v ma trn biu din ca nú cỏc c s khỏc nhau; vect riờng, giỏ tr riờng ca mt t ng cu; t ng cu ly linh Chng trỡnh by kin thc c bn v h thng bi cựng nhng khai thỏc v mt s dng toỏn: tỡm giỏ tr riờng, vect riờng; a thc c trng, a thc ma trn; chộo húa ma trn vuụng v ng dng Chng trỡnh by kin thc c bn, h thng bi cựng nhng khai thỏc cho mt s dng toỏn v cỏc phộp thu gn ma trn vuụng: phộp tam giỏc húa, phõn tớch Dunford, thu gn Jordan Trn Vn Quõn Chng KIN THC C S Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by s lc v gii v khai thỏc mt s bi toỏn, mt s kin thc c bn v ma trn, mi liờn h gia ma trn v ỏnh x tuyn tớnh cỏc c s khỏc nhau, giỏ tr riờng, vect riờng ca mt t ng cu 1.1 S lc v gii v khai thỏc mt s bi toỏn Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by s lc v cỏc bc gii mt bi toỏn v cỏc hng khai thỏc Khúa lun c tham kho ch yu ti liu [4] ca tỏc gi Hong K v Hong Thanh H 1.1.1 Tỡm hiu s b toỏn Khi chn bi toỏn, khụng nờn chn bi quỏ khú, m cng khụng nờn chn bi quỏ d Cn trỡnh by bi toỏn cho t nhiờn v gi c hng thỳ, s tũ mũ cho ngi hc Trc ht, cn phi c k toỏn thy c ton cnh bi toỏn, cng sỏng sa, rừ rng cng hay, khụng vi i vo chi tit, nht l cỏc chi tit rc ri Cn c gng khoanh vựng phm vi ca toỏn: bi toỏn ny thuc vựng kin thc no? S cn cú nhng kin thc, k nng gỡ? Nu gii c thỡ s gii quyt c gỡ? 1.1.2 Khai thỏc toỏn Nu l bi toỏn v tỡm tũi thỡ cn xỏc nh rừ õu l n, cn phi tỡm cỏi gỡ? õu l cỏc d liu? ó cho bit nhng gỡ? Nu l bi toỏn chng minh thỡ cn nờu rừ cỏc gi thit, kt lun Nu bi toỏn cn cú hỡnh v thỡ phi v hỡnh i vi cỏc bi toỏn i s v s hc, ú cú th l cỏc th, on thng, cú th l cỏc hỡnh hỡnh hc (chng hn cỏc bi toỏn v cc tr hoc cỏc bi toỏn hỡnh hc gii bng phng phỏp i s) Nu cn cú th s dng cỏc nột m, nột nht, nột t hoc dựng mu hỡnh v, cm nhn trc giỏc trờn hỡnh v cú th giỳp ta nm bt c d dng hn ni dung ca toỏn Trn Vn Quõn i vi nhiu toỏn, ta phi a vo mt s kớ hiu Cỏch kớ hiu thớch hp cú th giỳp ta hiu rừ toỏn nhanh chúng hn Cỏc kớ hiu dựng ghi cỏc i tng v quan h gia chỳng bi toỏn cn c a vo mt cỏch ngn gn, d nhỡn, 1.1.3 Tỡm tũi li gii õy l bc quan trng nu khụng núi l quan trng nht vic gii bi toỏn Khụng cú mt thut gii tng quỏt no gii c mi bi toỏn, m ch cú th a nhng li khuyờn, nhng kinh nghim, chỳng giỳp cho vic tỡm tũi li gii c ỳng hng hn, nhanh hn, thun li hn v nhiu kh nng dn ti thnh cụng hn Tựy tng trng hp c th m dng cỏc kinh nghim ú, cng linh hot, nhun nhuyn thỡ cng d ti thnh cụng hn Nhn dng v hp kin thc Cn khoanh vựng bi toỏn v vựng c khoanh cng hp cng tt, giỳp ta nhn dng c bi toỏn thuc loi no Khi ó nhn dng, ó phõn loi c bi toỏn thỡ úc phi nhanh chúng huy ng v t chc cỏc kin thc ó hc, ó bit t trc, phi nh li chun b dng mt lot yu t cn thit gii bi toỏn ny Quỏ trỡnh ú cú th l t phỏt nht l ó quen vi vic gii toỏn Phõn tớch bi toỏn a v nhng dng n gin hn Mt bi toỏn, nht l bi toỏn tng hp, bi toỏn khú thng c xõy dng t nhng bi toỏn n gin hn Cn th xem cú th phõn tớch bi toỏn ang xột thnh nhng bi toỏn n gin hn khụng, ri gii bi toỏn nh y, sau ú kt hp chỳng li cú li gii ca bi toỏn ó cho Liờn h v s dng cỏc bi toỏn ó gii Tht khú m t bi toỏn hon ton mi, khụng ging bt k bi toỏn no hoc khụng liờn h gỡ vi cỏc bi toỏn khỏc Vỡ th, gp mt bi toỏn, ta c gng nh li xem ó gp mt bi toỏn tng t hoc gn ging vi bi toỏn cn gii cha v ng i n li gii iu ú s giỳp chỳng ta rỳt ngn vic tỡm tũi li gii ca bi toỏn mi ny v to thờm rt nhiu thun li Khi nh c mt hay mt s bi toỏn tng t bi toỏn ang xột cú th v dng, cú th v phng phỏp, v t ra, v cỏi cha bit phi tỡm ta ó li dng c nhng im tng ng v phng phỏp gii, v kinh nghim, v kt qu Trn Vn Quõn 54 Vi mi k { 1, , N } , vỡ Tk ly linh vi ch s k n , nờn ta cú: k 1 i n1 i e = Tk = Tk i =0 i ! i =0 i ! Tk Bi toỏn Cho A = D + N l phõn tớch Dunford ca A M n ( Ê ) Tỡm phõn tớch Dunford ca Ak , k Ơ * Bi gii Vỡ D, N giao hoỏn nờn theo cụng thc nh thc Newton: k k i i k i Ak = ( D + N ) = D k + MN , ú M = Ck D N i =0 Vỡ N ly linh v M , N giao hoỏn nờn MN ly linh Mt khỏc, D k chộo húa c v D k , MN giao hoỏn vỡ D, N giao hoỏn Kt lun: Phõn tớch Dunford ca A l A = D + k k k k C D N i =0 i k i k i Khai thỏc bi toỏn Bi toỏn 1.1 Cho A=D+N l phõn tớch Dunford ca A M n ( Ê ) Nu A kh nghch thỡ phõn tớch Dunford ca A1 l gỡ? Bi gii Vỡ SpK ( A ) v SpK ( A ) = SpK ( D ) nờn D kh nghch v ta cú: A = D + N = D ( I n + D N ) Vỡ A kh nghch nờn I n + D N kh nghch v A1 = ( I n + D N ) D Ta ký hiu U = D N Vỡ D , N giao hoỏn v N ly linh nờn U ly linh Vy I n + U kh nghch v ( In + U ) n n = ( 1) U k = ( 1) U k , vỡ U k = k =0 Trn Vn Quõn k k =0 k 55 n n1 k k +1 k k R = U D = U D ( ) ( ) T õy, A = D + R , ú ữ ữU k =1 k =0 1 n Vỡ U ly linh v ( 1) k +1 U k D v U giao hoỏn nờn R ly linh k =0 Mt khỏc, D chộo húa c v D , R giao hoỏn n k k +1 k Vy phõn tớch Dunford ca A l A = D + ( 1) ( D ) N ữ k =1 1 Bi toỏn 1.2 Tỡm phõn tớch Dunford ca AB (AB=BA) bit A = D + N , A' = D ' + N ' ln lt l phõn tớch Dunford tng ng ca A, B Bi toỏn Cho a z k k k l mt chui nguyờn v R l bỏn kớnh hi t ca nú, A M n ( Ê ) Chng minh rng ( A ) < R a A k k k l bỏn hi t, ú ( A ) = Max SpÊ ( A ) kớnh ph ca A Bi gii Gi s ( A ) < R Tn ti r Ă cho ( A ) < r < R k k Ta cú k Ơ , ak A = ak r A ữ Vỡ r < R, ak r hi t (tuyt i) k r k k k 1 Vỡ A ữ = ( A ) < nờn A ữ r r r k Kt qu l a A k k k Khai thỏc bi toỏn Bi toỏn 2.1 Trn Vn Quõn hi t (tuyt i) M n ( Ê ) , vy l hi t 56 Ta xột bi toỏn ngc ca bi toỏn trờn Cho kớnh hi t ca nú, A M n ( Ê ) Gi s a z k k a A k k k k l mt chui nguyờn v R l bỏn hi t, tỡm mi liờn h gia ( A ) l bỏn kớnh ph ca A v R , ú ( A ) = Max SpÊ ( A ) ( ( A) R ) Bi toỏn 2.2 Cho a z k k k l mt chui A M n ( Ê ) nguyờn, ( A ) inf { R : R l bỏn kớnh hi t ca a z k k k cho Chng a z k k k minh rng: hi t} Khi no du = xy ra? Bi toỏn Cho A=D+N l phõn tớch Dunford ca A M n ( Ê ) Tỡm phõn tớch Dunford ca e A , X ỏp dng gii phng trỡnh e = I n , X M n ( Ê ) Bi gii Vỡ D v N giao hoỏn nờn e A = e D + N = e D e N Vỡ N ly linh nờn tn ti v Ơ * cho D v N k Nk A D M = Vy ta cú: e = e + M , vi e ữN k ! k ! k =1 k =1 v N Ơ = , t ú: e = I n + v N k Vỡ D v N giao hoỏn nờn e v N giao hoỏn Vỡ N ly linh suy M ly linh, k =1 k ! D v hn na e D v M giao hoỏn Cui cựng e D chộo húa c ( ) D N A D Ta cú th nhn xột: M = e e I n = e e Vy phõn tớch Dunford ca e A l e A = eD + ( e A eD ) Trn Vn Quõn 57 +) Nu ký hiu X = D + N l phõn tớch Dunford ca X thỡ phõn tớch Dunford ca e X e D = I n l: e = e + ( e e ) T ú, e = I n X D e e = X D X D X Ký hiu D = diag ( , , n ) , ta cú: e D = I n k { 1, , n} , ek = k { 1, , n} , k 2i  Tip ú vỡ e D kh nghch nờn e X e D = e N = I n Ta ký hiu v l ch s ly linh ca N v gi s v Khi ú, N2 Nv N2 Nv N N+ + + = e In = + + = N 2! v! 2! v! ( ) ( ) ( ) Im N Im N v1 Im N v = { 0} T ú suy ra: Ta cú: Im ( N ) N2 N2 Nv Nv 2 Im + + Im N , rank + + ú ( ) ữ ữ rank ( N ) v! v! 2! 2! N2 Nv + + (mõu thun vi rank ữ = rank ( N ) = rank ( N ) ) Vy v=1, N=0 2! v ! p1 X n O Vy e = I n ( p1 , , pn )  , X : 2i ữ ữ pn ữ Khai thỏc bi toỏn Ta xut bi toỏn tng t cho bi toỏn trờn Bi toỏn 3.1 Cho X = D + N l phõn tớch Dunford ca X M n ( Ê ) Gii phng trỡnh e X = I n p1 X n O e = I n ( p1 , , pn )  , X : ( 2l + 1) i Trn Vn Quõn ữ, l  ữ ữ ữ ữ pn ữ 58 Bi toỏn 3.2 Cho X = D + N l phõn tớch Dunford ca X M n ( Ê ) , gii phng trỡnh e X = B ú B chộo húa c 3.4 Phộp thu gn Jordan 3.4.1 Cu trỳc ca cỏc t ng cu ly linh nh ngha 3.4.1 [11] O Cho ma trn A M s ( K ) , A = O 0 ữ ữ thỡ d thy A l ma trn ly linh ch 1ữ ữ s s A c gi l ma trn ly linh Jordan cp s Mnh 3.4.1 [11] Gi s f l mt t ng cu ly linh khỏc ca K kgv hu hn chiu E, m l ch ( ) k s ly linh ca f , ( m Ơ , m ) Vi mi k { 0,1, , m} t Fk = Ker f , ú F1 Fm = E ta cú: { 0} = F0 nh lý 3.4.1 [11] Gi s f l mt t ng cu ly linh khỏc ca K kgv hu hn chiu E,m l ch s ly linh ca f , ( m Ơ , m ) Khi ú tn ti mt c s ca E ma trn J ca f i vi c s ú cú dng chộo theo khi: J = diag ( J m , ,J m , , J1 , , J1 ) , tc l Jm O Jm J = O Trn Vn Quõn J1 O ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ J1 ữ 59 Trong ú J k l cỏc ma trn ly linh Jordan cp k v s ln xut hin ca J k ( ) ( ) k rank f k J l rank f ln, k = 1, , m Khi ú ma trn J c gi l thu gn Jordan ca t ng cu ly linh f 3.4.2 Thu gn Jordan ca cỏc t ng cu nh ngha 3.4.2 [11] O * Vi ( , s ) K ì Ơ , ta gi ma trn J s ( ) = O ữ ữ M ( K ) l ma trn s 1ữ ữ Jordan cp s nh lý 3.4.2 [11] { } Gi s f L ( E ) cho f tỏch c trờn K , , , p = SpK ( f ) , si l cp bi ca i f , ( i = 1, , p ) Khi ú tn ti mt c s ca E cho ma trn J ca f i vi cú dng: ( ) J = diag J s1 ( ) , , J s1 ( ) , ,J s p ( p ) , , J s p ( p ) (sai khỏc th t cỏc Jordan) H qu 3.4.1 [11] Gi s A, B M n ( K ) cho A , B tỏch c trờn K iu kin cn v A v B ng dng l chỳng cú cựng mt thu gn Jordan ( cú th sai khỏc th t cỏc Jordan) 3.4.3 Mt s dng toỏn v phộp thu gn Jordan Bi toỏn ( ) ( ) p n Chng minh: A M n ( K ) , p Ơ , p n rank A = rank A Bi gii Trn Vn Quõn 60 ( ) ( ( ) ( )) k k Vỡ E = Im A Im ( A ) Im A nờn dóy rank A kƠ gim v cú cỏc phn t Ơ , vy l dóy dng Do ú, tn ti s nguyờn nh nht N Ơ ( ) ( ) Im ( A ) Im ( A ) Im ( A ) = Im ( A ) = N N +1 cho rank A = rank A Khi ú, ta cú dóy N +1 N ( ) ( ) C th: n = rank ( A ) rank ( A ) , rank ( A ) rank ( A ) , rank ( A ) rank ( A ) Cng cỏc bt ng thc trờn theo v, ta c: n rank ( A ) N Vy N n Vy: Im ( A ) = Im ( A ) = Im ( A ) = Vy p n, rank ( A ) = rank ( A ) k k +1 Vy ta cú: k { 0,1, , N 1} , rank A rank A N N N N +1 N n p n Khai thỏc bi toỏn Ta cú th ỏp dng kt qu ca bi toỏn trờn chng minh bi toỏn quen thuc Cho n Ơ * , A M n ( K ) , A ly linh Chng minh rng: An = Vỡ A ly linh nờn tn ti p Ơ * cho A p = Ta luụn chn c p n cho n p A p = Theo bi toỏn trờn thỡ rank ( A ) = rank ( A ) = Do ú An = Vy A ly linh bc q n Bi toỏn * Cho n Ơ , A M n ( K ) ly linh ch s v, rank ( A ) = r Chng minh: v r + Bi gii ( ) ( ) v Ta cú: E = Im A Im ( A ) Im A Vỡ A l ma trn ly linh ch s v nờn Av = 0, Av1 Do ú, dóy ( rank ( A ) ) k kƠ rank ( Ak ) = rank ( Ak +1 ) = 0, k v Ta cú dóy sau: Trn Vn Quõn l mt dóy gim v dng, 61 Im ( A0 ) Im ( A1 ) Im ( Av ) = Im ( Av +1 ) = ( ) ( ) k k +1 T ú bng cỏch cng ta Vy ta cú: k { 1, , v 1} , rank A rank A ( ) ( ) v v c: r rank A v , m rank A = nờn ta c v r Khai thỏc bi toỏn Bi toỏn 2.1 * Cho n Ơ , A M n ( K ) ly linh ch s v Chng minh rng: An = Vỡ A l ma trn ly linh nờn r = rank ( A ) n Theo bi toỏn trờn thỡ A ly linh ch s v r + n + = n Do ú An = Trong bi toỏn 2, no du = xy ra? Bi toỏn sau õy s phn no tr li cõu hi ú Bi toỏn 2.2 Cho n Ơ * , E l mt K- kgv hu hn chiu vi s chiu n, f L ( E ) ly linh ch s N Chng minh rng: N = n rank ( f ) = n Bi gii +) Gi s N = n Khi ú tn ti c s ca E cho Mat ( O O f ) = O 0 ữ ữ 1ữ ữ Vy rank ( f ) = n +) Gi s rank ( f ) = n Khi ú tn ti c s ca E v cỏc s nguyờn N { 1, , n} , v , , Ơ cho Mat ( Vy ta cú: n = N i i =1 Trn Vn Quõn i v rank ( f ) = f ) = J N , , J N , , J1 , , J1 ữ 14 43 ữ 14 43 N N N ( i 1) , t ú = n rank ( f ) = i =1 i i =1 i 62 k = i { 1, , N } { k } , i = Do ú tn ti k { 1, , N } cho N Khi ú n = i i = k v nh vy N k = n, N = n i =1 Bi toỏn Cho ( , ) K , xỏc nh thu gn Jordan ca A = 0 0 1ữ ữ M ( K ) 0ữ ữ 0 0 0ữ ữ v N = 0ữ ữ Bi gii 0 Ký hiu N = A I = 0 0 0 1ữ ữ, ta cú N = 0 0ữ ữ 0 0 0 Vy N l ma trn ly linh ch s Ta chn hai vect e1,1; e2,2 M 4,1 ( K ) to nờn mt h c lp tuyn tớnh v e1,1 khụng 0ữ ữ ữ thuc Ker ( N ) , chng hn e1,1 = ữ,e 2,2 = 0ữ ữ ữ ữ Tip ú t e1,2 = Ne1,1 ; e2,1 = Ne1,2 = N e1,1 Cui cựng: u1 = e2,1 ; u2 = e1,2 ; u3 = e1,1; u4 = e2,2 Vy = ( u1 , u2 , u3 , u4 ) l mt c s ca M 4,1 ( K ) v Nu1 = 0, Nu2 = u1 , Nu3 = u2 , Nu4 = Trn Vn Quõn 63 0 Vy thu gn Jordan ca N l Do ú, thu gn Jordan ca A l 0 0 0ữ ữ 0ữ ữ 0 0 1 0 1 0 0ữ ữ 0ữ ữ Khai thỏc bi toỏn Vi cựng phng phỏp gii, ta xut mt s bi toỏn tng t Bi toỏn 3.1 Vi ( , , , , , ) K , xỏc nh thu gn Jordan ca 1 A= 0 0 1ữ ữ M ( K ) ữ ữ Bi toỏn 3.2 (Bi toỏn tng quỏt) n n n n n n Xỏc nh thu gn Jordan ca ma trn A = L L L O 2ữ ữ ữ M n ( K ) ữ ữ nữ Bi toỏn 3.3 72 52 ữ 0ữ Chng minh rng cỏc ma trn A = ữ v B = ữ ng dng 2 3ữ 20 15 ữ M ( Ă ) ( Chng minh A v B cú cựng dng thu gn Jordan) Trn Vn Quõn 64 Bi toỏn A = B = A B i) Cho n { 1,2,3} , A, B M n ( Ê ) Chng minh: A : B N M K , A = ( ) ữ 0 ii) Cho N = N , B = Nữ M4 ( K ) 0ữ Chng minh: A = B , A = B , A : B Bi gii i) A : B A = B A : B A = B Nu +) Ngc li, ta ch cn xột trng hp n=3 Gi s A, B M ( Ê ) : A = B , A = B Nu A cú ba gtr , , ụi mt phõn bit thỡ A v B ng dng vi diag ( , , ) Nu A cú mt gtr kộp v mt gtr n thỡ A = B = ( X ) ( X ) v nu A = B = ( X ) ( X ) thỡ A v B chộo húa c v ng dng vi diag ( , , ) nu A = B = ( X ) ( X ) thỡ A v B khụng chộo húa c v ng dng vi 1 0ữ ữ 0 ữ Nu A cú mt gtr bi ba thỡ: nu A = B = X thỡ A v B bng 1I Trn Vn Quõn 65 nu A = B = ( X ) nu A = B = ( X ) 1 ữ thỡ A v B ng dng vi ữ 0 ữ 1 ữ thỡ A v B ng dng vi 1 ữ 0 ữ ii) A = B = X v A = B = X A v B khụng ng dng chỳng cú thu gn Jordan khỏc bit hay n gin hn vỡ rank ( A ) = v rank ( B ) = Khai thỏc bi toỏn 0 N hoc N = , A= ữ ữ 0 Nu ta thay i gi thit N = N B= 0 M ( K ) thỡ ta cú A = B = X , A = B = X , A : B ữ hoc N = , K ; N = ữ 0 N B= 0 M4 ( K ) Nữ N M ( K ) ,A = ữ 0 M4 ( K ) Nữ M ( K ) thỡ ta cú A = B = X , A = B = X , A : B ) ữ Bi toỏn * Cho n Ơ , A M n ( Ê ) tha SpÊ ( A ) Ă Chng minh rng tn ti B M n ( Ă ) , P GLn ( Ê ) cho A = PBP Bi gii Trn Vn Quõn 66 Theo nh lý v phộp thu gn Jordan, tn ti P GLn ( Ê ) , ( , , n ) Ă ( , , n1 ) { 0,1} n cho ta cú A = PBP 1 O O vi B = O n v ữ ữ n1 ữ ữ n Rừ rng B M n ( Ă ) Khai thỏc bi toỏn Vi cựng phng phỏp gii, nu ta thay i gi thit ca bi toỏn thỡ ta c bi toỏn tng t nh sau: * Cho n Ơ , A M n ( Ê ) tha SpÊ ( A ) Ô ( SpÊ ( A )  ) Chng minh rng tn ti B M n ( Ô ) Trn Vn Quõn ( ( BM n (  ) ) ) , P GLn ( Ê ) cho A = PBP 67 KT LUN Khúa lun ó trỡnh by chi tit li gii v a nhng hng khai thỏc cho mt s dng toỏn v cỏc phộp bin i ma trn vuụng, c th nh sau: Tỡm giỏ tr riờng, vect riờng ca mt t ng cu, ma trn vuụng (3 bi toỏn) Dng toỏn v a thc c trng, a thc ma trn (2 bi toỏn) Dng toỏn v chộo húa ma trn (4 bi toỏn) Dng toỏn v ng dng ca phộp chộo húa ma trn (3 bi toỏn) Dng toỏn v phộp tam giỏc húa (3 bi toỏn) Dng toỏn v cỏc a thc trit tiờu (4 bi toỏn) Dng toỏn v phõn tớch Dunford (3 bi toỏn) Dng toỏn v phộp thu gn Jordan (5 bi toỏn) Thụng qua ni dung khúa lun, chỳng ta nhn thy tm quan trng ca vic bin i ma trn ban u v mt cỏc dng n gin v quen thuc nh: dng chộo, dng tam giỏc, dng chun tc Jordan õy cng l mt bc khụng th thiu giỳp chỳng ta thy rừ bn cht ma trn v t ng cu tng ng vi nú Bờn cnh li gii mi bi toỏn, nhng hng khai thỏc v chỳng gúp phn lm rừ hn bn cht ng thi phỏt hin thờm nhng thụng tin cn thit liờn quan n bi toỏn ó cho Trn Vn Quõn 68 TI LIU THAM KHO [1] Khu Quc Anh - Nguyn Anh Kit (2001), Bi i s tuyn tớnh v hỡnh hc gii tớch, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [2] Lờ Tun Hoa (2005), i s tuyn tớnh qua cỏc vớ d v bi tp, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [3] Trn Trng Hu (2007), i s tuyn tớnh v hỡnh hc gii tớch, Nh xut bn Giỏo Dc [4] Hong K (ch biờn), Hong Thanh H (2005), i s s cp v thc hnh gii toỏn, Nh xut bn i hc S phm [5] Hong c Nguyờn, Lờ ỡnh Thnh (1997), i s tuyn tớnh (phn bi tp), Nh xut bn Khoa hc v K thut H Ni [6] on Qunh (1997), i s tuyn tớnh v hỡnh hc gii tớch, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [7] Nguyn Duy Thun (ch biờn) (2004), i s tuyn tớnh, Nh xut bn i hc S phm [8] Ngụ Vit Trung (2002), i s tuyn tớnh, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [9] inh Th Hi Yn (2014), Gii v khai thỏc mt s dng toỏn v ma trn v nh thc, Khúa lun tt nghip K8 HSP Toỏn - Trng i hc Hựng Vng, Phỳ Th [10] Jean - Maire Monier (2006), Giỏo trỡnh toỏn - 5: i s 1: Giỏo trỡnh v 600 bi cú li gii, Nh xut bn Giỏo Dc [11] Jean - Maire Monier (2006), Giỏo trỡnh toỏn - 6: i s 2: Giỏo trỡnh v 500 bi cú li gii, Nh xut bn Giỏo Dc Trn Vn Quõn [...]... bài toán tương tự, bài toán này có thể giải được không? + Hướng 2: Khái quát bài toán, có thể phát biểu bài toán tổng quát được không? Bài toán tổng quát còn đúng nữa không? Đặc biệt hóa bài toán? + Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được bài toán mới Phương pháp giải một bài toán khác + Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã dẫn đến phương pháp giải một bài toán khác 1.2 Một số kiến thức về ánh xạ tuyến tính và. .. kiến thức về ánh xạ tuyến tính và ma trận 1.2.1 Một số ma trận đặc biệt Định nghĩa 1.2.1 [10] Một ma trận vuông A thuộc M n ( K ) được gọi là đối xứng nếu: t A = A Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đối xứng cấp n với hạng tử trong K là S n ( K ) Định nghĩa 1.2.2 [10] Một ma trận vuông A thuộc M n ( K ) được gọi là phản đối xứng nếu: t A = − A Ta ký hiệu tập hợp các ma trận phản đối xứng cấp n với hạng... là một tự đồng cấu của không gian vectơ E trên trường K , U là một không gian con của E U gọi là không gian vectơ con xiclic đối với f nếu U là f - bất biến và U có một cơ sở xiclic đối với f Trần Văn Quân U : U →U 13 Chương 2 PHÉP CHÉO HÓA CÁC TỰ ĐỒNG CẤU VÀ MA TRẬN VUÔNG Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức và dạng toán cơ bản về các phần tử riêng, đa thức đặc trưng, đa thức các. .. không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp đặc biệt? Một bài toán tương tự? Hoặc một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số điều kiện, bỏ qua các điều kiện khác Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố có ích không? Có thể nghĩ ra những dữ kiện khác giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn hoặc các dữ...   ÷ ÷÷ ÷ d − c      Khai thác bài toán Với cách giải tương tự ta có thể giải một số bài toán cùng phương pháp Bài toán 2.1 Cho A ∈ M n ( £ ) Chứng minh rằng A chéo hóa được khi và chỉ khi với nghiệm λi của đa thức đặc trưng χ A ( λ ) , hạng ( A − λi I n ) = n − mi , mi là cấp bội của nghiệm λi Bài toán 2.2 (Bài toán tổng quát) Cho A ∈ An ( £ ) (tập các ma trận vuông phản đối xứng cấp n với... thức các tự đồng cấu, đa thức ma trận, tính chéo hóa được của một ma trận vuông và một số ứng dụng của phép chéo hóa 2.1 Phần tử riêng Định nghĩa 2.1.1 [11] i) Giả sử E là một K − kgv , f ∈ L ( E ) • Cho λ ∈ K Ta nói rằng λ là một giá trị riêng (viết tắt: gtr) của f khi và chỉ khi: ∃x ∈ E , x ≠ 0 và f ( x ) = λ x Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của f là phổ của f , và ký hiệu SpK ( f ) ,(hay Sp (...  0÷ KGCR ( A,1) có số chiều là 2 và sinh bởi V3 =  ÷,V4 =  ÷ 1÷  0÷  ÷  ÷  0 1 Vậy A chéo hóa được và ta tính được các ma trận: 1 0 0 1 P=  0 −1   −1 0 0 1 1 0 1  −1 0  0÷ ÷, D =  0 −1 0 0 0÷ ÷  1 0 0 0 0 1 0 0 1  0÷ ÷, P −1 = 1  0 0÷ 20 ÷  1 1 Khai thác bài toán Với cách giải tương tự ta đề xuất bài toán tương tự Bài toán 3.1 0  N Cho ma trận vuông cấp n thực hay... lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự? + Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Có cần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được không? + Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? + Nếu bạn vẫn chưa giải được bài toán đã cho thì hãy thử giải một bài toán. .. nói A là ma trận tam giác trên nếu ∀ ( i, j ) ∈ { 1, , n} , i > j ⇒ aij = 0 Ta 2 ký hiệu tập hợp các ma trận tam giác trên cấp n với hạng tử trong K là Tn ,s ( K ) ( ) ii) Ta nói A là ma trận tam giác dưới nếu ∀ ( i, j ) ∈ { 1, , n} , i < j ⇒ aij = 0 Ta 2 ký hiệu tập hợp các ma trận tam giác dưới cấp n với hạng tử trong K là Tn ,i ( K ) iii) Ta nói A là ma trận tam giác nếu khi A là ma trận tam... tam giác trên hoặc A là ma trận tam giác dưới Định nghĩa 1.2.4 [10] ( ) Cho n ∈ ¥ * Một ma trận vuông A = aij 1≤i , j ≤ n thuộc M n ( K ) được gọi là ma trận ( ) đường chéo nếu: ∀ ( i, j ) ∈ { 1, , n} , i ≠ j ⇒ aij = 0 2 Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đường chéo cấp n với hạng tử trong K là Dn ( K ) n Với mọi ( λ1 , , λn ) ∈ K , ta ký hiệu ma trận đường chéo thuộc M n ( K ) có các hạng tử chéo là λ1