Giải và khai thác một số dạng toán về các phép biến đổi ma trận vuông

Chúng ta có thể biến đổi những ma trận đó về dạng đơn giảnhơn qua việc sử dụng phép tam giác hóa, phân tích Dunford, phép thu gọn Jordan [11].Nhưng các tài liệu này đa số chỉ dừng lại ở

Giải và khai thác một số dạng toán về các phép biến đổi ma trận vuông

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa………i

Lời cảm ơn ……… ii

Mục lục ……… iii

Danh mục các ký hiệu……….iv

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài khóa luận 1

2 Mục tiêu khóa luận 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3

7 Bố cục của khóa luận 3

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 4

1.1 Sơ lược về giải và khai thác một số bài toán 4

1.1.1 Tìm hiểu sơ bộ đề toán 4

1.1.2 Khai thác đề toán 4

1.1.3 Tìm tòi lời giải 5

1.1.4 Trình bày lời giải 6

1.1.5 Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác bài toán 7

1.2 Một số kiến thức về ánh xạ tuyến tính và ma trận 7

1.2.1 Một số ma trận đặc biệt 7

1.2.2 Không gian vectơ Mn p,   K 8

1.2.3 Phép nhân trên ma trận 9

1.2.4 Nhóm GL K n  9

1.3 Đổi cơ sở 10

1.3.1 Ma trận chuyển cơ sở 10

1.3.2 Đổi cơ sở đối với một vectơ 10

1.3.3 Đổi cơ sở đối với một ánh xạ tuyến tính 10

1.3.4 Đổi cơ sở đối với một tự đồng cấu 11

1.4 Vectơ riêng, giá trị riêng của một tự đồng cấu 11

1.5 Tự đồng cấu lũy linh 11

Chương 2 PHÉP CHÉO HÓA CÁC TỰ ĐỒNG CẤU VÀ MA TRẬN VUÔNG 13

2.1 Phần tử riêng 13

2.2 Đa thức đặc trưng 14

2.3 Tính chéo hóa được 15

2.4 Đa thức tự đồng cấu, đa thức ma trận 16

2.5 Ứng dụng của việc chéo hóa 17

2.5.1 Tính các lũy thừa của một ma trận vuông 17

2.5.2 Xác định các dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp một với hệ số không đổi 18

2.5.3 Xác định các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi 18

2.6 Một số dạng toán về phép chéo hóa ma trận vuông 19

2.6.1 Dạng toán về tìm giá trị riêng, vectơ riêng 19

2.6.3 Dạng toán về chéo hóa ma trận 26

2.6.4 Dạng toán về ứng dụng của phép chéo hóa ma trận 32

Chương 3 PHÉP THU GỌN CÁC MA TRẬN VUÔNG 37

3.1 Phép tam giác hóa 37

3.1.1 Kiến thức cơ bản về phép tam giác hóa 37

3.1.2 Một số dạng toán về phép tam giác hóa 38

3.2 Các đa thức triệt tiêu 42

3.2.1 Định lý Cayley và Hamilton 42

3.2.2 Định lý các hạt nhân 43

3.2.3 Đa thức tối tiểu 44

3.2.4 Một số dạng toán 45

3.3 Phân tích Dunford 51

3.3.1 Không gian con đặc trưng 51

3.3.2 Phân tích Dunford 52

3.3.3 Các ví dụ về ứng dụng phân tích Dunford 52

3.4 Phép thu gọn Jordan 57

3.4.1 Cấu trúc của các tự đồng cấu lũy linh 57

3.4.2 Thu gọn Jordan của các tự đồng cấu 58

3.4.3 Một số dạng toán về phép thu gọn Jordan 59

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 67

GL K Tập hợp các ma trận vuông cấp n khả nghịch trên trường K.

KGCĐ f  , 0 : Không gian con đặc trưng của f liên kết với giá trị riêng 0

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài khóa luận

Ma trận là khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, nó được ứng dụng nhiềutrong toán học và nhiều bộ môn khoa học khác Ma trận là công cụ để nghiên cứu líthuyết về hệ phương trình tuyến tính Nhờ có ma trận mà các ánh xạ tuyến tính đượcnghiên cứu sâu sắc hơn Ngoài ra, ma trận còn giúp cho việc xác định được giá trịriêng, vectơ riêng của một ánh xạ tuyến tính, xác định những dạng ánh xạ tuyến tínhđặc biệt Ma trận được dùng để giải các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, phươngtrình vi phân tuyến tính hệ số là hằng số

Ma trận giúp cho việc nghiên cứu ánh xạ tuyến tính được sâu sắc hơn Mỗi ánh

xạ tuyến tính đều có một cấu trúc riêng, cấu trúc càng phức tạp thì việc khảo sát ánh xạnày càng trở nên khó khăn Nhưng trong mỗi cơ sở thì mỗi ánh xạ đều tương ứng vớimột ma trận Ma trận của ánh xạ tuyến tính chính là ngôn ngữ giúp mô tả chúng mộtcách cụ thể Do vậy để khảo sát cấu trúc một ánh xạ tuyến tính thì việc biến đổi để tìm

ra ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính ở dạng đơn giản nhất là rất cần thiết

Biến đổi ma trận của tự đồng cấu để đưa về ma trận dạng chéo được tác giảĐoàn Quỳnh trình bày một cách sâu sắc giúp cho việc khảo sát cấu trúc của tự đồngcấu thuận tiện hơn [6] Các bài tập về chéo hóa ma trận được hai tác giả Khu Quốc Anh

và Nguyễn Anh Kiệt trình bày chi tiết giúp cho người đọc hiểu cách thức chéo hóa matrận của tự đồng cấu [1] Nhưng không phải ma trận nào cũng đưa về dạng chéo được.Vậy đối với những ma trận không đưa được về dạng chéo thì chúng có thể có dạng đơngiản nhất như thế nào? Chúng ta có thể biến đổi những ma trận đó về dạng đơn giảnhơn qua việc sử dụng phép tam giác hóa, phân tích Dunford, phép thu gọn Jordan [11].Nhưng các tài liệu này đa số chỉ dừng lại ở việc hướng dẫn giải bài toán mà hạn chếtrong việc khai thác lời giải bài toán Việc khai thác bài toán thể hiện sự sáng tạo vàhiểu sâu hơn lời giải một bài toán Hiện nay, số tài liệu viết về giải và khai thác khôngnhiều thường tập trung ở toán sơ cấp chẳng hạn tài liệu [4] đề cập đến việc giải và khai

thác các bài toán sơ cấp dành cho bồi dưỡng giáo viên trung học cơ sở, tài liệu [9] đềcập đến việc giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức

Nhằm mục đích hiểu sâu sắc hơn về các phép biến đổi ma trận vuông chúng tôi

chọn vấn đề “Giải và khai thác một số dạng toán về các phép biến đổi ma trận vuông” làm nội dung nghiên cứu trong khóa luận.

2 Mục tiêu khóa luận

Phân loại một số bài tập về biến đổi ma trận vuông theo các chủ điểm để xâydựng lời giải và đưa ra những khai thác về chúng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Nghiên cứu những kiến thức cơ bản về các phép biến đổi ma trận vuông nhưphép chéo hóa, phép tam giác hóa, phép thu gọn Jordan

 Phân loại các dạng bài tập về các phép biến đổi ma trận vuông và trình bày lờigiải cho các dạng bài tập

 Đưa ra hướng khai thác, đề xuất bài toán mới từ bài toán cho trước trong mỗidạng

4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liênquan đến các phép biến đổi ma trận vuông rồi phân hóa, hệ thống hóa kiến thức;tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa để khai thác đề xuất bài toán mới từbài toán ban đầu

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu,giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướngdẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóaluận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng nghiên cứu: các phép biến đổi ma trận vuông

 Phạm vi nghiên cứu: tập trung nghiên cứu phân dạng và khai thác lời giải bàitoán về các phép biến đổi ma trận vuông mà phần tử thuộc các trường số thực,

số phức

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khóa luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về các phép biến đổi

ma trận vuông, đồng thời trên cơ sở nghiên cứu lời giải của những bài toán đã cho, đềxuất các hướng khai thác chúng dưới dạng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự Qua

đó, cung cấp thêm thông tin khai thác bài toán, tạo ra tài liệu tham khảo hữu ích

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần: Mục lục; mở đầu; kết luận; tài liệu tham khảo; khóa luận được chiathành 3 chương

Chương 1 trình bày sơ lược về giải và khai thác một số bài toán; kiến thức cơbản về ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn của nó trong các cơ sở khác nhau; vectơriêng, giá trị riêng của một tự đồng cấu; tự đồng cấu lũy linh

Chương 2 trình bày kiến thức cơ bản và hệ thống bài tập cùng những khai thác

về một số dạng toán: tìm giá trị riêng, vectơ riêng; đa thức đặc trưng, đa thức ma trận;chéo hóa ma trận vuông và ứng dụng

Chương 3 trình bày kiến thức cơ bản, hệ thống bài tập cùng những khai thác chomột số dạng toán về các phép thu gọn ma trận vuông: phép tam giác hóa, phân tíchDunford, thu gọn Jordan

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này chúng tôi trình bày sơ lược về giải và khai thác một số bài toán, một số kiến thức cơ bản về ma trận, mối liên hệ giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau, giá trị riêng, vectơ riêng của một tự đồng cấu

1.1 Sơ lược về giải và khai thác một số bài toán

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về các bước giải một bài toán và cáchướng khai thác Khóa luận được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [4] của tác giả Hoàng

Kỳ và Hoàng Thanh Hà

1.1.1 Tìm hiểu sơ bộ đề toán

Khi chọn bài toán, không nên chọn bài quá khó, mà cũng không nên chọn bàiquá dễ Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi được hứng thú, sự tò mò chongười học Trước hết, cần phải đọc kĩ đề toán để thấy được “ toàn cảnh” bài toán, càngsáng sủa, rõ ràng càng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là các chi tiết rắc rối

Cần cố gắng “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: bài toán này thuộc “vùng”kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giải quyếtđược vấn đề gì? …

1.1.2 Khai thác đề toán

Nếu là bài toán về tìm tòi thì cần xác định rõ đâu là ẩn, cần phải tìm cái gì? Đâu

là các dữ liệu? Đã cho biết những gì? Nếu là bài toán chứng minh thì cần nêu rõ cácgiả thiết, kết luận

Nếu bài toán cần có hình vẽ thì phải vẽ hình Đối với các bài toán đại số và sốhọc, đó có thể là các đồ thị, đoạn thẳng, có thể là các hình hình học (chẳng hạn các bàitoán về cực trị hoặc các bài toán hình học giải bằng phương pháp đại số) Nếu cần cóthể sử dụng các nét đậm, nét nhạt, nét đứt hoặc dùng màu trong hình vẽ, … cảm nhậntrực giác trên hình vẽ có thể giúp ta nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung của đề toán

Đối với nhiều đề toán, ta phải đưa vào một số kí hiệu Cách kí hiệu thích hợp cóthể giúp ta hiểu rõ đề toán nhanh chóng hơn Các kí hiệu dùng để ghi các đối tượng vàquan hệ giữa chúng trong bài toán cần được đưa vào một cách ngắn gọn, dễ nhìn,

1.1.3 Tìm tòi lời giải

Đây là bước quan trọng – nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giải bàitoán Không có một thuật giải tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ có thểđưa ra những lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải đượcđúng hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công hơn.Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, càng linh hoạt, nhuầnnhuyễn thì càng dễ tới thành công hơn

• Nhận dạng và tập hợp kiến thức

Cần “khoanh vùng” bài toán và vùng được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp tanhận dạng được bài toán thuộc loại nào Khi đã nhận dạng, đã phân loại được bài toánthì trong óc phải nhanh chóng huy động và tổ chức các kiến thức đã học, đã biết từtrước, phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng một loạt yếu tố cần thiết để giải bài toán này.Quá trình đó có thể là “tự phát” nhất là đã quen với việc giải toán

• Phân tích bài toán để đưa về những dạng đơn giản hơn

Một bài toán, nhất là bài toán tổng hợp, bài toán khó thường được xây dựng từnhững bài toán đơn giản hơn Cần thử xem có thể phân tích bài toán đang xét thànhnhững bài toán đơn giản hơn không, rồi giải bài toán nhỏ ấy, sau đó kết hợp chúng lại

để có lời giải của bài toán đã cho

• Liên hệ và sử dụng các bài toán đã giải

Thật ra khó mà đặt ra bài toán hoàn toàn mới, không giống bất kỳ bài toán nàohoặc không liên hệ gì với các bài toán khác Vì thế, khi gặp một bài toán, ta cố gắngnhớ lại xem đã gặp một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán cần giải chưa vàcon đường đi đến lời giải Điều đó sẽ giúp chúng ta rút ngắn việc tìm tòi lời giải củabài toán “mới” này và tạo thêm rất nhiều thuận lợi Khi nhớ được một hay một số bàitoán tương tự bài toán đang xét có thể về dạng, có thể về phương pháp, về vấn đề đặt

ra, về cái chưa biết phải tìm … ta đã lợi dụng được những điểm tương đồng về phương

• Mò mẫm, dự đoán

Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, ta có thể thử nghiệm với một số trườnghợp đặc biệt, nhiều khi cho ta những gợi ý để giải quyết trong những trường hợp tổngquát

• Bản gợi ý Pôlya

Hãy trả lời các câu hỏi:

+ Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng hơi khác? + Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí nào có thể sử dụng ở đâykhông?

+ Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩntương tự?

+ Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng nó không?

Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không? Cócần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được không?

+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?

+ Nếu bạn vẫn chưa giải được bài toán đã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan

mà dễ hơn được không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp đặc biệt? Một bàitoán tương tự? Hoặc một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số điều kiện, bỏ qua cácđiều kiện khác Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi nhưthế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố có ích không? Có thể nghĩ ranhững dữ kiện khác giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn hoặc các dữkiện sao cho các ẩn mới và các dữ kiện mới gần nhau hơn không?

+ Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ chưa? Đã để ýđến các khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

1.1.4 Trình bày lời giải

Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách lậpluận tạm thời, cảm tính Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những lí luậnchặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Phải chú ý đến trình tự các chi tiết, đếntính chính xác của từng chi tiết, đến mối quan hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của

lời giải và trong toàn bộ lời giải Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất hiện màkhông căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc đã trình bày trước đó.

Trình tự các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể rất khácvới trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải, thậm chí có thể ngược nhau, vì khi tìm tòilời giải ta thường dùng phương pháp phân tích, còn khi trình bày lời giải để ngắn gọn

ta lại thường sử dụng phương pháp tổng hợp Lời giải phải được trình bày gọn gàng,mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc

1.1.5 Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác bài toán

Bước cuối cùng này cũng cần thiết và bổ ích nhưng thường hay bị bỏ qua Trongtrình bày lời giải, rất có thể có thiếu sót, nhầm lẫn Việc kiểm tra lại sẽ giúp ta tráchđược những sai sót đó và tích lũy thêm kinh nghiệm cho các bài toán khác Hơn nữaviệc nhìn nhận lại toàn bộ lời giải có thể giúp chúng ta phát hiện được cách giải kháctốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn Ngoài ra, nó còn có thể giúp ta tìmđược những bài toán mới mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt Công đoạnnày còn được gọi là khai thác bài toán Có thể khai thác theo các hướng sau:

+ Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, bài toán này có thể giải được không?

+ Hướng 2: Khái quát bài toán, có thể phát biểu bài toán tổng quát được không?Bài toán tổng quát còn đúng nữa không? Đặc biệt hóa bài toán?

+ Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được bài toán mới Phương pháp giải một bài toánkhác

+ Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã dẫn đến phương pháp giải một bài toán khác

1.2 Một số kiến thức về ánh xạ tuyến tính và ma trận

1.2.1 Một số ma trận đặc biệt

Định nghĩa 1.2.1 [10]

Một ma trận vuông A thuộc M Kn  được gọi là đối xứng nếu: t A A

Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đối xứng cấp n với hạng tử trong K là S Kn .

Định nghĩa 1.2.2 [10]

Một ma trận vuông A thuộc M Kn  được gọi là phản đối xứng nếu: t A A

Ta ký hiệu tập hợp các ma trận phản đối xứng cấp n với hạng tử trong K là A Kn .

Định nghĩa 1.2.3 [10]

Cho A M K  n 

i) Ta nói A là ma trận tam giác trên nếu   i j ,    1, , n 2, i j a ij 0 Ta

ký hiệu tập hợp các ma trận tam giác trên cấp n với hạng tử trong K là Tn,s  K .

ii) Ta nói A là ma trận tam giác dưới nếu   i j ,    1, , n 2, i j a ij 0 Ta

ký hiệu tập hợp các ma trận tam giác dưới cấp n với hạng tử trong K là T,i  K .

iii) Ta nói A là ma trận tam giác nếu khi A là ma trận tam giác trên hoặc A là matrận tam giác dưới

Định nghĩa 1.2.4 [10]

Cho n * Một ma trận vuông A   aij 1 ,i j n

 

 thuộc M Kn  được gọi là ma trận

đường chéo nếu:   i j ,    1, , n 2,  i   j aij  0 

Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đường chéo cấp n với hạng tử trong K là D Kn .Với mọi  1, ,  n

0 , ,

A  M K sao cho AA '  A A I '  n Nếu A khả nghịch thì A' là duy nhất và được

gọi là nghịch đảo của A ký hiệu là A 1

Ta ký hiệu tập hợp các ma trận khả nghịch thuộc M K   là GL K  .

Cho E là không gian vectơ n chiều,  , ' là hai cơ sở của E Ma trận chuyển cơ sở

từ  sang ', ký hiệu Pass    , '  là ma trận thuộc M Kn  có các cột được tạo bởicác thành phần của các vectơ của ' biểu thị trên cơ sở , nghĩa là:

X  Mat x , X '  Mat'  x Khi đó: X  PX '

1.3.3 Đổi cơ sở đối với một ánh xạ tuyến tính

Mệnh đề 1.3.2 [10]

Giả sử E F, là hai không gian vectơ,  , ' là hai cơ sở của E ,  , ' là hai cơ sở

của F ĐặtP Pass     , ' ,Q Pass     , '  Với f  L E F  , ,A Mat   ,   f ,

1.3.4 Đổi cơ sở đối với một tự đồng cấu

.

Mệnh đề 1.4.1 [7]

Giả sử E là một không gian vectơ, tập hợp gồm vectơ 0  và các vectơ riêng ứng với giá trị riêng k của tự đồng cấu f E:  E là một không gian con bất biến của E và được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng k (không gian con f - bất biến)

1.5 Tự đồng cấu lũy linh

 j j 1

f                                

, (j= 1,…,n-1) và f    n 0 Cơ sở như thế gọi là cơ sở xiclic đối với f

trong cơ sở đó ma trận của f có dạng:

0

1 0 1

f là một tự đồng cấu của không gian vectơ E trên trường K , U là một không gian

con của E U gọi là không gian vectơ con xiclic đối với f nếu U là f - bất biến và

U có một cơ sở xiclic đối với f U : U  U

Chương 2 PHÉP CHÉO HÓA CÁC TỰ ĐỒNG CẤU

VÀ MA TRẬN VUÔNG

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức và dạng toán cơ bản về các phần tử riêng, đa thức đặc trưng, đa thức các tự đồng cấu, đa thức ma trận, tính chéo hóa được của một ma trận vuông và một số ứng dụng của phép chéo hóa.

Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của A là phổ của A , và ký hiệu SpK  A (hay Sp A  )

• Cho X  Mn,1  K Ta nói rằng X là một vectơ riêng (viết tắt: vtr  ) của A khi vàchỉ khi: X 0 và     K AX ,   X 

Các giá trị riêng và các vectơ riêng được gọi chung là các phần tử riêng.

Mệnh đề 2.1.1 [11]

i) Giả sử E là K kgv , e Id  E , f  L E  

• Giả sử   K x E ,     0 Ta nói rằng  và x là giá trị riêng và vectơ riêng liên

kết khi và chỉ khi: x 0 và f x     x

• Với mọi gtr  của f , kgvc Ker f    e  của E được tạo thành từ các vtr  của f

liên kết với  và vectơ không Kgvc Ker f    e  này được gọi là không gian con riêng của f liên kết với giá trị riêng  của f , và được ký hiệu là KGCR f  , :

KGCR f ,    K er  f   e 

ii) Giả sử n  *, A M K  n 

• Giả sử   K X M ,  n,1    K  0 Ta nói rằng  và X là giá trị riêng và vectơ riêng liên kết khi và chỉ khi: X 0 và AX X

• Với mọi gtr  của A , kgvc Ker A    In của Mn,1  K được tạo thành từ các vtr 

của A liên kết với  và vectơ không Kgvc Ker A    Innày được gọi là không gian con riêng của A liên kết với gtr  của A , và được ký hiệu là KGCR A  , :

i) Cho A M K  n  Ánh xạ K  K ,   det  A   In là một đa thức, được gọi là

đa thức đặc trưng của A, ký hiệu là A

ii) Cho f  L E   Ánh xạ K  K ,   det  f   e  là một đa thức, được gọi là đa

thức đặc trưng của f , ký hiệu là f

Giả sử f  L E  , (tương ứng: A M K  n ), 0 là một giá trị riêng của f (tương

ứng: A) Ta gọi số lần mà 0 là nghiệm của đa thức đặc trưng f (tương ứng: A) là

i) Giả sử f  L E   Với mọi gtr đơn 0 của f KGCR f  ,  , 0 có số chiều là 1.

ii) Giả sử A M K  n  Với mọi gtr đơn 0 của A KGCR A  ,  , 0 có số chiều là 1.

2.3 Tính chéo hóa được

Định nghĩa 2.3.1 [11]

i) Giả sử f  L E   Ta nói rằng f chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở 

của E sao cho Mat  f là ma trận chéo.

ii) Giả sử A M K  n  Ta nói rằng A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại một ma

trận chéo D thuộc M Kn  sao cho A đồng dạng với D.

Mệnh đề 2.3.1 [11]

Giả sử f  L E   Các tính chất sau đây từng đôi một tương đương:

(i) f chéo hóa được.

(ii) Tồn tại một cơ sở của E được tạo nên từ các vtr 

của f . (iii) Tổng các KGCR của f bằng E

(iv) Tổng các số chiều của các KGCR của f bằng dim E  

Định lý 2.3.1 [11] ( Điều kiện cần và đủ của tính chéo hóa được)

i) Cho f  L E f   , chéo hóa được khi và chỉ khi:

• f tách được trên K

• Với mỗi gtr  của f , dim  KGCR f   ,  bằng cấp bội của 

ii) Cho A M K A  n  , chéo hóa được khi và chỉ khi:

• A tách được trên K

• Với mỗi gtr  của A , dim  KGCR A   ,   bằng cấp bội của 

Hệ quả 2.3.1 [11] (Điều kiện đủ của tính chéo hóa được)

i) Giả sử f  L E   Nếu f có n giá trị riêng từng đôi phân biệt ( trong đó

 

dim

n  E ) thì chéo hóa được.

ii) Giả sử A M K  n  Nếu A có n giá trị riêng từng đôi phân biệt thì A chéo hóa

i) Giả sử f  L E   , P K X    Ta nói rằng P triệt tiêu f (hay P là đa thức triệt

tiêu của f ) khi và chỉ khi: P f    0

ii) Giả sử A M K  n , P K X    Ta nói rằng P triệt tiêu A (hay P là đa thức

triệt tiêu của A) khi và chỉ khi: P A    0

Định lý 2.4.1 [11]

i) Giả sử E là một K kgv hữu hạn chiều, f  L E   Để f chéo hóa được cần và

đủ là tồn tại P K X    tách được trên K và có các nghiệm đơn sao cho P f    0.

ii) Giả sử n  *, A M K  n  Để A chéo hóa được cần và đủ là tồn tại P K X   

tách được trên K và có các nghiệm đơn sao cho P A    0.

2.5 Ứng dụng của việc chéo hóa

2.5.1 Tính các lũy thừa của một ma trận vuông

Giả sử A M K  n , A chéo hóa được tức là tồn tại P GL K D D K  n  ,  n sao cho A PDP 1

 Từ đó suy ra giá trị của A k

2.5.2 Xác định các dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp một với hệ số không đổi

Giả sử *      

n   A  a  M K    K Ta xét các dãy truy hồi

tuyến tính đồng thời cấp một với hệ số không đổi  1,k , , n k, 

    và việc xác định Xk quy về việc tính A k

2.5.3 Xác định các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi

Như vậy việc tính un được đưa về việc tính các lũy thừa của A

2.6 Một số dạng toán về phép chéo hóa ma trận vuông

2.6.1 Dạng toán về tìm giá trị riêng, vectơ riêng

(k là cấp bội của nghiệm  của P)

Thế vào phương trình trên:  X    Q'   k   1   Q  0

Như vậy tồn tại C      0 và k   0, , n  sao cho   k 1 và P C X     k

ii) Giả sử    , P E     0 sao cho f P     P Suy ra

y x  C x  x  C   Và y có dạng đa thức khi và chỉ khi :   ,n     2

Từ đây suy ra    0, ,n  , rồi từ đó tìm P

 là vectơ riêng tương

ứng thì AX X Ta dựa vào đẳng thức này để tìm , X

Ta cũng có thể dùng đa thức đặc trưng để tìm các giá trị riêng của A

Ta có: A    2 3    Vậy A có hai giá trị riêng là 0 và 3.

Ta có bài toán tương tự:

Bài toán 3.1 ( Đề dự thi Olympic Toán học Sinh viên toàn quốc năm 2009)

Trước hết ta tìm đa thức đặc trưng của A Ta có A    3   b  3    2011

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì đa thức trên phải có một nghiệm là 2009, từ đó ápdụng định lí Vi-et cho đa thức này, ta được:

2.6.2 Dạng toán về đa thức đặc trưng, đa thức ma trận

ma trận f A   có giá trị riêng là f   , ma trận f A m có giá trị riêng là f   m

Từ đó ta có lời giải bài toán như sau

b) Bài giải

det A   I    2   1   4   3    6      2   1   1   6 Như vậy ma trận A có các giá trị riêng là 1, 1,2,6

Mấu chốt của bài toán này là tìm được các nghiệm của đa thức đặc trưng Do đó ta đềxuất bài toán tổng quát như sau:

Bài toán 1.2 ( Bài toán tổng quát )

Cho ma trận   ,   0 1 n

A M K f x   a  a x   a x Tính det f A m,m  *.Giả sử A   là đa thức đặc trưng của ma trận A có các nghiệm lần lượt là

Ta đã biết rằng ma trận A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại P K X    tách đượctrên K và có các nghiệm đơn sao cho P A    0

Ta có bài toán tương tự về tính chéo hóa được của ma trận

 chéo hóa được khi và chỉ khi Ak chéo hóa

được, với mọi k   1, , N 

Hãy biểu thị M theo A

2.6.3 Dạng toán về chéo hóa ma trận

Các giá trị riêng của A là 0, 2,  2

KGCR A ,0  có số chiều là 1 và có cơ sở   V1 , trong đó 1

1 0 1

Vì A tách được trên  và ứng với mỗi giá trị riêng  của A thì dim  KGCR A   ,  

bằng cấp bội của  nên A chéo hóa được.

Nếu A có n giá trị riêng đôi một phân biệt thì A chéo hóa được Do vậy cùng phương

pháp giải ta đề xuất bài toán tương tự

i) Xác định các giá trị riêng, vectơ riêng của A.

ii) Tìm điều kiện cần và đủ để A chéo hóa được.

Tổng quát bài toán 1 ta được bài toán 1.3

Bài toán 1.3

Cho A S  n   (tập các ma trận vuông đối xứng cấp n với hệ tử trong ) Chứng

minh rằng A chéo hóa được

Ta suy ra:   2 2 2 22

ii) Theo a) A tách được trên  và có hai nghiệm kép a i a i ,  

Ta chứng minh được rằng KGCR A a i  ,    , KGCR A a i  ,    có số chiều là 2, vậy

A chéo hóa được

Khai thác bài toán

Với cách giải tương tự ta có thể giải một số bài toán cùng phương pháp

Bài toán 2.1

Cho A M  n   Chứng minh rằng A chéo hóa được khi và chỉ khi với nghiệm i

của đa thức đặc trưng A   , hạng  A  i nI    n mi, mi là cấp bội của nghiệm i

Bài toán 2.2 (Bài toán tổng quát)

Cho A A  n   (tập các ma trận vuông phản đối xứng cấp n với hệ tử trong ).Chứng minh rằng A chéo hóa được

Bài toán 3

Chứng minh ma trận sau đây chéo hóa được và đưa về dạng chéo

Ta lập đa thức đặc trưng của A, A     1  2  2  1 

Vậy A có hai giá trị riêng là -1 và 1 đều có cấp bội là 2

KGCR A  , 1  có số chiều là 2 và sinh bởi 1 2

Khai thác bài toán

Với cách giải tương tự ta đề xuất bài toán tương tự

Khi nào ma trận A chéo hóa được

Tổng quát bài toán 3 ta được bài toán 3.2

Rõ ràng A tách được trên  và có các nghiệm đơn (căn bậc n của 1 trong ) Vậy A

chéo hóa được

c) Khai thác

Ngoài cách làm trên, ta cũng có thể sử dụng kiến thức về đa thức triệt tiêu để chứng