MỤC LỤC
Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đối xứng cấp n với hạng tử trong K là S Kn( ). Ta ký hiệu tập hợp các ma trận phản đối xứng cấp n với hạng tử trong K là A Kn( ). Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đường chéo cấp n với hạng tử trong K là D Kn( ).
Một ma trận A thuộc M Kn( ) được gọi là khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại một. Nếu A khả nghịch thì A ' là duy nhất và được gọi là nghịch đảo của A ký hiệu là A−1. i) Phép nhân là luật hợp thành trong GL Kn( ) và GL Kn( ) là một nhóm và được gọi là nhóm tuyến tính.
Đổi cơ sở
Vectơ riêng, giá trị riêng của một tự đồng cấu
Tự đồng cấu lũy linh Định nghĩa 1. [6]
Ta gọi số lần mà λ0 là nghiệm của đa thức đặc trưng χf (tương ứng: χA) là cấp bội của λ0. Ta nói rằng f chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở β của E sao cho Matβ( ) f là ma trận chéo. Ta nói rằng A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại một ma trận chéo D thuộc M Kn( ) sao cho A đồng dạng với D.
Nếu f có n giá trị riêng từng đôi phân biệt ( trong đó. Nếu A có n giá trị riêng từng đôi phân biệt thì A chéo hóa được. được gọi là đa thức ma trận. Ứng dụng của việc chéo hóa. Tính các lũy thừa của một ma trận vuông. Mặt khác, kí hiệu. Rừ ràng ta cú. Từ đó suy ra giá trị của Ak. Xác định các dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp một với hệ số không đổi. Vấn đề là tính các xj k,. Xác định các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không đổi. Như vậy việc tính un được đưa về việc tính các lũy thừa của A. Dạng toán về tìm giá trị riêng, vectơ riêng. Tìm các giá trị riêng, vectơ riêng của f. Ta sẽ sử dụng định nghĩa để tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của f , tức là tìm. vào đẳng thức này để tìm các gtr, vtruur. Ta có bài toán tương tự. Xác định các gtr, vtruur. Xác định các gtr, vtruur. ii) Xác định các gtr và vtruur. Ta cần chỉ ra f là một tự đồng cấu của E hay f là một ánh xạ tuyến tính và dựa vào định nghĩa để xác định các gtr và vtruur. Và f là tuyến tính. Với cùng phương pháp giải, ta đề xuất bài toán tương tự. ii) Xác định các gtr và vtruur.
1KGCR A
Ma trận vuông A có giá trị riêng là λ thì Am có giá trị riêng là λm. Mấu chốt của bài toán này là tìm được các nghiệm của đa thức đặc trưng. Giả sử χ λA( ) là đa thức đặc trưng của ma trận A có các nghiệm lần lượt là.
Ta cần chứng minh χA tách được trên ¡ và ứng với mỗi giá trị riêng λ của A thì.
Rừ ràng χA tỏch được trờn Ê và cú cỏc nghiệm đơn (căn bậc n của 1 trong Ê). Vậy A chéo hóa được. Ngoài cách làm trên, ta cũng có thể sử dụng kiến thức về đa thức triệt tiêu để chứng minh A chéo hóa được, A triệt tiêu một đa thức tách đơn. Vậy A chéo hóa được. Dạng toán về ứng dụng của phép chéo hóa ma trận. Do đa thức đặc trưng có 3 nghiệm phân biệt nên ma trận A chéo hóa được. Ta được A PDP = −1 bằng tính toán ta tìm được không gian con riêng như sau:. Ta ký hiệu:. Do đó ma trận B cần tìm là:. c) Khai thác bài toán. Tìm ma trận vuông B sao cho eB = A trong đó A là các ma trận vuông cùng cấp cho trước. Ở dạng toán này chúng ta sẽ chéo hóa ma trận A rồi từ đó tính eA, có cùng phương pháp giải ta đề xuất bài toán tương tự.
Ở bài toán trên ta đã ứng dụng việc chéo hóa ma trận vào tìm số hạng tổng quát của hai dãy số, ta có thể mở rộng cho ba dãy số.
Ở chương 2 chủ yếu trình bày về phép chéo hóa các tự đồng cấu và ma trận vuông nhưng không phải ma trận nào cũng đưa về dạng chéo được. Vậy đối với những ma trận không đưa được về dạng chéo thì chúng có thể có dạng đơn giản nhất như thế nào?. Chúng ta có thể biến đổi những ma trận đó về dạng đơn giản hơn qua việc sử dụng phép tam giác hóa, phân tích Dunford, phép thu gọn Jordan.
Ta nói rằng f tam giác hóa được khi và chỉ khi tồn tại cơ sở β của E sao cho Mβ( ) f là ma trận tam giác. Ta nói rằng A tam giác hóa được khi và chỉ khi tồn tại một ma trận tam giác T thuộc M Kn( ) đồng dạng với A. Hai tính chất sau đây là tương đương:. ii) χA tách được trên K. Hai tính chất sau đây là tương đương:. ii) χf tách được trên K. Chứng minh rằng M tam giác hóa được khi và chỉ khi A và B tam giác hóa được.
Khai thác bài toán (bài toán tổng quát) Chứng minh rằng. tam giác hóa được. i) Chứng minh rằng nếu χA tách được trên ¡ thì χA2 tách được trên ¡. ii) Chứng minh rằng nếu χA2 tách được trên ¡ và các nghiệm đều ≥ 0 thì χA tách được trên ¡. Nếu ta đảo ngược giả thiết của bài toán 2.1 thì có thu được kết luận ngược lại không?. Ta cũng có thể áp dụng phép tam giác hóa để tìm các kgvc của ¡ 3 ổn định đối với tự.
Phân tích Dunford