Lượng giác là một nội dung kiến thức quan trọng của chương trình Toán phổ thông. Nó liên quan đến nhiều nội dung khác của Toán học như tích phân, đạo hàm, hình học… Và bổ trợ cho nhiều môn khoa học quan trọng khác như Vật lí và trong cả thực tiễn. Trong chương trình Toán phổ thông, lượng giác được giảng dạy ở cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác, tính giá trị lượng giác của một góc, chứng minh bất đẳng thức lượng giác, rút gọn biểu thức… Các bài toán về lượng giác là mảng kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cũng như các kỳ thi Olympic Toán các cấp và kỳ thi THPT Quốc Gia. Do đó, đây là một mảng Toán luôn thu hút được sự quan tâm của người giáo viên, học sinh, sinh viên chuyên ngành Toán... Ý thức được tầm quan trọng như vậy nhưng việc dạy và học về lượng giác ở các trường THPT vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Một trong những nguyên nhân chính là do các bài toán về lượng giác có rất nhiều dạng và thời lượng dành cho việc luyện bài tập theo phân phối chương trình còn hạn chế. Nên khi giải một bài toán về lượng giác học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng lời giải bài toán từ đâu? Phải biến đổi từ đâu?”. Một số học sinh có thói quen là biến đổi tùy ý hay không đọc đề kỹ đã vội làm ngay, có khi thử nghiệm đó sẽ dẫn đến kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán sẽ không cao. Do vậy, muốn đạt được kết quả cao trong mảng kiến thức lượng giác này thì khi giải một bài toán không nên chỉ dừng lại ở bước hiểu lời giải, mà cần phải biết cách khai thác, phân loại các dạng toán để đưa ra những hướng giải đúng và lời giải chính xác. Việc khai thác bài toán thể hiện sự sáng tạo và hiểu sâu hơn lời giải, giúp cho quá trình học tập đạt được kết quả cao. Vì vậy việc phát triển kĩ năng thực hành giải và khai thác một số bài toán về lượng giác cho học sinh là một nhiệm vụ vô cùng quan trọng của người giáo viên. Với vai trò là một người giáo viên tương lai, việc nghiên cứu và trau dồi kiến thức Toán phổ thông là một điều rất cần thiết. Nên tôi muốn đưa ra những hướng dẫn cụ thể về cách giải và khai thác một số dạng toán lượng giác dựa trên những kiến thức đã được trang bị trong quá trình học tập, nghiên cứu về lượng giác. Việc này sẽ giúp ích rất nhiều trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng chọn lọc những học sinh ưu tú. Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài “Giải và khai thác một số dạng toán về lượng giác” làm nội dung nghiên cứu cho khóa luận của mình.
1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài khóa luận Lượng giác nội dung kiến thức quan trọng chương trình Tốn phổ thơng Nó liên quan đến nhiều nội dung khác Tốn học tích phân, đạo hàm, hình học… Và bổ trợ cho nhiều mơn khoa học quan trọng khác Vật lí thực tiễn Trong chương trình Tốn phổ thơng, lượng giác giảng dạy cuối năm lớp 10 đầu năm lớp 11 với chủ đề như: Cơng thức lượng giác, phương trình lượng giác, hệ thức lượng tam giác, tính giá trị lượng giác góc, chứng minh bất đẳng thức lượng giác, rút gọn biểu thức… Các toán lượng giác mảng kiến thức thường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi Toán kỳ thi Olympic Toán cấp kỳ thi THPT Quốc Gia Do đó, mảng Tốn ln thu hút quan tâm người giáo viên, học sinh, sinh viên chuyên ngành Toán Ý thức tầm quan trọng việc dạy học lượng giác trường THPT gặp nhiều khó khăn Một ngun nhân tốn lượng giác có nhiều dạng thời lượng dành cho việc luyện tập theo phân phối chương trình hạn chế Nên giải toán lượng giác học sinh thường lúng túng đặt câu hỏi: “ Phải định hướng lời giải toán từ đâu? Phải biến đổi từ đâu?” Một số học sinh có thói quen biến đổi tùy ý hay không đọc đề kỹ vội làm ngay, có thử nghiệm dẫn đến kết quả, nhiên hiệu suất giải toán không cao Do vậy, muốn đạt kết cao mảng kiến thức lượng giác giải tốn khơng nên dừng lại bước hiểu lời giải, mà cần phải biết cách khai thác, phân loại dạng toán để đưa hướng giải lời giải xác Việc khai thác toán thể sáng tạo hiểu sâu lời giải, giúp cho trình học tập đạt kết cao Vì việc phát triển kĩ thực hành giải khai thác số toán lượng giác cho học sinh nhiệm vụ vô quan trọng người giáo viên Với vai trò người giáo viên tương lai, việc nghiên cứu trau dồi kiến thức Toán phổ thông điều cần thiết Nên muốn đưa hướng dẫn cụ thể cách giải khai thác số dạng toán lượng giác dựa kiến thức trang bị trình học tập, nghiên cứu lượng giác Việc giúp ích nhiều q trình giảng dạy, bồi dưỡng chọn lọc học sinh ưu tú Vì tơi định chọn đề tài “Giải khai thác số dạng toán lượng giác” làm nội dung nghiên cứu cho khóa luận Mục tiêu khóa luận Giải khai thác số dạng toán nhận dạng tam giác, rút gọn biểu thức lượng giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác phương trình lượng giác Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho học sinh trường phổ thông, sinh viên ngành đặc biệt ngành sư phạm Toán Giúp họ hiểu thêm hàm lượng giác, biết cách khai thác số dạng toán lượng giác Đồng thời, góp phần rèn luyện thói quen phân tích tìm hiểu mối quan hệ vấn đề q trình giải tốn cho học sinh Đối với thân, hội để mở rộng sâu nghiên cứu kiến thức, phát triển kĩ tư thực hành giải toán thực hữu ích cho cơng tác giảng dạy sau trường THPT CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương tơi trình bày sơ lược giải khai thác số toán, số kiến thức lượng giác 1.1 Sơ lược giải khai thác số tốn Thơng thường để giải tốn, cần qua nhiều cơng đoạn khác Trong [5] đưa số công đoạn sau: Tìm hiểu sơ lược đề, khai thác đề bài, tìm tòi lời giải, trình bày lời giải, đánh giá lời giải, khai thác lời giải, đề xuất tốn Tất nhiên khơng phải tốn trải qua đủ cơng đoạn đó, song chúng giúp ích nhiều việc giải tốn, toán chọn lọc điển hình nên phân tích kỹ theo trình tự để rèn luyện thao tác tư 1.1.1 Tìm hiểu sơ đề tốn Khi chọn tốn, khơng nên chọn q khó, mà khơng nên chọn q dễ Cần trình bày tốn cho tự nhiên gợi hứng thú, tò mò cho người học Trước hết, cần phải đọc kĩ đề toán để thấy “tồn cảnh” tốn, sáng sủa, rõ ràng hay, không vội vào chi tiết, chi tiết rắc rối Cần cố gắng “khoanh vùng” phạm vi đề toán: Bài toán thuộc “vùng” kiến thức nào? Sẽ cần có kiến thức, kĩ gì? Nếu giải giải vấn đề gì? 1.1.2 Khai thác đề tốn Nếu tốn tìm tòi cần xác định rõ đâu ẩn, cần phải tìm gì? Đâu liệu? Đã cho biết gì? Nếu tốn chứng minh cần nêu rõ giả thiết, kết luận Nếu tốn có hình vẽ phải vẽ hình Đối với tốn đại số số học, đồ thị, đoạn thẳng, hình học (chẳng hạn tốn cực trị tốn hình học giải phương pháp đại số) Nếu cần sử dụng nét đậm, nét nhạt, nét đứt dùng màu hình vẽ,… cảm nhận trực giác hình vẽ giúp ta nắm bắt dễ dàng nội dung đề toán Đối với nhiều đề tốn ta phải dựa vào số kí hiệu Cách kí hiệu thích hợp giúp ta hiểu rõ đề tốn nhanh chóng Các kí hiệu dùng để ghi đối tượng quan hệ chúng toán cần đưa vào cách ngắn gọn, dễ nhìn 1.1.3 Tìm tòi lời giải Đây bước quan trọng – khơng nói việc quan trọng giải tốn Khơng có thuật giải tổng quát để giải toán, mà đưa lời khuyên, kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi nhiều khả dẫn tới thành công Tùy trường hợp cụ thể mà vận dụng kinh nghiệm đó, linh hoạt, nhuần nhuyễn dẫn tới thành cơng • Nhận dạng tập hợp kiến thức Cần “khoanh vùng” toán vùng khoanh hẹp tốt, giúp ta nhận dạng toán thuộc loại Khi nhận dạng, phân loại tốn óc phải nhanh chóng huy động tổ chức kiến thức học, biết từ trước, phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng cách linh hoạt yếu tố cần thiết để giải tốn Q trình “tự phát” quen với việc giải tốn • Phân tích tốn để đưa dạng đơn giản Một toán, toán tổng hợp, tốn khó thường xây dựng từ tốn đơn giản Cần thử xem phân tích tốn xét thành tốn đơn giản khơng, giải tốn nhỏ ấy, sau kết hợp chúng lại để có lời giải tốn cho • Liên hệ sử dụng tốn giải Thật khó mà đặt tốn hồn tồn mới, khơng giống tốn khơng liên hệ tốn khác Vì thế, gặp tốn, ta cố gắng nhớ lại xem gặp toán tương tự gần giống với toán cần giải chưa đường đến lời giải Điều giúp rút ngắn việc tìm tòi lời giải tốn “mới” tạo thêm nhiều thuận lợi Khi nhớ hay số toán tượng tự toán xét dạng, phương pháp, vấn đề đặt ẩn, chưa biết phải tìm… ta lợi dụng điểm tương đồng phương pháp giải, kinh nghiệm, kết • Mò mẫm, dự đốn Trong tìm tòi lời giải cho tốn, ta thử nghiệm với số trường hợp đặc biệt, nhiều cho ta gợi ý để giải trường hợp tổng qt • Bản gợi ý Pơlya Hãy trả lời câu hỏi: - Bạn gặp toán lần chưa? Hay gặp toán dạng khác? - Bạn có biết tốn liên quan khơng? Một định lí sử dụng không? - Xét kĩ chưa biết (ẩn) thử nhớ lại tốn quen thuộc có ẩn hay có ẩn tương tự? - Đây tốn liên quan mà bạn có lần giải Có thể sử dụng khơng? Có thể sử dụng kết khơng? Có thể sử dụng phương pháp khơng? Có cần đưa thêm số yếu tố phụ sử dụng khơng? - Có thể phát biểu tốn cách khác khơng? Nếu bạn chưa giải tốn cho thử giải tốn liên quan mà dễ khơng? Một tốn tổng quát hơn? Một trường hợp đặc biệt? Một toán tương tự? Hoặc phần toán? Hãy giữ lại số điều kiện, bỏ qua điều kiện khác Khi ẩn xác định đến chừng mực đó, biến đổi nào? Bạn từ kiện biết rút số yếu tố có ích khơng? Có thể nghĩ kiện khác giúp bạn xác định ẩn khơng? Có thể thay đổi ẩn kiện cho ẩn kiện gần không? - Bạn sử dụng hết kiện chưa? Đã sử dụng hết quan hệ chưa? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu tốn chưa? 1.1.4 Trình bày lời giải Khi tìm tòi lời giải, ta mò mẫm, dự đốn dùng cách lập luận tạm thời, cảm tính Nhưng trình bày lời giải dùng lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại chi tiết Phải ý đến trình tự chi tiết, đến mối quan hệ chi tiết đoạn lời giải tồn lời giải Khơng có chi tiết “bỗng nhiên” xuất mà không vào kiến thức học chi tiết mà ta trình bày trước Trình bày chi tiết mà ta sử dụng việc tìm tòi lời giải khác với trình tự sử dụng trình bày lời giải, chí ngược nhau, tìm tòi lời giải ta thường dùng phương pháp phân tích (còn gọi pháp phân tích xuống), trình bày lời giải ngắn gọn, ta thường dùng phương pháp tổng hợp (thường gọi phân tích lên) Lời giải trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc 1.1.5 Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác tốn Cơng đoạn cuối cần thiết bổ ích thường hay bị bỏ qua Trong trình bày lời giải, có thiếu sót, nhầm lẫn Việc kiểm tra lại giúp ta đánh giá sai sót đó, giúp ta tích lũy thêm kinh nghiệm từ tốn khác Hơn nữa, việc nhìn lại tồn cách giải giúp ta phát cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay sâu sắc Ngồi ra, nhìn lại tồn lời giải nhiều gợi ý cho ta tìm tốn mới, mà toán vừa xét trường hợp đặc biệt Cơng đoạn gọi khai thác tốn Có thể khai thác theo hướng sau: • Hướng 1: Phát biểu tốn tương tự, tốn giải khơng? • Hướng 2: Khái quát hóa, phát biểu tốn tổng qt khơng? Bài tốn tổng qt có khơng? Trái lại với khái qt hóa đặc biệt hóa ln ln đưa đến kết đúng, mạnh • Hướng 3: Thay đổi giả thiết để toán Phương pháp giải tốn khác • Hướng 4: Từ ý nghĩa toán dẫn đến phương pháp giải toán khác 1.2 Một số kiến thức lượng giác 1.2.1 Định nghĩa hàm lượng giác a Các hàm số y = sin x y = cosx - Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin Kí hiệu y = sin x Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cơsin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số cơsin Kí hiệu y = cosx Tập xác định hàm số y = sin x y = cosx R Do hàm số sin cơsin viết sin: ¡ ® ¡ cos: ¡ ® ¡ x a cosx x a sin x - Tính chất tuần hoàn hàm số y = sin x y = cosx Hàm số y = sin x y = cosx hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2p b Các hàm số y = tan x y = cot x - Định nghĩa: Hàm số tan hàm số xác định công thức y= sin x cosx ( cosx ¹ 0) Kí hiệu y = tan x Vì cosx ¹ Û x l p + kp ( k ẻ Â ) nên tập xác định hàm số y = tan x ìï p ü ï D = Ă \ ùớ + kp, k ẻ Âùý ùợù ùùỵ Hm s cot l hm s c xỏc nh công thức y= cosx sin x ( sin x ¹ 0) Kí hiệu y = cot x Vì sin x x kp ( k ẻ ¢ ) nên tập xác định hàm số y = cot x D = ¡ \ { kp, k ẻ Â} Nhn xột: Hm s y = sin x hàm số lẻ, hàm số y = cosx hàm số chẵn Do , hàm số y = tan x y = cot x hàm số lẻ - Tính chất tuần hồn: Các hàm số y = tan x y = cot x tuần hoàn với chu kỳ p 1.2.2 Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt · Hai cung đối cos(- a ) = cosa sin(- a) = - sin a · Hai cung bù nhau: ( a p - a ) cos(p - a ) = - cosa sin(p - a ) = sin a tan(- a) = - tan a cot(- a) = - cot a tan(p - a) = - tan a cot(p - a ) = - cot a · Hai cung phụ nhau: ( a p - a ) p p cos( - a ) = sin a tan( - a) = cot a 2 p p sin( - a) = cosa cot( - a) = tan a 2 · Hai cung hơn, p ( a p + a ) cos(p + a ) = - cosa tan(p + a) = tan a sin(p + a) = - sin a cot(p + a) = cot a · Hai cung p p cos( + a) = - sin a p sin( + a) = cosa p tan( + a) = - cot a p cot( + a) = - tan a 1.2.3 Công thức lượng giác · Các đẳng thức lượng giác sin2 a + cos2 a = 1 sin2 a cos a = 1+ cot2 a = 1+ tan2 a tan a.cot a = sin a cosa · Công thức cộng tan a = cot a = sin(a + b) = sin a.cosb + sin b.cosa sin(a - b) = sin a.cosb - sin b.cosa cos(a + b) = cosa.cosb - sin a.sin b cos(a - b) = cosa.cosb + sin a.sin b cosa sin a tan a + tan b 1- tan a.tan b tan a - tan b tan(a - b) = 1+ tan a.tan b cot a.cot b + cot(a + b) = cot a - cot b cot a.cot b - cot(a - b) = cot a + cot b tan(a + b) = · Công thức nhân sin2a = 2sin a.cosa cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a 2tan a cot2 a - tan2a = cot2 a = 1- tan2 a 2cot a sin3a = 3sin a - 4sin a cos3a = 4cos a - 3cosa tan3a = cot 3a = 3tan a - tan3 a 1- 3tan2 a cot3 a - 3cot a 3cot2 a - · Công thức hạ bậc 1- cos2a 1+ cos2a tan2 a = cos2 a = 1+ cos2a 1- cos2a 1+ cos2a sin2 a = cot2 a = 1- cos2a 3sin a - sin3a 3cosa + cos3a sin3 a = cos3 a = 4 · Công thức biến đổi tích thành tổng cosa.cosb = é cos(a + b) + cos(a - b)ù ê ú ë û 10 sin a.sin b = - 1é cos(a + b) - cos(a - b)ù ê ú ë û 1é ù êsin(a + b) + sin(a - bû ú 2ë tan a + tan b tan a.tan b = cot a + cot b · Công thức biến đổi tổng thành tích a +b a- b cosa + cosb = 2cos cos 2 a +b a- b cosa - cosb = - 2sin sin 2 a +b a- b sin a + sin b = 2sin cos 2 a +b a- b sin a - sin b = 2cos sin 2 sin( a ± b) tan a ± tan b = cosa.cosb sin a.cosb = cot a ± cot b = sin( b ± a ) sin a.sin b · Một số công thức đặc biệt p p cosa + sin a = 2cos( - a) = 2sin( + a) 4 p p cosa - sin a = 2cos(a + ) = 2sin( - a) 4 p p sin a - cosa = 2sin(a - ) = 2cos( + a) 4 1.2.4 Các đẳng thức lượng giác tam giác · Định lý hàm số sin: Trong tam giác ABC với AB = c, BC = a,CA = b R bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có a b c = = = 2R sin A sin B sinC Định lý sin dùng để tính độ dài cạnh biết độ dài hai cạnh lại, toán hay gặp kĩ thuật tam giác – kĩ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc đo góc khoảng cách dễ đo khác · Định lý hàm số cosin: 38 3cosB + 4sin B £ + 16 cos2 B + sin2 B = ( 3k) 2 sinC + ( 4k) cosC £ 2 ( 3k) Û ( 3k) sinC + ( 4k) cosC £ + ( 4k) ( 3k) 2 sin2C + cos2C + ( 4k) Nên 3( cosB + k cosC ) + 4( sin B + k cosC ) £ + ( 3k) + ( 4k) Dấu “=” xảy ìï cosB ìï sin B ïï ïï tan B = = Û ïí Û tan B = cotC Û B +C = p Û ïí ïï sinC ïï cosC = ïï ïï cotC = ỵ ỵ Vậy tam giác ABC vuông A 2.4.2 Nhận dạng tam giác cân Bài toán 19 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức cos2A + 3( cos2B + cos2C ) + =0 Chứng minh tam giác ABC tam giác cân với góc đỉnh A a Lời giải Ta có cos2A + 3( cos2B + cos2C ) + =0 Û 2cos2 A - 1+ 3cos( B +C ) cos( B - C ) + Û 2cos2 A + 3cos( B +C ) cos( B - C ) + Û cos2 A é Û ê êcosA ê ë 2cosA cos( B - C ) + =0 =0 =0 ù2 3 cos( B - C ) ú + sin2 ( B - C ) = ú ú û p 39 ìï sin( B - C ) = ïï Û ïí ïï cosA - cos( B - C ) = ùùợ ( 1) ( 2) = Cà Thay vào ( 2) ta có Từ ( 1) suy B cosA = =p ị A µ =p Vậy tam giác ABC cân đỉnh A với A b Khai thác Bài toán 19.1 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức x2 cos2A + x ( cos2B + cos2C ) + + = 0, điều kiện - < x < 2, x ¹ Chứng minh tam giác ABC tam giác cân với góc đỉnh µ = arccos x A Lời giải Ta có: cos2A + x ( cos2B + cos2C ) + x + = x2 Û 2cos A - 1+ 2x cos( B + C ) cos( B - C ) + +1= 2 x2 Û 2cos A + 2x cos( B +C ) cos( B - C ) + =0 2 x2 Û cos A - x cosA cos( B - C ) + =0 é ù2 x2 x Û êcosA - cos( B - C ) ú + sin ( B - C ) = ê ú ë û ìï sin( B - C ) = ( 1) ïï Û í ïï cosA - x cos( B - C ) = ( 2) ùùợ 2 40 = Cà T ( 1) v x suy sin( B - C ) = Þ B Thay vào ( 2) ta có cosA = x µ = arccos x Þ A 2 Lấy x = - ta có kết Bài tốn 19.2 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức cos2A - cos2B - cos2C + =0 µ = 2p Chứng minh tam giác ABC tam giác cân với góc đỉnh A Lấy x = ta có kết Bài tốn 19.3 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức cos2A + 2( cos2B + cos2C ) + = µ =p Chứng minh tam giác ABC tam giác cân với góc đỉnh A Bài toán 20 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sin A + sin B = ( tan A + tan B ) cosA + cosB Chứng minh tam giác ABC tam giác cân a Lời giải sin A + sin B = ( tan A + tan B ) cosA + cosB Û 2( sin A + sin B ) = ( cosA + cosB ) ( tan A + tan B ) Û 2( sin A + sin B ) = sin A + cosA tan B + cosB tan A + sin B Û sin A + sin B - cosA tan B - cosB tan A = Û tan A ( cosA - cosB ) - tan B ( cosA - cosB ) = Û ( tan A - tan B ) ( cosA - cosB ) = étan A - tan B = Û ê êcosA - cosB = ê ë Û A =B Vậy tam giác ABC cân C 41 b Khai thác Bài toán Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sink A + sink B k = k cos A + cos B ( tank A + tank B ) (k Î ¥ ) * Chứng minh tam giác ABC tam giác cân Lời giải sink A + sink B ( ) ( ) ( )( ) Û 2( sin A + sin B ) = sin A + cos A tan B + cos B tan A + sin B = tank A + tank B cosk A + cosk B Û sink A + sink B = cosk A + cosk B tank A + tank B k k k k k k k k Û sink A + sink B - cosk A tank B - cosk B tank A = ( ) ( ) Û tank A cosk A - cosk B - tan B k cosk A - cosk B = ( )( ) Û tank A - tank B cosk A - cosk B = étank A - tank B = ê Û ê Û A =B êcosk A - cosk B = ë Vậy tam giác ABC cân C Bài toán 21 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn thỏa mãn điều kiện tan2 A + tan2 B = 2tan2 A +B Chứng minh tam giác ABC tam giác cân a Lời giải Đẳng thức cho tng ng vi ổ ữ ỗ ữ ỗ ổ ổ ữ 1 ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ - 1ữ+ ỗ - 1ữ= 2ỗ - 1ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ ữ ốcos2 A ứ ứ A +B cos B ỗ ữ cos ữ ỗ ữ ç è ø 1 Û + = ( 1) 2 A + B cos A cos B cos 42 Vì A, B nhọn nên áp dụng đẳng thức Côsi cho hai số dương cos2 B cos2 A , ta có: cos2 A + ³ cos2 B = Vậy A, B nhọn cos2 A cos2 A cos2 B = cosA cosB cos( A - B ) + cos( A + B ) ( £ cos( A - B ) £ 1) 1+ cos( A + B ) ³ = A +B cos2 + cos2 B ³ A +B cos2 ìï 1 ïï = Đẳng thức xảy ïí cos2 A cos B Û A =B ïï ïïỵ cos( A - B ) = Như vậy, có (1) tam giác ABC cân C b Khai thác Cho tam giác ABC có ba góc nhọn thỏa mãn điều kiện cot2 A + cot2 B = 2cot2 A +B Chứng minh tam giác ABC tam giác cân Lời giải Đẳng thức cho tương đương với 43 ỉ ÷ ç ÷ ç ỉ ÷ 1 ç ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ 1ữ + = ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ữ ốsin B ữ ỗ ữ A + B ứ ứ ỗ ữ sin ữ ỗ ữ ỗ ố ø 1 Û + = ( 1) A +B sin2 A sin2 B sin æ ỗ ỗ ỗ ốsin2 A Vỡ A, B nhn nên áp dụng đẳng thức Côsi cho hai số dương sin B sin A , ta có: sin2 A + ³ sin2 B = ³ = 1 sin2 A sin2 B = sin A sin B cos( A - B ) - cos( A + B ) ( £ cos( A - B ) £ 1) 1- cos( A + B ) A +B sin2 Vậy A, B nhọn sin2 A + sin2 B ³ A +B sin2 ìï 1 ïï = Đẳng thức xảy ïí sin2 A sin2 B Û A = B ïï ïïỵ sin( A - B ) = Như vậy, có (1) tam giác ABC cân C 2.4.3 Nhận dạng tam giác Bài toán 22 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức 44 ìï 3 ïï a - b - c a = í a - b- c ïï ïïỵ a = 2bcosC Chứng minh tam giác ABC tam giác a Lời giải Từ giả thiết thứ ta suy a3 - b3 - c3 = a3 - a2 ( b + c) ( ) Û ( b + c) b2 - bc + c2 = a2 ( b + c) Û b2 - bc + c2 = a2 Û b2 - bc + c2 = b2 + c2 - 2bc cosA Û cosA = p Û A= ( 1) Từ giả thiết thứ hai ta có sin A = 2sin B cosC Û sin A = sin( B +C ) + sin( B - C ) Û sin( B - C ) = Û B =C ( 2) Từ ( 1) ( 2) suy ABC tam giác b Khai thác Bài toán 22.1 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức ìï 3 ïï a - b - c ï a = a - b- c í ïï ïï sin A sin B = ïỵ Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải Từ giả thiết thứ ta suy 45 a3 - b3 - c3 = a3 - a2 ( b + c) ( ) Û ( b + c) b2 - bc + c2 = a2 ( b + c) Û b2 - bc + c2 = a2 Û b2 - bc + c2 = b2 + c2 - 2bc cosA Û cosA = p Û A= ( 1) Từ giả thiết thứ hai ta có sin A sin B = 3 sin B = Û sin B = p Û B= ( 2) Û Từ ( 1) ( 2) suy ABC tam giác Bài toán 22.2 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức ìï 3 ïï a - b - c ï a = a - b- c í ïï ïï cosB cosC = ïỵ Chứng minh tam giác ABC tam giác Cách giải tương tự Bài toán 23 Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sin A + sin B + sinC = sin2A + sin2B + sin2C Chứng minh tam giác ABC tam giác a Lời giải Ta có sin A + sin B + sinC = 2sin A +B A- B C C cos + 2sin cos 2 2 46 C ỉ A- B Cư ÷ ữ = 2cos ỗ cos + sin ỗ ữ ỗ ÷ 2è 2ø C æ A- B A +B ữ ữ = 2cos ỗ cos + cos ỗ ữ ỗ ữ 2ố 2 ứ A B C = 4cos cos cos 2 sin2A + sin2B + sin2C = 2sin ( A + B ) cos( A - B ) + 2sinC cosC = 2sinC é cos A - B ) + cosC ù ê ú ë ( û é = 2sinC êcos( A - B ) - cos( A + B ) ù ú ë û = 4sin A sin B sinC A B C A B C = 32sin sin sin cos cos cos 2 2 2 Thay vào điều kiện toán ta sin A B C sin sin = 2 Đẳng thức chứng tỏ tam giác ABC tam giác b Khai thác Bài toán 23.1 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức R = 2r Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải Ta có R = 2r Û R = 8R sin Û sin A B C sin sin 2 A B C sin sin = 2 Đẳng thức chứng tỏ tam giác ABC tam giác Bài toán 23.2 Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức: sin2 A B C A B C + sin2 + sin2 + 3sin sin sin = 2 2 2 Chứng minh tam giác ABC tam giác 47 Lời giải Ta có sin2 A B C 1- cosA 1- cosB C + sin2 + sin2 = + + sin2 2 2 2 A +B A- B C cos + sin2 2 ỉ C A- B C ữ = 1- sin ỗ - sin ữ ỗcos ữ ữ 2ỗ 2ứ ố C ổ A- B A +B ÷ ÷ = 1- sin ç - cos çcos ÷ ÷ ç 2è 2 ø A B C = 1- 2sin sin sin 2 = 1- cos Do A B C A B C + sin2 + sin2 + 3sin sin sin = 2 2 2 A B C Û 1+ sin sin sin = 2 A B C Û sin sin sin = 2 sin2 Đẳng thức chứng tỏ tam giác ABC tam giác 2.4.4 Nhận dạng tam giác trường hợp khác Bài toán 24 Chứng minh tam giác ABC ta có B- C A- C A- B b2 cos c2 cos + + = ab + bc + ca A B C 2sin 2sin 2sin 2 a2 cos a Lời giải Ta có B- C B- C B- C cos cos = 2aR sin A = 4aR sin A cos A A A A 2 2sin 2sin 2sin 2 a2 cos 48 ỉ B +C B- Cư ab + ac ữ ữ = aR ỗ 2sin cos = aR ( sin B + sinC ) = ỗ ( 1) ữ ỗ ữ 2 ứ ố Tng tự ta có A- C = bc + ba B 2sin ( 2) A- B = ca + cb C 2sin ( 3) b2 cos c2 cos Cộng vế theo vế ( 1) ,( 2) ,( 3) ta B- C A- C A- B b2 cos c2 cos + + = ab + bc + ca A B C 2sin 2sin 2sin 2 a2 cos b Khai thác Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức B- C A- C A- B b2 cos c2 cos + + = a2 + b2 + c2 A B C 2sin 2sin 2sin 2 a2 cos Chứng minh tam giác ABC tam giác Lời giải Ta có B- C B- C B- C cos cos = 2aR sin A = 4aR sin A cos A A A A 2 2sin 2sin 2sin 2 a2 cos æ B +C B- Cư ab + ac ÷ ÷ = aR ỗ 2sin cos = aR sin B + sin C = ỗ ( ) ữ ỗ ữ 2 ø è 49 Tương tự ta có A- C = bc + ba B 2sin b2 cos A- B = ca + cb C 2sin c2 cos Từ hệ thức cho có dạng sau: ab + ac ba + bc ca + cb + + = a2 + b2 + c2 2 Û a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 2 Û ( a - b) + ( b - c) + ( c - a) = Û a = b = c Vậy ABC tam giác Đpcm A B C Bài toán 25 Cho tam giác ABC tan ,tan ,tan theo thứ tự 2 lập thành cấp số cộng Chứng minh cosA,cosB,cosC lập thành cấp số cộng a Lời giải Từ giả thiết ta có A B B + tan = 2tan 2 A +C B sin sin 2 Û =2 A C B cos cos cos 2 B B A C Û cos2 = 2sin cos cos 2 2 é 1+ cosB B A +C A- Cù ú Û = sin êcos + cos ê 2ë 2 ú û tan 50 B A +C A- C + 2cos cos 2 Û 1+ cosB = 1- cosB + cosA + cosC Û 2cosB = cosA + cosC Û 1+ cosB = 2sin2 Vậy cosA,cosB,cosC lập thành cấp số cộng Đpcm b Khai thác Bài toán Chứng minh cot A,cot B,cotC theo thứ tự lập thành cấp số cộng cot A C cot = 2 Lời giải Từ giả thiết ta có A B B + cot = 2cot 2 A +C B sin cos 2 Û =2 A C B sin sin sin 2 cot Û Û Û Û Û Û Vậy cot B =2 A C B sin sin sin 2 A C B 2sin sin = sin 2 A C A +C 2sin sin = cos 2 A C A C A C 2sin sin = cos cos - sin sin 2 2 2 A C A C 3sin sin = cos cos 2 2 A C cot cot = 2 cos B cos A C cot = lập thành cấp số cộng Đpcm 2 51 KẾT LUẬN Khóa luận “Giải khai thác số dạng toán lượng giác” thu kết sau Hệ thống phân loại số dạng tập lượng giác, cụ thể: Dạng Bài toán rút gọn biểu thức lượng giác Dạng Bài tốn phương trình lượng giác Dạng Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác Dạng Bài toán nhận dạng tam giác Mỗi dạng tập đưa toán cụ thể thực giải, khai thác toán Việc khai thác thực chủ yếu theo hướng khái quát hóa, đặc biệt hóa tương tự hóa…Nội dung khóa luận cho thấy, tốn khơng nên dừng lại việc giải mà cần phải tiến hành khai thác để tìm thơng tin từ toán ban đầu, mối liên hệ toán cho với toán khác 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2007), Đại số 10, NXB Giáo dục [2] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) ( 2010), Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục [3] GS Phan Huy Khải (1997), Tuyển tập toán lượng giác, NXB Giáo dục Hà Nội [4] Võ Anh Khoa- Hoàng Bá Minh (2011), Lượng giác số chuyên đề ứng dụng, NXB TP.HCM [5] Hoàng Kỳ (2005), Đại số sơ cấp thực hành giải toán, NXB- ĐHSP [6] Trang web: www.mathvn.com, www.diendantoanhoc.net, www.math.vn ... chọn đề tài Giải khai thác số dạng toán lượng giác làm nội dung nghiên cứu cho khóa luận Mục tiêu khóa luận Giải khai thác số dạng toán nhận dạng tam giác, rút gọn biểu thức lượng giác, chứng... pú û Khi cot x = m Û x = arccot m + kp 15 CHƯƠNG GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TỐN LƯỢNG GIÁC 2.1 Bài tốn rút gọn biểu thức lượng giác Khai thác toán vấn đề khó khơng học sinh trung học mà khó... giả thiết để toán Phương pháp giải tốn khác • Hướng 4: Từ ý nghĩa toán dẫn đến phương pháp giải toán khác 1.2 Một số kiến thức lượng giác 1.2.1 Định nghĩa hàm lượng giác a Các hàm số y = sin x