GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC (Khóa luận tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán năm 2013)

1 GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC (Khóa luận tốt nghiệp ngành Sư phạm Toán năm 2013) 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài khóa luận. Ma trận là khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính, nó được ứng dụng rộng rãi trong Toán học tính toán,Tin học, Kinh tế và nhiều ngành khoa học khác. Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính. Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường được sử dụng để biểu diễn đồ thị ( ví dụ như ma trận kề ), lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số. Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều, dùng để mã hóa làm mật khẩu bảo mật. Ma trận là công cụ để nghiên cứu về ánh xạ tuyến tính, các vectơ trong không gian vectơ, mỗi vectơ được coi là một ma trận. Ma trận được dùng để giải các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số là hằng số, Định thức, trong đại số tuyến tính được định nghĩa như một hàm cho mỗi ma trận vuông A, tương ứng với số vô hướng kí hiệu là detA. Định thức có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như ngành khoa học khác. Định thức được sử dụng để giải và biện luận các hệ phương trình đại số tuyến tính, chúng được dùng để tìm vectơ riêng của ma trận A qua đa thức đặc trưng A k I − (trong đó I là ma trận đơn vị có cùng kích thước với ma trận A). Định thức là công cụ hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo. Ta có thể sử dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hệ số khả nghịch, tìm hạng của ma trận. Ngoài ra, ở phổ thông định thức còn được sử dụng để tính thể tích của hình hộp. Ma trận và định thức còn là nội dung được đưa vào các kỳ thi quốc gia như kỳ thi olympic toán học Các dạng bài tập liên quan đến ma trận và định thức thì vô cùng phong phú, có nhiều dạng bài tập hay và khó. Có rất nhiều tác giả viết các tài liệu bài tập về ma trận và định thức. Chẳng hạn, Đại số tuyến tính của Nguyễn Duy Thuận là giáo trình viết cho hệ cao đẳng nên nhưng bài tập về ma trận và định thức tương đối dễ hiểu, không mấy khó khăn có thể giải các dạng bài tập đó. Chính vì thế mà nó chưa phát huy được tính chủ động, tư duy tích cực của người 3 học. Đại số tuyến tính và hình học giải tích của tác giả Đoàn Quỳnh ( chủ biên) ma trận và định thức được nghiên cứu cơ bản về lý thuyết, các bài tập được đưa ra chủ yếu là các ví dụ mang tính lý thuyết và củng cố kiến thức. Cũng viết về ma trận và định thức tác giả Trần Trọng Huệ đã khái quát những kiến thức cơ bản về lý thuyết, đưa ra các công thức tính cần thiết và giải các bài tập mẫu vận dụng lý thuyết. Ngoài ra các tác giả như Nguyễn Duy Thuận, Nguyễn Văn Mậu cũng đưa ra nhiều dạng bài tập về ma trận và định thức. Tất cả những dạng bài tâp đưa ra trong giáo trình đều hướng tới người học và nhằm phát huy năng lực tư duy, sáng tạo của người học. Tuy nhiên do mục đích sư phạm mà những dạng bài tập này không trình bày chi tiết lời giải, thiếu lời giải khai thác bài toán. Vấn đề đặt ra là chúng ta có thể đưa ra những bài toán tương tự hoặc khai thác bài toán thông qua việc khai thác lời giải từ bài toán cụ thể không? Nhằm mục đích hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về ma trận và định thức. Phân dạng và giải các bài tập về ma trận và định thức thông qua các dạng toán cụ thể và trả lời một phần câu hỏi trên chúng tôi chọn đề tài khóa luận “Giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức” làm vấn đề nghiên cứu của khóa luận. 2. Mục tiêu khóa luận Phân loại hệ thống, giải và khai thác một số dạng bài tập về ma trận, định thức. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về ma trận và định thức. Phân loại, giải và khai thác một số dạng bài tập về ma trận và định thức. 4. Phương pháp nghiên cứu Dựa vào các khái niệm, kiến thức về không gian vectơ, hệ sinh, cơ sở, đồng cấu trong khóa luận nêu ra các phương pháp để giải các bài toán về ma trận và định thức: Dựa vào các phép biến đổi sơ cấp. Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức. Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình. 4 Các phương pháp tính định thức như: Khai triển định thức theo các phần tử của hàng hay cột. Khai triển định thức theo định lý Laplace. Đưa định thức về dạng tam giác. Phương pháp quy nạp. Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng hoặc tích các định thức. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu: một số dạng toán về ma trận và định thức Phạm vi nghiên cứu: tập trung nghiên cứu phân dạng và khai thác lời giải bài toán cụ thể, đưa ra bài toán tương tự hoặc tổng quát. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn. Khóa luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những kiến thức về ma trận và định thức đồng thời phân dạng bài tập cơ bản liên quan đến ma trận, định thức và giải các bài tập đó. Thông qua đó, khai thác lời giải từ những bài toán cụ thể. Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên có hứng thú nghiên cứu các dạng bài tập về ma trận và định thức. 7. Bố cục của khóa luận Ngoài phần: Mục lục; mở đầu; kết luận; tài liệu tham khảo; khóa luận được chia thành 3 chương. Chương 1: Lý thuyết về ma trận. Chương 2: Lý thuyết về định thức. Chương 3: Giải và khai thác một số dạng toán về ma trận và định thức. 5 CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT VỀ MA TRẬN 1.1. Phép tính ma trận 1.1.1. Khái niệm ma trận. Cho n, p ∈ * ℕ Định nghĩa 1.1: Mọi ánh xạ từ { } { } 1, , x 1, , n p … … vào K gọ i là ma tr ậ n n dòng, p c ộ t và v ớ i ph ầ n t ử (ho ặ c h ệ t ử ) thu ộ c K. M ộ t ánh x ạ A: { } { } 1, , x 1, , K n p … … → đượ c ký hi ệ u d ướ i d ạ ng m ộ t b ả ng: ( ) ij , i j a ֏ (ho ặ c ij a ) ( ) ( ) ( ) 11 12 1 2 21 22 1 ij ij ij 1 ;1 ij 1 1 2 n p i n i n j p j p n n np a a a a a a A a a a a a a ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤       = = = =         ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ Trong ký pháp này , các ch ỉ s ố ngoài d ấ u ngo ặ c theo th ứ t ự ch ỉ dòng và c ộ t. C ặ p ( ) , n p đượ c g ọ i là c ấ p c ủ a ma tr ậ n A, n là s ố dòng, p là s ố c ộ t c ủ a A. V ớ i ( ) { } { } i, j 1, , x 1, , n p ∈ … … , s ố h ạ ng ij a n ằ m ở dòng th ứ i và c ộ t th ứ j đượ c g ọ i là h ạ ng t ử (ho ặ c h ệ s ố ) th ứ (i, j) c ủ a A. Ta nói r ằ ng: A là m ộ t ma tr ậ n vuông khi và ch ỉ khi n p = , khi đ ó ta nói A là m ộ t ma tr ậ n vuông c ấ p n. A là m ộ t ma tr ậ n c ộ t (hay ma tr ậ n m ộ t c ộ t) khi và ch ỉ khi 1 p = . A là m ộ t ma tr ậ n dòng (hay ma tr ậ n m ộ t dòng) khi và ch ỉ khi 1 n = . N ế u ( ) ij 1 , i j n A a ≤ ≤ = là ma tr ậ n vuông c ấ p n, các c ấ p ( ) ij 1 a i n ≤ ≤ đượ c g ọ i là các ph ầ n t ử chéo c ủ a A và ( ) 11 , , nn a a đượ c g ọ i là đườ ng chéo c ủ a A. Ký hi ệ u: V ớ i ( ) ( ) 2 * , n p ∈ ℕ 6 ( ) ,n p M K là các ma tr ậ n n dòng, p c ộ t và v ớ i h ạ ng t ử thu ộ c K. ( ) ( ) , n n n M K M K = là t ậ p h ợ p các ma tr ậ n vuông c ấ p n v ớ i ph ầ n t ử thu ộ c K. Gi ả s ử ( ) ( ) ij , 1 ;1 n p i n j p A a M K ≤ ≤ ≤ ≤ = ∈ . V ớ i { } 1, , n i ∈ … , ma tr ậ n dòng ( ) ( ) ij 1 1 , , i ip j p a a a ≤ ≤ = thu ộ c ( ) 1, p M K đượ c g ọ i là dòng th ứ i c ủ a A . V ớ i {1, , } j p ∈ … , ma tr ậ n c ộ t : ( ) 1 ij 1 j i n nj a a a ≤ ≤     =       ⋮ thu ộ c ( ) ,1n M K đượ c g ọ i là c ộ t th ứ j c ủ a A . 1.1.2. Ma trận và ánh xạ tuyến tính . Định nghĩa 1.2: Gi ả s ử E là m ộ t K - không gian vect ơ ( ) dim n E = , ( ) 1 2 , , , n e e e β = là m ộ t c ơ s ở c ủ a E, E, x ∈ ( ) 1 , , n x x là các thành ph ầ n c ủ a x trong β : 1 n i i i x x e = = ∑ . Ma tr ậ n c ộ t 1 2 x x           ⋮ đượ c g ọ i là ma tr ậ n c ộ t các thành ph ầ n c ủ a x trong β và đượ c ký hi ệ u là ( ) Mat x β . Nh ư v ậ y: ( ) ( ) ,1n Mat x M K β ∈ . Rõ ràng ánh x ạ Mat β : ( ) ,1n E M K → là m ộ t song ánh. ( ) x Mat x β ֏ Khi ( ) X Mat x β = , ta nói r ằ ng x đượ c bi ể u di ễ n b ở i X trong c ơ s ở β , ho ặ c X bi ể u di ễ n x trong β . Định nghĩa 1.3: 1) Gi ả s ử E là m ộ t K - không gian vect ơ ( ) dim n E = , 7 ( ) 1 2 , , , n e e e β = là m ộ t c ơ s ở c ủ a E, { } 1 , n C f f = là m ộ t c ơ s ở c ủ a F, ( ) , f L E F ∈ . V ớ i m ỗ i { } 1, , j p ∈ , ta ký hi ệ u ( ) 1 , , j nj a a là các thành ph ầ n c ủ a ( ) j f e trong C : ( ) 1 i n j ij i f e a f = = ∑ . Ma tr ậ n thu ộ c ( ) ,n p M K xác đị nh b ở i: ( ) ( ) , ij 1 ;1 C i n j p M f a β ≤ ≤ ≤ ≤ = g ọ i là ma tr ậ n c ủ a f đố i v ớ i c ơ s ở β và C đượ c ký hi ệ u là ( ) ,C Mat f β . 2) Gi ả s ử E là m ộ t K - không gian vect ơ ( ) dim n E = , ( ) 1 2 , , , n e e e β = là m ộ t c ơ s ở c ủ a E, ( ) f L E ∈ . Ma tr ậ n ( ) n M K xác đị nh b ở i: ( ) ( ) , Mat f Mat f β β β = g ọ i là ma tr ậ n c ủ a f đố i v ớ i c ơ s ở β và ký hi ệ u là : ( ) Mat f β . Rõ ràng r ằ ng ( ) ( ) , . : , C n p Mat L E F M K β → là m ộ t song ánh. , C f Mat β ֏ Khi ( ) , C A Mat f β = ta nói r ằ ng f đượ c bi ể u di ễ n b ở i A trong các c ơ s ở β và C ho ặ c A bi ể u di ễ n f trong các c ơ s ở β và C . 1.1.3. Không gian vectơ ( ) ,n p M K Chúng ta s ẽ “ chuy ể n “ c ấ u trúc vec t ơ c ủ a ( ) , L E F lên ( ) ,n p M K b ằ ng song ánh , C Mat β trong đ ó ( ) 1 2 , , , n e e e β = , { } 1 , n C f f = là nh ữ ng c ơ s ở c ố đị nh t ươ ng ứ ng c ủ a , E F . Gi ả thi ế t λ ∈Κ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , ij C ij c ij ij f g L E F A a Mat f B b Mat g β β ∈ = = = = . Nh ư v ậ y ta có: { } ( ) ( ) 1 1 1, , , n i ij i i n i ij i i f e a f j p g e b f = =  =   ∀ ∈   =   ∑ ∑ 8 Do đ ó { } 1, , j p ∀ ∈ , ( ) ( ) ( ) i ij ij i f g e a b f λ λ + = + ∑ . Đ i ề u này d ẫ n đế n đị nh ngh ĩ a sau: Định nghĩa 1.4. 1) Lu ậ t h ợ p thành trong ( ) ,n p M K kí hi ệ u là +, xác đị nh b ở i: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ij n p ij n p ij ij a M K b M K ∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( ) ( ) ij ij ij ij ij ij ij a b a b + = + g ọ i là phép c ộ ng trong ( ) ,n p M K . 2) Lu ậ t ngoài ( ) ( ) , ,n p n p K M K M K × → , th ể hi ệ n b ằ ng cách không vi ế t d ấ u nào c ả ( ho ặ c b ở i m ộ t đ i ể m), xác đị nh b ở i: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ij n p ij ij ij ij ij a M K a a α α α ∀ ∈Κ ∀ ∈ = g ọ i là phép nhân v ớ i vô h ướ ng. Nhận xét 1.1 . Ch ỉ có th ể c ộ ng các ma tr ậ n cùng c ấ p. Mệnh đề 1.1. 1) ( ) ( ) . , , n p M K + • là m ộ t không gian vect ơ . 2) V ớ i m ọ i K-không gian vect ơ (p chi ề u ) E và (n chi ề u ) F, và v ớ i m ọ i c ơ s ở β c ủ a E và c ơ s ở C c ủ a F, ánh x ạ : ( ) ( ) , . : , C n p Mat L E F M K β → là m ộ t đẳ ng c ấ u K-không gian vect ơ . , C f Mat β ֏ Mệnh đề 1.2. 1) ( ) ( ) { } { } , 1, , 1, , ij i j n p E ∈ × là m ộ t c ơ s ở c ủ a ( ) ,n p M K , g ọ i là c ơ s ở chính t ắ c c ủ a ( ) ,n p M K . 2) dim ( ) ( ) , n p M K np = . 1.1.4. Các phép toán trên ma trận. Định nghĩa 1.5 . Gi ả s ử ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ij n p jk p q ij jk A a M K B b M K = = = = ma tr ậ n thu ộ c ( ) , n q M K xác đị nh b ở i: ( ) ik ik AB c = , trong đ ó ( ) { } { } 1 , 1, , 1, , , p ik ij jk j i k n q c a b = ∀ ∈ × = ∑ g ọ i là tích c ủ a A v ớ i B ký hi ệ u là AB. 9 Ánh x ạ ( ) ( ) ( ) , , ,n p p q n q M K M K M K × → đượ c g ọ i là phép nhân ma tr ậ n. ( ) , A B AB ֏ Nhận xét 1.2. Tích AB t ồ n t ạ i khi và ch ỉ khi s ố c ộ t c ủ a A b ằ ng s ố dòng c ủ a B. Mệnh đề 1.3. Gi ả s ử E, F,G là ba K-không gian vect ơ , , C D β l ầ n l ượ t là c ơ s ở c ủ a E, F, G. V ớ i ( ) ( ) , , , f L E F g L F G ∈ ∈ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,D C D C Mat g f Mat g Mat f β β =  . Mệnh đề 1.4. Gi ả s ử E, F là hai K-không gian vect ơ , , C β t ươ ng ứ ng là c ơ s ở c ủ a E, F ( ) , , f L E F x E ∈ ∈ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,C C Mat f x Mat f Mat x β β = . Xu ấ t phát t ừ các tính ch ấ t quen thu ộ c v ề các phép toán đạ i s ố v ớ i các ánh x ạ tuy ế n tính ta suy ra các tính ch ấ t v ề các phép toán đị s ố đố i v ớ i các ma tr ậ n nh ư sau: Mệnh đề 1.5. 1) Gi ả phân ph ố i trái: ( ) ( ) ( ) , , , , , n p p q A M K B C M K A B C AB AC ∀ ∈ ∀ ∈ + = + . 2) Gi ả phân ph ố i ph ả i: ( ) ( ) ( ) , , , , , n p p q A B M K C M K A B C AB BC ∀ ∈ ∀ ∈ + = + . 3) Gi ả k ế t h ợ p: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , n p p q q r A M K B M K C M K AB C A BC ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ = Mệnh đề 1.6. 1) ( ) ( ) , , , n M K + • × là m ộ t K- đạ i s ố k ế t h ợ p và có đơ n v ị . 2) V ớ i m ọ i K-không gian vect ơ n chi ề u E và m ọ i c ơ s ở β c ủ a E, ánh x ạ : ( ) ( ) : n Mat L E M K β → là m ộ t đẳ ng c ấ u K- đạ i s ố có đơ n v ị . ( ) f Mat f β ֏ Định nghĩa 1.6. M ộ t ma tr ậ n vuông A thu ộ c ( ) n M K đượ c g ọ i là l ũ y linh khi và ch ỉ khi t ồ n t ạ i k ∗ ∈ ℕ sao cho 0 k A = . 10 Ví dụ 1.1. 0 0 1 0 0 0 0 0 0           thu ộ c ( ) 3 M ℝ là l ũ y linh vì 2 0 A = . Mệnh đề 1.7. Gi ả s ử là ( ) n A M K ∈ l ũ y linh. T ậ p h ợ p { } * ; 0 k k A ∈ = ℕ có ph ầ n t ử nh ỏ nh ấ t ( ) v A , đượ c g ọ i là ch ỉ s ố l ũ y linh c ủ a A, và ta có : ( ) ( ) * , 0 k k k v A A ∀ ∈ ≥ ⇒ = ℕ Định nghĩa 1.7. Gi ả s ử ( ) ,n p A M K ∈ . H ạ t nhân c ủ a A là không gian vect ơ con c ủ a ( ) ,1p M K , ký hi ệ u là KerA đượ c xác đị nh b ở i : ( ) ( ) { } ,1 er ;AX 0 p K A X M K = ∈ = . Ả nh c ủ a A là không gian vect ơ con c ủ a ( ) ,1n M K , ký hi ệ u là ImA, đượ c xác đị nh b ở i: ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ,1 ,1 ,1 Im ; ,Y=AX AX; n p p A Y M K X M K X M K = ∈ ∃ ∈ = ∈ . 1.1.5. Nhóm ( ) n GL K . Định nghĩa 1.8. M ộ t ma tr ậ n A thu ộ c ( ) n M K đượ c g ọ i là kh ả ngh ị ch khi và ch ỉ khi t ồ n t ạ i m ộ t ( ) ' n A M K ∈ sao cho AA' A,A=I n = . N ế u A kh ả ngh ị ch thì A’ là duy nh ấ t và đượ c g ọ i là ngh ị ch đả o c ủ a A ký hi ệ u là 1 A − . Ta ký hi ệ u t ậ p h ợ p các ma tr ậ n kh ả ngh ị ch thu ộ c ( ) n M K là ( ) n GL K . Mệnh đề 1.8. 1) Phép nhân là lu ậ t h ợ p thành trong ( ) n GL K và ( ) n GL K là m ộ t nhóm và đượ c g ọ i là nhóm tuy ế n tính. 2) V ớ i m ọ i K-không gian vect ơ n chi ề u E và m ọ i c ơ s ở β c ủ a E, ánh x ạ ( ) f Mat f β → là m ộ t đẳ ng c ấ u t ừ nhóm ( ) ( ) , GL E  lên nhóm ( ) ( ) , n GL K • . Định lý 1.1. Gi ả s ử ( ) n A M K ∈ , f là m ộ t t ự đồ ng c ấ u bi ể u di ễ n b ở i A trong m ộ t c ơ s ở . Các tính ch ấ t sau t ươ ng đươ ng t ừ ng đ ôi m ộ t: 1) f là song ánh. 2) A kh ả ngh ị ch trái. [...]... 0 … … a3 … an 0 0 a3 0 0 0 x Tiếp tục khai triển định thức Dn −1 tương tự như định thức trên ta được : Dn = x n + x n−1 ( a1 + a2 + + an ) 27 CHƯƠNG 3 GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 3.1 Một số dạng toán về ma trận 3.1.1 Dạng toán về các phép toán cơ bản của ma trận Bài toán 1 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 giao hoán với tất cả ma trận vuông cùng cấp 2, tức là với mọi... cùng cấp có dạng A = aI c) Khai thác bài toán Tương tự như vậy bằng cách cho ma trận B lần lượt là các ma trận đường chéo diag ( 0, ,0,1,0, 0 ) Ta có bài toán sau Bài toán 1.1 Chứng minh rằng một ma trận vuông cấp n giao hoán với mọi ma trận đường chéo thì nó là ma trận đường chéo Bài giải Giả sử A là ma trận vuông cấp n giao hoán với mọi ma trận đường chéo cùng cấp ta sẽ chứng minh A là ma trận đường... vuông cấp 2 giao hoán với mọi ma trận cùng cấp là ma trận vô hướng, tức là ma trận có dạng aI trong đó a ∈ K và I là ma trận đơn vị Bài giải Trước hết ta chứng minh A là ma trận đường chéo tương tự như bài toán 1.1 Sau đó ta chứng minh các phần tử trên đường chéo chính của A bằng nhau, tức là ma trận A có dạng aI trong đó a ∈ K và I là ma trận đơn vị cấp n Gọi Eij là ma trận vuông cấp n gồm các phần... Vậy ma trận X cần tìm là : X =  ⇒ aij = a, i = j … …   aij = ak , j = i + k 0 0 ⋯ an −1  … an 2   … …  … a  Bài toán 2 Tìm tất cả ma trận vuông cấp 2 có bình phương của nó bằng ma trận 0 a) Phân tích Muốn tìm ma trận vuông cấp 2 có bình phương bằng ma trận 0, ta giả sử A là a b một ma trận có dạng A =   khi đó bình phương của ma trận A là ma trận c d  0 Ta có lời giải sau b) Bài giải. .. bài toán Từ bài toán trên và bằng cách giải tương tự ta có bài toán sau Bài toán 2.1.Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 mà bình phương của nó bằng ma trận đơn vị Bài giải ( Cách làm tương tương tự như bài 3.2) Ta có ma trận A cần tìm có dạng: a b  2 A = ± I hoặc A =   trong đó a tùy ý và a + bc = 1  c −a  Bài toán 2.2 Cho ma trận vuông cấp 2 và k ∈ ℕ* , k > 2 Chứng minh rằng Ak = 0 khi và chỉ... dụng số phức và hàm lượng giác 2 1 0   Bài toán 1 Cho ma trận A =  0 1 0  Tính A100 0 0 2   a) Phân tích Pp1: Sử dụng khai triển nhị thức Niu tơn 34 Viết ma trận vuông A cấp n dưới dạng A = B + D , trong đó B, D ∈ Matn ( ℝ ) và k BD = DB Sau đó áp dụng công thức Ak = ( B + D ) = ∑ Cki B i D k −i (chú ý rằng k i =0 B 0 = I n và k ∈ ℕ* ) Pp2: Sử dụng chéo hóa ma trận Tìm ma trận C ∈ Matn... ) ta đều có AB = BA a) Phân tích Muốn tìm ma trận giao hoán với ma trận vuông cấp 2 cùng cấp ta cho ma trận B 1 0 0 1 lần lượt ma trận đường chéo B =  và B =    từ đó ta có lời giải sau 0 0 0 0 b) Bài giải a b Giả sử ma trận cần tìm là A =   c d  1 0 0 1 Khi đó chọn ma trận B lần lượt là B =   và B =  0 0  0 0   1 0 Với ma trận B =   ta có: 0 0  a b  1 0  ... Mệnh đề 1.25 Giả sử E là một K không gian vectơ 1) Ánh xạ tr : L ( E ) → K là một dạng tuyến tính f → tr ( f ) 2 2) ∀ ( f , g ) ∈ ( L ( E ) ) , tr ( g f ) tr ( f g) 1.3 Các trận đặc biệt 1.3.1 Ma trận đối xứng, ma trận phản đối xứng 1.3.1.1 Ma trận đối xứng Định nghĩa 1.16 Một ma trận vuông A thuộc M n ( K ) được gọi là đối xứng khi và chỉ khi t A = A Ta ký hiệu tập hợp các ma trận đối xứng cấp n với... định thức 2.5.1 Khai triển theo hàng hoặc cột Cơ sở của phương pháp này là định thức Laplace Định lý 2.3 ( Khai triển Laplace ) Giả sử đã chọn ra k dòng ( tương ứng cột ) trong một định thức cấp n Khi đó định thức đã cho bằng tất cả các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng ( tương ứng cột ) đó với những phần bù đại số của chúng Ví dụ 2.1 Tính định thứ sau 22 1 2 3 4 A= 0 2 3 5 0 0 3 7 0 0 0 6 Bài giải. .. biên đổi sau: i Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau ii Nhân dòng thứ i với một số khác không iii Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số λ với i ≠ j 11 Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột Ma trận B được gọi là tương đương dòng với ma trận A nếu có một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B Nhận xét 1.3 Các phép biến . thức. Phân dạng và giải các bài tập về ma trận và định thức thông qua các dạng toán cụ thể và trả lời một phần câu hỏi trên chúng tôi chọn đề tài khóa luận Giải và khai thác một số dạng toán về. và phạm vi nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu: một số dạng toán về ma trận và định thức Phạm vi nghiên cứu: tập trung nghiên cứu phân dạng và khai thác lời giải bài toán cụ thể, đưa ra bài toán. cứu Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về ma trận và định thức. Phân loại, giải và khai thác một số dạng bài tập về ma trận và định thức. 4. Phương pháp nghiên cứu Dựa vào các khái niệm,