Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp ma trận

Vì vậy bên cạnh việc tìm công thức nghiệm người ta còn ñi sâu nghiên cứu các bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, bài toán về tính ổn ñịnh, tính trơn của nghiệm… Lý thuyết hệ phươn

MỞ ðẦU

1 Lý do chọn ñề tài khóa luận

Hệ phương trình vi phân là một khái niệm quan trọng của chuyên ngành phương trình vi phân ðây là một chuyên ngành quan trọng của toán học với nhiều ứng dụng trong khoa học công nghệ Do ñó trong chương trình ñào tạo của các trường ñại học, cao ñẳng thuộc các khối ngành kinh tế, kĩ thuật hệ phương trình vi phân thường ñược ñưa vào như một nội dung bắt buộc thuộc môn học toán cao cấp ðối với các cơ sở ñào tạo về ngành toán, hệ phương trình vi phân ñược ñề cập trong học phần phương trình vi phân Nhìn chung việc giải một hệ phương trình vi phân là khá phức tạp trừ một vài dạng quen thuộc Vì vậy bên cạnh việc tìm công thức nghiệm người ta còn ñi sâu nghiên cứu các bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, bài toán về tính ổn ñịnh, tính trơn của nghiệm…

Lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính là một lý thuyết khó, bởi

vì nghiệm của hệ ñã cho bao gồm n hàm số cần tìm, và ta phải tìm ñược n

nghiệm như thế ñộc lập tuyến tính thì mới tìm ñược nghiệm tổng quát của phương trình Trong các hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng là ñơn giản nhất Về mặt lí thuyết người ta ñã ñưa ra công thức nghiệm của nó dưới dạng hàm mũ của ma trận Khái niệm hàm mũ của ma trận giữ vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ tuyến tính ñối với hệ số hằng Thông qua hàm số ma trận sẽ biểu diễn ñược nghiệm của hệ tuyến tính Tuy nhiên, từ công thức dạng lí thuyết ñể tính ñược tường minh nghiệm tổng quát trong nhiều trường hợp không hề ñơn giản Trong nhiều tài liệu viết về phương trình vi phân cho các khối ngành kinh tế, kĩ thuật, nông, lâm, y học, … có thể xuất phát từ mục ñích sư phạm người ta thường không trình bày cách giải hệ này bằng ma trận mà biến ñổi hệ về phương trình vi phân tuyến tính ñể giải ðối với nhiều sinh viên ngành toán,

khi nghiên cứu về hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng vẫn thường chỉ tập trung theo cách nói trên Tuy nhiên,cách này chỉ hạn chế ñối với việc giải một bài toán cụ thể, không thể phát huy khi chúng ta muốn ñi sâu vào bản chất ñể nghiên cứu bài toán tổng quát

Do vai trò quan trọng của hệ phương trình vi phân trong chương trình

ñào tạo của nhiều ngành, ñặc biệt là với ngành ñại học sư phạm toán, tôi chọn

ñề tài: “Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng bằng

phương pháp ma trận” cho khóa luận tốt nghiệp

2 Mục tiêu khóa luận

•••• Trình bày chi tiết từng bước giải một hệ phương trình vi phân tuyến

tính cấp 1 hệ số hằng bằng phương pháp ma trận

•••• ðưa ra hệ thống các ví dụ minh họa nhằm cụ thể hóa các công thức

nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng trong nhiều trường hợp

•••• Liên hệ công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính

cấp 1 hệ số hằng với các vấn ñề về nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

•••• ðưa ma trận vuông về dạng chuẩn tắc Jordan

•••• Mối liên hệ giữa phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân

•••• Cách giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng

•••• Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng bằng

phương pháp sử dụng ma trận

4 Phương pháp nghiên cứu

Như ñã biết, hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng thường ñược giải bằng cách biến ñổi hệ về phương trình vi phân tuyến tính ñể giải Tuy nhiên cách này chủ yếu rèn luyện kĩ năng tính toán mà không giải thích cụ thể vì sao có các công thức nghiệm ñó Việc nghiên cứu giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng sẽ giúp ta giải thích ñược công thức nghiệm trong một số trường hợp cụ

Công cụ mà chúng ta sử dụng ñể giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng ñó là ma trận Do ñó, ñầu tiên chúng ta nghiên cứu giáo trình, tài liệu tìm cách ñưa một ma trận vuông về dạng chuẩn tắc Jordan Tiếp

ñó, về mặt lí thuyết người ta có thể ñưa ra công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một dưới dạng hàm mũ ma trận Nên chúng ta sẽ

ñi tìm hiểu hàm mũ ma trận, cách tính hàm mũ ma trận

Từ mối liên hệ giữa phương trình và hệ phương trình, chúng ta biết cách chuyển phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng dưới dạng ma trận Cuối cùng trên cơ sở công thức nghiệm ñã biết và dạng Jordan của ma trận hệ số, chúng tôi tính toán nghiệm cụ thể nghiệm của hệ phương trình vi phân trong một số trường hợp cụ thể Bên cạnh ñó, ta ñi xây dựng hệ thống ví

dụ minh họa nhằm cụ thể hóa các công thức nghiệm trên trong nhiều trường hợp cụ thể

Sau khi nghiên cứu ma trận nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng, ta rút ra ñược mối liên hệ công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng với các vấn ñề về nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

5 ðối tượng và phạm vi nghiên cứu

•••• ðối tượng: Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng

•••• Phạm vi: Khóa luận nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân

tuyến tính hệ số hằng bằng phương pháp sử dụng ma trận

6 Ý nghĩa khoa học

Kết quả nghiên cứu của khóa luận góp phần làm rõ hơn cách giải hệ

phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng bằng cách sử dụng ma trận thông qua hệ thống các ví dụ minh họa Qua nội dung khóa luận, chúng ta một lần nữa thấy ñược vai trò quan trọng của ma trận trong các lĩnh vực toán học Khóa luận là tài liệu tham khảo hữu ích ñối với các sinh viên ngành toán

khi học tập và nghiên cứu về hệ phương trình vi phân tuyến tính

7 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận ñược chia thành

ba chương:

Chương 1 Phép thu gọn Jordan

Chương 2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Chương 3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng

Chương 1: Phép thu gọn Jordan

Trong toàn bộ khóa luận này, chúng tôi giới hạn xét ma trận trên các trường số thực ℝ và trường số phức ℂ Ở chương 1, chúng ta sẽ ñi nghiên cứu ma trận lũy linh, dạng chuẩn tắc Jordan của một ma trận vuông và dạng chuẩn tắc Jordan của một tự ñồng cấu

1.1 Ma trận lũy linh

1.1.1 Ma trận lũy linh

ðịnh nghĩa 1.1 Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn ñiều kiện k 0

A =

với một số nguyên dương k nào ñó thì A ñược gọi là một ma trận lũy linh

ða thức ñặc trưng của ma trận A ñịnh nghĩa bởi χ λA( )=det(λI − A)

ðể kiểm tra tính lũy linh của ma trận A cấp (n× n) ta xét ñến lũy thừa

thứ n Nếu ñến lũy thừa thứ n mà chưa nhận ñược ma trận 0 thì chứng tỏ ma trận A không là lũy linh

Vậy A là ma trận lũy linh cấp 2

ðịnh lý 1.1 Cho A là ma trận vuông cấp n× n Thế thì A là ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu ( ) n

Vậy ña thức ñặc trưng của A có dạng n

Giả sử (1) ñúng với n k= , nghĩa là ta có 1

Mặt khác nếu hai ma trận lũy linh A và B là tựa giao hoán với nhau

(AB =λBA) thì rõ ràng tổng và tích của chúng là lũy linh ðảo lại ta có hai mệnh ñề quan trọng sau:

Mệnh ñề 1.1 Nếu , A B và A + là ma trận lũy linh cấp B (2 2× ) thì ta có

AB = −BA Từ ñó suy ra AB và BA là ma trận lũy linh

Chứng minh

Theo ñịnh lí 1.1 ta có A2= B2 =(A + B)2 = 0

Vì vậy ta có AB + BA=0⇒ AB= − BA⇒(AB)2= −AABB = 0

Do ñó AB là ma trận lũy linh

Chứng minh tương tự có BA là ma trận lũy linh

Mệnh ñề 1.2 Nếu , A B và AB , BA là ma trận lũy linh cấp (2 2× ) thì ta có

ðiều này chứng tỏ A B+ là ma trận lũy linh và ta thu ñược AB = −BA

Nhận xét: ðối với ma trận lũy linh lớn hơn cấp (2 2× ) thì hai mệnh ñề trên không còn ñúng

không là lũy linh vì (AB)3 ≠0

1.2 Biến ñổi một ma trận vuông về dạng chuẩn tắc Jordan

1.2.1 Tự ñồng cấu lũy linh

ðịnh nghĩa 1.2.(Xem [3]) Giả sử f : V → V là một tự ñồng cấu của một

không gian vectơ trên trường K, U là một không gian vectơ con của V Khi ñó

U gọi là không gian vectơ con bất biến ñối với f (hay f – bất biến) nếu

Khi ñó việc nghiên cứu tự ñồng cấu f trên V có thể quy về nghiên cứu các tự

ñồng cấu f i của U i (i =1,2) Nói rõ hơn nếu f1 có ma trận A trong cơ sở

(e e1, , ,2 e m) của U1, và f2 có ma trận B trong cơ sở (e m+1, ,e n) của U2, thì

f có ma trận:

00

A B

Trong cơ sở (e e1, , , ,2 e m e m+1, ,e n) của V Như thế detf =det detf1 f2

ðịnh nghĩa 1.3 (Xem [3]) (i) Tự ñồng cấu f của K – không gian vectơ V trên

trường K gọi là lũy linh nếu có số nguyên dương q ñể q 0

f =

f = f  f  f q lần)

Nếu q 1 0

f − ≠ thì q gọi là bậc lũy linh của f

(ii) Cơ sở (e1, ,e n) của V ñược gọi là một cơ sở xyclic ñối với f nếu

( )1 2, ( )2 3, , ( )n 0

f e =e f e =e f e =

(iii) Không gian vectơ con U của V ñược gọi là một không gian con xyclic ñối với f nếu U có một cơ sở xyclic ñối với f

Mệnh ñề 1.3 Giả sử f là một tự ñồng cấu lũy linh khác 0 của K – không

gian vectơ hữu hạn chiều V, q là chỉ số lũy linh của f, ∀ ∈k {0,1, ,q} ðặt

ðiều này xảy ra khi và chỉ khi F k=F k+1= = F q−1=F q

Vì f lũy linh chỉ số q nên q 1 0

f − ≠ tức là F q−1≠V =F q(mâu thuẫn với trên)

Do ñó ta luôn có { }0 F0 F1 F q V

≠ ≠ ≠

ðịnh lí 1.2 (Xem [3]) Giả sử f là một tự ñồng cấu lũy linh của không gian

vectơ hữu hạn chiều V Khi ñó V phân tích ñược thành tổng trực tiếp của các không gian con xyclic ñối với f Hơn nữa với mối số nguyên dương s, số không con s chiều xyclic ñối với f trong mọi phân tích như thế là không ñổi

và bằng:

rank f − − rank f +rank f +

Chứng minh

Gọi q là bậc lũy linh của f ðặt imf( q1)

Với V1 =V1( )1 thỏa mãn 3 tính chất trên

Giả sử ñã xây dựng ñược các không gian j

i

V với 1 i≤ ≤ j ≤ thỏa mãn các q

tính chất nói trên ñúng với i = − n 1

Ta ñi chứng minh không gian j

i

V ñúng với i n=

Vì f V n: V n → V n−1 là một toàn ánh, nên có thể chọn các không gian

q

V (1≤ j ≤ ) ñặt tương ứng với một không q

gian con xyclic (q − + chiều) ñối với f, với mỗi cơ sở xyclic gồm các j 1vectơ sau:

= = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp của một số hữu

hạn không gian con xyclic ñối với f

Giả sử Wi

i

V= ⊕ là một phân tích của V thành tổng trực tiếp của các không gian con xyclic ñối với f

Vì mỗi Wi ñều là một không gian f - ổn ñịnh, cho nên

1.2.2 Ma trận lũy linh Jordan

ðịnh lí 1.3 Cho f là một tự ñồng cấu lũy linh khác 0 của K – không gian

vectơ hữu hạn chiều V, q là chỉ số lũy linh của f ( q∈ℕ,q ≥2) Khi ñó tồn tại

một cơ sở của V ñể ma trận J của f ñối với cơ sở ñó có dạng theo chéo khối

Trong ñó J k là các khối ma trận lũy linh cấp k và số lần xuất hiện của J k

1, , ,

11, , 1 ,

+) Bây giờ ∀ ∈i {1, ,q} Gọi n1 =dim( )G1 và xét ánh xạ tuyến tính g i thu

Do ñó ∀ ∈x G i−{ }0 thì g x i( ) ≠ 0 hay ker( )g i = tức 0 g i là ñơn cấu

Từ ñó n1=dim( )G i =dim( )g i =dim( f G( )i )≤dim(G i+1) =n i+1

(Do f G( )i ⊂G i+1 )

Theo chứng minh trên thì G1 ≠ nên ta có 0 1≤ ≤n1 ≤n q

Giả sử chọn ñược một cơ sở B1 =(e1,1, ,e1,n1) của G1

Vì g1= f G1 là ñơn cấu nên {f e( ) ( )1,1 ,f e1,2 , ,f e( )1,n1 } là hệ ñộc lập tuyến tính Mà f G( )1 ⊂G2 nên {f e( ) ( )1,1 , f e1,2 , ,f e( )1,n1 } là hệ ñộc lập tuyến tính của G2 Do ñó có thể bổ sung vào hệ này thành một cơ sở B2 =(e2,1, ,e2,n1)

của G2 trong ñó e2,j = f e( )1,j ∀ =j 1, ,n1

Tiếp tục quá trình này ∀ ∈i {1, ,q} ta chọn ñược các cơ sở Bi =(e i,1, ,e i n, 1)

của G i sao cho i∀ ≠ thì q e i+1,j = f e( )i j, ∀ =j 1, ,n i

Do G q ⊕F0 = F1 nên G q = F1 nên các vectơ ,1, , ,

q

e e trong cơ sở G q cũng phụ thuộc F1 suy ra ( ),1 ( ), 0

i B là một cơ sở của V

ðặt

( ) ( )

Tức là ta ñặt trong một bảng các cơ sở của G i ñược xây dựng như vậy, sao

cho mỗi vectơ nằm ngay trên ảnh của nó qua f, các vectơ của dòng cuối có

= với k là số tự nhiên duy nhất thuộc

{1, ,q} sao cho n k−1< <j n k (coi n0= ) 0

Gọi ′

j

B =(e q j, , ,e q−1,j, ,e k j, ) ∀ ∈j {1, ,n q} và k ñược xác ñịnh bởi 1

Khi ñó ma trận J q( ,λ0) có dạng

0 0

0 0

1

1

1

λλ

λλ

a) Chứng minh rằng A là ma trận lũy linh

b) Xác ñịnh thu gọn Jordan của A và ma trận khả nghịch P sao cho

1

A= PJP−

Giải

a) Ta có A2 =0, A ≠ nên A là ma trận lũy linh chỉ số 0 q = 2

b) Giả sử f là một tự ñồng cấu của V = M4,1( )ℝ có ma trận ñối với cơ sở

chính tắc là A thì f là tự ñồng cấu lũy linh chỉ số 2 Với các kí hiệu như ñịnh

+) Chọn hai vectơ ñộc lập tuyến tính không thuộc F1 = Ker A( ) ñể tạo cơ sở

của G1, chẳng hạn B =(e1,1,e1,2) với 1,1

1000

0100

+) ðặt 2,1 1,1

1010

1121

là ma trận Jordan của A, và P là ma trận chuyển từ

cơ sở chính tắc của M4,1( )ℝ sang B là:

Mệnh ñề 1.4 (Xem [3]) Cho f là một tự ñồng cấu lũy linh trong không gian

vectơ n chiều V thì không gian V tồn tại một cơ sở sao cho ma trận của f ñối với cơ sở ñó là ma trận Jordan với các ô Jordan dạng J k( ,0)

Chứng minh

Giả sử f là tự ñồng cấu lũy linh cấp q Khi ñó trong không gian V, tồn tại e

e f e f − e

là ñộc lập tuyến tính

Không gian con F1= L( { , ( ), , q 1( ) } )

e f e f − e

là bất biến ñối với f Ma trận

của f1 = f F1 trong không gian vectơ F1 ñối với cơ sở

Ta chứng minh rằng với mỗi G ∈ (H ) nếu F1 +G ≠V thì tồn tại H1∈ (H )

1

q q

q q

+) Tương tự nếu F1 + H1 ≠V thì ta phải tìm ñược không gian con H2thuộc

họ (H ) sao cho H1 ⊂ H2, H1 ≠ H2

Vì các không gian con thuộc họ (H ) có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng n q− , nên sau hữu hạn bước ta sẽ tìm ñược L1 = H s ∈ (H ) và F1 + L1 = V Không gian con L1 là bù tuyến tính của F1 và bất biến ñối với f

+) Ta lại tiếp tục quá trình như trên với f L1 trong không gian L1 Sau hữu hạn bước phân tích V =F1⊕ F2 ⊕ ⊕ F r trong ñó F i với i =1 , ,r là

không gian con bất biến ñối với f và trong F i có cơ sở q i sao cho ma trận của

= ∪ là cơ sở không gian V

ðối với cơ sở Q, ma trận f có dạng:

( 1,0) ( 2,0) ( r,0)

J k ⊕ J k ⊕ ⊕ J k

1 2

J J

1.2.3 Dạng chuẩn tắc Jordan của một tự ñồng cấu

ðịnh nghĩa 1.4 (i) Giả sử f: V → V là một tự ñồng cấu tuyến tính của K –

không gian vectơ V Vectơ α ≠ 0

  của V mà f ( )α =λα

với một λ nào ñó

của trường K, gọi là một vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ của f

(ii) Với λ ∈ K, xét Ker f( −λId v) Khi nó khác { }0 thì ñó là không gian vectơ con của V gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của f ứng với giá trị

riêng λ Không gian này gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng λ và ñược kí kiệu là Pλ Vậy Pλ = Ker f( −λId v)

(iii) ða thức bậc n của một ẩn X với hệ số trong K

Khi ñó P f ( )X =det( f − Xid V) ñược gọi là ña thức ñặc trưng của tự ñồng cấu f

Mệnh ñề 1.5 Giả sử U là một không gian vectơ con bất biến với tự ñồng cấu

f : V → Gọi V f : V U/ →V U/ với f( )  = α f( )α  là ñồng cấu cảm sinh bởi f Khi ñó, ña thức ñặc trưng của f bằng tích ña thức ñặc trưng f U

Vì [ ] [ ]e1 = e2 = =[ ]e m = trong 0 V U/ (   là lớp tương ñương chứa e j

j

e )

nên D chính là ma trận của f trong cơ sở { [e m+1] [, e m+2], ,[ ]e n }

Rõ ràng det(A− XE n) =det(B− XE n).det(D −XE n m− )

Hay P f ( )X = P f U( )X P f ( )X

ðịnh nghĩa 1.5 Giả sử f là là một tự ñồng cấu tuyến tính của K – không gian

vectơ hữu hạn chiều V Với mỗi λ ∈ K, xét tập

con của V Khi nó khác { }0 thì nó gọi là không gian suy rộng của f ứng với

Do ñó ( f −λid V) Rλ là ñồng cấu lũy linh nên có dạng chính tắc tức là ma

trận của f Rλ có dạng chéo khối, với các khối trên ñường chéo có dạng :

1

1

1

λλ

λλ

Từ ñó suy ra ña thức ñặc trưng của f Rλ có là : (λ − X)dim Rλ

Gọi s là số bội của λ trong P f ( )X Khi ñó f Rλ và : /f V Rλ →V R/ λcảm

ðịnh lí 1.4: (Dạng chuẩn tắc Jordan của một ma trận tự ñồng cấu) [3]

Giả sử f là một tự ñồng cấu của một không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K mà ña thức ñặc trưng P f ( )X phân tích ñược thành tích những nhân tử tuyến tính

Trong ñó λk ∈ K khác nhau từng ñôi với k =1,2, ,m Khi ñó V ñược phân tích thành tổng trực tiếp các không gian riêng suy rộng:

k k

k k

λλ

λλ

rank f −λ id − − rank f −λ id +rank f −λ id +

Ma trận này ñược xác ñịnh duy nhất bởi f sai khác thứ tự xắp xếp các khối Jordan trên ñường chéo chính

Ma trận nói trên ñịnh lí trên ñược gọi là ma trận chuẩn Jordan của tự ñồng cấu f

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh ñịnh lí theo nhiều bước

Bước 1: Giả sử λ ≠ µ là các giá trị riêng của f Vì các ñồng cấu ( f −λid V)

và (f −µid V) giao hoán với nhau, nên ta có ñồng cấu

Theo ñịnh nghĩa của không gian con suy rộng, có số nguyên dương m sao cho

0

m V

Chứng minh bằng quy nạp, giả sử ñiều ñó ñúng với n= m− 1

Ta chứng minh khẳng ñịnh trên ñúng với n m=

lí 1.2 ta thấy mọi ma trận dạng chuẩn Jordan của f, số khối Jordan cấp s với

phần tử λk trên ñường chéo chính bằng

Vì số này là như nhau ñối với mọi ma trận dạng chuẩn Jordan của f, cho nên

hai ma trận này chỉ sai khác nhau thứ tự các khối Jordan trên ñường chéo Một trường hợp riêng quan trong của ñịnh lí trên là hệ quả sau ñây

Hệ quả 1.2 Nếu K là một trường ñóng ñại số (chẳng hạn K = ℂ ), thì mọi tự ñồng cấu của K – không gian vectơ ñều có ma trận dạng chuẩn Jordan trong

một cơ sở nào ñó của không gian

Ví dụ 7: Tìm dạng Jordan của ma trận thực sau :

31

λλ

Ta xét tự ñồng cấu f trong không gian ℝ3 có ma trận ñối với cơ sở chính tắc

là ma trận A Tự ñồng cấu f có các giá trị riêng λ1 = , 3 λ2= − (bội 2) 1

Các vectơ riêng tương ứng với λ1 = có dạng là 3 u=(t,2 ,2 ,t t) ∀ ≠t 0,t∈ R

Với t = ta có 1 u1 =(1,2,2) Vậy không gian con R3={ }u1

Trong không gian con bất biến R3 ta có tự ñồng cấu f1 = f R3 ñối với cơ sở

≥

= ∪ + do ñó R−1 chứa không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

( ) ( )

1 2

2 3

Khi ñó không gian con R−1={v v1, 2}

Bây giờ ta ñi xây dựng một cơ sở của không gian riêng suy rộng R−1 sao cho ñối với cơ sở ñó phép biến ñổi f2 = f R−1 có ma trận Jordan

ðối với cơ sở {u u2, 3} ma trận của f có dạng J(2, 1− )

Vậy ñối với cơ sở {u u u1, ,2 3} ma trận của f là ma trận Jordan dạng:

n n n

Mặt khác do tính hội tụ tuyệt ñối nên

n A

a a

0

2! 3!

a b

a

e e

J A

J

e e

Trong ñó

1 1

1

00

Bước 1: Chứng minh ( ) 0

tA t

n n

n n

Chương 2: Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Ở chương 2, chúng ta sẽ ñi nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất, tìm hiểu mối liên hệ giữa hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 và công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1

2.1.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 tổng quát

Hệ phương trình vi phân tổng quát là hệ gồm các phương trình chứa biến ñộc lập, các hàm (nghiệm) cần tìm và nhất thiết phải chứa các ñạo hàm của chúng theo biến ñộc lập Nếu chỉ xuất hiện các ñạo hàm cấp 1 của các ẩn,

ta nói ñó là hệ phương trình vi phân cấp 1

Hệ gồm n phương trình vi phân cấp 1 có dạng chuẩn tắc (dạng giải ra ñược ñối với ñạo hàm) là hệ có dạng:

dx

x t f t x x x dt

dx

x t f t x x x dt

1 1

2 2

1 2

22