Phương trình vi phân toàn phần1 2... Chương VII: Phương trình vi phânTiết 43: Phương trình vi Hiểu định nghĩa phương trình vi phân toàn phần và cách giải phương trình vi phân toàn phần
Trang 1Tiết 43 Phương trình vi phân toàn phần
1
2
Trang 2Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
Hiểu định nghĩa phương trình vi phân toàn phần và cách giải phương trình vi phân toàn phần
Biết vận dụng các kiến thức đã học để giải phương trình vi phân toàn phần
1
2
Trang 3TÀI LIỆU THAM KHẢO
Chương VII: Phương trình vi phân
4
Nguyễn Huy Hoàng, Toán cao cấp, tập 2 (Giải tích toán học), NXB GD Việt Nam, 2009
1
2
3
5
Nguyễn Đình Trí, Toán học cao cấp, tập 2( Phép tính giải tích một biến số), NXB GD, 2005
Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán học cao cấp, tập 2 NXB GD, 2004
Nguyễn Huy Hoàng, Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp 2 , NXB Thống Kê 2007
Ngyễn Thế Hoàng, Cơ sở PTVP và Lý thuyết ổn dịnh, NXB GD ,2013
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
Trang 4( )a ij m n
A= ×
Chương VII: Phương trình vi phân 7.2.5 Phương trình vi phân
toàn phần
a) Định nghĩa.
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
( , ) ( , ) 0 (*)
Phương trình vi phân dạng đối xứng
được gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu tồn tại một hàm khả vi sao cho vi phân toàn phần trong
đó liên tục cùng với các đạo hàm riêng , với mọi thuộc miền D nào đó của
( , )
u x y
( , ) ( , ) ( , )
,
y x
∂ ∂
∂ ∂
( , ), ( , )
P x y Q x y
( , )
u x y = xy
với hàm
Trang 5( )a ij m n
A= ×
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
b) Định lý:
với liên tục cùng với các đạo hàm riêngP x y Q x y ( , ), ( , ) P Q ,
y x
∂ ∂
∂ ∂
P x y dx Q x y dy + =
Phương trình vi phân dạng đối xứng
2
R
với mọi (x, y) thuộc miền D nào đó của là phương trình vi phân
toàn phần khi và chỉ khi
7.2.5 Phương trình vi phân toàn phần
Trang 6( )a ij m n
A= ×
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
Ví dụ: Chỉ ra các phương trình vi phân toàn phần
2
1) (2 2 ex + − x y dx e ydy ) − x2 = 0
0 2
) 2
2
( + x− y2 dx−e ydy =
( 2 ) 2 ( )
2) 1 − x y dx x y x dy + − = 0
3) 3 y + 2 xy + 2 x dx + 6 xy x + + 3 dy = 0
là ptvp toàn phần không là ptvp toàn phần
là ptvp toàn phần
7.2.5 Phương trình vi phân toàn phần
Trang 7( )a ij m n
A= ×
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
0 2
) 2
2
( + x− y2 dx−e ydy =
Chú ý:
Để tìm u(x,y) ta có thể sử dụng P ( y x, )
x
u
=
∂
∂
Ta có u x y ( , ) = ∫ P x y dx ( , ) + ϕ ( ) y trong đó là hàm khả vi tùy ýϕ ( ) y
Từ đó ( P(x, y)dx) (y) Q(x, y)
y
u
y + ′ =
′
=
∂
∂
) ,
( y x
Q y
u
=
∂
∂
và
Đẳng thức này cho phép ta tìm được từ đó tìm được u(x,y).ϕ( )y
7.2.5 Phương trình vi phân toàn phần
Trang 8( )a ij m n
A= ×
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
0 2
) 2
2
( + x− y2 dx−e ydy =
Chú ý:
( , ) ( , ) x y P x y dx ( , ) ( , ) x y Q x y dy d u x y ( ( , ))
Ta có
không là phương trình vi phân toàn phần
P x y dx Q x y dy + =
Hàm được gọi là thừa số tích phân µ = µ ( y x , )
7.2.5 Phương trình vi phân toàn phần
Hàm chỉ phụ thuộc vào x, tức là:µ µ µ = ( ) x = e ∫ f x dx( )
Hàm chỉ phụ thuộc vào y, tức là:µ µ µ = ( ) y = e ∫ g y dy( )
Trang 9( )a ij m n
A= ×
Chương VII: Phương trình vi phân
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần
0 2
) 2
2
( + x− y2 dx−e ydy =
Ví dụ 3: Giải các phương trình:
1) 3 y + 2 xy + 2 x dx + 6 xy x + + 3 dy = 0
2) 1 − x y dx x y x dy + − = 0
3) x y + y dx + y − x dy = 0
7.2.5 Phương trình vi phân toàn phần
Trang 10( )a ij m n
A=n ×
m×
k to add title in here 1
2
3
Hiểu rõ về phương trình vi phân toàn phần và biêt cách giải phương trình vi phân toàn phần.
Ôn tập các phần kiến thức chương 7 Làm các bài tập từ 47- 51 ( trang 218- học liệu [8])
Chương VII: Phương trình vi phân
Củng cố, dặn dò
Tiết 43: Phương trình vi
phân toàn phần