Email: Jackie9x.spb@gmail.com Phương trình và Hệ phương trình Vi phân A. Phương trình vi phân cấp 1 1. Phương trình biến số phân ly + Dạng: + Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được nghiệm của phương trình + Chú ý: + Ví dụ: a) Tích phân hai vế b) Tích phân hai vế 2. Phương trình vi phân toàn phần + Dạng: Thỏa mãn + Cách giải: Trong đó được xác định bởi công thức c minh cng lm (0,0) 3. Phương trình tuyến tính cấp 1 + Dạng: + Cách giải: Email: Jackie9x.spb@gmail.com Tính: Công thức nghiệm: 4. Phương trình Bernoulli + Dạng: + Cách giải: Đưa về phương trình tuyến tính cấp 1 và áp dụng công thức nghiệm thông qua hai bước - Bước 1: Làm mất ở vế phải - Bước 2: Đặt Cụ thể: - Kiểm tra có là nghiệm của phương trình - Nếu chia hai vế phương trình cho Đặt Phương trình trở về dạng phương trình tuyến tính cấp 1 5. Phương trình thuần nhất + Dạng: + Cách giải: Đặt (với là hàm biến ) (Cách nhớ: Đặt Đưa về phương trình biến số phân ly) Email: Jackie9x.spb@gmail.com 6. Chú ý khi giải phương trình vi phân cấp 1 Đây là kinh nghiệm cá nhân Nếu không giải được thì đưa về dạng B. Phương trình vi phân cấp 2 (Tuyến tính với hệ số hằng) Dạng: + Nếu Phương trình thuần nhất + Nếu Phương trình không thuần nhất 1. Phương trình thuần nhất (PTTN) Dạng: Cách giải: + Xác định phương trình đặc trưng (PTĐT): + Giải PTĐT, nghiệm của PTĐT sẽ quyết định dạng nghiệm của PTTN - PTĐT có 2 nghiệm phân biệt Phương trình Dạng: Dạng: PT tuyến tính cấp 1 PT Bernoulli PT thuần nhất PT biến số phân ly PT vi phân toàn phần Email: Jackie9x.spb@gmail.com Nghiệm PTTN: (TQTN: Tổng quát thuần nhất) - PTĐT có nghiệm kép Nghiệm PTTN: - PTĐT có cặp nghiệm phức liên hợp Nghiệm PTTN: 2. Phương trình không thuần nhất Dạng: Cách giải: + Có PTTN tương ứng là Khi đó có công thức nghiệm là: Trong đó là nghiệm riêng được xác định từ vế phải của PT Cụ thể ta sẽ xét các trường hợp của a. TH1: Trong đó: Ta tính được Sau đó thế vào của PT để tìm các hệ số của b. TH2: Tính Kiểm tra xem là nghiệm bội của PTĐT Email: Jackie9x.spb@gmail.com 3. Chú ý Trong quá trình tìm nghiệm riêng ta có thể sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm riêng. Ví dụ: Xét 3 phương trình vi phân Khi đó C. Hệ hai phương trình vi phân cấp 1 Dạng: Cách giải: Dùng phương pháp thế, đưa về phương trình vi phân cấp 2 Chú ý: Rút theo và hoặc rút theo và . PTTN - PT T có 2 nghiệm phân biệt Phương trình Dạng: Dạng: PT tuyến tính cấp 1 PT Bernoulli PT thuần nhất PT biến số phân ly PT vi phân toàn phần Email:. Jackie9x.spb@gmail.com Phương trình và Hệ phương trình Vi phân A. Phương trình vi phân cấp 1 1. Phương trình biến số phân ly + Dạng: + Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được nghiệm. trình vi phân cấp 1 Dạng: Cách giải: Dùng phương pháp thế, đưa về phương trình vi phân cấp 2 Chú ý: Rút theo và hoặc rút theo và