Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình

Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình MỤC LỤC Trang Lí do chọn đề tài 1 Chương 1 2 Chương 2 12 Kết luận 20 Tài liệu tham khảo 21 Sáng kiến kinh nghiệm Trang 1 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy, ôn thi đại học cao đẳng, bồi dưỡng học sinh giỏi cho các em hoc sinh về phần phương trình và hệ phương trình, tôi gặp một số phương trình và hệ phương trình mà các phương pháp giải đã được đề cập trong sách giáo khoa ở lớp 10 hiện hành không thể giải được hoặc việc giải chúng theo phương pháp này là rất khó khăn và dài dòng. Chẳng hạn, phương trình: 2 2 2010(1 2010 ) 1x x− + = (1) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010-2011) Hay hệ phương trình: 2 2 2 (4 1) ( 3) 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x  + + − − =   + + − =   (I) (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2010) Việc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ giúp tôi giải quyết phương trình (1) một cách dễ dàng, còn đối với hệ phương trình (I), phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số cho ta một lời giải hay. Ngoài ra, thông qua việc giải các đề thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các bài toán về phương trình và hệ phương trình tỏ ra rất hiệu quả và cho lời giải hay Qua hai năm tìm tòi, nghiên cứu và thực hiện giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy những phương pháp nêu trên có hiệu quả và chọn viết sáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình”. Xin chân thành cảm ơn! Quảng Ngãi, ngày 5 tháng 5 năm 2012 Người thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình Huỳnh Đoàn Thuần Sáng kiến kinh nghiệm Trang 3 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trong phạm vi sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ đi sâu khai thác hai phương pháp chủ yếu để giải phương trình và hệ phương trình đó là phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Mỗi phương pháp sẽ được trình bày thành một chương. CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN: Để giải một phương trình hay hệ phương trình, thông thường ta tìm cách đưa phương trình hay hệ phương trình đó về dạng quen thuộc đã biết cách giải, thường là phương trình bậc hai, hay một hệ phương trình đơn giản. Ngoài cách sử dụng các phép biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ cũng là một cách để đưa phương trình và hệ phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn. Phương pháp giải một số dạng phương trình và hệ phương trình đơn giản thường gặp: 1/ [ ] 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x g x ≥   = ⇔  =   2/ Phương trình đẳng cấp bậc hai: 2 2 . 0, , ,au bu v cv a b c R+ + = ∈ Cách giải: Xét v = 0, kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm không Xét 0v ≠ , chia hai vế của phương trình cho 2 v ta thu được một phương trình bậc hai đã biết cách giải. 3/ Hệ đối xứng loại 1(2 ẩn): là hệ phương trình mà vai trò của x và y trong từng phương trình của hệ là như nhau. Sáng kiến kinh nghiệm Trang 4 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình Cách giải: Đặt ;S x y P xy= + = , đưa hệ đã cho về hệ giải được bằng phương pháp thế. 4/ Hệ đối xứng loại 2(2 ẩn): là hệ mà khi thay đổi vai trò của x và y trong hệ thì mỗi phương trình của hệ biến thành phương trình còn lại. Cách giải: sử dụng phương pháp cộng đại số các phương trình của hệ ta thu được một phương trình tích với một nhân tử là (x – y), từ đó tìm được mối liên hệ bậc nhất giữa x và y, rồi giải tiếp bằng phương pháp thế. 2.1 THỰC TRẠNG: Như đã đề cập ở phần lý do chọn đề tài, đứng trước phương trình (1), với những phương pháp giải phương trình đã được trình bày trong chương trình sách giáo khoa lớp 10 hiện hành, học sinh sẽ suy nghĩ ngay đến phương pháp biến đổi tương đương để đưa về phương trình bậc 4 với hy vọng tìm được một nghiệm để đưa phương trình đó về bậc thấp hơn rồi giải. Tuy nhiên việc làm này học sinh sẽ không thực hiện được vì phương trình bậc 4 này không đặc biệt, cũng không có nghiệm nguyên, vì thế học sinh tỏ ra lúng túng và bế tắc. Bằng cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ đối xứng loại 2, học sinh gặp ngay một dạng toán quen thuộc mà phương pháp giải đã rõ ràng. Vì vậy cần thay đổi và bổ sung một số kĩ thuật sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết được những phương trình và hệ phương trình phức tạp. Qua khảo sát, đánh giá học sinh khối 10, 11, 12 của trường về khả năng vận dụng các kiến thức đã học trong chương trình sách giáo khoa để giải các bài tập phương trình và hệ phương trình trong kì thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2009-2010, tôi thu được mẫu số liệu sau: Số học sinh giải được Số học sinh không giải được Khối 10 2/15 13/15 Khối 11 3/10 7/10 Khối 12 4/10 6/10 2.1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: a) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 2: Sáng kiến kinh nghiệm Trang 5 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2010(1 2010 ) 1x x− + = (1) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2010- 2011) Giải: Đặt 2 1 2010t x= − , ta được hệ: 2 2 2010 1 ( ) 2010 1 ( ) t x a x t b  + =   + =   . Đây là một hệ phương trình đối xứng loại 2 đã biết cách giải. Lấy (a) – (b) vế theo vế ta được: 2 2 2010( ) 1 2010 t x x t x t t x =   − = − ⇔  = −  + Với t = x, thay vào (a) ta được: 2 1 8041 2010 1 0 4020 x x x − ± + − = ⇔ = + Với 1 2010 t x= − , từ (a) ta được 2 2009 1 8037 2010 0 2010 4020 x x x ± − − = ⇔ = Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm 1 8041 4020 x − ± = ; 1 8037 4020 x ± = Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 3 3 3 2 2 0x x− − + = (2) (Đề học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm 2008- 2009) Giải: Đặt 3 3 3 2 3 2t x t x= − ⇒ = − . Ta được hệ: 3 3 3 2 ( ) 3 2 ( ) x t a t x b  = −   = −   . Đây là hệ đối xứng loại 2, đã biết cách giải. Lấy (a) – (b) vế theo vế ta được 2 2 ( )( 3) 0x t x xt t x t− + + + = ⇔ = (vì 2 2 0x xt t+ + > ) Với t = x thay vào (a) ta được: 2 1 3 2 0 2 x x x x =  − + = ⇔  =  Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 1; 2x x= = − Nhận xét: Với hai phương trình trên, nếu sử dụng cách đặt ẩn phụ thông thường, hay bằng phép biến đổi tương đương, thì bài toán trên nên rất phức Sáng kiến kinh nghiệm Trang 6 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình tạp, và không thể đưa được về dạng quen thuộc, thậm chí còn dẫn đến một phương trình phức tạp hơn. Việc sử dụng cách đặt ẩn phụ mà ta coi ẩn phụ cùng với ẩn ban đầu của phương trình như là hai ẩn của một hệ phương trình giúp ta đưa bài toán về được dạng quen thuộc ngay. Cách làm này khá thú vị và giúp cho học sinh có một cách tư duy mới trong quá trình giải toán. Ngoài ra cách đặt ẩn phụ như trên còn giúp ta có thể sáng tác ra được những phương trình mới từ việc xét một hệ phương trình đối xứng loại 2 quen thuộc. chẳng hạn, xét hệ phương trình: 2 2 2 5 1 2 5 1 x y y x  = −   = −   . Thế y theo x ở phương trình thứ 2 vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 2 2 5 1 2 5( ) 1 2 x x − = − , từ đó ta được phương trình mới: 2 2 8 5(5 1) 4x x− − = − Cũng từ hệ phương trình trên, bằng cách sử dụng phép đặt 2 1 5 x y + = rút từ phương trình thứ nhất của hệ, rồi thế vào phương trình thứ hai ta lại được một phương trình vô tỷ 2 2 1 5 2 1 5 x x + = + . Cứ như thế ta có thể tạo ra được nhiều phương trình mới từ những hệ phương trình quen thuộc Từ những nhận xét trên, giúp ta có thể đưa ra cách giải phương trình dạng tổng quát sau: * Dạng tổng quát: : ( ) ' ' , , 2 n n ax b p a x b qx r n N n + = + + + ∈ ≥ Cách giải: Đặt ' ' n a x b ay b+ = + nếu p.a’ > 0 Đặt ' ' ( ) n a x b ay b+ = − + nếu p.a’ < 0 để đưa bài toán về hệ phương trình “gần” đối xứng loại 2 b) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình đối xứng loại 1: Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 2 3 10 5x x+ + − = (3) Sáng kiến kinh nghiệm Trang 7 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình Giải: Điều kiện: 10 10x− ≤ ≤ Đặt 2 2 3; 10 ; 3;0 10u x v x u v= + = − ≥ ≤ ≤ Khi đó ta được hệ: 2 2 5 13 u v u v + =   + =  . (*) Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 đã biết cách giải. Giải hệ trên tìm được 2 3 u v =   =  hoặc 3 2 u v =   =  Từ đó tìm được phương trình (3) có 4 nghiệm 6; 1x x= ± = ± Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2 2 4 2 2 2 3 15 0 2 4 5 0 x y x y x y x y  + + − =   + − − − =   (II) Giải: Hệ phương trình (II) 2 2 2 2 ( 2) 3( 2) 21 0 ( 1) ( 2) 10 x y y x y  + + + − =  ⇔  − + − =   2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3)( 2) 21 ( 1 4)( 2 4) 21 ( 1) ( 2) 10 ( 1) ( 2) 10 x y x y x y x y   + + = − + − + =   ⇔ ⇔   − + − = − + − =     Đặt 2 1; 2; 1u x v y u= − = − ≥ − , ta được hệ: 2 2 ( 4)( 4) 21 10 u v u v + + =   + =  . Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1, giải hệ này ta được 3 1 u v =   = −  hoặc 1 3 u v = −   =  Từ đó tìm được hệ phương trình (II) có 3 nghiệm ( ) ( ) ( ) 2,1 ; 2,1 ; 0,5− Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 3 3 3 3 1 1 9 1 1 1 1 1 1 18 x y x y x y  + =           + + + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         (III) (Đề Olympic 30/4 lớp 10 năm 2009-2010) Giải: Điều kiện 0, 0x y≠ ≠ Sáng kiến kinh nghiệm Trang 8 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình Đặt 3 3 1 1 ,u v x y = = . Ta được hệ 3 3 9 ( )(1 )(1 ) 18 u v u v u v  + =  + + + =  . Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 quen thuộc (đã biết cách giải) Nhận xét: Qua 3 ví dụ trên, ta thấy việc sử dụng ẩn phụ giúp ta chuyển bài toán từ dạng chưa quen thuộc về dạng quen thuộc đã biết cách giải, đồng thời hạn chế được những tính toán cồng kềnh hơn. Mặt khác, ta còn có thể sáng tác ra các bài toán mới từ những hệ phương trình đối xứng loại 1 đơn giản. chẳng hạn, từ hệ phương trình (*) ở ví dụ 3, ta thay 2 2 2, 1u x v y y= − = + + khi đó ta được hệ phương trình 2 2 4 4 3 2 2 6 0 2 4 3 2 8 0 x y y x y y x y y  + + − =   + + − + + − =   khá phức tạp. c) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình bậc hai, bậc ba: Ví dụ 6: Giải phương trình: 3 1 2 3x x+ + − = (4) Giải: Điều kiện: 1x ≥ − . Đặt 3 1 , 2, 0u x v x u= + = − ≥ Ta được hệ phương trình: 2 3 3 3 u v u v + =   − =  . Dễ dàng giải được hệ này bằng phương pháp thế, và tìm được 1; 2v u= = . Từ đó tìm được x =3. Nhận xét: Với phương trình (4) việc sử dụng phương pháp biến đổi tương đương sẽ làm bài toán phức tạp, sử dụng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình cho ta lời giải hay và đơn giản hơn nhiều. Đặc biệt với những bài toán có chứa căn bậc cao (căn bậc 4, căn bậc 5,…) thì phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ tỏ ra hiệu quả hơn rất nhiều. d) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp: Ví dụ 7: Giải phương trình 3 2 10 8 3( 6)x x x+ = − + (5) Giải: Đk: 2x ≥ − Phương trình 2 2 10 ( 2)( 2 4) 3 ( 2 4) ( 2)x x x x x x   ⇔ + − + = − + + +   Sáng kiến kinh nghiệm Trang 9 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình Đặt 2 2; 2 4; 0; 3u x v x x u v= + = − + ≥ ≥ . Phương trình (5) trở thành 2 2 10 3( )uv u v= + . Đây là phương trình đẳng cấp bậc 2 đã biết cách giải Nhận xét: Với phương trình (5) việc biến đổi tương tương bằng cách bình phương hai vế là không thực hiện được, vì phương trình thu được bậc 4 nhưng không đặc biệt. Dấu hiệu để nhận biết cách phân tích và đặt như trên là dựa vào biểu thức 3 2 8 ( 2)( 2 4)x x x x+ = + − + mà trong đó 2 2 ( 2) ( 2 4) 6x x x x x+ + − + = − + * Dạng tổng quát: P(x)+ Q(x)+ P(x).Q(x) 0 α β γ = (phương trình đẳng cấp) e) Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” đưa về phương trình bậc hai: Đặt ẩn phụ “không hoàn toàn” là dùng một ẩn phụ t, đồng thời ẩn cũ vẫn còn tồn tại trong phương trình mà ta coi nó như là một tham số, để phương trình thu được có dạng quên thuộc. Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 4 1 1 3 2 1 1x x x x+ − = + − + − (6) Giải: Điều kiện: 1 1x− ≤ ≤ Phương trình 4 1 2 2 (1 ) 2 1 1 . 1x x x x x x⇔ + − − + − = − + + − Đặt 1 , 0 2t x t= − ≤ ≤ . Khi đó ta được phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 0t x t x x− + + − + − + = (6’) Ta coi phương trình (6) là phương trình bậc 2 với ẩn t còn x coi như tham số, phương trình này có biệt thức ( ) 2 3 1 2x∆ = + − Khi đó (6’) 2 1 2 1 t x t x  = + ⇔  = − +   . Tới đây tiếp tục thay 1t x= − ta giải phương trình chứa căn thức dạng quen thuộc. Nhận xét: Với phương trình này, nếu giải theo cách thông thường, đặt 1t x= − , rồi biểu diễn các biểu thức còn lại của x theo t, thì sẽ dẫn đến một Sáng kiến kinh nghiệm Trang 10 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần [...]... nhìn mới và đầy đủ hơn về ý nghĩa phần hàm số trong chương trình toán phổ thông, giúp các em có khả năng vận dụng linh hoạt phương pháp hàm số trong việc giải phương trình và hệ phương trình nói riêng và giải toán nói chung Sáng kiến kinh nghiệm Trang 21 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình PHẦN III: KẾT LUẬN Phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp sử... phụ vẫn là phương pháp giải chủ yếu Việc trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các kĩ thuật cơ bản của phương pháp đặt ẩn phụ là rất cần thiết và có một ý nghĩa to lớn; giúp các em không những giải quyết được những bài toán về phương trình, hệ phương trình và kể cả những Sáng kiến kinh nghiệm Trang 13 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình bài toán... nghĩ đến, khi đó nhận dạng ngay ra phương pháp giải sử dụng tính đơn điệu của hàm số Ngoài ra, khi giải phương trình (c ) cũng nên chọn lựa phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số vì Sáng kiến kinh nghiệm Trang 17 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình phương trình này khá phức tạp không thể sử dụng phương pháp biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ được.. .Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình phương trình còn phức tạp hơn phương trình ban đầu Vì vậy việc thừa nhận đồng thời hai biến lại giúp ta đưa phương trình về dạng quen thuộc Tuy nhiên cũng lưu ý rằng, nếu biệt thức ∆ không biểu diễn được dưới dạng A2 thì bài toán vẫn chưa giải quyết được, cần phải tìm hướng giải quyết khác Đôi khi ý tưởng trên còn được vận dụng vào... Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 2.1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Tính đơn điệu của hàm số: a Định nghĩa: - Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi ∀x1 , x2 ∈ (a, b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) - Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi ∀x1 ,... trình xây dựng và biên soạn các đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng, đề thi học sinh giỏi các cấp, người ta thường chú tâm đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết các bài toán về phương trình và hệ phương trình, và một số bài toán khác như bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, Nên việc trang bị cho các em học sinh một số kĩ thuật sử dụng phương pháp. .. về phương trình và hệ phương trình mà đối với học sinh là những bài toán khó và lạ, phần lớn học sinh đều lúng túng khi sử dụng các phương pháp giải đã biết như phương pháp biến đổi tương đương, hay phương pháp đặt ẩn phụ Chẳng hạn, với hệ phương trình (I) đã đề cập trong phần lý do chọn đề tài, thì việc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, chúng ta không thể phát hiện được cách chọn ẩn phụ để đưa hệ phương. .. khi áp dụng phương pháp nói trên để bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi dự thi Sáng kiến kinh nghiệm Trang 20 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình cấp tỉnh, phần lớn các em trong đội tuyển đều nắm được phương pháp và vận dụng tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh Kết quả cụ thể như sau: Qua khảo sát học sinh về khả năng vận dụng phương pháp sử dụng... hàm số f tăng trong khoảng (a;b)) b) Trường hợp hàm số f giảm trong khoảng (a;b) Lập luận tương tự a) , ta cũng gặp mâu thuẫn Vậy phương trình f(x) = 0 không thể có nhiều hơn một nghiệm trên khoảng (a;b) Sáng kiến kinh nghiệm Trang 15 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình 2.2 THỰC TRẠNG: Trong những năm gần đây, trong các đề thi tuyển sinh đại học và. .. việc giải hệ phương trình  y 2 + ( y − 3) x − 4 y = −3  Chẳng hạn, giải hệ phương trình:  3  2− y + x−2 =3  (IV) Với hệ này, chúng ta phải bắt đầu biến đổi từ phương trình thứ nhất, tất nhiên là cần tìm mối liên hệ bậc nhất giữa x và y Tuy nhiên việc phân tích phương trình thứ nhất thành nhân tử không phải là việc làm đơn giản Với ý tưởng coi phương trình y 2 + ( y − 3) x − 4 y = −3 là phương trình . Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình Huỳnh Đoàn Thuần Sáng kiến kinh nghiệm Trang 3 Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương. Thuần Một số phương pháp điển hình giải phương trình và hệ phương trình Cách giải: Đặt ;S x y P xy= + = , đưa hệ đã cho về hệ giải được bằng phương pháp thế. 4/ Hệ đối xứng loại 2(2 ẩn): là hệ. tương đương, đặt ẩn phụ cũng là một cách để đưa phương trình và hệ phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn. Phương pháp giải một số dạng phương trình và hệ phương trình đơn giản thường gặp: 1/