MỘT sô PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH đại số HAI ẩn ở THPT

I. TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SÔ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ HAI ẨN Ở THPT II. ĐẶT VẤN ĐỀ: Chúng ta đã biết toán học là môn khoa học cơ bản. Có nhiều ứng dụng liên quan đến nhiều nghành, nhiều lĩnh vực khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức cơ bản tạo điều kiện cho học sinh được hình thành và phát triển phẩm chất, nhân cách, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho học sinh hệ thống tri thức đảm bảo đủ kiến thức cơ bản để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh. Trong chương trình toán trung học phổ thông , một chủ đề của đại số là hệ phương trình đại số hai ẩn. Nó luôn xuyên suốt chương trình để giải quyết các bài toán khác và thường xuyên có trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng của nước nhà. Qua thực tế giảng dạy ở trường tôi thấy rất nhiều học sinh còn lúng túng trong việc giải hệ phương trình đại số, đặt biệt là các hệ phương trình “không thể nhìn thấy ngay cách giải”. Do vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy: “Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số ở THPT”. Trong trong quá trình giảng dạy tôi luôn cố gắng đưa ra các phương pháp giải, đặt biệt là cách nhận dạng bài toán để chọn phương pháp thích hợp. Hi vọng rằng với phương pháp sắp xếp lôgic, chặt chẽ và lựa chọn các bài toán một cách điển hình là một sáng kiến nho nhỏ để chúng ta cùng tham khảo. Trong quá trình làm đề tài này, chắc chắn còn nhiều sai sót, mong sự đóng góp ý kiến.Tôi xin chân thành cảm ơn. Trang 1 III. CƠ SỞ LÝ LUẬN: 1. Cơ sở 1: Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn )( ''' I cybxa cbxax    =+ =+ trong đó a, b không đồng thời bằng không và a ’ , b ’ không đồng thời bằng không. Hãy giải và biện luận hệ phương trình (I) đã cho. Giải: Ta có hệ (I) ⇒      −=−− =+ bcbybbxa cbybbxab ''' ''' bccbxbaab //// )( −=−⇒ lại có, (I)      =+ −=−− ⇒ acaybxaa caxbaxaa /// /// caacybaab //// )( −=−⇒ Do đó hệ (I)      −=− −=− ⇒ caacybaab bccbxbaab //// //// )( )( Đặt baabD // −= , bccbD x // −= , caacD y // −= Khi đó ta có hệ phương trình hệ quả của (I) như sau    = = y x DyD DxD . . (II) Ta xét các trường hợp sau 1/ D ≠ 0, khi đó hệ(II) có nghiệm duy nhất         = D D D D yx y x ;);( . thay vào hệ (I) ta thấy nghiệm này là nghiệm của hệ (I). 2/ D =0, lúc này hệ trở thành    = = y x Dy Dx 0 0 + Nếu 0≠ x D hoặc 0≠ y D thì hệ (II) vô nghiệm do đó hệ (I) vô nghiệm. + Nếu 0== yx DD thì hệ (II) có vô số nghiệm . Bây giờ ta đi tìm nghiệm của hệ (I). Do a, b không đồng thời bằng 0 nên ta có thể giả sử 0 ≠ a . Ta có D = ab / - a / b = 0 b a a b / / =⇒ c a a ccaacD y / /// 0 =⇒=−= nên hệ (I) được viết thành      =+ =+ c a a byax a a cbyax // )( Do vậy tập nghiệm của hệ (I) trùng với tập nghiệm của phương trình ax + by = c. Trang 2 Tóm lại: Đặt .// ba ba D = , // bc bc D x = , // ca ca D y = * Trường hợp 1. 0≠D Hệ có nghiệm duy nhất         D D D D y x ; * Trường hợp 2. 0=== yx DDD Hệ có vô số nghiệm (x; y) thỏa mãn phương trình ax + by =c * Trường hợp 3.         ≠ ≠ = 0 0 0 y x D D D Hệ vô nghiệm 2. Cơ sở 2: Định lí: Mọi biểu thức f(x; y) thỏa mãn f(x; y) = f(y;x) đều biểu diễn được theo x+y và xy. Định nghĩa: Hệ    = = 0);( 0);( yxg yxf được gọi là hệ đối xứng loại 1 theo hai ẩn x và y nếu    = = );();( );();( xygyxg xyfyxf Bài toán: Hãy giải hệ phương trình đối xứng loại 1 sau:    = = 0);( 0);( yxg yxf Giải: Do    = = );();( );();( xygyxg xyfyxf nên hệ đã cho được viết lại như sau :    = = 0);( 0);( PSG PSF Giải hệ trên để tìm S, P. khi đó x và y là nghiệm của phương trình: X 2 – SX + P = 0. Khi đó ta tìm được nghiệm của hệ ( nếu có) 3. Cơ sở 3. Định nghĩa: Hệ đối xứng loại 2 đối với hai ẩn x,y là hệ có dạng:    = = 0);( 0);( xyf yxf Bài toán: Trang 3 Hãy giải hệ phương trình đối xứng loại 2 sau:    = = )2(0);( )1(0);( xyf yxf Giải: Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: 0);();( =− xyfyxf (*) Thay y = x vào (*) ta được 0 = 0 suy ra y = x thỏa (*), do đó (*) 0);().( =−⇔ yxgyx    = = ⇔ 0);( yxg xy * Thay y = x vào (1) ta tìm được x, suy ra y. * Với g(x;y) = 0. ta có hệ    = = 0);( 0);( yxg yxf tìm được x và y. 4. Cơ sở 4: Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp vế trái đối với hai ẩn x, y là hệ có dạng:      =++++ =++++ −− − − − −− − − − dybxybyxbyxbxb cyaxyayxayxaxa nnn n n n n n nnn n n n n n 0 1 1 22 2 1 1 0 1 1 22 2 1 1 (*) Bài toán: Hãy giải hệ (*). Giải: * Thay x = 0 vào hệ (*) để kiểm tra x = 0 có thỏa mãn hệ không? * Với 0 ≠ x ta đặt y = tx (I), khi đó hệ đã cho trở thành:      =++++ =++++ − −− − −− )2( )1( 0 1 1 2 21 0 1 1 2 21 dtxbtxbtxbtxbxb ctxatxatxatxaxa nnnnn n n n n n nnnnn n n n n n + Khi 0=d , ta có    =++++ = ⇔ −− 0 )(0 )2( 0 2 21 n nnn tatbtbb lx 0 0 2 21 =++++⇔ −− n nnn tatbtbb (**), giải (**) tìm được nghiệm t ( nếu có), thay vào (I) ta tìm được x, suy ra được y, từ đó tìm được nghiệm của hệ đã cho. + Khi 0 ≠ d , ta chia (1) cho (2) vế theo vế ta được d c btbtbtbb tatatataa nnn nn nnn = +++++ +++++ −− − −− 01 2 21 0 1 1 2 21 5. Cơ sở 5. Không có cách giải tổng quát cho mọi hệ phương trình. Trang 4 IV. CƠ SỞ THỰC TIỄN: Các bài toán về giải hệ phương trình phương trình đại số là một trong những dạng toán cơ bản của chương trình THCS, THPT. Nó thường xuyên có trong các đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng của nước nhà. Trong sách giáo khoa chương trình THPT chưa đi sâu và phân tích kĩ các bước giải một hệ phương trình, đặt biệt là phân tích để chọn phương pháp giải cho hệ phương trình. Qua nhiều năm giảng dạy, Tôi thấy phương pháp phân tích lập luận để giải một hệ phương trình là điều hứng thú học tâp và say mê nghiên cứu của các em học để rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán về hệ phương trình đại số hai ẩn. Tôi cũng rất hài lòng khi vận dụng kinh nghiệm này để hiệu quả giảng dạy và rèn luyện kỹ năng giải hệ được tốt hơn. V. NỘI DUNG: Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai ẩn Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn    =+ =+ ''' cybxa cbxax trong đó a, b không đồng thời bằng không và a ’ , b ’ không đồng thời bằng không. Cách giải: Đặt .// ba ba D = , // bc bc D x = , // ca ca D y = * Trường hợp 1. 0≠D Hệ có nghiệm duy nhất         D D D D y x ; * Trường hợp 2. 0=== yx DDD Hệ có vô số nghiệm (x; y) thỏa mãn phương trình ax + by =c * Trường hợp 3.         ≠ ≠ = 0 0 0 y x D D D Hệ vô nghiệm 1. Bài toán 1: Cho hệ phương trình    =+ +=+ mmyx mymx 3 12 1. Giải và biện luận hệ đã cho. 2. Trong điều kiện hệ có nghiệm duy nhất, tìm m nguyên để nghiệm của hệ là nghiệm nguyên. Trang 5 3. Trong điều kiện hệ có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm (x; y) của hệ không phụ thuộc vào m. 4. Trong điều kiện hệ có nghiệm duy nhất (x;y), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x 2 +y 2 với [ ] 3;2∈m . Giải: 1. Biện luận hệ Ta có: D = m 2 -1, D x = 2m 2 - 2m, D y = 3m 2 – 2m – 1. Trường hợp 1. 10 ±≠⇔≠ mD : Hệ có nghiệm duy nhất        + + = + = 1 13 1 2 m m y m m x Trường hợp 2. 10 ±=⇔= mD * Nếu m = 1 thì hệ trở thành x + y = 3 nên hệ có vô số nghiệm    −= ∈ xy Rx 3 * Nếu m = - 1 thì 04 ≠= x D nên hệ vô nghiệm. 2. Khi 1±≠m hệ có nghiệm duy nhất là        + −= + + = + −= + = 1 2 3 1 13 1 2 2 1 2 mm m y mm m x Khi đó điều kiện bài toán tương đương với      ∈ + ∈ Z m Zm 1 2       −=+ −=+ =+ =+ ⇔ 11 21 11 21 m m m m       −= −= = = ⇔ )(2 )(3 )(0 )(1 nm nm nm lm Vậy m = 0, m = - 3 , m = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán. 3. Khi 1 ±≠ m hệ có nghiệm duy nhất là        + −= + + = + −= + = )2( 1 2 3 1 13 )1( 1 2 2 1 2 mm m y mm m x Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được x – y = - 1 . Vậy hệ thức cần tìm là x – y + 1 = 0. 4. Khi 1 ±≠ m hệ có nghiệm duy nhất là        + −= + + = + −= + = 1 2 3 1 13 1 2 2 1 2 mm m y mm m x Trang 6 Ta có 12 1613 2 2 22 ++ ++ =+ mm mm yx Xét hàm số 12 1613 )( 2 2 ++ ++ = mm mm mf trên đoạn [ ] 3;2 Ta có f(m) liên tục trên đoạn [ ] 3;2 ( ) 2 2 2 / 12 42420 )( ++ ++ = mm mm xf     −= −= ⇔= )( 5 1 )(1 0)( / lm lm mf Ta lại có 2 17 )3(, 9 65 )2( == ff Vậy [ ] 2 17 )( 22 3;2 =+ ∈ yxMax m khi m = 3. [ ] 9 65 )( 22 3;2 =+ ∈ yxMin m khi m = 2. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI HAI ẨN X VÀ Y Có dạng:    =+ =+++++ pnymx feydycxbxyax 0 22 Cách giải: + Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất + Thay vào pt bậc hai và tìm ẩn còn lại, suy ra nghiệm của hệ phương trình 2. Bài toán 2: Cho hệ:    =−+ =−+ )2(0 )1(0 22 aayx xyx a/ Giải hệ khi a=1 b/ Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt c/ Gọi (x 1 ,y 1 ); ( x 2 ,y 2 ) là các nghiệm của hệ đã cho Chứng minh rằng: (x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 –y 1 ) 2 ≤ 1 Giải: Từ (2) ⇒ x=a-ay thay vào (1) ta được Trang 7 0)12()1( 222 =−+−−+ aayaaya (3) a/ với a=1, ta có (3) trở thành: 2y 2 -y=0     =⇒= =⇒= ⇔ 2 1 2 1 10 xy xy vậy hệ có 2 nghiệm: (1;0), ( 2 1 ; 2 1 ) b/ Hệ có 2 nghiệm phân biệt )3(⇔ có 2 nghiệm phân biệt 3 4 0 0 01 2 <<⇔    >∆ ≠+ ⇔ a a c/ Khi 3 4 0 << a thì hệ có 2 nghiệm (x 1 ;y 1 ), (x 2 ;y 2 ) trong đó y 1 ,y 2 là nghiệm của (3) nên thỏa mãn        + − = + − =+ 1 1 )12( 2 2 21 2 21 a aa yy a aa yy lại có    −= −= 22 11 ayax ayax Khi đó, ( ) ( ) [ ] 1 1 )12( 1 1 34 4)()1()( 2 2 2 2 2121 22 12 2 2112 ≤ + − −= + − =−++=−+−=− a a a aa yyyyayyayayyy HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I * Có dạng:    = = 0);( 0);( yxg yxf với f(x;y) = f(y;x) và g(x;y) = g(y;x) * Biến đổi hệ theo x+y và x+y Đặt S = x + y và p=xy • Biến đổi hệ theo s,p và giải hệ tìm hai ẩn đó • Với mỗi nghiệm (s;p) ta giải pt x 2 – sx +p =0 để tìm x, y • Chú ý; với mỗi bài toán phức tạp ta tìm cách đặt ẩn phụ cho x, y 3. Bài toán 3: Giải hệ    =++ =+++ 12)1)(1( 8 22 yxxy yxyx Cách 1: Hệ    =++ =+++ ⇔ 12)1)(1( 8 22 yxxy yxyx Đặt s=x+y và p=xy với s 2 -4p 0 ≥ Trang 8 Hệ trở thành      =++ =−+ )2(1 )1(82 2 2 ppsp pss Từ (1) ⇒ 2 8 2 −+ = ss p thay vào (2) ta được s 03011 234 =−−+ sss       =⇒= −=⇒−= =⇒−= −=⇒= ⇔ 23 32 65 40 ps ps ps ps Như vậy nếu ta máy móc giải như cách 1 thì bài toán trở nên phức tạp do vậy ta tìm cách đặt ẩn phụ khác bằng cách biến đổi hệ đã cho    =++ =+++ ⇔ 12)1()1( 8)1()1( yyxx yyxx Đặt )1( )1( += += yyv xxu Hệ trở thành    = = ⇔    = =+ 6 2 12 8 v u uv vu hoặc    = = 2 6 v u Từ đó suy ra nghiệm của hệ là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2;3,3;2,2;2,2;2,1;3,3;1,2;1,1;2 −−−−−−−− HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II 1. Hệ đối xứng loại 2 là hệ có dạng ( ) ( )    = = )2(0; )1(0; xyg yxf 2. Cách giải Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được pt dạng    = = ⇔=− 0);( 0));()( yxg yx yxgyx Bài toán 4: Giải hệ        =− =− y x xy x y yx 4 3 4 3 Điều kiện: 0;0 ≠≠ yx Trang 9 Hệ      =− =− ⇔ )2(43 )1(43 2 2 xxyy yxyx Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được ( )( )    −−= = ⇔=++− 4 04 xy xy yxyx * Với y = x thay vào (1) ta được    −=⇒−= =⇒= ⇔=+ 22 )(00 02 2 yx lyx xx * Với y = - x – 4 thay vào (1) ta được 22044 2 −=⇒−=⇔=++ yxxx Vậy nghiệm của hệ là ( - 2 ; - 2 ) 5. Bài toán 5: Giải hệ:      =−+ =−+ 53 53 xy yx (*) Cách 1: Điều kiện: 3,3 ≥≥ xy ( )( )        +−=− =−+− ≤ ≤ ⇔        +−=− =−++−− ≤ ≤ ⇔        +−=− +−=− ≤ ≤ ⇔      −=− −=− ⇔ )4(10253 )3(09 )2(5 )1(5 10253 01010 5 5 10253 10253 5 5 53 53 (*) 2 2 22 2 2 xxy yxyx y x yyx yxyxyx y x yyx xxy y x yx xy Ta có    =−+ = ⇔ 09 )3( yx yx *Với x=y thay vào (4) ta được: 02811032510 22 =+−⇔=−++− yyyyy    =⇒= =⇒= ⇔ 44 )(77 yx lyx * Với y = 9 – x thay vào (4) ta được       + =⇒ − = + = ⇔=+− )( 2 59 2 59 )( 2 59 0199 2 lyx lx xx Vậy nghiệm của hệ là: (4; 4) Cách 2: Đặt      −= −= 3 3 xv yu với 0,0 ≥≥ vu      += += ⇒ 3 3 2 2 vx uy Trang 10 [...]... Tên đề tài 1 II Đặt vấn đề 1 III Cơ sở lý luận 2 IV Cơ sở thực tiễn 5 V Nội dung: 5 Hệ phương trình bật nhất hai ẩn 5 Hệ gồm một phương trình bật nhất và một phương trình bật hai hai ẩn đối với hai ẩn x, y 7 Hệ phương trình đối xứng loại I 8 Hệ phương trình đối xứng loại II 9 Hệ phương trình đẳng cấp 11 Phương pháp tổng quát giải hệ phương trình đại số ở chương trình THPT 13 VI Kết quả nghiên cứu: 21... khi đó phương trình x = 1 − 3t ⇔ x = ± 1 − 3t suy ra y = ± 1 − 3t 1 1 1 Từ bảng biến thiên, suy ra đường thẳng y = Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Ở CHƯƠNG TRÌNH THPT Để giải hệ phương trình đại số có các cách sau: I Nhận biết là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn II Nhận biết là hệ phương trình gồm một phương trình bật nhất và một phương trình bật hai, ... học sinh Nhận dạng được hướng giải các bài toán về hệ phương trình được nhanh chóng hơn VII KẾT LUẬN: Việc vận dụng một số phương pháp để giải hệ phương trình hai ẩn là điều quan trọng nhất trong việc giải hệ Nếu không giải quyết được điều này thì khó giải được hệ phương trình Một số phương pháp trên là kiến thức bổ ích giúp các em học sinh bước vào các kỳ thi tuyển sinh Đại học cao đẳng Tôi cũng mong... trình bật hai, bật ba, III Đặt ẩn phụ bằng cách: + Nhận biết hệ phương trình đối loại 1, loại2, hệ pt đẳng cấp +Đưa hệ về hệ chứa một biểu thức bằng cách: • Nhóm các biến số (chú ý đến hằng đẳng thức) • Quy đồng các phương trình trong hệ • Chia hai vế của phương trình trong hệ cho một biểu thức • Cộng trừ hai vế các phương trình của hệ Trang 13 IV Giải một phương trình của hệ bằng cách đưa về dạng tích,... NGHỊ: Đây là một đề tài nghiên cứu cách giải một hệ phương trình đại số ở THPT mà trong trong sách giáo khoa chưa đề cập nhiều, đặt biệt là phương pháp giải một hệ tổng quát Tôi mong muốn các thầy cô trong tổ chuyên môn cùng nghiên cứu chia sẽ với tôi và vận dụng một cách hợp lí trong quá trình giảng dạy, cũng như trong quá trình ôn thi đại học, cao đẳng IX TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Đại số 10 Nâng cao... ⇔   1− 5 (loai ) v = 2  Vậy hệ có nghiệm là(4;4) HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1  Xét hệ đẳng cấp bậc hai:  2 a 2 x + b2 xy + c 2 y 2 = d 2  Cách giải: + Thay x = 0 vào hệ để kiểm tra có thỏa hệ phương trình không + Với x ≠ 0 đặt y=tx, biến đổi đưa về pt bặc hai theo t giải t suy ra x, y Cách khác: +Khử các số hạng tự do để đưa phương trình về dạng ax 2 + bxy + cy 2 =... trình của hệ) x 2 y + y = 2 Giải hệ   y 4 + xy = 2  Điều kiện: y ≠ 0 Giải: Trang 17 x + y 3 = 2 y    x = 1; y = 1  x + y = 2 y x + y = 2 y ⇔ 2 ⇔  y = 1 ⇔ Hệ ⇔  3  y ( y + x) = 2 y = 1  x = −1; y = −1    y = −1   3 3 Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 1), ( -1; - 1) 14 Bài toán 14: (Phương pháp giải một phương trình của hệ )  x + y + 3 = 6 (1)  2 x 2 − 3 xy + y 2 = 0 (2)  Hãy giải hệ sau:... HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc PHIẾU ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2009 - 2010 I Đánh giá xếp loại của HĐKH Trường THPT Nguyễn Thái Bình 1 Tên đề tài: MỘT SÔ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ HAI ẨN Ở THPT 2 Họ và tên tác giả: Nguyễn Anh Tuấn 3 Chức vụ: Giáo viên Tổ: Toán - Tin 4 Nhận xét của Chủ tịch HĐKH về đề tài: a) Ưu điểm: ...  x x   x  vậy hệ có 3 nghiệm (0;0), (1;2), (2;2) 12 Bài toán 12: (Chia hai vế của phương trình trong hệ cho cùng một biểu thức) x 3 + 2x 2 + y = 4x  Xác định m sao cho hệ  4 có nhiều hơn một nghiệm  x + 2 x 3 − 2 y 2 = mx 2  Giải: Trang 16 * Thay x = 0 vào hệ ta được y = 0 với mọi m, suy ra hệ có ít nhất một nghiệm (0; 0) với mọi m y  2 x + 2x + x = 4  * Khi x ≠ 0 hệ trở thành  2  x 2... đẳng thức, đạo hàm V Cộng và trừ hai vế của hệ, dùng phương pháp thế VI.Dùng phương pháp đáng giá bằng bất đẳng thức côsi, các tính chất của bất đẳng thức VII Dùng phương pháp đạo hàm, bảng biến thiên 8 Bài toán 8: (Phương pháp nhóm các biến) 2  2  x + y − 3x + 4 y = 1 Giải hệ:  2 3 x − 2 y 2 − 9 x − 8 y = 3  Giải: 2  2  x + y − 3x + 4 y = 1 Nhóm các biến: hệ ⇔  2 3( x − 3 x) − 2( y 2 + 4 . nghiệm. PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Ở CHƯƠNG TRÌNH THPT Để giải hệ phương trình đại số có các cách sau: I. Nhận biết là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn II. Nhận biết là hệ phương. thấy ngay cách giải . Do vậy tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy: Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số ở THPT . Trong trong quá trình giảng. phương trình gồm một phương trình bật nhất và một phương trình bật hai, bật ba, III. Đặt ẩn phụ bằng cách: + Nhận biết hệ phương trình đối loại 1, loại2, hệ pt đẳng cấp +Đưa hệ về hệ chứa một