Vận dụng một tính chất của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

bài viết khai thác vận dụng tính chất có nghiệm duy nhất của hệ PT bậc nhất 2 ẩn trong một số dạng toán khá hay và thú vị. B»ng ph­¬ng ph¸p céng ta dÔ dµng chøng minh ®­îc kÕt qu¶ sau Bµi to¸n Cho hÖ ph­¬ng tr×nh () Víi x,y lµ c¸c Èn sè , lµ c¸c tham sè NÕu th× hÖ PT () cã nghiÖm duy nhÊt () Nh­ vËy x vµ y ®Òu biÓu thÞ qua c¸c tham sè qua hÖ thøc () Do ®ã nÕu trong bµi to¸n cã 2 biÓu thøc bËc nhÊt ®èi víi 2 Èn nµo ®ã th× ta cã thÓ ¸p dông kÕt qu¶ trªn ®Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n. Sau ®©y lµ mét sè thÝ dô

Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 1 Vận dụng một tính chất của hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn Bằng phơng pháp cộng ta dễ dàng chứng minh đợc kết quả sau Bài toán Cho hệ phơng trình 222 111 cybxa cybxa (*) Với x,y là các ẩn số , 222111 ;;;;; cbacba là các tham số Nếu 0 1221 baba thì hệ PT (*) có nghiệm duy nhất 1221 1221 1221 1221 baba caca y baba bcbc x (**) Nh vậy x và y đều biểu thị qua các tham số qua hệ thức (**) Do đó nếu trong bài toán có 2 biểu thức bậc nhất đối với 2 ẩn nào đó thì ta có thể áp dụng kết quả trên để giải quyết bài toán. Sau đây là một số thí dụ Thí dụ 1 Cho x,y,m là các số thực thoả mãn 1 2 2 1 2 3 m m myx ymx (1) Chứng minh rằng 1 22 yx Lời giải Ta coi (1) là hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với m là tham số. Khi đó x và y đều biểu thị đợc theo m Thật vậy do 0121.1)2.( 2 1221 mmmbaba nên áp dụng công thức (**)ta có 1 1 12 1.1 1 2 . 1 2 12 1. 1 2 )2.(1 2 2 2 2 3 22 2 3 m m m m m m y m m m m m m x Suy ra 1 )1( 12 ) 1 1 () 1 2 ( 12 24 2 2 2 2 2 22 m mm m m m m yx Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 2 Thí dụ 2 Cho x,y,z là các số thực thoả mãn 232 1 yxyzxz yxxz (1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy(1+z) Lời giải Ta giảm số biến của biểu thức P bằng cách biến đổi (1) về dạng hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với z là tham số đợc 2)3()12( 1)2( yzxz yzzx Có 01)1(22)2)(12()3( 22 1221 zzzzzzzbaba Nên áp dụng công thức (**) ta có 22 1 22 1).12(2. 22 1 22 )2(2)3.(1 22 22 zzxz zz y zz z zz zz x Suy ra 22 2 )1)1(( )1( )1( z z zxyP Do có 0)1)1(( 22 z 222 )1)1(( 4 1 )1( zz mà 0)1( 2 z nên 4 1 )1)1(( )1( 0 22 2 z z P GTNN của P là 0 khi và chỉ khi )1;1;0();;( zyx GTLN của P là 4 1 khi và chi khi (x;y;z) )}2; 2 1 ; 2 1 ();0; 2 1 ; 2 1 {( Thí dụ 3 Cho x,y là các số thực thoả mãn 9)14()173( 22 yxyx Chứng minh rằng 5 16 5 14 yx Lời giải Do 173 yx và x+4y+1 là các biểu thức bậc nhất đối với x,y nên để đơn giản giả thiết ta coi 2 biểu thức lần lợt là a,b thì x,y đều biểu thị đợc theo a và b Thật vậy Đặt 3x+7y+1=a; x+4y+1 = b Ta có hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn x,y sau 14 173 byx ayx (1) Có 057.14.3 nên áp dụng công thức (**) thì hệ pt (1) có nghiệm Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 3 5 23 5 374 ab y ba x Khi đó ta có 9 22 ba 5 143 ba yx Mặt khác 2 )(0 mqnp ))(()( 22222 qpnmnqmp ))(( 2222 qpnmnqmp áp dụng BĐT trên ta có 159.25))()4(3(43 2222 baba 154715 ab Suy ra 5 16 5 115 5 143 5 515 5 14 ba yx Thí dụ 4 giải hệ phơng trình 2129 115 52212 1)52(4)12( 33 yx x yxyx yxyx Lời giải Ta thấy 12 yx và 52 yx là các biểu thức bậc nhất đối với x và y nên có thể giải hệ PT bằng cách đặt 012 ayx , 052 byx khi này x, y đều biểu diễn đợc theo a và b ta có hệ pt bậc nhất 2 ẩn x,y 2 2 52 12 byx ayx 5 32 5 112 22 22 ba y ba x (1) Do đó 22 2115 bax , 2129 yx = 22 4ba Thay vào hệ phơng trình đã cho ta đợc 22 22 33 4 2 2 14 ba ba ba ba )4)(2(2 14 2222 33 bababa ba (2) Nhân vế với vế các phơng trình của hệ (2) đợc Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 4 )4)(2()4)(2( 222233 babababa ab(a b)(a - 2b) = 0 a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b hoặc a = 2b Từng trờng hợp này thay vào hệ (1) ta đợc nghiệm (a,b) là ) 12 1 ; 3 2 (), 5 1 ; 5 1 (),0;1(), 4 1 ;0( 3 333 3 Với (a;b) tìm đợc thay vào (1) ta đợc các nghiệm (x;y) của hệ PT đã cho là ) 5 3 144 343 ; 5 11 2 3 (), 5 3 25 1 ; 5 11 25 27 (),1;2(), 5 16 1 3 ; 5 11 2 1 ( 33 333 3 Thí dụ 5 Giải hệ phơng trình 222 222 312)(72 2127)( xxyyyxxx yxyyyxyx Lời giải Ta có thể đa hệ PT đã cho về 1 hệ PT bậc nhất với 2 ẩn mới bằng cách Đặt vyux 12;7 22 Hệ PT đã cho trở thành 2 2 3)(2 )( xxyvyxxu yxyyvuyx (1) Ta có 22 1221 2))(( yxxyyxyxbaba Dễ thấy x = y = 0 là nghiệm của hệ PT đã cho Khi x,y không đồng thời bằng 0 Có 1221 baba 0 22 yx nên hệ (1) có nghiệm duy nhất x yx yxyxxxyyx v y yx yxxyyxyxy u 22 22 22 22 )(2)3)(( 2 )3())(( Suy ra xx yx 12 27 2 2 22 22 12 47 02 0 xy yx y x 4 9 0 0 2 2 y x y x 2 3 y x Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm (x;y) là (0;0);(-3;2) Vũ Hồng Phong THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh 5 Cuôí cùng mời các bạn luyện tập với các bài tập sau Bài 1 Cho x,y,m là các số thực thoả mãn 4 43 2 2 2 m m ymx mmyx a) Tìm một hệ thức giữa x và y không phụ thuộc vào m b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 33 yxP Bài 2 Cho x,y là các số thực thoả mãn 4)125()1311( 22 yxyx . Chứng minh 7 732 3 yx Bài 3 Giải hệ phơng trình a) 3163)645)(279( 3645279 3 33 yxyxyx yxyx b) 9 14)3( 15)4()1( 222 2 232 zyx zzyzx zzyzzxz c) 67652)2( 13452)( yxxyxyyx yxyxyyx . thức bậc nhất đối với x và y nên có thể giải hệ PT bằng cách đặt 012 ayx , 052 byx khi này x, y đều biểu diễn đợc theo a và b ta có hệ pt bậc nhất 2 ẩn x,y 2 2 52 12 byx ayx . 222 222 312)(72 2127)( xxyyyxxx yxyyyxyx Lời giải Ta có thể đa hệ PT đã cho về 1 hệ PT bậc nhất với 2 ẩn mới bằng cách Đặt vyux 12;7 22 Hệ PT đã cho trở thành 2 2 3)(2 )( xxyvyxxu yxyyvuyx (1). thị đợc theo a và b Thật vậy Đặt 3x+7y+1=a; x+4y+1 = b Ta có hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn x,y sau 14 173 byx ayx (1) Có 057.14.3 nên áp dụng công thức (**) thì hệ pt (1) có nghiệm