sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp giải phương trình quy về phương trình bậc hai”

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS

PHẦN THỨ NHẤT

MỞ ĐẦU

A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết toán học hình thành cho các

em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,…vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại

Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hóa hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn

Các dạng bài tập của môn toán ở trường phổ thông rất đa dạng và phong phú Một trong

những dạng toán của Đại số ở bậc THCS là giải phương trình, trong đó “ Giải phương trình quy

về phương trình bậc hai” là một dạng toán nằm trong số đó.

Phương trình quy về phương trình bậc hai là dạng toán tương đối khó đối với học sinh THCS Dạng toán này có nhiều cách giải, vì vậy đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng linh hoạt Các bài toán về phương trình quy về phương trình bậc hai thường hay được đưa vào dạy cho học sinh khá và giỏi Trong chương trình sách giáo khoa chỉ đưa ra các bài tập ở mức độ đơn giản, song thực chất học sinh được làm quen với các bài toán giải phương trình từ bậc tiểu học với

cách giải đơn giãn hơn ở dạng bài ‘tìm x” và kiến thức loại này được nâng cao dần ở các lớp trên

nhưng với phương trình quy về phương trình bậc hai, các em chỉ được làm quen ở lớp 8, lớp 9

dưới dạng đơn giản và được học nhiều ở bậc trung học phổ thông Dạng toán “ Giải phương

trình quy về phương trình bậc hai” được đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy

giáo viên rất khó khăn trong việc sưu tầm, tuyển chọn

Trong nhiều năm giảng dạy và công tác, bản thân tôi nhận thấy rằng những dạng toán khó nhưng rất hay trong chương trình toán trung học cơ sở rất nhiều , nhưng không có một tài liệu nào đưa ra phương pháp giải cụ thể các dạng toán này Là một giáo viên bộ môn toán và thường xuyên bồi dưỡng học sinh giỏi khối 8, 9 Bản thân tôi tự nhận thấy rằng: Cần có một tài liệu viết

về cách giải “phương trình quy về phương trình bậc hai” một cách đầy đủ và phù hợp với

chương trình toán trung học cở sở giúp thầy giáo, cô giáo và các em học sinh có tài liệu tham khảo giảng dạy và học tập

Từ suy nghĩ đó bản thân tôi đã tham khảo nhiều loại sách, đọc nhiều tài liệu, cùng với kiến

thức kinh nghiệm của bản thân, tuyển chọn một số dạng bài tập về “phương trình quy về

phương trình bậc hai” và phương pháp áp dụng cho từng dạng để viết thành đề tài “Một số phương pháp giải phương trình quy về phương trình bậc hai” trong phạm vi chương trình toán

trung học cơ sở, với mục đích là giúp giáo viên có tài liệu tham khảo bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 Học sinh sau khi học tài liệu trong cuốn sách này sẽ dễ dàng giải được các dạng toán về

phương trình quy về phương trình bậc hai mà các em sẽ gặp trong chương trình toán cấp 2,

nhằm giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn

Kiến thức trong tài liệu này từ thấp đến cao, từ đơn giãn đến phức tạp nên thầy, cô giáo và bạn đọc dễ dàng tiếp cận và nghiên cứu

B NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu khái niệm phương trình nói chung và phương trình quy về phương trình bậc hai nói riêng, qua đó hệ thống một số phương pháp giải phương trình bậc cao, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỉ và một số dạng khác, đồng thời chọn ra một số

hệ thống bài tập cho phần giải phương trình quy về phương trình bậc hai sử dụng cho việc bồi

dưỡng học sinh khá giỏi môn toán lớp 8, 9

C ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Học sinh khối 8, 9 trong trường THCS

D.PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên bản thân chỉ

nghiên cứu “Một số phương pháp giải phương trình quy về phương trình bậc hai” ở chương

trình toán THCS và chủ yếu trong chương trình đại số 8, đại số 9 và tài liệu tham khảo

E PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu lí thuyết về giải phương trình nói chung và giải phương trình quy về phương

trình bậc hai nói riêng thông qua phương pháp giảng dạy “giải bài tập toán”.

- Nghiên cứu về nội dung giảng dạy ở trường THCS thông qua sách giáo khoa, sách bài tập

và các tài liệu tham khảo dành cho học sinh khá giỏi

- Qua thực tế giảng dạy ở trường THCS và đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Đồng thời qua việc trao đổi, học hỏi bạn bè đồng nghiệp, các thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy

PHẦN THỨ HAI

A.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.Cơ sở lý luận và thực tiễn

Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin như hiện

nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triễn trong thời kì đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ và thách thức mới Để hòa nhập tiến độ

phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc ‘đào

tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là: Đổi mới

giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH 10 của quốc hội

Vì lẽ đó nên bài “ Phương trình quy về phương trình bậc hai” được đưa vào chương trình đại số lớp 9 cải cách giáo dục nhằm nâng cao kiến thức bộ môn

Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về phương trình quy về phương trình bậc hai của chương trình đại số lớp 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập do Bộ Giáo dục và Đào tạo phát hành còn đơn giản, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu của dạng toán này bởi trên thực tế bài tập về phương trình quy về phương trình bậc hai rất đa dạng và phong phú và là một loại toán khó của môn Đại số bậc THCS Khi dạy phần này nhất là đối với học sinh khá giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn vì thế mà nội dung giảng dạy chưa thống nhất Là giáo viên chúng ta mong muốn học sinh nắm vững kiến thức để giải từng dạng cụ thể của phương trình Song không phải dạng phương trình nào cũng có một qui tắc nhất định Qua quá trình giảng dạy, tham khảo đồng nghiệp và học hỏi các thầy cô, tôi mạnh dạn đưa ra một số phương pháp giải phương trình quy về phương trình bậc hai với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc phương trình quy về phương trình bậc hai dưới nhiều góc độ hơn và làm nhẹ nhàng quá trình giải phương trình cho học sinh

2 Khảo sát tình hình thực tế

Trong những năm gần đây thực hiện công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán cấp huyện, nhà trường đã phân công tôi đảm nhiệm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán khối 8, khối

9 Đây là một cơ hội rất tốt để tôi thực hiện đề tài này, phương trình quy về phương trình bậc hai

là một trong những dạng phương trình khó Trong quá trình giải toán học sinh còn rất lúng túng,

kể cả học sinh tham gia đội tuyển Trước khi bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã thực hiện việc khảo sát môn toán trên 30 học sinh của lớp 9A Kết quả như sau:

Học lực Giỏi Khá: Trung bình Yếu

Số

lượng

Đội tuyển học sinh giỏi môn toán do tôi phụ trách đầu tháng 9 gồm 3 học sinh, qua quá trình bồi dưỡng, chọn lọc trực tiếp tôi đã chọn ra được 2 em để tiếp tục bồi dưỡng cho các em trong năm học này

B NỘI DUNG

I KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

1.Khái niệm: Phương trình quy về phương trình bậc hai là phương trình chưa có dạng của

phương trình bậc hai Dùng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình về phương trình bậc hai

2 Các bước giải phương trình quy về phương trình bậc hai.

- Tìm ĐKXĐ của phương trình

- Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về phương trình bậc hai, bậc nhất

- Giải phương trình vừa tìm được

- Đối chiếu kết quả tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

1 Phương trình đại số bậc cao

Khái niệm: Phương trình đại số bậc n là các phương trình đưa được về dạng

anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + a0 = 0

trong đó n nguyên dương, x là ẩn, a1, a2, … an là các số thực cho trước, an 0

Phương pháp chung : Phương trình đại số bậc n thường được giải bằng cách quy về các phương

trình bậc nhất và bậc hai

Sau đây là một số phương pháp thường dùng để giải phương trình bậc cao hơn hai

Dạng 1: Đưa về phương trình tích.

Để giải phương trình đại số bậc cao ta biến đổi đưa phương trình về dạng tích của các phương trình bậc nhất và bậc hai sau đó giải phương trình tích

Kiến thức vận dụng:

+ Các hằng đẳng thức

+ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ( Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng

thức, nhóm các hạng tử, thêm, bớt cùng một hạng tử )

Ví dụ 1: Giải phương trình

x3 + 2x2 + 2 2x + 2 2 = 0 (1)

Giải

(1) x3 + 2x( x + 2 ) + 2 3 = 0

 ( x + 2)( x2 - x 2 + 2 ) + 2x(x + 2 ) = 0

 ( x + 2) 2 2 2 2 0







x

 x + 2 = 0 hoặc  2 2 2 2 0







x

+ Phương trình x + 2 = 0  x = - 2

+ Phương trình  2 2 2 2 0







x

 = 2  22  4 1 2  4  4 2  2  8   4 2  2<0 nên phương trình vô nghiệm

Tập nghiệm của phương trình là S =  2

Ví dụ 2: Giải phương trình : x4 + x2 + 6x - 8 = 0` (2)

Giải

(2)  x4 - x3 + x3 - x2 + 2x2 - 2x + 8x - 8 = 0

 x3.( x - 1 ) + x2.( x - 1 ) + 2x.( x -1 ) + 8.( x - 1 ) = 0

 ( x - 1 ).( x3 + x2 + 2x + 8 ) = 0

 ( x -1 ) (x3 + 2x2 - x2 - 2x + 4x + 8) = 0

 (x- 1 )  2 2  2 4 2  0











x x

 ( x - 1).(x + 2 ).(x2 - x + 4 ) = 0

 x -1 = 0 hoặc x + 2 = 0 hoặc x + 2 = 0 hoặc x2 - x + 4 =0

1) x -1 = 0x = 1

2) x + 2 = 0  x = - 2

3) x2 - x + 4 =0 phương trình vô nghiệm vì ( 1 ) 2 4 1 4 1 16 15















Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1  ; 2

Nhận xét: Hai ví dụ trên ta đã giải các phương trình bằng cách phân tích vế trái của phương

trình thành nhân tử để từ phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai mà chúng

ta đã biết cách giải

Dạng 2: Đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ thường được sử dụng để giải một số phương trình trùng phương,

phương trình đối xứng bậc 4, bậc 5

Phương trình trùng phương:

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng

ax4 + bx2 + c = 0 ( a 0)

Nhận xét: Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai, song có thể đưa nó về phương

trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ Chẳng hạn, nếu đặt x2 = t thì ta được phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0

Ví dụ 1: Giải phương trình 4.x4 + x2 - 5 = 0

Giải

+ Đặt x2 = t Điều kiện t  0 Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t

4t2 + t - 5 = 0 ( * )

Ta có : a + b + c = 4 + 1 + ( - 5 ) = 0

Phương trình ( * ) có hai nghiệm : t1 = 1; t2 =

-4 5

t1 = 1 thỏa mãn điều kiện t  0, t2 =

-4

5

không thỏa mãn điều kiện t  0

Với t = 1 ta có : x2 = 1 Suy ra x1 = 1, x2 = - 1

Tập nghiệm của phương trình là: S =1  ; 1

Nhận xét: Ta giải được tất cả các phương trình có dạng a.x2n + b.xn + c = 0

( a 0) ,nN*bằng cách đặt ẩn phụ xn = t Ta được một phương trình bậc

hai đối với ẩn t : at2 + bt + c = 0.Giải phương trình bậc hai với ẩn t sau đó tìm x

Chú ý: Ta chỉ đặt điều kiện t  0 khi n là số tự nhiên chẵn

Ví dụ 2: Giải phương trình x6 - 9x3 + 8 = 0

Giải

Đặt x3 = t Ta được một phương trình bậc hai đối với ẩn t:

t2 - 9t + 8 = 0

Ta có: a + b + c = 1 + (-9) + 8 = 0 Phương trình có hai nghiệm t1 = 1; t2 =8

Với t = t1 = 1, ta có: x3 = 1 x 1

Với t = t2 = 8, ta có: x3 = 8 x 2

Tập nghiệm của phương trình là: S =  1 ; 2

Phương trình đối xứng bậc bốn là phương trình có dạng :

a.x4 + bx3 + cx2 + bx+ a = 0 ( a 0)

Khi gặp các phương trình có dạng như trên, ta nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Để giải phương trình loại này, ta chia hai vế của phương trình cho x2 ( vì x 0 )

rồi đặt ẩn phụ y = x +

x

1

Ta có: a.x4 + bx3 + cx2 + bx+ a = 0  a x2 + bx + c +  2  0

x

a x b

 a 2 12 1  0



























x x b x

x

x1

Suy ra y2 = (x + 1) 2 2 12 2 2 2 4













x

x

Khi đó phương trình a.x4 + bx3 + cx2 + bx+ a = 0 ( a 0) có dạng

ay 2+ by + c - 2a = 0 Giải phương trình bậc hai với ẩn y , sau đó tìm x

Nếu m là nghiệm của phương trình đối xứng thì

m

1

cũng là nghiệm của phương trình đó

Ví dụ 3: Giải phương trình x4 - 4x3 - 6x2 - 4x + 1 = 0 (1)

Giải

Chia hai vế cho x2( hiển nhiên x 0 vì x = 0 không là nghiệm của ( 1 ) ) được

x 2 - 4x - 6 - 4 12

x

x = 0  x 2 + 12

x - 4(x +

x

1

) - 6 = 0 ( *) Đặt x +

x

1

= y suy ra y2 = (x + 1) 2 2 12 2 2 2 4













x

x

( ** )

thì x2 + 12

x = y 2 - 2.Phương trình ( * ) trở thành

y 2 - 2 - 4y - 6 = 0 y 2 - 4y - 8 = 0

Ta có: ' ( 2 ) 2 1 ( 8 ) 4 8 12 2 3





















Phương trình có hai nghiệm y1 = 2  2 3; y2 = 2-2 3

Với y = 2  2 3 thỏa mãn điều kiện y  2 , thay vào ( **) được phương trình : x +

x

1

=

3

2

2   x 2 - 2(1 + 3 )x 1  0

Ta có: ' 1 32 1 1 1 2 3 3 1 3 2 3 0























Phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 = 1+ 3+ 3  2 3; x2 = 1+ 3  3  2 3

Với y = 2  2 3không thỏa mãn điều kiện y  2

Kết luận:Phươngtrình đã cho có hai nghiệm x1  1  3  3  2 3 ;x2  1  3  3  2 3

- Phương trình đối xứng bậc lẻ ( chẳng hạn phương trình đối xứng bậc năm

a.x5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0) bao giờ cũng nhận - 1 là một nghiệm Do đó ta có thể hạ bậc

để đưa về phương trình đối xứng bậc chẵn

Ta có: a.x5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0

 ( x +1 ) 4   3   2    0

















x a

Khi đó ta giải một phương trình bậc nhất và một phương trình đối xứng bậc chẵn

- Cách chia hai vế của phương trình cho x2  0 cũng được sử dụng đối với các phương trình có dạng

a.x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 trong đó

2















b

d a

gọi là phương trình hồi quy Ẩn phụ có dạng y = x +

bx d

Khi đó phương trình a.x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 có dạng

ay 2 + by + c - 2  0

b

ad

Giải phương trình bậc hai với ẩn y , sau đó tìm x

Ví dụ 4:Giải phương trình

x5 - 2x4 + 3x3 + 3x2 - 2x+ 1 = 0 (2)

Giải

Phương trình ( 2) là một phương trình đối xứng bậc 5 nên phương trình nhận - 1 là một nghiệm của phương trình

( 2 )  (x5 + x4) - (3x4+3x3) + (6x3 +6x2) -(3x2 +3x) + ( x +1) =0

 x4(x + 1) - 3x3( x + 1) +6x2( x+1) - 3x( x + 1) +( x+1) = 0

 ( x+1)(x4 - 3x3+ 6x2 - 3x + 1) = 0

 x + 1 = 0 hoặc x4 - 3x3+ 6x2 - 3x + 1 = 0

1) x + 1 = 0  x = -1

2) x4 - 3x3+ 6x2 - 3x + 1 = 0 (*)

Giải phương trình ( *)

Chia hai vế cho x2( hiển nhiên x 0 vì x = 0 không là nghiệm của ( * ) ) ta được phương trình:

x2 - 3x + 6 -3 12

x











x

x x

x

2 2





x x

Khi đó phương trình (**) trở thành : y2 -2+6 - 3y = 0 y2 - 3y + 4 = 0(***)

Ta có:  (-3)2 - 4 1 4 = 9 -16 = -7 < 0 nên phương trình (***)vô nghiệm, suy ra phương trình (*) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là S =   1

Ví dụ 5: Giải phương trình

4( x + 5 )( x + 6 )( x + 10 )( x + 12 ) = 3x2 ( 3 )

Giải Cách 1: ( 3 ) 4 ( x2 + 17x + 60 )( x2 + 16x + 60 ) = 3x2

Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được phương trình:

4 17 60 16 60  3































x

x x

x ( * )

Đặt x + 16 + 60x = y thì ( * ) trở thành

4y( y + 1) = 3  4y2 + 4y - 3 = 0

Ta có : ' 2 2 4 ( 3 ) 4 12 16 4 2 0 ' 4























y1 =

2

1 4

2 4

4 2









; y2 =

2

3 4

6 4

4











Với y =

2

1

ta có x + 16 +60x =

2

1

 2x2 + 31x + 120 = 0 Giải phương trình ta được x1 = -8; x2 =

2

15

Với y =

-2

3

 ta có x + 16 + 60x =

2

3

  2x2 + 35x +120 = 0 Giải phương trình ta được x3=

4

19 4

16

35









; x4 =

4

51 4

16 35









Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là: S =





















4

51

; 4

19

; 2

15

; 8

Cách 2: Đặt x2 + 16,5x + 60 = y, từ phương trình đã cho ta có:

4.(y + 0,5x) ( y-0,5x) = 3.x2  4.( y2 - 0,25x2) = 3x2  4y2 -x2 = 3x2  y2 =x2

Xét hai trường hợp : y = x và y = -x

Trường hợp 1: y = x ta có: x2 + 16,5x + 60 = x x2 + 15,5x + 60 = 0

Giải phương trinh ta được x1 = - 8; x2 =

2

15



Trường hợp 2: y = - x ta có: x2 + 16,5x + 60 = - x x2 + 17,5x + 60 = 0

Giải phương trinh ta được x3=

4

19 4

16 35









; x4 =

4

51 4

16 35









Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là: S =





















4

51

; 4

19

; 2

15

; 8

Nhận xét:

- Phương trình ( 3 ) nói trên có dạng n( x + a )(x + b )( x + c )(x + d ) = mx2 trong đó

ad = bc Ta nhóm

n  xaxd   xbxc mx2

Ẩn phụ có thể đặt là y = x +

x

ad

( hoặc sai khác một hằng số như cách 1 ) hoặc y= x2 + abcd xad

2 (như cách 2 ) với n = m + 1 Đối với phương trình có dạng d(x + a ) ( x + b )( x + c ) = mx trong đó d =

2

c b

, m

= ( d -a )(d -b)(d- c), ta đặt ẩn phụ y = x + d Một nghiệm của phương trình là y = 0

- Đối với phương trình có dạng (x + a ) ( x + b )( x + c )( x + d) = m trong đó

a + d = b+ c ta nhóm

 xaxd   xbxc  m,

từ đó đi đến cách đặt ẩn phụ y = x2 + ( a + d )x

Khi đó phương trình  xaxd   xbxc m có dạng:

y 2 + (ad + bc )y + abcd - m = 0 Giải phương trình bậc hai với ẩn y, sau đó tìm x

- Đối với phương trình có dạng ( x + a )4 + ( x + b )4 = c ta thường đặt ẩn phụ

y = x +

2

b

a 

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: ( x + 2)4 + ( x + 4 )4 = 82

Giải

Đặt x + 3 = y ta có: ( y - 1 )4 + ( y + 1 )4 = 82

82 1 1

2 1

1

2 4 2

4 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2



















































y y y

y y

y y y

y

y y

y y

 4 10 0 4 0 0

40

4



















Ta có: y2 - 4 = 0 y2 = 4  y =  2

Với y = 2 thì x + 3 = 2  x = -1

Với y = - 2 thì x + 3 = -2 x = - 5

Tập nghiệm của phương trình là S =  1  ; 5

Dạng 3: Đưa hai vế về lũy thừa cùng bậc

Phương pháp giải: Biến đổi hai vế của phương trình, đưa hai vế của phương trình về lũy thừa

cùng bậc sau đó giải các phương trình mới được suy ra

Ví dụ 7: Giải phương trình x4 = 24x + 32

Giải

Thêm 4x2 + 4 vào hai vế được

x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x +36

 ( x2 + 2 )2 = ( 2x + 6 )2 























(**) 6 2 2

(*) 6 2 2

2

2

x x

x x

Giải phương trình (*) : (*) x2 - 2x - 4 = 0

’ =1+ 4 = 5 >0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1,2 = 1 5

Giải phương trình (**): ( ** ) x2+ 2x + 8 = 0

’ = 1 – 8 = -7 <0 Phương trình vô nghiệm

Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 1+ 5; x2 = 1 - 5

Ví dụ 8: Giải phương trình

x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0

Giải

x3 = - 3x2 + 3x -1 2x3 = x3 - 3x + 3x - 1

 (x3 2 ) 3 x 13 x3 3

2 1

1 1

2









Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm 3

2 1

1





x

Dạng 4: Dùng bất đẳng thức

a) Dùng tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số trên từng khoảng

Ví dụ 9 : Giải phương trình

x 85  x 96  1 ( 7 )

Giải

Viết phương trình dưới dạng

x 85  9  x6  1

Dễ thấy x = 8, x = 9 đều là nghiệm của phương trình ( 7) Xét các giá trị còn lại của x

- Với x < 8 thì 9  x > 1, 9  x 6 > 1, còn x 8 5 > 0 nên vế trái của ( 7) lớn hơn 1, ( 7 ) vô nghiệm

- Với x > 9 thì x 8 > 1, x 8 5 >1, còn 9  x 6 > 0 nên vế trái của ( 7 ) lớn hơn 1, ( 7) vô nghiệm

- Với 8 < x < 9 thì

0 < x - 8 < 1 x 85  x 8 x 8

0 < 9 - x <1  9  x6  9  x  9  x

Vế trái của ( 7 ) nhỏ hơn x - 8 + 9 - x =1 , ( 7 ) vô nghiệm

Vậy ( 7 ) có hai nghiệm : x = 8, x = 9

b) Dùng điều kiện xảy ra dấu “ =” ở bất đẳng thức không chặt

Ví dụ 10 : Giải phương trình

2 1 2 2 3











x (8)

Giải

Ta có x2 – x + 1 =

2

2

1















4

3

> 0 nên ( 8 )  x2 – x + 1+ 2  x2 x  3  2  x2 x  2  x2+x

áp dụng bất đẳng thức A  A, xảy ra đẳng thức với A 0, ta có

2 – x2 + x   0 ( x + 1 )( x – 2 )  0   1 x 2

Vậy nghiệm của phương trình là các giá trị x thỏa mãn  1 x 2

2 Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định ( ĐKXĐ) của phương trình;

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu thức;

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được;

Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ, Các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ đặc biệt có hiệu quả khi giải nhiều phương trình chứa ẩn ở

mẫu thức Trong một số trường hợp nếu không đặt ẩn phụ, sau khi đưa về dạng nguyên, nhiều khi ta phải giải các phương trình bậc cao khá phức tạp Sau đây là một số cách giải thường dùng

Dạng 1: Chia tử và mẫu của phân thức cho x

Ví dụ 1: Giải phương trình

1

2 5 3

7 2

3

2

2









x x

x x

Giải

ĐKXĐ của phương trình là: x

3

2 ,



 x Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình Chia tử và mẫu của mỗi phân thức cho x  0 ta được phương trình:

2 1

5 3

7 2

1 3

2













x

x x

Đặt 3x + 2 +

x

2

= y ( * ), phương trình trở thành 1

3

7 3

2







Điều kiện y   3

Ta có phương trình y2 + 5y – 36 = 0 Giải phương trình ta được y1 = 4; y2 = - 9

Với y1 = 4 thay vào ( * ) ta được phương trình : 3x2 – 2x + 2 = 0 Phương trình vô nghiệm vì '

 = 1- 3.2 = -5 < 0

Với y2 = - 9 thay vào phương trình ( * ) ta được phương trình 3x2 + 11x + 2 = 0

Giải phương trình ta được

6

97 11

; 6

97 11

2 1











Tập nghiệm của phương trình là: S =











6

97 11

; 6

97 11

Nhận xét:Ta thường dùng phương pháp trên đối với các phương trình có dạng sau:

d cx x a

nx d

bx

x

a

mx











.

.

.

.

2

2 2

2





















c qx x a

c px x a c nx

x

a

c mx

x

a

.

.

.

2 2

2

















c qx x a

x p c

nx

x

a

c mx

x

a

Dạng 2: Thêm cùng một biểu thức vào hai vế để tạo thành bình phương đúng

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

x 2 +

 2 12.

4

2

2





x x

Giải

Điều kiện: x   2 Thêm -2.x

2

2



x

x

vào hai vế ta được

0 12 2

4 2

2

4 12 2















































x

x x

x x

x x

x

x

x

x



 2

2

, ta được phương trình y2 + 4y – 12 = 0 Giải phương trình ta được y1 = 2 ; y2 = -6 Với y1 = 2 ta được x2 = 2x + 4 Giải phương trình ta được x1,2 = 1 5

Với y2 = - 6 ta được x2 = -6x – 12 x2  6x 12  0, Phương trình vô nghiệm vì

0 3 12 9 12

.

1

3 2

'















Dạng 3: Đặt ẩn phụ rồi tìm liên hệ giữa chúng

Ví dụ 3: Giải phương trình

1

4 48 1

2 5 1

2

2 2

2











































x

x x

x x

x

Giải

Điều kiện x  1 Đặt z

x

x y x

x













1

2 , 1

2

, ta được 20y2 – 5z2 + 48yz = 0 ( * )

Cách 1: Nếu z = 0 thì y = 0, loại.

Nếu z 0 , chia hai vế của ( * ) cho z2 được

20 48 5 0

2



















z

y z

y

Đặt a

z

y

 , ta được phương trình : 20a2 + 48a – 5 = 0 Giải phương trình ta được:

a =

2

5 ,

10

1





Với a =

10

1

z

y

10 10

1







1

2 10 1

2













x

x x

x

.Giải phương trình ta tìm được x = 3, x=

3

2

Với a =

2

5

 thì

1

2 2

5 1

2

2

5 2

5

























x

x x

x z y

z

y

.Quy đồng và khử mẫu hai vế của phương trình ta được : 7x2+ 9x + 14 = 0 Phương trình vô nghiệm vì <0

Tập nghiệm của phương trình là S =











 3

2 , 3

Cách 2: ( * ) (10y – z )( 2y + 5z ) = 0 Từ đó suy ra z = 10y , z =

5

2y



Xét hai trường hợp ta cũng tìm được x = 3, x=

3

2

3 Phương trình vô tỉ.

a Định nghĩa: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn số trong dấu căn thức

b.Các bước giải phương trình vô tỉ:

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình

+ Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học

+ Giải phương trình vừa tìm được

+ Đối chiếu kết quả tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình