Khai thác một số dạng toán ôn thi học sinh giỏi toán 9 từ một tính chất quen thuộc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TỐN ƠN THI HỌC SINH GIỎI TỐN TỪ MỘT TÍNH CHẤT QUEN THUỘC Người thực hiện: Lê Văn Tu Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Thánh Tơng SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2019 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong giảng dạy mơn Tốn, ngồi việc giúp HS nắm kiến thức bản, việc phát huy tính tích cực HS thơng qua việc khai thác thêm toán từ tốn điển hình bản, đồng thời biết ứng dụng toán đơn giản vào việc giải toán phức tạp điều cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Chúng ta biết tốn dù có khó, phức tạp đến đâu lời giải đưa chuỗi hữu hạn bước suy luận đơn giản, việc giải tốn phức tạp đưa việc áp dụng, tiền đề toán Nên việc thường xuyên ứng dụng, khai thác toán đơn giản để giải tốn khó cách nâng cao dần khả suy luận, tư sâu cho HS Qua số năm giảng dạy, học hỏi đồng nghiệp với kinh nghiệm thân giúp học sinh khai thác, ứng dụng nhiều tốn, sở tơi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác số dạng tốn ơn thi học sinh giỏi Tốn từ tính chất quen thuộc” Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, đưa số tập đặc trưng cho dạng, giúp học sinh nắm bắt dạng tập này, có kỹ giải tập dễ dàng 1.2 Mục đích nghiên cứu Với sáng kiến kinh nghiệm "Khai thác số dạng tốn ơn thi học sinh giỏi Tốn từ tính chất quen thuộc", tơi mong muốn giúp em đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp trước hết nắm vững cách chứng minh tính chất quen thuộc là: “Với số tự nhiên x, x số hữu tỉ x số tự nhiên” (*) Sau em biết vận dụng tính chất vào khai thác số dạng tốn ơn thi học sinh giỏi Từ em giải số toán thi đề thi học sinh giỏi Cũng qua sáng kiến kinh nghiệm này, muốn em thấy đằng sau tính chất quen thuộc tưởng chừng đơn giản khô khan điều mẻ, khám phá bổ ích lý thú Từ khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7, lớp 9, thi vào trường chuyên toàn quốc ta thường xuyên bắt gặp thi khai thác từ đẳng thức (*) Tuy nhiên, khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tơi đưa số dạng tốn khai thác từ tính chất (*), hệ thống dạng tập định hướng giải cho dạng Với dạng tập tơi trình bày theo mức độ từ dễ đến khó Từ giúp học sinh đội tuyển học sinh giỏi Tốn sử dụng tài liệu cách hiệu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Xây dựng đề tài sử dụng phương pháp: - Phương pháp phân tích tổng hợp lí thuyết - Phương pháp thực nghiệm khoa học - Phương pháp điều tra - Phương pháp quan sát - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Gọi A, B biểu thức chứa biến x, :  B≥0 2.1.1 A = B ⇔  A = B A = 2.1.2 A + B = ⇔  B = C 2.1.3 AB = C ⇔ A = B ≠ B 2.1.4 Nếu a, b, c số nguyên khác ab = c a ∈U (c ); b ∈U (c) 2.1.5 AB = ⇔ A = B = 2.1.6 Nếu UCLN (m, n) = mMn m Mn n = 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Như biết, công tác dạy học việc quan tâm đến chất lượng đại trà, cần phải trọng đến chất lượng học sinh mũi nhọn, cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán quan trọng Muốn nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi giáo viên việc phải phân loại chuyên đề dạng tốn cho chun đề khai thác toán để giải tốn khó việc làm cần thiết để giúp em nâng cao dần khả suy luận, tư sâu Tuy nhiên, thời gian đầu ơn thi học sinh giỏi Tốn 7, 8, 9,các tập tơi cung cấp cho học sinh chưa có hệ thống, chưa có khai thác, liên hệ Vì học sinh làm tập, thi mà có liên quan em thường tỏ lúng túng, nhiều em không định hướng cách giải Chính vậy,các em chưa thực say mê học tập chưa thấy điều thú vị ẩn sau toán quen thuộc Sau vài năm, thân tơi có nhiều kinh nghiệm công tác bồi dưỡng HSG, nghĩ phải làm để kiến thức truyền đạt đến học sinh phải hệ thống thành chủ đề, giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ, đặc biệt giúp em thấy mối liên hệ kiến thức để kích thích tìm tòi, sáng tạo Do tơi hình thành nội dung sáng kiến kinh nghiệm hôm xin chia sẻ đồng nghiệp Ta biết tính chất quen thuộc với học sinh là: “Với số tự nhiên x, x số hữu tỉ x số tự nhiên” (*) Khi ơn đội tuyển HSG Tốn tơi có đưa cho HS làm tốn sau 30 phút: a) Tìm số tự nhiên x cho biểu thức ( b) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn : ( ) x −1 )( x −1 x −2 có giá trị số nguyên ) y +2 =4 c) Tìm tất ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c độ dài ba 19 79 + + cạnh tam giác số tự nhiên lẻ a+b−c b+c−a c+ a −b khác Hãy nhận dạng tam giác Thì tơi thấy đa số em lúng túng, chưa đưa lời giải mong muốn Cụ thể là: Điểm Sĩ số – 10 8–9 7–8 6–7 5–6 ( Không thỏa mãn ) - Nếu k ≥ 7k + 10k − 416k − > 7.43.k + 10.4.k − 416k − = 72k − > ( Không thỏa mãn ) - Xét trường hợp : k ∈ { 0;1;2;3} , thử trực tiếp ta k = thỏa mãn Khi a = 3, b = , suy : x = 9, y = Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + 17 y = 155 Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy − x − y + = x + y + 100 = xy Bài 4: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x−2 y x − y = ( ) ( ) x +1 11 Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x3 + x + x + = y Dạng 4: Chứng minh x số vô ti : - Ta biết rằng, với số thực a a số hữu tỉ a số vơ tỉ Theo tính chất (*), với x số tự nhiên mà x số hữu tỉ x số tự nhiên Nhưng x số tự nhiên x số phương Điều làm ta nghỉ tới tính chất “ Nếu x số tự nhiên số phương x số vơ tỉ ” Như : Để chứng minh x số vô tỉ ta chỉ cần chứng minh x số phương Dưới số ví dụ Ví dụ 4.1: Chứng minh số vơ tỉ: Hướng dẫn giải: a Giả sử số hữu tỉ Khi đó, ta đặt : = , với b a (a, b ∈ N * , UCLN (a, b) = 1) Suy : = ⇔ a = 3b ⇒ a M b2 ⇒ b = b ( UCLN (a, b) = ) ⇒ a = ( vơ lí ) Vậy số vơ tỉ Ví dụ 4.2: Chứng minh n + số vô tỉ với số nguyên n Hướng dẫn giải: - Giả sử n + số hữu tỉ Khi đó, n + số tự nhiên - Đặt n + = k (k ∈ Z + ) ⇔ n + = k ⇔ (k − n )(k + n) = (1) Vì (k − n) + (k + n) = 2k M2 nên k – n, k + n hai số tính chẵn lẻ Nhưng vế phải (1) số chẵn nên k – n, k + n hai số chẵn Điều náy vơ lí Vậy n + số vơ tỉ Ví dụ 4.3:Chứng minh n3 + 3n + 2n + số vô tỉ với số tự nhiên n Hướng dẫn giải: - Ta có : n + 3n + 2n + = n( n + 1)( n + 2) + - Vì tích ba số tự nhiên n(n + 1)(n + 2) chia hết n3 + 3n + 2n + Chia cho dư - Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh số phương chia cho chỉ có dư Suy n3 + 3n + 2n + không số phương Vậy n3 + 3n + 2n + số vơ tỉ Ví dụ 4.4: Tìm số tự nhiên n cho n + số vô tỉ Hướng dẫn giải: - Trước hết ta tìm giá trị n để n + số hữu tỉ - Giả sử n + số hữu tỉ Khi đó, n + số tự nhiên 12 - Đặt n + = k (k ∈ Z + ) ⇔ n + = k ⇔ (k − n)(k + n ) = Suy k - n ước nguyên Ta có bảng giá trị tương ứng n – k, n + k n, k k −n -9 -3 -1 k+n -1 -3 -9 n k -5 -3 -5 ( loại) ( loại) ( loại) ( thỏa mãn) ( thỏa mãn) - Từ bảng giá trị tương ứng suy : Vậy để n + số vơ tỉ n ∉ { −4;0;4} -4 ( thỏa mãn) n + ∈ Q ⇔ n ∈ { −4;0;4} Ví dụ 4.5: Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : x + = y + z (1) Hướng dẫn giải: Ta có : x + = y + z ⇔ x + = y + z + yz ⇔ yz = ( x − y − z ) + ⇔ yz = ( x − y − z ) + ( x − y − z ) + 12 ⇔ ( x − y − z ) = yz − ( x − y − z ) − 12 - Nếu x − y − z ≠ thì (2) yz − ( x − y − z ) − 12 3= ∈Q 4( x − y − z )  - Nếu x − y − z = thì (1) ⇔  ( Vơ lí) x− y−z=0  x= y+z ⇔ − 12 =  yz = (3) 4 yz − ( x − y − z ) Vì y, z ∈ Z + nên từ (3) suy : y ∈ { 1;3} Ta có bảng giá trị tương tứng : y z = 3: y x= y+z 4 Vậy số nguyên dương x, y, z cần tìm ( x, y, z ) = (4;1;3) ; ( x, y, z ) = (4;3;1) Ví dụ 4.6: Tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện: a −b số hữu tỉ a + b + c số nguyên tố b−c Hướng dẫn giải: Ta có : ( )( ) a −b b+c a −b ab − 5bc + (ac − b ) ab − 5bc (ac − b ) = = = + b−c b − 5c b − 5c b − 5c b − 5c a −b Suy : số hữu tỉ chỉ ac − b = ⇔ b = ac b−c 13 ( ) ( ) ⇔ a + b + c = a + 2b + c − b = a + 2ac + c − b = ( a + c ) − b 2 ⇔ a2 + b2 + c2 = ( a + c + b ) ( a + c − b ) Mặt khác, a + c + b > a + c − b nên a + b + c số nguyên tố : a + c − b =1 (1)   2 a + b + c = a + c + b (2) Do x, y, z số nguyên dương nên a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ ⇔ a ≥ a, b ≥ b, c ≥ c (3) Từ (2) (3) suy : a = b = c = ( thỏa mãn (1)) Vậy số nguyên dương a, b, c cần tìm a = b = c = Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh số vô tỉ: Bài 2: Chứng minh 4n + số vô tỉ với số nguyên n Bài 3: Chứng minh n3 − n + số vô tỉ với số tự nhiên n Bài 4: Tìm số tự nhiên n cho n + số vô tỉ x + = y + z (1) Bài 6: Tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện: a −b số hữu tỉ a + b + c số nguyên tố b−c Bài 7: Với giá trị a số a + 15 − 15 số a nguyên Dạng 5: Giải toán có chứa x , với x số hữu ti: - Từ điều kiện của biến x là số tự nhiên ta nghỉ đến điều kiện x là số hữu tỉ Theo đó ta cũng nghỉ đến các trường hợp vế trái là một biểu thức chứa nhiều dấu thức Trước hết ta có tính chất “ Nếu x là số hữu tỉ và x cũng Bài 5: Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn : a2 là số hữu tỉ thì x viết được dưới dạng x = với a, b hai số nguyên tố cùng b ” (**) Ví dụ 5.1: Cho x, y hai số hữu tỉ Chứng minh x + y số hữu tỉ x , y số hữu tỉ - Trường hợp 1: Hướng dẫn giải: x + y = ⇔ x = y = Suy - Trường hợp 2: x + y ≠ Đặt k = x + y (k ∈ Q, k ≥ x , k ≥ k− x = y ⇔ k − 2k x + x = y ⇔ x = x= y = 0∈Q y ) , suy : k2 + x − y ∈Q 2k 14 Tương tự : y= k2 + y − x ∈Q 2k Ví dụ 5.2: Cho x, y, z hai số hữu tỉ Chứng minh x , y , z số hữu tỉ Hướng dẫn giải: - Trường hợp 1: x + y + z = ⇔ x = y = z = ⇒ x = x + y + z số hữu tỉ - Trường hợp 2: y = z = 0∈Q x + y + z ≠ Đặt k = x + y + z (k ∈ Q, k ≥ x , k ≥ y , k ≥ z ) , suy : k− x = yz k2 + x − y − z y + z ⇔ k − 2k x + x = y + z + yz ⇔ x = + 2k k k2 + x − y − z ∈Q 2k k2 + x − y − z m = = ⇔ −k x = yz ⇔ x = y = 0, z = k ≠ - Trường hợp 1: 2k x = z = 0, y = k ≠ z = y = 0, x = k ≠ Ta có x ∈ Q, y ∈ Q, z ∈ Q Đặt : m = k2 + x − y − z yz yz 2m yz ≠ suy : x = m + ⇔ x = m2 + + 2k k k k yz   k  x − m2 − ÷ yz ⇒ x = m+ ∈Q k   yz = ∈Q k 2m - Trường hợp 2: m = ⇔ Chứng minh tương tự, ta có y ∈ Q, z ∈ Q Ví dụ 5.3: Tìm tất ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c độ 19 79 dài ba cạnh tam giác + + số tự a+b−c b+c−a c+ a −b nhiên lẻ khác Hướng dẫn giải: - Vì a, b, c ∈ Z + độ dài ba cạnh tam giác nên : a + b − c > , 19 79 , , số hữu tỉ a +b−c b+c −a c + a −b 19 79 + + - Vì số tự nhiên ( hiển nhiên số hữu tỉ) a+b−c b+c−a c + a −b 19 79 , , nên theo ví dụ 5.2 suy : số hữu tỉ a+b−c b+c−a c + a −b 19 - Vì nên theo tính chất (**) suy : a+b−c b + c − a > 0, c + a − b > 15 19 m2 = (m, n ∈ N * ,UCLN (m, n) = 1) ⇒ a + b − c = 19k ( 19 số nguyên a+b−c n 19 19 = 2⇒ = (k ∈ Z + ) tố ) ⇒ a+b−c k a+b−c k 79 = ( p ∈ Z+ ) , = (q ∈ Z + ) Suy : Tương tự : b+c−a p c+ a −b q 19 79 1 + + = + + (1) a+b−c b+c−a c + a −b k p q 1 1 1 Mặt khác : + + ≤ + + = ( k , p, q ∈ Z + ), suy : k p q 1 19 79 + + ≤ mà a+b−c b+c−a c + a −b 19 79 + + a+b−c b+c−a c + a −b số tự nhiên lẻ khác Suy : 19 79 + + = ⇔ k = p = q =1 a+b−c b+c−a c + a −b 19 79 = 1, = 1, =1 a+b−c b+c−a c + a −b  a + b − c = 19 a = 49   ⇔  b + c − a = ⇔  b = 12 c + a − b = 79  c = 42   Vậy có ba số nguyên dương (a, b, c) = (49, 12, 42) thỏa mãn Ví dụ 5.4: Cho x, y số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức : ( x + y ) = xy (3x + y + 2) Chứng minh − xy số hữu tỉ Hướng dẫn giải: ( x + y)  x2 y  x2 y = xy (3x + y + 2) ⇔ x + y = xy ⇔ + =2⇔ + ÷ =4 y x y x    x2 y  x4 y4 x4 y ⇔ + + xy = ⇔ + − xy = − xy ⇔  − ÷ = 4(1 − xy ) x  y x y x  y x2 y ⇔ − xy = − ∈Q y x Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho x, y hai số hữu tỉ Chứng minh x + y số hữu tỉ x , y số hữu tỉ 16 Bài 2: Cho x, y, z hai số hữu tỉ Chứng minh x +2 y + z số hữu tỉ x , y , z số hữu tỉ Bài 3: Tìm tất ba số nguyên dương (a,b,c) thỏa mãn a, b, c độ dài ba 17 13 29 cạnh tam giác + + =3 a+b−c b+c−a c+ a −b Bài 4: Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : 53 101 + = x − 2018 2019 − y  xy +  Bài 5: Cho x, y số hữu tỉ thỏa mãn : x + y +  ÷ = Chứng minh x + y   + xy số hữu tỉ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau nhiều năm ôn thi học sinh giỏi cấp huyện,sau năm tơi lại tích luỹ thêm tập lí thú phần Từ tốn quen thuộc, giúp học sinh hệ thống dạng tập thường gặp đề thi, củng cố phương pháp giải dạng tập Các em thấy liên quan, khai thác vô thú vị ẩn sau tốn mà em học Đây nội dung tạo hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư linh hoạt cho học sinh, với học sinh giỏi Sau truyền đạt nội dung tới học sinh, học sinh dạy ghi nhớ kiến thức phương pháp giải tốt Mỗi gặp tập dạng em tự tin vận dụng kiến thức mà lĩnh hội Qua năm bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh tơi thi có nhiều em đạt giải cao, có nhiều giải nhất, giải nhì Kết giúp tơi khẳng định sáng kiến kinh nghiệm thực đem lại hiệu việc bồi dưỡng HSG Trong năm nay, sau dạy cho HS em gặp toán tương tự đề thi đa số em làm tốt, điều thể qua kiểm tra khảo sát: Sĩ số Điểm 7-8 - 10 8-9 6-7 5-6