Một số kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi lớp 11, chủ đề ‘‘ tìm giới hạn dãy số

MỤC LỤC Nội dung I- MỞ ĐẦU Tran g Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II- NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Thuận lợi 2.2 Khó khăn Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Giải pháp 1: Tính giới hạn dãy số cách tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số 3.2 Giải pháp 2: Tính giới hạn dãy số cơng thức 3.3 Giải pháp 3: Tính giới hạn dãy số nguyên lý kẹp 13 Bài tập tham khảo 15 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 17 III- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17 Tài liệu tham khảo 18 I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số giới hạn dãy số phần mở đầu mơn giải tích, đóng vai trị quan trọng môn học người học Bài tốn tính giới hạn dãy số thường xun xuất kì thi olimpic Tốn, kì thi học sinh giỏi quốc gia thi học sinh giỏi cấp tỉnh Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu giải tích tốn học Các dạng toán liên quan đến nội dung thường khó học sinh THPT khơng chun, em học sinh không định hướng chưa nắm cách thức để giải tốn tính giới hạn dãy số, đặc biệt toán kì thi học sinh giỏi Qua thực tế giảng dạy chương trình mơn tốn lớp 11 năm qua, việc ôn luyện trực tiếp cho đội tuyển học sinh giỏi mơn tốn lớp 11, tơi nhận thấy phần lớn em học sinh làm toán đơn giản giới hạn dãy số, cịn tốn dãy số nằm đề thi học sinh giỏi cấp em học sinh không làm làm chưa hoàn chỉnh câu Xuất phát từ lý chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi lớp 11, chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’ Qua nội dung toán đề tài nhằm giúp em học sinh giỏi lớp 11 khơng chun có thêm kiến thức, kĩ giải số toán tính giới hạn dãy số nhằm đáp ứng cho việc học ôn thi học sinh giỏi môn toán lớp 11 Nhiệm vụ đề tài + Nắm định nghĩa dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn, định lý tồn giới hạn dãy số, nguyên lý kẹp để tìm giới hạn dãy số + Nắm cấp số cộng, cấp số nhân tính chất để tìm cơng thức số hạng tổng qt phục vụ cho việc tính giới hạn dãy số + Nắm vững số công thức biết tính tổng tích dãy số hữu hạn có quy luật Đối tượng nghiên cứu Các em học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 trường THPT n Định Phạm vi nghiên cứu Chỉ xét tốn tính giới hạn số dãy số có quy luật dãy số cho hệ thức truy hồi tuyến tính mà học sinh học chương trình mơn tốn lớp 11 dãy số dùng định lý kẹp để giải Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề liên quan đến đề tài + Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng để nắm bắt mặt hạn chế, sai lầm thường gặp học sinh giỏi lớp 11 THPT q trình học chun đề tính giới hạn dãy số + Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm đối chứng số lớp học cụ thể để xem xét tính khả thi hiệu biện pháp Kết thực nghiệm sư phạm xử lý phương pháp thống kê toán học khoa học giáo dục II NỘI DUNG Cơ sở lý luận 1.1 Định nghĩa dãy số: ¥* Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương gọi dãy số vô hạn ( hay gọi tắt dãy số ) ( un ) Người ta thường kí hiệu dãy số u = u(n) 1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm ( un ) un+1 > un , ∀n ∈ ¥ * + Dãy số gọi dãy số tăng ( un ) un+1 < un , ∀n ∈ ¥ * + Dãy số gọi dãy số giảm 1.3 Dãy số bị chặn ( un ) + Dãy số gọi bị chặn tồn M cho un ≤ M , ∀n ∈ ¥ * + Dãy số + Dãy số ( un ) gọi bị chặn tồn m cho un ≥ m, ∀n ∈ ¥ * (u ) n gọi bị chặn tồn m M cho m ≤ un ≤ M , ∀n ∈ ¥ * 1.4 Cấp số cộng 1.4.1 Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước số d khơng đổi, nghĩa ( un ) ⇔ ∀n ≥ 2, un = un−1 + d cấp số cộng Số d gọi công sai cấp số cộng u1 1.4.2 Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng có số hạng đầu ( un ) cơng sai d số hạng tổng quát xác định theo công thức sau: un = u1 + ( n −1) d , ∀ n ≥ (u ) n 1.4 Tổng n số hạng cấp số cộng: Giả sử Sn cấp số cộng Với số nguyên dương n, gọi tổng n số hạng n(u1 + un ) Sn = u1 + u2 + + un = Khi đó, ta có: 1.5 Cấp số nhân 1.5.1 Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số ( hữu hạn hay vơ hạn ) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước số q không đổi, nghĩa là: ( un ) ⇔ ∀n ≥ 2, un = un −1.q cấp số nhân Số q gọi công bội cấp số nhân u1 1.5.2 Số hạng tổng quát: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu cơng q≠0 un bội số hạng tổng qt xác định theo cơng thức sau: n −1 un = u1.q , ∀ n ≥ (u ) n 1.5.3 Tổng n số hạng cấp số nhân: Giả sử q ≠1 Sn cấp số nhân với cơng bội tổng n số hạng tính theo cơng thức: u1 ( − q n ) S n = u1 + u2 + + un = 1− q 1.6 Phương trình sai phân tuyến tính đơn giản 1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một: Phương trình sai phân ax n +1 + bxn = f n , a ≠ tuyến tính cấp có dạng 1.6.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai: Phương trình sai phân ax n + + bxn +1 + cxn = f n , a ≠ tuyến tính cấp hai có dạng 1.7 Ngun lý kẹp Cho ba dãy số (u ) (v ) n ; n (w ) n thỏa mãn ≤ un ≤ w n , ∀ n Nếu lim = lim w n = L lim un = L 1.8 Định lý tồn giới hạn dãy số Định lý: Một dãy số tăng ( giảm ) bị chặn ( ) có giới hạn 1.9 Phương pháp quy nạp tốn học n∈¥* Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên với n mà khơng thể thử trực tiếp làm sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = n = k ≥1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên ( gọi giả thiết quy nạp ), chứng minh với n = k + Đó phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt phương pháp quy nạp Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Thuận lợi: Trong năm gần công tác bồi dưỡng cho học sinh giỏi khối 11 nhà trường BGH quan tâm Chất lượng học sinh nâng cao, đa số em có ý thức học tập, thầy cô tổ tốn hăng say nhiệt tình vấn đề ơn luyện cho đội tuyển học sinh giỏi 2.2 Khó khăn: Tuy chất đội tuyển nâng cao, em học sinh cịn có khoảng cách định, kiến thức phần giới hạn dãy số trình bày sách giáo khoa kiến thức bản, tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên chuyên đề giới hạn dãy số không nhiều Tuy nhiên tốn tính giới hạn dãy số kì thi học sinh giỏi cấp lại khó đa dạng, cần vận dụng nhiều kiến thức, nhiều kĩ giải tốn Được tổ Tốn trường THPT n Định trực tiếp phân công dạy chuyên đề giới hạn dãy số cho đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11, nhận thấy em học sinh gặp nhiều khó khăn việc giải tốn tính giới hạn dãy số Vì thông qua đề tài mong phần giúp em học sinh giải thành thạo tốn tính giới hạn dãy số, đặc biệt toán giới hạn dãy số đề thi học sinh giỏi cấp Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 3.1 Giải pháp 1: Tính giới hạn dãy số cách tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức tính tổng n số hạng cấp số cộng, cấp số nhân, sử dụng cách giải số phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp để tìm cơng thức số hạng tổng quát, từ suy giới hạn dãy số cần tính + Dùng cấp số cộng cấp số nhân: Bài 1: Cho dãy (u ) n xác định sau: u1 = 2005; u2 = 2006  un ( un −1 + un +1 ) = 2un−1.un +1 , n = 2,3, lim un Tìm n →+∞ 1 = + , ∀n = 2,3, un un −1 un +1 Giải : Từ điều kiện đề suy 1  ÷ d = −  un  2005.2006 cấp số cộng với cơng sai Do dãy ⇒ 2007 − n 2005.2006 = ⇒ un = un 2005.2006 2007 − n lim un = Vậy n →+∞ Bài 2: Cho dãy (u ) n xác định sau: Hãy tìm số hạng tổng quát un u1 = 2; u2 =  un +1 = 3un − 2un−1 , n = 2,3, lim tính giới hạn un 2n un Giải : Mấu chốt tốn tìm số hạng tổng quát un+1 = 3un − 2un−1 ⇔ un +1 − un = 2(un − un−1 ) n≥2 Ta có (2) với = un +1 − un = 2vn−1 n≥2 Đặt Khi từ (2) ta có với (vn ) v1 = u2 − u1 =1 Như lập thành cấp số nhân với q=2 un = (un − un−1 ) + (un −1 − un−2 ) + + (u2 − u1 ) + u1 = vn−1 + vn− + + v1 + Ta có: v1 ( q n −1 − 1) + = 2n−1 + q −1 = Hay un = n −1 +1 lim Vậy Bài 3: Cho dãy số (u ) n un = 2n xác định sau: lim un u1 = 1; u2 =  un +1 − 2un + un−1 = 1, n = 2,3, 2un n2 Hãy tìm số hạng tổng quát tính giới hạn Giải: (un +1 − un ) − (un − un −1 ) = n≥2 Từ giả thiết ta có: (3) với = un − un −1 vn+1 = + n≥2 Đặt Khi từ (3) ta có với v2 = u2 − u1 = ⇒ ( ) lập thành cấp số cộng với công sai d=1 Ta có: un = (un − un −1 ) + (un −1 − un −2 ) + + (u2 − u1 ) + u1 = + −1 + + v2 + ( n − 1) ( v = + ) Hay n2 − n + un = n2 − n + +1= lim 2un =1 n2 Bài 4: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2016 ) Cho dãy số u1 =  3 n+4   u = u − n +  n ÷ , n = 1,2,  2 n + 3n +   (u ) n xác định bởi: Tìm cơng thức số hạng tổng quát tính giới hạn dãy số Giải: Từ giả thiết ta có:   n+4   2un +1 =  un − − ÷⇔ 2un +1 =  un + ÷ n + n +1 ( n + 1) ( n + )    (u ) n với n ≥1     ⇔  un +1 − ÷ =  un − ÷ n+2  n +1  (4) = un − Đặt n +1 Khi từ (4) ta có vn+1 = với q= v1 = − ( v ) ⇒ n 2 lập thành cấp số nhân với n −1 Ta có: n ≥1 n −1 3 3  1 =  ÷  − ÷⇒ un = −  ÷ n +1   2  2 Vậy Bài 5: ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2017 ) Cho dãy số u1 =  2(n + 1)un+1 2−n  u = + , ∀n ≥ n 2  n ( n + n + 1) +  un lim un = − ∞ (u ) n xác định bởi: (u ) n Tìm cơng thức số hạng tổng qt tính giới hạn dãy số Giải: Ta có 2(n + 1)un+1 2−n 2n − n un = + ⇔ nu = 2( n + 1) u + n n+ n (n + n + 1)2 + ( n + n + 1) + (n + 1) + − 2( n2 + 1) ⇔ nun = 2(n + 1)un+1 + (n + 1) ( n + 1) + 1 ⇔ ( n + 1)un +1 − = nun − Đặt Vậy 1  =  nun − ÷ ( n + 1) +  n +1 1  1 1 1 ⇒ +1 =  v1 = ÷⇒ = n ⇒ un =  + n÷ n +1  2 n  n +1  lim un = Bài 6: Cho dãy số u1 = 8 (u ) n xác định bởi: un +1 = 2un + 3n n ≥1 với  un   n +1 ÷ 3  Hãy tính giới hạn dãy số Giải: Ta có un+1 = 2un + 3n ⇔ un +1 − 3n +1 = ( u n − 3n ) = un − 3n Đặt , ta vn+1 = 2vn , ∀ n = 1,2, v1 = − = ⇒ ( ) v1 = lập thành cấp số nhân với công bội q=2 u lim n n+1 = n −1 n −1 n ⇒ = 5.2 ⇒ un = 5.2 + 3 Vậy + Dùng cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp Bài 7: Cho dãy số (u ) n xác định bởi: u1 = 2, un+1 = un + 2n , n ≥ 1(7) Hãy tìm số hạng tổng qt Giải: un lim tính giới hạn λ −1 = 4n − n + un λ =1 un = uˆn + un* , Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có * n * uˆn = q.1 = q un = n.(an + b) un , Thay vào phương trình ( ) ta được: (n + 1) [ a( n + 1) + b] = n(an + b) + 2n Với n=1 ta 3a+b=2 Với n=2 ta 5a+b=4 ⇒ a = 1, b = −1 ⇒ un* = n( n − 1) Ta có un = uˆn + un* = q + n(n − 1) Suy un = + n(n − 1) hay Vì u1 = un = n − n + nên q=2 Vậy 4n − n +1 lim =4 un (u ) n Bài 8: Cho dãy số xác định bởi: u1 = 1, un +1 = 3un + 2n , n ≥ (8) Hãy tìm số hạng tổng quát Giải: un tính giới hạn λ −3= n − 3n +1 + lim un Phương trình đặc trưng có nghiệm * n un = uˆn + un , uˆn = q.3 un* = a.2n Ta có , * Thay u n vào phương trình (8) ta được: λ =3 a.2n+1 = 3a.2n + 2n ⇔ a = 3a + ⇔ a = −1 ⇒ un* = −2n Do u1 = q =1 Vì nên Hay un = 3n − 2n un = uˆn + un* = q.3n − n Vậy n − 3n +1 + lim = −3 un (u ) n Bài 9: Cho dãy số xác định bởi: u1 = 8, u2 = 34 un+1 = 8un − 15un −1 , n ≥ Hãy tìm số hạng tổng quát Giải: un lim tính giới hạn λ − 8λ + 15 = Phương trình đặc trưng un = A.5n + B.3n Khi u1 = 8, u2 = 34 Từ ta có hệ phương trình: 5 A + 3B = A =1 ⇔  25 A + B = 34  B = 10 un 5n có nghiệm λ =5 λ =3 un = + n Vậy lim n Do Bài 10: Cho dãy số (u ) n un =1 5n xác định bởi: Hãy tìm số hạng tổng quát Giải: un u1 = 1; u2 =  n un +1 − 2un + un −1 = 2.2 (10), n ≥ lim tính giới hạn un 2n λ − 2λ + = λ =1 Phương trình đặc trưng có nghiệm kép * n * n un = uˆn + un uˆn = ( A + Bn).1 = A + Bn un = k Khi với * Thay u n vào (10) ta được: k 2n +1 − 2k n + k n −1 = 2.2 n ⇔ k = * n n+2 ⇒ un = 4.2 = * n+2 ⇒ un = uˆn + un = A + Bn + Từ u1 = 1, u2 =  A + B = −7 A = ⇔    A + B = −16  B = −9 ta có hệ phương trình un lim =4 n+ un = − n + 2n Suy Vậy 3.2 Giải pháp 2: Tính giới hạn dãy số công thức Ta ý số công thức sau đây: n( n +1)( 2n +1) n( n +1) 12 + 22 + + n = 1+ + + n = 1) 2) n ( n +1) 3 + + + n = 1+ + + ( 2n −1) = n 3) 4) Sau ta xét số tốn vận dụng cơng thức nêu 1+ + + ( 2n −1) M = lim 5( n − n + 3) Bài 1: Tính 11 Ta có 1+ + + ( 2n −1) n2 M = lim = lim = 2 5( n − n + 3) 5(n − n + 3) P = lim 13 + 23 + + n3 n7 + 3n + Bài 2: Tính Giải: P = lim 13 + 23 + + n Ta có = lim n7 + 3n + n (n + 1) n + 3n + = +∞ (s ) n Bài 3: Tìm giới hạn dãy số biết: 2n + sn = + + + ( 1.2 ) ( 2.3) ( n ( n + 1) ) sn = Ta có 2n + + + + ( 1.2 ) ( 2.3) ( n ( n + 1) ) 1− 1 1 + − + + − 22 22 32 n ( n + 1) 1− ( n + 1) = = lim sn = Vậy 1  1 N = lim  + + + ( 2n −1)( 2n +1)  1.3 3.5 Bài 4: Tính Giải: Ta có: 1  1 N = lim  + + + ( 2n −1)( 2n +1)  1.3 3.5 1 1 1  1  = lim 1− + − + + − = lim 1 − =  2 3 n −1 n +   2n +  Nhận xét : Để tính tổng hữu hạn 12 Sn ta thường biểu diễn dạng S n = u1 − u2 + u − u3 + + un−1 − un = u1 − un 13 + 53 + 93 + + ( 4n − 3) lim [ 1+ + + + (4n − 3)] Bài 5: Tính Giải: n n + + + + (4n − 3) = ∑ (4i − 3) = ∑ (64i − 144i + 108i − 27) 3 3 i =1 Ta có i =1 n n n i =1 i =1 i =1 = 64∑ i − 144∑ i + 108∑ i − 27 n + + + + (4n − 3) = n(n + 1) i= ∑ i =1 n n(n + 1)(2n + 1) i = ∑ i =1 n ; 3 ;  n(n + 1)  i = ∑   i =1 n P( x) = + + + + (4n − 3) Do đó: n(4n − 2) = 2n − n đa thức bậc có hệ số bậc 64 = 16 Và Q( x ) = [ + + + + (4n − 3) ] lim n →+ ∞ Do đó: đa thức bậc 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 [ + + + + (4n − 3)] (u ) n = 16 =4 Bài 6: Cho dãy số xác định sau:  u1 =1   un+1 = un ( un + 2)( un + 4)(un + 6) +16 i =1 ui + n = ∑ Đặt Giải: Dễ thấy: 13 , tính un > 0, ∀ n = 1,2, lim có hệ số bậc 4 Theo ta có : un+1 = (u n + 6un ) ( un2 + 6un + ) + 16 = un +1 + = ( un + 1) ( un + ) ⇔ Suy (u n + 6un + ) = un2 + 6un + 1 = − un+1 + un + un + n  1  1 1 = ∑ − − = − ÷= i =1 u + i =1 u + ui +1 +  u1 + un+1 + un+1 + i  i n = ∑ Do Mặt khác, từ un +1 = u + 6un + n un +1 > 6un ta suy n −1 un > ⇒ lim un = + ∞ Bằng quy nạp ta chứng minh : 1  lim = lim  − ÷=  un+1 +  Từ ta có Bài 7: Cho dãy số Hãy tìm (x ) n thỏa mãn:   x1 =  ( n + 2) xn = n xn +1 − ( n +1) xn xn +1 , n =1,2,  lim xn Giải: ( n + 2) Dễ thấy xn ≠ 0, ∀ n =1,2, xn +1 n2 = − ( n + 1) xn Từ giả thiết ta có n2 1 1 2 1 2 yn+1 = ⇔ ( n + 2)  + ÷= n  + ÷ yn = + yn ( n + 2) xn  xn+1   xn  Đặt ta 2 2 4n ( n + 1)  n −1  n −    yn =  ⇒ xn = 2 ÷ ÷  ÷ y1 = 16 − n ( n + 1)  n +1  n −1    ( n + 1) n2 Do Vậy lim xn = − Bài 8: ( HSG Tỉnh Nghệ An, năm 2010 ) Cho dãy số 14 (x ) n thỏa mãn  x1 =  x1 + x2 + 3x3 + + (n − 1) xn−1  x = , n > 1, n ∈ ¥ n  n ( n − 1)  Tìm Giải: Ta có lim un với un = (n + 1)3 xn x2 = 3 ≥ x1 + x2 + 3x3 + + nxn = n xn Với n : (1) x1 + x2 + 3x3 + + ( n − 1) xn −1 = ( n − 1) xn −1 (2) 3 nxn = n xn − (n − 1) xn −1 Từ (1) (2) ta có ( n − 1) xn −1  n −  n xn = = xn−1 ÷ n3 − n  n  n +1 Suy 2  n −1  n −    n n −1 ⇒ xn =  x2 ÷  ÷  ÷  n   n −1    n +1 n ⇒ xn = n ( n + 1) lim lim un suy 4( n + 1) =4 n2 = Nhận xét : Để tính tích hữu hạn u u u u Pn = n−1 = u2 u3 un un Pn ta thường biểu diễn dạng Bài 9: ( HSG Tỉnh Lạng Sơn năm 2012 ) Cho dãy số u1 = 2012  un+1 = 2012un + un , n ≥ Hãy tìm 15 u u u  lim  + + + n ÷ un +1   u u3 (u ) n xác định bởi: Giải: Vì (u ) un+1 − un = 2012un2 > ∀n ⇒ un+1 > un , ∀n (u ) n n nên dãy số tăng a = 2012a + a ⇒ a = có giới hạn a ( vơ lý ) Giả sử dãy số lim un = +∞ Do Ta có: un un2 u −u 1  = = n+1 n =  − ÷ un +1 un +1.un 2012un+1.un 2012  un un +1  u u u 1  ⇒ + + + n =  − ÷ u2 u3 un+1 2012  u1 un+1  u u u  ⇒ lim  + + + n ÷= un +1  2012  u u3 3.3 Giải pháp 3: Tính giới hạn dãy số nguyên lý kẹp Phương pháp giải: ( u n ) ( ) ( w n ) ≤ un ≤ w n , ∀ n Định lý: Cho ba dãy số ; thỏa mãn lim un = L lim = lim w n = L Nếu ( un ) Bài 1: Cho dãy số xác định bởi:  u =   u = u + un , n ≥ 1, n ∈ ¥  n +1 n Chứng minh rằng: a) < un ≤ , ∀ n = 1,2, Từ suy lim un = 0< b) u n +1 ≤ , ∀ n = 1,2, un Giải: a) Chứng minh phương pháp quy nạp 16 un +1 b) 1 = un + ≤ + = , ∀ n = 1, 2, un 4 Chứng minh quy nạp ta có: Từ suy ≤ un ≤ ( )n −1 , ∀n = 1,2, 4 lim un = ( un ) Bài 2: Cho dãy số xác định bởi:  u1 =10   un +1 = un , n ≥ 1, n ∈ ¥ Chứng minh rằng: un >1, ∀ n = 1,2, a) u n + −1< b) u n −1 , ∀ n = 1,2, Từ suy lim u n =1 Giải: a) Chứng minh phương pháp quy nạp b) Ta có: u n + −1= u n −1 = Đặt = un −1 , ta có u n −1 u n − ≤ , ∀ n un >1 u n +1 < +1 ≤ , ∀ n = 1,2, 1 < ≤ ( ) n −1 v1 = 9( ) n −1 , ∀ n = 1, 2, 2 Bằng quy nạp ta chứng minh được: lim = lim un = Suy Vậy ( un ) Bài 3: Tìm giới hạn dãy số với 1 un = + + + n +1 n +2 n +n Giải: 17 n +k Ta có < un ≤ Nên ≤ n +1 n n +1 Bài 4: Cho dãy số < , ∀ k =1,2, , n ,∀n n ( x ) ,n ≥1 n Chứng minh dãy (x ) lim Vì =0 n lim un = nên x1 = 3, xn +1 = xn − xn + thỏa mãn n không bị chặn 1 yn = + + + x1 −1 x2 −1 xn −1 ( yn ) , n ≥ Xét dãy xác định lim yn Tìm Giải: xn ≥ n + Ta chứng minh quy nạp Thật vậy: x1 ≥ Với n = 1, ta có nên khẳng định ( k ≥ 1) Giả sử khẳng định với n = k xk +1 = xk ( xk − 3) + ≥ ( k + 2)( k −1) + ≥ k + Ta có xn ≥ n + 2, ∀ n = 1,2, Vậy Do dãy số cho khơng bị chặn 1 1 = = − , xk +1 − ( xk −1)( xk − 2) xk − xk −1 Ta có 1 ⇒ = − xk −1 xk − xk +1 − Bằng cách cộng đẳng thức ( với k = 1, 2, …, n ) ta được: 1 yn = − =1 − x1 − xn +1 − xn +1 − 0≤ Vì 18 1 ≤ ⇒ lim =0 xn+1 − n xn+1 − Vậy lim yn =1 xk = (x ) k k + + + 2! 3! ( k + 1)! Bài 5: Cho dãy số xác định n lim n x1n + x2n + + x1999 n →+∞ Tìm Giải: k +1 xk +1 − xk = > ⇒ xk +1 > xk , ∀k ( xk ) (k + 2)! Vì Do dãy tăng, suy n n n < x1 < x2 < < x1999 ⇒ x1999 < x1n + x2n + + x1999 < 1999 x1999 , hay n x1999 < n x1n + x2n + + x1999 < 1999 n x1999 (*) Mặt khác, ta có x1999 = − Do k 1 = − , suy : xk = − (k + 1)! k ! (k + 1)! (k + 1)! 2000! 1   n < n x1n + x2n + + x1999 < 1999 n  − ÷ 2000!  2000!  Thay vào (*) ta 1    n  lim − = lim1999 − = −  ÷  ÷ n →+∞ 2000!  2000!  n→+∞  2000!  Vì: nên: 1− n lim n x1n + x2n + + x1999 =1− n →+∞ (u ) n 2000! u1 > 0, un3+1 = u1 + u2 + + un , ∀n ≥ Bài 6: Cho dãy số thỏa mãn  un   ÷ n n → +∞ minh dãy số có giới hạn Giải: un3+1 = un + un3 , ∀n ≥ ( un ) Từ giả thiết ta có , dãy số dãy tăng Vì 19 un3+1 = un + un3 = un (un2 + 1) < un +1 (un2 + 1) Chứng ⇒ un2+1 < un2 + ∀n ≥ ⇒ un2+1 < un2 + < < u22 + n − , 2  u  u + n −1 ⇒  n +1 ÷ < (n + 1)2  n +1 lim Mà u22 + n − =0 (n + 1) nên: u u u  lim  n+1 ÷ = ⇒ lim n+1 = ⇒ lim n = n +1 n  n +1 Bài tập tham khảo Bài ( HSG Tỉnh Nghệ An, năm 2019 ) Cho dãy số (u ) n xác định bởi: 2un un + n − n − u1 = 12, = ,n ≥1 n + 5n + n2 + n Hãy tìm số hạng tổng quát un lim tính giới hạn un 2n +1 Bài ( HSG Tỉnh Hà Tĩnh, năm 2019 ) Cho dãy số u1 =1  2un u = , n ≥ 1, n ∈ ¥ n +1  u + + n  Sn = u12 + u22 + + un2 Đặt hạn Chứng minh dãy (S ) n n (u ) n xác định bởi: lim un Bài ( HSG Tỉnh Vĩnh Phúc, năm 2019 ) Cho dãy số 20 thỏa mãn có giới hạn hữu hạn tính giới Bài ( HSG Tỉnh Bắc Ninh năm 2019 ) Cho dãy số 2u + u u1 = 2019, u2 = 2020, un+1 = n n −1 , n ≥ Tính giới hạn (u ) (u ) n thỏa mãn u1 = 2019  un3 + 20182  u =  n +1 u − u + 4036 , n ≥ 1, n ∈ ¥  n n , ∀ n ≥ k =1 u k + 2018 n = ∑ Đặt Tính lim Bài ( HSG Tỉnh Hà Nam, năm 2019 ) Cho dãy số u1 = 2019  un +1 = 2un − n +1, n ≥ công thức tổng quát dãy số (un ) lim n→ + ∞ Tính (u ) n thỏa mãn un 3n Tìm Bài ( Đề thi olimpic 30 – năm 2000 ) Cho dãy số  u =    u = u + u ( k =1, 2, , n) k k −1 k −1  n  Tính thỏa mãn lim un Bài ( Đề thi olimpic 30 – năm 2006 ) Cho dãy số u1 =   un+1 = (un2 − un + 9) ( n =1,2, )   , ∀ n ≥ k =1 u + k n = ∑ Đặt (u ) n Tính lim Bài Cho dãy số thỏa mãn u1 = 2, u2 =  2un + = 5un+1 − 2un − n − 2n + 3, n ≥ 21 u0 , u1 , , un ( un ) thỏa mãn Tìm 2n lim un Bài ( HSG Tỉnh Thanh Hóa năm 2018 ) Cho dãy số u1 = 2, u2 =  un + = 5un +1 − 6un , ∀n ≥ lim Tính giới hạn (u ) n thỏa mãn un 3n Bài 10 ( HSG Tỉnh Nghệ An năm 2018 ) Cho dãy số (u ) n xác định bởi: un2 − n(un − 1) + n u1 = 6, un+1 = , ∀n ≥ n 1 1 lim  + + + ÷ un   u1 u2 Tính giới hạn Hiệu SKKN + Trước áp dụng sáng kiến, thấy phần lớn em học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 ngại học gặp nhiều khó khăn giải toán thuộc chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’ Tuy nhiên sau áp dụng giải pháp nêu trên, hầu hết em đội tuyển học sinh mơn tốn lớp 11 hăng say làm thành thạo tốn tìm giới hạn dãy số + Giúp thân dạy học có hiệu quả, có nhiều động lực để tiếp tục cố gắng tìm tịi sáng tạo q trình thực nhiệm vụ chun mơn + Chia sẻ kinh nghiệm thân với đồng nghiệp học hỏi từ đồng nghiệp để tìm cách dạy học phù hợp học sinh giỏi mơn tốn 11 + Giúp em học sinh có hứng thú, có động lực có niềm tin để học tập chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’ + Giúp học sinh tiến nhanh việc làm tập tìm giới hạn dãy số từ đạt kết cao kì thi học sinh giỏi cấp III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ + Đề tài nêu số phương pháp tìm giới hạn dãy số có dạng đặc biệt dãy số cho phương trình sai phân tuyến tính cấp cấp 22 hai Từ phương pháp giúp em đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 11 giải thành thạo tốn tìm giới hạn dãy số kì thi học sinh giỏi cấp + Phương pháp sử dụng cấp số cộng cấp số nhân để tìm công thức số hạng tổng quát dãy số thực dễ hiểu học sinh, phương pháp sử dụng phương trình sai phân tuyến tính cịn xa lạ học sinh, cần có nhiều thời gian để em học sinh tiếp thu nội dung + Với thời gian nghiên cứu khả có hạn, tơi hy vọng đề tài giúp ích phần cho thầy, giáo em học sinh lớp 11 trường THPT việc học ôn thi học sinh giỏi + Kết thực nghiệm đề tài sở đề khẳng định đề tài thiết thực, mang lại hiệu cho người dạy người học, tư liệu hữu ích cho bạn đồng nghiệp tham khảo, vận dụng Khả ứng dụng đề tài vào thực tiễn dạy học nhà trường khả thi đề tài cịn phát triển mở rộng, phạm vi nghiên cứu để phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Tài liệu tham khảo [ 1] Nguyễn Huy Đoan: Đại số & giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [ 2] Nguyễn Huy Đoan: Bài tập Đại số & giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [ 3] Nguyễn Qúy Dy: Tuyển tập 200 thi vô địch Toán –Tập 3, Nhà xuất Giáo dục [ 4] Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30 – Môn Toán lần thứ VI - 2000, Nhà xuất Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [ 5] Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30 – Mơn Tốn lần thứ VIII - 2002, Nhà xuất Giáo dục [ 6] Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30 – Môn Toán lần thứ XII - 2006, Nhà xuất Giáo dục Xác nhận thủ trưởng đơn vị 23 Thanh hóa, ngày 20 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Hữu Thực 24 ... đề tài “ Một số kinh nghiệm ôn thi học sinh giỏi lớp 11, chủ đề: ‘‘ Tìm giới hạn dãy số ’’ Qua nội dung toán đề tài nhằm giúp em học sinh giỏi lớp 11 không chuyên có thêm kiến thức, kĩ giải số. .. tính giới hạn dãy số nhằm đáp ứng cho việc học ôn thi học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 Nhiệm vụ đề tài + Nắm định nghĩa dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn, định lý tồn giới hạn dãy số, ... giới hạn dãy số ’’ + Giúp học sinh tiến nhanh việc làm tập tìm giới hạn dãy số từ đạt kết cao kì thi học sinh giỏi cấp III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ + Đề tài nêu số phương pháp tìm giới hạn dãy số